Введение к работе
Актуальность темы. За последние десятилетия в разделах теоретической физики, связанных с исследованиями нелинейных волновых процессов наблюдается большой интерес к изучению динамики солитонов — уединенных части-цеподобных устойчивых волн, способных распространяться с постоянной скоростью и упруго взаимодействовать с себе подобными волнами. Специальные решения, способные описывать поведение подобных волн, известны для ряда нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в том числе уравнения синус-Гордона (УСГ), которое часто используется при построении моделей в самых разнообразных областях естествознания [1-3]: геологии, молекулярной биологии, физике, космологии и т. д. В теоретической физике подобное уравнение применяется, например, для описания нелинейной динамики доменных границ в ферромагнетиках (ФМ) и слабых ферромагнетиках (СФМ), и протекания сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах.
Однако создание различных теоретических моделей, наиболее адекватно описывающих физические системы, приводит к необходимости модифицировать УСГ, вводя, например, переменные коэффициенты, внешнюю силу и затухание. И поскольку, в общем случае, не удается найти точные решения модифицированного уравнения синус-Гордона (МУСГ), для его исследования активно разрабатывается и применяется ряд аналитических методов (например, теория возмущений или метод коллективных координат) [2, 4-7]. С помощью данных методов было исследовано достаточно много различных задач, среди которых временная эволюция кинков и солитонов под действием внешней силы различного вида (в том числе, и силы, зависящей от времени и пространственных переменных) [4]. В последнее время подробно изучаются вопросы рассеяния кинков (или топологических солитонов) на областях пространственной модуляции периодического потенциала (или примеси) и возбуждение локализованных нелинейных волн в области таких примесей. Важность этой задачи связана с тем, что, как правило, наличие примеси в модели учитывает наличие дефектов в реальных физических материалах [1, 2]. Было показано также, что влияние примесей на динамику рассеяния солитонов может приводить к качественно новым эффектам [2].
Тем не менее, во многих случаях область применения подобных аналитических методов в теоретической физике существенно ограничена необходимостью наличия малого параметра и они позволяют получить лишь качественную картину эволюции системы. Например, пространственная модуляция периодического потенциала (ПМПП) часто моделируется в виде (^-функции или в другом специальном виде [2, 8]. В более общем случае возникает необходимость применения методов численного моделирования, которые не только позволяют открывать новые явления, но и значительно продвигают исследователей к построению полной картины уже известных эффектов. Так, например, интересный эффект резонансного обмена энергией между солитонами МУСГ был открыт численно [8], а аналитическое объяснение ему удалось дать, используя метод коллективных переменных.
Надо отметить, что в настоящее время остаются малоисследованными достаточно многие подобные задачи. Например, слабо изучено влияние вида функций, моделирующих пространственную модуляцию периодического потенциа-
ла, на динамику солитонов. Коллективное влияние ПМПП изучалось лишь в частных случаях [2, 9], и практически не рассматривался вопрос их влияния на динамику рассеяния кинка и характер эволюции связанных локализованных нелинейных волн. Поскольку многие работы посвящены исследованиям в рамках бездиссипативных моделей, возникает еще много интересных (с физической точки зрения) вопросов, сохраняются ли открытые эффекты и как изменится поведение системы, при учете затухания и внешней силы. Рассмотрение таких задач могло бы существенно помочь при планировании и проведении экспериментов в реальных физических системах по наблюдению теоретически открытых эффектов (например, резонансного отражения кинков от притягивающих примесей).
Целью данной работы является теоретическое исследование динамики солитонов в одномерной модели синус-Гордона с притягивающими примесями, с учетом генерации локализованных нелинейных волн, описывающей нелинейную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами. Основные задачи, решение которых необходимо для достижения поставленной цели:
-
Изучение резонансной динамики кинков модифицированного уравнения синус-Гордона, при наличии одной и двух локализованных пространственных модуляций периодического потенциала, с учетом возможности генерации высокоамплитудных нелинейных локализованных волн.
-
Исследование связанных колебаний двух высокоамплитудных нелинейных волн, локализованных на примесях.
-
Изучение влияния затухания и внешней силы на резонансную динамику кинков и высокоамплитудных локализованных нелинейных волн.
-
Разработка программного комплекса для вычисления динамических характеристик солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона, инструментов анализа и средств визуализации, необходимых для физической интерпретации численно полученных данных.
Методы исследования. При решении, поставленных в данной работе задач, использовалось математическое моделирование, на основе численного решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных. При наличии малого параметра использовался аналитический подход. Путем линеаризации, исходная задача сводилась к обыкновенным дифференциальным уравнениям, решаемым как аналитически, так и численно. Для получения уравнений, описывающих динамику нелинейных волн, был использован метод коллективных координат, который активно применялся для изучения эволюции динамики солитонов. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Научная новизна:
1. Исследована резонансная динамика рассеяния кинков как на точечной, так и на протяженной, примесях различных видов, размеры которых качественно соответствуют размерам (ширинам) солитонов.
-
На примере двойной примеси показано, что коллективные эффекты влияния таких примесей на динамику кинков во многом связаны с резонансным обменом энергией между солитонами. Впервые изучена временная эволюция, возбуждаемых в результате такого рассеяния локализованных нелинейных волн, и получена система уравнений, аналогичная модели упруго связанных гармонических осцилляторов, приближенно описывающая колебания данных волн.
-
Впервые выполнено исследование влияния диссипации и внешней силы на резонансное рассеяние кинков на одиночной и двойной примеси и на эволюцию, получаемых в результате такого рассеяния локализованных нелинейных волн. В частности, показано, что наличие затухания в системе может приводить к значительному ослаблению (или полному исчезновению) эффектов резонансного рассеяния кинка.
Теоретическая и практическая значимость. Проведенное исследование расширяет знания об общей картине динамики солитонов уравнения синус-Гордона, при наличии ПМПП, которая описывает одномерную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами и протекание сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах сверхпроводников. Результаты исследования динамики кинков при наличии как точечной, так и протяженной примеси, позволяют определить условия наиболее эффективного прохождения кинка через дефектные области материала. Рассмотренная задача с двойной примесью демонстрирует качественно новые эффекты коллективного влияния примесей, вызванные уже известным ранее резонансным обменом энергией между солитонами. Найденный характер влияния затухания и внешней силы на изученные эффекты, делает рассматриваемую модель более соответствующей реальным физическим системам, что позволяет провести сравнение некоторых результатов с экспериментальными исследованиями, для описания которых применима данная модель. Разработанный программный комплекс дает возможность моделирования разнообразных физических задач, описываемых УСГ, подробного анализа и визуализации получаемых результатов в виде векторного поля. Он также может быть задействован в учебном процессе при выполнении лабораторных работ.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Результаты исследования инерционной резонансной динамики кинков и локализованных нелинейных волн в рамках модели синус-Гордона с одной или двумя притягивающими примесями точечного и протяженного вида. Механизм использования примесей для возбуждения мультисолитонов УСГ определенного вида. Диаграммы возможных сценариев динамики кинка, в зависимости от начальной скорости и расстояния между двумя примесями. Зависимости частот и амплитуд внутренних мод колебаний кинка и примесных волн от параметров, описывающих свойства примеси. Уравнения, описывающие связанную динамику кинка и примесных волн.
-
Результаты исследования влияния затухания и внешней силы на резонансную динамику кинков и локализованных нелинейных волн в рамках модели синус-Гордона с одной или двумя притягивающими примесями различного
вида. Уравнения, описывающие связанную и резонансную динамику кин-ка и примесных волн, учитывающие наличие затухания и внешней силы. Диаграммы возможных сценариев динамики кинка, движущегося под действием внешней силы, в зависимости от начальной стационарной скорости и расстояния между двумя примесями.
3. Разработанный программный комплекс для вычисления динамических характеристик солитонов модифицированного уравнения синус-Гордона, описывающего одномерную динамику доменных границ в ФМ и СФМ с дефектами и протекание сверхпроводящего тока в джозефсоновских контактах сверхпроводников.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, а также путем сравнения с результатами, полученными другими авторами. Результаты численного моделирования сравнивались с известными предельными случаями, рассчитанными с помощью аналитических методов.
Апробация работы. Основные результаты работы представлялись и докладывались на: Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых — ВНКСФ (Уфа 2008, Кемерово-Томск 2009, Волгоград 2010, Екатеринбург 2011, Красноярск 2012, Архангельск 2013), IV конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» — НННФ-4 (Саратов, 2009), Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа 2009, 2010, 2011, 2012, 2013), Открытой школе-конференции стран СНГ «Ультрамелкозернистые и наноструктурные материалы» (Уфа, 2010, 2012), Moscow International Symposium on Magnetism — MISM (Москва, 2011), Международной конференции «Functional Materials» — ICFM (Украина, Крым, 2011, 2013), Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-XXXIV» (Новоуральск, 2012), XXII Международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» — НМММ (Астрахань, 2012), Joint European Magnetic Symposia — JEMS (Италия, Парма, 2012), Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (о. Банное, 2013), Международном симпозиуме «Spin Waves» (Санкт-Петербург, 2013), Международной конференции «Современный групповой анализ» — MOGRAN-16 (Уфа, 2013).
Личный вклад. Автор принимал участие в постановке задач, разработал и оптимизировал комплекс проблемно-ориентированных программ для численного моделирования, анализа и визуализации полученных результатов. Автор выполнил все численные эксперименты. Часть аналитических результатов получена совместно с Е. Г. Екомасовым и Р. В. Кудрявцевым. Разработка некоторых программных модулей велась совместно с Р. Р. Муртазиным.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 29 работах, в том числе, 8 изданы в журналах, рекомендованных ВАК для соискателей ученой степени кандидата наук, 16 — в материалах конференций и других изданиях, 5 — свидетельств о государственной регистрации программ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 178 страниц текста, включающего 85 рисунков, 2 таблицы и 193 библиографических ссылки.
