Содержание к диссертации
Введение
1 ОТО и СМ как теория динамической масштабной симметрии 10
1.1 Статус ОТО и СМ в физике релятивистских частиц . 10
1.2 Конформно-инвариантные переменные 12
1.3 Конформная космология 13
1.4 Система отсчета 15
1.5 Конечный объем 18
1.6 Линейные формы и преобразования симметрии 20
1.7 Переменные Дирака в теории динамической масштабной симметрии 22
1.8 Отделение нулевых гармоник для решения проблемы времени 24
1.9 Ненулевые гармоники полей 27
2 Сценарий эволюции Вселенной 30
2.1 Данные по Сверхновым типа 1а 30
2.2 Нуклеосинтез в Ранней Вселенной 33
2.3 Рождение и термолизация первичных частиц 34
2.3.1 Постановка проблемы 34
2.3.2 Время рождения частиц и появления температуры 35
2.3.3 Фабрика векторных бозонов и частиц Хиггса 36
2.4 Спектр реликтового излучения 39
3 Гамильтонов подход Дирака 43
3.1 Квантовая электродинамика 43
3.1.1 Действие и система отсчета 43
3.1.2 Исключение временной компоненты 44
3.1.3 Исключение продольной компоненты 45
3.1.4 Статическое взаимодействие 45
3.1.5 Сравнение радиационных переменных и переменных в лоренцевой калибровке 46
3.2 Теория векторных бозонов 48
3.2.1 Лагранжиан и система отсчета 48
3.2.2 Исключение временной компоненты 48
3.2.3 Квантование 50
3.2.4 Пропагаторы и конденсаты 52
3.3 Абелева модель Хиггса 54
3.3.1 Выбор переменных 54
3.3.2 Исключение временных компонент 55
3.4 Стандартная Модель 56
3.4.1 Действие в СМ 56
3.4.2 Гамильтонов подход к СМ 58
3.4.3 Статическое взаимодействие и К —> 7г переход 58
3.5 Эффективный потенциал Хиггса 62
4 Гамильтонова Общая Теория Относительности 64
4.1 Каноническая Общая Теория Относительности 65
4.1.1 Отделение по Фоку преобразований системы координат от диффеоморфизмов 65
4.1.2 Подход Дирака-АДМ к ОТО 66
4.1.3 Переменные Лихперовича и космологические модели 69
4.1.4 Уравнение связи и размерность диффеоморфизмов 71
4.1.5 Отделение нулевой моды в конечном пространстве 73
4.1.6 Условие сверхтекучести 74
4.1.7 Гамильтонов формализм в конечном пространстве 76
4.2 Принцип соответствия и пределы КТП 80
4.3 Каноническая космологическая теория возмущений 81
4.4 Обобщения решения Шварцшильда 84
4.5 Крупномасштабная структура Вселенной 86
4.6 Преобразование систем отсчета 88
Заключение 90
- Конформно-инвариантные переменные
- Нуклеосинтез в Ранней Вселенной
- Абелева модель Хиггса
- Принцип соответствия и пределы КТП
Введение к работе
В настоящее время получены новые астрофизические данные, которые рассматривают как революцию в физической космологии. В частности, совокупность измерений зависимости красных смещений спектральных линий атомов на космических объектах от их расстояния до Земли [1] и новые данные [2, 3, 4] для больших значений красного смещения свидетельствуют о том, что наша Вселенная заполнена, в основном, не массивной материей далеких и потому невидимых галактик, а загадочным веществом совершенно другой природы, с другим уравнением состояния материи, названным Квинтэссенцией [5, 6]. Результаты измерения распределения химических элементов во Вселенной свидетельствуют об уравнении состояния материи в эпоху первичного нуклеосинтеза и о ничтожно малом вкладе видимой барион-ной материи (около 4 %) в космическую эволюцию [7, 8]. Результаты измерения параметров реликтового излучения (Cosmic Microwave Background (СМВ)) с температурой 2,725 К, оставшегося после отделения вещества от радиации при красных смещениях z ~ 1100, дают информацию об эволюции ранней Вселенной [9]. Все это заставляет в очередной раз заново пересмотреть наши научные представления о Вселенной и тенденции развития этих представлений, в рамках объединенной теории взаимодействий, принятой в настоящее время.
Напомним, что в качестве принятой в настоящее время объединенной теории рассматривают сумму действий Общей Теории Относительности (ОТО) [10, 11], Стандартной Модели (СМ) [12, 13, 14] и дополнительного скалярного поля, ассоциируемого с упомянутой выше Квинтэссенцией [5, 6].
Стандартная Модель физики частиц успешно описывает три из четырех известных науке сил (электромагнетизм, слабые и сильные взаимодействия), а Общая Теория Относительности описывает гравитацию и природу пространства и времени.
Общая Теория Относительности и Стандартная Модель физики частиц, были сформулированы в результате применения принципа калибровочной симметрии [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]. Исключением является потенциал Хиггса Vefj(0), геометрический статус которого до сих пор неясен.
Сама калибровочная симметрия выводилась в работах [17, 18, 19,
20, 21, 22], как следствие различия классификации релятивистских состояний по неоднородной группе Пуанкаре и классификации релятивистских полей по однородной группе Лоренца. В частности известно, что, согласно Пуанкаре-классификации физических состояний, существует 2 независимые степени свободы для поперечного djV? = 0 векторного безмассового поля, в то время как, согласно Лоренц-классификации полей, число компонент этого поля равно 4. Две лишние степени свободы убираются с помощью условий связи начальных данных (условия Гаусса и поперечной калибровки), которые требуют для своего вывода, согласно второй теореме Нетер, наличие определенной группы преобразований. Именно эта группа преобразований и является калибровочной группой. Аналогично существует 2 независимые степени свободы для поперечного djhj? = 0 бесследового ТТjj — 0 тензорного безмассового поля /г^т = hj?: в то время, как число компонент этого поля равно 10. Лишние степени свободы убираются с помощью условий связи (условия типа Гаусса и поперечной калибровки), которые требуют для своего вывода, согласно второй теореме Нетер [23], наличие группы преобразований. В данном случае, эта группа преобразований отождествляется с общековариантпыми преобразованиями.
Таким образом, калибровочные взаимодействия релятивистских полей можно получить [17, 18] из симметрии теории свободных релятивистских полей, и, в частности, их классификация но массе и спину, следует из этой симметрии, в хорошо известной теории неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре [24].
Вопрос объединения ОТО и СМ является одним из главных в современной теоретической физике. Его актуальность определяется задачами современной наблюдательной астрофизики и космологии, находящимися на стыке этих двух теорий. Эти задачи включают:
объяснение происхождения материи во Вселенной [25],
описание эволюции Вселенной во времени с образованием крупномасштабной структуры [26, 27, 28, 29, 30],
решение проблем Темной Энергии и Темной Материи [31], см. Рис. 1,
Рис. 1: Согласно данной диаграмме NASA, 70 % Вселенной составляет Темная Энергия, о которой практически ничего не известно.
4. решение проблем происхождения реликтового излучения и флуктуации его температуры [32].
Основная трудность объединения СМ и ОТО состоит в разных уровнях их теоретического описания: квантового для СМ и классического для ОТО. Одним из путей преодоления этой трудности является масштабно-инвариантная формулировка обеих теорий ОТО и СМ, которая сохраняет локальное физическое содержание этих теорий в касательном пространстве Минковского, и которая позволяет объединить их на уровне единого гамильтонового подхода [33, 34]. Как известно, гамильтонов подход допускает определение понятий времени, энергии путем решения энергетической связи, а также вакуума, как состояния с минимальной энергией, построенного с помощью первичного и вторичного квантования энергетической связи [35, 36].
Идея использовать принцип масштабной симметрии для описания физических взаимодействий уже давно обсуждается в литературе.
Вспомним работы Вейля [34], Дирака [37] и других. В частности А.А. Фридман [38] по поводу масштабной инвариантности пишет: "К обычному принципу инвариантности добавляются еіце дополнительные требования инвариантности масштабной. Остановимся на этих дополнительных требованиях; условимся называть изменением масштаба операцию различного для различных точек изменения ... величины фундаментального метрического тензора д^. В этой операции нет ничего нового или экстраординарного: переезоісая из страны в страну, нам приходиться изменять масштаб, т.е. мерить в России — аршинами, в Германии — метрами, в Англии — футами. Вообразим, что подобную перемену масштаба нам пришлось бы делать от точки к точке, тогда и получаем описанную выше операцию изменения масштаба. Изменения масштаба в мире геометрическом будут, в физическом мире, отвечать различным способам измерения длины... упомянутого изменения масштаба, лучше сказать не меняют свою форму пи при каких изльенениях масштаба; другие будут при изменении масштаба менять свою форму. Условимся собственные свойства мира, принадлеоісащие к первому классу, называть масштабно-инвариантными. Вейль расширяет постулат инвариантности, добавляя к нему требования, чтобы все физические законы были масштабно-инвариантными свойствами физического мира. Сообразно такому расширению постулата инвариантности, приходится 'потребовать, чтобы и мировые уравнения выра-оюались бы в форме, удовлетворяющей требованию не 'только координатной, но и масштабной инвариантности?
Вейль вводит понятие масштабно-инвариантных измеряемых длин с помощью отношения двух эйнштейновских интервалов
ds2GR/ds
units'
(0.1)
dsGR = g^dx^dx» (0.2)
стандартный интервал в теории Эйнштейна, a ds^nits является единицей измерения. В качестве примера масштабно-инвариантного интервала в ОТО можно привести интервал, предложенный Лихнеровичем [39, 40, 41]
ds = ds\ = \g{3)\-l/39^dx^dx" = g^dx^dx", (0.3)
нормированный таким образом, чтобы детерминант пространственной метрики \д^\ был равен 1.
Легко видеть, что интервал Лихнеровича не зависит от любых масштабных факторов, включая космологический масштабный фактор, в системе отсчета эволюции Вселенной. Такая система отсчета ассоциируется с собственной системой отсчета реликтового излучения, движущейся со скоростью 368 км/с в направлении к созвездию Льва относительно земного наблюдателя. В этой системе отсчета можно ввести понятия конечного координатного объема, усреднения скалярных величин по этому координатному объему, космологического времени, энергии Вселенной, частицы и вакуума.
В настоящей диссертации рассматриваются вопросы объединения ОТО и СМ на основе принципов динамической масштабной симметрии, релятивистской симметрии преобразования систем отсчета и симметрии относительно общековариантных преобразований. Такая масштабно-инвариантная версия объединения ОТО и СМ включает:
ОТО как теорию динамической масштабной симметрии. В этой теории масштабная инвариантность достигается с помощью введения дилатонного голдстоуновского поля, масштабное преобразование которого компенсирует масштабные преобразования всех полей, включая компоненты метрики.
Выбор системы отсчета, сопутствующей реликтовому излучению, с помощью параметризации реперов в касательном пространстве Минковского, согласно гамильтоновому подходу к ОТО, сформулированному в работах Дирака, Арновитта, Дезсра и Мизнера [42, 43, 44]. В этом случае диффео-инвариантный квадрат интервала равен сумме квадратов диффео-иивариаптных компонент фоковского репера, преобразующихся по векторному представлению группы Лоренца [45]. Тем самым отделяем общековари-антные преобразования (диффеоморфизмов) от преобразований систем отсчета
Выбор диффео-инвариантного параметра эволюции в полевом пространстве событий Уилера - ДеВитта [46, 47], как нулевой гармоники дилатона.
Рассматриваемая в диссертации модель космологии, основанная на этих трех принципах, отличается от принятой стандартной космологической модели как уравнениями движения, так и начальными данными этих уравнений, выбор которых удовлетворяет постулатам относительности единиц измерения, относительности начальных данных и относительности времени.
Конформно-инвариантные переменные
Вигнеровскую классификацию можно получить из модели (1.1) - (1.7), рассматривая ее как теорию динамической масштабной симметрии в терминах конформно-инвариантных переменных. Существует два способа реализации симметрии: 1. Алгебраический, как построение линейных представлений группы; 2. Динамический, с помощью введения дополнительного поля, преобразование которого компенсирует масштабное преобразование всех остальных полей. Эти переменные вводятся с помощью преобразования где D есть дилатон, компенсирующий масштабные преобразования всех полей. В частности, для компенсации масштабных преобразований, в ОТО используют переменные Лихнеровича39, 40, 41, 42, 43, 48, 49], с конкретным выбором дилатоиа, как функционала метрики, в форме D[g] — log д /6 в соответствии с принятым определением поперечных и бесследовых переменных (гравитонов) и в согласии с вигнеровской классификацией. Переменные Лихиеровича заданы в определенной системе отсчета. Ограничимся классом систем отсчета, используемых для описания эволюции метрики и полей в форме га-мильтоновой динамики [42, 43, 44, 50]. Этот класс систем отсчета был определен Дираком [42, 43] как расслоение 4-х мерного координатного многообразия пространства-времени на семейство непересекающихся простраиственноподобных гиперповерхностей [51, 52]. где Є(Ь)І - триады [39, 40, 41] с единичным детерминантом пространственной метрики \В{Ь)І\ — 1, N& - дираковская функция смещения времени, a Ni - компоненты вектора сдвига. Одной из задач диссертации является исследование модели (1.1) -(1.7), которая возникает в конформно-плоском пространстве-времени есть конформное время, а(т}) - масштабный фактор и N - функция смещения, в космологическом приближении, обобщающем вигнеров-скую классификацию релятивистских состояний на конформно-плоские пространства. Соответствующее действие в низшем порядке теории возмущений для рассматриваемой модели имеет вид где HF есть гамильтонианы этих свободных полей включая скалярное поле, спинорпое поле, векторное поле Уц и тензорное иоле (метрику) 9ну — 8ц,; + hfj,v.
Таким образом космологическое релятивистское обобщение действия (1.16) принимает форму действие нулевых гармоник скалярных полей (1.11) Ріпа — 2Voaa , Р(0) = 2а2Уо(ф) , и P(Q) = 2a2Vo(Q)f канонические сопряженные импульсы. Можно выделить следующие особенности отличающие наш подход от принятой теории Большого взрыва: 1. Выбираются конформные переменные. 2. Массы в гамильтониане шкалируются масштабным фактором т — mFoa(r]) и находятся из уравнений на нулевые моды скалярных полей (ф) и (Q) с начальными данными г] — О Начальные данные служат естественным источником нарушения масштабной симметрии в Хиггсовском дублете, а уравнение (1.10) —"did) трактуется как условие на теорию возмущений, сохраняющее начальные данные [53]. 3. Имеется уравнение связи начальных данных, полученное вариа цией по функции смещения есть полный гамильтониан. Значение канонического импульса на связях Pin a = Еи может быть рассмотрено как энергия Вселенной, поскольку In а трактуется как параметр эволюции Вселенной в теории с репараметризацией времени. 4. Стандартная Модель выделяет скалярные частицы и продольные компоненты векторных частиц, которые интенсивно рождаются из вакуума. Таким образом, Конформная космология основывается на уравнениях, начальных данных и уравнении связи начальных данных, а также на первичном и вторичном квантованиях уравнения связи, которые позволяют обобщать унитарные неприводимые представления группы Пуанкаре на конформно-плоскую метрику в соответствии с вигнеровской классификацией релятивистских состояний и самое главное позволяют описывать рождение Вселенной и частиц во Вселенной из вакуума, используя преобразование Боголюбова для определения чисел заполнения и интегралов движения [48, 49, 54]. Для описания Вселенной используют две выделенные системы отсчета: космическую, где рождается материя Вселенной, и систему отсчета наблюдателя с приборами, отождествляемую с системой отсчета Земли. Напомним иерархию движений, в которых принимает участие наша планета, как она представляется в настоящее время [55, 56] см. Рис. 2 В Галактической системе координат1 I = 90, 6 = 0 Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с; Солнце движется со скоростью 220 км/с вокруг центра нашей Галактики. В свою очередь центр нашей Галактики движется со скоростью 316 ±11 км/с к центру Местной группы галактик2 в направлении / = (93 ± 2), 6 = (—4 ± 1). В итоге, получаем, что скорость Галактического центра относительно центра местной группы - 91 км/с в направлении / = 163, b = —19. Центры нашей Галактики и туманности Андромеды (галактики М31) под действием гравитационного притяжения сближаются со ско- ростью 120 км/с. Предполагая, что наша Галактика и Андромеда дают существенный вклад в общую массу Местной Группы и масса нашей Галактики в два раза меньше, чем масса Андромеды, получаем, что наша Галактика движется к Андромеде со скоростью 80 км/с. Измерения дипольной анизотропии реликтового излучения, осуществленные американским космическим аппаратом СОВЕ, показали, что скорость Солнца относительно реликтового излучения порядка (370 ± 3) км/с, в направлении I = (266,4±0, 3), Ь = (48,4±0,5) [57). Эта анизотропия обусловлена движением наблюдателя относительно "глобальной" (абсолютной) системы отсчета.
Поскольку движение Солнца относительно местной группы и его движение относительно "абсолютной" системы отсчета, связанной с реликтовым излучением, имеют практически противоположные направления, то скорость центра местной группы относительно реликтового излучения оказывается достаточно большой: порядка (634± 12) км/с. в направлении I = (269 ± 3), Ъ = (48,4 ± 0, 5) [57]. Таким образом, центр Местной Группы движется в следующих направлениях [55]: а) в направлении скопления Девы I = 274, Ъ — 75 со скоростью 139 км/с; б) в направлении Большого Аттрактора / = 291, Ъ = 17, находя щемся на расстоянии 44 Мпк, со скоростью 289 км/с; в) в направлении, противоположном местной пустой области, I = 228, 6 = —10 со скоростью 200 км/с. Учитывая все эти движения можно утверждать, что Местная Группа движется со скоростью 166 км/с в направлении I = 281, b = 43. Поскольку ошибки определения индивидуальных скоростей составляют порядка 120 км/с [58], то можно считать, что Местная Группа практически находится в покое относительно далеких галактик. Объем координатного пространства Вселенной в системе отсчета реликтового излучения будем считать конечным. До создания Эйнштейном ОТО (1916 г.), модели статической и бесконечной Вселенной строились на основе механики Ньютона и геометрии Евклида, но они сразу же столкнулись с рядом трудностей, при объяснении даже скудных наблюдательных данных, имевшихся в то время. Одной из таких трудностей была загадка темного неба при заходе Солнца, или так называемый фотометрический парадокс Ольберса (1826 г.) [59, 60, 61, 62, 63]. На самом деле, этот парадокс был впервые установлен еще Галлеем в 1720 г. и Шизо в 1793 г. и связан с самым древним астрономическим наблюдением - темным небом ночью. Парадокс прост и в то же время поучителен, он сразу же отвергает наивную космологию бесконечной евклидовой и неизменной во времени Вселенной, при условии, что она равномерно заполнена звездами, имеющими одинаковую среднюю светимость I.
Нуклеосинтез в Ранней Вселенной
Вычисление первичного распределения гелия [82, 83, 84] принимает во внимание слабое взаимодействие, больцмановский фактор где Am - есть отношение нейтрон-протонной разницы масс к температуре, одинаковое для Стандартной и Конформной космологии, Amsc/Tsc — Атсс/Тсс = (1 + z) lmo/To: и зависимость z-фактора от измеряемого интервала (2.7) (1 4- z)"1 л/1 + 2Щ{г) — 7о) которая в данном случае согласуется с преобладанием жесткого состояния материи. В то время как в Стандартной космологии та же зависимость объясняется доминированием радиации. Может ли современная теория объяснить происхождение наблюдаемой материи во Вселенной ее космологическим рождением [70, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 94, 95, 96, 97, 98, 99] из вакуума? Ответ на этот вопрос связан с проблемой рождения частиц вблизи космологической сингулярности. До сих пор было принято считать, что числа рожденных пар явно недостаточно для объяснения количества всей наблюдаемой материи [86]. Напомним, что общепринятое в литературе космологическое рож дение массивных частиц вычисляется с помощью перехода к конформ ным переменным [86], для которых предел нулевого масштабного фак тора (точка космической сингулярности) означает исчезновение масс. Векторные бозоны и скалярные частицы выделяются в Стандартной Модели наличием сингулярности при нулевой массе [100, 101, 102]. В пределе нулевого масштабного фактора нормировка волновой функ ции -масеивнБіхчзєкторннхбозоноіП ГЖалярііІ по массе [100, 101, 102]. Отсутствие безмассового предела теории массив ных векторных полей хорошо известно [103], оно приводит к расходи мости числа рожденных продольных бозонов, вычисленных в низшем порядке теории возмущений [70, 86]. По поводу устранения этой расходимости существует два мнения.
В работах [86, 104] расходимость числа частиц устраняется стандартной перенормировкой гравитационной постоянной. Однако, в той же монографии [86] указывается, что число рожденных частиц описывается мнимой частью петлевых диаграмм Фейнмана, в то время как в Квантовой теории поля (КТП) перенормируются реальные части этих диаграмм, и тем самым подчеркивается, что обсуждаемая расходи- мость числа частиц не относится к классу тех расходимостей в КТП, которые устраняются обычной перенормировкой физических величин. Действительно, с физической точки зрения, данная расходимость является лишь следствием идеализации постановки задачи космологического рождения из вакуума. В этом случае квантовое рождение частиц в конечном объеме для системы с взаимодействием и обменными эффектами может приводить к коллективу бозе-частиц с определенным статистическим распределением по энергии, которое в состоянии обеспечить сходимость соответствующего интеграла от функции распределения по импульсам. В работах [48, 49] были исследованы физические условия и модели, для которых число рожденных векторных бозонов может быть вполне достаточным для объяснения происхождения материи во Вселенной. Одна из таких космологических моделей возникает из ОТО и СМ как теорий динамической масштабной симметрии. 2.3.2 Время рождения частиц и появления температуры Момент рождения первичных частиц, выделенных прямым взаимодействием с дилатоном, можно оценить приравнивая массы бозонов, в частности массы W-бозона 80.4 ГэВ, хаббловскому параметру Щ с- 1.54 1(Г42 ГэВ отсюда следует значение космологического масштабного фактора в этот момент Аналогично оценим момент возникновения температуры реликтового излучения, приравнивая температуру То = 2.725 К = 2.35 10 13 ГэВ хаббловскому параметру следовательно значение космологического масштабного фактора в этот момент Видно, что момент возникновения температуры реликтового излучения (2.15) фактически совпадает с моментом рождения дилатоном первичных частиц (2.13) awi о-ті 3 10 14. Этот факт свидетельствует в пользу того, что реликтовое излучение (2.15) может наследовать температуру первичных частиц (2.13). Если в течении всего времени существования реликтовых фотонов никакой их дополнительной тер-молизации не было, а длина свободного пробега реликтовых фотонов в течении всего времени жизни Вселенной была больше или равна горизонту Вселенной то спектр реликтового излучения может сохранить информацию о спектре масс векторных бозонов и хиггсовской частицы и параметрах их взаимодействий. Чтобы извлечь эту информацию из современных наблюдений [105, 106], будем предполагать, что механизм термо-лизации первичных частиц в момент их рождения (2.13) совпадает со стандартным механизмом термолизации релятивистского газа за счет упругих столкновений [107, 108, 109, 110]. Приведем список наблюдательных аргументов в пользу того, что в ранней Вселенной действительно было время когда никаких частиц не было, а время (2.13) рождения первичных частиц-(ііутем-их-іірямого-взаимодействия-с-дилатоном) совпадаете временем термолизации этих частиц, которое описывается температурой, как параметром термолизации.
Температура первичных частиц затем наследуется реликтовым излучением, как продуктом распада этих частиц. Как было показано в работах [48, 49], Вселенная, заполненная однородным свободным скалярным полем (как космологическим дополнением к классификации Вигнера), действует как фабрика продольных векторных бозонов и частиц Хиггса (Л) выделенных их прямым взаимодействием с однородным свободным дилатоном. Рождение первичных частиц F начинается в момент арі когда их комптоиовская длина совпадает с длиной горизонта Вселенной как это следует из принципа неопределенности АЕ-Ат] = 1, где АЕ = 2тпрі - изменение энергии, а Лту = 2./1 - изменение времени. Полевые уравнения для операторов рождения и уничтожения принимают форму (2.19) Если пренебречь в (2.19) упругими столкновениями, описываемыми взаимодействием Hillt, то вакуумная функция распределения где /3 - коэффициент преобразования Боголюбова F+ = ab+ + (3b , ведет к расходимости интеграла для плотности рожденных частиц [48, 49]: Расходимость интеграла (2.21) есть следствие идеализации задачи о процессе рождения пары частиц в конечном объеме для системы, где есть упругие столкновения (2.19)\_ И наоборот, если пренебречь дилатоипым взаимодействием в (2.19), коллектив свободных бозе-частиц за счет упругих столкновений может приобрести свойства вырожденного газа Бозе - Эйнштейна с функцией распределения Больцмана - Черникова [107, 108, 109, ПО] (с постоянной Больцмана / = 1) определяется из кинетического уравнения, где aF scat - сечение столкновений, и n(TF) - плотность числа частиц, rF - длина свободного пробега, которая отождествляется с размером горизонта с d(z) = а(г)2Щ1 [48, 49, 111] Тепловое равновесие считается устойчивым, если время установления температуры Тр векторных бозонов, т.е. время релаксации [111] (выражаемое через их плотность n{TF) и сечение рассеяния JSca,t. l/MjF) не превосходит времени формирования плотности векторных бозонов за счет их космологического рождения, которое определяется первичным параметром Хаббла r]F = l/HjF. Плотность числа частиц пропорциональна произведению параметра Хаббла и квадрата массы, которое в данном случае является интегралом движения: В соответствии с законом умножения вероятностей, вероятность рождения бозонов с определенным импульсом дается произведением вероятности их космологического рождения, на вероятность одноча стинного состояния векторных бозонов с распределением Больцмана - Черникова_(2.22)_[112] Если n(T\v) Tw, можно видеть, что значение этой температуры Tw « (M$yjHwi)1/3 = (MwoHo)1/3 = 2.3 К удивительно близко к наблюдаемому значению температуры реликтового излучения То — 2.725 К. Последнее может быть продуктом распада первичных бозонов и наследовать их температуру.
Абелева модель Хиггса
Обсудим альтернативный механизм спонтанного нарушения симметрии, используя в качестве примера модель, рассмотренную в работе [123J (3.63) где включены лагранжианы векторного поля V/x, безмассового спинор-ного поля ф и скалярного поля ф. Здесь ft = д у и D d +igV , j = дфу Ігесті5 то} ї ігд-яшітотсякоШтШ Шм\і связй7 і?/ 7 д Ц, сКУ есть напряженность. Переход к новым переменным дается преобразованием и означает поглощение фазовой переменной х векторным полем, известное как эффект Хиггса. хиггсовскими калибровочно-инвариаптными переменными. Действие Обычно, принцип действия в форме ттт" = 0 дает уравнение, которое трактуется как связь Решение уравнения связи символически можно представить в виде Подставляя это решение в действие S получим редуцированное выражение для 5red редуцированные лагранжианы массивного векторного и массивного сішнорного полей, соответственно. Оператор редукции определяется из уравнения Чтобы диагонализовать условие Гаусса (3.68), перейдем к новым радиационным переменным, которые устраняют второй член в (3.72) Эти переменные обобщают радиационные переменные в КЭД и ведут к теории с положительно определенным гамильтонианом со статическим взаимодействием. Значение этого гамильтониана на уравнениях движения является энергией рассматриваемой релятивистской системы. Состояние с минимальной энергией будем называть вакуумом. Этот вакуумный постулат дает возможность рассматривать спонтанное нарушение симметрии с помощью начальных данных, или конденсатов. Стандартная модель (СМ), известная как теория электро-слабых взаимодействий Глешоу - Вайнберга - Салама, строится на основе теории Янга - Миллса [16] с группой симметрии калибровочную инвариантность, имеет вид есть часть лагранжиана, независимая от поля Хиггса, билинейные по полям слагаемые, фермионы и W-, Z-бозоны взаимодействуют с полем Хиггса, формирующим их массы, есть напряженность неабелевых SU(2) полей и есть напряженность абелевого U(l) поля, являются ковариантными производными, и, Zs = (sf sf ) фермион-ные дублеты, дид - константы связи Вайнберга, и измеряемые бозоны W+, W , Z определяются отношением Прежде всего, видно, что функция Лаграижа (3.79) является билинейной относительно временной компоненты векторных полей VQ- — (AQ, ZQ, WQ, WQ) В сопутствующей системе отсчета, определяемой век- тором те = (1,0,0,0) где LQQ матрица дифференциальных операторов.
Поэтому, может быть реализован подход Дирака к СМ. Это означает что задача редукции и диагонализации набора законов Гаусса решается, и алгебра Пуанкаре может быть доказана [118]. Во всяком случае, СМ в низшем порядке теории возмущений может быть сведена к теории абелевых массивных векторных полей. В качестве иллюстрации рассмотрим процесс распада /f-мезона на пион и лептонную пару. Переход каоп-пион в сопутствующей системе отсчета (kfj, = ко, 0, 0, 0) сводится к диаграмме, которую дает слабое статическое взаимодействие (3.54) где JQ(X) - токи адронов, определяемые в области низких энергий кварковым содержанием 7Г+ и і +-мезоиов 7г+ = (J, и), К+ = (s, и), К -(s,d) Здесь Fn 92.4 МэВ - постоянная слабого распада и А - матрицы Гелл-Мапна [124]. В первом порядке разложения по мезонным полям аксиальные (А) и векторные (V) токи имеют вид В этом случае из Рис.7 видно, что вклад "аксиал-аксиалыюго" взаимодействия в амплитуду (3.86) пропорционален потенциалу Юкавы f d3ze AIw№(4ir\z\) l = М при k = 0, тогда как вклад "вектор-векторного" взаимодействия пропорционален петлевой диаграмме, описываемой интегралом с функциями Паули-Йордана возникающими в результате нормального упорядочения пионных полей в произведении токов ]_ . Сумма всех диаграмм петель мезонов сводится к эффективному коэффициенту увеличения gs — 1 + Хл і с/А/(0). Петлевые диаграммы также описывают амплитуды перехода К0 (К0) —- 7г. Нормальное упорядочение пионов приводит к взаимодействию токов с эффективной функцией Лагранжа и правилом ЛГ = 1/2 [125] Фиксируя неизвестную постоянную #8 = 5.1, по одному из распадов, можно показать [125], что лагранжиан находится в согласии с экспериментальными данными по другим многочисленным нолулеитонным и нелептонным распадам каона. Таким образом, можно объяснить правило AT = 1/2 и универсальный фактор #8 обычным упорядочением слабого статического взаимодействия в гамильтоновой СМ.
Слабое статическое взаимодействие подавляет все запаздывающие взаимодействия мезонов в амплитуде перехода, которое нарушает правило ЛГ =1/2 амплитуд радиационных распадов каона. Такое нарушение правила ЛГ = 1/2 в амплитудах радиационных распадов каона имеет место в лоренцевской калибровке [126], где слабое статическое взаимодействие исчезает, и запаздывающие взаимодействия мезонов дают основной вклад. Можно убедиться, что статическое взаимодействие по правилу ЛГ = 1/2 приводит к совпадению параметров форм-фактора мезона с параметрами амплитуды радиационного распада каона К+ —» -к+е+е ((л+ц ). Эти процессы описываются амплитудами в хорошем соответствии с экспериментальными данными [126, 128]. Было показано, что слабые статические взаимодействия в Стандартной Модели есть следствия гамильтонового подхода точно так же, как кулоновское статическое взаимодействие - следствие гамильтонового подхода в квантовой электродинамике. Статические взаимодействия отсутствуют в принятых версиях теории возмущений Стандартной Модели. Эти версии ограничивают область применения теории возмущений процессами рассеяния элементарных частиц, когда статические взаимодействия не важны. Однако, статические взаимодействия играют решающую роль при вычислении спектра масс связанных состояний, спонтанного нарушения симметрии, каон-пион перехода в слабых распадах и т.д. Статические взаимодействия следуют из постулата спектральности, который провозглашает существование вакуума как состояния с минимальной энергией. Нормальное упорядочивание мезонов в слабом статическом взаимодействии приводит к коэффициенту увеличения #8 в слабых распадах каона и правилу AT = 1/2. С другой стороны, слабое статическое взаимодействие в гамильтоновой СМ подавляет все запаздывающие взаимодействия мезонов в переходах ЛГ = 1/2. Статическое взаимодействие приводит к резонансной структуре амплитуд радиационных распадов каона в хорошем соответствии с существующими данными [127], в противоположность принятому ренорм-груиповому анализу, основанному на калибровке Лоренца, не учитывающему слабое статическое взаимодействие [126]. Согласно гамильтоновой формулировке СМ радиационные распады каона могут использоваться для измерения форм-факторов мезонов. Гамильтонов подход к Стандартной Модели определяет вакуум, вакуумные конденсаты, приводит к механизму спонтанного нарушения симметрии, генерирующему массы векторных и спипорных полей.
Принцип соответствия и пределы КТП
В настоящее время получены новые астрофизические данные, которые рассматривают как революцию в физической космологии. В частности, совокупность измерений зависимости красных смещений спектральных линий атомов на космических объектах от их расстояния до Земли [1] и новые данные [2, 3, 4] для больших значений красного смещения свидетельствуют о том, что наша Вселенная заполнена, в основном, не массивной материей далеких и потому невидимых галактик, а загадочным веществом совершенно другой природы, с другим уравнением состояния материи, названным Квинтэссенцией [5, 6]. Результаты измерения распределения химических элементов во Вселенной свидетельствуют об уравнении состояния материи в эпоху первичного нуклеосинтеза и о ничтожно малом вкладе видимой барион-ной материи (около 4 %) в космическую эволюцию [7, 8]. Результаты измерения параметров реликтового излучения (Cosmic Microwave Background (СМВ)) с температурой 2,725 К, оставшегося после отделения вещества от радиации при красных смещениях z 1100, дают информацию об эволюции ранней Вселенной [9]. Все это заставляет в очередной раз заново пересмотреть наши научные представления о Вселенной и тенденции развития этих представлений, в рамках объединенной теории взаимодействий, принятой в настоящее время. Напомним, что в качестве принятой в настоящее время объединенной теории рассматривают сумму действий Общей Теории Относительности (ОТО) [10, 11], Стандартной Модели (СМ) [12, 13, 14] и дополнительного скалярного поля, ассоциируемого с упомянутой выше Квинтэссенцией [5, 6]. Стандартная Модель физики частиц успешно описывает три из четырех известных науке сил (электромагнетизм, слабые и сильные взаимодействия), а Общая Теория Относительности описывает гравитацию и природу пространства и времени. Общая Теория Относительности и Стандартная Модель физики частиц, были сформулированы в результате применения принципа калибровочной симметрии [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22]. Исключением является потенциал Хиггса Vefj(0), геометрический статус которого до сих пор неясен.
Сама калибровочная симметрия выводилась в работах [17, 18, 19, 20, 21, 22], как следствие различия классификации релятивистских состояний по неоднородной группе Пуанкаре и классификации релятивистских полей по однородной группе Лоренца. В частности известно, что, согласно Пуанкаре-классификации физических состояний, существует 2 независимые степени свободы для поперечного djV? = 0 векторного безмассового поля, в то время как, согласно Лоренц-классификации полей, число компонент этого поля равно 4. Две лишние степени свободы убираются с помощью условий связи начальных данных (условия Гаусса и поперечной калибровки), которые требуют для своего вывода, согласно второй теореме Нетер, наличие определенной группы преобразований. Именно эта группа преобразований и является калибровочной группой. Аналогично существует 2 независимые степени свободы для поперечного djhj? = 0 бесследового ТТjj — 0 тензорного безмассового поля /г т = hj?: в то время, как число компонент этого поля равно 10. Лишние степени свободы убираются с помощью условий связи (условия типа Гаусса и поперечной калибровки), которые требуют для своего вывода, согласно второй теореме Нетер [23], наличие группы преобразований. В данном случае, эта группа преобразований отождествляется с общековариантпыми преобразованиями. Таким образом, калибровочные взаимодействия релятивистских полей можно получить [17, 18] из симметрии теории свободных релятивистских полей, и, в частности, их классификация но массе и спину, следует из этой симметрии, в хорошо известной теории неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре [24]. Вопрос объединения ОТО и СМ является одним из главных в современной теоретической физике. Его актуальность определяется задачами современной наблюдательной астрофизики и космологии, находящимися на стыке этих двух теорий. Эти задачи включают: 1. объяснение происхождения материи во Вселенной [25], 2. описание эволюции Вселенной во времени с образованием крупномасштабной структуры [26, 27, 28, 29, 30], 3. решение проблем Темной Энергии и Темной Материи [31], см. Рис. 1, Основная трудность объединения СМ и ОТО состоит в разных уровнях их теоретического описания: квантового для СМ и классического для ОТО. Одним из путей преодоления этой трудности является масштабно-инвариантная формулировка обеих теорий ОТО и СМ, которая сохраняет локальное физическое содержание этих теорий в касательном пространстве Минковского, и которая позволяет объединить их на уровне единого гамильтонового подхода [33, 34]. Как известно, гамильтонов подход допускает определение понятий времени, энергии путем решения энергетической связи, а также вакуума, как состояния с минимальной энергией, построенного с помощью первичного и вторичного квантования энергетической связи [35, 36]. Идея использовать принцип масштабной симметрии для описания физических взаимодействий уже давно обсуждается в литературе. Вспомним работы Вейля [34], Дирака [37] и других. В частности А.А. Фридман [38] по поводу масштабной инвариантности пишет: "К обычному принципу инвариантности добавляются еіце дополнительные требования инвариантности масштабной.
Остановимся на этих дополнительных требованиях; условимся называть изменением масштаба операцию различного для различных точек изменения ... величины фундаментального метрического тензора д . В этой операции нет ничего нового или экстраординарного: переезоісая из страны в страну, нам приходиться изменять масштаб, т.е. мерить в России — аршинами, в Германии — метрами, в Англии — футами. Вообразим, что подобную перемену масштаба нам пришлось бы делать от точки к точке, тогда и получаем описанную выше операцию изменения масштаба. Изменения масштаба в мире геометрическом будут, в физическом мире, отвечать различным способам измерения длины... упомянутого изменения масштаба, лучше сказать не меняют свою форму пи при каких изльенениях масштаба; другие будут при изменении масштаба менять свою форму. Условимся собственные свойства мира, принадлеоісащие к первому классу, называть масштабно-инвариантными. Вейль расширяет постулат инвариантности, добавляя к нему требования, чтобы все физические законы были масштабно-инвариантными свойствами физического мира. Сообразно такому расширению постулата инвариантности, приходится потребовать, чтобы и мировые уравнения выра-оюались бы в форме, удовлетворяющей требованию не только координатной, но и масштабной инвариантности? Вейль вводит понятие масштабно-инвариантных измеряемых длин с помощью отношения двух эйнштейновских интервалов стандартный интервал в теории Эйнштейна, a ds nits является единицей измерения. В качестве примера масштабно-инвариантного интервала в ОТО можно привести интервал, предложенный Лихнеровичем [39, 40, 41] нормированный таким образом, чтобы детерминант пространственной метрики \д \ был равен 1. Легко видеть, что интервал Лихнеровича не зависит от любых масштабных факторов, включая космологический масштабный фактор, в системе отсчета эволюции Вселенной. Такая система отсчета ассоциируется с собственной системой отсчета реликтового излучения, движущейся со скоростью 368 км/с в направлении к созвездию Льва относительно земного наблюдателя. В этой системе отсчета можно ввести понятия конечного координатного объема, усреднения скалярных величин по этому координатному объему, космологического времени, энергии Вселенной, частицы и вакуума. В настоящей диссертации рассматриваются вопросы объединения ОТО и СМ на основе принципов динамической масштабной симметрии, релятивистской симметрии преобразования систем отсчета и симметрии относительно общековариантных преобразований.
