Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УЧЕБНЫХ ЗАДАЧ 10
1.1. О понятии "задача" 10
1.2. Различные подходы к классификациям математических задач..25
1.3. Дидактические функции математических задач 39
ГЛАВА II. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОТБОРА ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ В КЛАССАХ РАЗЛИЧНОЙ
ПРОФИЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ 64
2.1. Принципы индивидуализации и дифференциации обучения 64
2.2. Особенности обучения математике в условиях профильной и уровневой дифференциации обучения 83
2.3. Принципы отбора задач для изучения определённой темы курса математики старших классов 97
ГЛАВА III. МЕТОДИКА ОТБОРА ЗАДАЧ ПО НЕКОТОРЫМ ТЕМАМ КУРСА МАТЕМАТИКИ СТАРШИХ КЛАССОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОФИЛЯ ОБУЧЕНИЯ 111
3.1. Применение производной к исследованию функций 112
3.2. Многогранники 143
3.3. Результаты педагогического эксперимента 154
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 176
ЛИТЕРАТУРА 179
- О понятии "задача"
- Принципы индивидуализации и дифференциации обучения
- Применение производной к исследованию функций
Введение к работе
В последнее время в связи с дифференциацией обучения появились школы и классы различного профиля обучения. Курс математики претерпевает при этом серьёзные изменения. Они касаются как содержания, так и методов и форм преподавания. В новых, изменившихся условиях нужно обновление исследований по наиболее важным проблемам. К таковым несомненно относится проблема отбора задач по математике. В умении решать разнообразные задачи проявляется, как известно, неформальное владение учащимися теоретическим материалом. Учитель математики постоянно сталкивается с проблемой отбора задач как при подготовке к отдельному уроку, так и к серии уроков по той или иной теме. Важно делать это в соответствии с принципами, которые помогут учителю в условиях дифференциации обучения добиться желаемого уровня овладения учебным материалом школьниками, а также помогут развить их способности, учитывая при этом склонности и индивидуальные особенности учащихся.
Изучение вопросов, связанных с дифференциацией и индивидуализацией обучения отнюдь не новое явление для отечественного образования. Например, обсуждению этих вопросов было уделено серьёзное внимание уже на Всероссийских съездах преподавателей математики в 1911-1914 годах.
Всесоюзный съезд работников народного образования, проходивший в декабре 1988 года в Москве, стал отправным пунктом новой реформы школьного образования. Одной из её главных задач была названа дифференциация и индивидуализация обучения. Разработкой концепции дифференцированного обучения и проблемами, связанными с дифференцированным обучением математике, занимались многие известные исследователи (М.И. Башмаков, В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, И.М. Смирнова, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова и др.). Примерно в тот же период были написаны пробные учебники по математике для гуманитарных и технических классов.
Психологические аспекты дифференциации обучения рассматривались в исследованиях Л.В. Занкова, В.А. Крутецкого, Н.Ф. Талызиной и
др.
С педагогических позиций занимались исследованием дифференциации и индивидуализации обучения Ю.К. Бабанский, И.Я, Лернер, М.Н. Скаткин, И.Э. Унт и др.
В методике преподавания математики довольно полно разработаны вопросы обучения учащихся решению математических задач. В методических исследованиях выявлены роль и место задач в процессе обучения математике, охарактеризованы этапы решения задачи (Г.Д.Глейзер, Ю.М.Колягин, В.А.Оганесян, Н.А.Терешин, Е.Н.Турецкий, Л.М.Фридман и др.), систематизированы приемы поиска решения задачи
5 (Г.Д.Балк, М.Б.Балк, Ю.М.Колягин, В.И.Крупич, В.И.Мишин, Д.Пойа,
А.А.Столяр и др.), проанализированы внешняя и внутренняя структура
задачи (В.И.Крупич).
В различных исследованиях содержатся психологические характеристики процесса решения задач (Л.Л.Гурова, З.И. Калмыкова, В.А.Крутецкий, Я.А. Пономарев, З.И. Слепкань и др.), рассмотрены фазы мыслительного процесса при решении задач (Н.А.Менчинская), выделены обобщенные приемы умственной деятельности (З.И.Калмыкова, Ю.Н.Кулюткин, А.Ф.Эсаулов и др.), рассмотрены возможности педагогического управления мыслительной деятельностью учащихся (З.И.Калмыкова, В.А.Крутецкий, З.И.Слепкань и др.).
Таким образом, анализ психолого-педагогической и методической литературы свидетельствует о том, что накоплен большой материал по вопросам обучения учащихся решению задач. Вместе с тем, вопросы выбора задач для иллюстрации применения теории на практике (отбор задач, предлагаемых классу в начале изучения темы и для самостоятельного решения при закреплении материала, для домашней работы и для проверки усвоения знаний), методические принципы теоретически обоснованного подбора комплекса задач для обеспечения качественного усвоения программного материала не нашли должного освещения. В то же время дифференциация обучения ставит перед методикой преподавания математики новые задачи. Остро стоит вопрос о преподавании математики в классах различной профильной направленности. Действую-
щие учебники не всегда учитывают индивидуальные особенности учащихся, специфику профильных классов, их различия и общие черты. При этом учителя, не имея теоретических разработок для учёта этих особенностей, при работе в разных профильных классах не всегда могут в полной мере использовать имеющиеся возможности как прежних, так и новых учебных пособий. Поэтому весьма актуальным является исследование методических положений, позволяющих выбирать задачи для эффективного обучения математике в классах различного профиля обучения.
Проблема исследования состоит в том, чтобы на основе анализа психолого-педагогических и методических закономерностей усвоения математических знаний разработать теоретическое обоснование основ методики отбора задач и их практическую реализацию в старших классах различной профильной направленности.
Объект исследования -процесс обучения математике в старших классах различного профиля обучения.
Предмет исследования - методические основы отбора задач по математике в условиях профильной дифференциации обучения.
Цель исследования состоит в разработке методических основ отбора задач по математике для старших классов различного профиля обучения.
Гипотеза исследования состоит в том, что применение разработанных методических основ позволит учителю отбирать задачи по мате-
7
А матике таким образом, что они обеспечат усвоение программного мате-
риала с достаточно высоким качеством учащимися различных профилей обучения на уровне, соответствующем их индивидуальным особенностям и запросам.
Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования потребовали решения ряда конкретных задач:
Провести сравнительный анализ различных подходов к определению понятия "задача" и её функций в обучении.
Исследовать сущность и структуру математических задач.
Изучить состояние теории и практики обучения школьников старших классов в условиях профильной дифференциации обучения.
Исследовать теоретические закономерности, на основании кото-рых возможно определить критерии отбора задач для классов различного профиля обучения.
Разработать и проверить различные методические подходы к отбору задач и определить наиболее приемлемый из них.
Теоретико-методологической базой диссертационного исследования явились концепция дифференцированного обучения (В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Г.Л. Лу-канкин, И.М. Смирнова, М.В. Ткачёва), концепция личностно ориентированного образования, исследования по теории познания.
Для решения поставленных задач потребовалось использовать следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, ме-
8 тодической и математической литературы, работ по истории методики
преподавания математики, школьных программ, учебников и учебных пособий; изучение опыта работы отечественной и зарубежной школ по проблеме дифференциации и индивидуализации обучения; обобщение собственного опыта работы автора в школе; анкетирование, интервьюирование, тестирование учащихся; педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нём разработаны общие принципы отбора математических задач и даны методические основы отбора задач для изучения отдельных тем по математике с учащимися старших классов различного профиля обучения.
Практическая значимость исследования состоит в подборе различных типов задач для методического обеспечения изучения математики в старших классах различной профильной ориентации.
Апробация работы. Результаты исследования докладывались автором и обсуждались на научной сессии МПГУ по итогам научно-исследовательской работы за 2000 год (март 2001г.), на кафедре методики преподавания математики МПГУ (май 2002г.); публиковались в сборнике материалов по методике преподавания математики "Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе" (МПГУ-2000), в межвузовском сборнике научных трудов Калужского государственного педагогического университета им. К.Э.Циолковского (2000,2001).
9 Внедрение выдвинутых в исследовании положений, методических
рекомендаций осуществлялось в ходе работы в школе-гимназии № 7 города Химки Московской области и в НОУ "Средняя общеобразовательная "Пироговская школа"" ЦАО г.Москвы.
О понятии "задача"
В теории решения задач при обучении математике встречаются следующие термины: задача, математическая задача, решение задачи, поиск решения задачи, структура задачи. Выделим несколько подходов, которые позволят нам детально рассмотреть эти понятия.
В психологической и педагогической литературе наблюдаются заметные различия в трактовках смысла одних и тех же терминов, в определении соотношений между различными понятиями. Не является исключением и понятие "задача". Исследование задач имеет давние традиции в педагогической практике и педагогической теории, в частности, в практике и теории математического образования. В педагогике понятие задачи, играя важную роль, носило всё же частный характер: термином "задача" в основном описывали определённые формы учебного материала и учебных заданий. Часто в психологии задача трактуется как некий внешний фактор, определяющий активность субъекта. В ходе разработки теории деятельности (М.Я. Басов, С.Л. Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, Г.С. Костюк и др.) был развит иной подход к характеристике задач. Он позволил учесть не только внешние, но и внутренние источники активности. Задача оказывается при этом подходе одной из категорий психологии. Утверждается, что "руководимый педагогом процесс решения задачи, возникающие в этом процессе отношения, используемые средства и полученные результаты составляют структурную единицу процесса обучения" ([61]), обращается внимание на то, что "движущей силой учебного процесса является противоречие между выдвигаемыми ходом обучения познавательными и практическими задачами и наличным уровнем знаний, умений и умственного развития школьников", что учитель должен, "вооружая знаниями учащихся, последовательно подводить их ко всё более усложняющимся задачам", важно, чтобы поставленная учителем познавательная задача становилась "собственной задачей самих учащихся, ...превращалась в цепь внутренне связанных задач, которые вызывают собственное стремление школьников к познанию нового, неизвестного и к применению этого познанного в жизни" ([49]).
Во многих контекстах термин "задача" употребляется как синоним термина "цель". По мнению Л.Л. Гуровой: "Самое широкое психологическое понятие задачи, характеризующее направленность деятельности человека на каком-то её отрезке, означает цель, рассматриваемую в отношении требующихся для её достижения средств. О цели деятельности как таковой говорят безотносительно к средствам её достижения, цель характеризуется лишь отношением к мотивам деятельности. Задача выступает как более конкретная, определённая цель, достижение которой определяется имеющимися в распоряжении человека средствами" ([43], с.5).
Более узкое понятие задачи связывают не с деятельностью человека вообще, а с познавательной деятельностью, когда процесс познания приобретает относительно самостоятельную цель. По отношению к познавательной деятельности слово "задача" прочно занимает своё место в психологической терминологии и не смешивается с понятием "цель".
Частным и вместе с тем наиболее представительным случаем познавательных задач являются задачи собственно "мыслительные". Любой сложный акт деятельности осуществляется мыслящим человеком. "Не обходятся без мышления и отдельные проявления познавательной деятельности: процессы восприятия предполагают понимание и оценку воспринятого, тесно переплетаются с мысленной "обработкой" материала процессы памяти, подчас невозможно разграничить в процессуальном плане мышление и воображение..., сливаются в едином действии мышление и речь. Но задача выражения мысли, т.е. "речевая" задача - это не то же самое, что мышление посредством речи. ...По отношению же к задачам, специфическим для мыслительной деятельности (что, разумеется, не исключает участия в их решении остальных психических процессов), от прилагательного "мыслительные" можно отказаться: именно этим мы выделяем данный вид деятельности (решение задач) из всякого иного, в котором хотя и участвует мышление, но решается некоторая специальная задача, не специфическая для него. Когда мы просто говорим "зада 13 ча", то имеем в виду задачу как объект мышления, в решении которой мышление проявляется как особая деятельность" (там же, с.7).
Наряду с мыслительными задачами рассматриваются перцептивные (решение которых направлено на восприятие предметов), мнемические (направляющие деятельность памяти), имажинативные (направляющие деятельность воображения), речевые, двигательные и т.д.
Термин "задача" может использоваться в ещё более узком значении, характеризующем её содержание, область действительности, очерченную ею: "геометрическая задача", "физическая задача"и т.д. В этом значении "никаким перечислением невозможно исчерпать понятия задачи в силу бесконечного разнообразия человеческой деятельности. Однако эти понятия не выходят за пределы... понятия задачи как объекта мыслительной деятельности, а составляют его конкретные проявления" (там же, с.7).
Л.Л. Гурова даёт следующее определение задачи: "Задача - объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска усилий, позволяющих раскрыть связи ( отношения ) между известными и неизвестными ее элементами" ([43], с. 12).
Математические задачи характеризуются четкой определенностью поставленной цели, требуемого результата.
По мнению А.А. Столяра, "математическая задача - это задача, сформулированная в математических терминах" ([158], с. 150). Матема 14 тические задачи являются "важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики, средством их математического развития" ([100], с. 133).
Л.М.Фридман и Е.Н.Турецкий определяют задачу как "требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче" ([175], с.6). Авторы отмечают, что задачи, которые предлагаются школьникам, различаются характером своих объектов. Задачи, в которых хотя бы один объект является реальным предметом, называют практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными); задачи, все объекты которых являются математическими (числа, фигуры, функции и т.д.) называют математическими. Авторы отмечают, что в курсе математики решаются лишь такие практические задачи, которые сводимы к математическим.
С позиции теории учебной деятельности дается определение задачи в докторской диссертации В.И.Крупича ([81], с.4, 5). Под учебной деятельностью понимают деятельность учащихся, направленную на приобретение теоретических знаний о предмете изучения и общих приемов решения связанных с ним задач и, следовательно, на развитие школьников и формирование их личности. Учебная задача является основным структурным компонентом такой деятельности. Ее цель состоит в подведении школьника к овладению обобщенными (основными) отношениями в некоторой рассматриваемой области, к усвоению и овладению новыми способами действий, и, как следствие, к развитию определенных качеств личности учащегося. Учебная задача - это обобщенная цель деятельности, сформулированная в виде обобщенного учебного задания, например: осознать способ действий по решению уравнений определенного класса, усвоить приемы изучения теорем. Такое обобщенное учебное задание создает учебную проблему (проблемную ситуацию). В результате ее разрешения ученики овладевают соответствующими знаниями, умениями, что приводит к формированию определенных качеств личности. Такое разрешение происходит посредством системы учебных заданий, которые выполняются при решении конкретных предметных задач. Учебное задание определяется как синтез предметной задачи и учебных целей. Например, при решении текстовой задачи с помощью составления уравнения могут быть сформулированы такие учебные задания: вычленить условие и требование задачи, установить зависимость между данными и искомыми величинами и т.д.
class2 ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОТБОРА ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ В КЛАССАХ РАЗЛИЧНОЙ
ПРОФИЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ class2
Принципы индивидуализации и дифференциации обучения
Идея дифференцированного обучения давно возникла в отечествен ной школе, прошла через несколько этапов теоретического осмысления и практической реализации и остаётся актуальной и в наши дни. Уже в XVIII веке в России были организованы школы различной практической направленности, для детей из различных социальных слоев, различных сословий. Соответственно назначению учебного заведения отличалось и содержание образования: в купеческих училищах большее внимание уделялось знаниям, нужным в коммерции, в военных училищах — фортификации, географии, физической подготовке, этикету, в училищах для учёных людей - более глубокому изучению предметов, в частности -математики, для поступления в университеты. Наряду с разделением школ в соответствии с потребностями общества в различных профессиях уже чётко понималась необходимость учитывать индивидуальные особенности учеников и их интересы.
В XIX веке идея дифференциации обучения получила дальнейшее развитие. В самом начале века, в 1802 году, вновь учреждённым Мини стерством народного образования была разработана система образова ния, которая предусматривала четыре ступени: приходские училища — низшая ступень; уездные училища - промежуточная ступень; гимназии - средняя ступень; университеты - высшая ступень. Также в XIX веке, кроме семинарий, в которых получали церковное образование лица мужского пола, появились епархиальные училища — светские учебные заведения, в которых обучались девочки. В первой половине века преобладало реальное, практическое направление образования. Во второй половине - гуманитарное направление реализовалось в создании классических гимназий в противовес гимназиям реальным. Несмотря на то, что гимназии одного направления подчинялись одной программе, дифференциация находила своё выражение в разрешении увеличивать число учебных предметов для способных учеников.
Вообще, XIX век подарил много замечательных идей в области образования. Причём, высказывались и обсуждались они не только людьми непосредственно связанными со школой. То, что общество интересовали вопросы обучения и воспитания в широком смысле можно судить и по произведениям литературы. Одним из примеров может служить "Кадетский монастырь" Н.С. Лескова, где в четырёх новеллах рассказывается о директоре, экономе, докторе и учителе Закона Божия, жизни воспитанников и влиянии на них воспитателей и процесса обучения в целом. Педагоги того времени говорили о возрастных особенностях детей и необходимости сообразовывать с ними как материал, предлагаемый для изучения, так и способы его изучения. Многими подчёркивалась важность выявления склонностей и дарований учеников и их развития. В этом смысле представляет определённый интерес план обучения Александра II, тогда ещё бывшего "наследником цесаревичем", разработанный писателем В.А. Жуковским, после назначения его в 1826 году наставником, т.е. "наблюдателем за ходом учебного дела при великом князе цесаревиче". Этот план явился итогом осмысления Жуковским идей передовых педагогов того времени, таких как Песталоцци, Коменский, Локк, Мильтон, Ратихий, Базедов и других. Для знакомства с методом Песталоцци, Жуковский специально ездил в Швейцарию, не ограничившись пансионом, основанным к тому времени в С.-Петербурге другом Песталоцци, пастором Муральтом. По Плану Жуковского учение должно разделяться на три периода: первый от 8 до 13 лет; второй от 13 до 18 лет; третий от 18 до 20 лет. Первый период (отрочество) - подготовительный. В нём должны быть вкратце, но в системе, с необходимой постепенностью и сообразуясь с понятиями воспитанника, сообщены те познания, которые после будут предложены отдельно, как науки, со всеми необходимыми подробностями. Во втором периоде должны подробно преподаваться науки, необходимые воспитаннику, как члену просвещённого общества, и более подробно науки, необходимые ему сообразно с его назначением. В письме к одному из преподавателей, Жиллю, Жуковский пишет: "Итак отличительная черта первого периода систематическая связь; вообще он должен приготовить солидное основание. От 67 личительная черта второго периода расширение каждого предмета и наполнение подробностями; он строится на фундаменте, приготовленном в первый период" ([156], стр.328-364). "В третьем периоде воспитанник должен более действовать сам, нежели приобретать от наставника; не занимаясь никакой наукой, он должен составлять для себя коренные правила жизни,...правила, необходимые для последующей деятельности; ...уяснить себе взгляд на место, которое он занимает в обществе. Воспитанник должен составить обозрение знаний, приобретённых во втором периоде,...подвести итоги всему, к чему привели учебные занятия" ([165]). Говоря о ручном труде, В.А. Жуковский выражает желание придать ему практическое применение: "хотелось бы, чтобы наследник, играя, построил маленький корабль и таким образом практически ознакомился с материальной частью навигации" (там же). В Плане указываются и ещё некоторые отличия в воспитании наследника престола: "За прилежание хвалить не должно; великий князь должен привыкать видеть в исполнении своих обязанностей простую необходимость, не заслуживающую никакого особого одобрения". Образование должно заканчиваться путешествием по России: "Для наследника престола знакомство со своей страной, конечно, полезнее путешествия по чужим краям" (по Мильтону и Локку, следует оканчивать образование путешествием за границу, а не по отечеству). Таким образом, по мнению Жуковского, будут учтены особенности конкретного ученика, его социальный статус и требования будущей деятельности. В целом, выработанный В.А. Жуковским План представляет замечательное явление в педагогическом отношении. "Достоинство его системы состоит в том, что она основана на здравых психологических началах. Вместо механического обучения и схоластических приёмов, ...убивавших сознательность в учащихся, по Плану Жуковского, образование должно было идти согласно с требованиями и законами природы. Вместо готовых сведений требуется самодеятельность ученика; обучение требовалось не отвлечённое, как прежде, а начиналось с видимых предметов, следовательно сознательное; прежде главным образом развивался механизм и память, по Плану Жуковского, наглядность и разум; прежде каждый предмет стоял особняком, вне связи с другими предметами, по его плану, все предметы имели между собою органическую связь; прежде старались только давать ученику, по Плану Жуковского преподаватели должны были, по возможности, извлекать из ученика; прежняя система убивала ум и способности, система Жуковского развивала их" ([165]). Эти слова, сказанные почти век назад И.А. Тихомировым, не кажутся абсолютно устаревшими. Заканчивая разговор о Плане В.А. Жуковского, предлагаю сравнить его мнение о том, что "изъявляемое одобрение государя императора должно быть величайшею наградой для наследника, а изъявляемое неодобрение - самым тяжким наказанием" с цитатой из "Кадетского монастыря" Н.С. Лескова: "Всякий, получивший сегодня неудовлетворительный балл, мучился ожиданием, что завтра Перский (директор корпуса - А.Б.) непременно его подзовёт, тронет своим античным, белым пальцем в лоб и скажет: - Дурной кадет. И это было так страшно, что казалось страшнее сечения..." ([92], том 2, с.51).
С 1864 года новый Устав разрешает педагогическим советам гимназий самим выбирать программу и учебники, по которым будут обучаться учащиеся. В старших классах гимназий практикуются углублённые курсы по различным предметам в соответствии со склонностями и способностями учащихся. В сочинении П.Ф. Каптерева "Педагогическая психология", вышедшем в 1876 году, для таких курсов появился термин - "факультативные курсы". При этом он подчёркивал, что такие курсы должны вводится для учащихся старшего возраста, уже усвоивших обязательную часть общеобразовательного курса: "Сначала нужно давать то, что равно необходимо всем желающим считаться образованными людьми. Пусть сначала определённо выяснятся особые умственные расположения на общепригодных упражнениях" ([6], с.229). В.Я. Стоюнин считал необходимым открывать для старших учащихся различные технические школы помимо гимназий. Говорил о том, что старших школьников надо учить небольшому числу предметов, но на высоком уровне, избегая положения дел, при котором программа, "обременяя и развлекая юношей множеством разнообразных предметов" не даёт им возможности "ни над чем долго и серьёзно задумываться за неимением времени" ([159], с.46). К.П. Яновский высказывался против "требования школы от разных учеников одинакового объёма научных знаний и умений" ([6], C.465), говорил о важности выявления способностей школьников, которые могут быть малозаметными в младшем возрасте, а при обнаружении способностей предостерегал от развития "какой-либо одной из врождённых особенностей в ущерб другим, ей противоположным" (там же, с.464).
Применение производной к исследованию функций
При изучении каждой темы курса математики перед учителем встают следующие основные задачи:
- фиксирование уровня знаний учащихся в самом начале изучения темы;
- определение конечного уровня, которого должны достичь учащиеся после прохождении темы, соответствующего требованиям к математической подготовке учащихся различного профиля обучения и отражённым в программах по математике для соответствующих профилей обучения, т.е. какие "критериальные" задачи (см. парафаф 1 главы I) должны решать учащиеся в результате изучения указанной темы;
- определить, какие "пустоты" в знаниях, умениях и навыках учащихся существуют и должны быть устранены в процессе прохождения указанной темы, т.е. какими "критериальными" действиями (см. параграф 1 главы I) учащиеся должны овладеть;
- выявление путей и способов устранения таких "пустот" исходя из профиля и уровня класса, а также из имеющихся в распоряжении учителя дидактических, технических и других средств, а также количества часов, отводимых на данную тему.
При изучении применения производной к исследованию функций и построению их графиков от учащихся требуются не только знания, связанные непосредственно с производной, но и практически по всему ранее пройденному материалу: решение уравнений и неравенств, алгебраические и тригонометрические преобразования, чёткое владение такими понятиями, как непрерывность, чётность-нечётность, периодичность функций, понятиями критическая точка, точка экстремума и экстремум функции. Для учащихся физико-математических классов также необходимо умение находить пределы функции в точке и в бесконечности, умение находить асимптоты графика, делить многочлен на многочлен. Причём, всё это требуется для выполнения одного задания. Таким образом, успешное выполнение упражнений по указанной теме возможно при достаточно высоком уровне владения всеми перечисленными знаниями. Следовательно, при прохождении новой темы, как и при проведении уроков обобщающего повторения, требуется вспомнить необходимый пройденный материал, причём в сжатые сроки. Запоминанию и повторению (актуализации) знаний учащимися в большой мере способствуют специальные тетради для конспектов, которые ведутся учащимися в течение нескольких учебных лет, и в которые заносятся опорные теоретические сведения, формулы, чертежи, краткие или развёрнутые схемы алгоритмов решения задач по той или иной теме, примеры решения задач. Этими тетрадями учащиеся могут или должны пользоваться, по усмотрению учителя, и на некоторых самостоятельных работах. Так 114 же целям запоминания и актуализации ранее пройденного материала служат настенные таблицы ([89]).
Перечисленные выше особенности указанной темы, делают её прекрасным материалом для обобщающего повторения, но одновременно накладывает дополнительные условия при первом знакомстве с этой темой. С одной стороны, отбираемые задачи должны продемонстрировать ученикам преимущества применения производной при исследовании функций и построении их графиков. С другой стороны, технические трудности не должны заслонить суть дела.
На наш взгляд, при отборе задач для общеобразовательного класса, при прохождении указанной темы, из принципов, перечисленных в параграфе 3 главы Н, в первую очередь необходимо руководствоваться принципами: доступности, однотипности и разнообразия, последовательного нарастания трудности, эстетичности, реализации контролирующей функции.
На тему "Применение производной" в общеобразовательных классах программой отводится 16 часов, при этом "основное внимание следует уделить решению разнообразных задач, связанных с использованием производной для исследования различных функций" ([126], с. 156). К моменту изучения применения производной к исследованию функции и построению графиков ученики 10-го класса уже знают признак возрастания-убывания функции, определение и признак критической точки и точки экстремума, а также экстремума функции. Теперь надо все эти
115 знания применить в комплексе. На основании личного опыта преподавания мы пришли к выводу , что цикл из семи уроков обеспечивает оптимальное усвоение учащимися применения производной к исследованию и построению графиков функций.
Первый урок начинается с краткой беседы о недостатках построения графика функции по точкам (возможные неточности при вычислении ординат и пропуски каких-либо особенностей графика), особенно если вид графика заранее не известен. При этом надо привлечь учащихся к формулированию этих недостатков на основании их опыта в построении графиков функций.
В различных учебниках и учебных пособиях (например, [1], [2], [3], [12]) приводятся несколько отличающиеся друг от друга схемы, используя которые удобно проводить исследование функций. Отличия касаются, в основном, последовательности пунктов в схеме и их количества, что связано с выделением подпунктов в отдельные пункты. В своей практике мы придерживаемся следующей схемы для общеобразовательного класса:
1) Найти область определения D(f) данной функции (если она не задана явно) и точки разрыва.
2) Выяснить чётность или нечётность функции.
3) Выяснить периодичность функции.
4) Найти:
а) нули функции;
б) промежутки знакопостоянства.
5) Найти:
а) критические точки;
б) промежутки монотонности;
в) точки экстремума;
г) экстремумы, а также значения функции в критических точках, не являющихся точками экстремума.
6) Выяснить поведение функции в окрестности "особых" точек при больших по модулю аргументах (на "бесконечности").
7) Найти, при необходимости, дополнительные точки, например, точку пересечения с осью ординат.
8) Используя все полученные данные, построить график функции.
При наличии времени и сообразуясь с возможностями, уровнем и запросами класса возможно включить в данную схему исследования определение точек перегиба и промежутков выпуклости графика с помощью второй производной, а также нахождение асимптот (т.е. пунктов обязательных для физико-математических классов). Также важно довести до сознания учеников, что если исследование того или иного пункта схемы вызывает существенные затруднения, а характер поведения функции ясен и без этих пунктов, то их следует опустить, или вернуться к ним в самом конце процедуры. К таким пунктам относятся для общеобразовательного класса в первую очередь пункты 4) и 6), а также, ко 117 нечно, дополнительные пункты, если ученики данного профиля с ними ознакомлены.
Мы знакомим учеников с этой схемой в процессе решения задач. При этом пункты, которые не используются в первых задачах, указываются с оговоркой о том, что они будут использованы в дальнейшем при исследовании более сложных функций.
Первая задача не должна быть насыщена техническими трудностями, одновременно наглядно демонстрируя как "работает" рассматриваемый метод. Она выполняется на доске учителем с подробными комментариями к каждому пункту исследования и при максимальном вовлечении в работу учеников, с повторением необходимых определений и про-говариванием соответствующих алгоритмов. Приведём пример такой задачи.
