Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретические основы дедуктивной подготовки будущих учителей математики
1.1. Дедуктивная подготовка будущих учителей математики 17
1.2. Профессиональная направленность обучения основам теории доказательств и дедуктивной подготовки будущих учителей математики 31
1.3. Пути повышения эффективности обучения основам теории доказательств студентов математических факультетов педвузов 59
ГЛАВА 2. Содержание и методические особенности обучения основам теории доказательств на базе.натурального вывода 80
2.1. Многоуровневый подход при обучении основам теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики и на спецкурсах 84
2.2. Методика введения основных понятий 92
2.3. Методика доказательств наиболее важных теорем 118
2.4. Методологическое значение сопоставления двух логических систем (классической и интуиционистской) при изложении основ теории доказательств 132
2.5. Описание экспериментальной части исследования 150
Заключение 165
Библиография 167
Приложения 186
- Дедуктивная подготовка будущих учителей математики
- Профессиональная направленность обучения основам теории доказательств и дедуктивной подготовки будущих учителей математики
- Многоуровневый подход при обучении основам теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики и на спецкурсах
Введение к работе
Актуальность исследования. Важнейшей целью современной системы образования является формирование интеллектуально развитой личности. Поскольку повышение интеллектуального потенциала общества является необходимым условием его прогресса, задача развития мышления учащихся как средней, так и высшей школы остается всегда актуальной.
Высокая ответственность за развитие мышления учащихся средней школы лежит на школьном учителе, особенно учителе математики, что предъявляет повышенные требования к его профессиональной подготовке.
В условиях реформы отечественного образования возрастает актуальность проблемы совершенствования профессиональной подготовки будущих учителей математики, повышения уровня их профессиональной квалификации.
Важнейшую роль в процессе формирования будущего учителя математики играет логическая подготовка, от качества которой непосредственно зависит качество его специальной математической и методической подготовки, а значит и профессиональной подготовки в целом.
Решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что уровень развития интеллекта, мыслительных способностей каждого человека так или иначе связан со способностью проводить дедуктивные рассуждения, т.е. рассуждать в соответствии с законами и правилами логики.
Обучение математике в силу самой специфики предмета предоставляет широкие возможности для развития дедуктивного мышления. Вместе с тем почти все специалисты сходятся во мнении, что изучение математики само по себе не обеспечивает должного развития дедуктивного мышления школьников и студентов, и что для их полноценной дедуктивной подготовки необходимо проводить специальную целенаправленную работу. Поэтому, для обеспечения соответствующего качества дедуктивной подготовки будущих учителей математики необходимо специально обучать их дедуктивным средствам, используемым в математике и пониманию сущности математического доказательства.
В связи с этим представляется важным выделение дедуктивной подготовки будущих учителей математики как важнейшей составляющей их логической подготовки, а также специальное ее исследование. Поскольку практика преподавания и исследования специалистов показывают, что уровень дедуктивной подготовки выпускников математических факультетов педвузов остается довольно низким, задача поиска путей совершенствования дедуктивной подготовки будущих учителей математики является особенно актуальной.
Повышение качества дедуктивной подготовки способствует более успешному решению таких важных проблем, как усиление профессионально-педагогической направленности, гуманитаризации и интенсификации специальной математической подготовки учителя математики.
Особую роль в дедуктивной подготовке будущих учителей математики играет обучение основам теории доказательств в курсе математической логики, читаемом на математических факультетах педвузов. Этот курс не только оказывает существенное влияние на развитие общей математической культуры будущего учителя математики и способствует развитию его дедуктивного мышления, но и готовит его к будущей преподавательской деятельности.
Большие возможности по совершенствованию дедуктивной подготовки представляет обучение основам теории доказательств на базе систем натурального вывода, обладающее рядом существенных преимуществ по сравнению с традиционным обучением. Дело в том, что в программу курса математической логики, читаемого на математических факультетах педвузов, входят логические исчисления. Традиционно эти исчисления излагаются в версии, предложенной Д.Гильбертом. В этих исчислениях математическое уточнение понятия доказательства представляет собой линейно упорядоченное множество (цепочку) формул, удовлетворяющих определенным условиям (линейный вывод). Исчисления гильбертовского типа являются технически вполне удобными, если ставится лишь задача построения и изучения формальных дедуктивных систем с определенными свойствами.
Однако не менее важной для дедуктивной подготовки будущих учителей математики является задача непосредственного изучения дедуктивных средств,
используемых в математических рассуждениях и организация правил вывода в некоторую систему. Для решения этой задачи существенно более удобными являются логические системы натурального вывода, предложенные Г.Генценом -крупным немецким логиком, учеником Гильберта. В этих системах уточнение понятия доказательства представляет собой частично упорядоченное в виде дерева множество формул, удовлетворяющих определенным условиям (вывод в виде дерева). Построение логических систем натурального вывода, их отличие от традиционно изучаемых исчислений гильбертовского типа подробно рассмотрено в главе 1 (разд. 1.3).
Одним из основных преимуществ обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода по сравнению с традиционным обучением является естественность натурального вывода, позволяющего построить адекватные математические модели реальных математических рассуждений и доказательств. В определенной степени, средства натурального вывода позволяют моделировать и эвристическую деятельность по поиску и проведению доказательств. Натуральный вывод имеет также ряд других преимуществ, позволяющих усилить профессионально-педагогическую и гуманитарную направленность курса математической логики в целом.
В связи с этим представляется целесообразным и актуальным исследование возможностей повышения качества дедуктивной подготовки будущих учителей математики путем совершенствования содержания систематического курса и спецкурсов по математической логике. Такая возможность может быть реализована при построении обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода.
Все изложенное определило выбор темы и актуальность научно-методического исследования; посвященного проблеме совершенствования дедуктивной подготовки студентов математических факультетов педвузов при обучении основам теории доказательств.
Проблемы профессиональной подготовки будущих учителей математики всегда интересовали крупных математиков-педагогов и ведущих отечественных исследователей в области методики преподавания математики.
Этим проблемам уделяли внимание выдающиеся отечественные математики-педагоги: А.Д.Александров, П.С.Александров, В.Г.Болтянский, Н.И. Башмаков, Н.Я.Виленкин, Б.В.Гнеденко, А.Н.Колмогоров, Л.Д.Кудрявцев, А.И. Мар-кушевич, П.С.Новиков, С.М.Никольский, А.Я. Хинчин, и др.
При разработке проблем специальной подготовки будущих учителей математики сыграли существенную роль работы по общей дидактике и педагогике С.И.Архангельского, И.Я.Лернера, В.П.Беспалько, В.А.Сластенина, М.Н.Скаткина и др.
Проблемы совершенствования математической и методической подготовки будущих учителей математики в педвузах в современных условиях нашли отражение в работах известных специалистов в области методики преподавания математики: И.И.Баврина, М.В.Воловича, В.А.Гусева, Г.Д.Глейзера, Г.В. Дорофеева, Ю.М.Колягина, В.И.Крупича, Г.Л.Луканкина, В.Л. Матросова, В.М. Монахова, А.Г.Мордковича, Г.И.Саранцева, З.И. Слепкань, И.М.Смирновой, А.А. Столяра, Н.А.Терешина, Л.М.Фридмана, Р.С. Черкасова, С.И.Шварцбурда и др.
Проблемам профессионально-педагогической направленности специальной математической подготовки будущих учителей математики посвящены исследования Г.Л.Луканкина, А.Г.Мордковича, Т.А.Ивановой, А.Х. Назиева и др.
Разработке основ дифференцированного обучения математике посвящена докторская диссертация В.А.Гусева. Концепции дифференциации математического образования посвящены работы В.Г.Болтянского, Г.Д. Глейзера, Г.В. Дорофеева, Ю.М.Колягина, И.М.Смирновой и др. С концепцией уровневой дифференциации обучения в средней школе была связана идея перехода на многу-ровневое высшее образование. Дифференциация обучения математике стала рассматриваться как один из основных путей личностно-ориентированного развивающего обучения. Проблемы формирования целостной личности при обу-w чении математике и развития математических способностей исследовались В.В. Афанасьевым, В.А.Гусевым, Н.В.Метельским, А.М.Редьковой, И.М. Смирновой, М.И.Шабуниным и др.
Гуманитаризации математического образования посвящены многие работы крупных математиков, специалистов в области методики. В решение этой про блемы внесли вклад: А.Д. Александров, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.Г. Болтянский, Н.Я.Виленкин, М.Б.Волович, А.В.Гладкий, Г.Д.Глейзер, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, А.Г.Мордкович, И.Л. Никольская, И.М.Смирнова, Г.И.Саранцев, А.А.Столяр, Н.А.Терешин, Л.М. Фридман, АЛ.Хинчин, Р.С.Черкасов и др.
За последние два десятилетия проблемам совершенствования подготовки учителей математики в педагогических вузах посвящено много фундаментальных исследований, в том числе докторских диссертаций И.И.Мельникова, А.Х.Назиева, А.И.Нижникова, И.С.Сафуанова, Ю.В. Сидорова, Е.И.Смирнова, А.Г.Солониной, Н.Л. Стефановой, Е.Н. Перевощиковой, В.Т.Петровов, В.А.Тестова, Л.В. Шкериной, А.В.Ястребова и др.
Проблеме развития логического мышления при обучении математике в школе и вузе придавали большое значение крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: Б.В.Гнеденко, Ф.Клейн, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И.Маркушевич, Д.Пойя, Х.Фройденталь, А.Я.Хинчин и др.
Логическим проблемам математического образования посвятил целый ряд работ Г.В.Дорофеев, уделив особое внимание логико-языковому аспекту.
Многие из перечисленных выше исследователей в своих работах затрагивали различные аспекты логической подготовки будущих учителей математики. Так, А.Х.Назиев рассматривал гуманитарный аспект логической подготовки. В.А.Тестов исследовал проблему формирования "математических схем мышления". В.Т.Петрова рассматривала среди принципов интенсификации обучения математике в вузе принцип разумной логической строгости, а также широкое использование аксиоматических и дедуктивных методов при построении математических курсов.
Большинство исследователей в области методики преподавания математики в той или иной степени рассматривали проблему обучения математическим доказательствам и развитию дедуктивного мышления. Особое внимание методике обучения поиску и проведению математических доказательств уделили известные отечественные и зарубежные методисты (М.Б.Волович, И.Лакатос, Д.Пойя, Г.А.Саранцев и др.).
Исследованию проблем логической подготовки будущих учителей математики предшествовали многочисленные исследования в области методики преподавания математики, посвященные логическому развитию школьников в процессе обучения математике. Среди них наиболее известными являются работы А.А.Столяра, И.Л.Никольской, М.Е.Драбкиной и др.
Так, И.Л.Никольская исследует понятие логической грамотности, уточняя его содержание и предлагая методику привития логической грамотности учащимся средней школы [145].
Большой интерес представляют работы известного специалиста в области методики преподавания математики А.А.Столяра, занимавшегося исследованием комплекса проблем, названных им "логическими проблемами преподавания". Особое внимание в своих работах А.А.Столяр уделяет проблеме специального изучения того, как проводятся рассуждения в математике и что такое доказательство, считая, что обсуждение этих вопросов с учащимися позволяет повысить уровень их логического развития [194, 198, 199].
Логическому развитию школьников свои диссертационные исследования посвятили: Э.И. Айвазян, О.В. Алексеева, К.О. Ананченко, Ю.А. Бурлев, В.Г. Еж-кова, Т.А. Кондрашенкова, Л.А.Латотин, Е.П.Маланюк, Б.Д.Пайсон, Л.Н. Удовенко, И.Б.Юдина и др.
Логическая подготовка учителей математики явилась предметом специального исследования в диссертационных работах А.А.Столяра, М.Е. Драбкиной, Ю.А.Моторинского, Т.В.Морозовой, С.А.Севастьяновой и др.
Ю.А.Моторинский [136] исследовал возможность повышения уровня начальной логической подготовки студентов математических факультетов педвузов в рамках курса алгебры.
С.А.Севастьянова [176] исследовала проблему усиления действенного характера специальных логических знаний студентов математических факультетов педвузов путем реализации интегративного курса по логике с профессиональной направленностью. Т.В.Морозова [135] исследовала методологические аспекты логической подготовки учителя математики.
Во всех перечисленных работах дедуктивная подготовка будущих учителей математики не являлась предметом специального исследования, хотя и представляет собой основу логической подготовки в целом.
Особую роль в дедуктивной подготовке будущих учителей математики играет курс математической логики.
Одним из создателей курса математической логики, читаемого на математических факультетах педвузов, был выдающийся математик, логик и педагог П.С.Новиков. Этот курс впервые прочитан в ведущем отечественном педагогическом вузе - ныне МПГУ в 1961 г. Большой вклад в развитие этого курса и сохранение его лучших традиций сделали его последователи: Е.А.Щегольков, В.Л.Матросов, Ф.А.Кабаков, Ю.А.Макаренков. В последние годы курс математической логики усовершенствован с учетом тенденций развития современной математической логики. При этом сохранена основная концепция курса: значительную часть курса посвящать основам теории доказательств и придавать особое значение идейной стороне курса - проблемам оснований математики.
Следует отметить, что дедуктивная подготовка будущих учителей математики при обучении их основам теории доказательств в рамках курса математической логики на математических факультетах педвузов и возможности ее совершенствования до сих пор остаются практически не исследованными. Проблема исследования заключается в выявлении путей совершенствования дедуктивной подготовки будущих учителей математики в процессе обучения основам теории доказательств.
Объектом исследования является процесс обучения студентов математического факультета педвуза, рассматриваемый с позиций дедуктивной подготовки. Предметом исследования является содержание и методические особенности обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода. Основная цель исследования - разработка содержания и методики обучения будущих учителей математики основам теории доказательств на базе натурального вывода с позиций совершенствования их дедуктивной подготовки. Гипотеза исследования состоит в следующем: изложение основ теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики или
спецкурсе позволит повысить эффективность обучения основам теории доказательств и, тем самым, качество дедуктивной подготовки будущих учителей
математики.
Цель, предмет и гипотеза исследования определили задачи исследования:
-уточнить содержание дедуктивной подготовки как составляющей логической подготовки будущих учителей математики и определить роль обучения основам теории доказательств в процессе этой подготовки;
-обосновать целесообразность специального изучения дедуктивных средств, используемых в математических рассуждениях, и формирования понятия математического доказательства различными путями и на разных уровнях;
-выявить преимущества обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода по сравнению с традиционным обучением и исследовать возможность усиления его профессионально-педагогической направленности;
-разработать содержание и структуру изложения основ теории доказательств на базе натурального вывода, представив такую модификацию теории натурального вывода, которая была бы адаптирована к процессу обучения студентов педвузов и соответствовала задаче их дедуктивной подготовки (в частности, разработать систему понятий и теорем, определяющую структуру изложения теории доказательств на базе натурального вывода);
-исследовать методические особенности обучения натуральному выводу и разработать соответствующие методические рекомендации (в частности, достичь методического эффекта путем разработки соответствующих математических средств, обеспечивающих упрощение излагаемого материала);
-экспериментально проверить выявленные возможности обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода и оценить эффективность такого обучения.
Для решения поставленных задач использованы следующие методы
исследования .
- анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования;
- изучение и анализ научной литературы и учебных пособий по теории доказательств, математической логике и основаниям математики;
- изучение опыта работы отечественной высшей школы по преподаванию математической логики;
- обобщение собственного опыта работы в педвузе (18 лет в МПГУ) и представление его в виде публикаций [210-217];
- методы математической логики при проведении собственных исследований в области теории доказательств с целью решения некоторых задач по методике ее изложения; систематизация этих исследований и представление результатов в виде учебно-методического пособия для студентов математических факультетов педвузов [214];
- экспериментальная проверка основных положений исследования (констатирующий, поисковый, обучающий и контролирующий эксперименты).
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в следующем:
1) разработаны требования к дедуктивной подготовке как важнейшей составляющей логической подготовки будущего учителя математики и определена роль обучения основам теории доказательств в процессе этой подготовки;
2) осуществлено сравнение различных подходов к формированию и изучению понятия доказательства как на интуитивном, так и на формальном уровне;
3) разработана концепция обучения будущих учителей математики основам теории доказательств;
4) выявлены преимущества обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода по сравнению с традиционным обучением;
5) разработано и теоретически обосновано содержание обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода, в частности:
а) усовершенствованы система понятий, теорем, обозначений для адаптации математического материала к процессу обучения и соответствия цели дедуктивной подготовки будущих учителей математики;
б) найдено решение ряда методических проблем изложения основ теории до казательств с помощью разработки соответствующих математических
средств, В частности, принципа индукции для деревьев натурального вывода, облегчающего доказательство ряда теорем;
6) разработана методика изложения основ теории доказательств на базе натурального вывода с позиций совершенствования дедуктивной подготовки будущих учителей математики.
7) теоретически обосновано усиление профессионально-педагогической направленности и повышение эффективности обучения студентов основам теории доказательств на базе натурального вывода.
Практическая значимость исследования состоит в следующем:
1) полученные результаты могут быть использованы преподавателями педвузов, читающими основной курс и спецкурсы по математической логике, а также студентами математических факультетов педвузов при изучении этих курсов;
2) некоторые результаты исследования могут быть использованы учителями средней школы для изложения элементов логики в классах с углубленным изучением математики и на факультативных занятиях по следующим темам: "Логические средства, используемые в математических доказательствах", "Что такое математическое доказательство?", "Как мы доказываем в математике?"
На защиту выносятся:
1) теоретическое обоснование трактовки понятия дедуктивная подготовка будущих учителей математики и роли обучения основам теории доказательств в этой подготовке;
2) содержание обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики и спецкурсах;
3) методическое обеспечение процесса обучения будущих учителей математики основам теории доказательств на базе натурального вывода;
4) теоретическое обоснование усиления профессионально-педагогической направленности и повышения эффективности обучения студентов основам теории доказательств на базе натурального вывода.
Дальнейшим продолжением работы может служить разработка:
а) содержания полного курса математической логики на базе натурального вывода и его методического обеспечения; б) системы задач и упражнений для практических занятий по теории доказательств на базе натурального вывода; в) содержания спецкурса, включающегорассмотрение проблем непротиворечивости и доказательство теоремы Генцена о непротиворечивости арифметики, базирующегося на натуральном выводе; г) методики обучения школьников дедуктивным средствам, используемым в математических рассуждениях и формирования у школьников интуитивного представления о доказательстве в виде дерева.
Апробация работы. Содержание, положения и результаты исследований докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
- Всероссийская конференция "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков" (Дубна, 2000 г.);
- научно-методический семинар кафедры методики преподавания математики МПГУ(2001г.);
- научно-методическое объединение и заседание кафедры математического анализа МПГУ (2000 г.);
- научная сессия математического факультетата МПГУ по итогам НИР(2001 г.). Внедрение результатов исследования осуществлялось на математическом факультете МПГУ в следующих формах:
- прочитан цикл лекций и проведен ряд практических занятий по натуральному выводу в рамках основного курса математической логики (2000 г.);
- прочитан спецкурс и проведен спецсеминар "Неклассические логики", в рамках которого изучались классическая и интуиционистская системы натурального вывода (2000 г.);
- прочитан спецкурс и проведен спецсеминар "Логические системы натурального вывода", целиком посвященные введению в теорию доказательств на базе натурального вывода (2001 г.).
Результаты исследования изложены в следующих публикациях . .Некоторые замечания о методе доказательства от противного. //Математика в школе. - 1994, № 3. - С. 36-38.
2. Об изучении логических систем натурального вывода в курсе математической логики в педвузах. //Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе, сб. статей, вып.5.-М. Прометей, 2000.- С.28-30.
3. Об одном из путей совершенствования логической подготовки будущих учителей математики. //Всероссийская конференция "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков". Сб. материалов, Дубна, 2000. - М.: МЦНМО, 2000. - С.589-591.
4. О возможности повышения уровня логической подготовки студентов математических факультетов педвузов. //Проблемы и перспективы педагогического образования в XXI веке. Труды научно-практической конференции. - М.: Прометей, 2000. - С.263-265.
5. Логические системы натурального вывода. Введение в теорию доказательств. Учебно-методическое пособие. МПГУ. - М., 2000. - 90с. - Деп. в ИТОП РАО 23.10.2000, №20-2000.
6. О пропозициональных системах натурального вывода. МПГУ. - М., 2000. -73с. - Деп. в ВИНИТИ 05.10.00, № 2553-В00.
7. Конструктивное доказательство-теоремы о полноте классической пропозициональной системы натурального вывода. // Юбилейный сб. научных, трудов математического факультета МПГУ.-М.:Прометей, 2001.-С.83-89.
8. Принцип индукции для натуральных выводов. // Юбилейный сборник научных трудов математического ф-та МПГУ (к 100-летию факультета). - М.: Прометей, 2001.-С. 131-137.
Структура и основное содержание диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложений. Во введении обоснованы выбор и актуальность темы исследования, определены предмет и объект исследования, сформулированы цель и гипотеза исследования, указаны задачи и методы исследования, раскрыты практическая значимость и научная новизна исследования, изложены положения, выносимые на
защиту; приведены сведения об апробации и внедрении результатов, приведен список публикаций.
Глава 1 посвящена исследованию теоретических основ дедуктивной подготовки будущих учителей математики. В этой главе:
- представлен краткий обзор исследований, посвященных логической подготовке учащихся средней и высшей школы;
- раскрыто содержание дедуктивной подготовки как важнейшей составляю-щей логической подготовки будущих учителей математики;
- рассмотрена роль доказательств в обучении математике и необходимость формирования понятия доказательства у будущих учителей математики;
- предложены различные подходы к формированию понятия математического доказательства на интуитивном уровне;
- дано обоснование известных методов доказательств с позиций теории доказательств;
- обоснована роль обучения основам теории доказательств в процессе дедуктивной подготовки будущих учителей математики;
- рассмотрены основные проблемы, возникающие в процессе традиционного обучения основам теории доказательств;
- обоснована целесообразность обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода, изложены преимущества такого обучения по сравнению с традиционным обучением с позиций совершенствования дедуктивной подготовки;
- изложена мотивация изучения систем натурального вывода и раскрыты эвристические возможности этих систем;
- обоснована роль натурального вывода в увеличении гуманитарного потенциала и усилении профессионально-педагогической направленности обучения основам теории доказательств.
Таким образом обосновано повышение эффективности обучения основам теории доказательств, если его построить на базе натурального вывода. Наконец, сформулированы основные положения и принципы, выражающие
суть авторской концепции обучения будущих учителей математики основам теории доказательств.
Глава 2 посвящена изложению основного содержания, структуры и методических особенностей обучения основам теории доказательств на базе натурального вывода. В этой главе:
- разработан многоуровневый подход при обучении основам теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики;
- рассмотрено краткое содержание спецкурсов, представляющих собой изложение основ теории доказательств на базе натурального вывода;
- предложена методика введения правил заключения, обсуждается их содержательный смысл и эвристическое значение;
- разработана методика поэтапного введения понятия дерева вывода (являющегося математическим уточнением интуитивного понятия доказательства);
- сформулирован и доказан разработанный автором принцип индукции для натурального вывода как средство упрощения доказательства ряда теорем;
- рассмотрено значение производных правил и теорем о непротиворечивости, полноте и независимости правил систем натурального вывода;
- обосновано методологическое значение сопоставления двух логических систем (классической и интуиционистской) при изложении основ теории доказательств, проведено сопоставление правил доказательства от противного и приведением к нелепости.
Описана экспериментальная часть исследования.
В заключении работы подведены итоги диссертационного исследования: сформулированы результаты проведенного исследования и сделаны основные выводы.
Библиография содержит 261 наименование.
В приложениях приводятся анкеты, варианты контрольных работ и их решения, примеры доказательств в виде дерева.
Дедуктивная подготовка будущих учителей математики
В процессе формирования будущих учителей математики большую роль играет логическая подготовка. На важность развития логического мышления при обучении математике в школе и вузе обращали внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: Б.В.Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Маркушевич, А.Я.Хинчин, Ф.Клейн, Д.Пойя, X. Фройденталь и др.
Некоторые аспекты логической подготовки будущих учителей математики были рассмотрены в докторских диссертациях А.Х.Назиева, В.А.Тестова, В.Т.Петровой, И.С.Сафуановым и работах других исследователей.
Исследованию проблем логической подготовки будущих учителей математики предшествовали многочисленные методические исследования, посвященные логическому развитию школьников в процессе обучения математике. Среди них наиболее известными являются работы А.А.Столяра, И.Л.Никольской, М.Е.Драбкиной и др.
Термин логическая грамотность впервые введен и уточнен И.Л. Никольской [145]. Под логической грамотностью И.Л.Никольская понимает "свободное владение некоторым комплексом элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления и необходимый базис для его развития". В этой же работе выделены следующие логические знания и умения, которыми должны владеть выпускники средней школы: умение дать определение знакомого понятия; знание правил классификации; знание точного смысла логических связок; умение выделить логическую форму (структуру) предложения; умение формулировать в утвердительной форме отрицания сложных предложений и предложений с кванторами; понимание смысла слов "следует" (логически), "равносильно", "необходимо", "достаточно"; умение проверить правильность рассуждения, обнаружить грубую логическую ошибку; знание наиболее употребительных приемов доказательств [145, с.28].
В этой же работе И.Л. Никольской намечены пути и методы привития логической грамотности учащимся средней школы в процессе обучения математике. Логическая грамотность рассматривается автором как необходимое условие полноценного формирования культуры мышления учащихся и отмечается, что "со временем понятие логической грамотности может быть расширено".
Многочисленные работы А.А. Столяра посвящены целому кругу проблем, связанных с развитием логического мышления учащихся в процессе обучения математике. Им разработана методика внедрения элементов логики в обучение математике в средней школе. В его докторской диссертации [194] рассмотрены общие вопросы отбора логического материала и методики изучения элементов логики применительно к конкретному математическому материалу и для различных ступеней обучения в средней школе.
Логическому развитию школьников свои диссертационные исследования посвятили: Э.И.Айвазян, О.В.Алексеева, К.О.Ананченко, Ю.А.Бурлев, В.Г. Ежко-ва, Т.А.Кондрашенкова, Л.А.Латотин, Е.П.Маланюк, Б.Д.Пайсон, Л.Н. Удовенко, И.Б.Юдина и др.
Логическая подготовка учителей математики явилась предметом специального исследования в диссертационных работах А.А.Столяра, М.Е. Драбкиной, Ю.А.Моторинского, Т.В.Морозовой и С.А.Севастьяновой и др.
М.Е.Драбкина [70] разработала систему целенаправленных упражнений для формирования некоторых логических понятий при изучении математики в средней школе и педвузе.
Ю.А.Моторинский [137] в своей диссертационной работе исследовал возможность повышения уровня логической подготовки студентов математических факультетов педвузов при изучении темы "Элементы математической логики в курсе алгебры".
Т.В.Морозова [136] исследовала методологические аспекты логической подготовки учителя математики на примере курса "Введение в математику" с целью формирования структуры учебно-познавательной и проектировочной деятельности.
Профессиональная направленность обучения основам теории доказательств и дедуктивной подготовки будущих учителей математики
Проблемы профессионально-педагогической направленности специальной математической подготовки будущих учителей математики постоянно находятся в центре внимания специалистов в области методики преподавания математики. Большой вклад в этом направлении сделан Г.Л. Луканкиным, А.Г Мордко-вичем, М.В.Потоцким, Г.Г.Хамовым и др.
М.В.Потоцкий в своей известной монографии пишет: "Прежде всего, надо отметить бесспорный факт: студентам, будущим учителям, которым предстоит преподавать в основном в школе только элементарную математику и лишь самые начала высшей, нужны большие и серьезные курсы по высшей математике (гораздо более серьезные, чем для втузов). Важная задача вузовской педагогики и математики - так излагать высшую математику в педвузе, чтобы студенты знали и понимали, что без ее изучения полноценных учителей из них не выйдет" [166, с.61]. Эту мысль он продолжает следующим образом: "Итак, перед преподавателем дисциплин высшей математики в педвузе стоит колоссальной важности педагогическая задача - связать преподавание с нуждами будущей специальности студента и довести эту связь до его сознания, т.е. сделать так, чтобы студент, начинающий заниматься любым из предметов в высшей математике, с самого начала осознавал, что этот предмет, помимо его общеобразовательной ценности, освещает ему также решение определенных задач элементарной математики с точки зрения современной науки. И объяснить все это студенту должен преподаватель, так как студент до всего этого додуматься сам не может" [166, с.75].
Решающее значение при обучении математике в педвузе имеет сочетание двух направлений:
- изложение фундаментальных достижений в данной области математической науки на современном уровне математической строгости;
- достижение понимания студентами значения полученных знаний для своей будущей профессиональной деятельности в качестве учителей математики средней школы [166].
Одним из наиболее полных исследований, посвященных проблеме профессионально-педагогической направленности специальной математической подготовки учителя математики, является докторская диссертация А.Г.Мордковича [135]. Суть разработанной им концепции профессионально-педагогической направленности обучения будущих учителей специальным математическим дисциплинам выражается в следующих четырех основных принципах:
1) принцип фундаментальности, состоящий в необходимости фундаментальной математической подготовки, учитывающей потребности приобретаемой профессии учителя математики;
2) принцип бинарности, предполагающий тесную связь между общенаучной и методической линиями подготовки учителей математики;
3) принцип ведущей идеи, означающий необходимость связи изучаемых математических курсов с соответствующими школьными предметами или их разделами;
4) принцип непрерывности, заключающийся в непрерывном и систематическом постижении будущей профессии при подготовке учителя в вузе.
Рассмотрим реализацию этих принципов при обучении студентов математи ческих факультетов педвузов основам теории доказательств.
Принцип фундаментальности применительно к дедуктивной подготовке означает, что курс математической логики должен вооружить студентов серьезными и глубокими знаниями. В частности, обучение основам теории доказательств должно обеспечить будущего учителя глубокими теоретическими знаниями, необходимыми ему для осуществления грамотной организации дедуктивной деятельности школьников на уроках математики.
Кроме того, эти знания и умения способствуют более эффективному усвоению математических дисциплин, входящих в цикл специальной математической подготовки учителей математики, а значит, в конечном итоге, повышению уровня их профессиональной подготовки.
Реализация принципа бинарности при обучении основам теории доказательств обеспечивается тем, что наряду с изучением математического уточнения понятия доказательства обсуждается методика формирования интуитивного понятия доказательства у школьников. Параллельно с изучением правил заключения обсуждается их содержательный смысл и эвристическая роль.
Принцип ведущей идеи, выражающийся в связи изучаемого материала с соответствующим школьным материалом при обучении основам теории доказательств, реализуется в следующем. Специальные знания, получаемые студентами при изучении основ теории доказательств, позволяют более глубоко и профессионально овладеть такими понятиями, как аксиома, теорема, доказательство, различными методами доказательств и, вообще, системой дедуктивных средств, используемых в математических доказательствах, понять сущность аксиоматического построения теорий и осознать дедуктивный характер математики.
Принцип непрерывности реализуется в том, что при обучении основам теории доказательств, студенты получают систему знаний и умений, представляющих собой теоретическую базу для грамотной организации дедуктивной деятельности школьников.
В следующих разделах остановимся более подробно на роли доказательств в обучении математике, на особенностях формирования интуитивного понятия доказательства и методах математических доказательств.
Многоуровневый подход при обучении основам теории доказательств на базе натурального вывода в курсе математической логики и на спецкурсах
Курс математической логики на математических факультетах различных педвузов читается по-разному. Главным образом, это объясняется расхождениями в их учебных планах. В МПГУ, работающему по индивидуальным учебным планам и программам, предусмотрен на третьем году обучения семестровый курс математической логики (54 часа лекций и 54 часа практических занятий) и семестровый курс теории алгоритмов такого же объема. В то же самое время в учебных планах факультетов многих педвузов России, готовящих учителей математики (математики и физики), предусмотрен односеместровыи курс математической логики, включающий элементы теории алгоритмов. В условиях реформы отечественного образования и отсутствия единых программ педвузов этот курс читается по разным программам.
Однако там, где этот курс читается достаточно глубоко, он обязательно включает изучение логических исчислений - исчисления высказывания и исчисления предикатов. Традиционно логические исчисления излагаются в гиль-бертовской версии. В программах многих педвузов предусмотрено изучение лишь исчисления высказываний. Поэтому, при разработке содержания основ теории доказательств на базе натурального вывода в настоящей работе подробно рассмотрено изложение именно исчислений высказываний.
С учетом сказанного, предлагается многоуровневый подход к изучению основ теории доказательств на базе натурального вывода на примере изучения пропозициональных систем натурального вывода. Этот подход предусматривает определенную дифференциацию изложения в зависимости от программ, по которым читается курс.
Представляется целесообразным излагать материал на следующих уровнях. Первый уровень. На этом уровне изложение ведется в самой краткой форме.
Цель такого краткого варианта - ознакомление студентов с одним из математических уточнений интуитивного понятия доказательства, формирование представления о возможности построения модели доказательства в виде дерева вывода, а также изучение правил заключения и их содержательного смысла. На этом уровне предусматриваются:
- формирование представления о натуральном выводе, как об одном из типов формализации;
- введение правил заключения классической и интуиционистской системы натурального вывода и обсуждение их содержательного смысла;
- введение понятия дерева вывода с корнем F сначала на интуитивном уровне, а затем с помощью индуктивного определения;
- рассмотрение примеров деревьев вывода.
Теоремы о согласованности обеих систем с классом тавтологий, о непротиворечивости этих систем и о полноте классической системы относительно класса тавтологий можно сформулировать без доказательства.
Ограничиться первым уровнем имеет смысл при очень кратком изложении основ теории доказательств или же при чтении основного курса математической логики на базе гильбертовских исчислений.
Второй уровень, кроме материала, относящегося к первому уровню, предусматривает введение с помощью индуктивного определения понятия дерева вывода с корнем F и множеством существенных допущений А. Таким образом, здесь вводится более тонкое и сложное понятие, выявляющее зависимость корня дерева вывода от некоторого множества допущений. При таком определении появляется возможность ввести отношение Л -выводимости и доказать его свойства, провести доказательства некоторых теорем о системах натурального вывода, например теоремы о согласованности систем натурального вывода с классом тавтологий и теоремы о непротиворечивости этих систем. Если при этом, наряду с натуральным выводом, строятся и гильбертовские исчисления высказываний, целесообразно доказать теорему о равнообъемности систем натурального вывода и одноименных исчислений гильбертовского типа.
