Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПРИЕМОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
1. Учебная деятельность и ее структура 15
2. Формирование приемов учебной леятельности как основа развития рефлексивно-теоретического мышления учащихся 28
3. Анализ опыта реализации деятельностного подхода в обучении, описанного в научно-методической литературе по математике 46
4. Система задач, обладающая свойством структурной полноты, как дидактическое средство для формирования приемов решения математических задач 64
Глава II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ПРИЕМОВ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЦЕЛЫХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Формирование обобщенных приемов решения целых рациональных уравнений
2. Формирование обобщенных приемов решения дробно-рациональных уравнений 108
3. Содержание и методика экспериментального обучения 127
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 137
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 141
ПРИЛОЖЕНИЕ 154
- Учебная деятельность и ее структура
- Формирование приемов учебной леятельности как основа развития рефлексивно-теоретического мышления учащихся
- Формирование обобщенных приемов решения целых рациональных уравнений
Введение к работе
Усвоение учениками определенной системы знаний не является единственной задачей школы. Другой важной задачей является привитие молодому поколению потребности к самостоятельной познавательной деятельности, умений учиться и мыслить самостоятельно, творчески. Каждое поколение овладевает системой материальных общественных предметов и усваивает способы практической деятельности с ними. Оно овладевает так же системой идеальных объектов - понятий, знаний - и умственными действиями с этими знаниями: умениями вычленять проблему, анализировать ее, искать и находить способы решения, применять их к решению других задач, планировать с их помощью свою практическую деятельность. То есть, человек овладевает различными видами как практической, так и теоретической деятельности. Поэтому на современном этапе происходит постепенное изменение функций каждого учебного предмета - превращение его из объекта изучения в средство развития творческих сил и способностей личности.
В связи с этим особую актуальность приобретает проблема разработки новых технологий обучения, способствующих развитию личностных качеств учащихся, обогащающих их опытом теоретического отношения к действительности. Для разработки таких технологий обучения педагоги и методисты стремятся использовать последние достижения психологической науки. Особое внимание уделяется в настоящее время основным положениям деятельностной теории развития психики ребенка и теории учебной деятельности, которые раскрыты в трудах ведущих психологов страны: П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, Е.Н. Кабановой-Меллер, А.Н. Леонтьева, С .Л. Рубинштейна и др. /11, 26, 3], 49, .../ В их работах широко исследую гея понятия деятельности, ее
структурных компонентов, свойств и условий взаимодействия, отмечается, что для реализации деятельностного подхода в обучении необходимо так построить содержание школьного предмета и использовать такую методику его преподавайия> чтобы усвоение знаний и общих приемов решения, связанных с ними задач, служило основой для формирования теоретического мышления, развития умственных сил и способностей учащихся.
По утверждению психологов, любая деятельность осуществляется теми или иными приемами (способами), причем разные виды деятельности, в зависимости от их целей, выполняются разными приемами (способами) /[48], с. 6/. Приемы и способы деятельности разрабатывались: в связи с вопросами о решении задач (С.Л. Рубинштейн, Н.А. Менчинская, Л.М. Фридман и др. /85, 94, 101, 127, .../); в психологии обучения (Д.Н. Богоявленский, П.Я. Гальперин, В,В. Давыдов, Д.Б. Эльконин /I], 26, 31,.../); в психологии памяти (А.А. Смирнов и др.). Особо следует выделить психологические исследования по изучению и формированию у школьников рациональных приемов мышления (Н.Г. Кушков, Е.Н. Кабанова-Меллер, И.С. Якиманская /22, 46, 134, .../и другие психологи).
Под приемами учебной работы психологи понимают систему действий, которые служат для решения учебных задач. Эти приемы состоят из больших или меньших систем действий и задают направления деятельности учащихся при решении учебных задач. И.С. Якиманская полагает, что приемы учебной работы должны раскрывать процесс и технологию усвоения: приемы должны быть построены на предметном содержании и включать как логические знания, так и психологические знания, обеспечивающие возможности рациональной организации различных познавательных процессов /[134], с. 19/. Е.Н. Кабанова-Меллер считает, что обучение будет лишь в том случае развивающим (в плане
умственного развития учащихся), если оно будет обеспечивать формирование обобщенных приемов учебной работы и управление ею со стороны учащихся /[49], с. 30/.
В настоящее время многие ученые-педагоги изучают приемы учебной работы. В исследованиях Ю.К. Бабанского, И.Я. Лернера, М.А. Данилова, Б.ІІ. Есипова, П.И. Пидкаснстого, А.В. Усовой и других ученых /5, 35, 41, 68, 115/ разрабатываются общеучебные умения и навыки, раскрываются пути их формирования. Поиск обобщенных приемов, способствующих качественному усвоению знаний, умений и навыков, позволил дидактам составить картотеку, насчитывающую более сотни обобщенных приемов /44/.
Психолого-педагогические исследования и озвученные идеи гумманизации и гуманитаризации образования позволили выделить в методике обучения математике ряд важнейших проблем по совершенствованию содержания математического образования, формированию качеств личности и мышления школьников. Трудами математиков и методистов разрабатываются учебники по математике нового поколения. Среди авторов учебников академики, профессора и заслуженные учителя школ: А.Д. Александров, Ш.А. Алимов, Л.С. Атанасян, М.И. Башмаков, Н.Я. Виленкин, А.Л. Вернер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин и др. /26, 27, 113, 114, 122,.../ Вопросы методического обеспечения учебников раскрываются в трудах Л.Ю. Березиной, М.Б. Воловича, А.Н. Землякова, Ю.А. Глазкова, Б.М. Ивлева, СМ. Саакяна и многих других ученых и практиков обучения математике /9, 14, 20, 24, 28, .../.В содержание математического образование авторы и методисты стремятся включить систему предметных знаний и способы деятельности, различные эвристики и приемы для развития творчества
учащихся, условия мотивации учебной деятельности, развития личности и интереса к предмету изучения.
Реализация же деятельностного подхода в обучении математике предполагает введение учащихся в круг учебных задач, ориентирующих их на поиск общего способа ее разрешения. Решение учебных задач осуществляется посредством учебных действий и действий контроля и оценки. В такой, идущей от психологов форме, деятельностный подход редко встречается в средней школе, Заметим, что теория учебной деятельности, разработанная в трудах Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, была положена в основу ноной технологии обучения учащихся в начальной школе. В старших же классах основной школы в это же время пока преобладает традиционная модель образования и классическая образовательная парадигма, ориентированные на качественное усвоение математических знаний, умений и навыков.
Инновационные процессы, происходящие сейчас в современной школе, приводят к усилению направленности школьного компонента образования на подбор содержания средств и приемов интеллектуального развития учащихся. Однако учителя отмечают отсутствие специальных технологий и методик по формированию мыслительных действий и развитию теоретического мышления учащихся в процессе обучения математике.
Многие исследователи по методике преподавания школьной математики, реализуя деятельностный подход, основное внимание уделяют разработке таких средств обучения (учебных задач) и такой методике их использования, которые направляют деятельность учащихся при изучении теории и решении задач и при этом формируют у учащихся приемы принятия учебных задач (мотнвационно-ориентировочный компонент учебной деятельности), приемы поиска их решения и
составление подзадач (операционный компонент), приемы осуществления контроля за ходом решения задачи и щенки результата решения (контрольно-оценочный компонент действия).
Так, формированию приемов учебной деятельности школьников посвящены исследования: Б.А. Абремского и Ч. Хамраева /1, 128/ - при решении геометрических задач; при решении уравнений и неравенств - М. Махкамова /76/; при решении текстовых задач - СЕ. Царевой^ К.А. Загородных, О.Б. Епишевой /41, 43, 129/; при обучении выполнению тождественных преобразований -- К.О. Одинамадова /88/; при изучении теоретического материала - Л.О. Денищевой, Н.С. Новичковой /36, 63/ и др. Причем процесс введения, становления и усвоения обобщенных приемов учебной деятельности в этих исследованиях осуществляется конкретно-индуктивным методом (развивается эмпирическое мышление); не используются задачи, требующие от учащихся выполнения определенной системы умственных действий (содержательного анализа, планирования, рефлексии, контроля и оценки) при экспериментировании с предъявленным заданным материалом (преобразования условий конкретной задачи с целью поиска и обнаружения общей основы частных особенностей всех однородных задач) и выделении общего принципа их решения. То есть в процессе решения разрабатываемых систем учебных задач не происходит формирования основ теоретического (рефлексивного) мышления.
В некоторых методических исследованиях (работы И.Я. Груденова, О.Б. Епишевой, В.И. Крупича, Г.И. Саранцева и др.) уделяется большое внимание формированию как общих приемов учебной деятельности школьников по усвоению математических знаний общематематические приемы), так и специальных частных приемов деятельности, содействующих развитию мышления учащихся и совершенствованию
мыслительных операций (анализ, синтез, обобщение, заключение по аналогии и др.) /28, 41, 61, 102 и др./.
Развитию теоретического мышления учащихся посвящаются лишь отдельные методические исследования. Так, О.С. Медведева /77/ считает, что, развивая теоретическое мышление у учащихся в процессе усвоения математических знаний, создаются благоприятные условия для содержательного обобщения тех или иных систем знаний, в том числе и приемов учебной деятельности. Разрабатываемые ею учебные задачи содействуют развитию основ рефлексивного (теоретического) мышления у учащихся 5-6 классов (в том числе и обобщенных способов действия).
Процесс формирования приемов учебной деятельности у школьников (умение учиться и добывать знания) при решении целых и дробно-рациональных уравнений на основе развития теоретического мышления у учащихся в методике преподавания математики остается пока мало исследованным. Вес это обуславливает актуальность предпринятого исследования.
В обучении алгебре целые и дробно-рациональные уравнения занимают важное и значительное место, обучение методам их решения происходит практически в течение всего курса математики. Приемы, используемые для поиска решения рациональных уравнений, зачастую являются общими для уравнений всех типов. Важным является и тот факт, что на основе приемов решения рациональных уравнений в конечном итоге формулируется обобщенный прием по решению любых алгебраических уравнений. Однако процесс формирования приемов учебной деятельности при решении уравнений в большинстве случаев происходит стихийно (используются конкретно-индуктивные методы обучения); используемые системы (тренировочных) задач по этой тематике обладают рядом недостатков, среди которых на первое место
выходит отсутствие их структурной полноты (используются уравнения низкой сложности); не полностью изучены и обобщены рефлексивные учебные задачи (по формированию обобщенных способов действия) и т.д. Вопросы развития мышления учащихся на основе решения математических задач поднимаются в исследованиях Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, Д. Пойа, Г.И. Саранцева, Л.М. Фридмана и других /14, 53, 56, .../. В их исследованиях осуществляется классификация и систематизация задач, обсуждаются проблемы трудности и их сложности, вопросы обучения учащихся поиску решения, методика обучения через задачи. При этом многие авторы оперируют знаниями о внешней структуре задачи. Проблеме, связанной с изучением задачи как сложного объекта, ее внешней и внутренней структуры, посвящены работы В.И. Крупича /60, 61, 76 и др./. Рассмотрение задачи с точки зрения ее внутренней структуры, по мнению В.И. Крупича, позволяет решать вопрос не только о взаимосвязи сложности и трудности задач, но и оценить роль каждой конкретной задачи, представленной в качестве основного элемента учебной задачи, при формирований конкретных систем знаний и действий. Только на основе целостных систем задач, как отмечает В.И. Крупич /[61] с. 47/, строится система частных задач для решения учебной задачи, как обобщенной цели учебной деятельности.
В связи с вышесказанным реализация деятельностного подхода в процессе усвоения учащимися основной школы способов решения рациональных уравнении может быть успешно осуществлена на основе систем уравнений, обладающих свойством структурной полноты, выделение типологий уравнений и способов их решения, составление на основе выделенных типов уравнений предметных задач для решения учебной задачи по формированию обобщенных приемов решения рациональных уравнений и в конечном итоге разработке такой методики
использования этих учебных задач, которая ставила бы на одно из первых мест цель развития творческих способностей учащихся и их теоретического (рефлексивного) мышления.
Поэтому проблема нашего исследования заключается в выявлении возможности формирования обобщенных приемов решения целых и дробно-рациональных уравнений на основе теории развития теоретического мышления учащихся.
Цель исследования состоит в разработке методики формирования обобщенных приемов решения целых и дробно-рациональных уравнений на уроках алгебры основной школы на основе системы учебных задач, обеспечивающих развитие основ теоретического (рефлексивного) мышления у учащихся.
Объектом исследования является учебная деятельность учащихся в процессе решения целых и дробно-рациональных уравнений.
Предмет исследования: содержание, структура и способы решения целых и дробно-рациональных уравнений школьного курса алгебры, а так же методика формирования приемов учебной деятельности учащихся в процессе решения этих уравнений.
Таким образом, можно сформулировать следующую гипотезу исследования: формирование приемов решения целых и дробно-рациональных уравнений на основе теории развития теоретического (рефлексивного) мышления школьников может способствовать повышению осознанности и обобщенности знаний учащихся о способах выполняемой деятельности.
Проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования:
Раскрыть психолого-педагогические основы формирования приемов учебной деятельности учащихся в процессе решения целых и дробно-рациональных уравнений.
Разработать системы целых и дробно-рациональных уравнений, обладающих свойством структурной полноты.
Рассмотреть способы решения целых и дробно-рациональных уравнений, требующие использования специальных приемов.
Выявить систему приемов учебной деятельности учащихся по решению данных классов уравнений и рассмотреть методику их формирования при использовании рефлексивных учебных заданий.
Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.
Решение поставленных задач потребовало привлечение следующих методов исследования: анализа психолого-педагогической, методической и математической литературы, школьных программ, учебников и учебных пособий, используемых в школе сборников задач; изучение опыта работы педагогов по данной проблеме, обобщения собственного опыта работы в школе и педагогическом вузе; анкетирования и тестирования учащихся, проверки качества выполнения контрольных работ по алгебре; проведения педагогического эксперимента по проверке основных положений исследования.
Методологическую основу исследования составили: основные положения теории познания; философская концепция системного подхода; теория развития основ рефлексивного мышления школьников в процессе учебной деятельности; труды психологов, педагогов и специалистов в области теории и методики обучения математике.
Теоретической основой данного исследования явились:
концепция учебной деятельности (В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконин и другие психологи, работающие по выделенной проблеме);
теория обучения решению математических задач (Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Л.М. Фридман).
Научная новизна исследования заключается в разработке методики формирования обобщенных приемов решения целых и дробно-рациональных уравнений на основе теории развития теоретического (рефлексивного) мышления учащихся в процессе обучения алгебре в основной школе.
Практическая зн ачимрсть исследования состоит в том, что теоретические положения и практические рекомендации по формированию приемов учебной деятельности учащихся при использовании разработанной нами серии рефлексивных учебных заданий на основе составленных систем целых и дробно-рациональных уравнений, построенных с учетом структурной полноты, могут быть использованы учителями математики в их практической деятельности для повышения качества и эффективности обучения учащихся решению уравнений в основной школе. Результаты исследования так же могут быть использованы при разработке задачников и учебников по алгебре для средней школы.
Исследования проводились в 1995-2001 годах в СШ №8 г. Грозного и в Чеченском государственном педагогическом институте.
На защиту выносятся:
Методика формирования обобщенных приемов решения целых и дробно-рациональных уравнений, построенная на теории развития основ теоретического (рефлексивного) мышления учащихся.
Целостная система целых и дробно-рациональных уравнений.
3. Методика разработки учебных задач, содействующих развитию
теоретического мышления учащихся 8-9 классов в процессе решения уравнений.
Апробация результатов исследования проводилась в виде докладов и выступлений на научно-педагогических семинарах кафедры методики преподавания математики МПГУ (1996-1998, 2000 г.г.), на заседаниях научно-методического семинара кафедры методики преподавания математики ЧГПИ (1995-2000 г.г.), на научно-практических конференциях по итогам НИР ЧГПИ (1997-1999 г.г.), на межвузовской научной конференции г. Грозного (1996 г.). Результаты исследования отражены в четырех публикациях автора.
Внедрение методических рекомендаций осуществлялось в процессе преподавания курса методики преподавания математики в ЧГПИ. Результаты исследования нашли отражение в работе со студентами ЧГПИ на лекционных и семинарских занятиях, спецкурсах и в период педагогических практик, а также в выступлениях перед учителями математики школ г. Грозного.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Основное содержание диссертации изложено на 140 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 134 наименования.
Во введении сформулированы основные положения диссертационного исследования.
В первой главе рассмотрены психолого-педагогические основы формирования у учащихся приемов учебной деятельности.
Вторая глава раскрывает методические основы обучения учащихся приемам решения целых и дробно-рациональных уравнений, методические рекомендации по формированию обобщенных приемов учебной
деятельности в процессе их решения на основе теории развития рефлексивного мышления учащихся.
В заключении работы представлены основные результаты проведенного теоретического и экспериментального исследования.
В приложении предлагаются анкеты для учителей и учащихся, три варианта контрольных и самостоятельных работ, задачи повышенной сложности по теме «Целые и дробно-рациональные уравнения».
Раскроем более детально содержание проведенного диссертационного исследования.
Учебная деятельность и ее структура
Деятельность в психологической литературе /65, 100 и др./ определяется как специфический вид активности человека, направленный на познание и творческое преобразование окружающего мира, включая самого себя и условия своего существования. Б деятельности человек создает предметы материальной и духовной культуры, преобразует свои способности, сохраняет и совершенствует природу, строит общество, создает то, что без его активности не существовало бы в природе. Поэтому деятельность человека всегда организованна, целенаправленна, активна, нацелена на создание некоторого продукта. В связи с этим деятельность человека имеет следующие основные характеристики: мотив, цель, предмет, структуру и средства.
Мотивом деятельности называется то, что побуждает ее, ради чего она осуществляется. В качестве мотива обычно выступает конкретная потребность.
В качестве цели деятельности выступает ее продукт. Это может быть и реальный предмет, и определенные знания, умения и навыки, и творческий результат (идея, теория, произведения искусств).
Предметом деятельности называется то, с чем она непосредственно связана: предмет познавательной деятельности - разного рода информация, учебной деятельности - знания, умения и навыки, трудовой деятельности - определенный материальный продукт.
Всякая деятельность имеет определенную структуру. В ней психологи выделяют действия и операции как основные составляющие деятельности. Действие - это часть деятельности, которая имеет вполне самостоятельную, осознанную человеком цель. А операцией именуют способ осуществления действия. Характер операции зависит от условий выполнения действия, от имеющихся у человека умений и навыков, от наличных инструментов и средств осуществления действия.
Основными видами деятельности человека являются общение, игра, учение и труд. В школьном возрасте учебная деятельность является основной и ведущей среди других видов деятельности.
Для характеристики деятельности ученика пользуются также понятиями познавательная деятельность, учебная деятельность, учение. В различной психолого-псдагогичсской и методической литературе можно встретить различное толкование лих понятий. Кроме того, используется понятие учебно-познавательной деятельности, как совместной деятельности учителя и ученика. Однако, несмотря на разнообразие толкований деятельности ученика, выделяются два основных понятия-это познавательная деятельность (учение), и учебная деятельность. Это связано с тем, как отмечал С.Л. Рубинштейн, что существуют «два вида учения, точнее два способа научения и два вида деятельности, в результате которых человек овладевает новыми умениями и навыками. Один из них специально направлен на овладение этими знаниями и умениями как на свою прямую цель. Другой приводит к овладению этими знаниями и умениями, осуществляя иные цели. Учение в последнем случае — не самостоятельная деятельность, а процесс, осуществляющийся как компонент и результат деятельности, в которую он включен. Научное исследование, доведенное до завершающих результатов, обычно осуществляется обоими способами, в том или ином отношении» /[97], с. 600/. Познавательная деятельность, прямая цель которой - овладение знаниями, умениями и навыками, является учебной деятельностью. Но понятие познавательной деятельности является более широким по отношению к учебной деятельности, так как познание осуществляется не только в целях учения, но и для открытия нового в разных сферах деятельности человека.
В данной работе учебная деятельность рассматривается как вид познавательной деятельности, прямая цель которой - овладение учащимися знаниями, умениями и навыками, в результате которого происходит изменение в самом ученике, в его развитии.
Формирование приемов учебной леятельности как основа развития рефлексивно-теоретического мышления учащихся
Умственное развитие с точки зрения разрабатываемого в отечественной психологии деятельносгного подхода к изучению психики человека, рассматривается как процесс активного присвоения индивидом исторически выработанных средств и способов мышления. При этом психологи выделяют две основные формы мышления: эмпирическое (рассудочное) и теоретическое (разумное), которые рассматриваются ими как две ступени рационального познания.
Цели и способы осуществления эмпирического и теоретического мышления различны, как различны их функционирования - эмпирических знаний ( представлений ) и теоретических знаний ( понятий ). Приведем перечень их основных различий (77).
1. Эмпирические знания вырабатываются при сравнении предметов и представлений о них, что позволяет выделить в них одинаковые общие свойства. Теоретические знания возникают путем анализа роли и функции некоторого особенного отношения внутри целостной системы, которое вместе с тем служит генетически исходным основанием всех ее проявлений.
2. Сравнение выделяет формально общее свойство некоторой совокупности предметов, знание которого позволяет относить отдельные предметы к определенному их классу, независимо от того, связаны ли эти предметы между собой или нет. Анализ открывает генетически исходное отношение целостной системы как ее всеобщее основание или сущность.
3. Эмпирические знания, в основе которых лежит наблюдение, отражают внешние свойства предметов и опираются на наглядные представления. Теоретические знания , возникающие на основе мысленного преобразования предметов,. Отражают их внутренние отношения и связи и тем самым выходят за пределы чувственных представлений.
4. Формально общее свойство выделяется как рядоположение с особенными и единичными свойствами предметов. В теоретических знаниях фиксируется связь реально существующего отношения целостной системы с ее различными проявлениями , сяязь всеобщего с единичным.
5. Конкретизация .эмпирических знаний состоит в подборе иллюстраций, примеров, входящих в соответствующий класс предметов. Конкретизация теоретических знаний состоит в выведении и объяснении особенных и единичных проявлений целостной системы из всеобщего основания.
6. Необходимым средством фиксации эмпирических знаний являются слова-термины. Теоретические знания, прежде всего, выражаются в способах умственной деятельности, а затем уже в различных знаково-символьных системах, в частности средствами естественного и искусственного языка.
Итак, эмпирическое мышление решает задачи классификации предметов по их внешним признакам и задачи их опознания. При этом область мыслительных процессов ограничивается: 1) сравнением конкретно-чувственных данных с целью выделения формально общих признаков и составления классификации; 2) опознанием конкретно-чувственных объектов с целью включения их в тот или иной класс. Психологический анализ мышления сводится к выделению отдельных мыслительных процессов: сравнения и классификации, абстракции и обобщения, а также к описанию разных видов суждений и умозаключений, заимствованных из формальной логики. На базе эмпирической теории мышления (как наиболее развернутой и детализированной) строились и строятся теории обучения и практика преподавания различных школьных дисциплин.
Теоретическое мышление является более высокой ступенью развития мышления, соответствующей современному уровню научного познания и общественной практики. Поэтому, придается особое значение изучению его закономерностей и решению задач формирования в школьном возрасте. Существенные положения теории формирования у учащихся основ теоретического мышления раскрыты в трудах Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, С.Л. Рубинштейна, Д.Б. Эльконина и их последователей /30, 31, 101 и др./.
Формирование обобщенных приемов решения целых рациональных уравнений
Целым рациональным уравнением называется уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) - многочлен стандартного вида: Р(х) а{Хп+а/х" + ... + +a„.ix+a„, где х - независимая переменная, а а0, аи ... , а„ - постоянные, натуральное число п называется степенью уравнения. Если п=1, то целое рациональное уравнение называют уравнением первой степени относительно переменной х или линейным уравнением; если п=2, то -уравнением второй степени или квадратным уравнением и т.д. В школьном курсе математики, как правило, рассматриваются уравнения, в которых неизвестные принимают числовые значения. Числовое значение неизвестного, удовлетворяющее уравнению с одним неизвестным, называют корнем или решением этого уравнения. Решить уравнение - это значит найти все значения неизвестного, при которых оно обращается в верное равенство, или установить, что таких значений нет. Множество решений данного уравнения зависит от области значений, допускаемых для неизвестного: это может быть как множество целых чисел, так и рациональных, действительных или комплексных чисел. В основной школе рассматривают уравнения на множестве действительных чисел, в классах с углубленным изучением математики, могут рассматриваться уравнения на множестве комплексных чисел.
С зарождением математики велись поиски методов решения уравнений. Для многих уравнений разработаны частные приемы их решения, например, для линейных, квадратных, кубических, биквадратных. (Алгебраическое уравнение степени выше четвертой в общем виде в радикалах неразрешимо). Однако класс целых рациональных уравнений не исчерпывается линейными, квадратными, кубическими и биквадратными уравнениями, рассматриваемыми в школе. Имеется много уравнений, которые сводятся к ним, причем используются приемы, представляющие интерес для учителя в целях развития творческих способностей учащихся. Некоторые из них целесообразно рассмотреть на уроках алгебры, другие - на факультативных занятиях.
В плане проводимого нами исследования для формирования теоретического мышления наибольший интерес представляют наиболее общие методы решения целых рациональных уравнений. Их всего три. Это метод разложения на множители, метод подстановки (когда в качестве новой неизвестной принимается некоторая функция от «старой» неизвестной) и «графический» метод решения (когда решается уравнение при анализе функциональных свойств его левой и правой частей).
Рассмотрим первые два метода более подробно, так как для решения задач исследования необходимо изучить какие классы уравнений входят в систему целых рациональных уравнений, обладающую свойством целостности, какие из них можно использовать в учебных целях для развития творческого мышления учащихся и на какие методы решения следует обращать особое внимание.
1. Способ разложения на множители.
Суть этого метода заключается в следующем: пусть нужно решить уравнение Р(х)=0 и пусть Р(х)= Р[(х)... Рп(х). Тогда уравнение Р(х)=0 можно заменить совокупностью уравнений Р(х)=0, ..., Рп(х) 0, степени которых ниже степени исходного уравнения. Найдя корни уравнений этой совокупности, мы получим множество корней исходного уравнения.
Заметим, что этот метод является общим, то есть используется при решении уравнений различных типов, например, тригонометрических, иррациональных и др.
Существует несколько приемов разложения многочлена на множители, из них в курсе алгебры 7-9 классов обязательно изучаются следующие:
1) вынесение общего множителя за скобки;
2) способ группировки;
3) использование формул сокращенного умножения.
В углубленном курсе алгебры учащиеся знакомятся также со следующими приемами:
1) разложение на множители с помощью теорем Безу (при помощи деления многочлена на многочлен или методом неопределенных коэффициентов);
2) представление одного из слагаемых в виде суммы и, в частности, прибавление и вычитание одного того же выражения с целью последующей группировки слагаемых.
