Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава I. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
I. Логические структуры в доказательстве теорем .... 22
2. Доказательства в обучении геометрии
в восьмилетней школе 42
Глава П. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
I. Этапы обучения доказательству 63
2. Логически развернутые доказательства и методика
их использования в обучении геометрии 86
3. Система упражнений по обучению доказательству
в курсе геометрии восьмилетней школы ............ 95
4. Организация и результаты экспериментальной
работы , .. 132
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 154
ЛИТЕРАТУРА 158
Введение к работе
Современный период развития советского социалистического общества ставит перед общеобразовательной школой новые задачи по воспитанию и образованию подрастающего поколения.
На ХХУІ съезде КПСС отмечалось, что качество школьных программ и учебников нуждается в улучшении, что они слишком усложнены. Это затрудняет обучение, ведет к неоправданной перегрузке ребят (2.2, с.60). Поэтому проблемы совершенствования содержания школьных учебных предметов, в частности математики, методов обучения, проведение их в соответствие с требованиями жизни приобретает особую актуальность. Система народного образования в нашей стране не может не учитывать требований связи обучения с жизнью, с общественно-полезным трудом, который в условиях развитого социализма опирается на значительный теоретический фундамент, требует творческий подход и логическое мыш- -ление участников производственных процессов, умение самостоятельно делать выводы на базе теоретических знаний, умения творчески мыслить. Для этого общеобразовательная школа должна вооружать подрастающее поколение прежде всего необходимыми знаниями. Как особо подчеркивает Генеральный секретарь ЦК КПСС К.У.Черненко, "упор, который мы сейчас делаем на воспитание посильным для школьника производительным трудом, при всей его принципиальной важности не отменяет ту истину, что главный труд детей -это, конечно же, учеба, прочное овладение основами наук" (2.3, с.З). Исходя из этого в "Основных направлениях общеобразовательной и профессиональной школы" для улучшения учебно-воспитатель- -4-. ного процесса в качестве важнейшей задачи советской школы указывается на необходимость "давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки и. умения, применять их на практике, формировать материалистическое мировоззрение" (2.4, с.З).
В решении этих задач важное место принадлежит учебному предмету математике. Математика, как наука, является фундаментом быстро развивающихся в последнее время естественно-научных и технических дисциплин. Бурно развивающийся процесс математизации знаний в производственной деятельности служит отражением этой роли математики. Именно поэтому возникает проблема дальнейшего совершенствования содержания и методов обучения математике.
В программе по математике для средней школы записано: "Учителю математики предоставлено право выбора различных методических путей и приемов изложения программного материала. Максимальное развитие должны получить методы, способствующие повышению у учащихся интереса к изучению математики, сознательному усвоению ими математических понятий, стимулирующие активность учащихся, воспитывающие у них навыки самостоятельной работы, умение рационально и творчески выполнять полученные задания, самостоятельно применять знания" (3.109, с.1).
Для обеспечения сознательного усвоения учащимися математических знаний, воспитания у них навыков самостоятельной работы, умения рационально и творчески применять математические знания, при любом содержании программного материала, методика обучения математике должна быть ориентирована на развитие логического мышления учащихся, а наиболее подходящий для такого развития вид деятельности - доказательство математических утверждений.
Курсу математики, и особенно геометрии, в школе всегда отводилось центральное место в развитии логического мышления учащихся, умений правильно и доказательно рассуждать, делать обоснованные выводы. Важность этого компонента математической культуры повышается по мере развития производительных сил общества. Навыки логических рассуждений требуются все в большей степени специалистам разных уровней и сфер производственной деятельности. Поэтому можно констатировать, что задача развития логического мышления учащихся приобретает теперь все более самостоятельное значение, становясь не только средством математического развития учащихся, но и его важнейшей целью.
Под логическим мышлением мы понимаем ту совокупность мыслительных умений, которая обеспечивает способность правильного и точного рассуждения, основанного на законах логики. Важность развития логического мышления учащихся определяется тем, что, по словам В.И.Ленина: "Каждая наука есть постольку прикладная логика, поскольку она состоит в том, чтобы выражать свой предмет в формах мысли и понятия" (1.4, с.183).
В 40-х годах логика изучалась в школе как отдельный предмет (см. 2,6, 3.28). Однако практика показала, что отдельное изучение логики в ее классической форме оказалось нецелесообразным в силу оторванности от других школьных предметов, к тому же нельзя сосредоточить решение задачи формирования логического мышления учащихся в одном каком-то месте, ибо основные логические умения проявляются в ходе изучения всех предметов. В настоящее время логика в школе не изучается. Предполагается, что необходимые логические знания и умения школьники приобретают в ходе изучения всех предметов, и особенно математики. А.Н.Колмогоров подчеркивает, что "... ответственность преподавателя ма- - б - тематики особенно велика, так как отдельного предмета "логика" в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики" (3.61. с.б).
Конечно, математика не сводится только к логическому рассуждению, которое проявляется лишь в сфере метода, но без логического рассуждения нет математики. Поэтому разработка методики обучения математике, учитывающей важность логического компонента математического мышления, всегда была одной из важных и актуальных задач теории обучения математике.
Развитию логического мышления учащихся уделяется внимание и в программе п математике. В объяснительной записке к программе говорится: "Велико значение изучения математики для общего развития учащихся, формирования у них навыков логического мышления, развития пространственных представлений, воображения, творческого мышления" (3.109, сі).
Со времен древнегреческой математики геометрия считалась традиционным полем логического развития учащихся. Это объясняется естественностью аксиом геометрии, возможностью сравнительно быстрого получения нетривиальных результатов (что существенно для пропедевтики дедуктивных рассуждений), доказательство которых служит школой обучения искусству дедуктивного рассуждения. Хотя в курсе алгебры в настоящее время появляются и начинают работать некоторые логические понятия, тем не менее за геометрией осталась традиционная ведущая роль в формировании важнейших логических умений. Это связано с тем обстоятельством, что именно при изучении геометрии учащиеся знакомятся с идеей дедуктивного построения теории, а основным элементом построения является доказательство.
Таким образом, можно заключить, что обучение доказатель- ству является важной задачей курса геометрии средней школы, а актуальность ее решения обусловлена потребностями, далеко выходящими за рамки собственно математики.
Вместе с тем школьная практика показывает, что обучение умению доказывать в курсе геометрии не находится пока на нужном уровне. Свидетельством этому служат результаты проверочных и контрольных работ, итоги вступительных экзаменов в вузы, критические выступления в печати, на учительских совещаниях и конференциях (см., например: 3.4, с.38; 3.25, с.48; 3.46, с.45; З.бб, с.60; 3.98, с.50; З.ПЗ, с.38; 3.I2I, с.45 и др.). По мнению многих учителей, одной из причин низкого уровня развития умения доказывать (см., например, З.бб) является несовершенство системы упражнений в учебниках геометрии, при этом задачи на доказательство в учебниках геометрии либо слишком просты, либо слишком сложны для учащихся.
Существенный недостаток всех школьных учебников геометрии состоит в том, что, уделяя внимание объяснению таких важных понятий, как аксиомы и теоремы, определяемые и неопределяемые понятия, они оставляют в стороне понятие доказательства, как бы считая его интуитивно понятным учащимся. В учебниках 4-5 классов не наблюдается явного стремления развивать у учащихся потребность доказывать. Вместе с тем, известно, что понятие доказательства не является естественным и простым (см., например, 3.II7). Привычка к индуктивному мышлению, развитая в младших классах, способствует тому, что учащиеся в начале изучения систематического курса геометрии не видят необходимости в проведении дедуктивных рассуждений. Это в значительной степени связано с ориентированностью учеников на ознакомление с фактами, а не методами их получения. Поэтому задачу обучения школьников умению доказывать пока нельзя считать полностью решенной.
Вопросам повышения логической грамотности учащихся и, в частности, обучения их умению доказывать посвящено значительное число работ советских и зарубежных психологов, педагогов и методистов.
В работах В.В.Давыдова, Л.В.Занкова, А.В.Запорожца, В.Пиаже, Д.Б.Эльконина было показано, что простейшие дедуктивные умозаключения доступны уже детям дошкольного возраста. В работе М.М.Вахрушева доказывается, что "... плодотворная работа по обучению навыкам умозаключений мысли может быть организована с учащимися второго класса" (3.23, с.9). Г.Р.Бреслер предлагает ознакомить учащихся с элементами доказательства в ІУ-У классе (см. 3.19).
Значительное число работ методистов посвящено проблемам использования элементов математической логики для развития и повышения уровня логической культуры учащихся (см. Дк.И.Икрамов, 3.54; . И.Л.Никольская, 3.97; А.А.Столяр, 3.132 и др.). В этих работах математическая логика используется прежде всего как инструмент упорядочения и усовершенствования логической стороны курса математики и, в первую очередь, математического языка. По словам советского методиста А.А.Столяра, "традиционная методика отрывает собственно математический язык от логического, изучая первый и пренебрегая вторым. Такое обучение не может быть эффективным, так как точный смысл математических предложений и рассуждений определяется смыслом встречающихся в них не только математических, но и логических терминов*' (3.130, с.27).
Еще в 20-30-х годах методисты рассматривали вопросы строгости изложения доказательств в школьном курсе геометрии и мето- - 9 -дические подходы при обучении доказательству. Взгляды были различными. Так, А.Р.Кулишер рекомендовал постепенно вводить логические рассуждения и обобщения, "... начинать с курса, основанного на аксиомах, определениях и доказательствах, нельзя* Необходимо начинать с "идей ощутимых" (3.68, с.73). Концепция Р.В.Гангнуса и Ю.С.Гурвица, относящаяся к методике доказательства, такова: замена догматического изложения Евклида эвристическим, использование опыта, который предшествует доказательству теорем. Об аксиоматическом построении курса, обеспечивающем болев высокий уровень строгости изложения доказательств, авторы говорят, что "... аксиоматическое построение курса геометрии без опоры на геометрическую интуицию в средней школе невозможно" (3.33, с.13).
Н.М.Бескин в работе (3.II) рекомендует основным методом изложения теорем избрать генетический метод. Автор ставит вопрос о целесообразности сообщения учащимся сведений по логике, так как "... необходимо не только уметь делать логические умозаключения, но теоретически разбираться в структуре логического рассуждения" (с.4). В связи с этим в работе впервые выделяется необходимый минимум логического материала, который излагается с широким привлечением наглядности (диаграмм Эйлера-Венна, различных схем). Однако в пособиях недостаточно полно раскрыта логико-математическая структура доказательства приведением к противоречию, не выделяются схемы рассуждений при различных методах доказательств. В главе ХШ этой работы "Методика преподавания наглядной геометрии", написанной А.М.Астрябом, предлагается методическая концепция обучения обоснованию утверждений, в которой ученики строят логически обоснованные высказывания о свойствах изучаемых фигур, "... пользуясь не дедук- тивным методом, ... а методом индуктивным" (с.266), при котором "... убеждаемся в справедливости определенного свойства при помощи логических рассуждений, исследуя не общий случай, а только отдельный" (с.266).
В методике (3.17) А.М.Брадис объясняет трудность первых логических шагов по усвоению доказательств теорем "... неправильным подходом" (с.314). По мнению автора, обучение доказательству необходимо осуществлять в несколько этапов. На первом этапе умело и почаще использовать интуицию, наглядность, опыт и моделирование, выяснение возможности опытной проверки заключения и недостаточности этой проверки. На последующих этапах "идет расчленение всего рассуждения на отдельные умозаключения (этапы, шаги) с четким обоснованием каждого..." (с.338). В этой работе лишь перечисляются такие вопросы, как предложения обратные, противоположные, обратные противоположным, условия необходимые и достаточные. Не раскрывается характеристика методов доказательства.
Широкий круг вопросов по методике обучения доказательству рассматривается в методике В.В.Репьева (3.II6). Рекомендуется шире применять наблюдение и опыт, упоминается о существовании различных методов доказательства.Важным шагом при разработке методики доказательств является выделение правил доказательства теорем, "вытекающих из сущности математических доказательств" (с.83). Повторение теорем рекомендуется проводить с использованием упражнений на составление "родословных" теорем. При изложении методов доказательств В.В.Репьев не ограничивается только их перечислением и демонстрацией на примерах, после описания сущности каждого метода вводится схема его применения.
Методическая концепция М.М.Шидловской по обучению школьни- - II - ков доказательству теорем, изложенная в книге (3.82), такова: изучение доказательств должно проходить в несколько этапов. Первый этап (индуктивное восприятие содержания теоремы) осуществляется такими путями: I) рассмотрение наглядных подвижных моделей или ряда чертежей; 2) выполнение построений; 3) проведение измерений; 4) решение задач на вычисление; 5) решение задач на отыскание некоторых зависимостей (с.367). После усвоения содержания теоремы следует давать ее формулировку (второй этап). На этом этапе "самое главное - это различение условия и заключения теоремы" (с.373). Следующий этап - усвоение доказательства. Работа по усвоению доказательства теоремы должна осуществляться аналитически, так как "для усвоения смысла доказательства ... лучшим путем является применение анализа" (с.381).
Для лучшего уяснения доказательства, пишет В.Г.Чичигин, важное значение имеют правильная постановка проблемы, раскрытие идеи доказательства и предупреждение возникновения ошибок (см. 3,153).
Д.Пойа в книге (3.102) предпринял попытку разработать общий подход к обучению решению задач. Процесс решения задачи он подразделяет на четыре этапа, составляющие четыре части "таблица Пойа" (понимание постановки задачи; составления плана решений; осуществление плана; изучения полученного решения). В каждой части таблицы ставится ряд вопросов, возникающих в процессе решения задачи. Ответы на эти вопросы содержатся в книге в виде "краткого эвристического словаря", который составляет основное содержание книги (с.44-201). С книгой (3.102) тесно связана и другая книга (3.103) этого же автора.
А.Б.Василевский в книге (3.21) указывает, что "поиск решения задачи на доказательство можно расчленить на следующие - 12 -виды работы: а) построение фигуры, в максимально возможной степени от вечающей всем условиям задачи (как по форме, так и по аккурат ности исполнения чертежа); б) инструментальный поиск свойств фигуры, доказательство справедливости или ложности полученных гипотез; в) инструментальное построение множества точек, которому принадлежит та точка, свойства которой используются для обосно вания решения задачи, доказательство свойств этого множества; г) применение всех или части обнаруженных и обоснованных свойств фигуры к доказательству сформулированного в задаче свойства этой фигуры" (с.79).
В книге (3.20) подробно рассмотрены методы решения геометрических задач.
Ю.М.Колягин процесс решения задачи разбивает на четыре этапа: на первом этапе - поиск необходимой информации в сложной системе памяти; на втором - выбор стратегии и поиск плана решения; на третьем - выбор способа оформления решения; на четвертом - поиск путей рационализации решений (см. 3.62).
При обучении доказательству, считает И.Ф.Тесленко, важно обеспечить правильный переход от "единичного" или "отдельного" (рисунок, модель фигуры и т.д.) к "общему". Раскрытие при доказательствах связей между "отдельным" и "общим" содействует осуществлению процесса обобщения, т.е. осуществлению "обогащения понятия признаками, свойствами, определениями" (3.136, с.39). Существенная роль при этом принадлежит раскрытию структурных особенностей понятий, обучению правильному пользованию простыми умозаключениями, раскрытию структуры геометрических утверждений. Автор разработал конкретные методические приемы работы - ІЗ - учителя по обучению доказательствам: І) решение подготовительных упражнений, имеющих задачей постепенный охват круга вопросов, возникающих при доказательстве некоторой теоремы или группы теорем; 2) постановка проблемных ситуаций; 3) ознакомление учащихся с алгоритмами определения понятий и доказательства теорем, т.е. "с тем, в какой последовательности выполнять логические операции, из которых состоит доказательство теоремы, чтобы вывод теоремы стал очевидным" (3.136, с.40).
Авторы методики (3.83), рассматривая некоторые приемы обучения доказательству, отмечают целесообразность на начальном этапе "чаще обращаться к конкретно-индуктивному методу" (с.117), применять модели, отображающие математические ситуации. Для воспитания у учащихся потребности в доказательстве введение теоремы полезно начинать с задач практического характера. Однако " в некоторых случаях целесообразно до введения теоремы ставить перед учащимися и задачи абстрактного характера, решение которых может привести их к самостоятельному установлению нужной теоремы" (с.118). Введение теорем, поиски доказательств нужно строить так, чтобы "учащиеся сами обнаруживали это доказательство, "открывая" его вслед за "открытием" теоремы" (с.118). Отдельным вопросом рассматривается пропедевтика обучения учащихся доказательству утверждений. Обучение пониманию структуры доказательств, по мнению авторов, следует осуществлять путем решения упражнений, раскрывающих структуру доказательств и связи между суждениями в процессе доказательства утверждений.
В работе П.М.Эрдниева (3.155) ставятся вопросы интенсификации обучения доказательству теорем на основе применения метода укрупнения дидактических единиц. Среди важных средств укрупнения единиц усвоения геометрических знаний при доказатель- ствах выделяются: одновременное рассмотрение взаимосвязанных задач и теорем, рассмотрение (изредка) взаимосвязей между четверкой теорем "логического квадрата", совместное и одновременное изучение взаимно обратных теорем.
А.А.Столяр формулирует такие требования, необходимые при обучении учащихся доказательствам: I) школьный курс геометрии ни на одном этапе обучения не строится как формальная дедуктивная система и всегда остается в рамках содержательной модели; 2) в школьных доказательствах теорем неизбежны интуитивные элементы; 3) понимание потребности в логическом доказательстве лучше достигается на неочевидных примерах. В обучении доказательствам выделяются два уровня: I - (4-7 кл.) используемые в доказательствах правила вывода остаются невыясненными, они применяются в неявном виде; П - (8-Ю кл.) несколько уточняется понятие доказательства, учащимся разъясняются простейшие правила вывода. На этом уровне ученикам становится доступным анализ доказательства, выявление его логической структуры и используемых в нем.правил вывода (см. 3.133, с.149).
Н.В.Метельский отмечает, что "знакомство школьников с различными методами доказательства ... имеет первостепенное значение для обучения доказывать самостоятельно" (3.81, с.170). Достижению этой цели способствует знание и применение определенных правил доказательства.
А.К.Артемов в работе (3.7) сделал интересную попытку построения методики обучения обобщенным приемам доказательства геометрических теорем. Выделены правила доказательства некоторых групп теорем. Конечная цель работы состоит в том, "чтобы научить школьников самостоятельному использованию такого правила, т.е. сформировать у них обобщенный прием работы". Однако в работе - 15 -рассмотрены только "похожие" теоремы в рамках одного параграфа или раздела.
Специальные пособия для учителей по данной проблеме, в основном, разработаны по программам, действовавшим до 1965 г.
Ф.Ф.Притуло в книге (3.105) считает, что "успех в изложении доказательств определяется не применением какого-нибудь метода или приема, а системой преподавания в целом" (с.90). Методика обучения доказательству, по его мнению, должна состоять из четырех частей: постановка общей проблемы, формулировка теоремы, отыскание доказательства, изложение доказательства. Автор впервые поднимает вопрос о воспитании у учащихся потребности в доказательстве как специальную проблему методики. Пути решения этой проблемы также предложены: возбуждение сомнения в справедливости теоремы, разъяснение ученикам на примерах общности, точности и объективности доказательства и другие приемы. Содержание этих приемов различно (использование оптических иллюзий, подбор задач на доказательство, таких, где невозможны точные измерения и т.д.). Однако приемы, основанные на принципе "посеять сомнение", кроме достоинств имеют и существенные недостатки, так как у учащихся складывается отрицательное отношение к интуиции, роль которой в математике неоспорима; возникает недоверие к результатам опыта, на который приходится опираться при изучении математики в 8-летней школе. Кроме того, реализовать данные приемы не для каждой теоремы возможно. Всякий раз необходимо исходить из "индивидуальных особенностей каждой теоремы, из учета конкретных условий, позволяющих обосновать сомнения, сделать их законными в глазах учащихся" (5.105, с.50).
Аналогичные приемы воспитания у учащихся потребности в доказательстве рекомендует Н.М.Бескин: "Надо посеять в ученике сомнение в справедливости данной теоремы, а потом уже это сомнение разрешить" (З.П, с.71).
Рассматривая задачи на доказательство, наряду с другими видами задач, Ф.Ф.Нагибин и А.Ф.Семенович в работе (3.90) выделяют такие вопросы методики обучения доказательству в 8-летней школе: а) совместное изучение прямой, обратной и противоположных теорем; б) обучение учащихся пониманию идеи доказательства; в) группирование теорем в специальные серии по принципу одинаковости идеи доказательства.
Сущность подхода, предложенного А.р.Кузьминой, заключается в составлении специальных упражнений, подготавливающих учащихся УІ класса к восприятию наиболее трудных теорем курса (3.67).
Е.Ф.Данилова считает, что в начале обучения доказательствам целесообразно использовать индуктивный метод. "Индуктивным методом следует пользоваться для восприятия сущности задачи и теоремы, для наведения учащихся на догадку о какой-либо зависимости или свойстве, для отыскания пути решения задачи или доказательства теоремы. В связи с этим в урок геометрии должен быть внесен творческий элемент" (3.45, с.4). В ее работах приведены общие методы обучения отысканию путей доказательства, сделана попытка систематизировать имеющиеся правила и указания для учащихся.
И.Ф.Тесленко и В.В.Фирсов, говоря о методических особенностях обучения доказательству учащихся по учебному пособию (3.I0I) А.В.Погорелова, указывают, что доказательства в книге ради логической его строгости и полноты приведены со всеми необходимыми аргументами. Поэтому оно выглядит громоздким и вряд ли окажется понятным учащимся: логические тонкости обоснования закроют им простой и наглядный смысл геометрической картины. - 17 -Но это иготовое доказательство, воспроизведением которого должно заканчиваться изучение геометрии. На уроке же рекомендуется поступить так: сначала предложить учащимся сокращенное наглядное доказательство, опуская некоторые логические аргументы в тех случаях, когда их смысл ясен из чертежа и наглядных соображений, - первый проход доказательства. Когда идея доказатель*-ства понята учащимися, доказательство повторяется,причем опущенные аргументы приводятся, и на них акцентируется внимание, -второй проход доказательства. Наконец, в третьем проходе доказательство воспроизводится полностью в том виде, как оно приведено в учебнике (3.IO0, с.267).
Авторы пособия (3.38)характеризуя методику обучения учащихся доказательству по учебному пособию А.В.Погорелова, пишут следующее: "Учебником предусмотрено постепенное и естественное овладение самой идеей строго дедуктивного построения курса и реализующими ее способами рассуждений. Аксиомы подаются как хорошо известные учащимся свойства геометрических фигур". Доказательства первых теорем приводятся в иллюстративном плане. Предполагается, что в начале учащиеся будут осваивать непривычные для них схемы рассуждений и словесные конструкции, действия по образцу, т.е. повторять сказанное (написанное на доске) учителем и воспроизводить текст учебника; на дом следует давать задачи, аналогичные решенным на уроке (см. вып.1, с.4).
Из приведенного обзора литературы следует, что доказательство занимает важное место в школьном математическом образовании, а проблема обучения учащихся доказательству широко освещена в методической литературе. Однако эта проблема применительно к курсу геометрии в восьмилетней школе, где закладывается фундамент обучения доказательству, не получила до сих пор удовлетво- - 18 -рительного, пригодного для широкой практики обучения, решения. Многие же из тех решений, которые предлагались, не реализованы в практике обучения, в частности потому, что они не были достаточно конкретизированы или же, наоборот, некоторые решения были жестко привязаны к определенному школьному учебнику, в результате чего появление нового учебника вновь порождало эту проблему. Следует также отметить, что в литературе встречаются лишь упоминания о необходимости формирования у учащихся ІУ-УІ классов потребности в обосновании истинности утверждений или отдельные примеры, однако исследование не доведено до описания системы такой работы. Таким образом, проблема обучения учащихся доказательствам теорем в курсе геометрии восьмилетней школы является актуальной.
Проблемой нашего исследования и является обучение учащихся доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы.
Предметом исследования являются структуры доказательств теорем школьного курса геометрии УІ-УШ классов и умение доказывать.
Объектом исследования является обучение учащихся геометрии в УІ-УШ классах.
Цель исследования - определение реальных возможностей совершенствования обучения учащихся доказательству в курсе геометрии УІ-УШ классов и разработка методики их реализации.
Гипотеза данного исследования заключается в том, что с помощью разработанной методики и средств обучения можно совершенствовать умения учащихся проводить доказательства геометрических утверждений.
В соответствии с целью и проблемой исследования были поставлены следующие задачи: проанализировать доказательства в курсе геометрии УІ-УШ классов с целью выявления их структуры и схем используемых в них умозаключений; определить основные компоненты умения доказывать и место формирования этих умений в курсе математики ІУ-У классов и геометрии УІ-УШ классов; разработать методику формирования умения доказывать в УІ-УШ классах; разработать систему упражнений для обучения доказательству; экспериментально проверить предложенную методику и систему упражнений.
При решении поставленных задач были использованы следующие методы исследования: изучение материалов съездов КПСС и постановлений ЦК КПСС с Совета Министров СССР по вопросам работы школы; изучение трудов классиков марксизма-ленинизма по теории познания; изучение психолого-педагогической и методической литературы, связанной с исследуемой проблемой; логический анализ доказательств школьной геометрии; педагогические наблюдения, эксперимент, анализ работ учащихся, беседы с учащимися и учителями; методы математической статистики.
Научная новизна исследования заключается в следующем: выявлены наиболее часто используемые в курсе геометрии УІ-УШ классов структуры доказательств; разработана трехэтапная методика обучения доказательству, основным компонентом которой является система упражнений, - 20 -удовлетворяющая определенным требованиям.
Практическая ценность работы заключается в том, что разра-ботанная система упражнений может непосредственно использоваться в практике обучения. Кроме того, по описанной в диссертации методике учителя могут сами составлять подобные упражнения. Разработанные методические требования к системе упражнений можно реализовать при изучении курса планиметрии восьмилетней школы.
По существу диссертационного исследования автор выступал на:
Республиканских педагогических чтениях (Ташкент,1974 г.);
Всесоюзной конференции "Совершенствование методической подготовки учителя математики в педагогических институтах" (Андижан, 1982 г.); заседаниях сектора методики обучения математике Узбекского научно-исследовательского института педагогических наук (Ташкент, 1974-1977 гг.); расширенном заседании кафедры методики преподавания математики Ташкентского государственного педагогического института имени Низами (1980 г.); семинаре кафедры геометрии и методики преподавания математики Андижанского государственного педагогического института (1974-1984 гг.); курсах повышения квалификации учителей (Андижан, 1975-1984 гг.).
Разработанная автором методика обучения доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы внедрена в школах города Андижана, Андижанской и Наманганской областей Узбекской ССР.
На защиту выносятся следующие положения: в процессе обучения доказательству учащихся восьмилетней школы целесообразно выделить три этапа: а) подготовительный (ІУ-У классы); б) ознакомляющий (УІ класс); в) обучающий (УП -УШ классы); логический анализ доказательств позволяет выявить схемы используемых в них умозаключений, а также построить адекватную систему упражнений; система упражнений, построенная на основе выявленных схем доказательств теорем школьного курса геометрии и анализа умения доказывать, является эффективной ; разработанная методика и методические требования к системе упражнений можно реализовать при изучении курса планиметрии восьмилетней школы.
