Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Элементарная математика и ее роль в профессиональном становлении будущего учителя в ВУЗах педагогического направления 10
1.1. История развития преподавания курса элементарной математики 10
1.2. Подготовка будущих учителей по курсу элементарной математики как педагогическая проблема 38
Выводы к главе 1 75
Глава 2. Взаимосвязь курса элементарной математики и методики ее преподавания в процессе подготовки будущих учителей математики 77
2.1. Методическая подготовка будущих учителей математики по изучению простых геометрических фигур 77
2.2. Методика изучения равенства плоских и пространственных фигур в курсе элементарной геометрии 101
2.3. Анализ результатов педагогического эксперимента 128
Выводы к главе 2 144
Заключение 146
Список использованной литературы 148
- История развития преподавания курса элементарной математики
- Подготовка будущих учителей по курсу элементарной математики как педагогическая проблема
- Методическая подготовка будущих учителей математики по изучению простых геометрических фигур
- Методика изучения равенства плоских и пространственных фигур в курсе элементарной геометрии
Введение к работе
Актуальность проблемы исследования. Современные социально-экономические преобразования и научно-технический прогресс, происходящие в обществе вносят большие изменения во все сферы человеческой деятельности. В связи с этим перед педагогической наукой остро стоит проблема формирования личности с высоким уровнем подготовки, творческим потенциалом, умеющей использовать современные технологии и орудия труда к жизни и труду. Процесс воспитание и обучение в школе имеет очень важное и актуальное значение для становления личности, формирования потенциала молодого поколения. Современный этап развития суверенного Таджикистана, в связи с переходом к новым социально-экономическим отношениям, внедрением новых информационных технологий, предъявляет новые требования к системе образования, к подготовке высококвалифицированных кадров для различных отраслей народного хозяйства. В современных условиях возникает социальная потребность в организации целенаправленной работы по формированию общей и профессиональной подготовленности кадров и уровня культуры личности. Это подчеркивается в Законе Республики Таджикистан "Об образовании" (2004г.), в "Концепции национальной таджикской школы' (2008г.), "Государственном стандарте образования Республики Таджикистан" (2009г.), Законе Республики Таджикистан "О высшем и последипломном образовании" (2009г.).
Особая роль в решении этой задачи принадлежит психолого-педагогической и методической подготовке "будущих учителей общеобразовательной школы, в том числе учителей математики. Для профессиональной подготовки будущего учителя математики большие образовательные возможности имеет курс элементарной математики, обладающий особенностями, отличающими его от других математических и методических дисциплин. Во-первых, он имеет сходную со школьным курсом математики логическую структуризацию математического материала; во-вторых, терминологически совпадающие понятия трактуются в данном курсе значительно шире и глубже, чем в школе, что позволяет формировать не только приемы учебной математической деятельности студентов, но и приемы обучающей - методической - деятельности.
Формирование личности учителя в образовательных учреждениях предполагает ее раскрытие в контексте ценности духовного и нравственного богатства, а также умение и способности творчески и методически подходить к решению задач.
Формирование современного общества связано с утверждением приоритета свидетельствует, как об актуальности данной проблемы, так и об ее объективной сложности. В настоящее время ведущей задачей общеобразовательной школы является развитие творческих способностей учащихся, которое рассматривается как одно из приоритетных направлений в педагогике.
Проблема подготовки будущих учителей математики к профессиональной деятельности со всей остротой встает сегодня, когда научно-технический прогресс и интенсификация материальной, социальной и духовной жизни общества предъявляют повышенные требования к системе образования и
её субъектов.
Степень изученности темы: Вопросы совершенствования методической подготовки будущих учителей математики постоянно находятся в центре внимания ученых-математиков, педагогов и методистов: В.Л.Матросов, Л.М.Фридман, В.Л.Гусев, Г.В.Дорофеев, И.В.Дробышева, Г.И.Саранцев, Ю.М.Колягин, В.И.Михеев, А.Г.Мордкович, СП. Новиков, Е.И.Санина, И.М.Смирнова, А.Г.Солонина, Г.Г.Хамов, Р.С.Черкасов, и др. Среди таджикский ученых следует отметить имена математиков-педагогов Н.Раджабова, Б.Алиева, М.Нугмонова, Т.А.Шукурзода, Дж.Шарифова, Э.Рузиметова, А.Э.Сатторова и др. Следует отметить, что образованность общества зависеть от образованность подрастающего поколения, и она должна стать основой для решения социальных и экономических проблем, развития науки и культуры и национальных традиций в любое государство. В прошлом веке были созданы программы данного курса ведущими специалистами по элементарной математике И.К.Андроповым, Е.Б. Арутюняном, Б.М.Брадисом, Г.В.Дорофсевым, Г.Г.Левитасом, А.Г.Мордковичем, В.И. Нечаевым, О.И.Плакатиной, А.А.Смирновым и др. Проблеме изучения курса элементарной математики в педагогическом вузе посвящены диссертационные исследования Н.В.Батькаиовой, Л.Н.Евелипой, Л.Г.Куликовой, О.И.Мартынюк, В.Л.Рабинович, К.И.Ткаченко, О.И.Федяева и др.
Несмотря на то, что данные исследования вносят большой вклад в теоретическое и практическое решение проблем изучения элементарной геометрии в педагогическом вузе, следует отметить, что остается недостаточно исследованной та роль, которую играет элементарная геометрия в профессиональном становлении будущего учителя математики, в частности, отсутствуют фундаментальные исследования комплексных вопросов взаимосвязи курса элементарной геометрии с методической подготовкой будущего учителя и ср школьным курсом геометрии. Все вышесказанное, прежде всего, относится к проблеме методики преподавания математики в таджикских школах.
Основу данного исследования составляет теоретическое осмысление и практическая переработка методику изучения курса элементарной математики во взаимосвязи с методической подготовкой будущего учителя математики на примере разделов, связанных с курсом элементарной геометрии.
Проблема исследования заключается в установлении взаимосвязей между структурами курса элементарной математики по проблемам изучения геометрических фигур, как в школьных, так и в вузовских учебниках.
Цель исследования: разработать и экспериментально проверить методику изучения курса элементарной математики, в частности, элементарной геометрии, во взаимосвязи с методической подготовкой будущего учителя
математики на примере разделов, связанных с равенством плоских и пространственных фигур, как в вузе, так и в школе.
Объектом исследования является процесс изучения курса элементарной математики на примере изучения разделов, связанных со свойствами геометрических фигур на плоскости и в пространстве, и осуществление методической подготовки будущих учителей математики в ВУЗах педагогического направления.
Предметом исследования явилось выявление возможных взаимосвязей изучения курса элементарной математики и методической подготовки будущих учителей математики на примере изучения различных геометрических фигур на плоскости и в пространстве.
Гипотеза исследования: методическая подготовка будущего учителя математики позволит понять математический и дидактический смысл этих понятий и выработать стратегию взаимосвязанное изучение свойств геометрических фигур в курсе элементарной математики, как в средней школе, так и ВУЗе. В соответствии с поставленной целью и избранной гипотезой решаются следующие задачи:
- определить роль и место курса элементарной математики в системе
дидактико-математической и профессиональной подготовки будущего учителя
математики;
раскрыть содержание и методику изучения разделов, связанных с понятием равенства геометрических фигур в курсе элементарной математики;
рассмотреть возможности изучения теми равенства фигур па плоскости и в пространстве в различных школьных и вузовских учебниках математики и геометрии и установить взаимосвязи с подходами их изучения;
экспериментально проверить эффективность использования разработанной методики с учетом взаимосвязей курса элементарной математики и методической подготовки будущих учителей при изучении геометрических фигур.
Методологической основой исследования явились существующая теория построения высшего педагогического образования; труды ведущих педагогов, методистов и математиков; многоуровневая подготовка учителя математики и геометрии; концепции профессионально-педагогической направленности обучения математике, как в вузе, так и в школе.
При решении проблемы были применены следующие методы исследования: изучение педагогической, методической и математической литературы по теме исследования; анализ программ, учебников, учебных пособий по элементарной математике и геометрии для вузов и общеобразовательных школ. А также анализ и обобщение собственного опыта работы в школе и вузе (с 1982 по настоящее время - около 30 лет).
Научная новизна исследования состоит в следующем:
- изучены и обобщены практически все возможности изучения свойств
геометрических фигур в курсе элементарной математики различных авторов
(Л.С.Атанасяна, Д.И.Перепелкииа, А.В.Погорелова, Э.Рузиметова, ИХуломова, Т.А.Шукурзода, Дж.Шарифова, Б.Алиева, А.Э.Сатторова и др.);
- дан анализ методической подготовки будущих учителей математики,
содержащейся в школьных учебниках геометрии, связанной с
вышеперечисленной системой изучения курса элементарной геометрии;
разработаны рекомендации по комплексному изучению курса элементарной математики и геометрии;
методической подготовки будущих учителей математики; соответствующих этой подготовке школьных учебников по элементарной математике и геометрии.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что для будущих учителей математики даны практические рекомендации по изучению свойств геометрических фигур в различных курсах элементарной математики, а также соответствующие рекомендации по методической подготовке и по изучению учебников геометрии для средней школы, кроме того, подобрана комплексная система задач по всем указанным направлениям.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается опорой на научно-методические исследования в области теории и методики преподавания элементарной математики в ВУЗах высшей педагогического направления, и в школе.
На защиту выносятся следующие положения:
-
учет и реализация взаимосвязей курса элементарной математики и методической подготовки будущих учителей математики, связанных с изучением различных геометрических фигур;
-
содержание методической подготовки будущих учителей математики, включающей системы соответствующих задач, направленных на изучение свойств геометрических фигур;
-
взаимосвязь курса элементарной математики и геометрии, и методики их преподавания в общеобразовательных школах;.
4) анализ прежних и ныне существующих учебников по курсу
элементарной математики различных российских и таджикских авторов.
Исследования приводились в трёх этапов. На первом этапе (1998 - 2003 гг.) проводилось изучение основных документов по вопросам образования с целью уточнения задач педагогических вузов. Анализ работ по дидактике, психологии и методике преподавания математики, относящихся к проблеме исследования. Наблюдение за работой преподавателей кафедры методики преподавания математики ряда ВУЗов (Кулябского государственного университета имени Абуабдуллаха Рудаки, Таджикского государственного педагогического университета имени Садриддина Айни, и конечно же, Курган-Тюбинского государственного университета имени Носира Хусрава) с целью изучения состояния исследуемой проблемы в практике обучения.
На втором этапе (2003 - 2008 гг.) был проведен эксперимент по проверке эффективности отобранных для исследования форм и методов реализации взаимосвязей курса элементарной математики и методической подготовки в
процессе изучения геометрических фигур в вышеназванных ВУЗах Республики Тадесикистан. Проводился систематический обучающий эксперимент, сопровождающегося анализом полученных данных в разработанную методику по ходу эксперимента.
На третьем этапе (2008 - 2011 гг.) осуществилась разработка гипотезы и уточнения задач исследования. Были определены подлежащие экспериментальному исследованию. Теоретический аспект исследование заключался в оформлении и завершении теоретических основ исследования. Практический аспект заключался в анализе полученных данных, в оценке достоверности полученных результатов и в оформлении диссертации.
Апробация работы осуществлена при преподавании курса элементарной математики и ее методики преподавания в ряде школ (№№ 31, 42, 16, 22, 63) района Восеъ Хатлонской области Республики Таджикистан, и на кафедре методики преподавания математики Курган-Тюбинского государственного университета имени Носира Хусрава.
Результаты исследования в виде сообщений и докладов излагались на научных семинарах кафедры методики преподавания математики и кафедры алгебры и геометрии Курган-Тюбинского государственного университета имени Носира Хусрава. Основные положения работы отражены в публикациях автора.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, приложения и списка использованной литературы.
История развития преподавания курса элементарной математики
Курс элементарной математики составляет основу общеобразовательного курса математики. Он обладает высоким гуманитарным потенциалом уже, в частности, потому, что за ним стоит огромный исторический срок.
Подготовка школьного учителя вследствие его роли и значения ЇЇ развитии интеллектуального потенциала общества, несомненно, заслуживает особого места в образовательном пространстве.
О необходимости специальной подготовки учителей средних школ (гимназий, колледжах, училищ и т.п.) в области математики в Республике Таджикистан в основном ориентир делается на Россию. Поэтому коротко рассматриваем историю развития преподавания курса элементарной математики в России, затем в СССР, как предыстории развития курса элементарной математики в Таджикистане. Историю развития преподавания курса элементарной математики можно проследить и с начала XX века. На I Всероссийском съезде преподавателей математики, состоявшемся в 1911 году, был прямо поставлен вопрос о специальной подготовке учителей математики на базе законченного университетского образования.
В Москве организовался педагогический институт имени П.Г.Шелапутина, в котором получали педагогическую специализацию в течение двух лет после окончания высших учебных заведений, пожелавшие посвятить себя преподавательской деятельности. Уже в 18-19-х годах XX века, после Октябрьской революции появляются специальные учебные заведения - институты народного образования, реорганизованные в начале 20-х годов в педагогические вузы. С момента появления специальных учебных заведений, готовящих учителей, возникает проблема определения содержания специального педагогического образования. С самого начала было ясно, что вся система обучения педагогического вуза должна состоять в профессионально-педагогической направленности обучения. Данный курс был введен в учебный план педагогических вузов в 1937 году по рекомендации комиссии Академии наук СССР, изучавшей постановку математического образования в пединститутах. В процессе своего существования он претерпел значительные изменения. На основе изучения существующих в этом направлении диссертаций и других источников можно выявить три основных этапа в истории преподавания курса элементарной математики: Первый этап (с 1937 до 1970 года). На этом этапе основной задачей являлось расширение и углубление знаний студента, вынесенных ими из школы. Второй этап (с 1971 до конца 80-х годов XX века). Здесь произошел отказ от курса элементарной математики и появился «Практикум по решению математических задач» (ПРМЗ). Третий этап (с начало 90-х годов по настоящее время). Этот этап по настоящее время протекает на фоне структурных изменений всей системы народного образования, как в России, так и в постсоветском пространстве, в том числе и в Республике Таджикистан. В истории преподавания курса элементарной математики на протяжении всех этапов постоянно велись дискуссии по вопросу о его содержании и организации. Например, Гибш И.А. в предисловии к своей книге «Элементарная математика» [32] пишет: «Элементарная математика представляет собою дисциплину, точные границы которого не могут быть установлены. Но в одном нет сомнения: современная наука включает в область элементарной математики большое число разделов, которые выходят за пределы школьного курса элементарной математики средней школы. Эти разделы содержат в себе как дополнительный материал, на который опираются другие ветви математики, так и учения, которые имеют самую тесную связь с курсом элементарной математики средней школы, представляя собою научные основания этого курса». Следует отметить, что к его содержанию можно подойти как с научной, так и с образовательной стороны. С научной точки зрения курс элементарной математики охватывает «совокупность таких разделов, задач и методов математики, которые не пользуются общими понятиями переменной, функции, предела и тем более, общим понятием множества. Или можно сказать, что элементарная математика пользуется теми общими математическими понятиями (абстракциями), которые сложились до появления математического анализа, хотя этот раздел математики продолжает развиваться, и теперь в ней появляются новые результаты, все же это происходит в рамках тех же понятий» [76, с.129].
Рассматривая содержание курса элементарной математики _с позиции современного обучения математике, имея в виду совокупность таких математических разделов, которые изучаются в средней школе. Таким образом, курс элементарной математики включает в себе элементы арифметики, элементарную геометрию теории чисел, алгебру, геометрию, тригонометрию и математический анализ. Изучение элементарной математики в ВУЗе педагогического направления означает овладение понятиями, фактами и методами, составляющими стержневую идею каждого из ее разделов. Причем такой подход к изучению курса элементарной математики предполагает его тесную связь с методической подготовкой будущих учителей математики и со школьным курсом математики в рамках программы для высших учебных заведений, готовящих учителей математики.
Относительно организации изучения курса элементарной математики одни считали, что он должен читаться с первого курса для обеспечения успешного усвоения аналитической геометрии, анализа и высшей алгебры, другие - лишь после изучения основ высшей математики, объясняя это тем, что глубокое осмысление курсов школьной математики невозможно без знаний основ современной математики.
Вначале рассмотрим содержание курса элементарной геометрии. Давидов Л. определяя понятие элементарной геометрии во введении к своей книге «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса» [42, 5], пишет: «Геометрия делится на геометрию на плоскости, называемую планиметрией, и геометрию в пространстве, называемую стереометрией; в первой рассматриваются протяжения, которые могут быть представлены на плоскости; во второй рассматриваются протяжения, которые не могут быть представлены на плоскости; в этой же части изучаются по преимуществу свойства геометрических тел. Планиметрия вместе со стереометрией называется элементарной геометрией, в отличие от высшей геометрии, исследующей преимущественно свойства кривых линии и поверхностей».
Перепелкин Д.И. в предисловии к своему учебному пособию [113] заметил, что содержание элементарной геометрии «устанавливается не какими-либо общими соображениями, а просто традицией, основанной на потребностях практики».
Подготовка будущих учителей по курсу элементарной математики как педагогическая проблема
Подготовка будущих учителей, связанная с проблемами изучения курса элементарной математики и практикума по решению математических задач в педагогическом вузе рассмотрена ,_в диссертационных исследованиях Н.В.Батькановой [18], Д.Т.Белешко [19], Л.Н.Евелиной [46], О.А.Иванова [51], Л.Г.Куликовой [74,75], О.И.Мартынюк [82], В.Л.Рабинович [134], М.К.Саядяна [145], К.И.Ткаченко [ 159], О.И.Федяева [161].
Н.И.Батьканова разработала концепцию профессионально педагогической направленности обучения элементарной геометрии и условия ее реализации. В соответствии с этой концепцией выявлена система профессиональных умений, которые необходимо формировать при обучении элементарной геометрии. Система включает умения, способствующие отбору и усвоению содержания тем элементарной геометрии, умения педагогического общения, умения самосовершенствования. Рассматривает межпредметные связи курса элементарной геометрии с математическими курсами педвуза, в частности связь с высшей математикой. Имеющуюся совокупность принципов профессионально-педагогической направленности обучения, выделенных А.Г.Мордковичем, дополняет принципом комплексного подхода. Суть принципа комплексного подхода заключается в том, что формирование и развитие личности педагога должно осуществляться в системе, обеспечивающей студентов не только необходимыми знаниями изучаемого предмета, но и умениями педагогического общения и самосовершенствования.
Д.Т.Белешко считает, что необходимым условием совершенствования профессиональной подготовки учителя математики в пединституте является повышение методической направленности практикума по решению математических задач, приближение его содержания к требованиям будущей педагогической деятельности. Систематизация знаний у студентов происходит в два этапа: при подготовке к занятиям и при проведении занятий. При этом определенную роль играют контрольные вопросы, составленные по каждой теме геометрической части практикума по решению математических задач (планиметрия). Из форм работы со студентами отдает предпочтение комбинированной форме, включающей в себя элементы семинара. Целью обучения в педвузе Д.Т.Белешко считает достижение студентами обязательного уровня обучения по трем направлениям: а) базисные теоремы, задачи и формулы; б) основные методы и способы решения геометрических задач; в) основные умения и навыки решения задач.
В работе Л.Н.Евелиной разработана методика профессионально-педагогического обучения студентов в курсе элементарной геометрии, в которой ведущая роль отводится геометрическим задачам. В ходе работы выделены профессиональные умения, которые целесообразно формировать в процессе решения задач, рассматриваются связи элементарной математики с вузовскими и школьными курсами геометрии. Одним из задач исследования Л.Н.Евелиной являлась разработка тематики рефератов по элементарной геометрии с учетом тем курсовых работ по геометрии и методике преподавания математики и дальнейшего перехода в дипломные работы. В результате данного исследования дан исторический анализ изучения курса элементарной математики с позиции профессионально-педагогического образования.
О.Л. Иванов, рассматривая проблему подготовки учителей профильных классов в университете, говорит о построении системы специальной математической и методической подготовки на основе принципа интегративности. Приводится реализация интегративного принципа на примере курса «Избранные главы элементарной математики». Интегративный характер, по словам автора, определяется единством его конкретного содержания (набором задач кружковото плана, изложением оснований школьного курса математики, изложением дополнительных разделов школьной математики и «высшей» математики), методического содержания (связью идей и методов элементарной и «высшей» математики, обобщающим повторением идей и методов, понятий и утверждений базовых математических курсов) и частной методики, которая состоит в переходе от элементарных задач к вопросам «высшей» математики, связанных либо с обоснованиями, либо с обобщениями различных утверждений и задач, Содержание курса «Избранные главы элементарной математики» состоит из десяти тем: индукция; комбинаторика; геометрические преобразования; неравенства; множества, уравнения и многочлены; графы; принцип Дирихле; кватернионы; производная, основания анализа,
Л.Г.Куликова разработала программу по элементарной математике на каждом этапе формирования готовности в условиях многоуровневого непрерывного педагогического образования и технологию формирования профессиональной готовности на различных ступенях обучения элементарной математике. Обоснована система профессиональных умений, адекватная концепции профессионально-педагогической направленности обучения и выделены требования к профессиональной направленности обучения элементарной математике в педвузе.
Методическая подготовка будущих учителей математики по изучению простых геометрических фигур
Определение взаимосвязи можно найти в Большой Советской энциклопедии: «Взаимосвязь, взаимная обусловленность существования компонентов действительности друг с другом, взаимная зависимость их отдельных характеристик». В нашей работе в качестве компонентов мы определяем вопросы, связанные с равенством геометрических фигур в курсах элементарной геометрии, курсах школьной геометрии и при методической подготовке будущих учителей математики. С точки зрения изучения взаимосвязи наибольший интерес представляет влияние курса элементарной геометрии на методическую подготовку будущих учителей математики-. Рассуждая о методической подготовке, мы будем придерживаться трактовки, предложенной Д.Пойа: «Все курсы, которые я читал учителям математики, были построены так, чтобы они могли служить в какой-то мере и курсами методики, В названии курса обычно указывался только учебный предмет, которому посвящался курс, отводимое же время распределялось между математикой и методикой ее преподавания: вероятно, девять десятых всего времени тратилось на предмет, и одна десятая - на методику» [119, с,304]. Другими словами, каждый предмет, изучаемый студентами в вузе, готовящем учителей, вносит свой вклад в формирование основ педагогического мастерства. Курс элементарной математики принадлежит к числу дисциплин, от которого напрямую зависит методическая подготовка будущего учителя математики. По мнению ряда исследователей курс элементарной математики должен стать фундаментом для формирования определенной базы математических знаний, умений и навыков, обеспечивающее понимание целей, задач и методов обучения математике в современной школе и готовность к их реализации. Уровень этих знаний должен позволить будущему учителю определять логическую структуру и содержание школьного курса математики. Курс элементарной математики помогает сместить акцент в преподавании методики математики с обсуждения содержания школьных учебников на рассмотрение методических проблем. Рассмотрим особенности изучения равенства треугольников в различных вариантах школьного курса геометрии. При этом мы будем руководствоваться тем, что будущий учитель математики должен научиться грамотно анализировать содержание курса школьной математики, ясно представлять научное развитие основных понятий курса, знать различные точки зрения по вопросам методики изложения разделов школьного курса геометрии, в частности разделов курса, связанных с равенством фигур и уметь выбрать наиболее эффективные способы для преподавания. В главе 1 мы говорили об учебнике А.П.Киселева для педагогических училищ, где равенство треугольников рассмотрено не достаточно ясно. Сейчас рассмотрим школьный учебник Л.П.Киселева, переизданный в 1980г., по которому долгое время велось преподавание геометрии в школе. Учебник геометрии Л.П.Киселева составил этап школьного математического образования в нашей стране. Этот учебник был наиболее популярным учебником геометрии в русской дореволюционной школе. Теоретической основой учебников по геометрии А.П.Киселева были «Начала» Евклида. Равенство треугольников в школьном курсе совпадает с тем, что написано у него в курсе элементарной геометрии, которое мы рассмотрели в первой главе. Понятие РТ, как и равенство любых геометрических фигур, вводится с помощью наложения: «Две геометрические фигуры, например два треугольника, называются равными, если они при наложении могут быть вполне совмещены». Определение РФ дано на основе интуитивно ясного понятия возможности совмещения геометрических фигур как физических объектов. В учебнике Л.П.Киселева нет ни слова, что такое наложение и нет аксиоматики наложения. Признаки равенства треугольников также доказываются чисто наглядно без ссылки па какую-либо аксиоматику, так же как и в курсе элементарной геометрии для педагогических училищ. Вместе с тем как показывает история создания этих учебников, учебник Л.П.Киселева содержал аксиоматику. И по этому поводу А.Н.Колмогоров пишет, что «в старых изданиях «Геометрии» А. Киселева (1916г.) в качестве аксиомы принимается основное свойство плоскости, которое формулируется следующим образом [66, с.25]: «Мы примем за очевидное, что наложение одной плоской фигуры на другую всегда можно выполнить в такой последовательности: 1.Мы можем любую точку одной фигуры совместить с любой точкой другой фигуры. 2. По совмещении двух точек мы можем, вращая накладываемую фигуру вокруг совпавшей точки, совместить в обеих фигурах любые две полупрямые, исходящие из совпавших точек. 3. По совмещении двух точек и двух прямых мы можем, вращая накладываемую фигуру вокруг совпавшей прямой, как около оси, расположить эту фигуру или по ту, или по другую сторону от совпавшей прямой. После этого наш произвол заканчивается; совпадут ли другие части фигур, зависит от свойств самих фигур».
А.Н.Колмогоров высказывая свою точку зрения на то, что1 1J последующих переизданиях учебника А.П.Киселева эта формулировка «подвижности» плоскости не цитируется, пишет: «В советское время преподавание в наших педагогических институтах было полностью подчинено системе изложения, принятой в основном тексте знаменитой книги Гильберта. Укоренилось представление о том, что понятие «конгруэнтности» в качестве основного неопределимого понятия должно относиться только к отрезкам и углам, а конгруэнтность более сложных фигур должна определяться через конгруэнтность отрезков и углов. Видимо, исходя из этой идеи, редакторы послереволюционных изданий учебника А.П.Киселева исключили процитированное выше корректное и точное описание «подвижности» плоскости, сохранив, однако, лишенную отчетливого содержания формулировку: Всякую часть плоскости можно наложить всеми ее точками на другое место этой же или другой плоскости, причем накладываемую часть можно предварительно повернуть другой стороной». Сейчас эта формулировка фигурирует, например, в курсе элементарной геометрии А.П.Киселева [61,с,7]
Методика изучения равенства плоских и пространственных фигур в курсе элементарной геометрии
Заметим, что равенство пространственных фигур в школьном курсе геометрии почти не рассматривается и не входит в программу школьной геометрии, но и в курсе элементарной геометрии очень немного материала по этому вопросу.
Некоторые вопросы, связанные с равенством пространственных фигур, могут быть рассмотрены только при углубленном изучении математики в школе. При изложении этого материала в курсе элементарной математики будем иметь в виду, что учитель должен уметь в зависимости от уровня подготовленности школьников вести преподавание, как на высоком уровне строгости, так и на уровне более наглядного изложения материала. Следовательно, существенными являются: - знание основных идей и понятий школьного курса математики, в частности курса школьной геометрии; і -глубокое и всестороннее знание материала, изложенного в действующих учебниках и учебных пособиях для средней школы, а также для классов и школ с углубленным изучением математики; - умение оценивать качество различных подходов к изложению математического материала. При рассмотрении курса «Элементарная геометрия» для педагогических училищ А.П. Киселева [59] в главе 1 мы дали определение равенства геометрических фигур. Это определение интересно, но оно в этом учебнике совершенно не работает. Единственно, что можно рассматривать в учебнике А.П.Киселева-это равенство трехгранных углов. Определение равенства трехгранных углов отдельно не дается. С использованием вложения доказывается следующий признак равенства трехгранных углов: трехгранные углы равны, если они имеют по равному двугранному углу, заключенному і между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами. Доказательство. Пусть S и Si - два трехгранных угла (рис. 40), у которых ASB= AiSiBb ASC= AiSiCi и двугранный угол AS равен двугранному углу AiSi. Вложим угол Si в угол S, прямая SA с Si Аги плоскость AiSjBi с ASB. Тогда 1. ребро SiBi пойдет по SB (по равенству углов AjSiB] и ASB) 2. плоскость AiSiCj пойдет по ASC (по равенству двугранных углов) 3. ребро SiCi пойдет по SC (по равенству углов AiSiCi и ASC). Таким образом, трехгранные углы совместятся всеми своими ребрами, т.е. они будут равны. Аналогично, по словам автора, доказывается и второй признак: трехгранные углы равны, если они имеют по равному плоскому углу, заключенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными двугранными углами. При формулировке используется понятие «одинаково расположенных плоских и двугранных углов», но, вместе с тем, это практически не изъясняется. Точно также как и понятие «вложения». Нужно подчеркнуть, что в этом учебнике равенство трехгранных углов полностью совпадает со школьным учебником А.П.Киселева [59]. Таким образом, и с точки зрения равенства пространственных фигур учебники А.П.Киселева мало эффективны для методической подготовки будущих учителей математики. Далее рассмотрим проблему изучения равенства пространственных фигур в комплексе учебников авторского коллектива под руководством Л.С.Атанасяна [14]. В курсе элементарной геометрии [14] дальше рассматриваются признаки равенства обобщенных цилиндров и конусов. 1. Обобщенный цилиндр Fl5 заданный основанием w и отрезком PiQi равен обобщенному цилиндру F2, заданному основанием wj и отрезком P2Q2, если существует наложение f такое, что vvj =Лщ) 2 APi),Q2=AQi) 2. Обобщенный конус F± с основанием щ, и вершиной Oi равен обобщенному конусу F2 с основанием wj и вершиной 02, если существует наложение f такое, что Щ=Лщ), Q2-AQ1) [14, с.156]. Докажем признак равенства обобщенных цилиндров. Докажем, что F2=f(F1). Для этого сначала докажем, что образ М произвольной точки М фигуры Fi принадлежит фигуре F2. Точка М принадлежит какому-нибудь направленному отрезку XY, равному отрезку PiQl5 XGw . Если X =f(X), У -і"(У), то очевидно, точка М принадлежит отрезку Х У, а т.к. w = Ащ), то X GwJ. Так как при наложении XY -»X Y , PiQi" P2Q2H равные отрезки переходят в равные отрезки, то X Y =P2Q.2- Таким образом, отрезок X Y принадлежит обобщенному цилиндру F2 , поэтому М Є F2. Докажем теперь, что прообраз N произвольной точки N фигуры F2 принадлежит F± . Для этого рассмотрим направленный отрезок Х У , равный P2Q2, X 6wJ, которому принадлежит точка N . Если X и Y - прообразы точек X и Y , то точка N принадлежит отрезку XY. По аналогии с предыдущим получаем: XY = PiQx, и Х Ещ, поэтому NG F±. Итак, F2=f(F1), следовательно, Fx= F2. Точно также доказывается признак равенства обобщенных конусов. С помощью признака равенства обобщенных цилиндров доказывается теорема о равенстве правильных призм: Две правильные п-угольные призмы равны, если у них соответственно равны стороны оснований и боковые ребра [14, с.359].
Рассмотрим его доказательство. Пусть F - AjA2...AnBiB2...Bn и F = А] А2 ...Ап В] В2 ...Вп - данные призмы, W[ = AjA2...A„ и й = Aj A2 ...An -их основания, О і и CV - центры этих оснований, О2 и 02 - центры параллельных им оснований (рис. 46). По условию теоремы стороны оснований w и w7 , которые являются правильными п-угольниками, равны, поэтому щ = W[\ Далее, так как АіВі=Аі Ві , то Oi02=Oi 02 . Призму F зададим основанием w и отрезком О- , а призму F основанием w и отрезком Oj/CV По теореме о равенстве трехгранных углов трехгранные углы , ОіА гОг и Оі Аі Аг Ог равны, поэтому существует наложение f при котором точка Oi переходит в точку 0\\ а лучи ОіАь О1А2 , О1О2-соответственно в лучи Oi A!1, Oi A2 , Oi 02 . Так как OiAi= Oi Ai , OiA2 = Оі Аг , Оі02= Оі 02, то точки Аі,А2,02 переходят соответственно в точки Аі ,А2 ,02 . Следовательно, при наложений f плоскость AjA202 переходит в плоскость Аі А2 02 . Многоугольники AjA2...A„ и AiA2.!.A n являются правильными многоугольниками с центрами О] и 0\, поэтому при наложении f точки АзА4...Ап переходят соответственно в точки А3 А4\..Ап\т.е. f(w)=w .
