Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ФОРМИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ КАК ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА 11
1.1. Исследовательские умения и уровень их развития у учащихся основной школы 11
1.2. Психолого-педагогические аспекты формирования исследовательских умений учащихся подросткового возраста 34
1.3. Ведущие принципы организации учебной деятельности подростков, направленной на формирование исследовательских умений в процессе обучения геометрии 46
1.4. Модель процесса формирования исследовательских умений учащихся 7- 9 классов в условиях уровневой дифференциации обучения геометрии 59
ВЫВОДЫ 73
Глава 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ УМЕНИЙ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ 77
2.1. Методический инструментарий формирования основных структурных элементов исследовательских умений: открытые геометрические задачи, их типы и шаблоны 77
2.2. Средства дифференциации учебных исследований по геометрии: разноуровневые открытые задачи и дифференцированные карты -планы уроков 88
2.3. Методические особенности формирования исследовательских умений учащихся на уроках геометрии и внеклассных занятиях 112
2.4. Организация и результаты педагогического эксперимента 133
ВЫВОДЫ 152
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 155
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 158
ПРИЛОЖЕНИЯ 174
Приложение 1. Анализ методов проблемного обучения 174
Приложение 2. Дифференцированные карты - планы уроков по теме
"Параллелограмм и трапеция" 177
Приложение 3. Анкета (для учителя) 184
Приложение 4. Задания для определения уровня сформированности основных структурных элементов исследовательских умений учащихся 7— 9 классов на констатирующем этапе педагогического эксперимента 186
Приложение 5. Самостоятельные работы по геометрии в 7 - 9 классах на формирующем этапе педагогического эксперимента 192
Приложение 6. Динамика изменения уровней сформированности основных структурных элементов исследовательских умений учащихся 7 — 9
классов на формирующем этапе педагогического эксперимента 217
Приложение 7. Динамика изменения коэффициента владения и коэффициента полноты сформированности основных структурных элементов исследовательских умений у учащихся 7-9 классов на формирующем этапе педагогического эксперимента 222
Приложение 8. Анкета (для учащихся) 224
Приложение 9. Динамика изменения познавательного интереса учащихся 7-9 классов кизучению геометрии 226
Приложение 10. Итоговые контрольные работы для учащихся 7-9
классов 229
- Исследовательские умения и уровень их развития у учащихся основной школы
- Психолого-педагогические аспекты формирования исследовательских умений учащихся подросткового возраста
- Методический инструментарий формирования основных структурных элементов исследовательских умений: открытые геометрические задачи, их типы и шаблоны
Введение к работе
Актуальность исследования. В концепции модернизации российского образования на период до 2010 года подчеркивается, что одним из результатов правильно организованного образовательного процесса является развитие способности учащихся к исследовательской деятельности. Поэтому формирование исследовательских умений учащихся становится одной из важных задач современной школы.
Психологические особенности исследовательской деятельности учащихся отражены в работах А.В. Брушлинского, Л.С. Выготского, В.А. Крутецкого, Ю.Н. Кулюткина, А.М. Матюшкина, Я.А. Пономарева, С.Л. Рубинштейна, Л.М. Фридмана, А.Ф. Эсаулова, и др. Исследовательскую деятельность, как метод обучения, рассматривали педагоги Д. Брунер, Д. Дьюи, Д. Зухман, И.Я. Лернер, И.М. Махмутов, В. Оконь, М.Н. Скаткин, Д. Шваб и др.
На исследовательскую деятельность, как эффективное средство активизации учебного познания при обучении математике, указывают А.К. Артемов, В.А. Байдак, Г.Д. Балк, Л.В. Виноградова, В.А. Далингер, А.С. Крыговская, А.А. Окунев, Д. Пойа, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, АЛ. Цукарь и др.
Вопросам формирования исследовательских умений учащихся в процессе обучения посвящены работы В.Н. Кизимовой, Н.М. Мочаловой, Т.Б. Раджабо-ва, Г.В. Токмазова, С.Н. Чернышевой, Л.Д. Шабашова и др. Пути и средства активизации исследовательской деятельности школьников в процессе обучения математике рассматривались в диссертационных работах Б.В. Барановой, Н.Д. Волковой, Л.З. Карелина, Е.В. Ларькиной, И.Б. Ольбинского, Л.Э. Орловой, М.В. Тарановой, Г.В. Токмазова и др. Ими обоснована целесообразность привлечения всех учащихся к исследовательской деятельности и разработаны методические основы использования учебных исследований в обучении математике.
Гуманизация образования поставила на повестку дня проблему дифференциации процесса обучения, одной из ведущих форм которой является уров-невая дифференциация. Изучение опыта работы учителей математики общеобразовательной школы, анализ литературных источников показывают, что традиционная система обучения математике направлена на формирование специальных математических умений. Формирование исследовательских умений учащихся рассматривается как один из сопутствующих результатов обучения. Но и те педагоги, которые признают важность и необходимость формирования исследовательских умении учащихся, в условиях уровневой дифференциации обучения испытывают затруднения при организации этого процесса. В результате оказывается, что у большинства школьников доминирует репродуктивная, а не продуктивная деятельность, не сформирована потребность в самостоятельном поиске решения проблемы, учащиеся испытывают затруднения при определении целей своей деятельности, при самостоятельном проведении анализа условия задачи, при выдвижении гипотез и их обосновании.
В этой связи в образовательной практике возникает противоречие между потребностью школы в научно - обоснованном подходе к формированию исследовательских умений у всех учащихся и неготовностью частных методик к решению этой задачи; между объективными возможностями учебного предмета "геометрия" для формирования и развития исследовательских умений учащихся и практикой обучения геометрии в основной школе, не реализующей этот потенциал.
Исходя из указанного противоречия, проблема исследования заключается в поиске ответа на вопрос: "Как организовать процесс обучения геометрии в основной школе так, чтобы обеспечить формирование исследовательских умений учащихся в процессе изучения программного материала курса?"
Цель исследования - разработать теоретические и методические основы формирования исследовательских умений учащихся 7-9 классов в процессе уровневой дифференциации обучения геометрии.
Объект исследования — процесс обучения геометрии в 7 - 9 классах.
Предмет исследования - формирование исследовательских умений учащихся основной школы в процессе уровневой дифференциации обучения геометрии.
Гипотеза исследования основана на предположении о том, что обучение геометрии в 7 - 9 классах с использованием специально разработанных дидактических средств для дифференцированного поэлементного формирования исследовательских умений и дифференциации учебных исследований по геометрии будет способствовать формированию у учащихся исследовательских умений, повышению уровня обученности по геометрии и развитию познавательного интереса к предмету.
Исходя из цели исследования и выдвинутой гипотезы, были поставлены следующие задачи исследования:
1. Провести анализ изученности в литературе вопросов формирования у учащихся общих исследовательских умений, необходимых для успешного осуществления поиска и решения проблем в различных сферах человеческой деятельности.
2. Изучить психолого-педагогические аспекты формирования исследовательских умений у учащихся подросткового возраста и определить ведущие принципы организации учебной деятельности, направленной на формирование общих исследовательских умений в процессе обучения геометрии.
3. Построить и описать модель процесса формирования общих исследовательских умений у учащихся 7-9 классов в условиях дифференцированного обучения геометрии и опытно — экспериментальным путем проверить эффективность использования созданной модели.
4. Разработать специальные дидактические средства для поэлементного формирования общих исследовательских умений и дифференциации учебных исследований в процессе обучения геометрии в основной школе.
Теоретико - методологической основой исследования явились: теория проблемного обучения (И.Я. Лернер, A.M. Матюшкин, М.И. Махмутов, В. Оконь и др.); теория деятельностного и личностно-ориентированного подходов к процессу обучения (А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, В.В. Сериков, И.Я. Якиманская и др.); теория уровневой дифференциации обучения (В.В. Фирсов, В.М. Монахов, В.А. Орлов и др.), научно-педагогические концепции организации исследовательского обучения школьников (Дж. Дьюи, А.С. Обухов, В.А. Леонтович, А.И. Савенков и др.), теория и методика обучения геометрии (В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова и ДР-) Для решения поставленных задач использовались следующие методы:
анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, программ и государственных образовательных стандартов, учебников и учебных пособий по геометрии для основной школы; анкетирование и опрос учителей, учащихся; формирование знания о предмете исследования на теоретическом уровне; педагогический эксперимент по проверке основных положений диссертации.
Исследование проводилось поэтапно. На первом этапе осуществлялся анализ литературных источников по проблеме исследования; изучалось состояние ее изученности в литературе и пути решения в школьной практике, осуществлялся констатирующий этап эксперимента. На втором этапе проектировались специальные дидактические средства формирования исследовательских умений учащихся и разрабатывалась методика их использования в процессе уровневой дифференциации обучения геометрии в основной школе. На третьем этапе проводилась опытно-экспериментальная работа и оформлялись результаты исследования.
Научная новизна исследования состоит в том, что показаны возможности формирования исследовательских умений у всех учащихся 7-9 классов в процессе обучения геометрии средствами учебного содержания курса и специально разработанного методического инструментария.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что для формирования общих исследовательских умений, необходимых для успешного осуществления поиска и решения проблем в различных сферах человеческой деятельности,
- выделены основные структурные элементы этих умений;
- выделены типы и разработаны шаблоны открытых задач, используемых для формирования структурных элементов общих исследовательских умений;
- выделены характеристики уровней сложности каждого типа открытых задач;
- определены уровни и показатели сформированности у учащихся основных структурных элементов исследовательских умений.
2. Для выявления психолого-педагогических предпосылок формирования исследовательских умений учащихся в процессе обучения геометрии
- систематизированы психологические особенности подросткового возраста, индивидуальные особенности профессионального поведения учителя и связанные с ними аспекты формирования исследовательских умений учащихся;
- определены ведущие принципы организации учебной деятельности, направленной на формирование исследовательских умений в процессе обучения геометрии в 7 — 9 классах.
3. Построена модель процесса формирования исследовательских умений учащихся 7-9 классов в условиях уровневой дифференциации обучения геометрии, включающая:
- стадии этого процесса;
- методическую систему формирования исследовательских умений на каждой из стадий;
- компоненты учебной деятельности, направленной на формирование исследовательских умений учащихся, и дидактические средства для их организации;
- показатели уровней сложности дифференцированных карт-планов уроков, используемых для организации учебных исследований в процессе обучения геометрии.
Практическая значимость исследования заключается в разработке и апробации:
- оригинальных дидактических средств: разноуровневых открытых задач для дифференцированного поэлементного формирования исследовательских умений учащихся и дифференцированных карт - планов уроков для организации учебных исследований в процессе обучения геометрии в 7 -9 классах;
- дидактических материалов и методических рекомендаций по их использованию в виде трех книг для учителя, преподающего геометрию в 7, 8, 9 классах по учебнику Л.С. Атанасяна и др.
Разработанный методический инструментарий для формирования исследовательских умений учащихся в процессе уровневой дифференциации обучения геометрии в 7 - 9 классах может быть адаптирован к особенностям уроков алгебры в этих же классах и уроков геометрии, алгебры и начал анализа в старших классах. Материалы настоящего исследования представляют интерес для преподавателей методики обучения математике в педагогических вузах и университетах, могут быть использованы в системе повышения квалификации учителей математики.
Достоверность полученных результатов и обоснованность выводов проведенного исследования обеспечиваются опорой на теоретические положения психологии, педагогики, методики обучения математике, использованием методов, адекватных цели и задачам исследования; результатами педагогического эксперимента, подтвердившего справедливость основных положений исследования.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в практике обучения геометрии учащихся 7-9 классов трех школ г. Новокузнецка, в Новокузнецком ИПК и на физико-математическом факультете КузГПА. Основные теоретические и практические результаты исследования докладывались и получили одобрение на межвузовских научно-практических конференциях разного уровня: от всероссийского до регионального (Барнаул, 2002; Тобольск, 2002; Барнаул, 2003; Томск, 2004; Челябинск, 2004); докладывались и обсуждались на аспирантских семинарах кафедры алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике КузГПА; отражены в 12-ти публикациях автора. Положения, выносимые на защиту:
1. Исследовательские умения - это познавательные умения, обеспечивающие успешное осуществление поиска и решения проблем в различных сферах человеческой деятельности. Основными структурными элементами исследовательских умений являются следующие умения: формулировать цель работы, анализировать условия заданной ситуации, выдвигать и обосновывать гипотезы, планировать решение проблемы, анализировать результат.
2. Формирование исследовательских умений учащихся 7-9 классов на уроках геометрии и внеклассных занятиях целесообразно осуществлять в процессе поэлементного овладения исследовательскими умениями, усвоения логики и методов научного познания, выполнения учебных исследований и решения исследовательских задач.
3. Изучение учебного содержания курса геометрии 7 — 9 классов с использованием специально разработанных дидактических средств (задания на экспериментирование, система разноуровневых открытых задач, учебные исследования, организуемые с помощью дифференцированных карт-планов уроков, исследовательские задачи) способствует формированию у учащихся исследовательских умений, повышению уровня обученности по геометрии и развитию познавательного интереса к предмету.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка (178 наименований) и 10-ти приложений; содержит 21 таблицу и 18 рисунков.
Исследовательские умения и уровень их развития у учащихся основной школы
Общепсихологическая теория деятельности
Одна из основных задач школы — включение ребенка в активный процесс познания мира, себя в этом мире. Эта задача облегчается, когда учитель является носителем традиций науки и исследовательской деятельности, передавая ее ученикам в межличностном взаимодействии.
Философская категория деятельности - это теоретическая абстракция всей общечеловеческой практики, имеющей общественно-исторический характер. Понятие деятельности особенно глубоко разрабатывалось в немецкой классической философии (Кант, Фихте, Гегель, Шеллинг). Философско-логическое понятие деятельности выделяет и определяет существенную специфику жизни людей, которая состоит в том, что они целенаправленно изменяют и преобразуют природную и социальную действительность.
Исследование деятельности в отечественной психологии происходило с диалектико-материалистических позиций философского понимания этой категории. Начиная с 1920-х гг., общепсихологическую теорию деятельности разрабатывали многие отечественные ученые, но самые значимые результаты принадлежат С.Л. Рубинштейну и А.Н. Леонтьеву.
Следуя С.Л. Рубинштейну [131. С. 181], под деятельностью следует понимать активность субъекта, направленную на изменение мира, на производство или порождение определенного объективированного продукта материальной или духовной культуры.
Психологическое строение деятельности, по А.Н Леонтьеву [74], имеет следующую структуру: потребность - мотив - цель - условия достижения цели (единство цели и условий составляет задачу). Достижение цели в определенных условиях осуществляется человеком посредством выполнения действий (само действие состоит из операций, соответствующих условиям задачи). Целостная деятельность в процессе реализации постоянно изменяется и трансформируется. Процесс конкретной человеческой деятельности протекает следующим образом: этап постановки цели (ясное осознание конкретной задачи); этап планирования работы, выбор наиболее рационального способа действия; этап выполнения, осуществления деятельности; этап проверки результатов, исправление ошибок, если они были, сопоставление полученных результатов с запланированными; подведение итогов работы.
Реально мы всегда имеем дело с отдельными видами деятельности, каждая из которых отвечает определенной потребности субъекта, стремится к предмету этой потребности, угасает в результате ее удовлетворения и воспроизводится вновь, может быть, уже в других условиях и по отношению к изменившемуся предмету [30]. Отдельные виды деятельности различаются между собой прежде всего предметным содержанием.
Исследование как особый вид деятельности
Как уже упоминалось выше, в реальной жизни мы имеем дело с определенными видами деятельности. Ряд ученых (Н.Г. Алексеев [1], А.В. Леонтович [129] и др.) говорит о том, что существует особая, выделенная от других деятельность, которую называют исследовательской деятельностью.
Касаясь этимологического анализа слова "исследование", заметим, что под этим типом деятельности подразумевается извлечь нечто "из следа", то есть восстановить некоторый порядок вещей по косвенным признакам, отпечаткам общего закона в конкретных, случайных предметах.
Психолого-педагогические аспекты формирования исследовательских умений учащихся подросткового возраста
Психологические особенности подросткового возраста и связанные с ними проблемы формирования общих исследовательских умений
Усвоение знаний, формирование умений и навыков и закрепление их в качестве образцов, способов деятельности ребенка невозможны без достижения им на предшествующей ступени обучения определенного уровня психического развития. Успешность выработки исследовательских умений во многом обусловлена психологическими особенностями мышления и памяти, то есть непосредственно связана с развитием интеллектуальной сферы личности, а также с такими личностными качествами как самооценка, познавательная мотивация, особенности общения, характер и т.д. В связи с этим возникает проблема выбора возрастного периода, являющегося оптимальным для формирования исследовательских умений школьника.
На основе анализа психолого-педагогической литературы [30], [48], [67] и реальной педагогической практики нами был сделан вывод о целесообразности систематического формирования исследовательских умений учащихся 12 - 15 лет (подростковый период). При этом во внимание были приняты следующие факты:
1. Основной особенностью интеллектуальной деятельности подростка является нарастающая с каждым годом способность к абстрактному мышлению, функционирующему с помощью гипотез и дедукций.
2. Внимание подростка характеризуется не только большим объемом и устойчивостью, но и специфической избирательностью. Избирательным, целенаправленным, анализирующим становится и восприятие. Память подростка, как и внимание, постепенно приобретает характер организованных, регулируемых и управляемых процессов.
3. Подростковый возраст - это возраст пытливого ума, жадного стремления к познанию, возраст кипучей энергии, бурной активности, инициативности, жажды деятельности. Заметное развитие в этот период приобретают волевые черты характера - настойчивость, упорство в достижении цели, умение преодолевать препятствия и трудности. Подросток часто уже сам ставит перед собой цели и сам планирует их осуществление.
4. Одна из характерных особенностей подросткового возраста - это стремле ние к самоопределению и самоусовершенствованию. Осознать, оценить свои личные качества, удовлетворить свойственное для подростков желание "взрослости" позволяет учебно-исследовательская деятельность, в процессе которой происходит совершенствование исследовательских умений учащихся.
5. Любое научное исследование требует наличия определенной базы знаний по
изучаемому предмету, поэтому включение учащихся в научно - исследовательскую деятельность происходит, как правило, лишь в старших классах средней школы. Формирование исследовательских умений учащихся в подростковом возрасте является своеобразной пропедевтикой такой деятельности.
При формировании исследовательских умений учащихся подросткового возраста возможно возникновение ряда проблем:
1) "трудности возраста" - проблемы, связанные с возрастными особенностями учащихся;
2) проблемы, связанные с развитием интеллектуальной сферы подростков (особенности памяти, внимания, восприятия, мышления);
3) проблема мотивации (пробуждение у ученика потребности думать над проблемой);
4) проблемы, связанные с развитием эмоционально-волевой сферы подростка.
Рассмотрим их более подробно.
Включение учащихся в исследовательскую деятельность, в процессе которой формируются ОИУ, возможно на основе сотрудничества между учителем и учеником. Но учителю иногда бывает сложно выстроить такое общение из-за "трудностей возрастного периода".
Как известно, психологически подростковый возраст крайне противоречив, он характеризуется максимальными диспропорциями в уровне и темпах развития. Одна из ярких особенностей подросткового возраста - личностная нестабильность. Она проявляется, прежде всего, в частых сменах настроения, аффективной "взрывчатости", связанной с процессом полового созревания, физиологическими перестройками в организме. Для подростка характерны нравственная неустойчивость, неустойчивая самооценка, противоречивость характера и устремлений.
В подростковом периоде выделяют три этапа: предкритическую или негативную фазу - период ломки, разрушения, распада привычных форм поведения, ранее сформировавшихся психологических структур; собственно момент кризиса; посткритическую фазу, то есть период созидания, построения нового.
Методический инструментарий формирования основных структурных элементов исследовательских умений: открытые геометрические задачи, их типы и шаблоны
Лидирующим компонентом методической системы обучения математике в школе (и геометрии, в частности) являются цели обучения и вытекающие из них основные задачи курса математики.
Анализ нормативно - методических документов и материалов [143] доказывает: если рассматривать исследовательские умения как составную часть интеллектуальных умений, то можно предполагать, что формирование общих исследовательских умений учащихся является одной из основных задач курса геометрии. Как показали проведенные нами исследования (приложение 3), тот факт, что в нормативных документах не декларируется задача формирования исследовательских умений, зачастую является решающим для учителя при выборе стратегии обучения, не предусматривающей включение школьников в учебно - исследовательскую деятельность.
Анализ учебников геометрии для 7-9 классов средней общеобразовательной школы Нас интересовали следующие вопросы:
1) возможность самостоятельного изучения учащимися нового теоретического материала с помощью учебника (то есть доступность, строгость, логика изложения материала);
2) наличие заданий, вовлекающих учащихся в творческую и исследовательскую деятельность;
3) наличие указаний по отысканию и решению задач (эвристические приемы поиска решения, методы решения задач);
4) наличие разноуровневых исследовательских задач и заданий.
В ходе констатирующего эксперимента (путем анкетирования) мы выяснили, что большинство учителей средних общеобразовательных школ города Новокузнецка в неспециализированных классах работают по следующим учебникам:
1. Л.С. Атанасян и др. "Геометрия 7 - 9" [26].
2. А.В. Погорелов. "Геометрия 7-11" [107].
3. И.Ф. Шарыгин. "Геометрия 7 - 9" [169].
Теоретический материал учебника "Геометрия 7 - 9" Л.С. Атанасяна и др. [26] изложен доступно и одновременно строго. Достоинством этого учебника мы считаем наличие практических заданий, зачастую вовлекающих учащихся в экспериментальную деятельность. Например: Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи [26. С.7]. Задания на экспериментирование встречаются и в разделе "Вопросы и задачи": Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур [26. С. 119].
К каждой главе учебника предложены дополнительные задачи и задачи повышенной трудности. Среди этих задач следует особо отметить:
1. Задачи, условие которых содержит неопределенность. Например: Три точки К, L, М лежат на одной прямой, KL=6 см, LM=10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж [26. С.26].
2. Задачи, сформулированные по принципу: "сначала догадайся, потом - докажи". Например: Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой Ъ? Ответ обоснуйте [26. С.65].
3. Задачи с практическим содержанием. Например: Два населенных пункта А и В находятся по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге надо расположить автобусную остановку С, чтобы сумма расстояний АС+СВ была наи-меньшей?[26. С.86].
4. Задачи, имеющие несколько решений. Например: Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудаленную от концов данного отрезка. Сколько решений имеет задача?[26. С.92]
5. Задачи на определение зависимости между некоторыми величинами. Например: Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при единице измерения CD, а Ь — число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой числа а и Ъ? [26. С.88]
6. Задачи на определение вида геометрической фигуры. Например: В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 9СР; б) каждый угол меньше суммы двух других углов [26. С.89].
7. Задачи на определение изменения некоторой геометрической величины. Например: Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую сторону увеличить в два раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в два раза, а другую уменьшить в два раза? [26. С. 120]
8. Задачи на определение истинности (ложности) некоторого утверждения. Например: Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника? [26. С. 130].
