Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ ШКОЛЬНИКОВ ПЯТЫХ КЛАССОВ 20
1 .Теоретические и опытные предпосылки определения понятия вычислительной культуры школьников пятых классов 20
2.Использование ЭВМ в контексте формирования вычислительной культуры школьников пятых классов 53
3. Психологические особенности школьников пятых классов 59
Выводы к главе 1 66
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ ШКОЛЬНИКОВ ПЯТЫХ КЛАССОВ 71
Предварительные замечания 71
4. Методика первоначального знакомства школьников пятых классов с приближенными вычислениями при изучении темы «Округление натуральных чисел» 73
5. Методика использования качественных заданий и приближенных вычислений при изучении темы «Сложение и вычитание натуральных чисел» 93
6. Методика использования качественных задач и приближенных вычислений при изучении темы: «Умножение и деление натуральных чисел» и «Задачи на все действия с натуральными числами» 103
7. Методика формирования вычислительной культуры в процессе изучения геометрического материала курса математики пятого класса 109
8. Методика формирования вычислительной культуры на этапе введения дробных чисел 115
9. Методика формирования вычислительной культуры при изучении десятичных дробей
Выводы к главе 2 129
ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 132
10. Методика проведения, содержание и результаты констатирующего эксперимента 132
11. Методика проведения, содержание и результаты обучающего и контролирующего эксперимента 138
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 155
БИБЛИОГРАФИЯ 156
- .Теоретические и опытные предпосылки определения понятия вычислительной культуры школьников пятых классов
- Методика первоначального знакомства школьников пятых классов с приближенными вычислениями при изучении темы «Округление натуральных чисел»
- Методика проведения, содержание и результаты констатирующего эксперимента
Введение к работе
Проблема формирования вычислительной культуры школьника почти равносильна проблеме подготовки молодого человека к вступлению в реальную жизнь. Без преувеличения можно сказать, что эта проблема «стара, как мир». В истории возникновения, становления и развития методической науки о преподавании математики не было сколько-нибудь продолжительного периода, в течение которого проблема формирования вычислительной культуры не звучала бы как актуальная. Однако, несмотря на столь пристальное внимание к данной проблеме, она не была до сих пор четко сформулирована. Часто в публикациях понятие «вычислительной культуры» подменяется понятием «вычислительные навыки». Так, например, в «Методике преподавания математики в средней школе» Ю.М. Калягина и др. [89, стр. 78], читаем: « Достаточно высокий уровень вычислительной культуры учащихся может быть охарактеризован следующей совокупностью признаков:
1) прочные и осознанные знания свойств и алгоритмов операций над числами;
2) умение по условию поставленной задачи, определить, являются ли исходные данные для вычислений точными или приближенными числами, прочные знания правил приближенных вычислений и навыки их выполнения;
3) умение правильно сочетать устные, письменные вычисления и вычисления с применением вспомогательных средств;
4) устойчивое применение рациональных приемов вычислений;
5) автоматизм навыков безошибочного выполнения вычислительных операций;
6) аккуратная и экономичная запись расчетов;
7) применение рациональных приемов контроля вычислений;
8) умение на определенном теоретическом уровне обосновать правила и приемы, применяемые в процессе вычислений». То же положение наблюдается в пособии для учителя «Повышение вычислительной культуры учащихся» [146, стр. 80]. Приведем название разделов сборника статей «Повышение вычислительной культуры учащихся средней школы» [146, стр. 167-168]:
1. Некоторые вопросы повышения техники вычислений в средней школе.
2. Приближенные вычисления в школе.
3. Логарифмическая линейка. Номограммы.
Устойчивое внимание методистов к проблеме формирования вычислительной культуры связано с обстоятельством, на котором во все времена базировались школьные программы и учебники по математике, -школьник должен быть подготовлен к применению математики в практической деятельности, при изучении других наук, в процессе овладения профессией. А.Д.Александров, определяя цели изучения математики, выделял два аспекта: «первый - практическая польза предмета, те знания и навыки, которые понадобятся человеку в жизни; второй - место предмета в общем образовании... Практическое значение большинства разделов школьной математики очевидно: каждый, например, должен уметь считать и решать без затруднения хотя бы простейшие задачи» [9, стр. 420]. Данное обстоятельство не только не теряет своей актуальности, но с внедрением ЭВМ в нашу жизнь и быт превращается в требование массового овладения технической грамотностью. По мнению Н.Я.Виленкина: «Математизация всех областей науки и техники, бурное развитие вычислительной техники, внедрением ЭВМ и микропроцессоров во все сферы производства, экономики, управления и даже в обыденную жизнь делают необходимым всемерное улучшение математической подготовки учащихся, приближение школьного курса математики к требованиям современности .... Задача обучить школьников умению применять математику становится центральной, мировоззренческой» [42, стр. 40]. И в этом смысле с понятием числа и вычислениями может конкурировать только понятие геометрической фигуры. Огромная значимость этих понятий бесспорна в вопросах приложений и использования математики. Это связано с тем, что оба этих понятия являются исторически первыми математическими понятиями, причем настолько древними, что сама история их возникновения прослеживается только на гипотетическом уровне. Об этом свидетельствует обширная историко-математическая литература, например [6, 13, 38, 54, 55, 80 и др.]. Интересно и то, что ни одна из практических вычислительных задач, насколько бы древней она ни была, не потеряла своего значения до сегодняшнего дня, начиная, вероятно, с первой задачи - задачи счета. Усложнение и увеличивающееся многообразие видов практической деятельности, возникновение и развитие наук и производства, совершенствование вычислительных средств, развитие соответствующих разделов математики только пополняют список вычислительных задач, делают вычисления все более значимыми. Число проникает порой в самые неожиданные отрасли знания о природе, обществе и человеке, и признается настоящим научным достижением, если удается измерить или вычислить то, что до той поры было невыразимо числом. Вместе с таким широким распространением числа, с развитием вычислительных средств, снимающих проблему трудоемкости вычислений, превращающих ранее невозможное и практически неосуществимое в легко и каждому доступное, обостряется проблема грамотного и корректного использования числа. Очень тонко и очень точно подметил замечательный русский поэт Н.Гумилев:
«Все оттенки смысла умное число передает». Действительно «все оттенки», но только «умное число». Даже искренне ищущий истину, но недостаточно подготовленный (с низким уровнем вычислительной культуры) исследователь или человек в обстоятельствах
I самой обычной жизненной ситуации может приписать смысл и большое значение числу, которое фактически ничего не выражает или имеет в точности противоположный смысл. С другой стороны, в руках и устах умелого манипулятора должным образом подобранное число, впечатляющие своим размахом и объемом вычисления, может быть всего лишь ловким приемом сокрытия истины, формирования неверных, выгодных кому-то представлений, определяющих общественное мнение, влияющих на принятие решений и т.п. Таким образом, число давно перестало быть объектом, с которым работают только специально обученные люди и в специфических областях деятельности. Высокий уровень вычислительной культуры без преувеличения нужен каждому человеку, даже если он встречается с числом только на страницах газет или в простейших жизненных обстоятельствах. Все вышесказанное вряд ли может вызвать возражения, в то же время это означает, что проблема воспитания вычислительной культуры - одна из важнейших задач школьного математического образования. Мы считаем весьма своевременным обратиться к выяснению места и значения числа и вычислений в методике обучения математике, так как результаты школьного обучения по одной из центральных линий курса очевидно неудовлетворительны. В этом нас убеждают многочисленные публикации. Например, в [89, стр. 79] читаем: «Обеспечение высокой культуры вычислений и тождественных
преобразований представляет важную проблему обучения математике. Однако эта проблема решается далеко неудовлетворительно. Доказательство этому - статистические данные органов народного образования, в которых ежегодно констатируются ошибки и нерациональные приемы вычислений и преобразований, допускаемые учащимися различных классов при выполнении контрольных работ. Это подтверждается и отзывами высших учебных заведений о качестве математических знаний и навыков абитуриентов. Нельзя не согласиться с выводами органов управления
образованием и ВУЗов о том, что недостаточно высокий уровень культуры вычислений... в средней школе является следствием формализма в знаниях учащихся, отрыва теории от практики».
Аналогичное положение наблюдается и в зарубежных странах. Рольф Хедрен, преподаватель математики в Фалун-Берленге, председатель комитета, занимающегося изучением влияния введения калькуляторов в старших классах начальной школы (что соответствует как раз возрасту учащихся пятых классов в России), пишет: «Уровень подготовленности учащихся к выполнению несложных упражнений на закрепление ч традиционных приемов счета невысок... Не удовлетворяют в настоящее время и навыки решения математических задач, то есть выполнение правильных математических действий в правильном контексте и в правильной последовательности...» [169, стр. 132]. К таким же выводам нас приводят данные, полученные в ходе констатирующего эксперимента, в частности результаты опросов учителей. Понятие вычислительной культуры постоянно находится в сфере внимания методистов. Различным формам проявления вычислительной культуры посвящены многие работы [9, 26, 27, 42, 50, 55, 60, 72, 76, 77, 78, 79, 81, 122, 146, 149, 150, 153, 171, 185]. Наше исследование базировалось на выводах и результатах, полученных И.Ф. Соколовским в его диссертации «Вычислительная культура как основа методики введения начал математического анализа в средней школе» [150]. Наиболее важным для нашего исследования являются следующие положения:
1 .Существующая методика, а вслед за ней и практика преподавания, одну из форм проявления вычислительной культуры - вычислительные знания, умения и навыки - воспринимает, как сущность вычислительной культуры, поэтому преподавание сводится к воспроизводству явления, а не к постижению его сущности. .Сущность вычислительной культуры... состоит в правильном движении мысли от первоначальной качественной картины явления к его количественному описанию и от него - к сущности явления.
Нами используется понятие «сущность вычислительной культуры» в общефилософском понимании, в том смысле, что сущность и явление представляют собой общефилософские категории, отражающие необходимые стороны всех объектов и процессов в мире. Явления - это конкретные события, выражающие форму проявления сущности. Сущность - совокупность глубинных связей, отношений и внутренних законов, определяющих основные черты и тенденции развития материальной системы. Это означает, что одно и то же явление может быть рассмотрено как в буквальном смысле, так и в глубинном, сущностном.
Академик Б.М. Кедров отмечал, что « всякое число абстрактно, отвлечённо, оно отражает лишь одну внешнюю, количественную сторону изучаемого. Вместе с тем оно, взятое само по себе, единично, а потому случайно, отрывочно» [84,стр.З]. Только тогда, когда число приводится в связь с другими числами, оно обретает определённый качественный смысл. Всё это - результат мышления. «Мысль... ищет связь между отдельными числами, стремится раскрыть взаимозависимость количественной стороны изучаемого предмета с его качественной стороной, между внешней и внутренней его сторонами». Далее автор анализирует процесс открытий в различных областях науки и приходит к выводу о том, что: «Раскрытие качества является первичной предпосылкой и исходной основой для правильного познания количества (числа). Пока не раскрыта качественная сторона изучаемого предмета, его количественная (числовая) сторона не может быть измерена верно. Однако, после того, как качество предмета установлено, и на его основе развернулось количественное исследование, это, последнее, может способствовать более глубокому и расширенному изучению качества». [84,стр.6]
Сказанное выше означает, что определение сущности вычислительной культуры можно представить следующим образом:
Первоначальная качественная картинд явления
Осмысление полученного 3 ) результата
Нельзя сформировать вычислительную культуру школьника, если основной акцент делать на решении чисто вычислительных задач (т. е., задач, в которых исходные числовые данные, погрешность и алгоритм заданы условиями, и не требуется качественного осмысления ответа) [148].
В процессе решения задачи каждый из выделенных шагов является необходимым. Пропуск любого из них приводит к возникновению тех явлений, которые свидетельствуют о наличии формализма в знаниях учащихся. Поэтому требование выполнения всех трёх шагов при решении задачи будем называть принципом единства .
Подход к формированию вычислительной культуры, при котором методическими средствами создаются условия для реализации принципа единства, будем называть сущностным подходом к формированию вычислительной культуры школьников.
На уровне теоретического осмысления имеющегося опыта преподавания математики в средней школе нами выдвинуто положение о том, что заниматься вопросом формирования вычислительной культуры следует постоянно и систематически в процессе изучения всего школьного курса математики. Проблема формирования вычислительной культуры не локализуется ни во времени, ни в пространстве школьного курса математики. Иначе говоря, нельзя однозначно определить момент, когда следует начинать и когда заканчивать формирование вычислительной культуры, как нельзя определить отдельную тему школьного курса, внутри которой формирование вычислительной культуры может быть осуществлено в достаточной степени. Это следует из того, что постижение сущности вычислительной культуры требует не простого овладения вычислительными навыками, а их использование в качественно различных ситуациях, разнообразие которых, вообще говоря, безгранично.
Это положение будем называть принципом непрерывности формирования вычислительной культуры.
Мы считаем, что начинать с пятого класса средней школы ещё не поздно, т.к. начальная школа работает, преимущественно, с небольшими натуральными числами, доступными интуиции. Там требование абсолютной точности на уроках математики соответствует представлениям, сложившимся на основании опыта. Но уже при переходе к большим натуральным числам, а, тем более, рациональным, должно проявиться противоречие, которое академик А.Д. Александров выразил словами: «Либо абсолютная точность без связи с реальностью, либо связь с реальностью без абсолютной точности»[8,стр.278]. Настоящая практика преподавания, учебники, методики, пособия замалчивают, игнорируют это противоречие. Никто не утверждает, что в реальности есть абсолютная точность, но задачи с так называемым практическим содержанием решают как идеальные, т.е. абсолютно точные. Поэтому, если в пятом классе не начать соответствующую работу, то у ребёнка складывается неадекватная реальности картина мира: нужно начинать работу по формированию вычислительной культуры в этот школьный период. Отсутствие методики формирования вычислительной культуры пятиклассников и потребность в ней обуславливают актуальность исследования и определяют его цель.
Цель исследования: разработать методику формирования вычислительной культуры школьников пятых классов в её сущностном понимании.
Сказанное выше определило проблему нашего исследования. V Проблема исследования: выявить условия (элементы содержания курса, его идейную направленность и методику обучения), при которых возможна реализация сущностного подхода к формированию вычислительной культуры школьников пятых классов. Мы предположили, что программный материал по математике в пятом классе позволит подойти к решению сформулированной проблемы. Объект исследования: процесс изучения учащимися пятых классов материала по линии: «Числа и вычисления». Принятое нами определение вычислительной культуры в её сущностном понимании не достаточно конкретно для того, чтобы непосредственно указывать на содержание материала и методику его преподавания в пятом классе. Это и определило задачи исследования. Задачи исследования: S построить и теоретически обосновать определение вычислительной культуры школьника пятого класса, достаточно конструктивно определяющее методику формирования вычислительной культуры учащихся; S выявить средства формирования вычислительной культуры; S подобрать качественные задачи, доступные ученикам пятого класса и приводящие к необходимости получить и осмыслить число; S разработать методику использования таких задач в процессе изучения программы по математике в пятом классе; S разработать методику неформального ознакомления учащихся пятых классов с правилами простейших приближённых вычислений; S выявить роль и место использования микрокалькулятора в процессе формирования вычислительной культуры; •S экспериментально проверить и уточнить методику формирования вычислительной культуры пятого класса. ь Результаты теоретического анализа литературы и качественного анализа хода и результатов констатирующего эксперимента делают, по нашему мнению, обоснованным следующее определение:
Вычислительная культура школьника пятого класса характеризуется:
способностью школьника отобрать и оценить те качественные стороны рассматриваемого явления, которые приводят к постановке вычислительной задачи и определению допустимой погрешности (в пределах имеющихся знаний и жизненного опыта);
способностью школьника соотнести данное ему число с качественными особенностями знакомой ему ситуации, в которой это число возникло, и на этой основе отделить действительно реальную ситуацию от идеальной;
хорошо развитыми навыками точных вычислений и освоенными на неформальной основе приемами простейших приближенных вычислений;
способностью грамотно и по существу использовать микрокалькулятор.
Умения, характеризующие вычислительную культуру пятиклассников, будем считать необходимыми для реализации сущностного подхода, их наличие представляет собой основы вычислительной культуры в её сущностном понимании.
Необходимость выбора средств формирования вычислительной культуры пятиклассников определила предмет исследования. Средствами формирования вычислительной культуры школьника в соответствии с её определением могут быть такие задания, систематическое выполнение которых будет приучать ребёнка к правильному движению мысли от качественной картины явления к его количественному описанию и от него к сущности явления (новому качеству). Задачи, работа с которыми создаёт
и
условия для осмысления связи качества и количества, будем называть качественными.
Под качественной задачей мы будем понимать задачу, отвечающую следующим требованиям:
• задача формулируется, как правило, в виде качественного вопроса;
• вопрос должен быть таким, как он обычно ставится на практике: хватит ли, успеем ли и т.д.;
• если заданы какие-то величины, их значения должны быть реальными, взятыми из жизни; если нет, то должно быть понятно, с помощью каких измерений, с какой точностью и какими инструментами можно получить необходимые числовые данные;
• ситуация, описываемая в задаче, должна быть абсолютно ясной, близкой, понятной и естественной для учащихся;
• полученный результат, выраженный с помощью числа, позволяет сделать вывод о целесообразности той или иной стратегии поведения в данной ситуации, т.е. человек, получивший число, может использовать его для определённых качественных выводов.
Задачи, соответствующие сформулированным требованиям, мы будем использовать, как средство формирования вычислительной культуры. Так как в качественных задачах данные представляют собой результаты измерений, то они в подавляющем числе случаев носят приближённый характер. Это означает, что ребёнок должен уметь работать с приближёнными числами. Мы считаем, что приближённые вычисления могут быть средством формирования вычислительной культуры, если в пятом классе познакомить учащихся со способами сложения, вычитания, умножения и деления приближённых чисел по данным, полученным из непосредственных измерений, с точностью, соответствующей точности исходных данных. И, что важно,
простейшие приёмы приближённых вычислений осваиваются школьниками на неформальной основе.
Так как ключевым моментом формирования вычислительной культуры школьника мы считаем создание необходимости осмысления связи между числом и качеством, то работа на этапе решения чисто вычислительной задачи может быть организована с помощью вычислительной техники. Это означает, что грамотное, культурное использование микрокалькулятора также можно рассматривать как средство формирование вычислительной культуры.
Предмет исследования; средства формирования вычислительной культуры школьников пятых классов.
Исходя из проблемы, объекта и предмета исследования мы выдвигаем следующую гипотезу. Гипотеза исследования: в процессе изучения курса математики пятого класса можно заложить основы вычислительной культуры в ее сущностном понимании через использование качественных задач, приближенных вычислений и микрокалькулятора. Методы исследования: S теоретический анализ методической, психолого-педагогической, математической литературы, а также программ и учебников по математике; S наблюдение за деятельностью учащихся и учителей; •S организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов; S обработка и интерпретация данных, полученных в процессе проведения экспериментов. База исследования. Изучение состояния проблемы и педагогические эксперименты проходили на базе средних школ №83 и № 518 Выборгского района Санкт-Петербурга, средней общеобразовательной школы при
JL.
Посольстве РФ в Израиле, математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена, курсов повышения квалификации учителей математики на базе СПб ГУПМ.
Организация и этапы исследования. Этап 1. (1994-1995г.г.) - анализ образовательной практики, направленной на повышение вычислительной культуры школьников, выявление основных проблем и поиск путей их разрешения. Анализ психолого-педагогической, методической, математической литературы, программ и учебников по математике. Теоретическое осмысление проблемы.
Этап 2. (1995-1997г.г.) Проведение констатирующего и поискового экспериментов.
Этап З.П997-2003г.г.) Проведение обучающего эксперимента. Анализ и обобщение результатов опытно-экспериментальной работы. Оформление диссертации.
Научная новизна проведённого исследования заключается в том, что
впервые в методике обучения математике рассмотрено понятие сущности вычислительной культуры.
понятие сущности вычислительной культуры конкретизировано в виде трактовки определения вычислительной культуры пятиклассников, выявлены условия, при которых возможна реализация и реализован сущностный подход к формированию вычислительной культуры при разработке методики.
предложено оригинальное обоснование места и значения жизненного опыта учащихся в реализации сущностного подхода к формированию вычислительной культуры.
Теоретическая значимость проведённого исследования состоит в том, что: сформулировано определение понятия вычислительной культуры школьника пятого класса; обоснован способ конструирования определения понятия «вычислительная культура школьника пятого класса», соответствующего сущности общего понятия «вычислительная культура»;
выделены основные средства формирования вычислительной культуры пятиклассников: качественные задачи с реальным содержанием и, как следствие, приближённые вычисления.
Практическая значимость заключается в том, что:
разработана методика формирования вычислительной культуры пятиклассников на основе использования качественных задач;
разработана методика неформального освоения правил простейших приближённых вычислений;
полученные результаты могут быть использованы учителем в практике преподавания математики; могут быть учтены при разработке программ, написании учебников и методических пособий; облегчают применение математики при изучении других предметов школьного курса; показывают способы реализации, практической и прикладной направленности математики в процессе её преподавания.
Апробация результатов исследования осуществлялась в виде:
• докладов на Герценовских чтениях (Санкт-Петербург, 1995,1997,1998,2004г.г.);
• докладов на семинаре аспирантов и преподавателей кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И.Герцена (1995,1997,1998,1999,2004г.г.);
• выступлений на «августовских» совещаниях руководителей заграншкол МИД РФ и региональных совещаниях администраций заграншкол (2000, 2001, 2002, 2003 г.г.).
На защиту выносятся:
1. Трактовка понятия вычислительной культуры пятиклассников является теоретической основой, на базе которой возможно построение методики, направленной на формирование вычислительной культуры.
2. В основе методики формирования вычислительной культуры лежат следующие принципы:
S принцип единства (необходимость выполнения трёх шагов в процессе
решения задачи); S принцип непрерывности (вычислительная культура формируется в
процессе изучения всего школьного курса математики). Принципы реализуются через использование в процессе обучения качественных задач, приближённых вычислений и микрокалькулятора. Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:
1. Казакова Т.Н. О построении множества действительных чисел в школе//Школьное математическое образование: вопросы содержания и методов. Тезисы докладов на Герценовских чтениях.//СПб.Образование.-1995-0,1 п.л.
2. Казакова Т.Н. Использование знаний учащихся о числовых системах при ознакомлении школьников с основными понятиями школьной алгебры//Актуальные проблемы преподавания математики в школе и вузе. Материалы межвузовской конференции, посвященной 105-летию со дня рождения В.М.Брадиса.//Тверь.1995 - 0,13 п.л
3. Казакова Т.Н. О приближённых вычислениях в курсе математики 5 класса средней школы//Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся и в профессиональной подготовке будущих учителей математики.//Тезисы докладов на Герценовских чтениях. Пб.Образование-1997- 0,13 п.л.
4.
4. Казакова Т.Н. Об использовании исторических сведений при формировании понятия числа//Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся и в профессиональной подготовке будущих учителей математики.// Тезисы докладов на Герценовских чтениях. Пб.1997 -.0,13 п.л.
5. Казакова Т.Н. Об использовании МК при знакомстве с приближёнными вычислениями в 5-6 классах//Личностно-ориентированный подход при обучении математике (содержательный и процессуальный аспекты).// Тезисы докладов 51 Герценовских чтений. СПб. 1998- 0,1 п.л. v 6. Казакова Т.Н. Методика использования качественных задач и приближённых вычислений при изучении в 5 классе темы «Умножение и деление натуральных чисел»//Проблемы теории и практики обучения математике. СПб. 2004 - 0,4 п.л.
Теоретические и опытные предпосылки определения понятия вычислительной культуры школьников пятых классов
Принятое нами определение вычислительной культуры как правильного движения мысли от качественной постановки задачи к числу, а от него к новому качеству, как и всякое общее понятие, объемно, но не достаточно содержательно, чтобы прямо и непосредственно указывать на содержание материала и методику его преподавания в пятых классах. Поэтому необходимо снизить уровень обобщения и построить определение понятия вычислительной культуры школьников пятых классов, согласующееся с общим. Как видно из общего определения, нет вычислительной культуры в отрыве от качества, смысла, т.е. понятий, вообще говоря, не количественных. Хемминг Р.В. в книге «Численные методы» [168] пишет: «Цель расчетов - не числа, а понимание», т.е. смысл, суть какого-то явления. О том же говорит консультант регионального педагогического центра Зееланда из Нидерландов Йос Елгест: «Успехи детей определяются скорее качеством вычислений, нежели правильностью ответов» [64]. Именно в этом аспекте содержание учебников по математике и методике обучения в пятых классах таковы, что можно говорить о воспитании вычислительной антикультуры. Обоснуем это сильное утверждение. Часто ли ученику приходится делать первый шаг в «правильном движении мысли», т.е. шаг от качественной постановки задачи к количественной, т.е. к числу? Что побуждает школьника измерить и вычислить? В абсолютном большинстве случаев это происходит по прямому указанию учителя или по условию задачи. Об этом же пишет А.Ф. Эсаулов: «Ни с чем в своей деятельности человек не сталкивается так часто и ни в чем так сильно не нуждается, как в способности ставить и решать задачи самых разнообразных типов и различной степени сложности... Но задачи предстают перед человеком не в виде уже готового, кем-то составленного задачника или решебника, а в форме противоречий жизненных обстоятельств, которым нельзя представить стихийно развиваться. Их нужно направить в русло возможной для него пользы, воплотить в те проблемные ситуации, которые шаг за шагом необходимо превращать в разрешимые для человека задачи. Именно задачи, а не те искусственно обедненные формы, которые все еще бытуют в нашей педагогической практике...» [184, стр. 5]. Измерения (реальные, действительно выполняемые учениками), к сожалению, фактически отсутствуют в современной практике преподавания. В учебниках математики для пятого класса задачи, в которых от ученика требуется выполнить измерения, связаны с изучением элементов геометрии, да и таких задач очень мало. В учебнике [122] есть две самостоятельные работы: «Самостоятельная работа № 1» [стр. 52-55] и «Самостоятельная работа № 5» [стр. 133-134] «Построение угла данной величины». В учебнике [44] в связи с изучением темы «Отрезок. Длина отрезка. Треугольник» предлагаются традиционные задачи на измерение длины отрезка. Например, № 44. Измерьте: а) длину и ширину тетради; б) расстояние между концами расставленных большого и указательного пальцев; в) длину и ширину стола. При этом не предлагается сделать никаких качественных выводов, хотя эта задача позволяет организовать работу в этом направлении. Задачи № 45, 47 предлагают измерить расстояние между точками, отмеченными в тетради, измерить длины сторон пятиугольника. Разумеется, нигде не предлагается обсудить точность полученных результатов.
При изучении пункта «Измерения углов. Транспортир» из 44-х предложенных задач (№ 1620-1663) только 11 предполагают выполнение непосредственных измерений, и только одна задача № 1638 требует осмыслить результаты измерений и сделать вывод. То же положение с измерениями наблюдается в учебнике [21]. В нем есть глава «Измерение геометрических величин», в которой два параграфа. 9 «Геометрические фигуры» [стр. 243-271] - на изучение которого выделено 9 уроков, где из 120 заданий только 15 связаны с непосредственными измерениями. На изучение 10 «Измерение площадей и объемов» [стр. 272-292] отводится 6 уроков. В учебниках [59, 134] вопросы измерений не затрагиваются. Мы проанализировали программы по математике с 1982 по 2004 годы. В разделе «Требования к математической подготовке учащихся» говорится: «Учащиеся должны уметь проводить простейшие измерения и построения при помощи подходящих инструментов» (цитир. по программе «Математика». - М.: Просвещение, 1992), но нигде нет речи об организации изучения реальных измерений, тем более измерительных практикумов. Нет речи об этом и в пособиях по методике преподавания математики [88, 115, 150]. В «Образовательных стандартах петербургской школы» в разделе «Характеристика образовательной области» выделены технические умения, которыми должны овладеть школьники. Умение выполнять измерения там не упоминаются вовсе [83, стр. 6]. В образовательных результатах обучения [164, стр. 114] сказано: «В результате изучения курса математики все учащиеся должны овладеть следующими умениями, представляющими образовательный минимум:
Методика первоначального знакомства школьников пятых классов с приближенными вычислениями при изучении темы «Округление натуральных чисел»
Хороший и по-настоящему содержательный повод говорить с учениками о приближенном характере реальных числовых данных возникает еще на этапе изучения натуральных чисел в теме «Округление натуральных чисел». В этом плане наиболее удобен (хотя возможно использование учебников Дорофеева, Шеврина и пр.) учебник авторов Нурка и Тельгмаа, так как эта тема поставлена авторами в самое начало учебника [122, стр. 13]. Мы выбираем этот учебник, так как в учебниках [21, 44] тема «Округление натуральных чисел» не выделяется как самостоятельная и рассматривается одновременно с изучением округления десятичных дробей. Таким образом, знакомство с округлением откладывается почти до конца III учебной четверти. На изучение темы отводится всего 2 часа учебного времени. Несколько необычно, с большей, по сравнению с традиционными учебниками, опорой на интуицию тема «Округление » рассматривается в учебнике Шеврина Л.Н. и др. [178]. В этом учебнике есть параграф «Десятичные дроби в практических вычислениях», которая изучается в течение 9 уроков. Здесь рассматривается и понятие «приближенное значение числа» и округление натуральных чисел и десятичных дробей, причем 1 урок отводится для выработки навыка округления на основе интуиции и наглядных представлений, и только на следующем уроке учащиеся знакомятся с формальными правилами. К сожалению, несмотря на то, что учебник получил премию на Всесоюзном конкурсе учебников математики для средней общеобразовательной школы, он не нашел широкого распространения в практике преподавания.
Дадим краткий методический анализ учебника [122] по интересующей нас линии «Приближённое значение числа, приближенные вычисления». Строго говоря, большого смысла в подобном анализе этого или другого учебника нет, так как всякий учебник, даже написанный под определенную программу, явление, до некоторой степени, случайное. Тем не менее, на примере одного учебника можно показать некоторые общие черты, характерные для всех учебников, написанных в идеологии точной математики, и авторы которых уделяют внимание приближенным вычислениям только в той степени, которая позволяет говорить о формальном соответствии требованиям программы. Учебник [122] в части приближенных вычислений написан именно так, причем в смысле нашей проблематики он может быть даже один из лучших.
Разъясняющий и вводящий новое понятие текст учебника настолько короткий, что мы позволим себе довольно подробное цитирование 1.3 «Округление натуральных чисел».
«Предположим, например, что в день переписи населения число жителей города равнялось 57328 человек. Но число людей в городе постоянно изменяется (приезд, отъезд, рождение, смерть). Значит, полученное число уже вскоре станет неверным. В нем определенно изменяются цифры разрядов единиц и десятков, а возможно, и сотен. Поэтому можно сказать, что в городе живет приблизительно 57000 человек.
Мы заменили нулями цифры единиц, десятков и сотен. В таких случаях говорят, что мы округлили число до тысяч» [122, стр. 14]. Далее дается правило формального округления по критерию близости к соответствующему «круглому» числу, приводятся два примера на применение правила вне какого-либо содержательного контекста, вводится понятие и знак приближенного равенства. В заключение параграфа приводится пример содержательного использования округления чисел для «прикидки» - грубо приближенной оценки результата умножения чисел 682 и 51. В чем же мы здесь усматриваем следование идеологии чистой, точной математики?
Чтобы мотивировать введение понятия округления, взята, на первый взгляд, совершенно реальная ситуация, однако сделано это в классическом стиле точной школьной математики. Такие объекты как город, население, перепись и все остальное всего лишь делают ситуацию образной, но не реальной в изложении авторов. Хотя «действующие лица» и носят имена реальных «героев», но все же они в точном математическом смысле идеальные:
-перепись в городе с населением более 50 000 человек проведена за один день - очень сомнительно, что это возможно;
-формально точное число жителей, получаемое суммированием всех данных по листам переписи, выдается за число, которое абсолютно точно выражает число жителей на день переписи - очевидно, что получить такое число невозможно, скорее всего, следует считать, что такое понятие, как точное число жителей города не существует. Его можно с какими-то целями формально определить, правда, трудно придумать, зачем оно могло бы понадобиться. На предварительном этапе нашего исследования мы задали детям вопрос о том, как они понимают и представляют себе «день переписи населения» в довольно большом городе.
Методика проведения, содержание и результаты констатирующего эксперимента
Наиболее сложным, длительным и масштабным по числу привлеченных учителей и учащихся был этап констатирующего эксперимента. Его основной целью являлась корректная постановка задачи исследования. Для этого различными формами экспериментальной работы было охвачено более 20 классов учащихся от 5 до 11 класса, несколько групп студентов математического факультета РГПУ имени А.И. Герцена и группа учителей, работающих в 5-9 классах, на курсах повышения квалификации учителей математики на базе СПб ГУПМ. Эта часть работы была необходима для выявления сформированности вычислительной культуры в ее сущностном понимании у школьников, студентов (будущих учителей) и профессиональных учителей математики. Необходимо было выяснить, на каком этапе обучения можно ставить вопрос о целенаправленном формировании вычислительной культуры, насколько доступен соответствующий задачный материал для учеников различных классов, на какие элементы профессиональной подготовки учителя можно опереться и в чем проявляются недостатки профессиональной подготовки учителей в контексте проблемы формирования вычислительной культуры школьника.
Стремясь обеспечить широкую масштабность этого этапа эксперимента, мы привлекли к работе студентов старших (4-5 ых) курсов в период прохождения ими педагогической практики, трёх студентов-дипломников, пожелавших избрать темой дипломных работ вопросы, тесно связанные с проблемой нашего исследования, и учителей математики, работающих в школах, на базе которых в дальнейшем проводился обучающий эксперимент (№ 83, 518). Занятия со студентами по соответствующим спецкурсам и в группах учителей на курсах повышения квалификации проводил руководитель настоящего исследования, к.п.н., доцент И.Ф. Соколовский. Участие диссертанта в этой работе состояло:
1)в разработке программ, содержания и методики проведения различных форм занятий со всеми перечисленными категориями учащихся;
2) в личном проведении занятий с учащимися и студентами, в консультировании учителей и студентов-практикантов, участвовавших в проведении экспериментов;
3) в осуществлении наблюдения за ходом экспериментальных занятий, в обработке и анализе результатов, полученных в ходе экспериментального преподавания.
Как сказано в 1, способ получения информации через анкетирование учащихся оказался непродуктивным, так как давал преимущественно отрицательную информацию. Дальнейшая работа с учащимися позволила нам сделать вывод о том, что наиболее информативными для исследования и наиболее доступными и интересными для учащихся оказались занятия в форме беседы, фронтального обсуждения поставленных учителем вопросов и задач, в процессе рассмотрения которых предлагалось использование жизненного опыта школьников.
Со студентами занятия проводились в лекционной форме, в форме семинарских и практических занятий в рамках разработанного нами специального семинара. Кроме того, активное общение со студентами и обсуждение интересующих нас проблем происходило во время педагогической практики в процессе подготовки уроков, которые давались студентами-практикантами. Со слушателями курсов повышения квалификации учителей занятия проводились в форме профессионального обсуждения методических проблем, связанных с формированием вычислительной культуры школьников. С каждым из учителей, принимавшим участие в преподавании на этапе констатирующего эксперимента, проводилось подробное обсуждение содержания и методики организации отдельных уроков или фрагментов уроков.
Содержание занятий со всеми категориями учащихся строилось вокруг обсуждения следующих проблем:
1. Способы и источники получения реальных числовых данных.
2. Особенности вычислений с реальными числовыми данными.
3. Связь числа и качества.
Не останавливаясь на детальном анализе отдельных занятий с различными группами учащихся, сформулируем общие выводы:
1. Формально все, от учеников пятых классов до учителей, знают, что основной источник получения числа - это либо счет, либо измерения реальных величин. Но эти знания именно формальны, так как, за редким исключением, и ученики школы, и студенты, и учителя:
а) не могут привести достаточного числа примеров качественной постановки проблемы, которая бы приводила к необходимости выполнить реальные измерения;
б) формально зная, что всякое реальное измерение - приближенное, не могут в конкретных обстоятельствах назвать разумную погрешность измерения;
в) не осознают, что измерение любой непрерывной величины -приближенное по существу.
2. В контексте урока математики все числовые данные без специального предупреждения воспринимаются как абсолютно точные. И без специального указания на применение правил приближенных вычислений ни одна из задач, даже построенная на реальных объектах, не решается как задача с приближенными числовыми данными.
3. Ни учителя, ни ученики не имеют привычки делать качественные выводы по результатам вычислительных задач.
