Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ФОРМИРОВАНИЯ МИРОВОЗЗРЕНИЯ СТАРШИХ ШКОЛЬНИКОВ 13
1. Различные подходы к определению понятия мировоззрения 13
2. Исторические аспекты воспитания мировоззрения учащихся 28
3. Роль мировоззрения в формировании личности старшеклассников 33 4. Формы современной дифференциации обучения (уровневая и профильная) 40
5. Особенности преподавания математики в классах естественнонаучного профиля 50
6. Основные этапы формирования мировоззрения учащихся классов естественнонаучной направленности 63
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ МИРОВОЗЗРЕНИЯ УЧАЩИХСЯ КЛАССОВ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО ПРОФИЛЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 80
1. Особенности методики обучения стереометрии, направленной на поэтапное формирование мировоззрения учащихся классов естественнонаучного профиля 80
2. Начала стереометрии 85
3. Многогранники 99
4. Конические сечения 114
5. Многогранники в задачах оптимизации 131
6. Использование компьютерных технологий при изучении геометрии старших классах естественнонаучного профиля обучения 137
7. Результаты педагогического эксперимента 147
Заключение 167
Литература 170
Приложения 184
- Различные подходы к определению понятия мировоззрения
- Особенности методики обучения стереометрии, направленной на поэтапное формирование мировоззрения учащихся классов естественнонаучного профиля
- Многогранники в задачах оптимизации
Введение к работе
Как известно, культурное и социально-экономическое состояние каждого этапа развития общества находит свое отражение в целях и задачах содержания обучения и воспитания подрастающего поколения. В настоящее время происходит обновление средней школы согласно Концепции модернизации российского образования, разработкой основных направлений которой занимаются такие видные ученые, как Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, Я.И. Кузьминов, В.Л. Матросов, Н.Д. Никандров, СМ. Никольский, В.А. Садовничий и другие. Приоритетными сторонами реформирования называются гуманизация, гуманитаризация, профильное и личностно-ориентированное обучение и др. В связи с этим, формирование мировоззрения развивающейся личности должно происходить с учетом оптимального развития способностей и склонностей учащегося, его индивидуальных запросов, задатков, интересов и т.п.
Мировоззрение, как «взгляд на мир», является невероятно сложным пластом духовного мира человека. Оно не исчерпывается лишь знаниями и сведениями о внешнем мире. Известно, что мировоззрение — это система взглядов на объективный мир и место человека в нем, на отношение человека к окружающей его действительности и к самому себе, а также вытекающие из этих взглядов жизненные позиции людей, их убеждения и идеалы, принципы познания и практической деятельности, ценностные ориентации и устремления.
Очевидно, что мировоззрение — это не только картина мира, но и отношение к миру, заинтересованное или безразличное, доброе или злое и т.д. Оно не может сформироваться само по себе, вне духовно-практической деятельности человека, развития науки и техники, культуры общества. Без мировоззрения человек еще не человек и действовать он будет методом «проб и ошибок», т.е. неосознанно, вслепую. Следовательно, мировоззрение — это не только совокупный результат, итог, но и условие для практической деятельности человека, изменения им внешнего мира и самого себя. Без мировоззрения человек не
Однако мировоззренческие качества не могут формироваться сами по себе, без использования конкретного материала, с которым человек имел бы дело, и в процессе преобразования которого как раз и формировались бы такие качества. Математика, как элемент общей культуры, поставляет для этого человеку соответствующий материал: отдельные математические понятия, их комплексы, математический язык, математические модели и утверждения, правила рассуждений и методы доказательств, алгоритмы, геометрические формы и т.п. Значит, потенциал математики как важного аспекта научного мировоззрения связан с выявлением роли математики и математизации науки в формировании системы общих представлений об отношении человека и окружающего мира.
В связи с этим становится особенно важно оказать помощь формирующемуся мировоззрению человека. Необходимость такой помощи личности в процессе обучения давно отмечена как отечественными, так и зарубежными учеными. Особое внимание при этом уделялось и уделяется исследованию и раскрытию роли обучения математике в формировании и развитии различных, мировоззренчески значимых, сторон личности учащихся: их мышления, логической культуры, культуры математического языка и речи, научного мировоззрения, отдельных групп общеучебных умений и др. Свои представления об этой роли и рекомендации учителям по ее усилению неоднократно излагали в своих работах А.Д. Александров, И.И. Баврин, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Б.В. Гнеденко, А.Л. Жохов, А.Н. Колмогоров, В.М. Монахов, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Н.А. Терешин, И.Ф. Тесленко, Л.М. Фридман, А.Я. Хинчин, Р.С. Черкасов, СИ. Шварцбурд и др. Их работы способствовали и продолжают способствовать теоретическому осмыслению проблем личностного развития учащихся при обучении математике, гуманитаризации математического образования с целью повышения качества математической подготовки российских школьников.
Одним из приоритетных направлений модернизации школьного образования, как было отмечено, называется профильное обучение, в основе которого
лежит дифференциация. Под дифференциацией обучения будем понимать «такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям» ([48], с. 15).
Психолого-педагогические аспекты дифференциации обучения в отечественной школе отражены в трудах многих известных психологов и педагогов: Ю.К. Бабанского, П.П. Блонского, Л.В. Занкова, И.Я. Лернера, М.Н. Скаткина, Б.М. Теплова, И.Э. Унт, Н.М. Шахмаева, Д.Б. Эльконина, И.С. Якиманской и др. Их исследования касаются вопросов дифференцированно-группового обучения; поиска приемов, средств и форм обучения; индивидуализации; проблемы способностей и склонностей учащихся.
Особую значимость проблема дифференциации обучения приобретает по отношению к математике как школьному предмету в силу присущих ей особенностей, которые состоят в том, что математика изучает не предметы реального мира, а абстрактные категории, методы исследования и структурные свойства объекта исследования. Современная трактовка дифференциации обучения математике затрагивает два аспекта обучения: процессуальный и содержательный, что предполагает рассмотрение двух типов дифференциации: уровневой и профильной. Соблюдение принципов уровневой дифференциации означает предоставление учащимся возможности овладения программным материалом на различных, заранее планируемых уровнях ([76]), где в качестве основного берется уровень усвоения содержания учебного материала, определяемого стандартом общего образования.
Профильная школа не является профессиональной; ее задача — дать общее среднее образование с ориентацией на некоторую сферу деятельности, к которой данные группы учащихся имеют большую склонность. Сущность про
фильной дифференциации — обучение с использованием разных программ в старших классах, учитывающее склонности учащихся и различные целевые установки. С данным видом дифференциации связано решение проблемы модернизации математического образования. Особое значение для внедрения в практику любых форм и приемов дифференцированного обучения имеет организация предметного содержания учебного материала.
Вопросы отбора содержания математического образования в российской школе, связанные в определенной степени с дифференциацией обучения, рассматривались математиками-педагогами Н.И. Билибиным, 3. Быстровым, Н.К. Гончаровым, А.Н. Крыловым, В.В. Лермантовым, В.Б. Струве и др.
Современные подходы к решению проблем уровневой и профильной дифференциации при обучении математике изложены в работах В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера, Е.Ю. Головановой, И.О. Грошевой, В.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, Ю.М.Колягина, Л.В.Кузнецовой, Г.Л. Луканкина, И.А. Лурье, Т.Х. Пономаревой, СБ. Суворовой, И.М. Смирновой, М.В. Ткачевой, Н.Е. Федоровой и др. В исследованиях этих ученых рассматриваются различные аспекты дифференциации, позволяющие реализовать идею гуманизации, лежащую в основе профильной и уровневой дифференциации (например, способы организации учебного процесса в профильных классах, выделение различных направлений обучения и поиска путей формирования содержания обучения математике в выделенных направлениях и другие важные вопросы).
Похожие проблемы решались и зарубежными специалистами в области математического образования, которые рассматривали вопросы совершенствования содержания учебного материала; степень важности изучения математики учащимися, выбирающими в дальнейшем различные профили обучения или трудовой деятельности; прикладные аспекты школьного курса математики.
Сказанное определяет актуальность исследования.
Проблема исследования заключается в поиске возможных путей по
строения профильного курса геометрии, ориентированного на формирование мировоззрения учащихся.
Объект исследования— процесс обучения геометрии в старших профильных классах средней школы.
Предмет исследования — мировоззренчески направленное обучение геометрии в классах естественнонаучного профиля.
Цель исследования состоит в разработке методики формирования мировоззрения учащихся естественнонаучных классов при изучении геометрии.
Для осуществления цели была сформулирована общая гипотеза исследования. Учебная деятельность учащихся естественнонаучных классов, организованная 1) на основе соответствующим образом подобранного мировоззренчески значимого материала и 2) в соответствии с основными этапами формирования мировоззрения позволяет учащемуся наиболее полно реализовать потенциал собственного мировидения.
Для реализации поставленной цели потребовалось решить следующие частные задачи:
— Изучить психолого-педагогические аспекты формирования мировоззрения старших школьников.
— Выявить основные этапы формирования мировоззрения учащихся средствами математики и определить особенности преподавания геометрии в классах естественнонаучного направления в системе профильного обучения.
— Разработать методику формирования мировоззрения учащихся классов естественнонаучного профиля при обучении геометрии.
— Провести педагогический эксперимент с целью проверки эффективности предложенной методики на примере изучения отдельных тем курса геометрии старших классов.
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:
— теоретические методы: анализ психолого-педагогической, учебно
методической и математической литературы, работ по истории математики, стандартов, программ; изучение опыта отечественной и зарубежной школ по проблеме дифференциации обучения; обобщение опыта работы автора в школе;
— эмпирические методы: наблюдение, собеседование, анкетирование, тестирование, педагогический эксперимент.
Методологической основой исследования явились положения Концепции профильного обучения; теории индивидуализации и дифференциации обучения; работы философов, математиков, психологов, педагогов, методистов по проблемам формирования мировоззрения учащихся в средней школе.
Новизна исследования заключается в том, что в нём дается методика поэтапного формирования мировоззрения учащихся при обучении геометрии в классах естественнонаучного профиля— явлении новом для отечественной средней школы, на основе которых созданы учебные материалы мировоззренческой направленности для проведения занятий по некоторым темам курса стереометрии; представляются возможности компьютерных технологий для формирования мировоззрения старшеклассников.
Теоретическая значимость проведенного исследования определяется тем, что в нем выявлены особенности профильного обучения для формирования мировоззрения учащихся старших классов средней школы; сформулированы теоретические положения, определяющие разработку методики поэтапного формирования мировоззрения старшеклассников при обучении геометрии.
В докладе Международной комиссии по образованию для XXI в., представленном ЮНЕСКО, рассмотрены четыре основополагающих принципа образования: «научиться жить вместе; научиться приобретать знания; научиться работать; научиться жить». Эти принципы являются мировоззренческими установками, определяющими развитие образовательной системы на многие годы вперед. При этом всестороннее развитие человека является глобальной целью образования.
В этих условиях профильное обучение— средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее выстраивать учеником индивидуальную образовательную траекторию, формирующую мировоззренческий фундамент их знаний. Переход к профильному обучению преследует следующие основные цели: обеспечить углублённое изучение отдельных предметов программы полного общего образования; создать условия для широкой и гибкой дифференциации содержания обучения старшеклассников; расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ профессионального высшего образования.
Использование профильного обучения в разработке проблемы развития личности и её мировоззрения средствами обучения математике позволяет формировать и развивать различные, мировоззренчески значимые стороны личности учащихся: их мышление, логическую культуру, культуру математического языка и речи, научное мировоззрение, отдельные группы общеучебных умений и др.
Математика, рассматриваемая как своеобразная грань человеческой культуры (а не только науки), накопила и содержит в себе мировоззренческие ценности, ориентиры, способы и средства познавательной деятельности, оправдавшие себя за тысячелетия существования человечества. Немалый мировоззренческий потенциал накоплен и в опыте обучения математике (прежде всего, отечественном) как школьной и вузовской дисциплине. Это позволяет надеяться, что обучение математике, организованное как освоение учащимися полезных для них математико-мировоззренческих ориентиров и качеств, то есть мировоззренчески направленное обучение предмету, существенно поможет решению указанной проблемы.
Практическая значимость исследования заключается в том, что в нем представлено методическое обеспечение курса геометрии, направленного на формирование мировоззрения учащихся. Содержание курса стереометрии для учащихся естественнонаучных классов, мировоззренчески значимое, методически обработано в соответствии с основными этапами формирования мировоззрения. При этом учебная деятельность школьников естественнонаучных классов направлена на наиболее полную реализацию потенциала личности учащегося. Также нами предложены учебные материалы по таким темам курса стереометрии, как «Начала стереометрии», «Многогранники», «Конические сечения», «Многогранники в задачах оптимизации».
Апробация и внедрение результатов исследования проходило в ГОУ СОШ № 1960 «Преображенская школа» В АО и в ЦО № 345 ЦАО г. Москвы в ходе преподавания автором исследования геометрии учащимся профильных классов различной направленности.
Материалы предлагаемого исследования обсуждались на научно-практической конференции по итогам научной работы 2002 г. (МПГУ, апрель 2003г.); на XXII Всероссийском семинаре преподавателей педвузов и университетов (Тверь, 2003 г.); на научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики МПГУ (июнь 2005г.).
На защиту выносятся следующие положения:
1. Обучение геометрии в естественнонаучных классах, направленное на формирование мировоззрения учащихся должно включать: формирование умения моделирования реальных процессов; развитие графических связей, особенно с предметами, ведущими для данного профиля обучения; использование специальной типологии задач при обязательном проведении уроков по решению прикладных задач; широкое использование приближенных методов и усиление алгоритмического аспекта обучения; смещение акцентов преподавания на лекционно-семинарскую систему, увеличение числа практических и лабораторных работ; проведение межпредметных конференций и семинаров.
2. Ведущей особенностью преподавания геометрии в классах естественнонаучного профиля является усиление научной и прикладной направленности, позволяющей сформировать соответствующий стиль мышления, развивающий образный компонент мышления, графические умения, навыки моделирования, интенсивное использование вычислительной техники и различных компьютерных программных сред.
3. Реализация разработанных этапов формирования мировоззрения при изучении стереометрии в естественнонаучных классах позволяет организовать учебную математическую деятельность школьников таким образом, чтобы у них развивалось устойчивое положительное отношение к применению математики, способность к математическому познанию мира, структурное видение мира и формировалась собственная система ценностей.
4. Применение информационных технологий при формировании мировоззрения учащихся классов естественнонаучного профиля повышает эффективность обучения, следовательно, при разработке методики мировоззренчески направленного преподавания курса стереометрии необходимо их широкое применение.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Различные подходы к определению понятия мировоззрения
Как научное понятие термин «мировоззрение» в Философском энциклопедическом словаре ([151], с. 366) раскрывается следующим образом: «Мировоззрение — система представлений о мире, о месте в нем человека, об отношении человека к окружающей его действительности и к самому себе, а также обусловленные этими представлениями основные жизненные позиции и установки людей, их убеждения, идеалы, принципы познания и деятельности, ценностные ориентации... Мировоззрение является ядром общественного и индивидуального сознания».
Человеку в отдельности или обществу в целом необходимо иметь мировоззрение. Хотя это самое общее представление о нашем мире, но без него общество и человек будут находиться в вакууме, в неопределенности. Не будет цели, а значит, и существование будет бессмысленно. «Под мировоззрением мы не склонны понимать какие-либо логические, продуманные, оформленные в осознанную систему взгляды на мир и важнейшие его части. Мировоззрение — это то, что характеризует поведение человека в целом, культурное отношение ребенка к миру, который есть у ребенка». ([25]).
Очевидно, что мировоззрение не может сформироваться само по себе, вне духовно-практической деятельности человека, развития науки и техники, культуры общества. Мировоззрение— это не только совокупный результат, итог, но и условие для практической деятельности человека, изменения им внешнего мира и самого себя. Без мировоззрения человек не сможет стать личностью, т.е. социальным существом. Что касается субъекта (носителя) мировоззрения, то им является всякий мыслящий индивид, отдельный человек. Оно у него всегда неповторимо, так как у любого человека имеются собственный опыт и знания о внешнем мире. Мировоззрением обладают и большие социальные группы людей (классы, слои и др.) В таком случае оно включает в себя типичные для этих групп оценки, взгляды и идеалы. Можно говорить, например, о мировоззрении современной молодежи.
Мировоззрение тесно взаимосвязано с теми знаниями , которые имеются у человека. Обобщая, можно выделить такие типы знаний, как: повседневные (или жизненно-практические), профессиональные, научные.
Чем солиднее запас знаний в ту или иную эпоху, у того или иного народа или отдельного человека, тем более серьезную опору может получить соответствующее мировоззрение, являющееся совокупностью взглядов, оценок, принципов, определяющих самое общее видение, понимание мира.
Анализ соответствующей литературы ([7], [16], [21], [54], [151] и др.) показал, что различные авторы, в зависимости от целей и задач их исследований, в мировоззрении выделяют: принципы, виды, аспекты, типы, формы. Остановимся на них более подробно.
Среди важнейших принципов мировоззрения— руководящие идеи и правила поведения в мире, а также духовные ценности, то есть идеи и понятия, с помощью которых люди определяют предметы мира как положительные или отрицательные для них (добро или зло, прекрасное или безобразное и т.д.)
Анализ литературных источников, проведенный автором исследования, показывает, что философы, ученые, деятели культуры далеко не сразу стали осознавать действительную роль мировоззрения, в частности, математического, в жизни, как отдельного человека, так и общества в целом. В отечественной культуре еще в XIX веке и начале XX века вопрос о влиянии мировоззрения на бытие человека обсуждался наиболее остро и продуктивно (П.Я. Чаадаев, А.И. Герцен, Вл. Соловьев, П. Флоренский, Л. Шестов, И.А. Ильин, Н.О. Лосский, В.И. Вернадский, Н.А. Бердяев и др.). В современное время учеными был осознан и обоснован следующий факт: «Мировоззрение как форма общественного сознания возникает исторически значительно раньше, чем происходит отделение умственного труда от физического и становление на этой основе философии и науки... мировоззрение предшествует философии и в развитии индивидуального сознания»([104], с. 71).
Мировоззренческие идеи, возникающие в процессе научного, художественного, политического и другого творчества, могут в определенной степени воздействовать и на мышление профессиональных философов. Яркий пример тому — огромное влияние творчества Л.Н. Толстого, Ф.М. Достоевского на отечественную и мировую философию.
Вопрос о соотношении мировоззрения, его формирования и образования подробно исследовался еще одним современным ученым — А.А. Касьяном. Вот некоторые из его выводов. «Мировоззрение имеет дело не просто с Миром, а с мирами, из которых складывается единый и бесконечно многообразный мир. Этот Мир — не физическая, природная, а природно-социально-духовная реальность. ... мировоззрение и на уровне науки, и на уровне индивидуального сознания включает в себя тот или иной образ мира, образ универсума. Но мир человека, жизненный мир не совпадает с миром-универсумом. Человек пребывает в более локальном, в более частном мире. Этот мир является фрагментом универсума, выражает его всеобщие свойства, но в тоже время имеет свое собственное содержание, которое не охватывается всеобщими свойствами универсума. Это и есть мир человека, жизненный мир, а не просто среда обитания человека. .. Мировоззрение как явление индивидуального сознания отражает жизненный мир индивида. Этот мир — проекция действительности на сферу бытия индивида.... Этот мир им сотворен и преобразован... это результат нашей собственной жизни и деятельности, он зависит от человека, во многом им самим строится, конструируется» ([70], с. 16-17).
«...На этом пути возможно появление такого феномена, как « частичное мировоззрение», которое «понимается здесь, прежде всего как ограниченность источника происхождения, генезиса. Эта неполнота, частичность источника, его узость порождает и ограниченность содержания данного типа мировоззрения... можно ввести термин «математическое мировоззрение». Под математическим мировоззрением можно понимать мировоззренческие конструкции (всех субъектов деятельности, реализуемой в сфере развития и функционирования математического знания), сложившиеся под влиянием содержания математического знания, методов его развития, способов обоснования и имеющие тенденцию к конструированию своего мировоззренческого статуса. То есть выходящие за сферу философского осмысления математической реальности и претендующие на общемировоззренческий статус... Очевидно, ошибочна общая негативная оценка натуралистического мировоззрения естествоиспытателей, социального мировоззрения гуманитариев, математического мировоззрения математиков и т.п., проводимая с «высоты» научных (профессиональных) позиций любой формальной философии, независимо от ее мировоззренческой ориентации» ([70], с.31,40,44).
Особенности методики обучения стереометрии, направленной на поэтапное формирование мировоззрения учащихся классов естественнонаучного профиля
Представленные выше этапы формирования мировоззрения старшеклассников позволили определить особенности преподавания геометрии в классах естественнонаучного направления в системе профильной дифференциации обучения. Для этого были выделены следующие принципы:
1. Необходимость создания в обучении математике учебных мировоззренческих ситуаций.
2. Учет общего состояния и действующей на данный момент основы личности учащихся, что особенно актуально в переходные для развития учащихся периоды.
3. Направленность на успех в разрешении учебных ситуаций.
4. Учет личной математической культуры обучающегося, и опора на него.
На этой основе были определены следующие факторы, влияющие на ус
пешное обучение и достижение запланированных учителем результатов:
а)открытые для учащихся цели образования в доступной и привлекательной для них форме и понимание того, что они могут по-своему понимать конкретные цели, выбирать пути их достижения и получать свои результаты;
б)посильное включение школьников в коммуникативные, организационные и другие игры на основе математических способов деятельности и ситуаций математического содержания;
в)организация учителем рефлектирующей деятельности;
г)накопленный опыт овладения учащимися математическим языком, опорными знаниями и математическими способами деятельности.
Для повышения эффективности мировоззренческой направленности роли математических знаний нужно толковать, объяснять возникновение, развитие и установление математических теорий, то есть понятий, утверждений, правил, методов и отношений между ними. Важно систематически раскрывать пути влияния практики на развитие математики и внутренних закономерностей её развития и, наоборот, показывать, как математика помогает практике в решении ее проблем.
На протяжении веков геометрия служила источником развития не только математики, но и других наук. Именно в ней возникли первые теоремы и доказательства. Законы математического мышления формировались с помощью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и, наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием геометрических методов.
Так, решение задач об измерении длины окружности, площади круга, объемов шара, пирамиды привело древнегреческих ученых к понятию предела и заложило основы интегрального исчисления. Геометрические методы изображения пространственных фигур стали фундаментом изобразительного искусства. Задача о нахождении орбит движения космических тел была решена с помощью конических сечений. Теорему Эйлера о числе вершин, ребер и граней выпуклого многогранника историки называют первой теоремой топологии. Одно из главных понятий современной алгебры — понятие группы — возникло на базе геометрических представлений о симметрии и движении. Группы симметрии играют важную роль не только в математике, но и в физике, химии, биологии, кристаллографии и других науках. Разработка методов решения задач оптимального управления стала возможной благодаря развитию геометрических методов, в том числе теории многогранников.
В связи с широким распространением компьютерной техники возникло и бурно развивается новое направление геометрии — компьютерная геометрия, являющаяся разделом математики, в котором для решения геометрических задач используются компьютерные методы. Этими методами решаются многие прикладные задачи, в частности задачи оптимального управления.
Исходя из всего перечисленного, очевидно, что роль геометрии в образовании учащихся огромна. Известен вклад, который геометрия вносит в развитие логического мышления и пространственного воображения учеников.
Отечественной школой накоплен богатый опыт преподавания геометрии. Создана уникальная учебная литература по данному предмету таких выдающихся авторов, как Н.М. Бескин, С.А. Богомолов, Н. А. Глаголев, СЕ. Гурьев, А.Ю. Давидов, А.П. Киселев, и многих других ([12], [13], [32], [43], [46], [71] и др.). Сохранение традиций отечественной школы чрезвычайно важно не только для геометрии, но и для всего естественнонаучного образования школьников.
Современное изложение курса геометрии должно предусматривать дифференциацию обучения, достаточное количество материала для воспитания и развития учащихся, исторические сведения, материал современного, научно-популярного и прикладного характера (см. [30], [96], [105], [130],[158] и др.). Для формирования мировоззрения учащихся при изучении геометрии в старших классах естественнонаучного профиля обучения данные вопросы наиболее актуальны. По образному высказыванию Б.В. Гнеденко, «история математики важна не только потому, что она необходима для решения ряда методологических и педагогических проблем. Она важна и сама по себе как памятник человеческому гению, позволившему человечеству пройти великий путь от полного незнания и полного подчинения силам природы до великих замыслов и свершений в познании законов, управляющих внутриатомными процессами и процессами космического масштаба. История науки является тем факелом, который освещает новым поколениям путь дальнейшего развития и передает им священный огонь Прометея, толкающий их на новые открытия, на вечный поиск, ведущий к познанию окружающего нас мира, включая нас самих» ([37]).
В соответствии со стандартом среднего (полного) общего образования по математике, «в результате изучения математики на профильном уровне ученик должен — знать и понимать: а) значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; б) значение практики и вопросов, возникающих в самой математике, для формирования и развития математической науки; в) возможности геометрии для описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения; г) универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности; д) различие требований, предъявляемых к доказательствам в математике, естественных, социально-экономических и гуманитарных науках, на практике; е) роль аксиоматики в математике; возможность построения математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики; ж) вероятностных характер различных процессов и закономерностей окружающего мира;
— уметь: а) соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение фигур; б) изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи; в) решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат; г) проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса; д) вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций; е) применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов; ж) строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения;
Многогранники в задачах оптимизации
Поскольку в ходе изучения геометрии в 10-11 классах профильной школы учащиеся рассматривают многогранники, векторы, их координаты пространстве, а также некоторые приложения, то становится возможным рассмотрение в естественнонаучных классах еще одного важного прикладного раздела — задач линейного программирования.
Заметим, что в логике предлагаемого поэтапного формирования мировоззрения учащихся подбирается соответствующий учебный материал. Однако в данном параграфе мы остановимся на содержательной части только одного, третьего, исполнительско-реализующего этапа.
Решение задач линейного программирования связано с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств. Это наиболее разработанный и широко применяемый метод математического программирования, так как математические модели очень большого числа экономических и технических задач линейны относительно искомых переменных. Эти типы задач в настоящее время наиболее изучены, для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на компьютере и т.д. Разнообразные задачи линейного программирования принадлежат к трем большим группам: задачи на составление смеси, транспортные задачи и задачи планирования.
Знакомство с «транспортной задачей» позволяет не только продемонстрировать практическое применение геометрических знаний, но и позволит акцентировать внимание учащихся на межпредметных связях. Данный материал способствует повышению качества знаний общекультурного уровня. Содержаниє задач этого раздела заключается в том, как рационально (оптимально) использовать наличные ресурсы— транспортные средства, сырье, станочное оборудование, рабочую силу и т.д. Несмотря на разные содержательные ситуации в этих задачах, математические модели, описывающие их, почти одинаковые, и все они решаются методами линейного программирования.
Линейное программирование возникло в тридцатых годах прошлого века. Значительную роль в развитии этой науки сыграл известный отечественный математик Л.В. Канторович ([62], [164]).
Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения данной задачи. Её изучение в соответствии с представленными выше этапами формирования мировоззрения учащихся будет способствовать раскрытию содержания математического знания в их взаимных связях и связях с реальной действительностью.
Представим необходимую теорию. Пусть Q — выпуклый многоугольник в плоскости а . Прямая I аа называется его опорной прямой, если она содержит хотя бы одну граничную точку этого многоугольника, но не содержит никакой его внутренней точки. Пересечение представляет собой либо вершину, либо сторону многоугольника Q. В любом случае выпуклый многоугольник Q содержится в одной из двух полуплоскостей, определенных прямой / и расположенных по одну сторону от /.
Аналогичными свойствами обладают выпуклые многогранники. Плоскость а называется опорной плоскостью выпуклого многогранника Q, если она содержит хотя бы одну граничную точку этого многогранника, но не содержит никакой внутренней точки. Пересечение может представлять собой вершину многогранника Q, либо ребро, либо его грань. В любом случае выпуклый многогранник Q содержится в одном из двух полупространств, определенных плоскостью а.
Теорема. Пусть Q— выпуклый многогранник и П— ненулевой вектор. Тогда существует, и притом только одна, опорная плоскость а многогранника Q, обладающая тем свойством, что полупространство с граничной плоскостью
a , содержащее Q, имеет П своей внешней нормалью.
Заметим, что аналогичная теорема справедлива и для многоугольников.
Пусть дан выпуклый многогранник Q. Найти точку М(х, у, z), в которой функция l(M)=Ax+By+Cz, рассматриваемая на многограннике Q, достигает своего наибольшего значения.
Для решения указанной задачи можно применить теорему.
Теорема. Линейная функция, рассматриваемая на выпуклом многограннике Q, достигает своего наибольшего значения либо в одной вершине многогранника Q, либо на некотором его ребре, либо на некоторой грани. В любом случае, существует вершина (хотя бы одна), в которой достигается это наибольшее значение.
Заметим, что аналогичная теорема справедлива для наименьшего значения линейной функции на выпуклом многограннике, а также для линейной функции 1(М)=Ах+Ву на выпуклом многоугольнике.
Данная теорема указывает геометрический способ нахождения вершины, в которой рассматриваемая линейная функция достигает наибольшего (наименьшего) значения. Конечно, в практических задачах выполнить эти геометрические построения (находить опорные плоскости и их пересечения с многогранником) неудобно. Однако можно действовать и алгебраически: найти координаты всех вершин многогранника Q (многоугольника), вычислить значения линейной функции в вершинах и выбрать из этих значений наибольшее (наименьшего) значение функции на всем многограннике Q (многоугольнике
0 Указанный теоретический материал является дополнительным к основному курсу. Поэтому для учащихся общеобразовательных, гуманитарных классов он несет познавательную, общекультурную нагрузку ([135], с. 142). Тогда как для учащихся естественнонаучных классов изучение данного материала способствует формированию перспективности и системности мышления. Подчеркнем, что в этих классах не предполагается получение учащимися полного представления о теории линейного программирования, ее основных идеях и методах. Однако они должны овладеть некоторыми элементарными знаниями и умениями, необходимыми для решения практических задач. Таким образом, для всех учащихся обязательным будет являться анализ упрощенного варианта транспортной задачи (см.[133], с.142).
