Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретические основы обучения доказательству в основной школе 14
1. Обучение доказательству как предмет исследования 15
2. Психолого-педагогические основы обучения доказательству 33
3. Логико-математические средства обучения доказательству 48
4. Некоторые логические проблемы обучения доказательству в школе и возможный путь их решения 66
5. Принципы обучения доказательству в курсе математики основной школы 77
ГЛАВА 2. Методика обучения доказательству учащихся основной школы с использованием средств естественного вывода 85
1. Методические особенности обучения учащихся правилам построения доказательства с помощью дедуктивных схем 85
2. Методика использования дедуктивных схем при обучении доказательству учащихся 7-8-х классов 101
3. Использование дедуктивных задач при обучении доказательству учащихся основной школы 126
4. Использование компьютера в обучении доказательству 138
5. Организация и результаты педагогического эксперимента 148
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 164
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 166
ПРИЛОЖЕНИЯ 181
- Обучение доказательству как предмет исследования
- Логико-математические средства обучения доказательству
- Методические особенности обучения учащихся правилам построения доказательства с помощью дедуктивных схем
Введение к работе
Одной из наиболее актуальных задач современной общеобразовательной
школы является интеллектуальное развитие учащихся. Уровень развития мыслительных способностей учащихся неразрывно связан с умением правильно рассуждать, то есть рассуждать в соответствии с логическими правилами. Это дает основание полагать, что одной из основных задач обучения, в первую очередь обучения математике, является логическая подготовка учащихся, развитие их дедуктивного мышления.
Логическим проблемам обучения математике в школе и вузе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги, такие как В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, Л.А. Калужнин, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Маркушевич, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, Д. Пойа, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин и др.
Некоторые логические аспекты математической подготовки учащихся затронуты в докторских диссертациях А.Л. Жохова, В.А. Тестова, А.Х. Назиеваи др.
Специалисты в области методики преподавания математики сходятся во мнении, что изучение математики имеет исключительное значение в развитии дедуктивного мышления учащихся в силу той особой роли, которую играют доказательства в математике и в обучении математике. Однако обучение доказательству без объяснения того, как мы доказываем, не позволяет в полной мере использовать возможности этого обучения. Для повышения эффективности обучения доказательству должна быть организована специальная работа по разъяснению того, что такое доказательство и как оно устроено.
Обучение доказательству как предмет исследования
Проблема обучения учащихся доказательству всегда была одной из центральных в методике преподавания математики.
Проблемой обучения доказательству в школьном курсе математики занимались многие отечественные и зарубежные специалисты в области методики преподавания математики. В научно-методической литературе отражены различные аспекты этой проблемы. Крупнейшие математики подчеркивали особую роль доказательств в обучении, в их работах уделяется большое внимание наиболее важным аспектам обучения доказательству.
Проблеме обучения поиску и построению доказательства с использованием содержательных эвристик посвящены известные книги Д. Пойа, И. Лакатоса. Этой проблеме уделялось немалое внимание также в работах Г.Д. Балка, В.Г. Болтянского, М.Б. Воловича, В.А. Гусева, В.А. Далингера, Г.И. Саранцева и др.
Вопросу соотношения интуиции и логики, а также проблеме строгости изложения математических доказательств и построения школьной математики в целом уделяли внимание такие крупнейшие математики, как А.Д. Александров, Д. Гильберт, Ф. Клайн, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев Д. Пойа, А.Пуанкаре, А. Реньи, П.Л. Чебышев. Эти проблемы рассматривали в своих исследованиях специалисты в области методики преподавания математики, такие как В.И. Игошин, А.А. Столяр, П.М. Эрдниев и др.
Проблемы аксиоматического изложения математики в школе исследовали Н.М. Бескин, А.Н. Колмогоров, Е. Тоцки и др.
На особую роль обучения учащихся анализу математических доказательств указывали В.А. Далингер, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, А.А. Столяр, И.Л. Тимофеева и др. Обучение учащихся логическим методам построения доказательства рассматривается в работах Э.И. Айвазяна, В.А. Далингера, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, И.Л. Тимофеевой и др.
Возможности использования в обучении доказательству средств, предоставляемых математической логикой, исследовали в своих работах Л.А. Калужнин, Д. Пайсон, А.А. Столяр, И.Л. Тимофеева и др. Особенности формирования понятия доказательства, связанные с математическими моделями указанного понятия, на которые опирается это формирование, исследовали А.А. Столяр и И.Л. Тимофеева.
Проблемы, связанные с логическими ошибками учащихся в рассуждениях, рассмотрены в работах В.М. Брадиса, Я.С. Дубнова, Д.А. Скрыпника, А.И. Уемова и др.
Изучение элементов логики на факультативных занятиях предлагается в работах Н.Я. Виленкина, А.Д. Гетмановой, И.Л. Никольской, А.А. Столяра и др.
Г.И. Саранцев отмечает [149], что в теории и методике преподавания математики существуют разные точки зрения на содержание понятия "обучение доказательству". Одни специалисты считают необходимым специально организовывать прежде всего обучение школьников поиску и самостоятельному построению доказательств, другие ставят на первое место обучение анализу готового доказательства. "Существующие точки зрения на обучение доказательству определяют соответствующие им направления в исследовании этой проблемы: логические аспекты обучения доказательству и эвристические аспекты этой проблемы" [149, с. 14]. Сам же Г.И. Саранцев считает, что целесообразно сочетать обучение поиску и построению доказательства с обучением анализу готового доказательства.
Приведем несколько подходов известных специалистов в области методики преподавания математики в понимании того, что такое "обучение доказательству".
Среди работ, в которых на первое место поставлено обучение учащихся самостоятельному поиску доказательства, особо следует отметить книги Д. Пойа. Им разработана методика использования методов научного познания в решении задач. В своих книгах Д. Пойа в основном пишет об обучении учащихся эвристическим приемам поиска доказательств, во главу угла он ставит развитие эвристического мышления учащихся. Такой акцент в обучении доказательству значительно стимулировал разработки различных методик обучения решению задач на доказательство (в частности, обучения поиску способа решения задачи на доказательство), формирования эвристических приемов и т.п. Особую роль обучения учащихся открытию теоремы, эвристическим приемам построения доказательства отмечает И. Лакатос. В его книге [90] детально описывается работа с учащимися над поиском и построением доказательства.
З.И. Слепкань под обучением доказательству понимает обучение учащихся готовым доказательствам и обучение самостоятельному поиску доказательств. З.И. Слепкань считает, что "при надлежащей постановке обучения готовым доказательствам, можно формировать у школьников необходимые компоненты самостоятельного поиска и построения доказательств. Готовые доказательства должны выступать как модели, на которых школьники обучаются приемам умственной деятельности, лежащим в основе умения доказывать, применять различные методы доказательств, самостоятельно искать доказательства по аналогии с изученными" [152, с. 83].
А.А. Столяр под обучением доказательству понимает "обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств" [160 с. 112]. А.А. Столяр призывает к обучению учащихся логическим средствам, используемым при построении доказательств, к разъяснению учащимся того, что такое доказательство.
По мнению В.М. Туркиной [172] умение доказывать включает в себя: умение искать доказательство (процесс поиска действий и последовательности их выполнения); умение проводить доказательство (процесс, где требуется выполнить действия в определённой последовательности); умение оформить доказательство (доказательство как результат). В.М. Туркина [172] выделяет следующие уровни умения искать доказательство: репродуктивно-алгоритмический (характеризует умение учащегося воспроизводить ранее изученное доказательство); продуктивно-алгоритмический (характеризует умение учащегося реконструировать деятельность по воспроизведению доказательства, например, воспроизводить доказательство утверждения в новой ситуации); ре-продуктивно-эвристический (характеризует умение ученика найти действия, необходимые для проведения доказательства); продуктивно-эвристический (характеризует умение находить доказательство).
Логико-математические средства обучения доказательству
Прежде чем чему-то учить, необходимо разобраться в сущности предмета обучения. Перед тем как рассматривать логико-математические средства обучения доказательству, выясним сущность самого понятия "доказательство", а также тесно связанных с ним понятий "аксиома" и "теорема".
Известный российский логик и математик В.А. Успенский считает, что понятие доказательства принадлежит не математике (математике принадлежит только его математическая модель), а скорее психологии, поскольку доказательство - это рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других [174]. Кроме того, В.А. Успенский отмечает, что, восприняв доказательство, мы приобретаем "готовность убеждать других с помощью этого воспринятого нами рассуждения. Если же мы не приобретаем такой готовности, это значит, что мы еще не восприняли предъявленное нам рассуждение как доказательство, и если даже признали его доказательством, то просто, чтобы отмахнуться" [174, с. 140].
В математической энциклопедии дано следующее описание понятия доказательства: "Доказательство в широком смысле этого слова есть способ обоснования истинности того или иного суждения" [111, т. 2, с. 367-368]. Однако такое представление о доказательстве в широком смысле недостаточно для понимания сущности математического доказательства, когда речь идет об обучении доказательству.
В учебной и справочной литературе для учащихся часто встречаются следующие разъяснения этого понятия. Например, А.В. Погорелов в своем учебнике [135] пишет: "Правильность утверждения ... устанавливается путем рассуждения, это рассуждение называется доказательством" [135, с. 17]. В Большой энциклопедии для школьников предложено следующее разъяснение: "Доказательство — это рассуждение, с помощью которого устанавливают правильность некоторого утверждения. Чтобы доказать утверждение, необходимо провести цепочку истинных умозаключений, идущих от исходных для данной теории аксиом или определений к доказываемому утверждению. При доказательстве разрешено использовать определение понятий, их основные свойства (аксиомы) и ранее доказанные утверждения" [188, с. 144-145]. Отметим, что вероятнее всего, используя термин "правильное утверждение" авторы [188], [135] имели в виду "истинное утверждение", а под "истинным умозаключением" понимали "правильное умозаключение" (если ориентироваться на общепринятую терминологию).
Возникает сразу несколько вопросов: Что такое "рассуждение", и как с помощью рассуждения можно установить "истинность утверждения"? Что такое "правильное умозаключение"? Всякое ли рассуждение является доказательством, и если нет, как отличить доказательство от не доказательства! В связи с этим при обучении доказательству понятие "доказательство" необходимо уточнить, даже если речь идет об уточнении на интуитивном (неформальном) уровне. Прежде чем переходить к уточнению понятия доказательства отметим, что далее, употребляя термин доказательство, будем иметь в виду не процесс обоснования какого-либо математического предложения, как это часто делается, а результат этого процесса, представленный в виде текста, удовлетворяющего определенным условиям (как это делается, например, в [163, с. 75]). А также в дальнейшем, для краткости, употребляя термин доказательство, будем иметь в виду математическое доказательство.
Существует два способа неформального уточнения понятия доказательства: традиционное - как линейного доказательства (то есть как последовательности предложений, удовлетворяющей определенным условиям) и нетрадиционное - как доказательства в виде дерева, предложенное и исследованное в работах И.Л. Тимофеевой [163, 169]. Отметим, что далее идет речь не о формальном математическом уточнении понятия, доказательства как вывода в некоторой формальной теории, а о неформальном уточнении понятия доказательства. Рассмотрим вначале традиционное дидактическое уточнение понятия доказательства - линейное доказательство, используемое А.А. Столяром. "Под доказательством будем понимать конечную последовательность предложений, принадлежащих данной теории, которая удовлетворяет двум условиям: а) каждое предложение этой последовательности представляет собой или аксиому, или определение, или ранее уже доказанную теорему, или допущение (условие доказываемой теоремы) или же получается из предшествующих предложений по одному из (допустимых) правил вывода; б) последнее предложение этой последовательности есть доказываемое утверждение" [160, с. 117]. "Если существует хотя бы одна такая последовательность предложений, оканчивающаяся предложением Г, то Г- теорема..., аксиома теории есть теорема, доказательство которой состоит из одной этой аксиомы" [160, с. 112].
Прежде всего отметим, что обычно внимание школьников не акцентируется на том, что можно говорить только о доказательстве в некоторой определенной теории. Поскольку речь идет об аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах, то уже подразумевается, что все предложения принадлежат какой-то одной математической теории.
В приведенном выше описании понятия доказательства фигурирует термин "теорема". Здесь возникает "порочный круг", который заключается в том, что при определении понятия доказательства используется понятие теорема, которое определяется через понятие доказательства. В данном случае "порочный круг" легко устранить, исключив из этого описания упоминание о ранее доказанных теоремах. Однако при этом описание понятия доказательства будет весьма далеким от большинства реальных доказательств, поскольку практически почти невозможно все свести к аксиомам. На практике только для самых простых утверждений приводится доказательство в указанном выше смысле. В большинстве случаев наряду с аксиомами используются утверждения, доказанные ранее, причем для каждого такого утверждения теоретически можно восстановить его доказательство [163].
В процитированном из книги А.А. Столяра описании понятия доказательства говорится, что членом последовательности предложений может быть "допущение (условие доказываемой теоремы)". Однако непонятно, что такое допущение. Согласившись, что допущением может служить только условие теоремы, мы тем самым не будем учитывать другие допущения в различных косвенных доказательствах. Например, доказательство утверждения "72 не является рациональным числом", которое проводится методом приведения к нелепости, не будет удовлетворять указанным в описании условиям, поскольку одним из членов последовательности будет предложение: "допустим, что V2 - рациональное число", которое не является условием доказываемого утверждения. Более того, об условии имеет смысл говорить только в том случае, когда доказываемое утверждение сформулировано в виде импликации. Однако, например, утверждение " V2 не является рациональным числом" нельзя сформулировать в виде импликации. Следует таюке отметить, что и доказательства импликативных утверждений могут содержать промежуточные допущения, которые не являются условиями (например, в доказательстве разбором случаев). Таким образом, из приведенного описания понятия доказательства стоит удалить упоминание об условии теоремы, как о допущении, считая, что не только условие теоремы может быть членом последовательности в качестве допущения.
Далее перейдем к особенностям записи доказательства в виде последовательности предложений, то есть к линейному упорядочиванию членов доказательства. Линейное доказательство представляет собой конечную последовательность предложений, каждое их которых является или аксиомой, или допущением, или предложением, верным в силу определения, или следует из предшествующих предложений по какому-либо логическому правилу [163].
Методические особенности обучения учащихся правилам построения доказательства с помощью дедуктивных схем
Формирование дедуктивной деятельности учащихся следует начинать с 5-го класса. Задолго до того, как доказывать первые теоремы в 7-м классе, с учащимися должна быть проведена пропедевтическая работа, направленная на формирование у них способности проводить элементарные рассуждения. На уроках математики в 5-6-х классах целесообразно больше внимания уделять разъяснению смысла слов "следует", "следовательно" и их аналогов; знакомить учащихся с правилами построения доказательства в процессе их использования. При изучении правил построения доказательства можно опираться на учебники Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон для 5-6-х кл. [49, 50], поскольку в них содержится материал логического характера. Во-первых, в этих учебниках разъясняется смысл логических союзов и кванторных слов, без чего невозможно объяснить учащимся смысл ло 86 гических правил. Во-вторых, в этих учебниках на доступном уровне разъясняется смысл важнейших правил доказательства. Учитель может использовать указанные учебники в качестве как основной, так и дополнительной литературы.
В этих учебниках приводится описание следующих правил: правило доказательства утверждений о существовании, правило конкретизации (правило удаления квантора общности), правила доказательства отрицания предложений с кванторами, правила доказательства отрицания утверждений вида "А и В", "А или В", "Если А, то В", правило доказательства общих утверждений, правило доказательства утверждений вида "Если А, то В" (правило доказательства введением вспомогательной гипотезы). Мы считаем, что целесообразно добавить еще несколько часто используемых в рассуждениях правил: правило доказательства утверждений вида "А и В", правило частного заключения, правило контрапозиции, правило доказательства разбором случаев, правило доказательства приведением к нелепости.
Эти правила и их названия полезно представить в демонстрационной таблице (см. приложение 3), к которой при необходимости можно обращаться во время урока. Эту демонстрационную таблицу целесообразно заполнять по мере изучения правил построения доказательства: после обсуждения на уроке изучаемого правила его следует добавить (вклеить) в эту таблицу. Отметим, что мы не считаем необходимым требовать от учащихся "заучивания" названий рассматриваемых логических правил. Однако учащиеся должны по схеме, предложенной в демонстрационной таблице, уметь пояснять суть рассматриваемого правила.
В учебниках [49, 50] приводится только словесное описание логических правил. При обучении учащихся 5-6-х классов логическим правилам мы считаем целесообразным использовать схемы, которые позволяют наглядно отразить форму элементарных рассуждений, проведенных согласно изучаемому правилу. Различные варианты представления правил построения доказательства описаны в статье [104]. Мы используем представление логических правил с помощью дедуктивных схем.
Совместно с Т.В. Лоцмановой ([103], [104]) нами разработаны методические рекомендации по ознакомлению учащихся 5-6-х классов с логическими методами доказательства (см. приложение 2). Основу этих рекомендаций составляет использование правил естественного вывода.
Похожие диссертации на Методика обучения доказательству с использованием средств естественного вывода при изучении курса математики основной школы
