Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теоретические основы комплексного подхода к обучению матема тике в основной школе 13
1.1. Понятия «системность знаний» и «комплексный подход» в учебно-методической литературе 13
1.2. Психологический аспект комплексного подхода к обучению математике 28
1.3. Дидактический аспект комплексного подхода к обучению математике в основной общеобразовательной школе 50
Выводы по первой главе 67
ГЛАВА 2. Методические аспекты использования комплексного подхода к обучению математике в основной школе 69
2.1. Методические приемы реализации комплексных приемов к обучению математике в основной школе 69
2.2. Образцы учебно-тренировочных упражнений при комплексном подходе к обучению математике в основной общеобразовательной школе учащихся 5-9 классов 78
2.3. Методика проведения экспериментальных исследований 121
2.4. Анализ результатов эксперимента 127
Выводы по второй главе 132
Заключение 134
Список литературы
- Психологический аспект комплексного подхода к обучению математике
- Дидактический аспект комплексного подхода к обучению математике в основной общеобразовательной школе
- Образцы учебно-тренировочных упражнений при комплексном подходе к обучению математике в основной общеобразовательной школе учащихся 5-9 классов
- Методика проведения экспериментальных исследований
Психологический аспект комплексного подхода к обучению математике
В научной литературе имеется множество определений этого понятия. В философском теоретико-познавательном смысле система есть способ мышления как способ постановки и упорядочения проблем. В научно-исследовательском понимании система представляет собой общую методологию исследования процессов и явлений, отнесенных к какой-либо области человеческих знаний, в качестве объекта системного анализа. В проектном понимании система представляется как методология проектирования и создания комплексов методов и средств для достижения определенной цели. В наиболее узком, инженерном смысле система понимается как взаимосвязанный набор вещей (объектов) и способов их использования для решения определенных задач. В Советском энциклопедическом словаре система определяется как множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, образующих определенную целостность, единство.
Анализируя различные взаимно дополняющие понятия системы, следует отметить, что наиболее полное определение должно включать и элементы, и связи, и свойства, и цель, и наблюдателя (исследователя), и его язык, с помощью которого отображается объект или процесс.
Однако есть системы, для которых наблюдатель, исследователь очевиден, и его не надо включать в определение системы, например для некоторых технических систем. Иногда не нужно в явном виде говорить о цели. Таким образом, при исследовании с целью проектирования, создания или совершенствования объектов техники нужно проанализировать ситуацию с помощью полного определения системы, а затем, выделив наиболее существенные компоненты, принять "рабочее" определение системы, которым будут пользоваться все лица, участвующие в принятии решении.
Важно, чтобы в понятии "система" был отражен подход и объект исследования как к системе. Дело в том, что один и тот же объект на разных этапах его рассмотрения может быть представлен в различных аспектах, соответственно существуют и различные аспекты понятия "система": теоретико-познавательный, методологический, научно-исследовательский, проектный, инженерный, конструкторский и т. д., - вплоть до материального воплощения.
Система представляет собой совокупность элементов (объектов, субъектов), находящихся между собой в определенной зависимости и составляющих некоторое единство (целостность), направленное на достижение определенной цели.
Система может являться элементом другой системы более высокого порядка (надсистема) и включать в себя системы более низкого порядка (подсистемы).
Таким образом, понятия "элемент", "подсистема", "система", "надсистема" взаимно преобразуемы: система может рассматриваться как элемент системы более высокого порядка, а элемент - как система (при углубленном анализе).
Система может быть представлена в виде блока с неизвестной структурой и известными только "входами" и "выходами" (в кибернетике и теории систем такое представление называют "черным ящиком") или в виде графических структур с не до конца выявленными элементами и существенными связями, или в виде математического описания, например в виде формул. В своем логическом словаре - справочнике Кондаков Н. И. смысл слова «система» (греческое слово - systema - целое, составленное из частей) поясняет следующим образом: «Совокупность, объединение взаимосвязанных и расположенных в соответствующем определенном порядке элементов (частей) какого-то целостного образования; совокупность принципов, лежащих в основе какой- либо теории; совокупность органов, связанных общей функцией, например, сигнальная система, система аксиом Пеано» [80, с. 545].
В Толковом словаре русского языка (Ожегов С. И., Шведова Н. Ю.) смысл слова «система» разъясняется как «определенный порядок в расположении и связи действий. Форма организации чего-нибудь. Нечто целое, представляющее собой единство закономерно расположенных во взаимосвязи частей» [107, с. 719].
Таким образом, слово «система» в сочетании с другими словами придает конкретный смысл тому, что может означать это словосочетание. Например, встречаются такие словосочетания, как: системный подход, системное исследование, системные методы, системные знания, принцип системности, системный аспект, система связи и т.д.
Слово «система» имеет отношение к познанию, начиная от понимания в философском смысле, кончая формирующимися знаниями об окружающей природе; оно связано с многообразием типов связей, обеспечивающих целостность сложноорганизованного объекта, понятия, структуры и т. д.; это слово способствует пониманию того, что является причиной, что является следствием, что является целым, что является его частью. Например, И. В. Блауберг и др. [17, с. 47] перечисляют основные принципы системного исследования: «а) оно характеризуется подходом к исследуемой системе как к целому и вытекающие отсюда представления о среде системы и ее элементах; б) понятие системы характеризуется через понятие связи; среди различных типов связей особое место занимают системообразующие связи; в) устойчивые связи образуют структуру системы, то есть обеспе чивают ее упорядоченность; направленность этой упорядоченности харак теризует организацию системы; г) структура, в свою очередь, может характеризоваться как по гори зонтали (связи между однотипными компонентами системы), так и по вертикали; вертикальная структура предполагает выделение различных уровней системы и наличие иерархии этих уровней;
Дидактический аспект комплексного подхода к обучению математике в основной общеобразовательной школе
Учащиеся, привыкшие или приученные к такому критическому осмыслению того, что ими изучается, учатся осмыслить и переосмыслить того, что предлагается в учебнике. В частности, когда мы представили перед учащимися вырезанного из картона треугольник и прочитали определение треугольника из учебника, как три точки, не расположенные на одной прямой, и соединенные между собой последовательно отрезками, школьники начинают сопоставлять представленную фигуру со смыслом предложенного определения. Выясняется, что в определении речь идет только о раме, о периметре треугольника, здесь не сказано ни слова о части плоскости. Значит, учащиеся учатся благодаря своей активной познавательной деятельности тому, что в определении должно быть указано все четко. В имеющемся определении в учебнике указано только необходимое свойство треугольника, без этих трех точек, не может быть образован треугольник, но этого мало, нужно дополнить его. При всем этом анализе рождается другое определение: «Замкнутая ломаная линия из трех звеньев и вся часть плоскости внутри неё». Смысл такого определения полностью соответствует представленной фигуре в качестве треугольника.
Суть таких комплексных приемов для восприятия математических понятий ориентирована и на игровую форму обучения. Учащиеся, стараясь придумать свое определение понятия смежных углов, чувствуют себя как в игре, а это на много снижает утомляемость в познавательной деятельности, поскольку каждый школьник в классе знает цель поставленной задачи и каким должен быть ожидаемый результат, то есть «оболочка» игры чувствуется всеми участниками. Хотя школьники в этом соревновании не пользуются открыто какими-то тайными хитростями, тем более, пользуясь словами С. Л. Рубинштейна, «совокупность осмысленных действий, объединенных единством мотива» [132, с. 528]. Такая форма обучения становится средством выражения определенного отношения личности к окружающей действительности.
В такой ситуации в процессе обучения и умения, и навыки формируются одновременно. Поскольку результат сводится к тому, чтобы у учащихся, увлекаясь умениями, вырабатывались и навыки применения знаний в практике. Умения, формирующиеся в действиях по предложенному плану, становятся менее продуктивными, а умения, формирующиеся в процессе самостоятельных действиях самого школьника, более продуктивны. Конечно, тут, как отмечают В. А. Кулько и Т. Д. Цехмистрова, «познавательная деятельность, носящая репродуктивный характер, включает в себя элементы частично-поисковой и поисковой деятельности» [84, с. 10].
Комплексный подход при обучении математике мы считаем важным этапом в процессе не только обучения, восприятия материала, но и при закреплении. Игровой оттенок выполнения того или другого задания способствует активизации учебной деятельности. При этом игра выступает как деятельность, имеющая ближайшее отношение к потребностям практики. Например, перед учащимися ставится задача измерения площади участка, очертание которого примерно представляет пятиугольник. Проблема ясна, цель - измерить площадь. Актуальными знаниями школьников - это их умение вычислять площадь прямоугольника и треугольника. Опираясь на эти знания, учащиеся самостоятельно вступают в мыслительную операцию, составляя схемы своего подхода. Тут одновременно работает и мотивация, нужно научиться вычислению площадей любых фигур, участков. Значит, игровая оболочка приобретает реальный смысл. Словами Д. Б. Эльконина, различные «виды деятельности льют воду на мельницу формирования этих новых потребностей, но ни в какой другой деятельности нет такого эмоционального вхождения, как в игре» [180, с. 278]. Учащиеся, вступившие в соревнование в поисках способа вычисления площади данного участка, активно выполняют самостоятельно нужные измерения на данном рисунке, разби 48 вая фигуру на другие, вычисление площади которых он знает. В такой ситуации развитие (как всякое умственное развитие, как сжатое повторение имеющихся знаний в мышлении школьника) сливаются с новыми знаниями, которые ими приобретут в процессе этой деятельности.
Зная то, что интересы и любознательность учащихся основной школы достаточно устойчивы, мы стараемся эти интересы сохранить. Например, учащиеся часто спрашивают, почему, например, нужны синус или же косинус угла. Ответы на такие вопросы мы косвенно раскрываем при ознакомлении с этим материалом, используя комплексные приемы познания. Например, на примере данных у прямоугольных треугольников. Берем три или четыре прямоугольных треугольников, вернее предлагаем учащимся самим, чтобы они сами построили любой прямоугольный треугольник, у которого один острый угол равен 30, не указывая длины катетов. Построили, то есть такое задание выполнено всеми. После чего предлагаем измерить длины всех сторон своего треугольника и записать результаты. Самостоятельность и активность учащихся обеспечивается осознанностью сути задания. После таких измерений предлагаем разделить длину катета, лежащего против угла в 30, на длину гипотенузы того же треугольника. Интрига, вызванная полученным одинаковым результатом, становится пиковым уровнем активности учащихся. На фоне такой активности мы вводим понятие синус угла, назвав такое отношение катета, лежащего против данного угла, к гипотенузе синусом угла в 30. Такое отношение в любом прямоугольном треугольнике называется синусом угла и пишется: since = -, где а - (отвечают учащиеся) - это длина того катета прямоугольного треугольника, который расположен против угла в а0, а с - число, равное длине гипотенузы того же прямоугольного треугольника.
Образцы учебно-тренировочных упражнений при комплексном подходе к обучению математике в основной общеобразовательной школе учащихся 5-9 классов
Научимся переделать треугольник в прямоугольник, а затем вы числить его площадь как площадь прямоугольника. Вырежем из бумаги (кар тона) треугольник и отметим в нем линию высоты и линию средней линии (рис.17). Отрежем треугольник ПКЕС, а затем его разрежем на два треуголь ника по линии высоты, приложим их к четырехугольнику с разных сторон. При этом образуется прямоугольник. Площадь образовавшегося прямо угольника АВМР равна площади ПАВС. Длина прямоугольника и основание треугольника совпадают, ширина равна половине высоты UABC, то есть S В предыдущем номере мы научились вычислить площадь треугольника, переделывая его в прямоугольник. Теперь вы сами можете прийти к такому же результату, дополняя данный треугольник до прямоугольника. Итак, площадь треугольника равна половине произведения длин одной его стороны и высоты на эту сторону:
Даны точки А (3;-2) и В (1;5). Используя пропорцию, найдите координаты точки, делящий этот отрезок на две части, пропорциональные числам 3:5. Решается задача как предыдущая, с той лишь разницей, что отношение этих частей равно не 1, а 3/4.
Даны точки А (3;-2) и В (1;5). Используя пропорцию, найдите координаты точки этого отрезка, делящий отрезок на две части, пропорциональные числам 2:7.
Теорема Пифагора. Площадь одного квадрата равна сумме площадей двух других квадратов. Если такое случится, то длины сторон этих квадратов образуют прямоугольный треугольник (рис.18). Этим вопро сом занимался в VI веке до нашей эры греческий ученый Пифагор. Читалась эта теорема в древности иначе: «Площадь квадрата, построенного на гипо тенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей двух других квадратов, построенных на его катетах». Известно более 150 различных доказательств этой теоремы (в научной литературе числится 367). Приведём одно из таких её доказательств. В школьной практике теорема Пифагора читается иначе: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Л
Доказательство. Построим квадрат СКЕР, сторона которого равна сумме длин двух катетов данного прямоугольного треугольника (рис. 18, б). Этот квадрат разобьём на 5 частей: на четыре прямоугольных треугольника и один квадрат BADM. Все четыре образовавшихся треугольника равны по первому признаку равенства треугольников, п BMDA - квадрат, так как его стороны представляют гипотенузы равных прямоугольных треугольников, а углы его прямые. Действительно, например, в точке D развернутый угол состоит из трёх углов, два из которых равны острым углам прямоугольного треугольника, они в сумме всегда равны 90 . Значит, оставшийся угол из развернутого угла также равен 90.
В качестве основного вектора среди всех ему равных берется любой, остальные все как «невидимки» расположены везде. На координатной плоскости в качестве представителя равных ему векторов берется тот вектор, начало которого находится в начале координат. Например, даны векторы ко - ординатами их начала и конца: АВ, где А (0;0), В (3;4). Координаты этого - вектора совпадает с координатами его конца, поэтому пишется: АВ (3;4). — Другие векторы, равные ему, например, вектор СК, где С (2;3) и К (5;7), дается указанием координат его начала и конца отдельно. Определить его координаты можно вычитанием из координат конечной точки координат начальной точки. Например. Даны точки М (1;5) и Р (7;2). Координаты век - -
Совместим конец одного из них с началом другого. При этом начало первого и конец второго векторов образуют третий вектор, который называется суммой двух данных векторов (рис. 20 б, в). Такой способ называется сложением векторов. Сложение векторов обладает переместительным свойством (рис. 20 б, в): св = AD .
Теперь совместим начало одного из векторов с началом другого. При этом их концы образуют третий вектор, который называется разностью этих векторов (рис. 21). Конец вектора-разности совпадает с концом того вектора, который окажется на месте уменьшаемого (рис.21). Здесь имеется аналогия с вычитанием чисел: 7-3=4, но 3-7=-4. От перестановки уменьшаемого и вычитаемого ответы меняются: получаются противоположные числа. Точно также, векторы DB И BD противоположны. a)
Если мы хотим умножить вектор на (-4), то поступим аналогично тому, как при умножении числа 7 на (-4), заменив число 7 ему противоположным числом: 7-(-4)= (-7) -4=(-7)+ (-7)+ (-7)+ (-7)=-28. В ответе мы получили число, знак которого противоположен знаку сомножителя. Другими словами, умножение вектора на отрицательное число можно выполнить как умножение вектора на положительное число, заменив данный вектор ему противо положным вектором. Например, АВ -(-4)=(-АВ )-4= ВА -4= ВК (рис.23,б). Теперь запомним: приумножении вектора на число получается только параллельный вектор. Если число полоэюителъное, то направление вектора не меняется. Если число отрицательное, то направление вектора становится противоположным первоначальному направлению.
Методика проведения экспериментальных исследований
Результаты контрольной работы в контрольных и экспериментальных классах расходились; в частности, в 6 классе: задания под №№1-4 в контрольном классе выполнили из 45 человек только 17, а в экспериментальном классе это задание из 50 человек выполнили 40. В том же контрольном 6 классе 3е задание смогли выполнить 12 человек из 45, а в экспериментальном классе из 50 человек выполнили 42. Второе задание двумя способами не смогли в контрольном классе, а в экспериментальном выполнили двумя способами 30 из 50.
По анализу выполнения заданий можно было определить уровень освоенности материала учащимися. В контрольных классах третий уровень развития детей на много ниже, чем в экспериментальных, об этом свидетельствует не умение детей контрольных классов самостоятельно изменить что-нибудь в задании. Например: в 6 контрольном классе задание №4 из 45 человек 23 не поняли, как выполнять другими способами. В этом же классе задание №4 выполнили 40 человек из 45 одним способом и не смогли разъяснить различные варианты, только 5 человек попытались разъяснить разными способами. В экспериментальном классе это задание выполняли тремя способами 10 из 50, двумя способами - 28.
Задания под №№5-8 предлагались в 8 классе. В контрольных классах из 56 человек задание №5 выполнили 27 человек, а в экспериментальных классах из 53 человек выполнили 45. Задание №6 в экспериментальном классе выполнили 48 из 53, а в контрольных классах выполнили только 15 из 56. Задание №7 в экспериментальном классе выполнили двумя способами 40 человек из 53, а в контрольном 7 человек из 56 только одним способом. Задание №8 выполнили в экспериментальном классе 43 из 53, а в контрольном -30 человек из 56.
Задания под №№9-13 предлагались в 9 классе. В экспериментальных классах выполнили 20 из 45 человек, а в контрольных классах никто не мог доказать из 42 человек, только четверо делали попытки для доказательства. Задание №10 в экспериментальном классе выполнили 30 из 45, а в контрольном выполнили только 5 из 42. Задания №№11-13 не выполнил никто в контрольном классе, а в экспериментальном классе эти задания выполнили 25 из 45.
В показателях уровня развития мышления учащихся (их умения выполнять предложенные задания с учетом вариативности) замечаем, что произошли качественные изменения. В частности, в экспериментальных классах процент учащихся с высоким уровнем развития мышления повысился с 40% до 70%, в то время как в контрольных классах он повысился с 40 до 45-46%. Нас интересовал такой вопрос: активность учащихся при выполнении упражнений по любой теме (решение примеров, задач, конструирование рисунков и т. д.); активность детей в экспериментальных классах была выше, чем активность учащихся контрольных групп.
Статистическая обработка результатов обучающего эксперимента в экспериментальных и контрольных классах была проведена методами вариационной статистики в соответствии ГОСТ 11.004.-74, ГОСТ Р 50779.10-2000г, ГОСТ Р 50779, 21-96 [30, 31, 32 ]. Для этого выявили первичный статистический материал - уровень усвоенности изученного материала, качество знаний, развитие мышления учащихся в контрольных и экспериментальных классах. Далее первичные данные представили как числовые ряды -выборки для дальнейшей обработки по формулам вариационной статистики в соответствии с Государственными стандартами Российской федерации с целью выявления существенных свойств и закономерностей учебного процесса.
Для того, чтобы выявить достоверность различия между двумя средне-выборочными значениями оценок в экспериментальной и контрольной классах, то есть обосновать, являются ли их различия случайными или закономерными в соответствие с ГОСТ 545-77, проводилось сравнение средних значений оценок. Для этих целей определялся критерий существенности t (проверка по тексту): где х1 и х2 - средневыборочное значение оценок в экспериментальных и контрольных классах. Gi и G2 - среднеквадратические отклонения выборок оценок в экспериментальных и контрольных классах. П] и п2 - число учащихся (элементов выборки) в экспериментальных и контрольных классах.
Если для доверительной вероятности а величины t Ха; указанной в таблицах распределения, то различия между средневыборочными х1 и х2 признается закономерными. Доверительная вероятность а при анализе результатов исследований принималась за 0,95.
Средний балл оценок в контрольных и экспериментальных классах оказался не одинаковым. Для сравнения нами взяты показатели успеваемости учащихся в экспериментальных и контрольных классах двух школ (одной сельской и одной городской), где проведены экспериментальные исследования, причем эти оценки взяты по истечении одного месяца после завершения экспериментального исследования. Если в показателях оценок до начала эксперимента особых расхождений не было, то после окончания эксперимен 131
Таким образом, коэффициент критерии существенности свидетельствуют об эффективности формирования системности знаний с помощью комплексного подхода, что подтверждает справедливость гипотезы исследования: если выделить особенности комплексного подхода к обучению математике учащихся национальных школ (Республика Дагестан), разработать систему заданий, адекватных им, то её реализация будет способствовать сформированности системности знаний учащихся. Повышает не только успеваемость и качество знаний учащихся, но и получают системные знания по математике, приобретают навыки умения учащихся творчески применять знания на практике.
Разработанная система систему упражнений на основе реализации комплексного подхода к изучению математики в 5-9 классах и методика её внедрения в практику обучения математике в основной общеобразовательной школе дает положительные результаты, учащиеся получают системные знания по предмету, умеют применять знания на практике. Восприятие математических понятий происходит разносторонне, формируется крепкий «фундамент» для получения дальнейших знаний по предмету. Повышает успеваемость, качество знаний учащихся, получают системные знания по математике, развивается творческий подход учащихся к приобретаемым знаниям.
Контролирующий этапе эксперимента показал наличие положительной динамики по формированию системных знаний учащихся экспериментальных классов как сельской, так и городской школы. Выявлены положительные результаты учащихся, что подчеркивает необходимость разработки и использования системы упражнений, способствующих формированию системных знаний учащихся.
Комплексный подход к обучению математике, особенно в основной школе и в школе, где языком обучения является не их родной язык, не только целесообразен, но и необходим. Поскольку знания учащихся этих школ отличаются отсутствием в них системности, вариативности, внутрипредметных связей, языковой корректности. Учащиеся затрудняются в творческом использовании знаний.
