Содержание к диссертации
Введение
1 Решения уравнений бикватернионной алгебродинамики в пространстве Минковского 24
1.1 Алгебродинамический подход к теории поля 24
1.2 Уравнения бикватернионной алгебродинамики и сингулярные решения однородных уравнений Максвелла 28
1.3 Электромагнитные поля, инвариантные при деформации метрики 45
2 Бессдвиговые конгруэнции и ассоциированные физико геометрические структуры 51
2.1 Свойства бессдвиговых конгруэнции в римановом пространстве 52
2.2 Калибровочное поле, ассоциированное с БСК, и эффективная геометрия Вейля-Картана 57
2.3 Инвариантные дифференциальные операторы, ассоциированные с БСК 69
3 Локальные алгебры и условия дифференцируемости как уравнения поля 74
3.1 Условия дифференцируемости для алгебры в касательном расслоении 75
3.2 Уравнения алгебродинамики в пространстве со связностью Вайценбёка 80
3.3 Алгебра Гржина как локальная алгебра на римановом многообразии 83
Заключение 87
Список литературы 89
- Уравнения бикватернионной алгебродинамики и сингулярные решения однородных уравнений Максвелла
- Калибровочное поле, ассоциированное с БСК, и эффективная геометрия Вейля-Картана
- Инвариантные дифференциальные операторы, ассоциированные с БСК
- Уравнения алгебродинамики в пространстве со связностью Вайценбёка
Введение к работе
Актуальность темы.
Бессдвиговые изотропные конгруэнции имеют большое значение во многих разделах теоретической и математической физики Условие бессдвиговости конгруэнции лучей существенно при поиске точных решений уравнений Эйнштейна в общей теории относительности В первую очередь это связано со знаменитой теоремой Гольдберга- Сакса, согласно которой для всех алгебраически специальных решений вакуумных уравнений Эйнштейна кратное главное изотропное направление (ГИН) тензора Вейля касательно к лучам бессдвиговой конгруэнции Кроме того, существование БСК в исследуемой метрике часто приводит к значительному упрощению вычислений в формализме Ньюмена-Пенроуза при поиске решений уравнений общей теории относительности (ОТО)
Отметим также важное значение уравнений БСК для моделей комплекс ной гравитации В этом случае их решения определяют изотропные 2-поверхности ("изотропные струны"), существование которых приводит к редукции вакуумных уравнений Эйнштейна к единственному дифференциальному уравнению
Бессдвиговые конгруэнции играют также важную роль при построении решений уравнений безмассовых полей как в плоском, так и в искривленном пространстве В частности, они позволяют строить решения уравнений Максвелла на фоне неплоской метрики Известен классический результат Робинсона согласно которому каждая аналитическая БСК с определенной параметризацией определяет некоторое изотропное решение однородных уравнений Максвелла Бессдвиговые лучи используются также для построения потенциала Герца максвелловского поля В частности, в пространстве с БСК, являющейся кратным ГИН тензора Вейля, для каждого решения однородных уравнений Максвелла существует скалярный потенциал Дебая Кроме того, исследовались конструкции потенциала Дебая, исходя из тензоров Киллинга-Яно, для построения которых также использовались БСК
В работах Линда и Ньюмена однородные уравнения Максвелла были проинтегрированы в пространстве Минковского для случая, когда вектор ГИН тензора напряженности электромагнитного поля является касательным к лучу БСК Эти поля можно рассматривать как "комплексифицированные" поля Лиенара-Вихерта, создаваемые "виртуальным" точечным источником, движущемся по комплексной мировой линии Заметим, чю в частном случае "покоящегося" источника мы получаем электромагнитное ноле решения Керра-Ньюмена в ОТО В случае БСК без вращения решения Линда и Ньюмена сводятся к известным потенциалам точечного источника с действительной мировой линией
В (конформно) плоских пространствах бессдвиговые конгруэнции тесно (вязаны с теорией твисторов Пенроуза В пространстве Минковского каждая БСК может бьть по-
1 РОС НАЦИОНАЛЬНА* БИБЛИОТЕКА
лучена из некоторой голоморфной функции от компонент твистора, соответствующего лучу конгруэнции (теорема Керра). Кроме того, посредством преобразования Радона-Пенроуза для каждой БСК может быть построено соответствующее решение уравнений безмассового поля (в том числе свободного максвелловского) для которого данная БСК будет являться ГИН.
В последние годы бессдвиговые конгруэнции привлекли к себе значительное внимание в связи с исследованием CR-многообразий. Это связано с тем, что каждое 4-мерное пространство-время, содержащее БСК, является лифтом некоторого 3-мерного CR - пространства.
Таким образом, изучение свойств бессдвиговых конгруэнции позволяет получать информацию как о самом пространстве, так и о различных физических полях, которые могут существовать на его фоне
С другой стороны, бессдвиговые конгруэнции оказались тесно связанными с проблемой построения некоммутативного анализа для алгебр типа кватернионов и с общей программой алгебродинамики, предложенной в работах Карсандрова Изначально нелинейные уравнения алгебродинамики в плоском пространстве, с математической точки зрения являющиеся обобщением уравнений Коши-Римана на случай алгебры комплексных кватернионов (бикватернионов), позволяют строить решения однородных уравнений Максвелла с автоматически фиксированным электрическим зарядом сингулярности поля и со сложной "частицеподобной" динамикой этих, вообще говоря, протяженных сингулярностей. Кроме того, уравнения алгебродинамики генерируют решения комплексных нелинейных уравнений Янга-Миллса и комплексного эйконала Причем последнее уравнение играет все возрастающую роль в теории поля, обнаруживая, в частности, солитонную структуру и глубокие связи с моделями типа Фадцеева-Ниеми
Важно подчеркнуть, что в предложенной процедуре все эти решения дифференциальных уравнений получаются чисто алгебраически из генерирующей твисторной функции. Заметим еще, что они отличны от всех указанных выше решений Робинсона, Пенроуза и других, ассоциированных с БСК.
В этой связи представляется актуальным продолжить изучение решений уравнений алгебродинамики в плоском пространстве, а также соответствующих им физических полей и БСК Такое исследование и составляет в основном предмет первой главы Принимая во внимание указанные свойства модели, представляется также актуальным обобщить данные структуры на случай искривленного пространства-времени. В первой главе рассмотрен простейший способ обобщения результатов, основанный на деформации метрики типа Керра-Шилда.
Поскольку в пространстве Минковского уравнения алгебродинамики оказываются эк-
Бивалентными уравнениям БСК в определенной калибровке, то одним из путей обобщения может служить анализ бессдвиговых конгруэнции на многообразии с неплоской метрикой. Каждая (непараметризованная) БСК естественным образом определяет некоторый комплексный бивектор. Этот факт был впервые установлен Соммерсом, но никакой физической интерпретации до сих пор ему дано не было. Во второй главе диссертации доказано, что при определенных ограничениях на кривизну многообразия этот бивектор является самодуальным и определяет тем самым решение действительных однородных уравнений Максвелла. Для произвольных метрик в правую часть уравнений Максвелла входит ток, пропорциональный первым производным конформной кривизны пространства.
Для достаточно широкого класса многообразий, у которых луч БСК является кратным ГИН тензора Вейля, обнаружена интересная геометрическая интерпретация комплексного потенциала. А именно, его действительная часть является вектором неметричности, а мнимая - вектором псевдоследа кручения эффективной аффинной связности типа Вейля-Картана, относительно которой вектор БСК ковариантно постоянен. Связности этого типа рассматривались в последнее время Кречетом для геомегризации электрослабых взаимодействий, а также Тодом в связи с "локальной гетеротической геометрией", возникающей в (4,0) суперсимметричных сг-моделях, и с теорией самодуальных пространств Вейля-Эйнштейна.
Другой подход к обобщению уравнений алгебродинамики на римановы пространства связан с непосредственным введением локальной алгебры, заданной в слое касательного расслоения к многообразию. В этом варианте исследуемый подход связан с интенсивно развивающейся в настоящее время математической теорией алгеброидов, обобщающей понятие связности на векторных расслоениях.
В этой связи условия дифференцируемости функций алгебраического переменного обобщаются на случай локальных алгебр для пространств с произвольной аффинной связностью. Рассматриваемая в диссертационной работе модель, реализующая подобное обоб-щени и основанная на связности Вайценбека, тесно связана с телепараллельной теорией гравитации, возникающей как калибровочная теория для группы трансляций. При этом основным физико-геометрическим объектом исследования являются отвечающие функциям локального алгебраического переменного калибровочное поле и изотропные конгру энции.
Цель работы.
1. Изучение решений уравнений алгебродинамики в пространстве Минковского и струк туры отвечающих им бессдвиговым изотропным конгруэнциям. Исследование свойств
ассоциированных решений уравнений Максвелла и построение всех точных, т е предсгавимых в явном виде, решений, обладающих аксиальной симметрией
Нахождение возможных деформаций метрики, сохраняющих вид решений однородных уравнений Максвелла в плоском пространстве
Изучение связей бессдвиговых изотропных конгруэнции (БСК) в римановом пространстве с геометрией типа Вейля-Картана и другими физико-геометрическими структурами
Построение и изучение свойств решений однородных уравнений Максвелла, ассоциированных с БСК на римановом многообразии, а также соответствующих спинорных уравнений, обобщающих уравнения д'Аламбера и эйконала
Обобщение условий дифференцируемости функций, принимающих значения в некоммутативной ассоциативной алгебре на случай произвольных аффинных многообразий Изучение свойств решений соответствующих уравнений и ассоциированного калибровочного поля на фоне пространства со связностью Вайценбека
Научная новизна работы.
Обнаружены сложные структура и динамика сингулярных решений уравнений Максвелла, отвечающих полученным новым решениям уравнений алгебродинамики Доказана эквивалентность специального класса бессдвиговых изотропных конгруэнции (БСК) ковариантно-посгоянным полям в пространствах со связностью Вейля-Картана Предложен новый способ генерации решений уравнений Максвелла на искривленном римановом пространстве из решений уравнений БСК Введены инвариантные спинорные дифференциальные операторы, естественным образом связанные с БСК Предложено обобщение условий дифференцируемости на случай функций локального алгебраического переменного на фоне пространства со связностью Вайценбека
Методика исследования.
В работе используется 2-спинорный и твисторный формализмы Пенроуза, методы классической дифференциальной геометрии и теории расслоенных пространств
Научная и практическая ценность.
Работа имеет теоретическое значение Предложенные методы носят общий характер и могут быть применены в различных теоретико-полевых моделях Полученные результаты можно использовать при поиске точных решений уравнений Максвелла и системы
Максвелла-Эйнштейна в искривленном пространстве-времени, при изучении геометрии бозонных секторов суперсимметричных моделей и геометрии комплексных пространств, связанных с квантовой гравитацией, а также для развития алгебродинамического подхода к теории поля.
Научные положения, выносимые на защиту, содержатся в списке основных результатов в Заключении диссертационной работы.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (1998, 2001), на 10-й Российской гравитационной конференции (Владимир, 1999), на 12-й международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга - 12" (Казань, 2000), на 5-й международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), на 11-й международной конференции 'Теоретические и экспериментальные проблемы ОТО и гравитации" (Томск, 2002), на международной конференции "Новая геометрия природы" (г.Казань, 2003), на 3-й международной школе-семинаре "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" (Ульяновск, 2003).
Публикации.
По теме диссертации опубликовано 14 работ.
Структура и объем работы.
Уравнения бикватернионной алгебродинамики и сингулярные решения однородных уравнений Максвелла
Рассмотрим теперь основную алгебродипамическую модель, основанную на комплекси фи кации алгебры кватернионов - бикватерн ионах В = И С. Как отмечалось выше, алгебра действительных кватернионов Н не может служить основой для построения алгебродинамических полевых моделей, поскольку все отображения в этом случае исчерпываются конформными. С другой стороны, условия кватернионной диффе-ренцируемости не будут, очевидно, обладать симметрией относительно преобразований Лоренца. Однако оба эти препятствия снимаются при комплексификации алгебры кватернионов. Алгебра В изоморфна полной матричной алгебре Ма (С), и любой ее элемент F Е В имеет представление F = Fmam, Fm Є С, m = 0,... З, где со - единичная матрица, а сгі, Г2,с3 - матрицы Паули. Множество необратимых элементов N определяется условием det F 0 и представляет собой комплексный "световой конус" FmFm = 0. Хорошо известно, что алгебра бикватернионов В является алгеброй Клиффорда над полем С, т. е. В = С/(0,2) С = СІ2- Она распадается в прямую сумму минимальных односторонних (положительных и отрицательных) спинорных идеалов В = S ф S+, для которых сама алгебра В является алгеброй эндоморфизмов. Используя это разложение, мы можем любой бикватернион представить, например, в виде матрицы F — ШІФ\\І столбцы которой и ф являются вейлевскими 2-спинорами. Учитывая условие det F — 0 (см. 1.1), получаем, что спинор глобально пропорционален ф, и условия гипердифференцируемости (1.6) сводятся к более простой пфаффовой системе спинорных уравнений вида Заметим, что аналогичное расщепление (по столбцам или строкам) для условий дифференцируемое (1.6) возможно только в случае полной матричной алгебры и естественно приводит к концепции финслеро-вых iV-спиноров, развиваемой в [70]. Уравнения (1.11), записанные в компонентах, эквивалентны системе дифференциальных уравнений для подлежащей определению пары {, Ф} 2-спипорного и комплексного векторного полей соответственно.
Свертывая эти уравнения со спинором л, исключим векторное поле и получим Эту систему нелинейных уравнений можно рассматривать как обобщение уравнений Коши-Римана на случай алгебры бикватернионов. Вместе с определением векторного поля Q{Z) она является основой рассматриваемой ниже алгебродинамической полевой модели, предложенной в [7, 33, 38, 39]. Основным объектом теории является спинорное поле , заданное на комплексном пространстве СМ = С4, рассматриваемом как комплек-сифицированное пространство Минковского. Для дальнейшего удобно компактифицировать это пространство, вклеив в бесконечность СМ комплексный световой конус СЗ, представляющий собой трехмерную изотропную поверхность. Получившееся компактифицированное ком-плексифицированное пространство Минковского мы будем обозначать Мс. Заметим, что физическое пространство Минковского М является действительным срезом Мс. Поле удовлетворяет нелинейному уравнению (1.13), которое с геометрической точки зрения означает, что спинор д определяет бессдвиговую геодезическую изотропную конгруэнцию (БСК) в пространстве-времени [38]. Кроме того, выражение (1.12) можно рассматривать как условие ковариантного постоянства спинора относительно некоторой эффективной связности Вейля-Картана [33]. Эти вопросы будут подробно обсуждаться в гл. II в связи с обобщением на римановы пространства. Вычисляя коммутатор производных в левой части (1-12), можно показать [33] (см. также гл. II), что условия интегрируемости этой системы приводят к условию д лФв) = 0, которое является условием самодуальности комплексного тензора З г/ : д{цФи\ — фАВЄА В + фл В ЄАВ Спин-тензоры tpAB = 9А (АФВ) и ФА В = дл(А Фв ) являются его антиса-модуальной и самодуалыгой частями соответственно. Хорошо известно, что для точной 2-формы условие самодуальности эквивалентно условию козамкнутости (см. также гл. II), поэтому полученная (комплексная) 2-форма Э удовлетворяет свободным уравнениям
Максвелла. В силу самодуальности, комплексная форма Зг имеет вид 3" = F — і F и однозначно определяется своей действительной частью F = 2 3 +3 , очевидно, также являющейся решением уравнений Максвелла в силу линейности последних. Таким образом, каждое решение исходных уравнений (1.12) генерирует некоторое решение F однородных уравнений Максвелла, причем вектор ФАА является (комплексным) потенциалом ассоциированного электромагнитного поля. Всякое полученное такой процедурой поле обладает рядом характерных особенностей [39, 37]: 1? Решения линейных уравнений Максвелла строятся из решений нелинейных уравнений (1.12), причем не каждое решение уравнений Максвелла может быть получено в этой конструкции (отбор решений). Кроме того, действительная динамика полей определяется исходной нелинейной системой уравнений (1.13) (на решениях которого уравнения Максвелла выполняются тождественно). Это может приводить к нетривиальному "взаимодействию" между полевыми образованиями, соответствующими решениям уравнений Максвелла (так называемая "скрытая" нелинейность, см. например [58]). 2. Особые точки (каустики) конгруэнции, отвечающей решениям системы (1.13), определяют сингулярную структуру электромагнитного поля. Это сингулярное множество S может рассматриваться как множество источников электромагнитного поля, регулярного в пространстве М/S. Отметим, что топология S определяется (1.13)
Калибровочное поле, ассоциированное с БСК, и эффективная геометрия Вейля-Картана
Калибровочные преобразования Как уже отмечалось, уравнения (2.5), определяющие БСК, инвариантны относительно замены \- ф(х). Эквивалентная система уравнений (2.9) при этих преобразованиях переходит в откуда видно, что она сохраняет свой вид при этой замене тогда, и только тогда, когда векторное поле ф преобразуется градиентным способом Таким образом преобразования системы (4, ФАА ) спинор ного и векторного полей соответствуют калибровочным преобразованиям спинорной электродинамики и образуют первую ("электродинамическую") группу калибровочных преобразований исследуемой системы. Используя уравнение (2.10), несложно получить, что спинор д» трансформируется аналогично д: В свою очередь, для сохранения вида системы (2.7) при масштабных преобразованиях необходимо, чтобы спинор т)А преобразовывался по закону Отметим теперь, что уравнения БСК являются конформно - инвариантными. Если метрика преобразуется по закону g v н- д = Q2(x)gfJ,l,i где Q(x) - произвольная действительная функция, то ковариантная производная переходит в и система (2.9) принимает вид Теперь очевидно, что уравнения (2.9) инвариантны при одновремсн-ных с метрикой градиентных преобразованиях потенциала ф н- фц = Фи — V lnfi, что демонстрирует симметрию системы БСК относительно второй ("вейлевской") конформно-калибровочной группы преобразований. Наконец, рассмотрим преобразования третьей группы, когда преобра-зование метрики сопровождается трансформацией спинора д А — П(сс) л- В этом случае для преобразованного спинора из (2,19) имеем откуда следует условие конформной инвариантности Отметим, что вектор ФАА при этих преобразованиях остается неизменным. Существование различных конформно-калибровочных групп симметрии уравнений БСК представляется необычным и очень интересным, однако его физические следствия пока что не вполне ясны. Условие БСК как калибровочное конформное уравнение Киллинга Чтобы получить тензорный вариант уравнения (2.9), домножим обе его части на в
Симметризуя по штрихованным индексам и складывая с комплексно-сопряженным, получим следующее выражение где вектор фу представлен в виде суммы действительной и мнимой частей фр = а,р-\- iby. Учитывая, что 1 АА\ получим уравнение которого уже легко записать в эквивалентном тензорном виде Это выражение можно рассматривать как "калибровочное" конформное уравнение Киллинга (см. работы [19, 20], где оно было получено с помощью теории дифференциальных форм), представив его в виде где введена "удлиненная" ковариантная производная V = V — 2ам. Вычисляя в этом уравнении свертку по индексам fi и , получим V}i № — V / — 2a,tlv = 0, откуда следует, что расходимость конгруэнции в := Отметим, что уравнение (2.26) не содержит мнимой части 1т(фу) = by и фактически является тензорной записью действительной части уравнения (2.9). Чтобы получить мнимую часть, вычислим свертку (2.23) с ЕВ А , что эквивалентно взятию антисимметричной по штрихованным индексам части (2.23). Учитывая, что VAI(A B)A — А Л (л В) + (АУВ)А А получим уравнение Используя (2.13), уравнение (2.28) может быть записано в виде где введена вторая "удлиненная" ковариантная производная V/j = V — ІіЬр, связанная с мнимой частью потенциала ф . Спинор JAB соответствует антисамодуальной части тензора Как будет показано ниже, когда БСК является кратным ГИН, то выбором аффинного параметра вдоль луча всегда можно обратить спинор 7} в ноль. Тогда уравнение (2.29) имеет смысл условия самодуалыюсти тензора (2.30), которое эквивалентно соотношению Вычисляя вектор угловой скорости вращения конгруэнции по формуле № := lE laVfilj и учитывая (2.31) получим П — -6aJaP, откуда следует, что конгруэнция является невращающейся тогда, и только тогда, когда мнимая часть вектор-потенциала W ортогональна вектору БСК, т.е. Ьа1а = 0.
Таким образом, каждая БСК определяет некоторое комплексное векторное поле фц, которое имеет калибровочное происхождение и позволяет определить комплексную "удлиненную" ковариантную производную V := V), + V = 2(V — ), причем условие нулевого сдвига для действительной части Ке{фі1) — а приводит к "калибровочному" конформному уравнению Киллинга (2.27) для вектора БСК №, а для мнимой части 1т(фц) = Ь(1- к уравнению (2.29). Условия интегрируемости уравнений БСК После того, как выяснился калибровочный характер векторного поля фр, необходимо определить динамические уравнения, которым он подчиняется. Для этого найдем условия интегрируемости уравнения БСК в форме (2.14). Вычисляя коммутатор ковариантных производных в левой части и представляя возникающий тензор кривизны в виде суммы соответствующий тензору TTpv = V v — j/ + д фафа Используя спинорное представление неприводимых относительно группы Лоренца компонент тензора кривизны, получим условия интегрируемости уравнения (2.14) в виде следующей системы: где введены спиноры ірАв = VА {АФВ)Л 5 Л В :— V {А Фв )Аі являющие-ся соответственно антисамодуальнои и самодуальной частями антисимметричного комплексного тензора Из первого уравнения (2.36) следует, что если пространство конформно-плоское (ФABCD 0) или БСК является 4-кратным ГИН тензора Вейля { ABCD P = 0); то Ч АВ — 0- Второе условие означает алгебраическую вырожденность М. Следовательно 2-форма 5F является самодуальной = ziF, где - оператор дуальности Ходжа, тогда, и только тогда, когда пространство конформно-плоское или алгебраически вырождено (т.е. типа N по Петрову). В силу самодуальности кодиффе-ренциал 5$ := d Э = і d , и учитывая, что 2-форма 3 является точной = йф, мы получаем условия замкнутости и козамкнутости вїї = 0, 53 = 0 (2.43) т. е. самодуальная 2-форма !? удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла. Таким образом, справедлива следующая Теорема 1 В конформно-плоском или алгебраически вырожденном (типа N по Петрову) пространстве 2-форма 3" — йф, определяемая бес-сдвиговой изотропной конгруэнцией, удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла. В силу линейности уравнений Максвелла каждое самодуальное комплексное решение является самодуальной частью соответствующего действительного решения. Поэтому действительная форма F := -(iT-f-S7) может рассматриваться как физическое электромагнитное поле на искривленном многообразии М, ассоциированное с заданной БСК [86, 87, 88]. Отметим, что полученное иоле не зависит от конкретного выбора параметризации луча конгруэнции, в противоположность, например, изотропному полю Робинсона 9 = ФАВА ВГ, которое удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла только при определенном выборе параметра ф т. е. при определенной параметризации. Для получения явного вида электромагнитного потенциала фц можно использовать выражение (2.14) для ковариантной производной спинора
Инвариантные дифференциальные операторы, ассоциированные с БСК
Рассмотрим свойства БСК специального вида, определяемых уравнением (2.58). Спинорное поле , характеризующее конгруэнцию, тожде ствешю удовлетворяет в этом случае ряду дифференциальных уравнений, представляющих самостоятельный интерес. Действительно, в плоском пространстве каждая компонента спинора А удовлетворяет уравнению эйконала, а их отношение - волновому уравнению д Аламбера [33]. В искривленном пространстве эти соотношения могут быть обобщены с помощью введенных ниже инвариантных дифференциальных операторов. Используя условие бессдвиговости конгруэнции в форме (2,9), вычислим свертку производных VAA BVAA С В результате получаем Заметим, что при свертке антисимметричная по индексам В к С часть тождественно обращается в ноль. Используя снова свойства спинорпой алгебры, приходим к следующей лемме. Лемма 2 Спинор удовлетворяет уравнению тогда, и только тогда, когда выполняется соотношение ФАА ЦА = 0 Введем следующий симметричный дифференциальный оператор: Для СБСК спинорное поле і) выбором калибровки спинора всегда можно обратить в ноль, следовательно в силу леммы 2 всегда можно обратить в ноль спинор СБСК действием оператора (2.71). Отметим, что в пространстве Минковского из равенства EAB{Q = 0 следует выполнение уравнения эйконала для компонент д, а также одно дополнительное уравнение аналогичного типа (перемешивающее обе компоненты). Далее, дифференцируя формулу (2.14) и сворачивая индексы у кова-риантных производных, мы получим с учетом условий интегрируемости откуда после свертки с с приходим к лемме Лемма 3 Спинор удовлетворяет уравнению тогда, и только тогда, когда выполняется соотношение В силу теоремы 2 каждая СБСК является кратным ГИН тензора
Вей л я №ABCD,BCD = 0), а ИЗ условия интегрируемости (2.36) следует, что для кратных ГИН всегда выполняется условие РАВ,А,В — 0. Выбирая калибровку, в которой г}А = О, мы можем ввести второй оператор обращающий спинор СБСК в ноль. В пространстве Минковского он редуцируется к оператору д Аламбера для отношения компонент о/і-Таким образом мы получаем [88] следующий результат: Теорема 3 Для любой СБСК всегда существует такая калибровка спинора д, что в ней его компоненты удовлетворяют уравнениям Эти операторы можно рассматривать как обобщение на спинорный случай двух известных инвариантных операторов Белътрамщ действующих на скаляры. Изучим масштабные свойства этих операторов. Как уже отмечалось, уравнения СБСК инвариантны только относительно "слабых" преобразований i-J- ф, для которых масштабный параметр удовлетворяет уравнению ЛЧАА Ф = 0) откуда следует, что где ХА - некоторый спинор. Используя последнее равенство, прямой подстановкой можно проверить, что уравнения ЕАВ() = 0 и D() = 0 инвариантны относительно масштабных преобразований вышеуказанного вида. Обратно, приравнивая нулю выражения Едв(Ф) — 0 и 0{ф) — 0, получим, что они справедливы, только если выполняется условие (2.63). Таким образом, действие операторов Едв и D на спиноры инвариантно относительно всех "слабых" проективных преобразований спинора. Отметим в заключение, что несмотря на ряд наследуемых от плоского случая интересных физических и геометрических свойств, структура бессдвиговых изотропных конгруэнции и ассоциированных с ними полей в искривленном римановом пространстве оказывается все же значительно беднее, чем в конформно-плоском пространстве. Это связано, во-первых, с тем, что наличие кривизны резко ограничивает количество допустимых БСК на многообразии (не более 4 различных конгруэнции), а, во-вторых, с отсутствием твисторной структуры на таких пространствах.
Последнее обстоятельство делает затруднительным прямое алгебраическое описание БСК, аналогичное теореме Керра, и анализ структуры их сингулярного множества - наиболее интересного с точки зрения "частицеподобной" интерпретации физико-геометрического объекта. Тем не менее, во второй главе диссертационной работы были установлены новые свойства бессдвиговых изотропных конгруэнции на римановом многообразии. Было показано, в частности, что в пространствах типа N по Петрову каждая БСК естественным образом определяет решение однородных уравнений Максвелла, а в алгебраически более общих пространствах соответствующие поля удовлетворяют уравнениям Максвелла с источниками, определяемыми конформной кривизной многообразия. Для наиболее интересного случая, когда БСК определяет кратное ГИН тензора Вейля, доказана эквивалентность условия бессдвиговости конгруэнции условию ковариантного постоянства вектора конгруэнции относительно эффективной связности с неметричностью Вейля и полностью антисимметричным кручением. Введены спинорные дифференциальные операторы, обобщающие скалярные операторы Бельтрами и обращающие в ноль спинорное поле БСК, являющейся кратным ГИН тензора Вейля. Установлены свойства симметрии уравнений, определяющих БСК, относительно трех различных конформно-калибровочных групп преобразований.
Уравнения алгебродинамики в пространстве со связностью Вайценбёка
В качестве простейшей модели рассмотрим пространство со связностью Вайценбёка, определяемой в координатном репере коэффициентами Эта связность имеет равную нулю кривизну, но отличное от нуля кручение Т а = haтд к , совпадающее с объектом неголономности тетрады. Заметим, что базисные вектора em = к тдр являются ковариантно постоянными относительно связности (3.24): Коэффициенты этой связности в неголономном базисе ет тождественно равны нулю: 7mnp = 0, а т. к. структурные коэффициенты Вртп для выбранной алгебры бикватернионов являются константами, то условие ковариантного постоянства (3.13) тождественно выполняется, и мы получаем из (3.17) следующее условие дифференцируемости функций локального бикватерітонного переменного: Вычисляя коммутатор производных в левой части, приходим к следующим условиям интегрируемости системы (3.26): где Dpmn - структурные коэффициенты алгебры Ли аМ векторных полей ет на многообразии М: определяемые компонентами тетрад hf/" по формуле Форма уравнений (3.26) указывает на сохранение спинорной структуры условий дифференцируемости, что позволяет применить спинорное расщепление алгебры бикватернионов, использованное в главе I. Применяя свойства спинорной алгебры, получим, что тензор (3.22) имеет следующее спинорное представление:
Тогда уравнения (3.26) редуцируются к виду где используется спинорное представление производной по направлению даа = 0aih dfj,, где аа, - матрицы Паули, причем все индексы а, а , b... являются диадными. Учитывая антисимметричность структурных коэффициентов Dpmn по нижним индексам, представим их в виде и, разлагая затем условия интегрируемости (3.27) по неприводимым представлениям группы Лоренца [12], получим следующую систему уравнений для компонент спиноров д, фл в и &СС АВ ГДЄ СПИНОр 7ГаЬа с даа Фъс! Фас ФЬа Выполняя симметризацию по всем свободным индексам в уравнении (3.33) и учитывая, что Dd caV) — 7с (шЬ), где -ус шъ - спиновые коэффициенты тетрады, получим ГДЄ fab :— да (аФь)а ГІОСЛЄДНЯЯ ВЄЛИЧИНа ЯВЛЯЄТСЯ ДИЕДНЫМИ КОМ ПО нентами антисамодуальной части 3rliV = /АВЄА В антисимметричного тензора Выбирая калибровку спинора в виде а = (1, G), получим [82, 84] в результате прямых вычислений, что уравнения (3.35) принимают вид условий самодуальности тензора 3 относительно "удлиненной" производной Daa := даа + Каа \ -83 где вектор Кт имеет диадные компоненты (3.38) Самодуальность тензора 3 := 3 + Щ ф приводит к выполнению неоднородных уравнений Максвелла для 3" с током J = д Кыфл + Е арКаф/3)} имеющем геометрическое происхождение, В заключение вернемся к наиболее интересному случаю риманова многообразия и рассмотрим возможность введения на нем локальной алгебры, согласованной: с римановой метрикой и связностью Леви-Чивита.
Условия. ковариантного постоянства структурных функций локальной алгебры (3,13) представляют собой весьма жесткую систему уравнений, возможность удовлетворить которой для случая нетривиальных связности и алгебры на первый взгляд вообще проблематична. Тем не менее это удается сделать, и замечательным образом решение проблемы оказывается опять тесно связано с алгебрами кватернионного типа. Действительно, поскольку риманово многообразие само по себе предполагает существование ковариантно постоянного метрического тензора д у и единственной согласованной с ним связности без кручения - связности Леви-Чивита, то естественно предполагать также, что структурные функции выражаются через этот тензор и, возможно, через сооветству-ющий дискриминантный тензор, связанный с формой объема на многообразии. Кроме того, у нас в распоряжении имеется некоторое векторное поле, которое может локально задавать единичный элемент алгебры Q Є А и ковариантного постоянства которого можно потребовать допол іштельно (очевидно, что для вектора это условие значительно "мягче", чем для тензора 3-го ранга). Потребуем в дополнение, чтобы структурные функции алгебры удовлетворяли условию ассоциативности Са Схар — С а р. Тогда нетрудно проверить, что на пространственно-временном многообразии всем этим требованиям соответствует алгебра Ф со структурными константами следующего вида:
