Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Асимптотическая группа пуанкаре в пространстве Минковского 31
1. Алгебра связей в каноническом формализме ОТО 31
2. Поверхностные члены в скобках Пуассона 35
3, Асимптотическая группа Пуанкаре 37
Глава II. Алгебра генераторов асимптотически группы пуанкаре для асимптотически плоского пространства-вршени 44
1. Линеаризация поверхностных интегралов 44
2. Определение асимптотически плоского пространства-времени 46
3. АДУ - разложение, выбор гиперповерхности и "фоновой" метрики - 58
Глаза III. Теории Нётер в каноническом формализме ОТО ... 63
I. Общий вид вариации действия 63
2. Первая теорема Нётер 68
3. Вторая теорема Нётер 70
4. Несобственный закон сохранения 72
5. Глобальный подход и сохранение поверхностных интегралов 74
Заключение
Приложение I 90
Приложение II 93
Литература 95
- Поверхностные члены в скобках Пуассона
- Определение асимптотически плоского пространства-времени
- АДУ - разложение, выбор гиперповерхности и "фоновой" метрики
- Глобальный подход и сохранение поверхностных интегралов
Введение к работе
В современной сбизике все заметнее проявляется стремление к объединению отдельных физических теорий, описывающих разные уровни взаимодействия материи. Решение этой задачи возможно, разумеется, лишь при условии успеха в каждой отдельной области. Исторически, первое строгое математическое описание появилось в ньютоновской теории движения тел под действием тяготения '*'. Парадоксальным кажется, поэтому, положение, когда к настоящему времени гравитационное взаимодействие менее изучено по сравнению с другими видами фундаментальных взаимодействий: электромагнитным, слабым и сильным.
Объясняется это тем, что гравитационный эксперимент из-за чрезвычайной малости константы взаимодействия оказался наиболее трудно осуществимым. Не последнюю роль играет тут и невозможность экранировки силы тяготения. В результате в построении релятивистской теории гравитации принцип "внутренней красоты" (в терминологии Эйнштейна) получил преимущество над принципом "внешнего оправдания". В то же время общая теория относительности (ОТО) ' ' , принятая большинством физиков, обладает чертами, резко отличающими ее от остальных физических теорий. В ОТО, например, оказывается невозможным ввести понятие тензора энер-гии'-иглпульса гравитационного поля (кроме тождественно нулевого -на решениях уравнений движения), а тензор энергии-импульса прочих полей материи не приводит, в общем случае, к законам сохранения. Квантование ОТО встречает до сих пор не преодоленные затруднения, главным образом, из-за необходимости принимать в расчет флуктуации метрической структуры и топологии на малых _ 4 -расстояниях, где наши представления о пространстве-времени теряют смысл.
Однако,. несмотря на все трудности, физика гравитации сейчас бурно развивается, причем в нескольких направлениях: в постановке новых экспериментов, углублении понимания ОТО, разработке новых конкурентоспособных теорий. Так в работах А.А.Логунова с сотрудниками ' ' была недавно предложена полевая теория гравитации, в которой гравитационное поле, аналогично другим физическим полям, обладает тензором энергии-импульса и, следовательно, имеет место закон сохранения и превращения энергии.
Важным шагом в. поступательном движении гравитационной физики явилось создание канонического формализма ОТО в конце 50-х - начале 60-х годов. Трудность этой задачи, задержавшая ее решение на столь долгий срок (40 лет с момента появления ОТО), объясняется геометризованным характером теории. Еще в 1913 году Эйнштейн писал '*': "... я обнаружил, что уравнения, однозначно определяющие У*»; по fev и в то же время общековашантные. вообще не могут существовать...". (Здесь К,,/ - метрика, Сл«у>-тензор энергии-импульса материи). Такой "неоднозначный" канонический формализм, имеющий дело с произвольными функциями, разрабатывался Дираком '4~6/ в 50-х годах, им же заложены основы гамильтонизации ОТО /7~9Л Почти одновременно появился цикл работ Арновитта, Дез ера и Мизнера (АДЮ /*0-Wf в КОТОрОМ ^ выяснен геометрический смысл подхода и найдены удачные переменные, что позволило рассмотреть ряд конкретных проблем.
Состояние в каноническом формализме Дирака - АДМ задается на пространственноподобной гиперповерхности одновременности, так что индуцированная метрика <7у и линейная комбинация УГЧ--ІБ\І(Ч~аУІ() второй фундаментальной формы J^y являются - 5 -сопряженными переменными. Остальные 4 компоненты метрического тензора 9оияе являются динамическими, а входят в действие в качестве множителей Лагранжа при связях, то есть, произвольных функций.
Гамильтониан имеет вид H^JiNX+NWy*' (в.і) где - связи S-^(cfl? + f-Sp1i%0, %; = -J3Tc\zO. (В.2)
Обозначения приведены в Приложении I.
Такой гамильтониан совпадает с "плотностью энергии", полученной из симметричного тензора энергии-импульса гравитационного поля ' ', и обращается в нуль для любого решения уравнений связи.
Нулевой гамильтониан приводит к проблеме "замороженной" динамики. Это значит, что процедура наложения калибровок, исключения "лишних" переменных, замены скобок Пуассона скобками Дирака приводит к "замораживанию" собственных степеней свободы гравитационного поля. Проблема по разному для замкнутых и открытых пространств решается. В последнем случае, которым мы занимаемся в настоящей диссертации, указанием на возможное решение задачи послужило, в частности, сравнение с линеаризованной теорией.
Исходя из приближения слабого поля Дирак /'~у/ счел естественным разделить гамильтониан на две части - главную и поправочную, причем при получении главной принималось 9ои-~Ъои ж ПР~ изводилось вычитание поверхностного интеграла по бесконечно уда- ленной сфере, так что ^.zf[%(SPr-fj + B^M]dx, св.з)
Дирак писал ' Л "Отбрасывание этого поверхностного интеграла не влияет на способность гіиаін Давать уравнение движения, но приводит к тому, что /-/tU(ifa не исчезает в слабом смысле". По- верхностный интеграл имеет вид li o(Ss . (В.4)
Главный гамильтониан Дирак предлагает дополнять линейной комбинацией связей для того,чтобы генерировать произвольные деформации гиперповерхности состояшш. Уменьшение числа произвольных функций (или их полное исключение) достигается при наложении калибровочных условий, рассматриваемом в ' ' .
Такой спосо б получения ненулевого гамильтониана ОТО был расценен в работе AM ' ^' как "логически несовершенный": "Хотя при частном выборе дивергенции, который делает Дирак, редуцированный гамильтониан дает правильные уравнения движения в линейном приближении, не дано никакого общего доказательства, что в этом отношении все будет верно и в полной теории". Впоследствии в работе ' ' Редае и Тейтельбойма было сказано: "В _ 7 -процедуре Дирака кажется, что включение или отбрасывание поверхностного члена 7у,у7 (или любого другого поверхностного члена) есть дело вкуса. Одншсо, конечный результат оказывается критически зависящим от включения поверхностного члена".
АДА в своей формулировке гамильтонова формализма ОТО подчеркивали аналогию с параметризованной формой механики (и теории поля). Обычный вид действия для механической системы с /V степенями свободы . (В.6) приводится к параметризованной форме введением новой степени свободы $А/Н = ^, Р»Ч=- У(Р> %) №-?) и нового временного параметра ТГ , так что S--Jp«fUr , tf- &, ol-^.W. (В.8)
Однако, в таком виде действие приводит к неэквивалентным исходным уравнениям движения и поэтому необходимо добавить к лагранжиану связь Rs рт+ Н(р,})«0 (В.9) с некоторым лагранжевым множителем N S'=J(fbti-№Mr. (В.Ю)
Поскольку действие, полученное в канонической форме ОТО S =](*%* -М-А/%V*dit (в.п) - 8 -имеет подобный же вид, то в работах АДМ и процедура перехода к ненулевому гамильтониану предлагалась аналогичной параметризованной форме механики. Именно, требовалось построить из канонических переменных С?;.- %3f* время и координаты, с тем чтобы сопряженные переменные считать энергией и импульсом. По предположению АДЩ, эта проблема решается путем "калибровочного" преобразования к выделенной системе координат, где все переменные являются каноническими (то есть остаются 2 физические степени свободы на точку пространства). Эта идеология близка, как отмечали АДМ /1и/, работам В.А.Фока /J-9»^0/, где делался упор на предпочтительную гармоническую систему координат.
Все дальнейшее развитие теории не подтвердило выделейности гармонической системы среди прочих координатных систем. Эта калибровка является только одной из бесконечного числа возможных, также как "калибровка излучения" АДМ, или условия Дирака.
Невозможность построить 4 координатыJftf,Jf из канонических переменных 0:: , U[ " в случае асимптотически плоского пространства-времени следует из наличия условий на бесконечности
При этом допустимыми оказываются только те преобразования координат, которыми асимптотики (В.12) сохраняются, то есть, убывающие на бесконечности.
Дело несколько затемняется тем, что АДМ в большинстве слу чаев говорят о "соответствующих граничных значениях" обратного лапласиана, не выписывая их явно. В частности, сопоставляя ус ловия из 'iJ-' (АД-разложение подробно обсуждается ниже в 3 главы П) / т -г х ЛЬГ > ' (в. із) - 9 -мы видим, что в данном случае J-foU-j^. . В то же время для пространственных координат имеем Xі=g, , ^,=0, №. 14) то есть Jr(o)~ Xі
Таким образом, калибровки AM аґ^о , -Ар-о (в.к) и "соответствующие граничные значения" обратного лапласиана -^ , Ус это, вообще говоря, разные вещи. Последние отнюдь не являются функционалами от канонических переменных, а строятся из первоначальных координат, имеющих смысл до наложения каких бы то ни было калибровок.
АД утверждают, что истинные канонические переменные (fty ,
Ж1" могут после наложения калибровочных условий (B.I3-B.I4) быть представлены как функционалы от новых пространственно-вре- -/ т Л менных координат ~~j-Jf » 9i '
На самом деле, речь идет просто об исключении "лишних" переменных Л її и продолжении старых координате , Xі с бесконечности на все пространство-время.
Картина несколько проясняется в последующих работах АД /АО/, где признается, что "все координаты сводятся к обычным на бесконечности, оставляя свободу делать преобразования -типа во внутренней области". В работах /I4fI6/ отмечалось также, что выражение для "АДМ-энергии" E=J-*ff*=J(/W ->'М' (в.17) - 10 -оказывается независящим от выбора калибровки. Это не могло бы иметь места при правильности идеологии АД, так как, выбирая в качестве времени другую комбинацию канонических переменных мы получили бы и другое значение "энергии".
Математические доказательства, приводимые АДЛ в поддержку своей аргументации, таюке являются некорректными. Например, выражение для производящей функции ^r^-JfaZUfV/x . №. 18) подстановкой ортогональных разложений &у ,0[У приводится к виду ^Jflfffi* Aftf-P7]- **$Щ&, CB.I9) причем сказано, что "при получении этой формы мы свободно интегрировали по частям и опускали как поверхностные члены так и /тт/ полные вариации" ' м/. При корректном интегрировании получаем, в частности, что (В.20)
После учета калибровки (В.13) левая часть (В.20) обращается в нуль, а в правой части первое слагаемое есть, согласно (В.17), -~Е№' Однако, отброшенные КЩ поверхностные члены равны в точности f", то есть полностью компенсируют желаемый ответ.
Другой пример математической некорректности имеется в Приложении В к работе /-^/, где предлагается решать уравнения -^Хг=Ге"^ #і=*і<ґ* (в-21) для о/>(9 , а затем совершить предельный переходе/—>О . Легко - II - видеть, что это означает совершение скачка от одних граничных условии обратного оператора Лапласа к другим. Например, в первом случае (В.21) ПРИ Ы> І^> (В.22) при cL-z.o j-(q)~-JX.
Предельный переход, таким образом, предлагается производить при отсутствии непрерывности.
Швингер в своей статье '^*-'t в основном, повторяет рассуждения АДМ, используя аналогичное ортогональное разложение, причем выводы делаются "при условиях, когда правомерно интегрирование по частям". Как мы выше показали, в асимптотически плоском пространстве-времени, заданном при помощи (В.12), эти условия не выполняются. Интегрирование по частям оказывается, справедливым только в замкнутых пространствах, куда и должна быть отнесена идеология АДМ ' //.
В статье 1967 года '^', посвященной вопросам канонического квантования ОТО, де Витт при рассмотрении роли поверхностных интегралов следовал, в основном, линии рассуждений Дирака. Было отмечено, что в связи линейным образом входят вторые производные, которые обычно исключаются интегрированием по частям. Де Витт писал: "... хотя такое интегрирование по частям -оставляет динамические уравнения неизменными, оно изменяет определение энергии".
Из вышесказанного мы видим, что Дирак '^' и де Витт ' ' обосновывают вычитание поверхностных членов из гамильтониана сравнением с линеаризованной теорией, а АД /-^»^/ и Швин- гер ' ' - аналогией с параметризованной формой механики, которая оказывается в случае асимптотически плоского пространства-времени неприменимой. Поэтому, можно согласиться с высказанной Редже и Тейтельбоймом /18/' оценкой этих подходов к::проблеме по- - 12 -верхностных интегралов как "апологетических".
Более точная аргументация была найдена в 1959 г. Хиггсом. В заметке ' ' указывалось, что наложение связей fy(fs=0эквивалентно инвариантности состояний Y относительно локализованных преобразований координат на гиперповерхности, так что &ш /у*-Г)=<0 (В.23) **~ /25/ а не любых, как считалось в более ранней работе ' ' . Это следует из соотношений поскольку тогда справедлива формула Sf= -ij/x а*(х)%(Х)Р-іфіїг аЬ^СгЯЪР, (в.25) и для инвариантности г необходимо как так и uf/4 a"(Kj-0 (В.27)
Таким образом, было замечено, что асимптотические координаты играют особую роль для открытых пространств.
Работа '^' оставалась в тени в течение 15 лет до появления статьи Редже-Тейтельбойма '^'. Рассмотрим принципиальные особенности нового подхода, предложенного в /-^/, используя также последующие работы /^-о/ ^ - ІЗ -
Обычно предполагается, что изменение действия на поверхностный член не меняет уравнений движения. Зто оправдывается тем, что вариации полей могут быть приняты равными нулю на границе области интегрирования. Вариационный принцип, развитый в /18/, учитывает неограниченность области интегрирования, совпадающей со всем пространством, и медленное убывание варьируемых функции (как 7Г или " ). Вследствие этого, вклад некоторых дивергенциальных членов в гамильтониан оказывается отличным от нуля.
Вариация гамильтониана (В.І) в самом общем случае имеет вид -шу- да%< - *>* ь№ - (в<28)
Если принять для вариаций о9у, ОеІЇ* ту же асимптотику, которая задается (В. 12) для J^—Jv и 3[У соответственно, то величины поверхностных интегралов при варьировании могут изменяться.
Если же рассматривать лишь быстро убывающие пробные функции 0%ы(к) » оЗГ^уС) , то поверхностные интегралы на пространственной бесконечности пропадают.
Таким образом, возможно два вариационных принципа: обычный - с заведомо быстро убывающими пробными функциями и новый, допускающий все пробные функции, которые не нарушают асимптотических условий (В.12). Приняв второй из них, как это было сделано в /IQ/, уже нельзя утверждать, будто добавление поверхностных членов к действию не влияет на получение уравнений дви- - 14 -жения. Этот вариационный принцип позволяет находить поверхностные интегралы в гамильтониане, в то время как.в обычном подходе они остаются неопределенными. Идеология находит поддержку после редукции, то есть наложения калибровок, замены скобок Цуассона на скобки Дирака и принятия связей равными нулю "в сильном смысле". После редукции "дивергенции перестают быть дивергенциями", по выражению ІЦф/І. Исключив все зависимые переменные мы получим нелокальную зависимость Й;^, "Jfff от новых независимых переменных (у ДЩ - Л. и Зї*іТТ ). Следовательно, варьирование этих новых переменных в конечной области может приводить к изменению асимптотически главных членов порядка
Ч и Е~ в Op , ЯГУ на бесконечности. Это изменяет поверхностные интегралы, а значит, и действие в целом. Если же зафик-сировать члены порядка * и в fly , Ш' , то это приведет к дополнительным связям на независимые переменные,уменьшая тем самым число степеней свободы. Поэтому, считая, что гамильтониан должен принимать одни и те же значения до и после редукции, надо пользоваться подходом работы '*&' . Тогда "мы видим, что поверхностный интеграл должен быть включен в гамильтониан с самого начала по фундаментальным причинам, а не по каким-либо апологетическим соображениям" '*-'. Переопределенный гамильтониан принимает вид
Н'~- H+E*J(W+ М%)/х +$(?Н ->М, ю-29) так что его численное значение совпадет с "ДЩЛ - энергией", а также с результатами работ /8»9>^1»^3/ ПрИ условиях (В.12) на бесконечности.
Редже и ТейтелыЗойм в ' ' доказали впервые возможность генерации гамильтонианом инфинитезимальных преобразований груп- - 15 -пы Пуанкаре. При этом пришлось уточнить условия на бесконечности приняв разное поведение для четных и нечетных по отношению к пространственной инверсии частей функций. Параметры, соответствующие преобразованиям Пуанкаре, являются главными асимптотическими членами в /V(yJ ж /\[1()С)
Обобщенный гамильтониан в этом случае дается формулой где N--AJK + ct+0-(z)+o+(r<), ЛҐ^А'Х+а' + -(ї)+ 0+(ї2 А\=-А\ №'ЗІ)
Справедливость алгебры Пуанкаре для генераторов следует из полученного в ' ' соотношения для скобок Пуассона HUX), Н(^)]^НШК), (в.зз)
Л и А , & ж рг удовлетворяют условиям (В.31). / ' /то/
В результате проделанного в ' ' анализа стало ясно, что в пределах фазового пространства, заданного переменными #v , 3fV, удовлетворяющигли (В. 12), нельзя построить сопряженных к "знергии-имігульсу-АДТУГ величин. Такое построение возможно только в расширенном фазовом пространстве, где взаимно сопряженными являются 10 параметров асимптотически главных частей Nil Л/1 : Д. , А*е- , Of , аК и 10 генераторов D1' ,ЫСк ,ра , hi . Калибровки, рассматриваемые АДУ!, относятся к исходному фазовому пространству Qty , ffl и никак не затрагивают новые асимптотические переменные.
В дальнейшем подход, развитый в работе /ІЦ/, применялся к ряду различных задач: рассмотрению сферически симметричных конфигураций гравитационного, калибровочного и хиггсовского полей /**>»*'/1 супергравитации '> . Используя терминологию этих работ преобразования Пуанкаре мозшо назвать "несобственны ми". "Собственными" в ' ' называются преобразования, соответст- вуюшие функциям , принадлежащим пространству, дуальному к пространству функций cff(X) и sCtfr) Для "собственных" преобразований поверхностные интегралы в (В.32) исчезают. Согласно /^'/, "инвариантность теории относительно собственных калибровочных преобразований связана с сохранением во времени выполнения уравнений связи теории, тогда как инвариантность при несобственных преобразованиях ведет к нетривиальным законам сохранения. Соответствующие сохраняющиеся величины даются поверхностными интегралами". "Несобственные" преобразования не являются вполне произвольными, от них требуется сохранение граничных условий.
Утверждение о дуальном пространстве нуждается в уточнении. Речь может идти лишь о формальном критерии сходимости интегра- лов//Ш> kJ/1/Ш'Л
, не учитывающем возможность интегрировать по частям. Применительно к асимптотически плоскому пространству в диссертации преобразования будут классифицированы на основе группового подхода. - 17 -Выше мы рассмотрели в историческом плане основные результаты, полученные до последнего времени в гамильтоновом формализме ОТО для асимптотически плоских пространств. Логически и математически последовательным является только подход Редже-Тейтель-бойма. В качестве определения асимптотической плоскости всюду принимались условия (В.12) или (В.30), вследствие чего область применимости подхода, развитого в /18/, была ограничена неинвариантными асимптотичесішми условиями. Ограничения были наложены на форму гиперповерхности состояния (она должна быть асимптотически плоской), систему координат на гиперповерхности (должна быть асимптотически декартовой, сферические координаты использовались в '",<>и только для строго сферически симметричных конфигураций) и на скорость стремления к асимптотическим значениям. Полученные выражения для численных значений генераторов группы Пуанкаре (В.32) также не инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат на гиперповерхности. Как бы- /Я 29—ЯТ/ ло показано в работах /VJ>^ ' , эти преобразования позволяют произвольно изменять, например величину с ("АЩ-энергию"). Поэтому доказательства положительности "АДЛ-энергии" /^-о//^ использующие те же неинвариантные асимптотические условия (В.22), иногда, вместе с дополнительными ограничениями для высших производных, конечно, не решили проблему энергии-импульса в ОТО, как это утверждалось в ' '. Таким образом, основной недостаток постановки задачи, использующей "наивные" (по выражению Л.Д. Фаддеева '6') граничные условия (В.12), состоит в невозможности провести-различие между истинными тензорными величинами, преобразующимися по тензорному закону при общих преобразованиях координат, и аффинными тензорами. Уместно отметить, что по ана- - 18 -логичному поводу в статье ' "' Эйнштейн писал: "... такие граничные условия предполагают определенный выбор системы отсчета, что несовместимо с духом принципа относительности".
Одним из основных результатов настоящей диссертации является постановка граничных условий для асимптотически плоского пространства координатно-независимым образом. При этих условиях действуя в духе подхода Редже-Тейтельбойма удается построить гамильтонов формализм с поверхностныгли членами, удовлетворяющий требованию ковариантности относительно группы Пуанкаре. Численные значения генераторов при этом определяются однозначно для решений уравнений связи., Следует отметить, что неоднократно предпринимались попытки дать ковариантное обобщение выражений для "АДМ-энергии" и других генераторов группы Пуанкаре. Ниже мы рассмотрим ряд работ в этом направлении с целью сравнения их с нашим подходом.
В статье Комара ' ' (1959 г.) было предложено использовать 4-вектор с тождественно равной нулю дивергенцией
РЪМ!*'- f% СВ.34) в качестве исходной величины для получения интегралов движения. В асимптотически галилеевской системе координат при выборе |= $0 интегральная величина RJ)-J^P'(VA --fJP"^ св.35) совпала с шварцшильдовской массой. По этому поводу Комар пишет ' I: "Так как строгие трансляции не образуют инвариантной подгруппы группы общекоординатных преобразований, идентификация любых величин Р (jj как энергии и импульса должна производить- ся отдельно в каждой координатной системе... Возможно окажется осуществимым разбить векторные поля на классы эквивалентности и идентифицировать соответствующие классы с энергией и импульсом... Однако эти исследования еще находятся на ранней стадии". В работе Мурчадхи и Йорка ' ' предлагалось разбивать метрический тензор гиперповерхности OJy на две части ^- = 4-^-/ (в-36) где 4ц - плоская метрика, пп->0 на бесконечности. После этого hij подвергается ковариантному ортогональному разложению h = % + (Ь Щ + І Mij, (В.37) где h(y - поп еречно-б ее следовая часть, (LWjy = +Щ-% 4*-Ц. WK _ продольно-беооледо- вая, piz. її:.-4^ » R - ковариантная производная по отношению к плоской метрике ^,у . Тогда утверждается, что энергия есть просто коэффициент при *Z~1 в разложении скаляра h——h-J%W . Выполняя преобразование координат, приводящее плоскую метрику j к виду ц - fy 4i^4v + v
Нетрудно заметить, что все приведенные утверждения справедливы только в линеаризованной теории. Так например, если /у - плос- кая метрика, то ^ из (В.38) уже не будет плоской, так как не включает квадратичных членов преобразования координат. Точно также hj. не является скаляром при общих координатных преобразованиях. Рассуждения работы /4I/, поэтому, носят формальный характер и не подкрепляются никакими конкретными оценками области их применимости.
В статье Абботта и Дезера ' ' метрический тензор пространства-времени разбивается на две части ^V-jW+/lV, СБ.40) так что ^IwV- решение уравнений ОТО, обладающее векторами Кил-линга, а /) ,->о на бесконечности. В частном случае асимптотически плоского пространства-времени, который нас интересует, Qj**~ плоская метрика, то есть, ее тензор Еимана равен нулю. Эта фоновая метрика имеет 10 линейно-независимых векторов Киллинга, удовлетворяющих уравнению _ ЯД* +&А^=-, (B.4I) где о&, - ковариантная производная по отношению к Ох .
Плотность "тензора энергии-импульса гравитационного поля" определяется формулой (-fft Т< Ґ- if*R - (??- ІГ%) СВ.42) и удовлетворяет (для решений уравнений ОТО) закону сохранения S^ ТМ =0. (В.43)
Здесь К ь и RL означают линеаризованные по fj ^ выражения
Используя определение вектора Киллинга (В.41) и сшлметрич-ность / , получаем
Интегрирование этого соотношения по всему пространству приводит к формуле 'ЫГЪ & = -Т% & (В.45)
Далее ' ', "если /l,/ исчезает достаточно быстро на пространственной бесконечности, тогда, как обычно, мы получаем, что (В.46) не зависит от времени. Таким образом, с каждым вектором Киллин-га ассоциирована сохраняющаяся величина, определенная как E(fJ-ffJ^r%. (в.47)
Если Т - времениподобный вектор, эта величина есть как раз то, что мы называем энергией Киллинга".
Ясно, что ключевым моментом, позволяющим получить "тензор-энергии-импульса", является введение фоновой плоской метрики. В более ранней работе Персидеса ' ' "тензор энергии-импульса" строится аналогичным образом, но более точно называется комплексом Ландау - Лифшица в^и'Х СВ.48) нанты CPjuj - физическая, a yj j - фоновая метрика, 0 и ^ - детерми-О j и lj , , соответственно. Вторая метрика J? . "должна - 22 -пониматься как инструмент для вычислений и не имеет физического смысла. Таким образом, существование двух метрик не означает возврата к двуметрической теории гравитации" ' '. В таком подходе "нет ковариантных условий для единственного и полного определения h я из Q^ . Следовательно, энергия-импульс пространства-времени остается нелокализованной".
Однако, если Персидес в ' ' доказывает единственность интегральных величин, получаемых в специальной системе координат на световой бесконечности, то Абботт и Дезер ' ' проблему единственности даже не рассматривают. Покажем, что требования исчезновения интегралаф 7~l f,c- на пространственной бесконечности для времениподобного вектора трансляции ^ |"^не достаточно для однозначного определения величины JEfjJ .
Примем за исходную метрику Шварцшильда в виде тогда разбиение (В.40) при Ум^^м]/ » Г = (1»0»0,0) дает
В то же время, выбирая фоновую плоскую метрику в виде ^^^^^І^^Ї^^Г^І^О > (В.50) где -T^-ofe'V, >0' мы по-прежнему имеем d г*О на бесконечности и для любого >0 . Но при 0<< ~2 интеграл Е (J ) расходится, а при Z- JT изменяется на конечную величину. В частности, если принять, следуя - 23 -/30/ получаем
Е '=М(4+<<*)~ (в.5з)
Таким образом, определение Абботта - Дезера ' ' приводит к неоднозначности численного значения "энергии Киллинга".
В более поздней статье '44/, представляющей собой обзорный доклад, Дезер вносит в определение "энергии Киллинга" некоторые коррективы. Во-первых, требуется убывание , как Y<, во-вто-рых, утверждается справедливость соотношения (В.54)
Однако, ссылка на исходные работы АДМ 'I0~Ib/ как на дающие координатно-инвариантное разбиение метрики Q^>ДВ.40) не обоснована, поскольку, как мы видели выше, там рассматривались только нековариантные условия (В.12). Что касается алгебры Пуанкаре (В.54), то в таком виде она до сих пор нигде не была доказана.
В диссертации при ковариантных асимптотических условиях будет доказано соотношение (В.33), которое после наложения калибровочных условий и редукции имеет вид, сходный с (В.54).
В работе Нестера ' ' предлагается формула для"4-вектора энергии-импульса" асимптотически плоского пространства-времени /&ГК/^=-^И^/4/^І^«0 (В.55) где Л J fa ~ /г*я ~~l$n- CltJlo^c%J - разность двух связностей. Нестер принимает условие дГ$~0(ї*) св-56) называя эту величину "асимптотическим тензором". Ясно, однако, что такое условие, наложенное на компоненты тензора А /л , при переходе от асимптотически декартовых координат к произвольным не выполняется и поэтому не является ковариантным. Критерий разбиения (В.40) должен быть сформулирован независимо от системы координат, в диссертации это достигается при групповом подходе.
Аналогичная непоследовательность имеет место в методе Мел-лера ' ' (1964 г.), использующем тетрадный формализм. Согласно ' ' "вектор энергии-импульса" имеет вид м го,ч P^-iJUiitSKt, №.57) где <и«-_Щ1«-№+Пфк1 hi h(*)k =Jf,'tc , здесь с , К, Є = 1,2,3,4. Поле тетрад строится следующим образом: "В случае островной системы мы можем взять асимптотически лоренцеву систему координат, в которой 0>;кстремится к у[іс по мере пространственного удаления от системы. Для тетрад мы будем тогда требовать асимптотического стремления к постоянным значениям ІЇ*. = <Г/. (В. 58)
Естественно потребовать для граничных условий, чтобы разность у\ . - 0 стремилась к нулю на бесконечности таким же образом, как и ОК - % Во всех других отношениях выбор тетрадного - 25 -поля вполне произволен, разумеется, при условии, что не нарушается соотношение п і h(ajK. ~ 9ik_ ' ' .
Приведенная нами выше оценка, данная в ' ' Комаром формулам (В.34-В.35), целиком относится и к (В.57).
В работе Реулы ' '' недавно было предложено новое определение асимптотически плоских начальных данных (
Определение: начальные данные («-> , п*4 , Л ) называются асимптотически плоскими, если
I. Существует плоская метрика %^ на^'А , где/\ - компактное множество, так что для некоторогоС>0 и любого вектора с и (Ь-~К, fyag) состоит из конечного числа связных компонент, каждая из которых изометрична евклидову пространству с выброшенным шаром.
2. / Va hec І\ я-Ьґ„4 , /, г^ (R +Тbuj-^X являются интегрируемыми. Здесь КГ обозначает ковариантную производную на ( J , %)» ( - ковариантная производная на (о , hQff). Для оп-редения"энергии-импульса"в ' ' служит объемный интеграл с заведомо неотрицательным при JW%> jadj * подынтегральным выражением, в котором используется вспомогательное спинорное поле. Существование и единственность этого спинорного поля доказыва- ется для определенных выше асимптотически плоских начальных данных. Реула дает следующее резюме ' /: "Чтобы определить полную энергию-импульс изолированной системы обычно исходят из - 26 -очень небольшого класса начальных данных, для которого легко получить выражения для/Г и Ра и представить физическую аргументацию (как существование законов сохранения или канонического формализма), оправдывающую эти выражения. Определение затем подтверждается в приближении слабого поля или применением к точным решениям. После этого определение распространяется на все системы, для которых эти выражения имеют смысл (то есть дают конечные значения для/Ей га )... Но теперь мы имеем объемный интеграл с положительно определенным подынтегральным выражением, который, согласно аргументам Виттена, при соответствующих граничных условиях дает тот же ответ дляt и/^ , что и АДМ - выражения. Но по настоящей теореме существования объемный интеграл имеет смысл при более слабых граничных условиях... Это наводит на мысль, что энергия и импульс и определяется этим объемным интегралом. Таким образом, этим определением мы расширяем, в некотором смысле максимально>класс начальных данных, допускающих конечную полную энергию и импульс".
Подведем итоги нашего рассмотрения. В ряде работ '^~^^i получены ковариантные формулы (В.35), (В.39) и (В.47), призван^ ные обобщить понятие "энергии-импульса АДМ", без строгого установления области их применимости, в результате эти формулы оказываются неоднозначными. В других работах /44~4/ уСЛ0ШЯ на бесконечности ставятся только в специальных системах координат, что не позволяет считать эти подходы последовательно ковариант-ными. Здесь мы имеем дело лишь с попыткой ковариантной экстраполяции формул. Серьезно аргументированной является статья Реу-лы /4'/, где дается новое и весила общее определение асимптотически плоских начальных данных последовательно ковариантным относительно выбора системы координат на гиперповерхности образом. - 27 -Это позволяет с помощью вспомогательного спинорного поля ввести величину, которая определяется единственно, обладает положительной определенностью и совпадает при асимптотически условиях (В.12) с "энергией-импульсом АД".
Однако, в /4'/, как и в настоящей диссертации, результаты получены только для состояний, заданных на асимптотически плоских гиперповерхностях, причем наложены ограничения на скорость стремления кривизны гиперповерхности к нулю.
В ' ' также не рассматривался гамилътонов формализм, и поэтому, открытым остается вопрос о том, являются ли введенные там величины численными значениями генераторов трансляций. То же самое можно сказать о работах /4~Ь1/t где новые определения сохраняющихся величин даются не путем введения новых полей на старом многообразии, а путем введения нового многообразия (компактификации).
По поводу часто встречающегося стремления связать какую-либо из вышеупомянутых работ с решением проблемы энергии-импульса в ОТО можно сказать следующее. Проблема энергии-импульса в ОТО имеет длинную историю. Множество подходов, изобретательно развитых выдающимися учеными, впоследствии не выдерживало строгой критики. С нашей точки зрения, все рассмотрения, использующие понятие закона сохранения энергии-шшульса в ОТО в конечном счете окажутся привнесенными извне и возникшими лишь в. силу привычных форм мышления.
В настоящей диссертации найдены инвариантные относительно выбора системы координат на гиперповерхности асимптотические условия, достаточные для реализации в каноническом формализме ОТО алгебры генераторов группы Пуанкаре. Сравнение показывает, что условия, принятые в работе ' ' для этой цели являются слишком слабыми. Последние, тем не менее, достаточны для существования генераторов трансляций.
В диссертации канонический формализм ОТО для асимптотически плоского пространства-времени рассматривается с применением двух различных подходов: построением алгебры генераторов с поверхностными членами и методами теоремы Нетер.
В первой главе получен общий вид скобок Пуассона связей с учетом всех могущих возникнуть поверхностных членов.
Показано, что в общем случае не удается построить алгебры генераторов с поверхностными членами. Однако, для пространства Минковского и состояний, заданных на пространственноподобных гиперплоскостях можно замкнуть алгебру связей, если выбирать параметры инфинитезимальных преобразований соответствующими асимптотической группе Пуанкаре. Она имеет структуру полупрямого произведения группы Пуанкаре на бесконечную группу координатных преобразований, определенным образом убывающих на бесконечности.
Во второй главе рассматривается более общий случай асимптотически плоского пространства-времени.
При выборе параметров из алгебры группы Пуанкаре, сохраняющей некоторую "фоновую" плоскую метрику, производится разложение по степеням отклонения от нее реальной метрики гиперповерхности. Показывается, что члены нулевого порядка обращаются в нуль, линейные имеют вид, необходимый для замыкания алгебры генераторов, а члены высших порядков нарушают алгебраическую структуру.
На этом основании строится фазовое пространство, допускаю- - 29 -ідеє реализацию алгебры генераторов группы Пуанкаре. Асимптотически плоские начальные данные определяются как принадлежащие этому фазовому пространству.
Асимптотически плоское пространство-время определяется как содержащее семейство гиперповерхностей с асимптотически плоскими начальными данными, так что преобразования группы Пуанкаре, соответствующей "фоновой" плоской метрике, переводят их друг в друга.
Доказывается, что в этом случае применим вариационный принцип Редже-Тейтельбойма ' ' и генераторы с линеаризованными поверхностными членами образуют алгебру. Эти генераторы реализуют представление алгебры асимптотической группы Пуанкаре, введенной в главе I для пространства Минковского. Показано,- что, хотя "фоновая" плоская метрика определяется неоднозначно, численные значения генераторов на решениях уравнений связи не зависят от ее выбора.
В случае декартовой системы координат на бесконечности показано, что нашему определению асимптотической плоскости соответствует некоторое обобщение условий работы ' ^.
Дается рецепт применения АДМ - разложения при медленно убывающих преобразованиях координат и времени для перехода на "хорошую" гиперповерхность и для выбора "хорошей" плоской "фоновой" метрики (то есть, удовлетворяющих нашему определению асимптотической плоскости).
В третьей главе к гамилътонову формализму ОТО применяется инфинитезимальный метод анализа инвариантной вариационной задачи, восходящий к работам Э.Нётер и Ф.Клейна /ь^»53/# Получены тождества, связывающие лагранжевы производные от действия с ди-вергенциальными членами (I теорема Нётер), тождества для самих лагранжевых производных (П теорема Нётер) и тождества для ди- - зо - вергенциальных выражений (несобственный закон сохранения). Проводится сравнение с результатами общековариантного лагранжева формализма.
Глобальное рассмотрение инвариантной вариационной задачи означает учет граничных условий на бесконечности. При условии асимптотической плоскости пространства-времени из теоремы Нё-тер получены генераторы асимптотической группы Пуанкаре, которые совпадают с найденными в главе П.
Обсуждается вопрос о выборе поверхностных членов в дейст-. вии ОТО. Показана ошибочность утверждения ' ' о том, что единственно допустимой плотностью лагранжиана является для асимптотически плоского пространства-времени плотность без вторых производных.
В приложении дается сводка используемых обозначений, а также сводка определений и теорем, позволяющих с большей математической строгостью формулировать некоторые результаты. - ЗІ -
Поверхностные члены в скобках Пуассона
Таким образом, возможно два вариационных принципа: обычный - с заведомо быстро убывающими пробными функциями и новый, допускающий все пробные функции, которые не нарушают асимптотических условий (В.12). Приняв второй из них, как это было сделано в /IQ/, уже нельзя утверждать, будто добавление поверхностных членов к действию не влияет на получение уравнений движения. Этот вариационный принцип позволяет находить поверхностные интегралы в гамильтониане, в то время как.в обычном подходе они остаются неопределенными. Идеология находит поддержку после редукции, то есть наложения калибровок, замены скобок Цуассона на скобки Дирака и принятия связей равными нулю "в сильном смысле". После редукции "дивергенции перестают быть дивергенциями", по выражению ІЦф/І. Исключив все зависимые переменные мы получим нелокальную зависимость от новых независимых переменных (у ДЩ - Л. и Зї іТТ ). Следовательно, варьирование этих новых переменных в конечной области может приводить к изменению асимптотически главных членов порядка на бесконечности. Это изменяет поверхностные интегралы, а значит, и действие в целом. Если же зафик-сировать члены порядка и в fly , Ш , то это приведет к дополнительным связям на независимые переменные,уменьшая тем самым число степеней свободы. Поэтому, считая, что гамильтониан должен принимать одни и те же значения до и после редукции, надо пользоваться подходом работы & . Тогда "мы видим, что поверхностный интеграл должен быть включен в гамильтониан с самого начала по фундаментальным причинам, а не по каким-либо апологетическим соображениям" - . Переопределенный гамильтониан принимает вид так что его численное значение совпадет с "ДЩЛ - энергией", а также с результатами работ ПрИ условиях (В.12) на бесконечности. Редже и ТейтелыЗойм в доказали впервые возможность генерации гамильтонианом инфинитезимальных преобразований группы Пуанкаре. При этом пришлось уточнить условия на бесконечности приняв разное поведение для четных и нечетных по отношению к пространственной инверсии частей функций. Параметры, соответствующие преобразованиям Пуанкаре, являются главными пределах фазового пространства, заданного переменными #v , 3fV, удовлетворяющигли (В. 12), нельзя построить сопряженных к "знергии-имігульсу-АДТУГ величин. Такое построение возможно только в расширенном фазовом пространстве, где взаимно сопряженными являются 10 параметров асимптотически главных частей Nil Л/1 : Д. , А е- , Of , аК и 10 генераторов . Калибровки, рассматриваемые АДУ!, относятся к исходному фазовому пространству Qty , ffl и никак не затрагивают новые асимптотические переменные. В дальнейшем подход, развитый в работе /ІЦ/, применялся к ряду различных задач: рассмотрению сферически симметричных конфигураций гравитационного, калибровочного и хиггсовского полей / » /1 супергравитации . Используя терминологию этих работ преобразования Пуанкаре мозшо назвать "несобственны ми". "Собственными" в называются преобразования, соответст вуюшие функциям , принадлежащим пространству, дуальному к пространству функций cff(X) и sCtfr) Для "собственных" преобразований поверхностные интегралы в (В.32) исчезают. Согласно / /, "инвариантность теории относительно собственных калибровочных преобразований связана с сохранением во времени выполнения уравнений связи теории, тогда как инвариантность при несобственных преобразованиях ведет к нетривиальным законам сохранения. Соответствующие сохраняющиеся величины даются поверхностными интегралами". "Несобственные" преобразования не являются вполне произвольными, от них требуется сохранение граничных условий. Утверждение о дуальном пространстве нуждается в уточнении. Речь может идти лишь о формальном критерии сходимости интегра, не учитывающем возможность интегрировать по частям. Применительно к асимптотически плоскому пространству в диссертации преобразования будут классифицированы на основе группового подхода. Выше мы рассмотрели в историческом плане основные результаты, полученные до последнего времени в гамильтоновом формализме ОТО для асимптотически плоских пространств. Логически и математически последовательным является только подход Редже-Тейтель-бойма. В качестве определения асимптотической плоскости всюду принимались условия (В.12) или (В.30), вследствие чего область применимости подхода, развитого в /18/, была ограничена неинвариантными асимптотичесішми условиями. Ограничения были наложены на форму гиперповерхности состояния (она должна быть асимптотически плоской), систему координат на гиперповерхности (должна быть асимптотически декартовой, сферические координаты использовались в ", и только для строго сферически симметричных конфигураций) и на скорость стремления к асимптотическим значениям. Полученные выражения для численных значений генераторов группы Пуанкаре (В.32) также не инвариантны по отношению к произвольным преобразованиям координат на гиперповерхности. Как было показано в работах /VJ , эти преобразования позволяют произвольно изменять, например величину с ("АЩ-энергию"). Поэтому доказательства положительности "АДЛ-энергии" / -о// использующие те же неинвариантные асимптотические условия (В.22), иногда, вместе с дополнительными ограничениями для высших производных, конечно, не решили проблему энергии-импульса в ОТО, как это утверждалось в . Таким образом, основной недостаток постановки задачи, использующей "наивные" (по выражению Л.Д. Фаддеева 6 ) граничные условия (В.12), состоит в невозможности провести-различие между истинными тензорными величинами, преобразующимися по тензорному закону при общих преобразованиях координат, и аффинными тензорами. Уместно отметить, что по аналогичному поводу в статье " Эйнштейн писал: "... такие граничные условия предполагают определенный выбор системы отсчета, что несовместимо с духом принципа относительности".
Одним из основных результатов настоящей диссертации является постановка граничных условий для асимптотически плоского пространства координатно-независимым образом. При этих условиях действуя в духе подхода Редже-Тейтельбойма удается построить гамильтонов формализм с поверхностныгли членами, удовлетворяющий требованию ковариантности относительно группы Пуанкаре. Численные значения генераторов при этом определяются однозначно для решений уравнений связи., Следует отметить, что неоднократно предпринимались попытки дать ковариантное обобщение выражений для "АДМ-энергии" и других генераторов группы Пуанкаре. Ниже мы рассмотрим ряд работ в этом направлении с целью сравнения их с нашим подходом.
Определение асимптотически плоского пространства-времени
В диссертации канонический формализм ОТО для асимптотически плоского пространства-времени рассматривается с применением двух различных подходов: построением алгебры генераторов с поверхностными членами и методами теоремы Нетер.
В первой главе получен общий вид скобок Пуассона связей с учетом всех могущих возникнуть поверхностных членов. Показано, что в общем случае не удается построить алгебры генераторов с поверхностными членами. Однако, для пространства Минковского и состояний, заданных на пространственноподобных гиперплоскостях можно замкнуть алгебру связей, если выбирать параметры инфинитезимальных преобразований соответствующими асимптотической группе Пуанкаре. Она имеет структуру полупрямого произведения группы Пуанкаре на бесконечную группу координатных преобразований, определенным образом убывающих на бесконечности. Во второй главе рассматривается более общий случай асимптотически плоского пространства-времени. При выборе параметров из алгебры группы Пуанкаре, сохраняющей некоторую "фоновую" плоскую метрику, производится разложение по степеням отклонения от нее реальной метрики гиперповерхности. Показывается, что члены нулевого порядка обращаются в нуль, линейные имеют вид, необходимый для замыкания алгебры генераторов, а члены высших порядков нарушают алгебраическую структуру. На этом основании строится фазовое пространство, допускаю-реализацию алгебры генераторов группы Пуанкаре. Асимптотически плоские начальные данные определяются как принадлежащие этому фазовому пространству. Асимптотически плоское пространство-время определяется как содержащее семейство гиперповерхностей с асимптотически плоскими начальными данными, так что преобразования группы Пуанкаре, соответствующей "фоновой" плоской метрике, переводят их друг в друга. Доказывается, что в этом случае применим вариационный принцип Редже-Тейтельбойма и генераторы с линеаризованными поверхностными членами образуют алгебру. Эти генераторы реализуют представление алгебры асимптотической группы Пуанкаре, введенной в главе I для пространства Минковского. Показано,- что, хотя "фоновая" плоская метрика определяется неоднозначно, численные значения генераторов на решениях уравнений связи не зависят от ее выбора. В случае декартовой системы координат на бесконечности показано, что нашему определению асимптотической плоскости соответствует некоторое обобщение условий работы .Дается рецепт применения АДМ - разложения при медленно убывающих преобразованиях координат и времени для перехода на "хорошую" гиперповерхность и для выбора "хорошей" плоской "фоновой" метрики (то есть, удовлетворяющих нашему определению асимптотической плоскости). В третьей главе к гамилътонову формализму ОТО применяется инфинитезимальный метод анализа инвариантной вариационной задачи, восходящий к работам Э.Нётер и Ф.Клейна Получены тождества, связывающие лагранжевы производные от действия с ди-вергенциальными членами (I теорема Нётер), тождества для самих лагранжевых производных (П теорема Нётер) и тождества для дивергенциальных выражений (несобственный закон сохранения). Проводится сравнение с результатами общековариантного лагранжева формализма. Глобальное рассмотрение инвариантной вариационной задачи означает учет граничных условий на бесконечности. При условии асимптотической плоскости пространства-времени из теоремы Нё-тер получены генераторы асимптотической группы Пуанкаре, которые совпадают с найденными в главе П. Обсуждается вопрос о выборе поверхностных членов в дейст-. вии ОТО. Показана ошибочность утверждения о том, что единственно допустимой плотностью лагранжиана является для асимптотически плоского пространства-времени плотность без вторых производных. В приложении дается сводка используемых обозначений, а также сводка определений и теорем, позволяющих с большей математической строгостью формулировать некоторые результаты. Гамильтонов формализм ОТО является частным случаем более общего геометризованного гамильтонова формализма, призванного координатно-инвариантным образом описывать динамику произвольных полей в (псевдо)римановом пространстве-времени. Основные идеи такого описания, вместе с исходной его разработкой применительно к пространству Минковского,принадлежат Дираку /k»54/# В качестве фиксированного момента времени выбирается простран-ственноподобная гиперповерхность, а поля разлагаются по базису, состоящему из вектора единичной нормали и трех касательных к координатным линиям на поверхности векторов. Такое 3+1 - разложение приводит к новым полевым переменным, через которые выражается гамильтониан, "движение" означает переход на новую гиперповерхность с новой системой внутренних координат. Поскольку имеется 4 степени свободы для каждой отдельной точки гиперповерхности, то в формализме содержатся 4 произвольные функции. Обычно эту роль играют компоненты 4-вектора скорости смещения точки по отношению к введенному базису и"временному параметру" f: тх) , Nc(x) (см. рис. I). Бесконечно малые "движения", как было показано в работах /э4-эо/9 образуют "алгебру Ли"
АДУ - разложение, выбор гиперповерхности и "фоновой" метрики
Таким образом, AM - разложение позволяет выделить вклады, возникающие от преобразований координат и времени, и в случае их медленного (2.31) убывания. Выполняя обратное преобразование можо вернуться к асимптотическим условиям (В. 12). Есж внешняя кривизна гиперповерхности убывает достаточно быстро, можно ограничиться использованием найденной "фоновой" метрики.
Находить генераторы асимптотической группы Пуанкаре можно, помимо подхода, использующего скобки Пуассона, и с помощью вариационных методов. В классической работе Э.Нётер путем объединения методов теории групп Ли с вариационным исчислением был доказан ряд теорем, которые будут ниже использоваться по отношению к канонической форме действия ОТО.
К лагранжевой (или ковариантной) форме действия ОТО аналогичные методы применялись еще в современных статье работах Клейна и Лоренца. Однако, как в этих, так и в последующих работах не рассматривался глобальным аспект проблемы, то есть не фиксировалась область интегрирования и граничные условия. Дело в том, что первая теорема Нётер (или теорема Нётер, как ее часто называют) приводит к сохранению какой-либо величины лишь в случае одной независимой переменной, а при нескольких независимых аргументах достигается только обращение в нуль дивергенции от некоторой величины. При этом сама величина определяется лишь с точностью до выражений, имеющих тождественно нулевую дивергенцию. Интегрирование по пространственной области, призванное дать аналог сохранению в случае одного аргумента (сохранению во времени), приводит также к неоднозначности, которая выражается в возможности добавления к сохраняющейся величине поверхностных интегралов. Если поле быстро убывает на бесконечности, эти интегралы можно обратить в нуль, увеличивая область интегрирования. Однако, в важном случае "калибровочных" теорий поля убывают медленно и поверхностные интегралы по бесконечно удаленной области могут отличаться от нуля. Таков, например, поток напряженности электрического поля при ненулевом полном заряде. Все это требует учета граничных условий при использовании метода Нетер.
Мы начнем, как обычно, с локального рассмотрения, то есть, будем предполагать область интегрирования произвольной и конечной. Ниже будут использоваться "пассивные" координатные преобразования, то есть, изменяющие арифметизацию событий в пространстве-времени, а не их местоположение. При глобальном подходе выполняется предельный переход к бесконечной области интегрирования (всему пространству) при выбранных граничных (асимптотических) условиях. При этом не возникает каких-либо расходимос-тей. Особенности глобального подхода, вид граничных условий и поверхностные интегралы в действии будут обсуждены ниже в 5 этой главы.
Предложенное впервые Гильбертом действие для гравитационного поля инвариантно относительно произвольных гладких преобразований координат (диффеоморфизмов) поскольку справедливо равенство причем областьії пробегается переменными fr , когда X пробегает область . Очевидно, что если на границе областиQ_ пре (3.3) образование (3.2) является тождественным, то 12. совпадает сі/. Если действие (3.1) инвариантно при произвольном координатном преобразовании (3.2), то то же самое действие, записанное в каноническом виде.
Глобальный подход и сохранение поверхностных интегралов
Настоящая- диссертация посвящена инвариантному относительно выбора систем координат на пространственноподобных гиперповерхностях, в предположении их асимптотической плоскости, изучению асимптотически плоского пространства-времени в рамках каноник ческого формализма ОТО. При этом используются два различных подхода: построение алгебры генераторов и применение метода
Во Введении дается подробный обзор результатов, полученных в рамках гамильтонова формализма ОТО для асигштотически плоского пространства-времени. Рассматриваются также работы по ковариант-ному обобщению формул для генераторов трансляций в ОТО. Показано, что в раде работ ковариантные формулы получены без строгого установления области их применимости, в результате чего они оказываются неоднозначными. Другие работы представляют собой лишь попытку ковариантной экстраполяции формул, полученных при нековариантных граничных условиях. Это означает подмену доказательства ковариантности ее неявным постулированием. В работах, свободных от этих недостатков, не рассматривался гамильтонов формализм, и поэтому открытым остается вопрос, являются ли введенные там величины численными значениями генераторов трансляций.
В ряде рассматриваемых во Введении работ встречаются утверждения о том, что авторами решается проблема энергии-импульса в ОТО. Однако следует заметить, что подобные утверждения являются зачастую безосновательными и не выдерживают строгой критики. Как было показано в работах А.А.Логунова с сотрудниками , в рамках ОТО решение этой проблемы в припиле отсутствует.
В I главе на примере пространства Минковского производится построение в гамильтоновом формализме ОТО алгебры генераторов преобразований, отличных от нуля на границе рассматриваемой области.
Сначала выводятся общие формулы (І.І6) для скобок Пуассона (Но( Ю) Но(Р)ВА)[я (не прийшлая пока в расчет вариационного принципа), которые не зависят от добавления к п0 каких-либо поверхностных интегралов. Эти выражения инвариантны относительно произвольных преобразований координат на гиперповерхности. Из их явного вида следует, что в общем случае никаким выбором поверхностных членов нельзя добиться выполнения алгебры (1.2), имеющей место для преобразований, не затрагивающих границу.
Затем рассматривается случай, когда исходным состоянием является произвольная конечная часть гиперплоскости в пространстве Минковского. Доказано, что здесь алгебра возникает тогда и только тогда, когда преобразования на границе принадлежат группе Пуанкаре (І.І9).
Наконец, для бесконечной области интегрирования, то есть, для всей гиперплоскости ищется группа преобразований таких, которые не изменяли бы поверхностных интегралов в (І.І6) в силу асимптотического поведения, и в то же время \г0 была бы инвариантна относительно преобразований группы Пуанкаре Чтт, » не имея с ней нетривиальных общих элементов. Доказано, что в асимптотически декартовых координатах такая группа sr0 задается условиями (1.28) - (1.30) на бесконечности. Тогда асимптотическая группа ПуанкареЧо- » инфинитезимальные преобразования которой генерируются генераторами гамильтонова формализма, имеет структуру полупрямого произведенияvr Vro хтри \rp-\J fe . Показано, что в силу инвариантности поверхностных интегралов в (I.I6) алгебра группы \j- может быть реализована в любой системе пространственных координат на гиперповерхности. Во П главе делается переход к общему случаю пространства-времени асимптотически плоского на пространственной бесконечности . Вначале производится разложение подынтегральных выражений в поверхностных интегралах (I.I6) по степеням отклонения Q/. от некоторой плоской "фоновой" метрики hti при параметрах А , В , A & соответствующих (I.I9) группе Пуанкаре для щ . Показано, что члены нулевого порядка по Фії-$и пі"/ ,% У при этом исчезают, а линейные выражения, в отличие от членов более высоких порядков, имеют вид, необходимый для существования алгебры.
Далее предлагаются новые, инвариантные относительно преобразований координат на гиперповерхности, определения ..асимптотически плоских начальных данных Qy, ЇЇ" (Определение I) и асимптотически плоского пространства-времени (Определение 2), основанные на возможности реализации группы Пуанкаре, соответствующей хотя бы одной плоской "фоновой" метрике hn . Для пространства-времени, удовлетворяющего Определению 2 доказаны следующие предложения: В асимптотически декартовых координатах должны выполняться условия (2.7), обобщающие полученные ранее в рабо-тах /18,64/.
