Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ В ПОДГОТОВКЕ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ ПЕДВУЗОВ 16
1.1. Анализ учебно-методической литературы по проблеме исследования 16
1.2. Пути подготовки студентов к применению геометрических образов при решении текстовых задач в процессе изучения свойств чисел в 5-6 классах 38
1.3. Основные положения методики обучения студентов использованию геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах 75
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ СВОЙСТВ ЧИСЕЛ В СОДЕРЖАНИИ МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ ПЕДВУЗОВ 85
2.1. Методика использования геометрических образов при решении текстовых задач в процессе изучения свойств натуральных чисел и операций над ними 85
2.2. Методика использования геометрических образов при решении текстовых задач в процессе изучения дробных положительных чисел и операций над ними 102
2.3. Организация и результаты педагогического эксперимента 112
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 132
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ 136
ПРИЛОЖЕНИЯ 1
- Анализ учебно-методической литературы по проблеме исследования
- Основные положения методики обучения студентов использованию геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах
- Методика использования геометрических образов при решении текстовых задач в процессе изучения свойств натуральных чисел и операций над ними
Введение к работе
В системе школьного и высшего образования в России изучению математике отводилась и отводится исключительная роль, так как она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.
В школьной математике все чаще затрагивается тема обучения через задачи. Решение задач является основным средством развития учащихся, оно способствует формированию у них умения всесторонне изучать объект, анализировать его, проводить последовательно обоснованные рассуждения и контролировать свои действия. Умение решать задачи является одним из главных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Проблема обучения решению математических задач является-объектом исследования многих ученых-методистов.
Как пишет Р.Є.Черкасов: «среди математических задач особо выделяются текстовые задачи, в которых входная информация содержит не только математические данные, но и некоторый сюжет (фабулу) задачи» [119, с. 168].
Обучение решению текстовых задач связано с формированием у учащихся различных подходов их решения. Многие учителя математики и методисты при решении текстовых задач призывают широко использовать наглядные образы, но до сих пор многие учителя неправильно полагают, что наглядность обязательно должна быть только на начальном этапе обучения, а с развитием абстрактного мышления у учащихся она свое значение теряет.
По этому поводу пишет В.А.Далингер: «Без наглядных образов знания учащихся становятся бессодержательными, и это приводит к формализму. Вообще там, где можно дать тому или иному математическому объекту наглядную интерпретацию, следует делать это в обязательном порядке. Дидактически выверенное использование наглядных образов в обучении математике может превратить наглядность из вспомогательного, иллюстрирующего средства в ведущее, продуктивное методическое средство,
способствующее математическому развитию учащихся. Язык образов является основным средством наглядности при изучении абстрактных математических понятий. ... В решении математических задач образ может использоваться как явно, так и неявно. И в том, и в другом случае - с целью нахождения пути решения» [51, с.26].
Геометрическое моделирование математической ситуации при решении текстовых задач давно применяется в школьной практике. Существует много похожих терминов для геометрических моделей: средства наглядности, чертежи, схемы в «отрезках», схематические рисунки, модели, средства наглядности, наглядные образы, геометрические образы, графические образы, графические иллюстрации, графическая модель и т.д. Мы в своей работе будем использовать термин геометрический образ и об отношении к нему учителей математики и методистов мы, скажем подробно в дальнейшей работе.
Существует достаточно много работ, посвященных методике
использования геометрических образов при решении текстовых задач в- 5-6
классах: Н.Я.Виленкина А.И.Волхонского, Е.И.Жилиной, К.А.Загородных,
Е.С.Казько, Б.А.Кордемского, М.П.Кострикиной, Л.ІІІ.Левенберг,
З.П.Матушкиной, Ю.М.Мацкина, Н.Г.Миндюк, А.И.Островского, Л.Г.Петерсон, В.П.Радченко, Е.В.Радченко, Л.А.Сафоновой, Т.А.Селеменевой, С.Б.Суворовой, Г.П.Тикиной, А.А.Толстик, Н.Г.Федина, Е.Ф.Фефиловой, Е.И.Фоменко, А.Я.Цукаря, А.Г.Шевкина и др.
Однако эти исследования распространяются либо на младшие классы, либо на средние классы, в них не всегда учитывается преемственность в обучении решению текстовых задач между начальной и основной школой.
В средних классах основным методом решения текстовых задач является арифметический и алгебраический метод. В последнее время применению геометрических образов при решении текстовых задач уделяется все больше внимания, но анализ текстовых задач показывает, что не все из них целесообразно решать с использованием геометрических образов. Однако их
использование расширяет возможности учащихся, облегчает работу над некоторыми сложными задачами, позволяет учитывать индивидуальные особенности учащихся, их стиль мышления.
С.Б.Суворова отмечает, что «очень важно использовать в процессе решения текстовых задач схематических рисунков, моделей, позволяющих представить рассматриваемую ситуацию в наглядном виде. Это принципиальное условие, без которого многим учащимся трудно будет понять логику рассуждений. Учащиеся и сами должны приобрести привычку изображать условие задачи в виде схематического рисунка» [187, с.42].
Среди геометрических образов мы в своей работе особо будем выделять координатный луч, как элемент координатного метода, используемый при решении текстовых задач в 5-6 классах.
Многие общие вопросы, связанные с применением координатного метода в школьном и вузовском обучении математике рассмотрены в работах: С.Л.Атанасяна, В.Г.Болтянского, А.Я.Блоха, Н.Я.Виленкина, И.М.Гельфанда, В.А.Гусева, Я:С.Дубнова, В.А.Ефремовича, Т.А.Ивановой, Ю.М.Колягина, Г.Б.Кузнецовой, Л.С.Луниной, В.К.Маркова, Л.С.Лунина, А.В.Погорелова, Л.С.Понтрягина, Л.П.Ращупкиной, В.И.Рожкова, Я.И.Ривкинда, В.Н.Руденко, Г.И.Саранцева, И.М.Смирновой, В.А.Смирнова, А.А.Столяра и др.
Ю.М.Мацкин отмечает: «координатный метод содержит большие возможности для использования в качестве одного из основных средств наглядности и образного моделирования различного учебного материала, а также ситуаций, представленных во многих текстовых задач, решаемых в 4-5 классах и последующих классах... Вместе с тем, ему присуща удивительная гибкость, позволяющая- его использовать и в качестве одного из средств моделирования реальных ситуаций, а также ситуаций, отображенных в текстовых задачах, поэтому формирование координатного метода может быть использовано как один из этапов в работе над формированием общего представления о математическом моделировании» [108, с.8].
Отметим, что, во-первых, координатный метод отнесен к средствам наглядности, во-вторых, авторы методических пособий не учитывают, что знакомство происходит не с координатным методом, а с элементами координатного метода, то есть с координатным лучом.
Вместе с тем до настоящего времени использование геометрических образов не заняли должного места при решении текстовых задач в 5-6 классах.
Основная причина этого нам видится, прежде всего, в качестве подготовки будущих учителей математики к обучению решению текстовых задач с использованием геометрических образов, к вариативному использованию их в учебном процессе.
Имеет место противоречие между практической необходимостью совершенствования методики обучения школьников использованию геометрических образов при решении текстовых задач и недостаточной методической подготовкой учителя к осуществлению соответствующей работы.
Весь круг указанных выше проблем не может быть эффективно решен без соответствующей методической подготовки учителя математики в высшей школе.
В настоящее время под методической подготовкой учителя математики в педвузе, по мнению Н.Л.Стефановой, следует понимать специально организованное обучение, направленное на освоение теоретических основ, фактических знаний, практических способов осуществления процесса обучения учащихся средней школы.
Проблемы подготовки будущего учителя математики по использованию геометрических образов при решении текстовых задач недостаточно разработаны в теории и методике обучения математике.
Общими вопросами подготовки учителя математики по проблемам решения математических задач занимались многие ученые: И.И.Александров, А.И.Александров, И.И.Баврин, Г.П.Бевз, А.Я.Блох, Н.Я.Виленкин, В.А.Гусев, В.А.Далингер, С.Н.Дорофеев, И.В.Дробышева, О.Б.Епишева, Т.А.Иванова,
А.Н.Колмогоров, Ю.М.Колягин, В.С.Копылов, В^И.Крупич, Г.Л.Луканкин, Е.И.Лященко, В.Л.Матросов, В.И.Мишин, В.М.Монахов, А.Г.Мордкович, А.Х.Назиев, С.М.Никольский, И.А.Новик, Е.С.Петрова, Д.Пойа, Т.С.Полякова, Г.И.Саранцев, И.М.Смирнова, Н.Л.Стефанова, В.А.Трайнев, Л.М.Фридман, П.М.Эрдниев и др.
Так В.Л.Матросов отмечает: «Образованность общества, прежде всего, подрастающего поколения, должна стать основой для решения социальных и экономических проблем, сохранения и развития науки и культуры, национальных традиций, укрепления государства и обеспечения его безопасности» [105, с.З].
В своем исследовании А.Г.Мордкович пишет, что студент педвуза должен не только сам научиться решать задачи, но и овладеть техникой обучения этому других, понять роль и место задач при обучении математике. Наряду с обучающей, воспитывающей, развивающей и контролирующей функцией, он выделил еще и методическую функцию задач - специфическую для педагогических вузов. По мнению автора, она заключается в «аккуратном и настойчивом выделении четырех этапов процесса решения задачи (осмысление условия, составления плана решения, осуществления решения, анализ решения) с особым вниманием к анализу выполненного решения» [125, с.26].
Мы выделяем в нашей работе из методической подготовки учителя математики проблему подготовки студентов математических факультетов педвузов к использованию геометрических образов (столбчатые диаграммы, круговые диаграммы, отрезки, лучи, координатный луч) при решении текстовых задач в процессе изучении свойств натуральных и дробных положительных числа в 5-6 классах.
Методическую подготовку студентов к решению текстовых задач с использованием геометрических образов в 5-6 классах рассматривали: В.М.Брадис, Н.Я.Виленкин, Т.Е.Демидова, С.И.Дяченко, М.Д.Кошкина, Е.И.Лященко, З.П.Матушкина, Г.И.Саранцев, А.И.Тонких, Е.Ф.Фефилова и др.
М.Д.Кошкина пишет: «В школьном курсе математики изучение арифметики натуральных чисел основано, прежде всего, на наглядности. ... Изучение натуральных чисел здесь связано с формированием таких важных для математики понятий, как «координатный луч». ... Путем построения координатного луча учащиеся убеждаются, что каждому натуральному числу соответствует единственная точка на координатном луче, но не каждой точке координатного луча соответствует натуральное число» [116, с.9].
В своем исследовании С.И.Дяченко пишет, что «приемами систематизации знаний и умений студентов по основным методам решения сюжетных задач на этапе выделения их взаимосвязи являются схемы, таблицы и формулирование выводов. Они появляются как продукт анализа, синтеза, сравнения, обобщения. В них выделяются элементы системы знаний и отражаются системообразующие отношения между ними. Схемы, таблицы, сформулированные выводы выступают в качестве модели структурных связей методов решения сюжетных задач в сознании студентов, а также играют роль средств усвоения результатов систематизации» [59, с. 104].
Таким образом, недостаточная теоретическая и практическая разработанность вопроса об использовании геометрических образов при решении текстовых задач в процессе обучения математике учащихся 5-6 классов, а также необходимость совершенствования подготовки студентов к осуществлению обучения использованию геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах определяет актуальность нашего исследования.
Проблема исследования: поиск ответа на вопрос о том, какой должна быть методическая подготовка студентов математических факультетов педвузов к эффективному использованию геометрических образов при решении текстовых задач в процессе изучения свойств чисел в 5-6 классах.
Цель исследования: обосновать и разработать методику обучения студентов математических факультетов педвузов использованию
геометрических образов при решении текстовых задач на уроках математики в 5-6 классах.
Объектом исследования является методическая подготовка студентов математических факультетов педвузов.
Предметом исследования является методическая подготовка студентов математических факультетов педвузов к обучению учащихся 5-6 классов использованию геометрических образов при решении текстовых задач.
Исходя из проблемы исследования, опираясь на анализ практики методической подготовки учителя математики в области обучения решению текстовых задач в 5-6 классах с использованием геометрических образов, мы сформулировали следующую гипотезу исследования:
Если в структуру методической подготовки студентов математических факультетов педагогических вузов включить изучение вопросов методики использования геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах, то это будет способствовать совершенствованию методической подготовки студентов и успешному усвоению будущими учителями математики, а в дальнейшем и учащимися материала, связанного с изучением свойств чисел.
В процессе исследования проблемы и проверки достоверности гипотезы необходимо решить следующие задачи:
провести анализ учебно-методической литературы» и исследований в области теории и методики обучения математике по использованию геометрических образов при решении текстовых 1 задач в 5-6 классах и обосновать целесообразность использования их. в^ качестве математического моделирования;
систематизировать геометрические образы, применяемые при решении текстовых задач в 5-6 классах, провести их классификацию и сформулировать основные требования по их использованию в содержании подготовки студентов;
3) разработать методику обучения студентов использованию
геометрических образов в качестве средства решения текстовых задач в 5-6
классах;
4) создать соответствующую систему текстовых задач при изучении
свойств натуральных и дробных положительных чисел и методику их решения с
использованием геометрических образов в содержании методической
подготовки студентов;
5) экспериментально проверить результаты исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что разработан и реализован комплексный методический подход к применению геометрических образов при решении текстовых задач для 5-6 классов студентами математических факультетов с целью повышения качества профессиональной подготовки студентов. Он состоит в том, что использование геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах включается в содержание методической подготовки студентов в качестве методологического знания. В процессе реализации этого подхода:
1. Систематизированы основные геометрические образы, позволяющие эффективно обучать решению текстовых задач в процессе изучения свойств натуральных и дробных положительных чисел учащихся 5-6 классов: столбчатые и круговые диаграммы, отрезки, прямые, лучи, координатный луч, а также сформулированы основные требования к использованию этих геометрических образов, которые состоят в следующем:
- при использовании столбчатых диаграмм - изображать численные
значения величин геометрическими фигурами, заменять действия над числами
соответствующими построениями и т.д.;
- при использовании круговых диаграмм - изображать значения величины
на диаграмме с помощью секторов круга, изображать градусную меру угла
кругового сектора и др.;
- при использовании отрезка - изображать значение величины в виде
длины отрезка, интерпретировать длину отрезка как некоторую величину,
выделять на одном отрезке отрезок равный другому, строить отрезок в
несколько раз больше (меньше) данного и др.;
при использовании луча - выбирать начало и направление;
при использовании координатного луча - выбирать начало, направление, единичный отрезок, масштаб изображения.
2. Предложена классификация текстовых задач по использованию
каждого из перечисленных выше геометрических образов при изучении свойств
натуральных и дробных положительных чисел в 5-6 классах:
- задачи на движение одного тела и двух тел (в одном направлении,
навстречу друг другу, в противоположных направлениях);
задачи на работу;
задачи на нахождение части числа;
задачи на нахождение числа по его части;
задачи на совместную работу;
задачи на «бассейны».
3. Разработана методика обучения решению текстовых задач учащихся
5-6 классов, состоящая в комплексном сочетании возможности использования
геометрических образов и свойств натуральных и дробных положительных
чисел и операций над ними. В основу этой методики положена система
вопросов и заданий для студентов, связанных а) с выбором соответствующего
геометрического образа и рассмотрением различных вариантов этого выбора; б)
обоснованием наиболее эффективного выбора этого образа; в) использованием
всех числовых данных задачи для построения соответствующего
геометрического образа; г) получением решения на базе построения
геометрического образа.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в ней:
1. Уточнено понятие «геометрические образы», проведена их
систематизация, сформулированы требования по использованию каждого из
них.
Проведена классификация текстовых по фабуле задач (задачи на натуральные и дробные положительные числа) и по свойствам арифметических действий.
Раскрыто содержание понятия «методическое задание», определены требования к системе методических заданий и разработана система методических заданий для студентов по использованию геометрических образов пршобучении решению текстовых задач учащихся 5-6 классов.
Практическая значимость результатов исследования определяется разработкой конкретных рекомендаций по совершенствованию методической подготовки студентов математических факультетов по методике использования геометрических образов при обучении решению текстовых задач в курсе математики 5-6 классов, контрольно-измерительными материалами, а также предложена программа спецкурса «Использование геометрических образов, при обучении решению текстовых задач учащихся 5-6 классов» для ^студентов и преподавателей математических факультетов педвузов, учителей математики основной школы.
Обоснованность и достоверность результатов исследований определяется'опорой на теоретические источники по теме исследования, опыт работы кафедры теории и методики обучения математике математического факультета Московского педагогического государственного университета, кафедры геометрии и методики обучения математике физико-математического факультета Чеченского.государственного педагогического института.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Сущность и функции текстовых задач в обучении математике в 5-6 классах при изучении натуральных и дробных положительных чисел, которые
сводятся: а) осуществлению связи с жизнью; б) ознакомлению с основами метода математического моделирования.
Требования к использованию геометрических образов при' обучении решению текстовых задач в процессе изучения' натуральных и дробных положительных чисел учащихся 5-6 классов в методической подготовке студентов (эти требования указаны в новизне).
В содержании методической подготовки студентов целесообразно и возможно использование геометрических образов при обучении решению текстовых задач учащихся 5-6 классов в качестве цели и средства обучения.
Апробация результатов исследования осуществлялась в процессе проведения занятий по курсу «Теория и методика обучения математике» и элементарной математики в Чеченском государственном педагогическом институте (2005-2006 г.).
Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные по ним выводы получили отражение на заседаниях кафедры теории и методики' обучения математике Московского государственного педагогического университета (2006-2008г.г.), геометрии^ и методики обучения математике Чеченского государственного педагогического института (2006 г.), на научно-методических семинарах, научно-практических конференциях Чеченского государственного педагогического института, посвященных юбилейным датам института (2001-2005 г.г.); на Всероссийских конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии РУДН (2004 г., 2006 г., 2008 г.), во время проведения автором лекционных и практических занятий по теории и методике обучения математике и практикуме решения математических задач на 3-5 курсе физико-математического факультета Чеченского государственного педагогического института, во время прохождения студентами педагогических практик в школах (2002 г., 2006-2008 г.г.); в выступлении на научно-методическом семинаре «Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в педвузе и школе», рук. чл.-корр.
РАН, действ, чл. РАО, д. ф.-м. н., проф. В.Л.Матросов (математический
факультет Московского педагогического государственного университета,
2008г.). I
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложения.
Анализ учебно-методической литературы по проблеме исследования
Материал настоящей главы служит теоретической базой в подготовке студентов математических факультетов педвузов к использованию геометрических образов при обучении решению текстовых задач в процессе изучения свойств чисел 5-6 классах и использования этого материала, связанного с применением геометрических образов при решении текстовых задач в качестве цели и средства обучения.
1.1. Анализ учебно-методической литературы по проблеме исследования
Проанализируем существующие диссертационные исследования по использованию геометрических образов при решении текстовых задач в средней школе.
Особый интерес представляют диссертации, в которых рассматриваются особенности использования геометрических образов при решении текстовых задач в курсе математики 5-6 классов. Диссертационные исследования данной проблематики можно условно разделить на три группы:
- работы, в которых широко описываются проблемы изучения и использования геометрических образов в старших классах школы;
- работы, в которых рассматриваются проблемы использования геометрических образов при решении текстовых задач, в том числе и в 5-6 классах;
- работы, специально посвященные решению текстовых задач с использованием различных геометрических образов в 5-6 классах.
Мы остановимся на кратком анализе последних двух последних групп диссертационных работ.
Работа Н.Г.Федина затрагивает вопрос решения текстовых задач в 5-6 классах с использованием геометрических образов. Автор пишет: «если значение величины (безлично какой она природы) представить, изобразить в виде геометрического образа: отрезка, прямоугольника и т.д., то тогда можно поставить в соответствие каждому отрезку или прямоугольнику определенное число... Способ перевода содержания арифметической задачи на язык отрезков и графических иллюстраций часто используется на уроках арифметики, как в начальной школе, так и в 5-6 классах средней школы. Обычно графическая запись применяется при решении арифметических задач...» [193, с. 86]. Автор полагает, что графическая запись условия задачи облегчает и как бы подсказывает ход решения задачи, хорошо продуманная и удачно оформленная иллюстрация помогает не только при решении задач, но и уяснению новых понятий.
Е.М.Пасечник [143], наряду с изложением истории возникновения координатного метода, показывает его практическое применение при решении различных задач в 5-8 классах средней школы. В частности, показана методика применения геометрических способов для решения текстовых задач. Решать такие задачи автор предлагает на факультативных занятиях в 7-8 классах, поскольку для их решения кроме координатных умений необходимы знания по планиметрии на уровне этих классов. Тем не менее, опыт такой работы наводит на мысль, что с учащимися пятых классов можно рассматривать задачи, предполагающие использование геометрических образов при решении текстовых задач. Подобные задачи показывают практическое применение геометрических образов при решении текстовых задач не только как аппарат анализа условия, но и как один из способов их решения.
Л.Г.Петерсон применяет координатный луч на самых ранних ступенях изучения математики. В частности, автор считает, что «построение алгоритмов учебных действий, связанных с введением множества рациональных чисел на основе понятия величины, предполагает формирование:
1) способности к фиксированию изменения скалярных величин с помощью координатного луча;
2) способности к фиксированию изменения векторных величин с помощью координатной прямой;
3) понятия рационального числа как векторной характеристики процесса;
4) понятия модуля как расстояния от точки до начала отсчета
координатной прямой, т. е. как длины векторной характеристики процесса;
5) способности к выполнению сложения и вычитания рациональных чисел как нахождение суммы и разности векторов;
6) способности к выполнению операций умножения рациональных чисел как нахождение;
7) способности к выполнению операции деления как обратной к операции умножения.
В предложенном учебном содержании способность к использованию в начале числового (координатного) отрезка, а затем числового (координатного) луча для фиксирования изменения скалярной и векторной величины формируется на этапе дошкольной подготовки и в курсе начальной школы. В дальнейшем числовой отрезок и числовой луч используется как инструмент для выполнения сложения и вычитания скалярных величин» [147, с. 300].
Л.П.Ращупкина [165] ставит своей целью разработку эффективной методики изучения координатного метода в 5-8 классах. Для этой цели проводится анализ развития координатной линии в курсе математики соответствующих классов.
Основные положения методики обучения студентов использованию геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах
Раскроем основные положения разрабатываемой нами методики, определим цели и структуру подготовки студентов математических факультетов педвузов к использованию геометрических образов при решении- текстовых задач в 5-6 классах:
1) изучение геометрических образов с точки зрения выяснения способов, приемов и методов использования для применения полученных знаний- в процессе решения текстовых задач самими студентами;
2) рассмотрение геометрических образов при решении текстовых задач как предмета изучения ученика;
3) рассмотрение геометрических образов с точки зрения организации процесса обучения учащихся 5-6 классов решению текстовых задач в процессе изучения, свойств чисел.
Первая цель обучения реализуется на практикуме по решению, текстовых задач, где студенты осуществляют деятельность обучающихся.
Вторая цель использования геометрических образов- при решении текстовых задач в методической подготовке студентов математических факультетов педвузов достигается при анализе деятельности обучающегося и деятельности обучающего, реализуется эта цель в курсе «Теория и методика обучения математике» (ТМОМ).
Итак, для студентов использование геометрических образов при решении текстовых задач первоначально является целью их учебной математической деятельности, а затем использование геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах преобразуется в цель и средство методической подготовки студентов (в курсе ТМОМ).
Результатом методико-математической подготовки студентов к обучению использованию геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах является умение целенаправленно пользоваться геометрическими образами при решении текстовых задач, как в индивидуальной математической деятельности студентов, так и в развитии математической деятельности школьников.
В разрабатываемой нами методике обучения студентов основным объектом изучения являются геометрические образы и их использование при решении текстовых задач- в 5-6 классах. При рассмотрении данных объектов изучения студент должен выступать в двух ролях: в роли обучающего, т.е. в учебной деятельности студентов по изучению теории использования геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах должны иметь два аспекта: образовательный и профессиональный. Большинство знаний и умений будущего учителя математики, как считает Е.И.Лященко, должны быть бифункциональными, т.е. и образовательные и профессиональные.
В связи с этим необходимо сочетание образовательной и профессиональной направленности в методической подготовке студентов математических факультетов педвузов к использованию геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах. В этом и состоит одно из основных положений разрабатываемой нами методики.
Образовательная направленность подготовки студентов в рамках разрабатываемой методики проявляется в формировании методологического взгляда на теорию решения текстовых задач с использованием геометрических образов в 5-6 классах, которая заключается:
а) в раскрытии содержания понятия «геометрические образы» и выделении основных геометрических образов;
б) в рассмотрении использования основных геометрических образов при решении текстовых задач как общего геометрического моделирования.
Образовательная направленность, состоит в подготовке студентов к использованию геометрических образов при решении разных типов текстовых задач в процессе изучения натуральных и дробных положительных чисел в 5-6 классах, представляющего для студентов наибольшую трудность.
Подготовка студентов в рамках разрабатываемой методики выражается в том, что создается основа для формирования методической культуры студентов в области обучения решению текстовых задач в 5-6 классах. Эта основа предполагает понимание целесообразности использования геометрических образов, при решении текстовых задач в обучении учащихся 5-6 классов. Понимание методической и дидактической целесообразности использования геометрических образов служит предпосылкой для успешного конструирования содержания учебного материала в данной области и отбора текстовых задач.
Основные геометрические образы, используемые при решении текстовых задач в 5-6 классах: диаграммы, отрезки, лучи, координатный луч (см. параграф 1.2). Использование геометрических образов при решении текстовых задач в 5-6 классах предполагает не столько в вариативном внедрении их как основ развития математической деятельности школьников, сколько с целью достижения большей пользы для учащихся на том или ином этапе обучения математике.
Методика использования геометрических образов при решении текстовых задач в процессе изучения свойств натуральных чисел и операций над ними
Главным вопросом для нашей диссертации является вопрос, связанный с подготовкой студентов математических факультетов педвузов к обучению учащихся 5-6 классов введению координатного луча, потому что при решении текстовых задач мы будем пользоваться координатным лучом. Студенты должны уметь перейти к заданиям, в ходе выполнения которых должен научить учащихся самостоятельно начертить координатный луч (по линейке или от руки), так как с этого момента координатный луч становится опорным при рассмотрении самого различного материала.
На начальном этапе изучения материала должны преимущественно выполняться упражнения, имеющие готовый чертеж, приведем задание: Треугольный флажок находится в точке с координатой 2, а прямоугольный — в точке с координатой 7. Найдите начало отсчета и единичный отрезок.
Запишите координаты точек В, С uD.
Если только ответить на вопросы упражнений и не поставить уточняющих и раскрывающих существо понятия вопросов, то нельзя получить отчетливой картины относительно вводимого понятия. Так, решая задание первое, будущий учитель должен показать учащимся, что точка О соответствует числу 0 и по аналогии записывают все остальные ответы. Если же к этому упражнению-поставить вопросы: 1) изменятся-ли координаты указанных точек, если начало отсчета поместить в другом месте на данном координатном луче, 2) изменятся ли координаты точек, если начало отсчета и положение точек оставить на месте, а изменить единичный отрезок (масштаб), 3) изменятся ли координаты точек, если изменить и единичный отрезок, и начало отсчета, то ученик должен осознать, что значит, число соответствует определенной точке луча, именно определенной, а не произвольной, и от чего зависит эта определенность.
Ответов, подкрепляющих конкретными данными (координатами точки, длиной отрезка координатного луча и др.), будущий учитель от учащихся на первых порах не должен требовать, но общие характеристики (положение точки относительно начало отсчета, точка ближе или дальше от начала отсчета и др.) они должны увидеть при обдумывании ответов на поставленные вопросы. Учащимся нужно уяснить, что координаты точек на прямой зависят от начала отсчета и величины выбранного единичного отрезка (масштаба).
В нашем исследовании мы покажем как можно и нужно использовать этот небольшой теоретический материал при решении текстовых задач. В качестве примера использования координатного луча можно привести текстовую задачу 6 на движение, которая решается во время изучения сложения, натуральных чисел из первой главы параграфа 1.2 (с.52) нашей диссертации.
Важным разделом, без которого будущий учитель не сможет вводить свойства натуральных чисел, является сравнение натуральных чисел. Однако это не означает, что учащиеся: должны отвечать на вопросы типа: какими свойствами обладает натуральныйфяд чисел? Вместе с тем мы говорим, что эта должна быть теория. Как же сравнивают натуральные числа? С помощью координатного луча сравниваются натуральные числа между собой, устанавливаются понятия «равно», «больше» и «меньше» для натуральных чисел. Из двух натуральных чисел большему числу на луче соответствует точка, лежащая правее, меньшему - расположенная левее. Например, точка А(3) лежит на координатном луче левее точки В(7) (рис. 46а).
Отметим, что равные натуральные числа имеют совпадающие записи в фиксированной4 позиционной системе, поэтому, глядя на записи двух натуральных чисел, сразу можно установить, равны они или нет.
Мы приступаем к одному из центральных вопросов изучения свойств натуральных чисел, а точнее действий над натуральными числами - сложению и вычитанию натуральных чисел. Учащиеся уже в начальной школе знакомятся с изучением сложения и вычитания натуральных чисел, тем не менее, приведем пример решения текстовой задачи для уяснения смысла сложения.
