Содержание к диссертации
Введение
Глава I. НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ ПРИ АКСИОМАТИЧЕСКОМ ПОСТРОЕНИИ КУРСА Ю
I. Роль и значение аксиоматического метода в математике 10
2. Характеристика систем аксиоматического построения школьных курсов геометрии 38
3. Педагогические условия успешного осуществления аксиоматического введения в курс геометрии восьмилетней школы 90
Глава II.. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ РАЗДЕЛОВ АКСИОМАТИЧЕСКОГО КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ 124
4. Организация изучения аксиом и определений 124
5. Обучение доказательству геометрических утверждений 141
6. Педагогический эксперимент 171
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 191
- Роль и значение аксиоматического метода в математике
- Организация изучения аксиом и определений
- Обучение доказательству геометрических утверждений
Введение к работе
В ходе последней реформы математического образования курс математики был подвергнут значительной перестройке. Это было вызвано прежде всего тем, что особенности современного развития нашего общества требовали, чтобы школа давала своим ученикам знания соответствующие новейшим достижениям науки и техники. "Человек, имеющий полное среднее образование, не был знаком с величайшими достижениями науки XX в., не шел представления об изменении роли математики в современном мире, что не давало возможности модернизировать и другие курсы - физики, химии, биологии" (22).
"Реализация столь продвинутой реформы не могла обойтись без определенных издержек, большинство из которых были выявлены в течение ряда последних лет" (117).
Важные общие вопросы, вытекающие из анализа итогов перехода школы на новое содержание преподавания, были поставлены на обсуждение в статье академиков В.С.Владимирова, Л.С.Нонтрягина, А.Н.Тихонова (24), в последующих статьях академиков Л.В.Канторовича и С.Л, Соболева (47), академика АПН СССР А.И.Маркушевича (67). Проблемы преподавания математики стали предметом заинтересованного обсуждения в печати. Так в известной статье академика Л.С.Понтрягина (94) на страницах журнала "Коммунист" указывалось, что в ряде школьных учебников математики искажены правильные представления о природе математических знаний и предмете математики, устанавливаются неправильные соотношения теоретических и практических аспектов, формальных и содержательных подходов. Неоправданное преувеличение роли и места теоретико-множественного подхода привело к чрезмерной общности рассмотрений, существенно перегрузило учебники и сделало их трудными для понимания и усвоения.
Особенно сложное положение сложилось с преподаванием геометрии. Как известно, в учебных пособиях (58) и (54) по геометрии была реализована теоретическая концепция построения курса на основе геометрических преобразований. Однако она не получила адекватного методического воплощения: по мнению общественности, учебники оказались чрезмерно сложными и мало доступными для учащихся массовой школы. Особенно большую критику вызвал начальный этап изучения геометрии, связанный с изучением аксиом, определений и доказательством первых теорем.
Поэтому все чаще и чаще стали высказываться мнения о возвращении к традиционной системе преподавания геометрии, реализованной на более высоком научном уровне.
Это вполне соотносится с требованиями к школьным учебникам, выдвинутыми в ходе реформы общеобразовательной и профессиональной школы. Выступая на апрельском (1984 г.) Пленуме ЦК КПСС, Генеральный секретарь ЦК КПСС, Председатель Президиума Верховного Совета К.У.Черненко сказал: "Сегодня весь учебный процесс должен в гораздо большей мере стать носителем мировоззренческого содержания. Разгружая учебные программы, создавая новые, толковые учебники, нельзя облегчать их идейно, снижать научный уровень преподавания" (2, с.7).
Одним из таких пособий по геометрии, написанных еще при переходе на новое содержание преподавания, стало учебное пособие "Геометрия 6-Ю" академика Л.В. Погорелова (90).
а) учебное пособие А.В.Погорелова реализует традиционную схему построения школьного курса геометрии, когда в основу изложения положены свойства равенства для простейших фигур (отрез - 5 ков, углов, треугольников). Основным аппаратом доказательства является использование признаков равенства треугольников;
б) в то же время оно написано на высоком научном уровне и впервые основная линия школьной геометрии здесь выстроена строго дедуктивно на основе весьма экономной системы естественных аксиом;
в) пособие А.В. Погорелова обладает и интересными педагоги ческими особенностями (например, оно написано в соответствие с концепцией краткого учебника, содержит в себе оригинальную систему вопросов для повторения и др.).
Начиная с 1979-1980 учебного года проводилась экспериментальная проверка этого пособия, в которой диссертант принимал непосредственное участие. Одной из целей эксперимента на завершающем его этапе явилась разработка методического обеспечения учебного процесса в массовой школе при преподавании по пособию А.В. Погорелова. С этой целью при активном участии автора диссертации проводились исследования математических и педагогических особенностей пособия, разрабатывалась и внедрялась методика обучения.
Особенно это относилось к начальному этапу изучения систематического курса геометрии, строящегося на аксиоматической основе - этапу введения аксиом, основных понятий и разворачиванию на их основе курса, до получения основного аппарата доказательств. Процесс осуществления этого этапа назван нами аксиоматическим введе-нием.
Общеизвестно, какими трудностями сопряжено начало изучения систематического курса геометрии восьмилетней школы.
Этому вопросу посвящены многие исследования. Однако, часть этих исследований (например, Г.А.Буткина (21), С.А.Кузьминой (63), Е.Ф. Даниловой (37), Т.Я. Нестеренко (78), В.С.Пономарева (93) и др.) относится к методике обучения по учебникам А.П.Киселева или Н.Н.Никитина. В указанных учебниках, как известно, хотя и представлен систематический курс геометрии для школы, но он не строится на аксиоматической основе. Поэтому и методика, представленная в этих исследованиях не адекватна учебникам, написанным на аксиоматической основе.
Другая часть исследований (например, А.М.Абрамова (5), С.Г.Губы (35), В.М.Давода (36), Н.А.Копытова (62), З.П.Мотовой (77), З И.Новосельцевой (87), Г.И.Саранцева (106) и др.) посвящена методике работы по пособию под редакцией А.Н.Колмогорова. Понятно, что методика изучения геометрии, когда основной стержень изложения различен, должна быть различной.
Кроме того, этот этап в пособии А.В. Погорелова не имеет аналогов в методической литературе. Более того имеются высказанные авторитетными лицами возражения против построения школьного курса геометрии на аксиоматической основе, начиная с УІ класса.
Поэтому задача разработки эффективной методики аксиоматического введения выходит на первый план в методике обучения геометрии по пособию А.В. Погорелова.
Этим и обуславливается актуальность темы нашего исследования.
Проблема исследования состояла в выявлении и обосновании педагогических условий успешного осуществления процесса введения аксиом, понятия; доказательства первых теорем; а также в создании и обосновании методики аксиоматического введения, адекватной выявленным педагогическим условиям.
Решение поставленной проблемы потребовало рассмотрения ряда частных задач:
- Определить роль и значение этапа аксиоматического введения при обучении геометрии в восьмилетней школе.
- Выявить и обосновать педагогические условия успешного осуществления аксиоматического введения.
- Разработать методику изучения аксиом и определений при осуществлении аксиоматического введения.
- Разработать методику обучения доказательствам при аксиоматическом введении.
Для решения поставленной проблемы использовались следующие методы исследования:
- изучение трудов классиков марксизма-ленинизма, материалов партийных съездов, директивных документов партии и правительства о школе;
- анализ психолого-педагогической, методической и математи-ческой литературы по проблеме исследования;
- анализ программ, действующих и пробных учебных пособий по геометрии;
- анализ личного опыта преподавания в качестве учителя математики средней школы (12 лет) и его обобщение с целью более глубокого раскрытия исследуемой проблемы;
- изучение и анализ практики преподавания учителей по учебному пособию А.В.Погорелова;
- проведение педагогического эксперимента по разработанной методике.
Экспериментальной базой исследования послужили школы г.Харькова и Харьковской области, участвующие в экспериментальной проверке учебного пособия А.В.Погорелова.
Общая цель диссертационного исследования заключалась в раз - 8 работке эффективной методики обучения начальным разделам систематического курса геометрии, построенного на аксиоматической основе. Эта методика должна быть непосредственно применима к организации обучения по пособию А.В.Погорелова.
Научная новизна исследования состоит в том, что на основе анализа и обобщения целей обучения геометрии определены педагогические условия успешного осуществления аксиоматического введения в систематический курс геометрии восьмилетней школы. Впервые разработаны методика аксиоматического введения (рекомендации по организации изучения аксиом и определений и обучению доказательствам на начальном этапе обучения геометрии) и методическое обеспечение аксиоматического введения (системы вспомогательных задач, средств обучения).
Теоретическая ценность исследования заключается в том, что в нем предложено последовательное раскрытие целевых установок осуществления аксиоматического введения в ходе обучения геометрии и определены педагогические условия успешного осуществления этого процесса Практическая значимость заключается в том, -что в исследовании предложена методика, обеспечивающая эффективное осуществление этапа аксиоматического введения в геометрии при обучении по действующему учебному пособию А.В.Погорелова. Эта методика внедрена при непосредственном участии диссертанта в практику преподавания геометрии в школах страны через систему методических пособий и статей.
Апробация и публикация результатов исследования осуществлялись в виде докладов и обсуждений на различных семинарах и конференциях: на заседаниях комиссии по экспериментальной проверке учебного пособия А.В.Погорелова при Харьковском ИУУ, членом ко - 9 торой являлся диссертант (1979-1982 гг.), на Совете Харьковского ИУУ (1979-1983 гг.), на Всесоюзном совещании-семинаре "О мерах по улучшению преподавания математики в 1981/82 и последующие годы" (г. Харьков, 1981 г.), на республиканском совещании-семинаре методистов Украины (г.Сумы, 1982 г.), на семинарах-практикумах и курсах повышения квалификации учителей при Харьковском ИУУ (1979-1984 гг.), на заседаниях лабораторий прикладной математики и обучения математике НИИ СиМО АПН СССР (1979-1984 гг.).
Экспериментальные материалы исследования были представлены на заседаниях, посвященных экспериментальной проверке учебного пособия А.В.Погорелова в МП СССР, Президиуме АПН СССР.
Предварительные и окончательные результаты исследования нашли отражение при подготовке методического обеспечения преподавания геометрии по пособию А.В.Погорелова; отражены в ряде методических писем (82), (83) МП СССР и (114) МП УССР, научных отчетах по итогам экспериментальной проверки учебного пособия А.В.Погорелова, подготовленных Харьковским ИУУ, НИИ педагогики УССР, НИИ СиМО АПН СССР.
Основные положения и результаты исследования представлены в 6 публикациях.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.
Роль и значение аксиоматического метода в математике
Важной особенностью современной математики является возросшая роль аксиоматического метода. Применение аксиоматического метода привела, с одной стороны, к широкой математизации науки и техники, с другой - открыло пути к установлению новых связей между различными и, казалось бы далекими на первый взгляд друг от друга разделами самой математики.
Как известно, сущность этого метода заключается в следующем: Аксиоматический метод, способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) - аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны вводиться чисто логическим путем, посредством доказательств. Назначение аксиоматического метода состоит в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Построение науки на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введенные понятия (7, с.345 ).
В процессе развития аксиоматического метода выделяются (см., например, (75/3.245) три основных периода:
I)период содержательной аксиоматизации;
2)период полуформальной аксиоматизации;
3)период формальной, или формализованной аксиоматизации.
Поэтому можно говорить о содержательных, полуформальных или формализованных системах аксиом теорий.
Как отмечает В.Н.Молодший (75.С.245), каждая следующая форма аксиоматизации являлась не отрицанием предшествующей, а была ее обобщением как по существу, так и по действенности в приложениях.
В наше время аксиоматическое построение большинства научных теорий в математике, естествознании и технике - осуществляется по принципам полуформальной и содержательной аксиоматизации. Формализованные системы аксиом разработаны для теорий, относящихся преимущественно к основаниям математики. Так, например, формализованные системы аксиом имеют ряд разделов математической логики, формализованы аксиоматики теории множеств, арифметики натуральных и действительных чисел.
Остановимся кратко на характеристике каждого из периодов развития аксиоматического метода.
Первый период в развитии аксиоматического метода связан с построением геометрии в Древней Греции. Открытие этого метода обычно приписывают Пифагору (УІ в. до н.э.).
Следует отметить, что для развития содержательного аксиоматического метода существенное значение также имели работы Зенова Элейского, Архита, Теэтета, Евдокса, Аристотеля и частично Платона. Разработанные уже в античном мире первые представления об аксиоматическом методе явилось ответом на вопрос о принципах построения научного знания. В результате исследований древнегреческих математиков и философов было установлено, что в состав науки входят предложения различной природы: эмпирические констатации фактов, теоретические конструкции, законы разной степени общности и т.д.
Отдельно взятое предложение из научной системы не может яв - 12 ляться научным знанием, простая сумма предложений также не является научным знанием. Научное знание - это определенным образом организованная целостность, все элементы которой связаны между собой и в которой последующие предложения опираются на предыдущие, доказываются с их помощью.
Вот такое общее понимание строения научного знания было уже хорошо известно ученым и философам Древней Греции. Они пытались дать систематическое построение определенных разделов науки (геометрии, логики и т.д.). Эти попытки и выдвинули первые представления об аксиоматическом методе.
Организация изучения аксиом и определений
Как мы уже отмечали, при осуществлении аксиоматического введения в геометрию все аксиомы, как правило, должны вводиться слитно в самом начале курса. Так, например, в учебном пособии А.В.Погорелова все аксиомы (основные свойства простейших геометрических фигур) вводягся в I, когорый и называется поэтому "Основные свойсгва простейших геометрических фигур". Основными задачами при изучении этого параграфа как раз и являются задачи усвоения терминологии курса и полного понимания содержания аксиом.
Известно, что изучение любых математических предложений можно, конечно, условно подразделить на три этапа: введение, обеспечение усвоения и закрепление (см, например, (34)).
На этапе введения на уроке создается такая ситуация, когда учащиеся подготавливаются к пониманию содержания аксиомы. После чего либо выслушивают ее формулировку в готовом виде, либо самостоятельно формулируют аксиому.
Этап усвоения содержания аксиомы сводится к обеспечению того, чтобы учащиеся запомнили формулировку аксиомы и понимали каждое слово в этой формулировке, научились применять аксиому к решению простейших задач.
Этап закрепления аксиом сводится, в основном, к повторению их формулировок и отработке навыков применения к решению задач.
В этом параграфе мы остановимся только на первых двух этапах изучения аксиом, так как этап закрепления предполагает решениє, в основном, задач на доказательство, а обучение учащихся доказательствам будет рассмотрено нами в отдельном параграфе.
В настоящем параграфе, по мере изучения аксиом, мы рассмотрим и вопрос формирования понятий, которые вводятся в начале курса, в частности, в пособии А.В.Погорелова при изучении параграфа "Основные свойства простейших геометрических фигур".
Формирование понятий можно также условно разбить на такие же три этапа, как и изучение аксиом.
Исходя из сказанного в предыдущем параграфе, можно сделать выводы: I) введение понятий должно осуществляться, в большинстве случаев, с помощью конструктивных определений; 2) усвоение определений понятий должно осуществляться в ходе усвоения содержания аксиом, теорем и решения задач; 3) закрепление определений понятий должно осуществляться в ходе решения задач.
Мы уже отмечали, что, формулируя определение, аксиому (георему) , мы должны следить за тем, чтобы каждое слово в этой формулировке было понятно учащимся. Это означает, что точный логический смысл употребляемых выражений должен быть доведен до сознания учащихся.
Поэтому методику изучения аксиом и определений мы будем строить так, чтобы, с одной стороны, учитывать и использовать положительное влияние предшествующего опыта учащихся, с другой стороны, нейтрализовать отрицательное влияние опыта учащихся на их усвоение. Если в формулировке аксиомы или определения есть обороты речи или термины, не знакомые учащимся (или в которые при обыденной речи они вкладывали другой смысл), го значения этих слов должны быть разъяснены учащимся на доступном уровне, чаще всего до их использования.
Причем, весь смысл работы с терминами должен заключаться не столько в том, чтобы учащиеся с ними ознакомились, а сколько в том, чтобы ученики были подготовлены к правильному применению этих терминов.
Мы уже писали о значении разграничения текущих и итоговых требований к изучаемому материалу.
Так, при изучении аксиом целесообразно с самого начала требовать от учащихся точное воспроизведение их формулировок. Это, во-первых, будет постепенно приучать учащихся четко и лаконично выражать свои мысли; во-вторых, позволит лучше использовать ссылки на содержание аксиом при решении первых задач. В дальнейшем, при изучении курса геометрии, когда содержание аксиом уже усвоено, можно допускать, ссылаясь на аксиому (на ее содержание),формулировать ее своими словами (конечно, не искажая ее смысла).
Обучение доказательству геометрических утверждений
Понятие "доказательство" и связанные с ним понятия (аксиома, георема, определение и др.) целесообразно вводить только тогда, когда у учащихся уже фактически накоплен определенный опыт аргументированных рассуждений и оперирования с этими понятиями (они просто характеризовались другими терминами). То есть, когда для введения этих понятий создана определенная основа.
Так, например, в учебном пособии А.В.Погорелова, в основном, все понятия, используемые при доказательствах, вводятся в конце I (п. Аксиомы, теоремы и доказательства). Исключение составляют понятия "доказательство от противного" и "георема обратная данной", которые вводятся позже.
Фрагмент урока, на котором вводятся понятия "доказательство", аксиома", "теорема", "определение" приведен в Приложении 2, с.252.
Как мы уже отмечали выше, цель сформировать представление о логическом построении курса геометрии к этому моменту (и на этом уроке) не ставится. Все новые понятия, которым на этом уроке было дано разъяснение, будут формироваться постепенно в течение изучения курса геометрии.
Опишем фрагмент урока, на котором вводится понятие "теорема обратная данной". Это делается непосредственно после изучения свойства равнобедренного треугольника. На уроке знакомство с понятием теоремы, обратной данной, можно осуществить, используя таблицу (табл.5) (см.Приложение 2), заготовленную на доске. В таблице слева записаны номера теорем. Учащимся предлагается сначала сформулировать теорему, используя учебное пособие, записать в таблицу ее условие и заключение. Затем учащимся предлагается для каждой из теорем попытаться сформулировать новое утверждение гак, чтобы условие я заключение данной теоремы поменялись местами. Вводится понятие георемы обратной данной, делается вывод о том, как составляется теорема, обратная данной. В таблице появляются иллюстрирующие вывод стрелки.
Для усвоения понятия "теорема обратная данной" на этом уроке можно решить & 14 3 из пособия (90) и задачу: Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи: "Если от точки А на луче АВ отложить отрезок АС, меньший отрезка АВ, то точка С будет лежать между точками А и В".
Надо иметь ввиду, что дальнейшее усвоение этого понятия будет происходить при последующем изучении курса геометрии.
Работа над готовыми синтетическими доказательствами
Как мы уже отмечали, готовые доказательства занимают значительное место при изучений аксиоматического введения. Они служат моделями, на которых учащиеся обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать. На готовых доказательствах учащиеся учатся применять различные методы доказательств, самостоятельно искать доказательства по аналогии с изученными (в простейших случаях). Строя свою методику работы над готовыми доказательствами, мы исходили из четырех главных моментов в этой работе, о которых шла речь выше (см, с.109 ).
Мы уже также говорили о том, что перед рассмотрением доказательств некоторых теорем их можно "открыть". Эти "открытия" нужны для выработки потребности в необходимости доказательств. Они являются исходным моментом для выявления возможного свойства или возможной зависимости. Однако, это вовсе не означает, что каждую георему необходимо "открывать". Очевидные факты, видные из чертежа, вовсе не нуждаются в "открытии". Нужно помнить, что главным все-таки в выработке потребности в доказательствах, особенно на начальной стадии обучения, является выполнение лозунга: "Доказывать все!" Заметив очевидное свойство фигуры и доказав его, ученик будет все больше верить в силу и важность доказательств.
