Введение к работе
Актуальность. В последние десятилетия наряду с развитием орто-жсальнон теории гравитации Эйнштейна наблюдается слияние обшей :ории относительности (ОТО) с другими разделаю! теоретической 13ИКИ: теорией элементарных частиц, теорией фазовых переходов, зантовой теорией поля и т.д. Однако алгебраическая классификация эостранств по Петрову по-прежнему остается ігаиинм истодом нзуче-»я и интерпретации гравитационных полей. Реальное гравитационное эле с точки зрения этой классификации представляет собой своеоб-азную "смесь" канонических типов гравитационных полей. Поэтому гследование как самой классификации Петрова, так и рассмотрение аложения полей различных алгебраических типов в пряблихенші сла-эго поля и с учетом их нелинейности, является ахтуальной прсбле-эй с точки зрения изучения структуры пространства-времени. При гам наложение пространств определяется как наложение на уровне ензоров Венля при согласовании их канонических базисов.
Возникновение теорий суперсимметрия и' суиергравятации стиму-яровало возрохдение интереса к ішогекерньш теориям типа Калузда-Клейна. Кроме того, модели суперграшггацпп геоыетрически связаны локально евклидовыми пространствашс. Следовательно, -вполне ес-ественно поставить zortpoc -об алгебраяческой классификадяи j:as вклидовых пространств, так и пространств-времен более высокой азмерности, чем четыре.
Другой, не кенее важной, стороной исследований в ОТО оказыва-тся поиск и конструирование новых решений уравнений тяготения, дннм из подходов к решению зтон проблемы является использованае отовых точных частицеподобных резеиий в ото с последующим их разгоном' до световой скорости при одновременном исчезновении ассы покоя. Эта процедура приводит к точным светаподобяым реиени-м уравнений Эйнитейна со светоподобнын источником.
Возмохность конструирования и генерирования точных решений равнений тяготения исследовалась многими авторами, но эти проце-уры в обход трудностей, связанных с нелинейностью уравнений Эйнв-ейна, по-прегнему вызывают немалый интерес в связи с развитием одельного подхода к решению задач ОТО в последние годы.
Как правило, при нахождении статических решений уравнений Эйнш-
тейпа для различных моделей звезд в основном используются неточні ки с паскалевым.поведением "гидкости", которой моделируется внут ренняя область 'звезд.' При моделировании излучающих внутренних ис точников (внутренняя задача Вайдья) более естественным оказываеи ся использование непаскалевых тензоров энергии-импульса (ТЭИ). частности, учет вязких членов в ТЭИ, как это делается в обычне гидродинамике, позволяет ввести непаскалевость, которая открывав новые возмокности моделирования релятивистских астрофизическ; объектов. Исследования же такого рода физических моделей с привле лечением теории катастроф и формулы Гаусеа-Бонне требуют предвар» тельного применения их для известных статических реаешш.
Вселенная является єна одшга "полигоном" по проверке ОТО. последние десятилетия развитие теории элеиектарных частиц приве/ х прогрессу в теоретической описании сверхплотной материи и позве лило создать инфляшюикие модели Вселенной. Вместе с тем раэработ ха новых моделей поставила н ряд новых проблем, ие дав полного от вета, вообне говора, на старые вопроси. Центральное место ере,: них занимает так назызаеиая проблема космологической постоянно*" Остается неясным и выбор кежду закрытой и открытой космологическі ми моделями, г. к., в настоянеє время астрономические данные і подтверждают закрытого харг»тера нашей Еселенной. отсутствие неп? тиБоречигой теории квантовой гравитации делает езе более актуалі ним поиск и китерпргтащгэ решений классических уравнений ото, спс собкых описывать эволюцию Вселенной до времен порядка планковски;
Танки образом, ссе, .о чем шла речь выше, ножно сформулироваї в виде ряда проблем, каторыг в определили, б основном, содержат данной дпесертаняп.
і. Исследование, алгебраической классц:>іікаціш Петрова с точ:, зрзнпя как наложеная ткпоа пространств, так и обцгй теории "фазі еых переходов* (теории катастроф) внутри саиой классификации включая теория возмущений.
-
Алгебраическая классификация бивекторов в локально евклидс аых четырехмерных пространствах вместе с классификацией самих пр< странств к их исследование.
-
Вазиохность обобцекия алгебраической: классификации бизектс ров в битензоров на пространства размерности более четырех.
- г -
-
Введение светоподобного предела в ОТО, получение моделей :ветоподобных источников и их исследование.
-
Генерирование и конструирование статических сферически-сим-іетричньїх реиений уравнений тяготения.
-
обобщение внешней проблемы Вайдья на внутренние излучающие [сточники, включая задачу звездного ветра.
-
Обобщения открытой космологической модели Фридмана на модели с излучением и диссипацией.
-
Рассмотрение многомерных конформно-плоских моделей.
-
Применение теории катастроф и теоремы Гаусса-Бонне к исследованию пространств и реиений уравнений тяготения.
В цеяи диссертации вовли ревение и анализ задач <с использова-шем теории катастроф и теоремы Гаусса-Бонне), рассмотренных в ммках перечисленных проблей.
Методы исследования. В диссертации, кроне стандартных матеиа-ических методов тензорного анализа, дифференциальных форм, линей-[ой алгебры, тетрадного подхода, теории дифференциальных уравнений, юнадного метода задания систем отсчета, в приложении к проблемам, зязаннымн с алгебраическими классификациями как пространств, так [ бивекторов, исследованиями решений и физических моделей в'ОТО, [спользуются методы теории катастроф и теорема Гаусса-Бонне, сформированная для двумерных сечеиий многомерных пространств. . При іассмотрении поведения астрофизических л космологических моделей, . такте для построения графиков использовалась ПЭВМ.
Научная новкзиа работы определяется актуальностью и границами [оставленных проблем, а также методами их решения. К новым резуль-атам моаио отнести следуйцие:
2. Обнаружена связь между.теорией катастроф и алгебраическими :лассифихациямн гравитационного и электромагнитного полей. Выяв-.ена нетривиальная аналогия с фазовыми переходами первого и второ-о рода в твердых телах.
2. введено понятие наложения пространств на'уровне тензоров іейля и разработан метод их исследования. В частности, с примене-нем генераторов группы Лоренца описана трансформация типов Петро-іа на полном множестве типов пространств. Найдены цепочки последо-
нательного снятия и восстановления вырождения типов пространств, доказан ряд основных теорем по наложению пространств. Показано, что пространство любого типа локально может быть смоделировано наложением четырех пространств типа N. Сформулирован аналог теоремі Сакса при разложении результирующей матрицы Вейля по малому параметру, учитывающему несовпадение канонических базисов матриц Вейл: волновых гравитационных полей при наложении последних. На уровні матриц Вейля получен ряд утверждений по возмущению пространства--временн в рамках алгебраической классификации Петрова. Показан; критическая неустойчивость типа пространства по отношению к мальїі возмущениям другими типами пространств. Обобщены теоремы по наложении пространств-времен N н о типов на примерах нелинейных супер позиций гравитационных полей (в том числе по возмущению конформно--плоского гравитационного поля волновым). Обнаружено, что во все случаях нелинейному наложению полей на уровне матриц вейля отвечает матрица типа о.
-
С привлечением двойных величин решена задача алгебраичееко классификации локально евклидового четырехмерного пространства бивектора в- нем. доказан ряд утверждений. Описаны "фазовые пере ходы" в полученных классификациях с точки зрения теории катастроф
-
Проведена алгебраическая классификация бивектора в пяти-иерном пространстве с одним временноподобным направлением при ус ловии цилиндричности и определены в' таком пространстве дуальны сопряжения (повороты) на основе четырехмерных сечений. Подход Пет рова. по алгебраической классификации четырехмерных пространст распространен на пятимеркые пространства-Бремена с одним временно подобным направлением и условием цилиндричности как без электро магнитного поля при наличии скалярного, так и с электромагнитны полем без скалярного.
-
Еазвит метод получения сингулярных светоподобных метрик и точных частицеподобных реиеяий путем "разгона" источника гравита шшнкого поля (с моментом импульса или параметром НУ.Т) до скорост света при одновременном исчезновении его массы покоя. Показан кг тастрофкческий характер такого предельного перехода. Метод приме кен к решениям шварашильда (в координатах Керра—шнлда), Керрг НУТ. Сформулировано утверждение об отсутствии у светоподобных ис
)чников "волос*. Предложен способ конструирования светоподобной «охроматической нити и ее обобщения. Показано, что бесконечная зетоподобная монохроматическая нить не может обладать постоянным шентом импульса вдоль нити ;спиральностью), а светоподобный луч может.
-
Предложен метод генерирования и конструирования точных ста-іческих сферически-симметричных решений уравнений Эйнштейна из тестных решений, позволяющий получать бесконечные последователь-)сти решений.
-
Разработан метод получения нестатических непасхалевих моде-:й с лучистым переносом энергии из известных статических решений равнений тяготения с паскалевым ТЭИ. Этим методом получены обоб-:ния статических сферически-симметричных однородных и неоднород-(X моделей: излучающая шварцшильдоподобная и радиационно сублими-гющая однородные модели; излучавшая модель с параболическим рас->еделением плотности массы и обобщение IV решения Толмена на слу-ій наличия неравновесного излучения; модель звездного ветра в ОТО
конформно-плоская модель излучавшей звезды.
-
Получено точное космологическое решение уравнений Зйнштей-t как обобщение решения Фридмана для открытой Вселенной при нали-[И излучения. Это решение, в свою очередь, обобщено в классах :сселевских и гипергеометрических функций.
-
предложен метод получения точных открытых космологических :шений (включая учет вязкости) с помощью эквивалентных потенциа-IB. этим методом найден ряд решений, описывающих эволюцию введеній от стадии де Ситтера до горячей стадии. Построена почти полная ісмологнческая модель открытой Вселенной (без квантовой стадии) с шдмановской асимптотикой.
10. обобщена на многомерный случай с тензором энергии-импуль-
: типа идеальной жидкости открытая модель Фридмана с источником.в
:де некогерентной пыли. Установлена связь между многомерными от
нятыми космологическими моделями и линейным уравнением состояния
терии (с постоянным коэффициентом пропорциональности) этих моде-
й. Показано, что каждой модели определенной размерности отвечает
ндаментальная гармоническая функция.
Теоретическая к практическая- ценность. Работа кмеет как обще теоретическое, так и практическое значения в теоретической физике
Теоретическая значимость работы состоит в получении ряда ут верждений, касающихся установления конкретного алгебраического ті па пространства при наложении последних на уровне матриц вейл? трансформации типов пространств под действием генераторов групг Лоренца, крайней неустойчивости алгебраических типов пространен под действием малых возмущений и обнаружении связанной с этим ан логии с теорией фазовых переходов в твердых телах, а также с утої ненией алгебраического типа результирующего пространства при нелі нейном наложении гравитационных полей К и о типов и факта отсутст вия "волос" у светоподобных источников.
К практической ценности работы следует отнести разработант методы исследования алгебраических классификаций пространств и р< шений уравнений тяготения; созданные методы генерации и конструї рования как статических, так и нестатических (с излучением) ресн ний уравнений Эйнштейна, включая открытые космологические моделі развитие метода получения сингулярных светоподобных источников помоаью светоподобного предельного перехода и связанный с этим м« тод конструирования светоподобной нити.
Полученные в диссертации результаты могут быть использоваї при алгебраической классификации четырех- и пятимерных псевдорнм; новых пространств с одним временноподобным направлением; четыре'! мерных локально евклидовых пространств; при теоретическом анали; волновых гравитационных полей; учтены при экспериментальном обн; ружении гравитационных волн; приненены для построения астрофизі ческнх и космологических моделей как с излучением, так и без неге а также для поиска точных решений уравнений тяготения.
Результаты работы используются при чтении спецкурсов по общі теории относительности, космологии и алгебраической класспфикаш многомерных пространств.
Апробация работы. Основные результаты диссертации локладыв; лясь и обсуждались на IV (Минск, 1976 г.), V (Москва, I9S1 г. VI (Москва, 1984 г. ), VII (Ереван, 1988 г. ) Всесоюзных конференції! Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории О' носительностн и гравитации"; via Российской гравитационной кояфі
эенции (Пупкно, 1993 г. ); всесояэнон конференции по неевклидовой -еометрии "150 лет геометрии Лобачевского" (Казань, 1976 г. ); меж-чународной конференции 'Лобачевский и современная геометрия* (Казань, 1992 г. ); Рабочих всесоюзных совещаниях "Гравитация и электромагнетизм" (МИНСК, 1982,1983,1985,1986,1987,1989,1991 Г. Г. );
II всесоюзном семинаре "Современные проблемы гравитации" (Томск, 198 7 г. )-, Всесоюзном совещании по астрофизике и небесной механике (Алма-Ата, 1987 г. ), а также неоднократно на научных семинарах кафедры теоретической физики УДН (Москва), Гравитационной комиссии НТС Минвуза СССР и кафедры теоретической физики МГУ (Москва), :са-федры теоретической физики Красноярского госуниверситета.
Структура работы, диссертация состоит из ВВЕДЕНИЯ, еклю»гзїй<є-го пять разделов под обцкм названием В. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, шести глав, ЗАКЛЮЧЕНИЯ, списка цитированной литературы, содержащего 271 наименование, 70 рисунков (выполненных с помощью компьютерной графики) и 16 таблиц. Сбашй объем диссертации составляет 375 страниц.
