Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Кванторы в математике и в школьной математике 16
1.1 Кванторы в математике 16
1.1.1 Кванторы в формулировках математических предложений 17
1.1.2 Основные законы логики кванторов 25
1.2 Кванторы в школьной математике 30
1.2.1 Кванторы в формулировках аксиом, определений и теорем из школьного курса математики 30
1.2.2 Основные законы логики кванторов в школьном курсе математики 37
1.2.3 Тригонометрические уравнения, неравенства, совокупности, системы тригонометрических уравнений — и некоторые законы логики кванторов 43
1.3 Связанные с кванторами недостатки обучения математике в школе 53
1.4 Чему учить школьников в отношении кванторов?... 64
Выводы по первой главе 66
Глава 2 Кванторы в обучении математике в школе 68
2.1 Формирование умений видеть кванторы в предложениях, правильно понимать и формулировать предложения с кванторами 70
2.2 Формирование умений доказывать и применять предложения с кванторами 84
2.2.1 Доказательство предложений с кванторами 84
2.2.2 Применение предложений с кванторами 99
2.3 Формирование умения рассуждать в соответствии с основными законами логики кванторов 106
2.4 Организация эксперимента и его итоги 116
Выводы по второй главе 137
Заключение 138
Библиография 139
Приложение 1 155
- Кванторы в математике
- Связанные с кванторами недостатки обучения математике в школе
- Формирование умений видеть кванторы в предложениях, правильно понимать и формулировать предложения с кванторами
Введение к работе
Россия переживает эпоху перемен. Наше общество меняется, поэтому меняются и требования, предъявляемые к различным звеньям общества, в том числе — и к образованию.
Новые социальные требования к системе российского образования сформулированы в Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года.
Развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия, способны к сотрудничеству, отличаются мобильностью, динамизмом, конструктивностью, обладают чувством ответственности за судьбу страны [77, с. 4].
Этот социальный заказ общества обращен, безусловно, ко всем звеньям образования, а в первую очередь — к общему среднему образованию.
Важнейшей задачей современной российской школы является формирование интеллектуально развитой личности. Большая ответственность при этом возлагается на учителя математики. Это можно объяснить тем, что математика «даёт наиболее типичные, отчётливые и простые примеры приёмов мысли, представляющих исключительную важность для каждого (...)
На всём нашем мышлении, на всех действиях сказывается влияние сознательно или бессознательно выполненных умозаключений. Это — основной факт; если в известном обществе не вошло в привычку хорошо строить свои умозаключения, то каково бы ни было выстроенное им здание культуры, оно будет шатким и ненадёжным. Заключения, которые приходится делать каждый день, носят сложный характер; фактов так много, они так многоразветвлены и недостаточно известны, что часто чрезвычайно трудно вывести какое-либо заключение, а ещё труднее того чувствовать себя уверенным, что мы составили заключение верное.
А между тем как раз и требуется, чтобы школа знакомила детей со столь распространённым, важным и трудным способом мышления. Предмет, пригодный для этой цели, должен обладать тремя следующими характерными признаками:
1) Чтобы выводимые в нём умозаключения были достоверны. По крайней мере, на первых порах важно, чтобы учащийся мог знать, сделал ли он правильное или неправильное заключение.
2) Чтобы он позволил учащемуся начать с простых и очень лёгких заключений и затем перейти путём хорошо подобранных в своей последовательности упражнений к заключениям очень трудным, когда учащийся уже справился с задачами более ранними.
3) Чтобы тип умозаключений, поскольку его мы находим в нашем предмете, служащем введением, встречался также в других предметах и, вообще говоря, в нашем обиходе.
Этим трём положениям математика удовлетворяет в более значительной мере, чем какой-либо другой пригодный для этой цели предмет» [151, с. 12,14; выделено мною. — А. К.] Г.В. Дорофеев отмечает, что «в процессе изучения математики в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие, как сила и гибкость, конструктивность и критичность и др.
Эти качества мышления сами по себе не связаны с каким-либо математическим содержанием и вообще с математикой, но обучение математике вносит в их формирование важную и специфическую компоненту, которая в настоящее время не может быть эффективно реализована даже всей совокупностью остальных школьных предметов» [53, с. 59].
А.Х. Назиев подчёркивает, что «обучение математике дисциплинирует ум, приучает его к логическому мышлению, к ясности, точности и упорядоченности мысли, направленной на достижение чёткой очерченной цели. Оно защищает человека от обмана чувств, учит критически оценивать происходящее и не принимать за истинное то, что кажется очевидным, но не доказано. Благодаря обучению математике у человека развивается обострённое чутьё на противоречия, защищающее человека от всяких попыток обвести его вокруг пальца на замаскированных противоречиях. Человек приучается ценить только правильную, объективную, честную, непредвзятую, исчерпывающую и точную аргументацию. В результате у него воспитывается отрицательное отношение к любым попыткам действовать тенденциозно, заранее склоняясь к какому-нибудь решению и прислушиваясь только к аргументам, говорящим в пользу этого решения» [89, с. 26].
И.Л. Тимофеева пишет, что «решая задачи интеллектуального развития учащихся как средней, так и высшей школы, нужно иметь в виду, что уровень развития интеллекта, мыслительных способностей каждого человека тесно связан со способностью проводить дедуктивные рассуждения, т. е. рассуждать в соответствии с законами и правилами логики» [134, с. 1].
Логическим проблемам обучения математике в школе уделяли внимание крупные отечественные и зарубежные математики-педагоги: В.Г. Бол тянский, А.В. Гладкий, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, Ф. Клейн, Л.А. Ка-лужнин, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, В.Л. Матросов, А.И. Мар-кушевич, Д. Пойа, А.А. Столяр, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин.
Все они сходились на том, что, как подчеркнул А. А. Столяр, «проблема внедрения элементов логики в обучение математике состоит не в том, чтобы изучать специально и обособленно логику, а в том, чтобы необходимые элементы логики стали неотъемлемой частью самого преподавания математики — важным вспомогательным инструментом, повышающим эффективность обучения и влияющим на логическое развитие» [124, с. 20].
Это естественно ставит нас перед вопросом: «Что считать "необходимыми элементами логики"»? Не так давно большинство методистов полагали (а многие и теперь ещё полагают), что для нужд обучения в школе вполне достаточно так называемой классической логики: учения о понятии и субъектно-предикатной форме суждений. На самом же деле, как заметил Г. Фройденталь, «едва ли существуют мысли, которые можно выразить в субъектно-предикатной форме; мысли требуют схемы отношений и последовательностей кванторов» [141, с. 68; курсив наш. — А. К.].
Проблема использования кванторов при обучении математике и их роль в этом обучении исследуется в работах В.И. Арнольда, В.Г. Болтянского, Г.В. Дорофеева и др. Свой значительный вклад в решение этой проблемы внесли А.Х. Назиев, И.Л. Никольская, Б.Д. Пайсон, Л.Г. Пе-терсон, И.Л. Тимофеева и др. Этой проблеме также частично посвящены кандидатские диссертации В.Г. Ежковой и С.С. Елифантьевой.
А.Х. Назиев отмечает: «кванторы — это отнюдь не средства стенографии, каковыми их зачастую представляют, а элементы сложившейся к настоящему времени структуры математического мышления. Основная заслуга Гбтлоба Фрёге, которому мы обязаны введением кванторов, заключается отнюдь не в том, что он заменил слова "для всех" и "для некоторых" значками,... а в том, что он заменил логически бесформенные фразы вроде "Все кроты — чёрные" фразами вида "Каков бы ни был крот, крот — чёрный", имеющими чёткую логическую структуру: предложение с переменной (в приведённом примере — "крот — чёрный"; переменная выделена курсивом) плюс квантор по этой переменной (в приведённом примере — "каков бы ни был крот")» [89, с. 6].
И.Л. Никольской выделены логические знания и умения, которыми, по её мнению, должны владеть выпускники средней школы. Одним из этих умений является умение формулировать в утвердительной форме отрицания сложных предложений и предложений с кванторами [94, с. 28].
И.Л. Тимофеева пишет, что школьники, придя учиться в вуз, проявляют полную беспомощность, когда на первых же лекциях и семинарах по математике сталкиваются с кванторами. Поэтому, начиная со средней школы, необходимо уделять внимание задачам, связанным с кванторами [136, с. 65]. В этой же работе обсуждается вопрос о том, как обучать школьников «строить отрицание» в случае предложений с кванторами.
В работе [133] И.Л. Тимофеева исследует вопрос о роли кванторов при построении обратных теорем.
О том, как можно эффективно использовать логическую символику, в частности, символы «V», «3» при работе с определениями и теоремами, говорится в статьях В.Г. Болтянского [24], [25].
Б.Д. Пайсон отмечает, что «весьма полезным в практике обучения математике может оказаться осознанное применение некоторых законов логики» [97, с. 12]. Наибольшую дидактическую ценность по его мнению имеют законы, связанные с отрицанием сложной логической структуры: отрицание конъюнкции и дизъюнкции (законы де Моргана), отрицание и преобразование импликации, закон контрапозиции, а также законы, позволяющие строить отрицания предложений с кванторами.
В настоящее время элементы логики постепенно входят в сферу среднего образования: они выделены в государственном стандарте общего образования по математике, появляются элективные курсы по логике. Некоторые школьные учебники, например, [57], [59], [56] знакомят учащихся с элементами современной (математической) логики. Большое внимание при этом авторы уделяют кванторам. Так, Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон знакомят младших школьников с общими утверждениями, утверждениями о существовании, с некоторыми способами доказательства предложений, начинающихся со слов «для всех» и «существует» [57], со способами построения отрицания утверждений с кванторами [59].
Авторы учебника [56] (Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Е.А. Седова) знакомят учащихся с терминологией начальной логики. Говоря о кванторах, авторы останавливаются на разъяснении стандартного математического выражения — произвольный, по фиксированный элемент, формулируют некоторые важные законы кванторной логики.
Но, несмотря на немалое количество работ, проблема использования кванторов при обучении математике в школе ещё далека от полного решения. В частности, ни в одной из известных нам работ нет ответа на вопрос, какой именно набор элементов логики кванторов должен стать неотъемлемой частью процесса обучения математике. Налицо противоречие: «необходимые элементы» логики кванторов должны стать неотъ емлемой частью преподавания математики, но каковы эти элементы и что нужно сделать, чтобы они стали неотъемлемой частью процесса обучения математике, — до сих пор неясно. Указанное противоречие и составляет проблему исследования.
Цель исследования состоит в решении указанной проблемы, то есть в том, чтобы составить перечень необходимых элементов логики кванторов и разработать методику включения этих элементов в процесс обучения математике в школе.
Всё вышесказанное определило выбор темы и актуальность нашего исследования.
Объектом исследования является процесс обучения математике в современной отечественной средней школе.
Предмет исследования: кванторы в обучении математике в школе.
Гипотеза, положенная в основу исследования, состоит в том, что если дополнить сложившуюся систему обучения математике в школе «необходимыми элементами» логики кванторов, то это будет способствовать повышению эффективности обучения математике.
Цель, объект, предмет и гипотеза исследования определили его задачи:
1. Определить место и роль кванторов в школьной математике.
2. Составить перечень основных законов логики кванторов, наиболее часто применяемых в школьном курсе математики.
3. Составить перечень элементов логики кванторов, которые должны стать неотъемлемой частью процесса обучения математике.
4. Разработать методику включения этих элементов в процесс обучения математике.
5. Экспериментально подтвердить сформулированную выше гипотезу исследования.
Теоретико-методологические основы исследования:
— деятельностный подход и теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Н.Ф. Талызина, Д.Б. Эльконин и др.);
— исследования по проблемам школьного математического образования (М.И. Башмаков, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, В.А. Далингер, И.В. Дро-бышева, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, И.Л. Никольская, В.А. Оганесян, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, В.А. Смирнов, А.А. Столяр, Р.С. Черкасов и др.);
— работы по проблемам логического характера школьного курса математики (Н.М. Бескин, В.Г. Болтянский, А.В. Гладкий, Я.И. Груденов, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, В.И. Игошин, Л.А. Калужнин, В.Л. Матросов, А.Х. Назиев, И.Л. Никольская, Б.Д. Пайсон, Г.И. Саранцев, А.Д. Семушин, А.А. Столяр, И.Л. Тимофеева, И.М. Яглом, А.В. Ястребов и др.).
Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:
— изучение и анализ философской, научно-методической, психолого-педагогической и научной литературы по теме исследования;
— изучение и анализ школьных учебников, учебных пособий и программ по математике;
— посещение и анализ уроков в школе;
— изучение и анализ письменных работ учащихся;
— наблюдение, анкетирование школьников, беседы с учащимися и учителями;
— обобщение и систематизация опыта работы учителей математики и собственного опыта преподавания математики в средней школе;
— педагогический эксперимент по проверке эффективности основных теоретических положений исследования и статистическая обработка некоторых его результатов.
Научная новизна проведённого исследования состоит в том, что:
— определены место и роль кванторов и основных законов логики кванторов в школьном курсе математики;
— выявлены связанные с кванторами недостатки обучения математике в школе;
— составлен перечень «необходимых элементов» логики кванторов;
— разработана методика включения этих элементов в процесс обучения математике.
Теоретическая значимость исследования. Результаты исследования позволяют по-новому оценить и могут существенно изменить сложившиеся представления о роли кванторов в школьной математике и обучении ей, открывают дорогу дальнейшим исследованиям по проблемам логического характера школьного курса математики.
Практическая значимость исследования заключается в том, что разработана и внедрена методика включения «необходимых элементов» логики кванторов в процесс обучения математике.
Достоверность результатов исследования обеспечивается: чёткостью методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических и методических позиций; логической непротиворечивостью проведённых рассуждений и выводов, их согласованностью с концепциями базисных наук и принципиальным соответствием основным результатам других исследователей.
Положения, выносимые на защиту:
1. Кванторы — это не «сокращающие значки», каковыми их представляют во многих популярных изложениях математической логики, а важнейшие компоненты сложившейся к настоящему времени структуры мышления.
2. За небольшими исключениями типа равенств, составляющих таблицу умножения, каждое математическое предложение является, в явном или неявном виде, либо обобщением (начинается с квантора всеобщности), либо подтверждением (начинается с квантора существования). По этой причине правильное понимание предложений математики без явного или неявного осознания присутствия в них кванторов практически невозможно.
3. В силу первого и второго положений рассмотрение кванторно-ориентированной проблематики должно стать неотъемлемой частью процесса обучения математике. В частности, неотъемлемой частью процесса обучения математике должна стать совместная деятельность учителя и учеников, направленная на формирование умений:
/видеть кванторы в предложениях;
/правильно понимать предложения с кванторами;
/правильно формулировать утверждения с помощью кванторов;
/доказывать предложения с кванторами;
/применять предложения с кванторами;
/рассуждать в соответствии с основными законами логики кванторов;
/распознавать и разоблачать нарушения основных законов логики кванторов.
Основные этапы исследования. Диссертация обобщает результаты исследования, проводимого автором в несколько этапов с 2002 по 2006 г.
1-й этап (2002-2003). Изучение научной и методической литературы по проблеме исследования, посещение уроков учителей математики. Начало педагогической деятельности. Осознание первых проблем.
2-й этап (2003-2005). Преподавание в средней школе, на подготовительном отделении ГОУ ВПО МО «Коломенский государственный педагогический институт», на курсах по подготовке к ЕГЭ по математике. Параллельно — работа с преподавателями математики в Ассоциации учителей профильных классов г. Коломны. Составление перечня «необходимых элементов» логики кванторов и разработка методики включения этих элементов в процесс обучения математике. Внедрение разработанной методики. Выявление её эффективности.
3-й этап (2005-2006). Уточнение, анализ, обобщение и систематизация результатов проведённого исследования. Оформление результатов исследования и анализа экспериментов в диссертационную работу.
Апробация и внедрение результатов исследования. Разработанная нами методика использовалась на уроках, факультативных и элективных курсах по математике в гимназии № 2 «Квантор» и средней общеобразовательной школе № 12 г. Коломны, на подготовительном отделении ГОУ ВПО МО «Коломенский государственный педагогический институт», на курсах по подготовке к ЕГЭ по математике.
Основные результаты исследования неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры алгебры и геометрии ГОУ ВПО МО «Коломенский государственный педагогический институт», на научно-методическом семинаре по теории и методике обучения математике (Ко ломна, 2002-2006 г.г.), на Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Челябинск, 2004 г.; Саратов, 2005 г.; Киров, 2006 г.), на Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2005 г.) на заседании Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005 г.), на Международной конференции «Современные проблемы преподавания математики и информатики» (Волгоград, 2006 г.), на научно-методической секции математики и методики преподавания математики (Москва 2006 г.).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложений.
Кванторы в математике
Русское «квантор» происходит от латинского «quantum», означающего «сколько». В языкознании кванторными оборотами называют слова или группы слов в предложении, с помощью которых даётся оценка количества объектов, удовлетворяющих предложению. Помимо числительных, с помощью которых указывается точное количество, сюда же относятся слова, дающие общую оценку: «много», «мало», «все», «некоторые» и т. п. В логике наибольшее внимание уделяется кванторным оборотам со словами «все», «некоторые» и их синонимами. Приведём примеры предложений с такими кванторными оборотами, выделив последние курсивом. имели одинаковую структуру. Словосочетанию «каждый человек» в предложении (1.2) отводилась такая же роль, какая в предложении (1.1) — имени «Сократ». Это вынуждало говорить, что словосочетание «Каждый человек» каким-то образом имеет значение, аналогичное значению имени «Сократ». Каким образом оно имеет это значение и что представляет собой это значение — оставалось совершенно неясным, об этом веками велись бесплодные споры в рамках так называемой проблемы универсалий. Изумительно простой выход из затруднения удалось найти Гбтлобу Фрёге (1848-1925), одному из величайших математиков и логиков в истории человечества. Фреге показал, что проблему можно решить не поиском никому не ведомых общих сущностей, а внесением подходящих изменений в грамматическую структуру предложений. Чтобы увидеть это, перепишем предложение (1.2) чуть иначе:
Вторая, «человек смертен», — предложение, очень похожее на предложение (1.1), только там, где в предложении (1.1) стоит имя собственное «Сократ», в предложении (1.5) стоит общее существительное «человек». В силу этого свойства предложения (1.1) и (1.3) оказываются принципиально различными.
Имя «Сократ» представляет в языке некоторый вполне определённый объект, поэтому предложение (1.1) имеет вполне определённое значение истинности, то есть является, как говорят теперь, высказыванием. А вот существительное «человек» никакого конкретного объекта в языке не представляет, поэтому и предложение (1.5) не имеет никакого определённого значения истинности, то есть не является высказыванием. Однако оно обращается в высказывание всякий раз, когда существительное «человек» заменяется именем какого-нибудь человека. Таким образом, существительное «человек», хотя и не обозначает никакого отдельного человека, может, в зависимости от нашего выбора, обозначать то одного человека, то другого. Оно является, таким образом, переменной, областью значений которой является множество всех людей. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, Фреге в одной из своих работ заменяет слово «человек» буквой и наряду с (1.3) пишет:
Итак, вторая часть предложения (1.3), «человек смертен», представляет собой предложение с переменной «человек». А первая, «каков бы ни был человек», — это квантор всеобщности по переменной «человек». Таким образом, предложение (1.3) имеет простую и чёткую логическую структуру: предложение с переменной плюс квантор всеобщности по этой переменной.
Чтобы ещё более ярко высветить указанную структуру, добавляют скобки, а переменную набирают курсивом:
Вместо «каков бы ни был» часто пишут «для любого», «при любом», «для всякого», «при всяком» и т.п., а также, совсем коротко, «V». Знак «V» называется знаком всеобщности. Это — перевёрнутая буква «А», первая буква английского слова «АН», означающего то же, что и русское «все». Сам Фреге употреблял знак довольно сложного начертания. Со знаком «V» предложение (1.6) примет вид:
Подчеркнём, что сочетания «(Каков бы ни был человек)» и «(V человек)» совершенно равноправны. И то, и другое есть один и тот же квантор всеобщности по переменной «человек» (как и все их другие синонимы).
Связанные с кванторами недостатки обучения математике в школе
Мы начнём с рассмотрения примеров, которые помогут нам выявить некоторые связанные с кванторами недостатки обучения математике в школе.
Пример 4. Нередко учащиеся, формулируя определение скрещивающихся прямых, допускают следующую ошибку: «Скрещивающимися называются прямые, которые лежат в разных плоскостях». А определение скрещивающихся прямых таково:
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости [38, с. 15].
Нетрудно усмотреть и причину этой ошибки. Выражение «не лежат в одной плоскости» подменяется на «лежат не в одной плоскости», а оно, в свою очередь, — на «лежат в разных плоскостях».
Чтобы предостеречь учащихся от этой ошибки, учитель должен объяснить им, что «не лежат в одной плоскости» означает «не лежат пи в одной плоскости», то есть «не существует такой плоскости, в которой лежат рассматриваемые прямые».
Во второй главе мы ещё вернёмся к этому примеру.
Следующий пример мы заимствовали из книги [90, с. 119]. Его мы приводим с незначительными изменениями.
Пример 5. Часто из уст школьников можно услышать такое «определение» рационального числа: «Число х называется рациональным, если Если принять это определение, то невозможно будет понять, является ли 1 рациональным числом или нет, ибо при одних значениях тип соответствующее определяющее предложение истинно:
а при других — ложно:
Далее, при таком определении рациональных чисел оказывается, что
х — иррациональное число, если неверно, что х -J, или неверно, Является ли 1 иррациональным числом? Да, потому что при т = п = у/2 дизъюнкция, стоящая в правой части эквиваленции, верна; нет, потому что при т = п = 1 она неверна.
Подлинное определение рациональных чисел — другое:
Число х называется рациональным, если и только если существуют целое число т и натуральное число п такие, что х = .
Причина ошибки состоит в том, что в определении опустили квантор существования, из-за чего в определяющем остались свободные переменные (тип), отсутствующие в определяемом.
В подлинном определении переменные «т» и «п» в определяющем связаны квантором существования и потому не свободны, так что в определяющем нет свободных переменных, отсутствующих в определяемом. В результате определяющее зависит лишь от переменной «ж», как и должно быть.
Пример 6. Припомним определение периодической функции: Функция / — периодическая -» 3 Т Ф 0 Ух Є D(f): f(x + Т) = f{x -Т) = f(x) [56, с. 248).
Как видим, определение периодической функции имеет довольно сложную логическую структуру. Непросто добиться того, чтобы школьники хорошо понимали это определение. Авторы учебника [56] обращают внимание школьников на особо тонкие моменты определения. Так, в книге отмечается, что в равенствах f(x+T) = f(x—T) = f(x) подразумевается, что числа х + Т и х — Т входят в область определения (функции /). Авторы подчёркивают, что предложение «/ — периодическая функция» представляет собой утверждение о существовании.
Не секрет, что наиболее сложными для школьников являются задачи, в которых требуется доказать периодичность (или непериодичность) той или иной конкретной функции.
Формирование умений видеть кванторы в предложениях, правильно понимать и формулировать предложения с кванторами
Для начала заметим, что традиционная методика преподавания математики начала формироваться задолго до явного упоминания о кванторах. И потому, естественно, кванторам не уделялось должного внимания. Однако и теперь, спустя 125 лет со дня открытия кванторов Г. Фреге, очень часто (следуя традиции) в формулировках математических предложений кванторы подаются в завуалированном виде, в то время как без осознания их присутствия правильное понимание предложения невозможно.
Возьмём, к примеру, теорему о медианах треугольника (в традиционной формулировке): «Медианы треугольника пересекаются в одной точке». Совершенно естественно возникают три группы вопросов.
1) Медианы какого треугольника пересекаются в одной точке? Какого-нибудь одного? Каких-нибудь особых?
2) Какие медианы? Эта и эта? Какие-нибудь две? Любые две? Или все три?
3) В какой одной точке? Какую ни возьми? Или в той, но не в этой? Известна ли заранее эта точка, или её нужно найти в процессе доказательства?
В результате обсуждения ответов на эти и другие вопросы рождается точная формулировка приведённой выше теоремы: «Для любого треугольника существует точка, через которую проходят все три его медианы».
Описанная нами работа чрезвычайно полезна: она приводит к подлинному пониманию теоремы, без неё нет и не может быть уверенности, что теорема понята правильно.
Мы считаем, что постановка подобных вопросов — мы называем такие вопросы квапторпо-ориептироваппъши — должна непрерывно сопровождать обучение математике.
Весьма полезно также ставить подобные вопросы в связи с ошибками учащихся, причём и с такими, которые, на первый взгляд, не связаны с кванторами.
Например, ученик преобразует модуль суммы двух чисел в сумму их модулей. Можно, конечно, просто сказать ему, что ни в коем случае не следует так поступать, ибо это неверно. Но гораздо полезнее будет поставить в связи с этой ошибкой ряд кванторно-ориентированных вопросов: «Для каких чисел модуль суммы равен сумме модулей? Для любых? Для некоторых? Существуют ли пары чисел, для которых модуль суммы равен сумме их модулей? Для любых ли двух чисел модуль их суммы равен сумме их модулей?»
Результатом такой работы явится не только осознание учеником допущенной им ошибки, не только возможное открытие им свойства: «Модуль суммы двух чисел равен сумме их модулей тогда и только тогда, когда произведение этих чисел неотрицательно», — но и прибавление в понимании роли кванторов в формулировке утверждений. Ученик поймёт, что: без кванторов, явных или подразумеваемых, предложение «Модуль суммы двух чисел равен сумме их модулей» не истинно и не ложно; если добавить к нему два квантора всеобщности, получится ложное выоказывание; если же добавить два квантора существования, получится высказывание истинное.
С более сильными учениками можно продолжить постановку вопросов: «Существует ли число, модуль суммы которого с любым числом равен сумме их модулей? Для каждого ли числа существует число, модуль суммы которого с первым равен сумме их модулей?», — и так далее.
Подобную деятельность можно (и чрезвычайно полезно) организовать по поводу практически любой из распространённых ошибок: «квадрат суммы равен сумме квадратов», «синус двойного угла равен удвоенному синусу этого угла», «арифметический квадратный корень из квадрата числа равен этому числу», и т. п.
Итак, работа учителя должна быть направлена на то, чтобы с помощью кванторно-ориентированных вопросов помочь школьникам увидеть кванторы в предложениях, благодаря этому понять, что именно утверждается, и на этой основе переформулировать предложения, явно используя кванторы. Забегая вперёд, скажем, что эта переформулировка помогает не только правильно понять утверждаемое, но и найти путь доказательства, проконтролировать правильность проведённого доказательства (см. п. 2.2).
Теперь мы продемонстрируем предлагаемую нами методику на ряде примеров, взятых из курса математики разных классов.
