Математические абстракции и методическая реальность в обучении математике учащихся средней школы Егорченко Игорь Викторович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОНЦЕПЦИИ МЕТОДИЧЕСКОЙ РЕАЛЬНОСТИ 24

1.1. Объект и предмет современной математики. Место понятия MP в системе знаний 24

1.2. Гносеологические основы и психолого-педагогические аспекты реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике. Функции MP 41

1.3. Объем, содержание и структура MP. Принципы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике 61

1.4. Процесс реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике и его компоненты. Уровни абстракций, моделирования, взаимосвязи школьного

курса математики с практикой 102

Глава II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КОН11ПЦИЯ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДИЧЕСКОЙ РЕАЛЬНОСТЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ АБСТРАКЦИЙ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 142

2.1. Реализация методической реальностью математических абстракций в обучении математике: аспекты, особенности подходов, тенденции 142

2.1.1. Исторические аспекты проблемы использования MP 142

2.1.2. Использование MP: основные понятия - их взаимодействие, взаимосвязь и тенденции развития 149

2.2. Категория МЕТОДИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ (MP) 171

2.2.1. Современная парадигма использования MP 171

2.2.2. Взаимосвязи математики и реальности в образовательной сфере и вне ее: сравнительный анализ содержания и форм 180

2.2.3. Классификации MP. Понятие MP 189

2.2.4. Тенденция амплификации понятий, раскрывающих содержание MP 195

2.3. Системный анализ MP 198

2.3.1. Компоненты MP 198

2.3.2. Уровни MP 198

2.3.3. Модель MP. Основные направления реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике 206

Глава III. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ РЕАЛЬНОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 233

3.1. Формирование математического мышления и развитие творческих способностей школьников посредством использования

методической реальности в обучении математике 233

3.1.1. Проблема формирования математического мышления учащихся и развития их творческих способностей в школьном учебном процессе 233

3.1.2. Формирование математического мышления школьников и развитие их творческих способностей посредством использования МР 243

3.2. Роль и место MP в обучении математике при формировании научного мировоззрения учащихся 258

3.2.1. Формирование научного мировоззрения учащихся в процессе обучения математике 258

3.2.2. Роль и место MP при формировании научного мировоззрения учащихся в школьном учебном процессе 262

3.3. Реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования методической реальности в обучении математике 271

3.3.1. Гуманитарный потенциал в содержании общего математического образования 271

3.3.2. Реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования MP 273

3.4. Разрешение противоречий школьного учебного процесса посредством использования методической реальности в обучении математике 280

3.4.1. Противоречия процесса обучения 280

3.4.2. Разрешение противоречий школьного процесса обучения математике посредством использования MP 283

Глава IV. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДИЧЕСКОЙ РЕАЛЬНОСТЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ АБСТРАКЦИЙ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ (МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ) 292

4.1. Особенности методики использования MP в обучении математике 292

4.1.1. Основные аспекты реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике 292

4.1.2. Методические формы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике 294

4.1.3. Особенности этапов формализации и интерпретации метода математического моделирования в процессе обучения математике 297

4.2. Типизации нестандартных задач РСМАР 301

4.2.1. Основные типы нестандартности задач РСМАР 301

4.2.2. Типизация нестандартных задач РСМАР, не являющихся прикладными задачами 305

4.3. Основные мыслительные и учебные умения, необходимые для решения нестандартных задач РСМАР. Методика их формирования 312

4.4. Реализация методической реальностью математических абстракций в практике школьной учебной деятельности 314

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 322

ЛИТЕРАТУРА 327

ПРИЛОЖЕНИЕ 350

Список основных сокращений (некоторые аббревиатуры, встречающиеся в тексте) 421

• Объект и предмет современной математики. Место понятия MP в системе знаний
• Реализация методической реальностью математических абстракций в обучении математике: аспекты, особенности подходов, тенденции
• Формирование математического мышления и развитие творческих способностей школьников посредством использования

Введение к работе

Концепция математического образования в школе и вузе подчеркивает задачу формирования и развития у учащихся представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. В процессе математического познания осуществляется овладение все более высокими уровнями математических абстракций:

в алгебре (арифметике началах анализа): количественные отношения реального мира —» числа — термы алгебра действительных (комплексных) чисел, математический анализ элементарных функций — математические структуры как абстрактные дедуктивные системы вне их возможных конкретных интерпретаций;

в геометрии: пространственные формы реального мира — геометрические фигуры — геометрические понятия —» евклидова геометрия — математические структуры (Сх. 1 на С. 106).

В процессе формирования и развития у учащихся представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности и, соответственно, в процессе овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня реализуются следующие цели Sj (и решаются адекватные задачи):

1. ( Si): На основе выполнения чувственно-предметной деятельности посредством наблюдений и эмпирических экспериментов осуществить: 1) переход от непосредственного оперирования множествами предметов (число неотделимо от множества конкретных объектов, которое оно характеризует) к действиям над их обобщенными символами - числами, т.е. отделить числа от конкретных объектов; 2) выполнение анализа воспринимаемых геометрических форм, посредством которого понятия начинают выступать как носители своих свойств и распознаются по этим свойствам. Таким образом реализуется цель — решить дидактическую задачу формирования первичных математических абстракций -числа и фигуры.

2. ( S2): На основе оптимизации эмпирического чувственно-предметного пути исследования и познания посредством использования дедуктивного вывода осуществить: 1) переход от конкретных чисел к буквенным выражениям и «локальное» логическое упорядочение свойств числовых множеств и операций над ними; 2) логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур. Геометрические фигуры при этом выступают в логической взаимосвязи, устанавливаемой посредством определений, но значение дедуктивной системы в целом ещё не постигает-ся; осуществляется лишь «локальное» понимание её значения в рамках нескольких тем, при этом часть свойств находится экспериментально, часть выводится дедуктивно, оптимизируя и сокращая нахождение их опытным путем. Данный этап характеризуется формированием математических абстракций второго уровня - предметных констант и переменных (термов), геометрических понятий.

3. ( S3): На основе использования практики как критерия истинности и средства прикладной реализагщи дедуктивно построенных математических теорий осуществить построение школьных курсов геометрии, алгебры и начал анализа, которые связаны с эмпирическими знаниями человека об окружающем мире и таким образом осуществить конкретные содержательные интерпретации абстрактных дедуктивных систем: 1) постижение значения дедукции «в целом» как способа построения и развития всей математической теории; выявление сущности аксиом, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и т.д.; 2) осуществить «содержательную» аксиоматизацию геометрической теории - аксиоматизацию теории в определенной конкретной интерпретации (геометрия Евклида); 3) выявить возможности дедуктивного построения алгебры в заданной конкретной интерпретации (например, алгебры действительных чисел). Таким образом, на данном этапе осуществляется содержательная аксиоматизация и построение алгебры и геометрии как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накопленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях окружающего мира (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел), и овладение учащимися адекватной этому этапу совокупностью знаний и способов деятельности.

4. ( S4): На основе осуществления перехода от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (например, абстрактные алгебры, кольца, поля и т.п.) и обратно от абстрактной теории к другим её возможным интерпретациям реализовать: 1) выявление абстрактной сущности алгебры как математической структуры; 2) раскрытие сущности геометрических теорий, построенных как абстрактные дедуктивные системы; 3) конструирование различных возможных интерпретаций абстрактных математических структур и теорий и соотнесение, контроль и коррекцию результатов интерпретаций с практикой. Следовательно, на данном этапе осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории, т.е. осуществляется формирование математических абстракций третьего уровня - развитие дедуктивных теорий и формирование абстрактных математических структур, и от нее к другим ее возможным интерпретациям и, соответственно, овладение учащимися адекватной этому этапу совокупностью знаний, навыков и умений.

В процессе овладения математическими абстракциями различного уровня учащиеся оперируют:

A. Объектами, отношениями и ситуациями реальной действительности и соответствующими им, математически формализуемыми предметными моделями, которые используются в школьных курсах физики, астрономии, информатики и т.д., математическими моделями явлений, методом математического моделирования.

Б. Содержательной и методологической связью школьного курса математики с практикой, в том числе производством, техникой и т.д. Эти связи составляют основные законы развития природы и общества, принципы и особенности современного производства и техники (направления и компоненты политехнической направленности математического образования), профессиональная ориентация учащихся в процессе обучения математике, прикладная направленность обучения математике, связи математики с учебными предметами средней школы.

B. Элементами историзма в обучении математике (исторические аспекты развития математического знания, биографии ученых-математиков и ученых, просветителей, общественных деятелей, чья деятельность связана с процессом возникновения, формирования и развития математического познания, исторические задачи и проблемы математики, взаимосвязь идей философии и математики).

Совокупность указанных объектов (А.-В.) назовем методической реально стью (MP).

Существенными признаками MP выступают следующие характеристики: 1) применимость к данному школьному курсу математики; 2) применимость к данной теме школьного курса математики; 3) принадлежность к той совокупности (см. выше компоненты А. - В. ), реализацию которых в процессе обучения математике наиболее целесообразно осуществить в данной (определенной) методической форме.

В процессе математического познания происходит овладение учащимися все более высокими уровнями математических абстракций, уровнями реализации моделирования, уровнями осуществления взаимосвязи учебно-познавательной деятельности с практикой (Сх. 1). Овладение процессом абстрагирования и, в целом, содержанием современного математического образования требует системного, комплексного изучения рассматриваемых явлений, когда целенаправленно и систематически учитывают в процессе обучения и предметную структуру математического знания, и структуру деятельности, и структуру личности, и логику формирования личности. Одним из ярких примеров в методике математики, иллюстрирующих сказанное выше, является попытка внедрения теоретико-множественного подхода в школьный процесс обучения математике. Идея оказалась неудавшейся, так как предложенный высокий уровень математических абстракций оказался недоступен подавляющему числу школьников. Для усвоения учащимися абстракций такого уровня нужно реализовать в школьном учебном процессе целый ряд необходимых промежуточных этапов и осуществить овладение системой соответствующих знаний, навыков и умений.

Анализ методической и психолого-педагогической литературы показывает, что до настоящего времени были разработаны лишь отдельные аспекты проблемы формирования у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности в школьном учебном процессе. Это прикладная и практическая направленность обучения математике, историзм, политехнизм, использование межпредметных связей математики и др. Составляющие указанной выше проблемы рассматриваются изолированно, трактуются достаточно произвольно. Это приводит к большому числу рекомендаций, некоторые из которых противоречат друг другу, например, требования, предъявляемые к трактовкам прикладных или практических задач. Односторонние подходы не позволяют выделить всю совокупность теоретических положений, составляющих научную основу теории и методики формирования и развития у учащихся представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. Заметим при этом, что имеет место неполнота отражения существующими понятийными средствами всех взаимосвязей математики и реальности в процессе обучения, которые целесообразны для использования в школьном учебном процессе. Например, имеется свыше 15 типов нестандартных задач, используемых в процессе реализации методической реальностью математических абстракций, для которых не существует даже термина, необходимого для ссылки на такие задачные ситуации.

Различные аспекты проблемы реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения (историзм, прикладная и практическая направленность обучения математике) привлекали и привлекают внимание исследователей и являются приоритетными проблемами теории и методики обучения математике.

Так, в работах П.Я. Гальперина, Е.М. Кабановой-Меллер, Н.А. Менчинской, Ю.А. Самарина, Н.Ф. Талызиной и др. обоснована необходимость осуществления прикладной направленности, а также проанализированы психологические механизмы ее реализации.

Сформулированы общие принципы, обеспечивающие прикладную направленность школьного курса математики, и разработаны пути ее реализации в процессе обучения школьников (Ю.М. Колягин, В.М. Монахов, Н.А. Терешин, В.В. Фирсов и др.), в том числе по отдельным разделам планиметрии, тригонометрии, арифметики, дифференциального и интегрального исчисления, понятию вектора, понятию функции и т.д. (И.К. Андронов, С.С. Варданян, Т.В. Малкова и многие др.).

Исследованы вопросы осуществления политехнической направленности математического образования, а также реализации в учебном процессе межпредметных связей математики и физики, химии, астрономии, биологии и т.д. (Р.А. Архонтова, Т.А.Ильина, М.Н. Скаткин и многие др.).

Рассмотрена проблема формирования умений, необходимых при осуществлении процессов формализации, интерпретации и, в целом, метода математического моделирования (М.В. Крутихина, В.М. Монахов, Г.М. Морозов, В.А. Сту-калов, Н.А. Терешин и др.).

Накоплен позитивный опыт формирования приемов учебной деятельности в процессе работы учащихся над сюжетной задачей (В.А. Гусев, О.Б. Епишева, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.).

Исследованы приемы деятельности, использование которых необходимо при решении различных видов нестандартных (творческих, проблемных и т.п.) задач (А.К. Артемов, В.А. Гусев, С.Н. Дорофеев, А.В. Ефремов, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, П.М. Эрдниев и др.).

Однако за рамками этих исследований остается ряд таких нерешенных проблем, среди которых: 1. Анализ ситуации неадекватного отражения существующими понятийными средствами (политехнизма, прикладной и практической направленности) совокупности задачных ситуаций и материалов, которые целесообразны для применения в школьном учебном процессе и формирования у учащихся правильного понимания природы математики и глубоких взаимосвязей математики и реальной действительности. 2. Содержательное раскрытие всей совокупности этих материалов, отражающих взаимосвязи математики и реальности в процессе обучения и способствующих овладению учащимися математическими абстракциями различного уровня. 3. Поиск наиболее эффективных методических форм реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике и формирования у учащихся представлений о природе математических абстракций, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. 4. Более глубокое и полное изучение проблемы формирования основных мыслительных и учебных умений, которые необходимы для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальной действительности в процессе обучения. 5. Анализ образовательного потенциала использования методической реальности в обучении математике (в частности: а) формирование математического мышления и развитие творческих способностей школьников посредством использования MP в обучении математике; б) роль и место MP в школьном процессе обучения математике при формировании научного мировоззрения учащихся; в) реализация гуманитарного потенциала школьного курса математики посредством использования MP в обучении математике; г) разрешение противоречий школьного учебного процесса посредством реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике).

В теории и методике обучения математике до настоящего времени не было целостной теоретической концепции, созданной на основе комплексного (учитывающего предметную структуру математического знания, структуру деятельности, структуру личности, логику формирования личности) исследования гносеологических, психолого-педагогических и предметно-методических особенностей и аспектов процессов познания и обучения, в рамках которых адекватно отражался бы объём всей совокупности задачных ситуаций и материалов, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, и осуществлялась методика работы с ними. В то же время требования практики школьного процесса обучения прямо выдвигают задачу коренного улучшения результатов решения проблемы овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня и формирования у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. Необходимо разрешить противоречие между назревшей потребностью в научно обоснованной теории и методике реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения и овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня и наличием односторонних, разобщенных подходов, не позволяющих получить удовлетворительное решение данной проблемы. Поэтому проблема исследования данной работы и заключается в построении целостной концепции, на основе которой осуществляется разрешение указанного выше противоречия.

Таким образом, актуальность темы исследования вытекает из необходимо ( fr сти разрешения противоречия между назревшей потребностью в научно обоснованной теории и методике формирования у учащихся представлений о сущности математических абстракций и о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и, соответственно, теории и методики реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике и их фактическим состоянием.

Проблема исследования данной работы заключается в построении концеп-# ции формирования и развития у школьников представлений о природе математи-ки и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности, посредством которой и осуществляется разрешение указанного противоречия.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе, а его предметом - цели, содержание, методы, формы, средства реализации методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике.

Цель исследования: разработка концепции формирования и развития у уча-. щихся представлений о сущности математических абстракций, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и условий ее функционирования в школьном учебном процессе.

Поиск путей разрешения проблемы исследования основывается на следующей исходной гипотезе: гипотеза исследования , формирование у школьников представлений о природе математики и взаимосвязях математики и реальной действительности, овла-дение учащимися математическими абстракциями различного уровня и реализа-» ция методической реальностью математических абстракций в процессе обучения математике учащихся средней школы могут быть эффективными, если в их основе лежат следующие положения:

Методологическую основу реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике составляют:

- теория системного подхода;

- концепция учебной деятельности, ориентированная на овладение школь-4f) никами в учебном процессе способами деятельности, адекватными соответствующему математическому содержанию;

- комплексный подход, целенаправленно и систематически учитывающий в процессе обучения и предметную структуру математического знания, и структуру деятельности, и структуру личности, и логику формирования личности.

Качество знаний и умений школьников в процессе обучения математике повысится, а также развитие у учащихся правильных представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений и процессов реального мира осуществляется более эффективно, если: а) разработать теоретические основы реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике; б) разработать методику формирования основных мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, посредством которых в процессе обучения раскрываются связи математических абстракций и реальности; в) выявить наиболее эффективные методические средства и формы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике; г) разработать на этой основе методику и систему дидактических материалов, посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальности и внедрить их в практику школьного учебного процесса.

Концепция включает в себя следующие основные положения:

1. Решение проблемы формирования и развития у школьников представлений о природе математике и характере отражения ею явлений реальной действительности осуществляется на основе реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения математике.

2. Данный процесс включает следующие этапы:

1) На основе выполнения чувственно-предметной деятельности посредством наблюдений и эмпирических экспериментов осуществляется формирование первичных математических абстракций - числа и фигуры. Это выполняется путем: непосредственного оперирования реальными объектами - использования моделей геометрических фигур и тел, построения и измерения чертежей, схем, рисунков, использования приспособлений для счета; решения задач, раскрывающих взаимосвязи и отношения важнейших (Щ физических и пространственных величин; использования в процессе обу чения математике экскурсов, раскрывающих исторические аспекты развития математического познания.

2) На основе оптимизации эмпирического чувственно-предметного пути исследования и познания посредством использования дедуктивного вывода осуществляется формирование математических абстракций второго уровня - предметных констант и переменных (термов), геометрических понятий.

Это реализуется посредством: решения стандартных прикладных задач; использования задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными; реализации связей математики с учебными предметами средней школы; использования лабораторных и практических работ.

3) На основе использования практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий осуществляется содержательная аксиоматизация и построение алгебры и А геометрии, как дедуктивных систем, согласующихся с эмпирически накоп ( ленным знанием человека о пространственных формах и количественных отношениях объективной действительности (евклидова геометрия, алгебра действительных чисел). Это осуществляется посредством решения нестандартных прикладных задач, реализации в процессе обучения содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой путем использования прикладной направленности обучения математике, использования, элементов профессиональной ориентации учащихся, реализации связей математики с современным производством и техникой, использования элементов историзма.

4) Осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории (формирование математических абстракций третьего уровня - абстрактных математических структур и дедуктивных теорий, отвлеченных от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними) и обратно - переход от абстрактной теории к другим ее возможным интерпретациям. Это реализуется посредст

f) вом решения нестандартных задач, раскрывающих в процессе обучения связи математических абстракций и реальности, которые не являются прикладными задачами, а также осуществления моделирования на уровне теоретического осмысления предмета математики; изучения основных законов развития природы и общества, связанных с системой общественных и производственных отношений, принципами и особенностями современного производства и техники; осуществления анализа взаимосвязей идей . философии и математики.

3. Реализация методической реальностью математических абстракций в школьном обучении математике осуществляется на основе специальной методики формирования основных мыслительных и учебных умений, которые необходимы для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности, а также посредством системы дидактических материалов в виде комплекса серий-плакатов.

Целью, предметом и гипотезой исследования соответственно была обуслов-І лена необходимость решения следующих задач:

1. Теоретически переосмыслить и обобщить частные результаты методических исследований по проблеме формирования и развития у учащихся представлений о сущности математических абстракций, об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. Выполнить анализ существующих понятийных средств, на основе которых осуществляется содержательное формирование MP. г 2. Уточнить и определить совокупность методических средств, реализация которых необходима для формирования у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. Раскрыть их содержание и установить взаимосвязи с феноменами практической и прикладной направленности, историзмом и др.

3. Выявить образовательный потенциал использования методической реальности в обучении математике учащихся средней школы: установить ее роль и место в формировании научного мировоззрения школьников, реализации гума-«4) нитарного потенциала школьного курса математики, формировании математиче (Ы ского мышления и развитии творческих способностей школьников в процессе обучения математике и т.д.

4. Сформулировать теоретическую концепцию реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике и разработать теоретические и методологические основы, на фундаменте которых осуществляются основные положения данной концепции и соответствующее методическое обеспечение ее функционирования в учебном процессе средней школы. Выявить совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для оперирования MP в различных ситуациях, и разработать методическое обеспечение реализации методической реальностью математических абстракций в школьном процессе обучения: а) выявить наиболее целесообразные и эффективные методические формы реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике учащихся средней школы; б) выделить основные мыслительные и учебные умения, необходимые для решения нестандартных задач, посредством которых в процессе обучения раскрываются связи математических аб t стракций и реальности (в т.ч. задач, не являющихся прикладными), которые и составляют "фундамент" специальной методики, положенной в основу методического обеспечения MP.

К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся.

- деятельностный подход (А.Н. Леонтьев, П.А. Гальперин, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, В.П. Зинченко, А.К. Артемов, В.А. Гусев, О.Б. Епишева, Ю.М. Ко- лягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, В.Д. Шадриков и др.);

- системный подход, основы которого заложены в трудах В.П. Кузьмина,

В.Н. Садовского, А.И. Уемова, П.К. Анохина, Э.Г. Юдина и др., а возможности реализации в методических исследованиях продемонстрированы в работах Ю.М. Колягина, В.А. Гусева, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, В.А. Тестова и др.;

- методологические основы математики, в которых раскрывается природа математического познания, его движущие силы и источники развития (Ж. Адамар, Г. Вейль, Д. Гильберт, М. Клайн, Ф. Клейн, И. Лакатос, Д. Пойа,

«4а А. Пуанкаре, Г. Фройденталь, П.Х. ван Хиле, А.Д. Александров, Л.Д. Кудрявцев,

В.А. Молодший, Г.И. Рузавин и др.);

- методологические положения, определяющие развитие системы современного математического образования в русле концепций гуманизации и гуманитаризации математического образования, личностно-ориентированного обучения математике (В.А. Гусев, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова и др.); усиления мировоззренческой направленности математических курсов (Б.В. Гнеденко, А.Л. Жохов, Д. Икрамов, Н.А. Терешин, Ю.Ф. Фоминых, А.Я. Хинчин и др.); индивидуализации и дифференциации обучения математике (Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, И.М. Смирнова, Р.А. Утеева и др.).

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования; системный анализ и моделирование MP на различных этапах обучения и фазах протекания поисковых процессов; наблюдения за педагогической деятельностью преподавателей и учебно-познавательной деятельностью учащихся и анализ организации процесса обучения математике в реальной школьной практике; обобщения собственного опыта работы автора в школе, педагогическом институте и институте усовершенствования учителей; сравнительный анализ школьных учебников и учебных пособий; проведение педагогического эксперимента и обработка полученных результатов методами статистики, используемыми в педагогических исследованиях.

Работа над диссертацией включала следующие основные этапы исследования: I этап (1990-1993 гг.) включал в себя установление исходных фактов и осознание замысла исследования, проведение констатирующего этапа педагогического эксперимента. Было выявлено состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения математике. Результатом этого изучения явилось выделение предпосылок для разработки теоретических и выявления общеметодологических основ решения исследуемой проблемы.

II этап (1993-2001 гг.) содержал изучение количественных и качественных характеристик предмета исследования. На этом этапе было проведено теоретическое исследование, выявлены психолого-педагогические и теоретико-методологические основы решения проблемы формирования и развития у школьников

представлений о природе математических абстракций и взаимосвязях математики и реальной действительности. Осуществлялось создание теоретической модели MP, разрабатывались психолого-педагогические и методические условия эффективного функционирования MP в школьной практике, выполнялась подготовка пособий и материалов в русле исследуемой проблемы, осуществлялись их внедрение и апробация в практике учебной деятельности средней школы. Был проведен поисковый эксперимент и проанализированы его результаты.

III этап (2001-2003 гг.). На этом этапе осуществлялся анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов, выполнялась работа по уточнению и коррекции теоретических и методических аспектов и условий решения проблемы исследования, осуществлялась формулировка окончательных выводов, оформление диссертации и подготовка к публикации монографии.

Апробация и внедрение результатов исследования выполнялись в ходе целенаправленной и систематической работы с учителями школ на научно-методических семинарах и курсах повышения квалификации работников образования на базе республиканского института образования (1994-2003), в процессе обучения математике учащихся средних общеобразовательных школ (1990-2003), при работе со студентами педагогического института в рамках спецкурса и на занятиях по методике преподавания математики (1996-2003).

Внедрению разработанных дидактических материалов и методических рекомендаций предшествовало их апробирование автором в ходе непосредственной педагогической деятельности (с 1985 г.) в школьном учебном процессе, а также их многократное использование институтом образования в качестве рекомендуемых к распространению материалов из опыта педагогической работы.

Апробация теоретических положений и результатов исследования осуществлялась на международных и всероссийских научно-практических конференциях: "Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе" (Саранск, 1998), "Провинция: процесс международной интеграции в XXI веке" (Киров, 2001), "Интеграция региональных систем образования" (Саранск, 2001 и 2003), "Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики" (Нижний Новгород, 2002), "Гуманитаризация среднего и высшего математическо го образования: методология, теория и практика" (Саранск, 2002), "Теория и методика непрерывного профессионального образования" (Тольятти, 2003), на XXI Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики" (Санкт-Петербург, 2002), а также в процессе выступлений среди участников круглого стола журнала «Педагогика» "Учитель для национального региона: каким ему быть" (Саранск, 2002), на региональной научно-практической конференции "Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении" (Арзамас, 2002), на ежегодных итоговых научных конференциях преподавателей и сотрудников МГПИ им. М.Е.Евсевьева (1996-2002 гг.) и МГУ им. Н.П. Огарева (2000-2002 гг.), на научно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики в Мордовском государственном педагогическом институте (1996-2003). Полученные в ходе исследования методические разработки неоднократно были представлены на курсах повышения квалификации работников образования (Саранск, МРИО, 1994-2003).

Внедрение научных результатов осуществлялось также в процессе публикации монографий, учебных программ и методических рекомендаций, статей общим объемом более 50 учетно-издательских листов.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нем впервые создана концепция формирования и развития у учащихся представлений о природе математических абстракций, об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности и, соответственно, реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике учащихся средней школы.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нем

1. Разработаны теоретические основы формирования и развития у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. Сформулирована теоретическая концепция реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике и разработано методическое обеспечение ее функционирования в школьном учебном процессе.

2. На основе разработанной концепции обобщены результаты методических исследований по соответствующей проблематике. Установлена неадекватность отражения существующими понятийными средствами всего множества задачных ситуаций и материалов, использование которых необходимо для формирования и развития у учащихся представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. В соответствии с этим уточнена и определена совокупность методических средств, необходимых для формирования у учащихся представлений о природе математики и характере отражения ею явлений реальной действительности, раскрыты содержание и объем понятия MP, адекватно отражающего указанную совокупность. Установлены взаимосвязи категории MP с феноменами практической и прикладной направленности, историзмом и др. и выявлена тенденция амплификации (расширения) в процессе генезиса данных понятий. Выделена совокупность мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, посредством которых раскрываются связи математических абстракций и реальной действительности в процессе обучения (в том числе и задач, не являющихся прикладными).

3. Выявлен образовательный потенциал использования методической реальности в обучении математике учащихся средней школы: установлены ее роль и место в формировании научного мировоззрения школьников, реализации гуманитарного потенциала школьного курса математики, формировании математического мышления и развитии творческих способностей школьников в процессе обучения математике и т.д.

Практическая значимость исследования заключается в разработке методического обеспечения разработанной концепции формирования и развития у школьников представлений о природе математики и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности. На основе анализа и экспериментальной апробации различных методических форм реализации методической реальностью математических абстракций в обучении математике выявлена та методическая форма, которая наиболее оптимально сочетает наибольшее число позитивных сторон при минимуме недостатков. Отправляясь от этого, создана система задач и материалов, посредством которых осуществляется реализация методической реальностью математических абстракций в процессе обучения, состоящая из серий специальных плакатов (количественно свыше 200 экземпляров), связанных с конкретными темами курса школьной математики. Исходя из психолого-педагогических особенностей учащихся школьного возраста, разработана и практически реализована методика формирования мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности, включающая в себя описание конкретных форм работы и примеры их реализации на соответствующих упражнениях. Дано обоснование эффективности (подтвержденной педагогическим экспериментом) использования данной методики в школьной учебной деятельности.

Обоснованность и достоверность полученных выводов обеспечивается согласованностью методологических и теоретических положений, составляющих концепцию исследования, их адекватностью целям, предмету и задачам исследования и соответствием концепциям базисных наук, а также опорой на результаты педагогического эксперимента и итоги их количественной и качественной обработки методами статистики, используемыми в педагогических исследованиях.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Современными концепциями процесса обучения, учебного познания, психологическими закономерностями усвоения знаний, практикой обучения математике обусловлена необходимость комплексного исследования гносеологических, психолого-педагогических и предметно-методических особенностей и аспектов процессов познания и обучения, в рамках которых осуществляется формирование у школьников представлений о сущности математических абстракций, природе математике и характере отражения ею объектов и процессов реальной действительности.

2. Процесс формирования и развития у школьников представлений о математике как форме описания и методе познания реальной действительности характеризуется уровнями реализации моделирования, уровнями осуществления взаимосвязи учебно-познавательной деятельности с практикой, овладением учащимися математическими абстракциями все более высокого уровня.

В процессе овладения учащимися математическими абстракциями различного уровня осуществляется: 1) учебно-познавательная чувственно-предметная деятельность, направленная на овладение элементарными отношениями в системе основных отношений, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, и выполняется пропедевтика моделирования; 2) оптимизация чувственно-предметной эмпирической деятельности посредством дедуктивного вывода и овладение моделированием, которое необходимо для решения стандартных прикладных задач (модели которых очевидны или фактически заданы); 3) использование практики как критерия истинности и средства прикладной реализации дедуктивно построенных математических теорий и овладение моделированием, которое необходимо для решения нестандартных прикладных задач-проблем (модели которых неизвестны); 4) осуществляется переход от геометрии Евклида и алгебры действительных чисел к абстрактной теории и обратно от абстрактной теории к другим её возможным интерпретациям; соответственно при этом необходимо овладение моделированием на уровне теоретического осмысления предмета математики.

3. Понятие методическая реальность адекватно раскрывает совокупность задачных ситуаций и материалов, использование которых необходимо для формирования у школьников представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений реальной действительности.

Объем понятия MP составляют компоненты А.- В. (С. 7). Существенными признаками MP выступает ряд характеристик (С. 8).

4. Моделирование MP (объектами SiPjMk , где Si, Pj, Mk - уровни сфор-мированности её компонентов) и соответствующий анализ стратегии возможных направлений реализации методической реальностью математических абстракций (трансформации этих объектов от простых к более сложным в рамках лидирующего направления, обусловленного изменением содержательного компонента MP) в обучении математике позволяют выделить из данных путей наиболее целесообразные и разработать соответствующее методическое обеспечение.

5. Методическую основу концепции реализации методической реальностью математических абстракций составляют принципы системности, целостности, иерархичности, структурности, открытости, деятельности, непрерывности, наглядности, гуманизации и гуманитаризации.

Реализация методической реальностью математических абстракций основана на специальной методике, осуществляющей формирование основных мыслительных и учебных умений, необходимых для решения нестандартных задач, раскрывающих связи математических абстракций и реальности в процессе обучения, а также посредством системы дидактических материалов в виде комплекса серий-плакатов.

Практическая реализация результатов исследования, осуществляемая посредством указанных выше средств, более эффективно по сравнению с традиционной методикой содействует формированию учебных умений школьников и повышению качества их знаний, способствует формированию у учащихся правильных представлений о природе математических абстракций и характере отражения математикой явлений и процессов реальной действительности, вследствие чего имеет общеобразовательную значимость.

Структура исследования. Диссертация состоит из введения, содержание которого изложено выше, четырех глав, заключения, библиографии, приложений.

Объект и предмет современной математики. Место понятия MP в системе знаний

Концепция математического образования в школе и вузе прямо ставит задачу формирования и развития у учащихся представлений о природе, идеях и методах математики, о характере отражения ею явлений реального мира, о математике как форме описания и методе познания реальной действительности. Один из важных путей осуществления указанных выше направлений заключается в целенаправленном и систематическом использовании методической реальности в обучении математике.

Вопрос о сущности философской категории реальности напрямую связан с основным философским вопросом и является ареной непримиримой борьбы различных философско-мировоззренческих систем. Приведем ряд различных трактовок понятия реальности.

«Реальность (от позднелат. realis - вещественный, действительный) - вещественность, онтологическое бытие-в-себе, то есть в-себе-бытие, абстрагированное от его рефлексивности, выводимой из познавательной связи объективный, существующий не только в мысли... Реальный (от позднелат. realis - вещественный, действительный) - действительный, объективный, существующий не только в мысли. Противоположность его - идеальное, фантастическое, воображаемое, ирреальное» [262, с. 388-389]. Или такое толкование: «Реальность (от позднелат. realis - действительный), существующее в действительности - в отличие от только мыслимого и желаемого» [214, с. 1306]. Как видим из приведенных выше трактовок, с реальностью соотносится объективная действительность - материальный мир, материя во всех ее проявлениях.

А вот несколько иной аспект трактовки этого понятия.

«Реальная действительность - объективный мир, реализующий свои тенденции, законы, потенции, то есть в его саморазвитии и вместе с тем как объект и результат человеческой деятельности, общественной практики» [206, с. 375]. «Реальность - бытие вещей в его сопоставлении с небытием, а также с др. (возможными, вероятными и т.п.) формами бытия. В истории философии реальность особенно четко отличалась от действительности, т.е. реальность большей частью трактовалась как бытие чего-либо существенного в данной вещи, как бытие её самой, а действительность понималась как наличие всего существенного и несущественного в данной вещи. Реальность... получает толкование либо как понятие, тождественное объективной реальности либо как совокупность всего существующего» [260, с. 347-348].

«Реальность (от латинского слова realis) означает - вещественный, действительный, существующий в действительности. В современной философской трактовке это понятие имеет два смысловых значения:

1. Объективная-реальность - материя в совокупности всех ее видов, субъективная реальность - явления сознания.

2. Как все существующее - весь материальный мир и все его идеальные продукты».

Эта трактовка приводится как в энциклопедии - БСЭ [27, с. 531], так и в Философской энциклопедии [261, с. 477].

Остановимся на этой трактовке данной философской категории.

Непосредственно связаны с ней и такие фундаментальные категории, как объект и предмет современной математики.

Проанализируем трактовки объекта и предмета современной математики, а также характер их взаимодействия и взаимосвязи.

Объект математики является ее важнейшей и существенной характеристикой. Объект математики представляет собой те объекты реального мира (материализм), те самостоятельные сущности, независимые от мира реальных вещей (объективный идеализм), те продукты мышления людей, данные им в ощущениях (субъективный идеализм), которые и отражаются в идеализированном образе, представляющем собой математическое знание (исходя из трактовок объекта математики различными философскими системами).

Если предмет математики в различных философских системах понимается в целом одинаково, то вопрос о том, что следует понимать под понятием объекта математики, является ареной непримиримого противоборства различных философских направлений. Вопрос о том, что же именно отражается в математическом знании, в совокупности математических теорий, является основным философским вопросом математики. Остальное же - природа математических абстракций, истинность математических выводов и т.д. - уже в той или иной форме является производными основного философского вопроса (вопроса об отношении математического познания к реальности, окружающему миру).

Объект математики представляет собой те объекты реального мира (материализм), которые отражаются в математическом знании. "Те свойства и отношения материальной действительности, которые отражаются в математическом знании, называются объектом математики" [131, с. 155]. Таким образом, объект математики - это те сущности (объекты реального мира), которые находят свое отражение в математическом знании (в данной работе за основу примем материалистическое понимание объекта и других фундаментальных категорий, имеющих отношение к математике). Соответственно, объект современной математики - пространственные формы и количественные отношения реальной действительности, которые находят свое отражение в математическом знании.

Понятие предмета математики является понятием развивающимся. В античности считали предметом математики числа (Пифагор), затем математику определяли как науку о количестве (Аристотель). Позже - как науку о пространственных формах и количественных отношениях. Появление таких отраслей математики, как многомерные геометрии, теория групп, теория множеств, топология и т.д., выявили недостаточность и этого определения. Наиболее удачно отражает сущность предмета современной математики понятие математической структуры (Н. Бурбаки). Однако и понятие математической структуры не является всеобъемлющим, так как ряд вопросов современной математики не охватывается понятием структур: таким примером будут, в частности, ряд вычислительных и измерительных аспектов математики [131]. Поэтому в настоящее время нередко под предметом математики понимают модели (В.И. Арнольд, Л.Д. Кудрявцев) или схемы моделей (ММ. Постников).

Реализация методической реальностью математических абстракций в обучении математике: аспекты, особенности подходов, тенденции

I. Предматематика. Догреческий период развития математических знаний.

Сохранившиеся памятники древности свидетельствуют о том, что представления человека о пространственных формах и количественных отношениях формировались в процессе освоения реального мира: изготовление орудий труда и охоты, способы ориентации, сооружение жилищ и т.д. Развитию геометрических представлений содействовало развитие различных видов ремесел: гончарного, связанных со строительством и земледелием. Дошедшие до нас образцы математических знаний свидетельствуют о практическом характере математики античности: папирусы и клинописные таблички являются пособиями для решения задач, возникающих в практической деятельности человека.

Анализ истории возникновения начальных математических представлений позволяет проиллюстрировать тот факт, что математические знания возникли из практического опыта и являются математическими моделями объектов реальной действительности, т.е. объективная реальность является источником возникновения и развития математического познания человека - и самой математики как науки, и, соответственно, математики - учебного предмета.

II. Древняя Греция (начиная с VI—V века до н.э.).

Формирование математической науки, как правило, исторически связывается в первую очередь с научным творчеством ученых Древней Греции. Именно древнегреческая наука выработала дедуктивный способ построения математических теорий. Однако экономика общества, основанная на рабском труде, диктовала и соответствующие моральные нормы: производительный труд свободных граждан считался занятием презренным. Рабство стимулировало возникновение и закрепление представлений о производительном труде, как деле, недостойном свободных граждан. Следствием этого явилась (впервые в истории математики) ситуация, сложившаяся в древнегреческой математике, - пренебрежение к прикладным аспектам использования математических знаний и доминирование абстрактных проблем и задач "чистой" математики.

"Математика Древней Греции представляет собой один из самых ранних примеров становления математики как науки и образования в ней всех ее составных частей. Главными особенностями античной математики являются возникновение, бурный рост и приостановка развития ряда математических теорий... оторванность результатов математических теорий от практики, узость их геометрической формы предопределили ограниченность области и времени их развития... Внутренние противоречия развития математики в период их усиления совпали с неблагоприятными общественно-политическими условиями распада рабовладельческого строя. Так, экономические факторы конца рабовладельческой экономической формации оказались в конечном счете определяющей причиной временной приостановки и практического развития математики. Для нового подъема математической науки был нужен новый подъем производительных сил человеческого общества. В Европе и в районе Средиземноморья этот принципиально новый подъем наступил только спустя много веков, начиная с эпохи так называемого Возрождения..." [221, с. 95].

III. Период научного Возрождения (начиная с XVI-XVIII века).

В этот период теоретическое и прикладное направления математики тесно взаимосвязаны и непрерывно взаимодействуют друг с другом. Это объясняется тем, что многие крупнейшие ученые данного промежутка времени были одновременно и математиками, и механиками, физиками, астрономами и т.д. (И.Ньютон, Л.Эйлер, Ж.Лагранж, а позднее и К.Гаусс, О.Коши, Б.Риман, А.Пуанкаре, П.Л.Чебышев и др.). В их исследованиях разрабатываются и теоретические проблемы математики, и ее прикладные направления.

Процесс обучения математике стал в это время более многообразным: наряду с университетским (высшим) образованием возникли и формы обучения на более низких ступенях, доступных и для менее привилегированных слоев общества. Возникновение таких образовательных учреждений дополнительно способствовало укреплению прикладных аспектов в обучении математике и тому, чтобы применения математики заняли в обучении соответствующее место.

IV. Период доминирования теоретико-множественного направления (начиная с середины XIX века).

Объективной причиной возникновения и развития теоретико- множественного направления в математике было то, что в математике к этому времени накопилась совокупность недостаточно увязанных друг с другом фактов и теорий, которые не имели надежного обоснования для дальнейшего развития. На основе теоретико-множественного подхода устранялись накопившиеся проти воречия: на этом фундаменте было осуществлено построение важнейших матема тических теорий и направлений (логическое построение геометрии, создание тео рии групп и т.д.). В этот период (бурного развития теоретической математики) достижения прикладной математики оказались в тени ярких успехов математики в ее теоретических разделах. В этих условиях постепенно и складывалась в обу чении математике ситуация, когда "отвлечение" "царицы наук" в сторону приме нений математики в реальной деятельности людей стало скорее исключением, чем общим правилом. Абстрактные и чисто математические задачи и упражнения за няли весьма существенное место, а затем стали играть и доминирующую роль в процессе обучения математике. При этом вскоре стало достаточно очевид- ным нарастание следующих тенденций: 1) отставание и несоответствие содержания школьных курсов математики достижениям современной математики; 2) формально-схоластический характер преподавания математики - изоляция обучения математике от окружающей жизни.

Формирование математического мышления и развитие творческих способностей школьников посредством использования

Концепция математического образования в средней школе напрямую ставит задачу интеллектуального развития учащихся, формирования у них качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Формирование творческих способностей школьников также являлось и является одним из приоритетных направлений теории и методики обучения математике.

Анализ современной методической и психолого-педагогической литературы показывает, что исследованы многие важные вопросы формирования математического мышления и творческих способностей учащихся: изучен феномен математического мышления, его роль в процессе обучения, рассмотрены вопросы методики развития таких качеств математического мышления, как гибкость (нешаблонность), оригинальность, целенаправленность, рациональность, широта (обобщенность), активность, критичность, доказательность мышления и т.д. В ряде работ (например, [245]) исследуется роль практической деятельности и прикладных задач в процессе развития математического мышления школьников. Выделена совокупность умений, присущих творческой деятельности школьников, и рассмотрены методические аспекты формирования, например, таких умений, как самостоятельный перенос знаний и умений в новую ситуацию, видение новой проблемы в знакомой ситуации, самостоятельное комбинирование известных способов деятельности в новый, построение принципиально нового способа решения, не являющегося комбинацией известных способов и др.

Однако за рамками этих исследований остаются такие проблемы, как

использование реальности в процессе формирования математического мышления и творческих способностей учащихся;

выявление роли и места практической деятельности в процессе обучения понятийное образное наглядно- наглядно-образное действенное математике как фактора интеллектуального развития школьников и формирования у них качеств мышления, присущих математической деятельности (в том числе и творческой).

Необходимостью решения данных задач и определяется необходимость постановки и решения проблемы использования реальности (MP) как средства формирования математического мышления и развития творческих способностей учащихся средней школы. Тем самым осуществляется разрешение противоречия между активным исследованием проблем интеллектуального развития школьников и недостаточным вниманием к вопросам формирования творческих способностей и математического мышления учащихся в контексте использования методической реальности в обучении математике.

Вопросы активизации математической деятельности учащихся, развития их математического мышления и творческих способностей исследуются и в работах известных психологов, и в работах математиков-методистов: П.П. Блонского [21], Ю.К. Бабанского [13], Л.С. Выготского [39], Е.Ф. Кабановой-Меллер [126], А.Н. Колмогорова [138], Ю.М. Колягина [139], В.А. Крутецкого [148], И.Я. Лер-нера [154], А.А. Столяра [243], Н.Ф. Талызиной [246], А.Я. Хинчина [275] и мн. других.