Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы формирования математических представлений у учащихся общеобразовательной школы. 21
1. Образное мышление и его роль в процессе познания окружающей действительности. 21
2. Содержание понятия «представление». 27
3. Роль и место представлений в познавательной деятельности. 32
4. Формирование математических представлений. 40
5. Содержание понятия «тригонометрические представления». 54
Глава 2. Методика формирования тригонометрических представлений у учащихся в курсе геометрии основной школы. 78
1. Анализ изложения тригонометрического содержания в курсе геометрии . 78
2. Требования к материалу учебника, необходимые для формирования тригонометрических представлений. 88
3. Понятие обучающей системы заданий в тестовой форме. 96
4. Методическое обеспечение учебника, как одно из средств формирования тригонометрических представлений. 104
5. Педагогический эксперимент и его результаты. 123
Заключение 147
Список литературы
- Образное мышление и его роль в процессе познания окружающей действительности.
- Роль и место представлений в познавательной деятельности.
- Анализ изложения тригонометрического содержания в курсе геометрии
Введение к работе
Рассмотрение проведенных в нашей стране реформ в сфере образования показывает, что эта сфера зависит от изменений в социально-экономической и политической жизни, которые закономерно приводят к изменениям и в системе образования. Все проведенные реформы в системе образования были обусловлены потребностями общества. Каждая реформа являлась логическим следствием изменений, происходивших в общественном сознании.
Ю.М. Колягин отмечал следующее: «Так, размышляя над вехами, определяющими ключевые моменты истории России, ... обнаруживаешь определенные закономерности, влияние которых оказывается решающим на соответствующем этапе развития средней и высшей школы России» [92, с.З].
Вообще образование является специфическим механизмом, работающим с молодежью и определяющим, какой будет эта молодежь, что она будет знать, уметь, какой системой ценностей обладать.
Приведем мнение Р.С. Черкасова: «...планы развития школьного математического образования должны быть нацелены не на констатацию того, что уже вошло в содержание предмета, а на раскрытие тех новых требований, которые предъявит школе общество ближайшего будущего» [203, с. 90].
Поэтому, с одной стороны, образование должно быть направлено на будущее, должно предугадывать тенденции и специфику запросов будущего, должно отвечать потребностям будущего. С другой же стороны - в нем как в зеркале должны отражаться все достижения настоящего, оно должно быть неразрывно связано с настоящим, то есть оно должно быть живым организмом, чутко реагирующим на реальную действительность.
Так Э.Д. Днепров отмечал следующее: «...образование - не только ведущий фактор развития человека и человеческих ресурсов, но и
v решающий фактор развития общества, проводящий радикальное реформирование во всех сферах жизни» [73, с. 43].
Рассматривая проведенные в нашей стране реформы математического образования, можно сделать вывод о жесткой связи потребностей общества с изучением математики. Каждая реформа являлась логическим следствием изменений, происходящих в общественном сознании.
В данный момент снова происходит реформирование системы образования вообще и математического образования в частности.
Отметим, что представления о математическом образовании изменились в сторону гуманизации и гуманитаризации образования.
Так еще в 2000 году был разработан проект концепции структуры и содержания общего среднего образования (в 12-летней школе).
В этом проекте гуманизация образования проявилась в том, что в концепции были выделены профили обучения математике, разные по содержанию материала для учеников с разными способностями.
Также в проекте концепции отмечалось, что общеобразовательный курс «...не ставит в качестве задачи обеспечение учащимся возможности продолжения образования в высшем учебном заведении, по специальности, связанной с математикой, и, в частности, не обеспечивает подготовки учащихся к вступительным экзаменам по математике» [94, с. 17]. Что же касается основы «...кадрового потенциала, обеспечивающего научный, технический технологический и социальный прогресс российского общества...», то ее составят «...учащиеся профилей общенаучного и математического направлений...» [94, с. 18].
Гуманитарная составляющая образования проявилась в том, что главный упор при изучении математики делался не только на непосредственное обучение математике, а также и на формирование личности с помощью математики. Так в концепции основная цель общего образования в рамках реформы была сформулирована следующим образом: «формирование разносторонне развитой, творческой личности, способной реализовать творческий потенциал в динамичных социально-экономических условиях как в собственных жизненных интересах, так и в интересах общества» [95, с. 8]. В концепции подчеркивалось, что достижению этой цели в математике должны служить две основные функции:
- образование с помощью математики;
- собственно математическое образование.
Концепция предусматривала, что доминирующей предполагается сделать именно первую функцию [94, с. 14].
В данный момент реформирование системы математического образования нашло отражение в стандарте основного общего и полного общего образования по математике [179, 180, с. 4 - 16].
Отметим, что стандарт математического образования продолжает традиции начавшихся ранее попыток реформирования системы математического образования, - в нем акцентируются идеи гуманизации и гуманитаризации. Более того, следует отметить, что эти идеи окончательно оформились и стали более конкретными.
Гуманизация образования учитывает и признает, что каждый ученик индивидуален, у каждого ученика разные возможности и способности, в частности, способности к математике у всех учеников различны. Поэтому, гуманизация математического образования должна проявляться в том, чтобы каждый ученик был обучен математике, но обучение математике должно осуществляться на выбранном учеником уровне.
Так в современном стандарте выделены два возможных курса, по которым может обучаться математике учащийся на старшей ступени обучения - это базовый курс и профильный курс. В стандарте разработаны обязательные минимумы содержания образовательных программ, а также требования к уровню подготовки выпускников для перечисленных выше курсов.
Что касается гуманитаризации современного математического образования, то можно заметить, что нынешнее реформирование в области математики делает упор не столько на сугубо математические знания, сколько на общекультурную составляющую этих знаний.
Поэтому в стандарте образования по математике выделяются не только цели обучения математике как таковой - «овладение системой математических знаний и умений для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования» [179, с. 4], но и общекультурные цели - «формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средствах моделирования явлений и процессов...» [179, с. 9]; «интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе..., воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры...» [179, с. 4].
Действительно, анализируя стандарт, можно сделать вывод о доминирующей роли именно образования с помощью математики, а не собственно математического образования. Напомним, что данная идея уже высказывалась при обсуждении проекта концепции математического образования (в 12-летней школе).
Необходимость реформирования образования с учетом воплощения в систему образования идей гуманизации и гуманитаризации неоднократно рассматривалась рядом авторов.
Так В.П. Лежников отмечал следующее: гуманизация «...становится новой, безальтернативной парадигмой образования, его реформирования и прогресса». «Главная функция гуманизации, которая имплицитно содержит и все иные, - развернуть перед учеником все возможное богатство его задатков и способностей, сориентировать субъекта обучения на саморегуляцию, а в идеале обеспечить исчерпывающее осуществление человеческого в человеке» [103, с. 14].
Г.И. Саранцев отмечал, что гуманитарная направленность должна привести к расширению содержания математического образования.
«Если ранее в него включали систему предметных знаний и способы деятельности, то в дальнейшем предполагалось приобщение школьника к творческой деятельности, что осуществлялось через включение в содержание образования различных эвристик и создание специальных условий для творчества ученика». В результате этого становилась «все более востребованной концепция укрупнения дидактических единиц, концепция преемственности образования, а также поиск интегративных методов, в частности способов интеграции алгебраических и геометрических методов» [166, с. 3].
Г.В. Дорофеев писал о том, что «гуманитаризация школьного математического образования предполагает, что для достижения своих целей общество берет на себя обязательство предоставить каждому человеку все возможности для получения математической подготовки, максимально соответствующей его индивидуальным интересам и склонностям, способностям и возможностям» [74, с. 3].
Идеи гуманизации и гуманитаризации образования изменили представление о том, что можно считать математической образованностью. Так, если следовать идеям, заложенным в нынешней реформе, то под математической образованностью можно понимать набор общекультурных сведений, неких представлений о математических разделах и о роли математики в современной жизни, о ее прикладной направленности. (Естественно, что для учащихся, углубленно занимающихся математикой, к перечисленным выше факторам математической образованности можно отнести и глубокое овладение специфическими математическими навыками и умениями). Отметим также, что повсеместное использование компьютерных технологий, тенденция все более широкого проникновения математики в различные сферы нашей жизни привели к меньшей потребности общества в профессиях, связанных с детальным, глубоким знанием математики.
А.И. Новиков отмечал, что «социально-экономическая ситуация в стране за последние десять лет изменилась кардинальным образом. Радикально изменился и вектор запросов со стороны общества к системе образования. На первый план в системе предпочтений выдвинулись гуманитарные компоненты образования, а спрос на специалистов технических специальностей существенно снизился. Все это создает объективные предпосылки для реформирования системы образования» [123, с. 2].
Также можно отметить, что в данное время все большее число профессий нуждается в определенных представлениях о том, как математически описать тот или иной процесс, представлениях о том, какие возможности дает математика. «За последние 300 - 400 лет математика превратилась из весьма узкой области в широко разветвленную систему и из науки, в которой медленно происходило развитие прикладных аспектов, - в науку с широчайшей областью практических применений» [59, с. 53].
Таким образом, процесс реформирования приведет к неизбежной перестройке изучения некоторых вопросов и разделов школьной математики, а также к включению в современный школьный курс тем, которые будут полезны большинству специалистов гуманитарных специальностей.
Это должно привести к изменению самого изучения математики: оно должно стать осознанным, лишенным формализма, должно осуществляться без бездумного натаскивания и зубрежки. Поэтому мы считаем, что для эффективного преподавания в условиях гуманизации и гуманитаризации можно некоторые моменты той или иной темы рассматривать на уровне представлений об изучаемом понятии или объекте. Можно также говорить о создании представлений о той или иной отрасли математики, представлений об общеобразовательных функциях курса, в частности, представлений об определенных математических объектах.
Формирование стойких представлений, неких образов, основных знаний, связанных с изучением темы поможет отказаться от формального изложения материала.
Н.Х. Розов писал по этому поводу следующее: «В частности, пора спокойно обсудить предложение: отдельные разделы изучать на описательно-демонстрационном уровне, опуская формальные доказательства, добиваясь от учеников понимания сути без воспроизведения ими «строгих обоснований» и «логических рассуждений»» [156, с. 53].
Действительно, человек, напрямую не связанный с математикой, не обязан помнить некоторые формулы и даже целые темы, но у него должно быть представление об основных математических идеях и методах.
Развитие представлений у учащихся должно осуществляться по двум направлениям. Первое направление подразумевает развитие представлений о той или иной теме вообще, то есть выделение общеобразовательных функций курса, в частности, мировоззренческой функции, понимание вклада данной темы в формирование научных представлений. В рамках этого направления ученик должен четко представлять себе общекультурную ценность того или иного материала, то есть как та или иная тема соотносится с практическим применением, каково ее место в структуре всей математики, каково ее значение в структурах других наук.
Второе направление связано с формированием стойких представлений, неких образов, основных знаний, связанных с изучением этой темы. Тогда у учащегося, даже не связывающего свое дальнейшее образование с изучением математики, будут прочно усвоены основные фундаментальные моменты математических разделов, при этом вполне можно допустить забывание им материала собственно математического.
Так, например, учащийся может забыть, как решаются тригонометрические уравнения, но он должен иметь представления о тригонометрических функциях, как о функциях периодических, а также об области их приложения в реальной жизни. Итак, исходя из сказанного выше, можно сделать следующие выводы: ? математическое образование неразрывно связано с политическим, экономическим и социальным положением общества; оно отвечает запросам настоящего, является зеркалом, в котором отражается настоящее и, в то же время, оно определяет будущее; ? реформы, предпринимаемые в образовании, носят объективный характер; ? понятие математической грамотности и математической образованности трансформируется под влиянием времени; ? в настоящее время под математической образованностью можно понимать систему стойких представлений о математических понятиях, законах, объектах и вообще о месте математики в системе наук, связанных с познанием окружающего мира, некоторые из этих представлений будут чувственно-наглядными, другие - близки к знаниям и умениям, а третьи повысят у ученика его эрудицию. Для темы диссертационного исследования нами был выбран тригонометрический материал, изучаемый в курсе геометрии основной школы; в данном исследовании мы рассмотрели проблему формирования тригонометрических представлений (в дальнейшем ТП) у учащихся в курсе геометрии основной школы. Отметим, что проблема формирования ТП является частным случаем более общей проблемы - проблемы формирования геометрических и алгебраических представлений при изучении математики. В данном исследовании мы раскрыли содержание ТП, выделили уровни ТП, разработали методику формирования ТП. Несмотря на то, что изучение тригонометрического материала уже отражалось рядом авторов (см., например, диссертационные исследования А.К. Окунева, В.П. Лебедева, СП. Альбера, О.А. Кузьменко, труды по методике В.Г. Чичигина, И.К. Андропова, А.К. Окунева, В.В. Кошека, учебные пособия СИ. Новоселова, И.И. Смирнова, статьи Б.Г. Болгарского, В.Е. Семенова, А.П. Семенова и др.) надо отметить, что вышеназванные исследования не освещали интересующую нас проблему, в большинстве из них рассматриваются вопросы, связанные с методикой преподавания алгебраической тригонометрии; отметим также, что исследования, посвященные изучению тригонометрии в курсе геометрии не поднимают проблему формирования ТП. Выбор темы диссертационного исследования не является случайным и обусловлен следующими соображениями: • Подход к изучению тригонометрического материала изменился, как изменился подход к изучению всей математики вообще. При реализации принципов гуманизации и гуманитаризации надо создать условия изучения тригонометрического материала на уровне представлений, что, в свою очередь, обеспечит дифференциацию и поможет ученикам осознанно воспринять материал. • В данной диссертации рассмотрен вопрос изучения тригонометрического материала, рассматриваемого в курсе геометрии. Данный аспект является относительно мало исследованным, особенно, если вести речь о том, как в настоящем и в будущем будет осуществляться изучение тригонометрического материала. • Анализ проведенных исследований по проблеме изучения тригонометрического материала при изучении геометрии на сегодняшний день показал, что, во-первых, и учителя, и ученики отдают предпочтения тригонометрическому материалу, изложенному в курсе алгебры и начал анализа, а, во-вторых, уровень овладения тригонометрическим материалом в курсе геометрии существенно снизился. • В результате проведения реформы тригонометрический материал, который ранее изучался в курсе алгебры 9 класса, был перенесен в 10 класс, поэтому, на сегодняшний день, те учащиеся, которые не пожелали учиться в старшей школе, знакомятся с тригонометрией только в курсе геометрии основной школы. Это налагает еще большую ответственность на изучение первоначальных тригонометрических сведений в курсе геометрии и несомненно повышает роль тригонометрического материала, изложенного в геометрии. • Кроме того, отметим, что тригонометрический материал весьма интересен и специфичен, так как он находится на стыке геометрии и алгебры. Отметим также, что в тригонометрии учащиеся получают представление о периодических функциях. Изучение периодических функций еще более подчеркивает роль и значение математики в описании окружающего мира. Действительно, к моменту знакомства с тригонометрией, учащиеся понимают, что в природе существует достаточно много периодических процессов.
Именно раздел тригонометрии позволяет ввести в рассмотрение периодические функции - средство, позволяющее описывать периодические процессы, происходящие в окружающей нас реальности.
Следует также отметить, что дальнейшее изучение тригонометрии в курсе алгебры будет зависеть от того, насколько успешно был введен тригонометрический материал в курсе геометрии.
Следует осознать, что тригонометрия в геометрии и тригонометрия в алгебре не представляют собой отдельные дисциплины, никак не связанные, а являются единым блоком, изучение которого невозможно без получения первоначальных сведений о тригонометрии в курсе геометрии.
• Анализ существующих учебников геометрии показал, что изложение тригонометрического материала во многих из них таково, что с его помощью достаточно трудно сформировать у учащихся целостные ТП: материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, учащиеся не представляют себе весь спектр применения тригонометрического материала, дробление на отдельные темы приводит к тому, что тригонометрия изучается в течение нескольких лет.
Таким образом, необходимость изменений при обучении тригонометрии в курсе математики, в частности, в курсе геометрии, констатация неудовлетворительного освоения тригонометрического материала, потребность исследования факторов, способных изменить сложившуюся ситуацию, понимание того, что тригонометрия является базовой составляющей математического курса без знания которой невозможно решить целый ряд математических задач, а также недостаточность исследований в данной области и определили актуальность исследования.
Цель исследования: разработать методику изучения тригонометрического материала в курсе геометрии основной школы, направленную на создание у учащихся целостных ТП, ядром которой является обучающая система заданий в тестовой форме.
Развитие ТП мы осуществляли через систему заданий в тестовой форме. Выбор такой системы был не случаен, так как в настоящее время в нашей стране идет эксперимент, связанный с проведением единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике, часть которого (часть А) проводится в виде тестовых заданий.
Также отметим, что все больше высших учебных заведений предлагают абитуриентам вступительные испытания, основной частью которых являются задания в тестовой форме. Тестовая система проверки знаний и умений породила широкие дискуссии. К положительным сторонам этого явления можно отнести легкость проверки, отсутствие субъективности, широту охвата испытуемых, научение самоконтролю испытуемых.
Следует отметить, что у тестовой системы контроля есть и ряд недостатков: тесты все же не в полной мере могут оценить степень усвоения материала, замена тестированием вступительных экзаменов, с одной стороны, освобождает от субъективности, а, с другой, -обезличивает абитуриента, не позволяет понять стиль его мышления.
Так, A.M. Радьков указывал на следующее: «Даже хорошо составленный тест, который признан педагогами-практиками, не может в полной мере оценить определенные качественные характеристики личности. Человек многообразен, его психика представляет сложную функционально-динамическую систему. Оказываясь в роли испытуемого, определенный индивид в одном случае может показать все свои достоинства, а в другом - допустить ряд ошибок» [151, с. 23].
Отметим, что страны, активно использовавшие тестирование в качестве средства контроля, в настоящее время постепенно отходят от данной формы проверки.
Автор данного исследования видит будущее именно за использованием тестовых заданий в качестве обучающего средства. В этом случае тестовая система сохранит все свои достоинства и избавится от недостатков. Отметим, что данная проблема недостаточно разработана и нуждается в исследовании.
На данный момент обучающая система тестовых заданий по тригонометрии поможет школьникам адаптироваться к проверяющей системе, поможет выработать им определенную психологическую комфортность, научит их самоконтролю и умению оформлять ответы теста. Объект исследования: процесс обучения тригонометрическому материалу в курсе геометрии.
Предмет исследования: процесс формирования ТП у учащихся при изучении геометрии в основной школе.
Гипотеза исследования: если в процессе изучения тригонометрического материала в курсе геометрии использовать в качестве ключевого средства разработанную нами обучающую систему заданий в тестовой форме и соблюдать при обучении основные требования, предъявляемые к содержанию учебного материала и организации его изучения, а также учитывать выделенные нами уровни ТП, то это будет способствовать осознанному и качественному изучению тригонометрии.
Под осознанным и качественным изучением тригонометрии мы понимаем процесс обучения, осуществляемый с учетом идей личностно ориентированного обучения, при реализации которого не допускается формальной передачи знаний и схоластической отработки умений, то есть изучение тригонометрии должно опираться как на логическую, так и на образную составляющие мышления, при этом, учащимся должны быть предоставлены возможности для дифференциации, индивидуализации и рефлексии.
Задачи исследования:
1. Выполнить теоретический анализ психолого-педагогической, методической и философской литературы по проблеме исследования.
2. Выявить содержание и структуру понятия ТП, выделить возможные уровни их формирования у учащихся основной школы в курсе геометрии.
3. Разработать методику, направленную на изучение тригонометрического материала в аспекте идеи формирования ТП, ядром которой является обучающая система заданий в тестовой форме. 4. Разработать требования к обучающей системе заданий в тестовой форме, направленной на формирование ТП.
5. Апробировать созданную систему заданий, проверив экспериментально ее эффективность.
6. Провести экспериментальное исследование эффективности разработанной методики.
В качестве методологической основы исследования использовались идеи гуманизации и гуманитаризации образования, психологические теории процесса мышления, формирования приемов умственной деятельности, специфики образного мышления (Е.Н. Кабанова-Меллер, И.С. Якиманская, И.Я. Каплунович). Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: Теоретические - анализ психологической, педагогической, методической литературы, диссертаций по теме исследования, программ и проектов программ изучения математики в школе, учебных пособий и учебников по тригонометрии и геометрии. Экспериментальные - анкетирование учащихся и учителей, организация и проведение констатирующего и формирующего экспериментов, обработка данных, полученных в ходе эксперимента с использованием стохастических методов. Исследование проводилось в четыре этапа (с 2000 г по 2004 г). На первом этапе (2000 г - 2001 г) был произведен отбор, изучение и анализ литературы, касающейся темы исследования, была сформулирована гипотеза исследования, намечены пути ее подтверждения или опровержения. На втором этапе (2001 г - 2002 г) был проведен констатирующий этап эксперимента, который подтвердил одно из положений гипотезы о недостаточном усвоении тригонометрического материала. В это же время были выделены факторы, влияющие на сформированность ТП, были выделены уровни ТП, была начата работа над созданием обучающей системы заданий в тестовой форме, направленной на формирование ТП. На третьем этапе (2002 г - 2003 г) проводился поисковый эксперимент, была осуществлена пробная экспериментальная проверка созданной системы, учтены пожелания и критические замечания учителей, проводящих экспериментирование, в результате чего были произведены коррективы обучающей системы заданий в тестовой форме. На четвертом этапе (2003 г - 2004 г) был осуществлен преобразующий эксперимент, обработка полученных данных и проверка правильности сформулированной гипотезы. Научная новизна и теоретическая значимость исследования: а определено содержание и структура понятия «ТП»; а теоретически обоснована необходимость ориентации процесса обучения тригонометрии в курсе геометрии основной школы на формирование ТП; а выделены уровни ТП, которые могут быть сформированы у учащихся основной школы при изучении геометрии; а выделены критерии сформированное™ и критерии выявления ТП разных уровней; а установлен ряд условий, благоприятных для формирования ТП разных уровней при изучении тригонометрии в курсе геометрии; разработана методика формирования ТП, основой которой является система обучающих заданий в тестовой форме; а выделены требования, предъявляемые к обучающей системе заданий в тестовой форме. Практическая значимость исследования состоит в том, что мы выделили и экспериментально подтвердили наиболее оптимальное расположение теоретического материала в учебнике при изучении тригонометрии, создали систему заданий, направленную на формирование ТП, которая может применяться учителями в процессе изучения тригонометрии в курсе геометрии (кроме того, некоторые задания могут быть использованы и при изучении тригонометрии в курсе алгебры). Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечивается благодаря опоре на основные теоретические положения педагогики и методики, сочетанию теоретических и эмпирических методов исследования. Апробация и внедрение результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в школах № 23, № 8 (МПЛ), № 14 г. Пскова. Основные положения и результаты исследования докладывались и обсуждались на заседаниях и методологических семинарах кафедры алгебры и геометрии Псковского государственного педагогического университета и кафедры общих математических и естественнонаучных дисциплин Псковского филиала Санкт-Петербургского государственного университета сервиса и экономики, на семинарах для учителей, посвященных появлению учебников нового поколения, на втором Всероссийском геометрическом семинаре, проходившем в г. Пскове, выступление на котором было опубликовано в «Материалах второго Всероссийского семинара», на конференциях ИУУ. Основные положения диссертационного исследования обсуждались также на семинаре И.Я. Каплуновича (г. Новгород Великий) в 2004 году, на третьих Колмогоровских чтениях (г. Ярославль) в 2005 году. Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и 6 приложений. Основной текст диссертации составляет 149 страниц, в том числе, в диссертации приведены - 1 схема, 5 таблиц и 28 диаграмм. Список литературы включает 221 наименование. На защиту выносятся: 1. Теоретические основы содержания ТП, включающие в себя содержание родового понятия «представление», освещение роли и места представлений в познавательной деятельности, генезис видового понятия ТП и его содержание, включающее в себя определение ТП, процессы возникновения и трансформации ТП, описание уровней ТП. 2. Основные факторы, способствующие формированию ТП у учащихся при изучении геометрии: целостное изучение тригонометрического материала, использование образной составляющей при изучении тригонометрии, поэтапное формирование ТП, которое должно осуществляться с учетом специфики каждого уровня ТП. 3. Цели и требования реализации методики формирования ТП в условиях личностно ориентированного обучения. 4. Методика формирования ТП, ядром которой является обучающая система задач в тестовой форме. Основными компонентами данной методики являются: - изучение тригонометрии с опорой на образную составляющую, особенно на начальном этапе изучения; - возможность осуществления в процессе обучения перехода от первоначальных образов к логической составляющей мышления; - реализация развития рефлексивных способностей у учащихся; - реализация дифференциации и индивидуализации обучения; - соблюдение требований, выдвигаемых нами для формирования ТП.
Образное мышление и его роль в процессе познания окружающей действительности
Представления являются одной из ступеней познавательной деятельности. Опираясь на образное мышление, представления помогают осуществить переход к понятийному (логическому) мышлению. Как отмечает Н.С. Подходова [140], ряд авторов (И.С. Якиманская, B.C. Столетнев, И.Я. Каплунович и др.) не выделяет логическое мышление в качестве самостоятельного вида мышления и не сопоставляют образное и логическое мышления. Другие исследователи (Э. де Боно, В.Д. Еремеева, Г.Е. Журавлев, Л.А. Регуш, В.Д. Шадрин и др.) признают разделение мышления на образное и логическое, так как эти виды мышления обладают специфическими свойствами и функциями. Вообще, такое деление существует и в методике преподавания математики.
Так в педагогической литературе выделяется три вида мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное и понятийное мышление.
Переход от образного к понятийному (логическому) мышлению является необходимым фактором образования, при этом психологи считают, что развитие наглядно-образного мышления является одной из важнейших задач обучения.
Для развития личности учащегося, и в частности, для усвоения математических знаний, необходимо формирование как образного, так и логического мышления. В процессе обучения задействованы различные виды мышления, в зависимости от возраста учащихся доминирует либо образное, либо понятийное мышление, поэтому отдавать предпочтение развитию того или иного мышления не оправдано с точки зрения развития личности ученика.
В последнее время в процессе обучения математике отмечалось приоритетное развитие логического мышления.
Доминирование логического мышления над образным привело к ряду проблем. Так И.Ф. Шарыгин отмечал следующее: «В последнее время широко распространился взгляд на геометрию как на предмет, развивающий в первую очередь, логическое мышление. И в этом одна из важнейших причин снижения уровня геометрической подготовки учащихся» [209]. Он же писал о том, что «Не надо соревноваться с компьютером в тех видах мыслительной деятельности, где он особенно силен. Необходимо развивать образное мышление, т.е. те виды, где человек (пока) превосходит машину. В противном случае человеку грозит жуткая перспектива... в ближайшем будущем превратиться в обслуживающий придаток машины» [209].
И.Я. Каплунович писал: «Говоря об умственном развитии школьников, мы имеем в виду логическую составляющую интеллекта. При этом забываем о другой его составляющей - образной» [84].
Вне формирования образного мышления нельзя воспитывать школьников. Именно в образе происходит «сплав интеллекта и аффекта» (Л.С. Выготский), без которого знания не могут стать личностно-значимыми [50]. Так же считал и академик Б.В. Раушенбах: «созерцание дает возможность проникнуть в сущность какого-либо явления в некотором смысле даже глубже, чем путем логики» [190, с. 22].
Кроме того, не следует считать образное мышление мышлением качественно более слабым, чем мышление логическое, оно не просто является переходной ступенью к понятийному мышлению, оно преобразовывается и функционирует при решении задач. Действительно, по мнению И.С. Якиманской «...образное мышление само развивается, . оно является равноценной формой интеллектуальной деятельности...» [50]. Так же считал и С.Л. Рубинштейн: «...генетически более ранние виды наглядного мышления не вытесняются, а преобразуются, переходя к высшим формам наглядного мышления» [159].
Поэтому, несмотря на то, что роль логического мышления в процессе формирования научной картины окружающего мира, знаний, умений, навыков огромна, не следует забывать о том, что логическое мышление должно развиваться на базе образного, что именно образное мышление характерно для учащихся младших классов и именно с него начинается понятие. Вообще, преобладание логики или образности в мышлении зависит от возраста, психологических особенностей личности учащихся и выполняемой ими деятельности.
Образное мышление оперирует образами, которые являются частью, несущей в себе свойства целого (сознания). Образ - субъективный феномен, возникающий в результате предметно-практической, сенсорно-перцептивной, мыслительной деятельности [150]. А.А. Гостев отмечал, что образы являются «...психическим инструментом контакта индивидуальной психики с многомерной реальностью» [62, с. 7]. «Образ - единица психического, имеющая «сквозной» характер, осуществляющая «трансляцию» инвариантности особенностей психического на каждом уровне, в любой форме существования» [62, с. 8]. По мнению автора, «Образ можно рассматривать как некую информационно-энергетическую единицу индивидуального сознания» [62, с. 33]. Благодаря образам мыслительный процесс становится богаче, нагляднее и конкретнее.
Понятие образа в психологии тоже не совсем однозначно. Некоторые авторы считают, что образ может возникать в сознании человека без определенного стимула. Другие же исследователи убеждены в том, что образы возникают в сознании, при действии на наши органы чувств определенных стимулов. Так Л.С. Рубинштейн писал: «Образ вообще, безотносительно к предмету, отображением которого он является, не существует» [159, с. 34]. По его мнению, образ не является абсолютно любым чувственным впечатлением, а лишь таким, в котором явления, их свойства и отношения выступают перед субъектом как предметы или объекты познания [76, с. 11].
Е.Н. Кабанова-Меллер отмечает, что в литературе можно встретить мнение, согласно которому гносеологическое понятие «образ» (ощущения, восприятия, мышление, понятие) обобщаются как «образы внешнего мира» и психологическое значение «образ», как имеющий чувственную наглядную характеристику.
Понятие «образ» является понятием многогранным, структурированным, богатым по своему содержанию. Именно поэтому некоторые авторы (А.А. Гостев) отмечают, что «для преодоления фрагментарного понимания сознания требуется целостный охват многообразных форм и уровней психического отражения и регулирования, включая потенциальные его виды. Необходимо изучение совокупности основных классов мысленных образов, которая может рассматриваться как образная сфера человека» [62]. Действительно, образы не существуют изолированно. Понятие образной сферы объединяет различные виды форм психического отражения. Это понятие представляет собой систему, образованную образами различных классов и уровней. При этом образная сфера является средством, благодаря которому субъект может осуществлять контакт с внешним миром.
Отметим, что образ не возникает мгновенно. Процесс формирования образа является процессом сложным и постепенным. В результате осуществления этого процесса происходит постепенное стирание различий между предметом и его образом.
Образное мышление позволяет выделить многозначные нюансы предмета при его восприятии. Кроме того, оно обеспечивает целостность при восприятии предмета. Такое рассмотрение объекта является основой для реализации собственных способов решения задач, опирающихся на образную составляющую. (Г.Е. Журавлев, Л.В. Меньшикова, Ю.А. Полуянов и др.).
Еще раз отметим, что возникающий в мозгу образ субъективен. «Субъективность образа включает момент пристрастности, зависимости образа от потребностей, мотивов, целей, установок, эмоций человека и т.д. Образ формируется на базе опыта, который накопил человек, в той или иной мере ассимилируя этот опыт, что особенно отчетливо выражается в случаях, когда речь идет об образах, связанных с жизненно значимой для человека деятельностью» [76, с. 12].
Роль и место представлений в познавательной деятельности.
Посредством ощущений мы переходим к восприятию. Восприятие является основным источником создания образов, но так как именно мышление создает целостность образов, то для восприятия характерна фрагментарность. (Б.Г. Ананьев). И представление, и восприятие дают нам чувственно-наглядные образы реального мира. Этот факт является основным общим их свойством, именно поэтому восприятие и представление, наряду с ощущением можно отнести к чувственным формам отражения. Можно, таким образом, утверждать, что и восприятие, и представление, и ощущение характеризуются определенными общими чертами.
Так, например, представления, как и восприятие, формируются в процессе предметной практической деятельности. Однако представления качественно отличаются от восприятия, они не являются разновидностью восприятия и не могут быть к нему сведены.
Ощущения и восприятие возникают при непосредственном воздействии объектов на субъект. Представление же не связано с непосредственным воздействием предметов на наши органы чувств, поэтому представление отличается от восприятия значительно меньшей степенью ясности и отчетливости. Но различие между восприятием и представлением не сводится только к этому. Представление не является воспроизведением каждого единичного восприятия. По сравнению с восприятием представление является качественно новым образованием. В представлении, в отличие от восприятия, воспроизводится не только «лицевая» сторона, но и «спина» вещей [42]. В данном конкретном образе сохраняются, передаются и воспроизводятся не все черты ранее воспринятого объекта, а только те, которые будут иметь значение для дальнейшей предметно-практической деятельности индивидуума. Представление, формирующееся на основе восприятия, в свою очередь, оказывает обратное влияние на последующее восприятие объекта.
Представление осуществляется одновременно с опорой на восприятие и с отвлечением от него. Так И.С. Якиманская считает, что «деятельность представливания, на каком бы уровне она не осуществлялась, всегда обеспечивает создание нового и в этом смысле всегда является продуктивной» [50]. Вообще, представление ни в коем случае не должно рассматриваться как «тень ощущений» (А.А. Гостев) как ослабленное восприятие, так как оно является прогрессивной ступенью чувственного познания.
Одной из ступеней чувственного познания человеком окружающего мира является воображение. Воображение можно определить как интеллектуальную деятельность, которая позволяет нам строить, конструировать новые образы путем реконструкции имеющихся в памяти представлений [84]. Некоторые авторы отождествляют воображение как форму познания с воображением - психическим процессом. Отметим, что в психологической литературе подчас представления и воображение не дифференцируют, более того, психологи отмечают не разработанность и трудность их дифференциации [117]. Это происходит отчасти и из-за того, что оба термина и представление, и воображение используются при раскрытии таких средств познания как мысленный эксперимент, модель и т.д. Ряд авторов предлагает понимать воображение как сложный психический процесс, как мышление в образной, чувственно-наглядной форме. Так В.И. Веровский указывает, что «Представление и воображение следует различать по отнесенности к формам отражения или психическим процессам ... представление является формой отражения, а воображение психическим процессом» [48, с. 17]. Также в психологической литературе отмечается, что возникающие в процессе воображения образы являются, в конечном счете, представлениями.
Как и представление, воображение отвлекается от исходного наглядного объекта благодаря разнообразным и многократным преобразованиям уже имеющихся образов, созданных когда-то в прошлом на различных наглядных основах и уже отложившихся в представлении.
Существенным отличием воображения от представления является то, что первое имеет чувственную опору, а второе - чувственно-логическую.
В процессе познания образ обобщается, человек выделяет в нем наиболее важные, существенные элементы, частные и несущественные элементы отбрасываются. Таким образом, постепенно выделяется сама сущность образа. В этом случае в процесс включается мышление и его оперативная единица - понятие.
Еще в русской дореволюционной психологии ставились вопросы о соотношении представления и понятия. А. Нечаев (1904), полагает, что единичный образ является носителем общего представления, причем логические операции на данном уровне еще не осуществляются. Понятие же, как считал Нечаев, связано с логическими операциями. Н.Д. Виноградов (1912) различает представление как непосредственную наглядность, и понятие как мысль о существенных свойствах предметов. Связь между понятием и представлением он находит в том, что название предмета заменяет определенный круг представлений.
В советской психологии вопросу о представлении и понятии уделялось большое внимание. Ф.Н. Шемякин (1937), считая, что представление и понятие различны, доказывает недопустимость отрыва представления от понятия, единичного от общего, «наглядного» мышления от «понятийного».
В зарубежных исследованиях соотношение между образом и понятием изучал Коффка (1912). Автор подразделяет представления на общие и фрагментарные. Общие представления являются носителями значений слов, понятий и характеризуются большей или меньшей чувственной окраской. Вильволл (1926) отмечал, что яркие, конкретные образы мешают мышлению при формировании понятий.
Представления и понятия надо рассматривать в тесном единстве и связи между собой, так как понятие возникает лишь на базе чувственных форм познания действительности. Представление и понятие не могут существовать в отрыве друг от друга. В представлении отображается явление, в понятии - сущность. Представление и понятие находятся в диалектическом взаимодействии и взаимосвязи, они влияют и воздействуют друг на друга. Понятие возникает после представления, формирование понятия ведет нас к знанию, таким образом, знание невозможно приобрести без приобретения комплекса отдельных представлений.
Некоторые авторы настолько признают единство данных понятий, что фактически отождествляют их. Так Л.С. Выготский писал следующее: «Здравый смысл может не видеть различий между «представлениями» и «понятиями»».
Другие исследователи, признавая связь представлений и понятий, отмечают, что хотя понятия образуются на базе представлений, это отнюдь не означает, что они являются некоторой суммой представлений [101]. Представление и уже, и шире понятия. Так представление шире понятия по своей наглядности, образности, но оно и уже понятия, так как понятие более точно характеризует предмет.
Представления и понятия, будучи тесно связанными, имеют и ряд различий. Так Д.Д. Шацков отмечает следующие различия [211].
1. Представление отражает единичное, а понятие отражает общее.
2. Для представления характерна наглядность, а в понятии она фактически отсутствует.
3. Представление слабее понятия тем, что оно не может отобразить эволюции, развития, оно не в состоянии раскрыть внутреннюю связь и сущность всех частей предметов или явлений, оно не может отобразить взаимодействия частей предмета. Понятие, в отличие от представления, характеризует объект в его развитии, всесторонне, подчеркивает его противоречия.
Анализ изложения тригонометрического содержания в курсе геометрии
В данном параграфе мы не ставим перед собой цель основательно и подробно изложить историю преподавания тригонометрии в советской и российской школе. Отметим, что подробное исследование этого вопроса уже неоднократно проводилось авторами диссертационных исследований. Так, например, в работе О.А. Кузьменко можно найти не только историческое освещение преподавания тригонометрии в средней школе с 1935 до 1989 годов, но также и диаграммы изменения «...количества учебных часов на тригонометрический материал в школьном курсе математики (общее число часов, распределение их по классам и предметам, количество часов на тригонометрический материал в неполной средней школе). Кроме того, изучено распределение сведений по тригонометрии одновременно по предметам и классам на протяжении учебного года в каждой из программ (1935, 1950, 1957, 1963, 1975, 1980, 1983,1986, 1989 годов)» [99, с. 11 - 12].
Мы, таким образом, сделаем акцент не столько на истории преподавания тригонометрии, сколько на попытке показать сложность выбора методики ее преподавания, проявившуюся в многочисленных изменениях курса тригонометрии. Кроме того, нас больше будет интересовать материал, связанный с тригонометрией в курсе геометрии.
Отметим, что ни один из других разделов школьной математики не претерпел, пожалуй, столь значительных радикальных изменений за всю историю советского и российского образования, сколько претерпел их раздел тригонометрии, изучаемый в школьном курсе.
Тригонометрия определяется как математическая наука, которая изучает один из классов аналитических функций - тригонометрические функции. Тригонометрический материал, таким образом, является частью математического анализа, однако он изучается сейчас и в курсе геометрии, и в курсе алгебры, хотя в прошлом тригонометрия изучалась отдельной дисциплиной (а в некоторых странах изучается так и в настоящее время). Действительно, в 40 70-х годах в нашей стране тригонометрия изучалась отдельным курсом.
Отметим, что еще к XX веку были выстроены два способа изучения тригонометрии [19, с. 25 - 26]:
1) способ, характеризующийся дедуктивным характером, состоял в том, что курс тригонометрии начинался с гониометрии (учения о круговых функциях), а заканчивался решением треугольников и фигур (собственно тригонометрией);
2) способ, характеризующийся индуктивно-дедуктивным характером, состоял в том, что курс начинался с тригонометрии прямоугольных треугольников, а заканчивался курсом тригонометрии любого действительного аргумента. Здесь же изучались и свойства тригонометрических функций, а также их применение.
В 50-60-х годах в школах действовал учебники Н. Рыбкина, А.Ф. Берманта и Л.А. Люстерника в которых курс тригонометрии изучался первым способом. В то время на страницах печати развернулась дискуссия о целесообразности такого изучения тригонометрии, так как был отмечен ряд недостатков при подобном изучении данной темы.
В статьях отмечалось, что некоторые параграфы учебника не связаны друг с другом, что подчас, материал в них дается сверху, догматически, без должного обоснования целесообразности изучения новых фактов, что в свою очередь приводило к схоластическому обучению и не вызывало интереса и осознанности при изучении тригонометрии. В.Г. Чичигин отмечал, что учебники, построенные на основе первого способа изложения тригонометрии, «...сразу вводили учащихся в совершенно новый круг идей без всякой связи с курсом геометрии и без видимой связи с курсом алгебры. Такое построение курса тригонометрии создавало большие затруднения при изучении его; учащиеся получали большое количество разных понятий и знаний в догматической форме, выводили и запоминали огромное количество формул, но без всякого применения их вне курса тригонометрии...»[204, с. 16]. В статьях журнала «Математика в школе» неоднократно отмечалось, что для учебника Рыбкина характерен формализм изложения, а его краткость обусловлена недостаточным, а подчас и небрежным изложением материала. Учебник был даже назван «рыбкинской мертвечиной» [89, с. 46].
Подобное изучение тригонометрии пытались исправить с помощью выпуска многочисленных учебных пособий и задачников.
Так в 1953 году издательство «Советская наука» выпустило книгу СИ. Новоселова «Специальный курс тригонометрии», допущенную в качестве учебного пособия в пединститутах. Отмечалось, что выход этой книги должен способствовать повышению уровня преподавания тригонометрии в школах [106, с. 80].
В 1956 году был издан учебник по тригонометрии СИ. Новоселова, который был построен на координатной основе. Появление нового учебника вызвало бурный отклик учителей и преподавателей вузов [128]. В целом новый учебник тригонометрии получил положительную оценку. Отмечалось, что для учебника характерны «полная ликвидация концентризма», «...вопросы практического применения теории тригонометрии к геометрии, физике, механике, технике», «...функциональное понимание предмета», также отмечалось, что «В целом новый учебник представляет собой большой шаг вперед по сравнению с учебником Н. Рыбкина» [128, с. 66]. Были и отрицательные отзывы: «Значительным недостатком учебника по тригонометрии Новоселова является то, что в нем слишком много разных определений, рассчитанных на запоминание...», «Учебник тригонометрии Новоселова так написан и изложен, чтобы ученики не могли ничего в нем понять» [128, с. 67], «Попытка автора выдержать высокий научный уровень приводит к необходимости подать много постороннего материала, ...а сам поданный материал загромождает курс, затрудняет его усвоение и в массе всего материала отходит на второй план главное - это тригонометрия...» [128, с. 68].
В присланных рецензиях больше всего внимания было уделено началам тригонометрии - введению тригонометрических функций. Так, например, было обращено внимание на то, что введенные в учебнике определения тригонометрических функций трудны для запоминания, громоздки и не отражают своего геометрического приложения.
Вообще в 60-х годах происходят постоянные попытки изменить обучение тригонометрии. Многие авторы стали предлагать собственное видение курса. Так, например, П.А. Горбатый отошел в своем пособии «Опыт преподавания тригонометрии в школе» от традиционного изложения этой темы (в частности автор предлагал начать изучение тригонометрии с изучения тригонометрических функций). За 1950-1959 годы Учпедгиз издал ряд задачников по тригонометрии. Уже тогда в печати поднималась идея функциональной зависимости (правда она не была еще признана основной идеей), поэтому старый задачник Н. Рыбкина, где совсем не было упражнений, которые могли бы закрепить свойства тригонометрических функций, был заменен новым, в котором такие упражнения присутствовали. В 60-е годы вышли задачники Р.И. Позойского, А.И. и Н.И. Худобиных, П.В. Стратилатова, И.И. Смирнова. От задачника к задачнику идея функциональной зависимости становилась все явственней. Так, например, в задачниках П.В. Стратилатова и И.И. Смирнова упражнениям, направленным на отработку свойств функций, посвящена уже целая глава.
Однако вскоре реформирование школьного математического образования привело к тому, что тригонометрия как отдельный школьный предмет перестала существовать. Часть ее, касающаяся решения треугольников попала в геометрию, а другая ее часть - тригонометрия любого действительного аргумента, изучалась в курсе алгебры. При подобном изучении тригонометрии опять произошел возврат к концентрам (даже в рамках одной только геометрии, или же одной только алгебры). Это вряд ли являлось оправданным, хотя подобного разбиения материала удалось избежать на сегодняшний день только в курсе алгебры, где тригонометрия изучается фактически единым блоком. В курсе геометрии большинство существующих учебных пособий оставляют концентрическую систему обучения. Исключением являются учебники по геометрии авторского коллектива А.Д. Александрова, учебник А.Н. Колмогорова, учебник И.М. Смирновой и В.А. Смирнова, учебник Г.П. Бевза и др., а также учебник И.Ф. Шарыгина.
Кроме невольного возвращения к концентрам разбиение тригонометрии на две части (в общем-то, оправданное!) привело к отсутствию преемственности между тригонометрическим материалом, изучающимся в курсе геометрии и тригонометрическим материалом, изучающимся в курсе алгебры.
