Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ В МАТЕМАТИКЕ И В ШКОЛЕ.
1. Историческое развитие и современная научная трактовка понятия функции 10
2. Понятие функции в школьном курсе математики 18
3. Определение функции на основе общего понятия переменной 55
Глава 2. ПОДГОТОВКА УЧАЩИХСЯ К ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ.
1. Функциональная пропедевтика в школьном курсе математики 67
2. Вычислительные упражнения с графическим контролем как основа для построения системы функциональной пропедевтики в 4-5 классах 82
Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПРОПЕДЕВТИКИ В 4-5 КЛАССАХ НА ОСНОВЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УПРАЖНЕНИЙ С ГРАФИЧЕСКИМ КОНТРОЛЕМ. ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ ШУНКЦИИ В б КЛАССЕ.
1. Функциональная пропедевтика в 4 классе 89
2. Функциональная пропедевтика в 5 классе 103
3. Введение понятия функции в 6 классе 118
Глава 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПОЛОЖЕНИЙ ДИССЕРТАЦИИ.
1. Первый этап эксперимента 124
2. Второй этап эксперимента /5 классы/ 129
3. Второй этап эксперимента /б классы/ 133
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 137
- Историческое развитие и современная научная трактовка понятия функции
- Функциональная пропедевтика в школьном курсе математики
- Функциональная пропедевтика в 4 классе
Введение к работе
В "Основных направлениях реформы общеобразовательной и профессиональной школы", разработанных в соответствии с программными установками июньского /1983 г./ Пленума ЦК КПСС и одобренных апрельским /1984 г./ Пленумом ЦК КПСС и Верховным Советом СССР, отмечено, что реформа школы имеет своей целью поднять ее работу на новый качественный уровень, соответствующий условиям и потребностям общества развитого социализма, и предусматривает необходимость повышения качества образования и воспитания, обеспечения более прочного овладения основами наук. Для совершенствования содержания образования необходимо, в частности, "устранить перегрузку учебных программ и учебников, освободив их от излишне усложненного, второстепенного материала" /5, с.45/.
В настоящее время Академия наук СССР, Академия педагогических наук СССР, Министерство просвещения СССР проводят большую работу по совершенствованию школьных программ и учебников, в том числе программ и учебников по математике, которым свойственен целый ряд недостатков. Академик Л.С.Понтрягин, высказывая мнение группы математиков Академии наук СССР, писал, что учебники математики для средней школы стали неоправданно трудными, изложение материала в них страдает громоздкостью, туманностью, обилием ненужных или второстепенных вопросов /134/. Академики В.С.Владимиров, Л.С.Понтрягин, А.Н.Тихонов считают, что основной причиной такого положения оказалась попытка построения школьного курса математики на теоретико-множественной основе, которая привела к его искусственному усложнению, к отрыву обучения от жизни, от практики /34/.
Одним из математических понятий, при введении которых в школе применяется теоретико-множественный подход, является понятие функции.
Авторы ныне действующих учебников алгебры полагали, что теоретико-множественная трактовка понятия функции сделает его более доступным для учащихся и облегчит усвоение всего функционального материала /73, 89/. К методическим преимуществам этой трактовки они относят ее общность, строгость теоретико-множественного определения функции, доступность для учащихся, обусловленную возможностью наглядной интерпретации функций при помощи графов, и некоторые другие. Однако в последнее время был опубликован ряд статей /34, 52, 55, 135/, в которых выражается сомнение в целесообразности дальнейшего использования в школе теоретико-множественного подхода к введению понятия функции и отмечается, что ему свойственны такие существенные недостатки, как высокая степень абстракции, статичность определения, непрспособленность к общепринятой функциональной терминологии, несоответствие "физическому" представлению о функции как о переменной величине. Таким образом, вопрос о трактовке понятия функции в школьном курсе математики окончательно не решен, что и определяет актуальность проблемы поиска оптимального варианта решения этого вопроса.
Значение проблемы трактовки понятия функции в средней школе достаточно велико, но с методической точки зрения гораздо более важен вопрос об общей системе изучения функционального материала, в частности, вопрос об одной из составляющих этой системы - функциональной пропедевтике в младших классах.
Как отмечается в объяснительной записке к программе по алгебре, изучение свойств функций в 6-8 классах должно вестись с опорой на наглядно-графические представления, то есть предполагается, что к шестому классу у учащихся уже должны быть сформированы некоторые функциональные, в том числе графические, представления и навыки. В методическом письме главного управления школ Министерства просвещения СССР "О преподавании математики в общеоб-
разовательных школах в 1981/82 учебном году" /102/, приводится указание о том, что усвоение содержательной стороны понятий должно предшествовать введению определения и работе над его логической структурой. Следовательно, в задачи функциональной пропедевтики входит не только формирование элементарных функциональных представлений и навыков, но и подготовка учащихся к введению общего понятия функции.
В соответствии с действующей программой /150/ понятие функции вводится практически в самом начале курса алгебры шестого класса, тогда как еще в конце шестидесятых - начале семидесятых годов оно изучалось при прохождении последней темы курса алгебры восьмого класса. Более раннее введение понятия функции ограничило период осуществления функциональной пропедевтики /начальная школа и 4-5 классы/. Следовало ожидать, что такое значительное изменение вызовет интенсивную теоретическую и практическую работу по исследованию возможностей подготовки учащихся 4-5 классов к изучению функционального материала, однако этого не произошло. Мы можем указать только три источника /54, 71, 79/, в которых обсуждались вопросы, связанные с функциональной пропедевтикой при работе по новой программе. При этом в двух из них /54, 71/ рассматривается направление функциональной пропедевтики, возникшее в связи с использованием теоретико-множественной трактовки понятия функции, а именно - формирование у учащихся младших классов понятий множества и соответствия между элементами двух множеств.
В то же время осуществляемую сейчас функциональную, в особенности графическую, подготовку учащихся в начальной школе и в 4-5 классах нельзя считать удовлетворительной. Функциональная пропедевтика в начальной школе ограничена рассмотрением вопросов о взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий, об изменении результата в связи с изменением одного из
компонентов действий, введением буквенной символики и решением ряда задач с меняющимися данными. В четвертом классе вводятся понятия числового луча, переменной и выражения, содержащего переменную. Упражнения на вычисление значения выражения с одной или несколькими переменными как в четвертом, так и в пятом классах выполняются эпизодически, при этом довольно редко учащимся предлагается сделать более одной подстановки. На предусмотренное программой пятого класса ознакомление с координатной прямой, системой прямоугольных координат, простейшими графиками изменения величин и закрепление соответствующих представлений и навыков отводится крайне незначительное время. Поэтому вполне справедливо замечание о том, что изучение графиков в пятом классе происходит так, что "к шестому классу все оказывается забытым и требует серьезного повторения" /79, с.53/. Следовательно, учащиеся 4-5 классов не приобретают достаточно прочных наглядно-графических представлений, необходимых для успешного изучения свойств функций в шестом классе; вопрос же о подготовке к усвоению общего определения функции на этом этапе обучения вообще не ставится.
Изложенные выше краткие замечания позволяют прийти к выводу об актуальности проблемы совершенствования функциональной пропедевтики в младших классах.
Таким образом, основные цели данного исследования заключаются в том, чтобы найти трактовку понятия функции, оптимальную для школьного курса математики, и выявить возможности для совершенствования функциональной пропедевтики в 4-5 классах.
Поставленные цели определили частные задачи исследования:
I/ оценить с методической точки зрения различные способы трактовки понятия функции;
2/ отыскать способ трактовки понятия функции, обладающий наиболее приемлемым для школы набором достоинств и недостатков,
и обосновать целесообразность произведенного выбора;
3/ определить основные направления работы по подготовке учащихся 4-5 классов к усвоению общего понятия функции;
4/ найти наиболее перспективный способ совершенствования функциональной пропедевтики в 4-5 классах;
5/ определить объем необходимого пропедевтического материала, разработать методику его изучения и систему упражнений, способствующих его закреплению;
б/ экспериментально проверить эффективность предложенного способа совершенствования функциональной пропедевтики.
Для решения этих задач были использованы следующие методы исследования:
изучение и анализ математической, методической и педагогической литературы;
изучение и анализ содержаниями результатов предшествующих исследований;
анализ программ, учебников и учебных пособий по математике для средней школы;
изучение состояния знаний учащихся;
выдвижение рабочей гипотезы;
теоретическое обоснование целесообразности принятой гипотезы;
подготовка и проведение педагогического эксперимента, анализ его результатов.
диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе диссертации рассматриваются способы трактовки понятия функции, свойственные различным историческим этапам развития математической науки и школьного курса математики, анализируются их преимущества и недостатки. Выдвигается гипотеза о
том, что наиболее подходящим для школьного курса математики является определение функции на основе общего понятия переменной, и производится ее теоретическое обоснование. Определяются требования, которые необходимо предъявить пропедевтической подготовке учащихся к усвоению содержательной стороны понятия функции.
Во второй главе выполняется анализ методической литературы, посвященной проблемам функциональной пропедевтики, рассматриваются предложения по ее совершенствованию. Выдвигается и обосновывается гипотеза о том, что наиболее перспективное направление совершенствования функциональной подготовки учащихся 4-5 классов связано с использованием в этих классах вычислительных упражнений с графическим контролем, определяется содержание соответствующей системы функциональной пропедевтики.
Третья глава посвящена описанию методики изучения предложенного пропедевтического материала и системы упражнений, способствующих формированию и закреплению необходимых функциональных представлений и навыков. В этой главе приведены также методические рекомендации по введению понятия функции на основе общего понятия переменной.
В четвертой главе описывается экспериментальная проверка эффективности разработанной системы функциональной пропедевтики и анализируются ее итоги.
В заключении изложены основные выводы проведенного исследования.
Результатом выполненной работы явилось предложение новой для школьного курса математики трактовки понятия функции и не применявшегося ранее на практике типа упражнений, использование которых в 4-5 классах позволит улучшить функциональную подготовку учащихся. Кроме того, определена примерная структура и разработано содержание системы функциональной пропедевтики в 4-5 клас-
сах, в основу которой положены упражнения рассматриваемого типа. На защиту выдвигаются следующие положения:
наиболее приемлемой для школьного курса математики является трактовка понятия функции на основе общего понятия переменной;
совершенствование системы функциональной пропедевтики в 4-5 классах возможно на основе широкого применения на этом этапе вычислительных упражнений с графическим контролем.
Историческое развитие и современная научная трактовка понятия функции
Термин "функция" появился в математической литературе около трех столетий тому назад. Начиная с 1673 года его использовал в своих рукописях Г.В.Лейбниц. Он же в 1694 году дал первое определение этого термина. Первоначально понятие функции было связано исключительно с геометрическими образами. Г.В.Лейбниц называл функциями всякие части прямых линий, полученных при проведении бесконечных прямых через неподвижную точку и точки кривой, например, отрезки касательных к кривой, их проекции на оси координат и т.п. Однако уже в 1696-98 гг. в переписке между Г.В.Лейбницем и И.Бернулли слово "функция" применяется в более широком смысле: оно используется для обозначения выражений, образованных из независимой переменной и постоянных.
Свободное от геометрических представлений определение функции дал в 1718 году И.Бернулли: "Функцией переменной величины ... называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных" /177, с.75/. Определение, данное И.Бернулли, в 1748 году несколько уточнил Л.Эйлер, который явно ввел в него слова "аналитическое выражение". В своем "Введении в анализ бесконечных" он пишет: "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств" /177, с.75/.
Объем понятия функции, ограниченный этим определением, уже в то время не отвечал полностью требованиям математической науки, так как многие функции, получавшиеся при интегрировании, решении дифференциальных уравнений и т.д., нельзя было явно выразить при помощи известных операций. Поэтому Эйлер вводит в употребление еще одну трактовку понятия функции, подразумевая под произвольной функцией кривую, "начертанную свободным влечением руки" /181, с.II/.
Две последних трактовки понятия функции в некоторых случаях противоречили друг другу. Так, непрерывность линии по Эйлеру заключалась в возможности ее задания определенным аналитическим выражением. Если же различные части линии задавались посредством различных аналитических выражений, то такая линия считалась прерывной. Таким образом, согласно аналитическому определению, прерывная в смысле Эйлера линия функцию не задает. В то же время, если трактовать функцию как произвольную кривую, прерывная линия задает одну вполне определенную функцию.
Чтобы избавиться от этого противоречия, Л.Эйлер формулирует в 1755 году еще одно определение функции: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых" /177, с.82/. Он отмечал, что эта трактовка имеет чрезвычайно общий характер, так как охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других.
Некоторые исследователи склонны видеть в этом определении зародыш понятия о поэлементном соответствии между двумя числовыми множествами /177, с.84/. Однако существует и другая точка зрения. Например, Г.Е.Шилов считает это определение только по видимости более широким, чем представление о функции как о произвольной кривой. Он отмечает, что "поскольку в нем ничего не говорится о допустимом характере зависимости первых величин от вторых, оно остается еще достаточно расплывчатым, так что каждый из последующих математиков ХУІІІ века был волен истолковывать его на В 1807 году Ж.Б.Фурье доказал, что многие функции, представленные на отдельных участках отрезка различными аналитическими выражениями, можно представить также на этом отрезке одним и тем же тригонометрическим рядом. Открытие Ж.Б.Фурье способствовало окончательному разделению понятий функции и ее аналитического выражения. Стало ясно, что для задания функции необходимо только иметь возможность для каждого значения независимой переменной указать соответствующее ему значение функции. Таким образом было положено начало следующему этапу развития понятия функции, который оказался наиболее тесно связан с именами выдающихся математиков XIX столетия Н.И.Лобачевского и П.Лежен-Дирихле.
Функциональная пропедевтика в школьном курсе математики
Одновременно с вопросом об изучении в школе понятия функции возникла и проблема подготовки учащихся к усвоению этого понятия. Русские методисты еще в прошлом столетии наметили примерный круг тем, которые позволяли произвести предварительное ознакомление с понятием функциональной зависимости.
Например, С.И.Шохор-Троцкий отмечал, что понятие о зависимости между величинами начинает формироваться у ребенка уже тогда, когда он обнаруживает связь между вопросом и данными задачи при ее решении, и что уже на этом этапе учителю следует помогать образованию понятия о зависимых и независимых величинах. По его мнению, ученик, усвоивший эти понятия, легко овладеет и понятием функции. Другой известный русский методист, В.П.Шереметевский, писал, что понятие функциональной зависимости как бы напрашивается на внимание учащихся с первых же глав арифметики, когда рассматривается изменение результатов арифметических действий, изменение величины дроби в зависимости от изменения числителя и знаменателя /26, с.10-12/.
Первые советские программы по математике /136, 137, 138/ имели ярко выраженную функциональную направленность. Большое внимание в них обращалось на постепенное развитие идеи функциональной зависимости в младших классах. Первоначальные представления о функциональной зависимости учащиеся должны были получить при изучении связи между результатами и компонентами арифметических действий. Затем эти представления расширялись в связи с выполнением вычислений по формуле и установлением зависимости значения алгебраического выражения от значений входящих в него букв. Изме - 68 рение значений меняющейся величины, запись результатов в виде таблицы и наглядное представление их на различного вида диаграммах также предполагалось использовать для формирования первоначальных представлений о функциональной зависимости. В соответствии с программой 1921 года /138/, введению координатной плоскости должно было предшествовать ознакомление учащихся с ее первым квадрантом и построение графиков некоторых видов линейных функций.
И.И.Грацианский в статье "Изучение зависимостей и комплексность преподавания математики в школе I -ой ступени" /43/, опубликованной в 1924 году, подчеркивал, что изучение зависимостей является неотъемлемой частью занятий по математике с самого начала обучения и что работа по изучению зависимостей выполняется в каждом классе 1-ой ступени, даже если учитель не ставит перед собой такую задачу. По мнению автора, эту работу можно сделать более эффективной, если несколько видоизменить систему занятий, обычно практикуемую в школах. В статье рассматриваются вопросы, разработка которых позволила бы подвести учащихся к понятию о зависимости величин. Особую роль при этом И.И.Грацианский отводил заданиям, при выполнении которых можно установить определенную зависимость и ответ для вновь решаемого примера получать на основании предыдущего. Он писал: "... решение примеров следует подчинить проведению математических идей, среди которых изучение зависимостей и изменяемости должно занимать главное место" /43, с.12/.
Несмотря на то, что теоретически вопрос о функциональной пропедевтике казался в то время достаточно ясным, на пути практической его реализации возникли определенные затруднения. Основная сложность заключалась в отсутствии опыта практического применения предлагаемой системы функциональной пропедевтики. Выполняя требования программ, учителя действовали фактически на свой страх и риск, что, по-видимому, приводило в ряде случаев к чрезмерному увлечению функциональной пропедевтикой, к неоправдываю-щим себя затратам учебного времени. Как следствие, у некоторых методистов возникли сомнения в необходимости функциональной пропедевтики в младших классах.
Функциональная пропедевтика в 4 классе
Точку зрения А.Я.Хинчина по вопросу об изучении понятия функции в школе практически полностью разделял С.И.Новоселов. В своих статьях "Понятие функции и геометрические интерпретации" /III/ и "Учение о функциях в средней школе" /112/, опубликованных соответственно в 1940 и 1946 годах, он отмечал, что понятие функции должно изучаться на основе понятия соответствия, и предлагал формулировку определения, близкую к определению Дирихле. С.И.Новоселов особенно подчеркивал, что с самого начала изучения функций необходимо тщательно избегать смешения принципиально различных понятий "функция" и "математическое выражение". Он писал: "Мы не можем не согласиться с точкой зрения, высказываемой передовыми представителями педагогической мысли, что уже в средней школе следует приводить примеры функций, заданных описанием закона соответствия вне зависимости от формулы, а также функций, заданных разными формулами в разных промежутках. Назначение этих примеров заключается в том, чтобы не допускать возникновения ложной мысли, заключающейся в отождествлении функции с аналитическим выражением /формулой/. На этот момент следует обратить серьезное внимание, так как в старых учебниках, а также среди наиболее отсталой части учительства еще сильны традиции, в силу которых величина и считается функцией от л: , когда выражается через %: при помощи некоторой "единой формулы" /112, с.30/.
Таким образом, А.Я.Хинчин и С.И.Новоселов настаивали на том, чтобы при введении понятия функции в школьном курсе математики было использовано определение Дирихле. Как уже отмечалось, в математической и методической литературе это определение часто называли определением функции как соответствия, хотя понятие соответствия присутствовало в нем только в интуитивной форме. Однако даже интуитивное усвоение учащимися этого понятия позволило бы с более общих позиций подойти к понятию функции, а именно, отвлечься от конкретных способов ее задания и выявить в качестве центральной идею однозначного соответствия между элементами области определения и множества значений функции.
В определении Дирихле в роли функции выступает переменная величина, что ограничивает объем понятия функции соответствиями между числовыми множествами. В математике же понятие функции уже было распространено и на соответствия между множествами произвольной природы. Борьба за изучение в школьном курсе математики определения Дирихле по сути дела только начиналась, было еще очень далеко до введения этого определения в школьные учебники, но у некоторых методистов уже возникли сомнения в целесообразности использования в определении функции понятия переменной величины. Они предлагали изучать в школе определение функции, опирающееся на общее понятие множества и понятие соответствия между элементами множеств произвольной природы. В конце сороковых - начале пятидесятых годов на страницах журнала "Математика в школе" развернулась дискуссия о трактовке понятия функции. Начало этой дискуссии положила статья А.И.Маркушевича "Понятие функции" /92/, опубликованная в 1947 году.
