Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИДЕИ ОПЕРЕЖАЮЩЕГО ОЗНАКОМЛЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ 11
1. Идея опережающего ознакомления и ее дидактическая сущность 11
2. Виды опережающего ознакомления в теории и практике школьного обучения математике 26
3. Стратегии опережающего ознакомления учащихся с доказательствами геометрических теорем 41
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 62
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОПЕРЕЖАЮЩЕГО ОЗНАКОМЛЕНИЯ С ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ. 64
1. Основы конструирования заданий для опережающего ознакомления с доказательствами 64
2. Включение опережающих заданий в систему упражнений 79
3. Технологическая карта как средство организации работы по опережающему ознакомлению учащихся с доказательствами геометрических теорем 90
4. Постановка и результаты педагогического эксперимента 109
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2 120
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 122
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 124
ПРИЛОЖЕНИЯ 139
- Идея опережающего ознакомления и ее дидактическая сущность
- Виды опережающего ознакомления в теории и практике школьного обучения математике
- Основы конструирования заданий для опережающего ознакомления с доказательствами
Введение к работе
Утверждение представлений о математике как о части человеческой культуры, необходимой для полноценного интеллектуального развития детей, для успешной реализации человеком своих возможностей в профессиональной деятельности, ориентирует методическую науку на поиск путей совершенствования математического образования школьников. Особое значение имеет математика для формирования логической культуры, без которой невозможно полноценное развитие мышления детей. Большими возможностями для успешного формирования умений анализировать различные ситуации, выводить следствия из известных фактов посредством рассуждений, развития умений отличать доказанное от недоказанного, выдвигать гипотезы, опровергать их или доказывать обладает школьная геометрия. Реализация этих возможностей сопряжена с обновлением и содержания, и методики обучения геометрии. Проблеме совершенствования геометрического образования школьников уделялось и уделяется большое внимание со стороны ученых (Ф.С. Авдеев, А.Д. Александров, А.К. Артемов, Н.М. Бескин, А.Л. Вернер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Д. Пойа, З.А. Скопец, И.М. Смирнова, Р.С. Черкасов, М.И. Шабунин, И.Ф. Шарыгин и др.).
Специфика геометрии как учебного предмета общеобразовательных школ состоит, прежде всего, в том, что основное ее содержание составляют многочисленные теоремы, изложенные в стройной дедуктивной системе, изучение которых предполагает определенный уровень логической культуры. Доказательство геометрических теорем, задачи на доказательство являются тем полигоном, на котором школьники учатся правильно рассуждать, аргументировать свои высказывания, выводить следствия из заданных условий и т.п. Вопросы обучения учащихся доказательствам в школьном курсе геометрии рассматривались в работах В.А. Байдака [12], В.Г. Болтянского [18], Г.А. Буткина [24], Я.И. Груденова [39], Т.А. Ивановой [61], В.И. Крупича [77], Ф.Ф. Притуло [125], Г.И. Саранцева [136], З.И. Слепкань [143], А.Я. Цукаря [169] и др. Многие ис следователи (Г.Д. Глейзер [35], В.А. Далингер [43], Т.М. Карелина [66], Е.П. Маланюк [91], Н.М. Рогановский [127], П.И. Самсонов [135], М.Е. Тимощук [155] и др.) обосновывают необходимость усовершенствования методики обучения учащихся геометрическим доказательствам, прежде всего, тем, что для очень значительной части школьников они остаются либо недоступными, либо неполноценно ими усваиваются (школьники заучивают готовые доказательства, воспроизводят их по требованию учителя и довольно быстро забывают).
Повысить эффективность методики обучения учащихся можно на основе идеи дидактического опережения или, как ее еще называют, идеи опережающего ознакомления с доказательствами. Эта идея сравнительно нова в теории обучения математике. Отдельных ее аспектов все же касались многие известные педагоги-математики: М.И. Зайкин [56], Т.А. Иванова [112], А.А. Окунев [109], Н.М. Рогановский [128] и др. Идея дидактического опережения получила развитие в методике обучения математике в начальной школе благодаря работам учителя-новатора С.Н. Лысенковой [85-88]. В ее опыте эта идея широко апробирована и неизменно дает высокие результаты, способствуя повышению интереса младших школьников к изучению математики. Эффективность применения идеи дидактического опережения в процессе обучения объясняется тем, что она позволяет заблаговременно и основательно осуществить подготовительную работу учащихся к рассмотрению новых для них учебных вопросов посредством органичного вкрапления элементов будущего материала в тот, который изучается в данный момент. Следовательно, опережающее ознакомление учащихся с элементами новых для них учебных вопросов является одним из важнейших резервов оптимизации учебного процесса. В частности, дидактическое опережение могло бы существенно облегчить усвоение учащимися /декада -ТСЛЬСТВ геометрических теорем, создавая у них ощущение успеха и способствуя тем самым повышению интереса школьников к изучению геометрии. Но до настоящего времени в психолого-педагогической литературе не существует достаточного теоретического обоснования возможности и целесообразности использования идеи дидактического опережения в обучении геометрии, учеными педагогами не предложены способы реализации опережающего ознакомления учащихся с элементами нового материала, не разработано соответствующее методическое обеспечение. Практика же требует осуществления комплексных исследований в этом направлении.
При рассмотрении психологических основ опережающего ознакомления мы опирались на исследования Э.И. Бергер [16], Л.С. Выготского [29, 30], В.В. Знакова [60], В.А. Крутецкого [78], С.Л. Рубинштейна [131], Г.Д. Чистяковой [173] и др., теоретические положения которых позволили обосновать возможность, целесообразность реализации идеи дидактического опережения в процессе обучения.
Отдельные дидактические аспекты этой проблемы рассмотрены в работах М.А. Данилова [44], В.И. Загвязинского [52, 53], И.В. Комаровой [71], И.И. Паньковой [114], В.Т. Фоменко [164, 165] и др. В них, в частности, раскрывается роль перспектив в учебном процессе, характеризуются некоторые способы введения опережающей информации в изучаемый материал, предпринимаются попытки осмысления сущности идеи опережающего ознакомления учащихся с элементами новых для них учебных вопросов.
Методическим аспектам опережающего ознакомления применительно к обучению учащихся различным предметам уделяется внимание в работах И.П. Волкова [28], С.Н. Лысенковой [85-88], Е.П. Михайловой [100], Н.А. Мо-жаевой [159], А.А. Окунева [108, 109], И.П. Федоренко [159], В.Ф. Шаталова [180, 181] и др. В методической литературе по математике сделаны первые попытки охарактеризовать некоторые из вариантов использования опережающего ознакомления с отдельными математическими понятиями, свойствами этих понятий, отраженными в формулировках правил, теорем, алгоритмов (Т.П. Григорьева, Н.В. Гусева, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Е.П. Михайлова и др.). Однако эти характеристики носят, как правило, описательный характер, в них, чаще всего, лишь освещается положительный опыт опережающего ознакомления, подчеркивается его ценность, приводятся отдельные примеры. Теоретического анализа этого опыта авторы не осуществляют, а потому каких-либо целостных
теоретических построений по этому вопросу на сегодняшний день в методической науке нет. Таким образом, анализ психолого-педагогической и методической литературы, связанной с темой данного исследования, показал, что многие авторы уделяют внимание проблеме реализации идеи опережающего ознакомления в процессе обучения учащихся различным предметам; отсутствует целостное научно-теоретическое обоснование возможности и целесообразности использования идеи опережающего ознакомления в процессе обучения учащихся геометрии в основной школе; практика не имеет методического обеспечения опережающего ознакомления школьников с доказательствами геометрических теорем.
Все выше сказанное обусловливает актуальность проблемы исследования, которая состоит в поиске путей реализации идеи опережающего ознакомления при обучении учащихся доказательствам геометрических теорем.
Цель исследования состоит в разработке методического обеспечения, позволяющего усовершенствовать методику обучения учащихся доказательствам геометрических теорем на основе идеи опережающего ознакомления с ними.
Объектом исследования является процесс обучения учащихся геометрии в основной школе, а его предметом - содержание, способы и методика опережающего ознакомления учащихся с доказательствами теорем при обучении геометрии.
Гипотеза исследования: если теоретически обосновать способы опережающего ознакомления с доказательствами геометрических теорем и разработать соответствующее методическое обеспечение для их использования в школьной практике, то это позволит повысить эффективность обучения учащихся доказательствам теорем, поскольку опережающее ознакомление облегчает восприятие, понимание и запоминание как отдельных шагов, так и логики всего рассуждения.
Цель, предмет и гипотеза исследования определили его основные задачи:
- уточнить дидактическую сущность идеи опережающего ознакомления;
- охарактеризовать основные направления реализации опережающего ознакомления в теории и практике обучения математике;
- определить основные способы (стратегии) введения в опережающее ознакомление элементов доказательств геометрических теорем;
- разработать основы конструирования методического обеспечения опережающего ознакомления учащихся с доказательствами геометрических теорем;
- провести экспериментальное изучение эффективности разработанной методики опережающего ознакомления учащихся с доказательствами геометрических теорем.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы педагогического исследования: изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по математике, а также результатов диссертационных исследований по рассматриваемой проблеме; анализ программ, учебников и учебных пособий для общеобразовательных школ по математике; интервьюирование и анкетирование учителей математики; беседы с учителями школ и учащимися; наблюдение уроков геометрии в школе; констатирующий, поисковый и обучающий эксперименты; статистическая обработка и анализ результатов проведенных экспериментов.
Методологической основой исследования явились: принципы единства и диалектического взаимодействия теории и практики в научном познании; концепция деятельностного подхода к обучению математике; основные положения теории поэтапного формирования умственных действий; ассоциативно-рефлекторная концепция усвоения знаний.
Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялся анализ психолого-педагогической и методической литературы, а также диссертационных исследований по данной проблеме; фиксировалось состояние методической работы по рассматриваемому вопросу; анализировался опыт работы учителей математики; проводился констатирующий эксперимент. На втором этапе разрабатывались теоретические положения реализации идеи опережаю щего ознакомления учащихся с доказательствами теорем при обучении геометрии в основной школе, создавалось соответствующее методическое обеспечение и проходила его первичная проверка в ходе поискового эксперимента. На третьем этапе проводился обучающий эксперимент. Полученные результаты были проанализированы и обработаны средствами математической статистики, что позволило подтвердить справедливость теоретических выводов и эффективность разработанного методического обеспечения.
Научная новизна исследования состоит в том, что впервые разработаны теоретические основы методики опережающего ознакомления учащихся с доказательствами теорем в курсе геометрии основной школы.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:
-уточнена сущность идеи дидактического опережения;
-на основе характеристики "шаг опережения (L)" определены основные виды опережающего ознакомления, используемые в обучении математике: минимальное, ближнее, среднее, дальнее;
-определены способы введения элементов доказательств в опережающее ознакомление (стратегии дидактического опережения: сплошная и выборочная; линейная, цепочная и цикловая; пошаговая и пофрагментная);
- разработаны основы создания методического обеспечения опережающего ознакомления учащихся с доказательствами геометрических теорем, включающие: 1) конструирование опережающих заданий; 2) включение опережающих заданий в систему упражнений; 3) составление технологической карты опережающего ознакомления с доказательствами теорем учебной темы или учебного курса.
Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что разработанные в ней основы конструирования методического обеспечения опережающего ознакомления учащихся с доказательствами геометрических теорем могут быть использованы учителями математики в практике обучения в основной школе. Результаты исследования могут быть положены также в основу разработки спецкурсов для студентов и слушателей курсов повышения квалифи кации, написания учебно-методических пособий для учителей и учащихся общеобразовательных школ. О
Обоснованность и достоверность полученных результатов исследования
обеспечена опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике; использованием разнообразных методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике; проведенным экспериментом и анализом его результатов с применением методов математической статистики.
На защиту выносятся следующие положения. О
1. Опережающее ознакомление в обучении математике следует рассматривать как особый вид подготовительной работы с учащимися, характеризующийся включением в процесс обучения перспективного материала, т.е. материала, подлежащего изучению в будущем, ознакомление с которым осуществляется попутно, в процессе усвоения других знаний, без явной постановки учебных целей.
2. К содержательным элементам опережающего ознакомления с доказа- 0 тельствами геометрических теорем следует отнести элементарные единицы
(шаги) или фрагменты доказательств, имплицитно включающие и приемы, и методы доказательства, и его логическую основу.
3. Основы создания методического обеспечения опережающего ознакомления учащихся с элементами доказательств геометрических теорем включают: 1) конструирование опережающих заданий; 2) включение опережающих заданий в систему упражнений; 3) составление технологической карты опережаю ч» щего ознакомления с .доказательствами теорем учебной темы либо учебного курса.
На защиту выносится также разработанное нами методическое обеспечение опережающего ознакомления учащихся с доказательствами геометрических теорем по теме "Треугольники" (7 класс).
Апробация основных положений и результатов настоящего исследования 4 проводилась в форме докладов на заседаниях научно-методических семинаров кафедр психологии, педагогики и методики преподавания математики Коря-жемского филиала Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова (1999, 2000), теории и методики обучения математике и физике Арзамасского государственного педагогического института им. А.П. Гайдара (2001, 2002), на межрегиональных научно-практических конференциях в г. Смоленске (1997), г. Кирове (2000), Всероссийских и региональных научно-практических конференциях в г. Арзамасе (1997, 2000, 2002).
Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось в ходе экспериментальной проверки разработанного методического обеспечения. В эксперименте участвовали учителя школ Архангельской и Мурманской областей.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы и семи приложений. Основное содержание работы изложено на 138 страницах печатного текста. Библиография насчитывает 185 наименований.
Идея опережающего ознакомления и ее дидактическая сущность
Прежде чем приступить к обобщению теоретического материала по рассматриваемой теме, к анализу опыта учителей-новаторов, к выяснению дидактической сущности идеи опережающего ознакомления в процессе обучения, необходимо ответить на следующие вопросы.
1. Каков философский смысл понятия "идея"?
2. Почему целесообразно говорить именно об идее опережающего ознакомления, а не о готовом приеме или методе опережения?
Идея (от греческого idea) - это форма отражения в мысли явлений объективной реальности. Постигая действительность, она включает в себя сознание цели дальнейшего познания и практического преобразования мира. Идеи обобщают опыт предшествующего развития знания и служат в качестве принципов объяснения явлений, являются основой поисков новых путей решения проблем [146, с.481]. В них происходит наиболее полное совпадение содержания мысли с объективной реальностью; это - объективное и конкретное, всестороннее знание действительности, которое готово для своего практического воплощения. Отражение объективной реальности и постановка практической цели перед человеком, находящиеся в органическом единстве, определяют специфику идеи и ее место в движении человеческого сознания. Таким образом, идея является активным, посредствующим звеном в развитии действительности, в процессе практической деятельности человека, создающей новые, ранее не существовавшие формы реальности [162, с. 170-171].
Для ответа на второй вопрос применим выше данное определение к идее опережающего ознакомления в процессе обучения геометрии.
Когда учителю ясны образовательные, воспитательные и развивающие цели изучения темы, которые воплощены в систему учебно-познавательных задач, тогда ему необходимо спроектировать процесс решения поставленных задач.
Следует заметить, что наиболее важным, центральным, творческим ядром такого проектирования является возникновение идеи решения и общего замысла ее воплощения. Идея содержит мысль, предположение о целесообразном пути организации деятельности обучаемых, о способе сочетания в ней известного и нового, о своеобразии педагогической помощи. Замысел претворяет идею в конкретные формы, связывает идею с методами её воплощения.
Идея и замысел отдельного урока обычно тесно связаны с более обобщенными идеями и замыслами педагога. Рассмотрим пример возникновения такой "сквозной" идеи как результата анализа и оценки фактов, их сопоставления, уяснения их причинно-следственных связей [53, с. 100-101]. Работая над внедрением методов активного обучения в Ишимской вечерней школе №1 в 60-е годы XX века, учителя обратили внимание, что реакция хорошо успевающих учеников на вопросы учителя иногда заметно опережает его действия. Учитель ещё только начинает формулировать вопрос, а некоторые ученики уже готовы к ответу. Сначала сообразительность отдельных учеников вызывала удовлетворение. Начались размышления, поиски причин создавшейся ситуации, проверка предположений. В результате было выявлено следующее. Поняв, что учитель поощряет удачные ответы по существу разбираемого материала, что работа по новой теме также им оценивается, некоторые школьники, успешно усваивающие материал, стали изучать по учебнику те вопросы, которые будут разбираться в классе. Предварительно подготовившись, эти и так довольно способные ученики блистали верными ответами, а на этом фоне ещё неувереннее чувствовали себя слабоуспевающие школьники.
Виды опережающего ознакомления в теории и практике школьного обучения математике
Идея опережающего ознакомления учащихся с элементами программного материала присутствует в опыте работы многих известных учителей математики (С. Н. Лысенкова [85-88], А.А. Окунев [109], И.Т. Федоренко [159], В.Ф. Шаталов [180, 181] и др.). Интуитивно осознавая ее дидактическую ценность, они пытаются эмпирическим путем найти возможные способы реализации этой идеи в практике общеобразовательной школы. В методической литературе по математике встречаются характеристики некоторых из вариантов использования опережающего ознакомления с отдельными математическими понятиями, свойствами этих понятий, отраженными в формулировках правил, теорем, алгоритмов (Т.П. Григорьева [112], Н.В. Гусева [41, 42], М.И. Зайкин [41, 42, 56], Т.А. Иванова [112], Е.П. Михайлова [100] и др.). Эти характеристики носят, как правило, описательный характер, в них чаще всего лишь освещается положительный опыт опережающего ознакомления, подчеркивается его ценность, приводятся отдельные примеры. Теоретического анализа этого опыта авторы не приводят, а потому каких-либо целостных теоретических построений, соответствующих реализации идеи дидактического опережения в процессе обучения, на сегодняшний день в методической науке нет.
Учитывая обстоятельства, изложенные выше, дадим возможное систематическое описание имеющихся в теории и практике обучения математике наработок в контексте временной характеристики опережающего ознакомления и возможных способов его практической организации.
Прежде всего, заметим, что опережающее ознакомление с учебным материалом по своей сути является одной из форм реализации внутрипредметных связей, теоретический анализ которых основан на выделении структурных единиц учебного материала (В.В. Далингер [43], В.И. Крупич [77], М.И. Зайкин [57], А.А. Столяр [151] и др.). В качестве них предлагается выбирать: понятия, учебные вопросы, модули, системы понятий, содержательные линии, теории и т.п. Поскольку опережающее ознакомление с элементами нового учебного материала (вопроса) может происходить как до изучения какого-либо отдельного курса, так и непосредственно в процессе его изучения, за несколько предшествующих тем или же перед рассмотрением темы, в которую входит этот новый материал, то целесообразно в качестве содержательных элементов дидактического анализа рассматривать:
- учебный вопрос, представляющий собой минимальный содержательный элемент программы;
- учебную тему, понимаемую как совокупность взаимосвязанных учебных вопросов программы, образующих определенную целостность;
- учебный курс, как совокупность учебных тем программы, наделенную определенной структурой.
Анализируя представленные в методической литературе по математике способы опережающего ознакомления, будем их соотносить с приведенными содержательными элементами учебного материала.
Ряд авторов (Л.В. Виноградова [27], М.И. Зайкин [56] и др.) считает необходимым перед изучением нового материала использовать так называемые подводящие (проблемные) задания.
Основы конструирования заданий для опережающего ознакомления с доказательствами
Организация процесса обучения с использованием идеи опережающего ознакомления требует от учителя знаний и умений осуществлять его. Остановимся, прежде всего, на таком важном методическом вопросе, как конструирование заданий для опережающего ознакомления с доказательствами геометрических теорем.
Практически реализуя опережающее ознакомление с доказательствами, необходимо придерживаться той или иной из выделенных стратегий. В свою очередь, каждая из них определяется способами введения в опережающее ознакомление шагов, фрагментов доказательства, соответствующих той или иной его структуре. Отсюда важнейшим этапом при конструировании опережающих заданий является структуризация стандартного доказательства теоремы, содержащегося в школьном учебнике. Этот процесс представляет собой:
1) выделение шагов доказательства, т.е. его элементарных единиц, дальнейшее деление которых на более мелкие единицы методически нецелесообразно;
2) представление доказательства в виде последовательности его шагов.
В процессе подготовки к уроку сначала получают доказательство теоремы с максимальным числом шагов. Затем устанавливают наличие шагов с общими обоснованиями и возможности их смежного расположения. После чего объединяются все смежные шаги, имеющие общие обоснования. Таким образом, полученная цепочка шагов более лаконична, ее берут за основу структурированного доказательства.
Структурированное доказательство можно представить схематически. Схему, графически изображающую последовательность шагов структурированного доказательства теоремы, будем называть структурной.
Рассмотрим примеры структуризации теорем.
Стандартное доказательство данной теоремы [32, с.21-22] следующее.
Доказательство. Угол 2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. По свойству смежных углов Z 1 + Z 2 = 180, и Z 3 + Z 2 = = 180. Отсюда получим: Z1 = 180- Z2, Z3 = 180- Z2. Таким образом, градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны. Теорема доказана.
Структурируем приведенное доказательство, выделяя его основные шаги таким образом, чтобы на каждом из них указывалось утверждение и его обоснование.
