Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аксиально-симметричные конфигурации полей в калибровочной модели Скирма 14
1.1. Калибровочная SU(2) модель Скирма 14
1.2. Метод решения задачи 16
1.3. Оценка топологического заряда 18
Глава 2. Структура гамильтониана аксиально-симметричной калибровочной модели Скирма 22
Глава 3. Струнное приближение и аксиально-симметричные решения 35
Выводы 48
Список источников 49
- Калибровочная SU(2) модель Скирма
- Оценка топологического заряда
- Структура гамильтониана аксиально-симметричной калибровочной модели Скирма
- Струнное приближение и аксиально-симметричные решения
Введение к работе
В современной теоретической физике, при попытках построения последовательной полевой теории элементарных частиц, выясняется, что проистекают они главным образом из-за неумения сохранить в релятивистской квантовой теории образ протяжённой частицы. Разделяя мнение некоторых учёных о том, что последовательная квантовая теория должна опираться на хорошую классическую теорию, мы обращаемся к описанию протяженных частиц в рамках классической нелинейной теории поля.
На возможности нелинейной теории поля в описании протяжённых частиц указывали В. Гейзенберг, Д. Д. Иваненко [1], Я. П. Терлецкий [2] и другие авторы. Особенно отметим направление, восходящее к Г. Ми [3] и А. Эйнштейну [4, 5], в основе которого лежит представление о частицах как сгустках некоторого материального поля, полевых образованиях с повышенной по сравнению с другими частями пространства концентрацией энергии.
Представления о частице как о локализованном в малой области пространства регулярном физическом поле с конечной энергией и другими характеристиками встречались в литературе под разными именами: части-цеподобные решения (Particle-like Solutions) у Н. Розена, Р. Финкелыптейна и Я. П. Терлецкого; «Горбы» (le champ a bosse) у Л. деБройля; «кинки» (kinks) у Р. Финкелыптейна, «комки» (lumps) у С. Коулмена и др. Концеп-
ция многомерного солитона с нетривиальной топологической структурой возникла в конце 30-х годов XX века [6-8].
С этой точки зрения, частицы должны описываться регулярными решениями, т.е. не имеющими особенностей локализованными решениями некоторых нелинейных уравнений поля, исчезающими на пространственной бесконечности, которым приписываются конечные энергия, импульс, спин и другие динамические характеристики. Такие решения называются солитонами. Солитоны характеризуются следующими свойствами:
а) это локализованные в конечной области возмущения нелинейной среды,
которые
б) распространяются без деформации, переносят энергию, импульс, мо
мент импульса,
в) сохраняют свою форму и структуру при взаимодействии с другими
подобными образованиями,
г) могут образовывать связанные состояния.
Среди множества решений нелинейных уравнений выделяются классы солитонных решений, которые обладают свойством локализованности и устойчивости, т.е. солитоны сохраняют свою форму в результате взаимодействия. Свойство локализованности присуще не только солитонам, но и более широким классам решений нелинейных уравнений, которые известны как уединённые волны [9]: «Все солитоны являются уединёнными волнами, но обратное неверно, т. к. уединённые волны могут быть неустойчивыми». В общем случае решения нелинейных уравнений, моделирующих некоторое
физическое явление, необязательно должны быть локализованными. Это связано с тем, что в системе могут существовать различные локальные области равновесных (или вакуумных) состояний, иначе говоря, равновесное состояние может быть вырожденным [10]. Более строгое определение можно найти в книгах [11-14].
Солитоноподобные решения нелинейных уравнений находят широкое применение в различных областях физики. Они обнаруживаются как при исследовании макроскопических явлений в гидродинамике, физике плазмы, нелинейной оптике, теории твердого тела, механике сплошных сред и теории гравитации, так и в микроскопической области: в биофизике, в биологии и.т.д. Например, киральные солитоны успешно применяются в ядерной физике для моделирования структуры протяжённых частиц [15,16].
Д. Финкелыптейн, Ч. Мизнер [17] и независимо от них Т. Скирм [6-8] в конце 50-х годов XX века впервые ввели в физику топологическую классификацию решений уравнений поля и новый тип законов сохранения, получивших название топологических.
Топологические солитоны обладают свойствами локализованности и устойчивости. В теории поля распространено представление об элементарных частицах как локализованных и устойчивых возбуждениях с конечной энергией. Исследованию устойчивости солитонов по отношению к начальным возмущениям были посвящены основополагающие работы Т. Б. Бенджамина [18], Дж. Шатаха [19-21], В.Е. Захарова [22,23], Е.А. Кузнецова [24,25], В. Г. Маханькова [26] и др. [27-29]. Это позволяет найти соответствие между солитонными решениями и состояниями, описывающими протяжённые частицы в квантовой теории.
Английский физик Тони Хилтон Роял Скирм оставил чрезвычайно яркий след в современной физике ядра и элементарных частиц. В конце 50-х годов XX века Скирмом был разработан оригинальный подход к физике частиц, опирающийся на глубокие топологические идеи. Первую попытку построения модели ядерной материи Скирм предпринял в начале 50-х годов, поставив перед собой задачу дать хотя бы качественное обьяснение известных к тому времени экспериментальных фактов о строении ядра.
Первоначально Скирм хотел получить ответ на вопрос: «Почему экспериментальные измерения радиуса ядра различными методами приводят к существенно разным результатам»? В экспериментах по ораспаду и по рассеянию тяжёлых ядер было установлено, что радиус ядра может быть выражен формулой R = 1.5Лз х Ю-13 см, где А — число нуклонов в ядре. В то же время эксперименты по рассеянию быстрых электронов на ядрах приводили к существенно меньшему значению для радиусов ядер: R! = 1.2Лз х Ю-13 см. Скирм предложил рассматривать ядро как некоторую несжимаемую электрически нейтральную пионную жидкость, заполняющую шарообразную область радиуса R. В каждой точке пространства эту жидкость можно характеризовать некоторой скалярной плотностью и некоторым вектором в пространстве изоспина. В жидкость погружены нук-лонные источники, сильно взаимодействующие с пионами и занимающие область меньшего радиуса В!'.
Поэтому в экспериментах первого типа, где существенным является взаимодействие с пионами, получается значение R, а в экспериментах с электрически заряженными частицами, где фактически проявляется распределение электрического заряда в ядре — R', т. е. среднеквадратичный
зарядовый радиус.
В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом Q, интерпретируемым как барионное число.
Топологические солитоны — это регулярные решения полевых уравнений, наделенные топологическим зарядом, сохраняющимся тождественно, т.е. независимо от уравнений движения, не меняющимся при непрерывной деформации поля и принимающим целочисленные значения. Это топологические инварианты типа степени отображения, инварианта Хопфа, индекса Чженя-Понтрягина и т. д. Солитонные решения привлекательные для построения моделей физики элементарных частиц, и в частности, могут рассматриваться как полезный инструмент на пути реализации идей Г. Ми, А. Эйнштейна, Л. деБройля и других об описании элементарных частиц как некоторых сгустков нелинейных полей.
Интерес к модели Скирма значительно возрос после появления работ Э. Виттена [30,31], в которых было установлено, что квантовая хромодина-мика в пределе большого числа цветов оказывается эквивалентной эффективной мезонной теории, которая в низкоэнергетическом пределе аппроксимируется нелинейной сигма-моделью со спонтанно нарушенной киральной симметрией. Именно к таким моделям относится модель Скирма.
В простейшем SI/(2) варианте модели Скирма, нуклон представляет собой сгусток пионной жидкости с определённой структурой (ежовый ан-зац) и единичным топологическим зарядом типа степени отображения.
7Г-мезонная шуба определяет структуру нуклона тоько на больших расстояниях (юкавская асимптотика) порядка 1 ферми, а в области кора требуется учесть вклад более тяжёлых мезонов. Эту задачу решает калибровочная модель Скирма [32], в которой роль калибровочного поля играет векторное поле /9-МЄ30Н0В.
Основным объектом в модели Скирма является главное киральное поле U, принимающее значение в группе SU(2) и параметризуемое при помощи изовекторного поля (ра, а = 1,2,3, следующим образом:
U = еіп<тв,
в = 9(х, t) — киральный угол,
па — единичный вектор в изопространстве,
аа — матрицы Паули,
<р — изовектор, который описывает пионное поле,
Скирмионы с топологическими зарядом Q >> 1 находят широкое применение в астрофизике, где, безусловно необходим учёт гравитации.
Существенным препятствием для дальнейшего исследования возможностей киральной модели Скирма и для построения на её основе последовательной квантовой схемы является невозможность получения явных
аналитических решений уравнений модели, хотя их существование было доказано [33-36].
Киральная модель Скирма допускает существование регулярных топологических решений со структурами сферически-симметричного и аксиально-симметричного типов. Так, установлено [6, 33, 36-41], что при |Q| = 1 абсолютный минимум функционала энергии достигается на ежовом анзаце, а при \Q\ > 1 на аксиально-симметричных подстановках (тороидальная структура). Тороидальные структуры возникали в литературе при исследовании различных задач [42].
В диссертации изучается калибровочная модель Скирма, учитывающая вклад не только 7Г-пионов, но и векторных р-мезонов
Структура диссертации предполагается следующей.
Во Введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации.
Калибровочная SU(2) модель Скирма
В рамках модели Скирма удается сравнительно простыми средствами удовлетворительно описать взаимодействие нуклонов, основные статические свойства барионов. Будучи относительно простой, эта модель в целом верно схватывает основные симметрийные и структурные свойства барионов. Согласно гипотезе Скирма, барион трактуется как киральный солитон, возникающий в результате коллективного возбуждения пионных полей, наделённый нетривиальным топологическим зарядом Q, интерпретируемым как барионное число.
Топологические солитоны — это регулярные решения полевых уравнений, наделенные топологическим зарядом, сохраняющимся тождественно, т.е. независимо от уравнений движения, не меняющимся при непрерывной деформации поля и принимающим целочисленные значения. Это топологические инварианты типа степени отображения, инварианта Хопфа, индекса Чженя-Понтрягина и т. д. Солитонные решения привлекательные для построения моделей физики элементарных частиц, и в частности, могут рассматриваться как полезный инструмент на пути реализации идей Г. Ми, А. Эйнштейна, Л. деБройля и других об описании элементарных частиц как некоторых сгустков нелинейных полей.
Интерес к модели Скирма значительно возрос после появления работ Э. Виттена [30,31], в которых было установлено, что квантовая хромодина-мика в пределе большого числа цветов оказывается эквивалентной эффективной мезонной теории, которая в низкоэнергетическом пределе аппроксимируется нелинейной сигма-моделью со спонтанно нарушенной киральной симметрией. Именно к таким моделям относится модель Скирма. В простейшем SI/(2) варианте модели Скирма, нуклон представляет собой сгусток пионной жидкости с определённой структурой (ежовый ан-зац) и единичным топологическим зарядом типа степени отображения.
7Г-мезонная шуба определяет структуру нуклона тоько на больших расстояниях (юкавская асимптотика) порядка 1 ферми, а в области кора требуется учесть вклад более тяжёлых мезонов. Эту задачу решает калибровочная модель Скирма [32], в которой роль калибровочного поля играет векторное поле /9-МЄ30Н0В. Основным объектом в модели Скирма является главное киральное поле U, принимающее значение в группе SU(2) и параметризуемое при помощи изовекторного поля (ра, а = 1,2,3, следующим образом: Скирмионы с топологическими зарядом Q 1 находят широкое применение в астрофизике, где, безусловно необходим учёт гравитации. Существенным препятствием для дальнейшего исследования возможностей киральной модели Скирма и для построения на её основе последовательной квантовой схемы является невозможность получения явных аналитических решений уравнений модели, хотя их существование было доказано [33-36]. Киральная модель Скирма допускает существование регулярных топологических решений со структурами сферически-симметричного и аксиально-симметричного типов. Так, установлено [6, 33, 36-41], что при Q = 1 абсолютный минимум функционала энергии достигается на ежовом анзаце, а при \Q\ 1 на аксиально-симметричных подстановках (тороидальная структура). Тороидальные структуры возникали в литературе при исследовании различных задач [42]. В диссертации изучается калибровочная модель Скирма, учитывающая вклад не только 7Г-пионов, но и векторных р-мезонов Структура диссертации предполагается следующей. Во Введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации. Глава первая «Аксиально-симметричные конфигурации в калибровочной модели Скирма» состоит из трёх параграфов и посвящена описанию калибровочной киральной модели Скирма, поиску аксиально-симметричных конфигураций и изложению математических методов, применяемых для решения поставленных в данной диссертации задач. Модель Скирма [6] представляет собой эффективную мезонную теорию, которая описывает барионы как солитоны, наделенные нетривиальным топологическим зарядом Q, интерпретируемым как барионное число. В SU(2) варианте модели нуклон представляет собой сгусток пионной жидкости с определённой структурой (ежовый анзац) и единичным топологическим зарядом типа степени отображения. Основным объектом в модели Скирма является киральное поле U = ехр(та 70), принимающее значения в группе 517(2), где 9 — B{x,t) — киральный угол, п — единичный вектор в изопространстве, аа — матрицы Паули.
Оценка топологического заряда
Киральная модель Скирма допускает существование регулярных топологических решений со структурами сферически-симметричного и аксиально-симметричного типов. Так, установлено [6, 33, 36-41], что при Q = 1 абсолютный минимум функционала энергии достигается на ежовом анзаце, а при \Q\ 1 на аксиально-симметричных подстановках (тороидальная структура). Тороидальные структуры возникали в литературе при исследовании различных задач [42].
В диссертации изучается калибровочная модель Скирма, учитывающая вклад не только 7Г-пионов, но и векторных р-мезонов Структура диссертации предполагается следующей. Во Введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации. Глава первая «Аксиально-симметричные конфигурации в калибровочной модели Скирма» состоит из трёх параграфов и посвящена описанию калибровочной киральной модели Скирма, поиску аксиально-симметричных конфигураций и изложению математических методов, применяемых для решения поставленных в данной диссертации задач. Модель Скирма [6] представляет собой эффективную мезонную теорию, которая описывает барионы как солитоны, наделенные нетривиальным топологическим зарядом Q, интерпретируемым как барионное число. В SU(2) варианте модели нуклон представляет собой сгусток пионной жидкости с определённой структурой (ежовый анзац) и единичным топологическим зарядом типа степени отображения. Основным объектом в модели Скирма является киральное поле U = ехр(та 70), принимающее значения в группе 517(2), где 9 — B{x,t) — киральный угол, п — единичный вектор в изопространстве, аа — матрицы Паули. Скирм предложил следующий лагранжиан где 1ц = и+д и — левый киральный ток, Л и є — постоянные параметры модели. Первый член соответствует простейшей сигма-модели, второй член имеет вихревую природу, заменяя нуклонный источник. Топологический заряд также строится из киральных токов: При калибровочном обобщении теории векторное поле Аа входит в удлиненную производную: где Ац = frMJ, та — матрицы Паули. При этом киральные токи также меняются после учёта структуры удлинённой ковариантной производной, а лагранжева плотность модели обобщается на следующую: где третий член есть лагранжиан Янга-Миллса для векторного поля, в котором е — константа связи, четвёртый член отвечает ненулевой массе р-мезона, пятый член отвечает ненулевой массе 7Г-мезона.
В калибровочной модели Скирма роль калибровочного поля играет векторное поле /9-мезонов, Ар, а = 1,2,3; р, = 0,1,2,3.
В работе изучается структура аксиально-симметричных полей в модели Скирма с калибровочным полем. В соответствующем инвариантном классе строятся гамильтониан и топологический заряд. Указывается дискретная внутренняя группа модели, позволяющая существенно упростить функционал энергии.
Во второй главе «Структура гамильтониана аксиально-симметричной калибровочной модели Скирма» в соответствующем инвариантном классе с учётом дискретной группы симметрии получается следующий гамильтониан:
Структура гамильтониана аксиально-симметричной калибровочной модели Скирма
В диссертации изучается калибровочная модель Скирма, учитывающая вклад не только 7Г-пионов, но и векторных р-мезонов Структура диссертации предполагается следующей.
Во Введении обосновывается важность и актуальность темы и предмета исследования, дается краткий обзор истории вопроса, основных методов исследования и содержания диссертации.
Глава первая «Аксиально-симметричные конфигурации в калибровочной модели Скирма» состоит из трёх параграфов и посвящена описанию калибровочной киральной модели Скирма, поиску аксиально-симметричных конфигураций и изложению математических методов, применяемых для решения поставленных в данной диссертации задач. Модель Скирма [6] представляет собой эффективную мезонную теорию, которая описывает барионы как солитоны, наделенные нетривиальным топологическим зарядом Q, интерпретируемым как барионное число. В SU(2) варианте модели нуклон представляет собой сгусток пионной жидкости с определённой структурой (ежовый анзац) и единичным топологическим зарядом типа степени отображения. Основным объектом в модели Скирма является киральное поле U = ехр(та 70), принимающее значения в группе 517(2), где 9 — B{x,t) — киральный угол, п — единичный вектор в изопространстве, аа — матрицы Паули.
Скирм предложил следующий лагранжиан где 1ц = и+д и — левый киральный ток, Л и є — постоянные параметры модели. Первый член соответствует простейшей сигма-модели, второй член имеет вихревую природу, заменяя нуклонный источник. Топологический заряд также строится из киральных токов: При калибровочном обобщении теории векторное поле Аа входит в удлиненную производную: где Ац = frMJ, та — матрицы Паули. При этом киральные токи также меняются после учёта структуры удлинённой ковариантной производной, а лагранжева плотность модели обобщается на следующую: где третий член есть лагранжиан Янга-Миллса для векторного поля, в котором е — константа связи, четвёртый член отвечает ненулевой массе р-мезона, пятый член отвечает ненулевой массе 7Г-мезона. В калибровочной модели Скирма роль калибровочного поля играет векторное поле /9-мезонов, Ар, а = 1,2,3; р, = 0,1,2,3. В работе изучается структура аксиально-симметричных полей в модели Скирма с калибровочным полем. В соответствующем инвариантном классе строятся гамильтониан и топологический заряд. Указывается дискретная внутренняя группа модели, позволяющая существенно упростить функционал энергии. Во второй главе «Структура гамильтониана аксиально-симметричной калибровочной модели Скирма» в соответствующем инвариантном классе с учётом дискретной группы симметрии получается следующий гамильтониан: В третьей главе «Струнное приближение и аксиально-симметричные решения» делается предположение о существовании топологических соли-тонов, имеющих тороидальную структуру. Если принять, что радиус замыкания тороида велик по сравнению с поперечным размером, то для естественных тороидальных координат, связанных с цилиндрическими координатами соотношениями вида р = a + r cosfl, z = rsm,d, (0.6) можно считать, что а г. В результате в теории появляется дополнительная симметрия, которая позволяет упростить гамильтониан модели. В рамках калибровочной 7(2)-модели Скирма рассматриваются замкнутые киральные струны (вихри), радиус замыкания которых а считается большим по сравнению с характерным поперечным размером вихря, определяемым параметром А модели. В этом приближении удаётся найти киральное и калибровочное поля внутри вихря, оценить его радиус и энергию как функции от топологического заряда Q.
Струнное приближение и аксиально-симметричные решения
Для анализа структуры тороидальных конфигураций сначала необходимо найти величину топологического заряда.
Топологический заряд Q вычисляется как степень отображения 53 — Исходя из симметрии задачи, сделаем предположение о существовании топологических солитонов, имеющих тороидальную структуру. Если принять, что радиус замыкания тороида велик по сравнению с поперечным размером, то для естественных тороидальных координат, связанных с цилиндрическими координатами соотношением вида /? = а 4-г cos #, z = rsinO, (3.2) можно считать, что а г. При этом 9 Є [—7Г, 7г], а внутри вихря г С а и ip « 7г/2. Таким образом, внутри вихря можно положить cos С sin-0, т.е. для величины R, использованной во второй главе (см. (2.56)), получаем приближение: R2& (2s--) sinV- (3.3) В результате мы видим, что энергия (гамильтониан) содержит только чётные по w члены, что позволяет положить w = 0 в качестве частного простейшего решения задачи минимизации энергии. В итоге, при а — оо главное слагаемое в плотности энергии, содержащее переменную s, сводится к выражению: 5 2+іНЬч (3-4) Минимизируя (3.4) по s, находим калибровочное поле внутри вихря: sin2 + -sin2V . (3.5) аЛ2 Мс2 А2 Таким образом, приходим к выводу о том, что главное слагаемое, опреде ляющее энергию Е, имеет вид: а Е па 2na I rdr X о 7Г х [ йв (- [(VV )2 + cos2 V(V / )2] + є2 cos2 ф[Уі Ч р}2) + 2A2 + - (3-6) где использованы обозначения: г6 1 7r (Vfl2 = + . (v )2 = + , [ViiVip]2 = - (фг Ре - e Pr)2 37 Видно, что функционал (3.6) инвариантен относительно группы преобразований: ір- р + 5і, в 6 + 62. (3.7) Для нахождения инвариантного поля, порождённого группой преобразований (3.7), необходимо решать уравнение вида: где функция и совпадает либо с ip, либо с ф. Группа преобразований (3.7) отвечает инвариантному полю ср = пв и ф = ф(г), (3.9) удовлетворяющему уравнению (3.8), где п — некоторое целое число. Подставляя инвариантное поле (3.9) в (3.1), находим топологический заряд для замкнутой струны: Q = пк, (3.10) где учтено граничное условие # ) = , #0 = 0, (3.11) Подставляя (3.9) в функционал энергии (3.6), приходим к новому выражению для энергии киральной струны в предположении, что cos С 1: а Е = 47г2о / rdr Путем варьирования по ф функционала (3.12) получим уравнение для ки-рального угла ф{г): Это уравнение удобно решать, полагая г = аехр(—г): d2ib —-т + п2 sin ф cos = 0. (3.13) ат1 Уравнение (3.13) допускает очевидный интеграл движения: # \ , - 2 -„2 + п1 sin"1ф — с, \dr, где с — постоянная интегрирования. При этом из граничного условия (3.11) выводим значение постоянной интегрирования с = п2, откуда следует более простое уравнение # . — = п cos ф, ат с решением ф = arcsin[th(nr)]. (3-14) С учетом (3.14), (3.5) и (3.6) оценивается энергия вихря Е как функция от радиуса замыкания а: ) Минимизируя энергию (3.15) по а и считая, что п 1, находим: а2 J n3/2. (3.16) Энергия (3.15) с учетом (3.16) оказывается равной МЧгГ""4- (ЗЛ7) Проанализируем поведение полей в области больших расстояний г от центра. С учётом граничных условий, определяемых условием конечности
