Содержание к диссертации
Введение
1 Математические и физические аспекты физики кротовых нор 18
1.1 Кротовые норы. Общие свойства 18
1.1.1 Пространство-время статической сферически симметричной кротовой норы 20
1.1.2 Энергетические условия 24
1.1.3 Тензор энергии импульса кротовой норы 26
1.2 Модели сферически симметричных кротовых нор 28
1.2.1 Кротовая нора с бесконечно тонкой горловиной 28
1.2.2 Кротовая нора, полученная методом сшивки двух пространств времен Шварцшильда (модель Виссера) 29
1.2.3 Кротовая нора в теории гравитации со скалярным полем 32
1.3 Вращающиеся кротовые норы 34
2 Вращающаяся кротовая нора, построенная методом сшивки двух пространств-времен Керра 41
2.1 Решение Керра 41
2.2 Сшивка двух решений Керра 43
2.3 Энергетические условия 48
2.4 Материя на оболочке 50
2.4.1 Модель с идеальной жидкостью 50
2.4.2 Модель с анизотропной жидкостью 51
2.4.3 Анализ модели с анизотропной жидкостью 55
2.5 Выводы 56
3 Вращающиеся кротовые норы со скалярными полями 58
3.1 Метрика 58
3.2 Общие уравнения 59
3.3 Статическое сферически-симметричное решение 61
3.4 Условие медленного вращения 62
3.5 Медленно вращающаяся кротовая нора: решение уравнений в первом приближении 64
3.6 Анализ решения 65
3.7 Движение частиц и распространение света в пространстве-времени вращающейся кротовой норы 68
3.8 Медленно вращающаяся кротовая нора: решение уравнений во втором приближении 71
3.8.1 Разложение по сферическим гармоникам 74
3.8.2 Граничные условия 77
3.8.3 Решение уравнений при п = 0 77
3.8.4 Решение уравнений при п = 2 82
3.9 Анализ решения 88
3.9.1 Профиль горловины вращающейся кротовой норы 89
3.9.2 Масса вращающейся кротовой норы 89
3.9.3 Нарушение энергетических условий 91
3.10 Выводы 93
Результаты и выводы 95
Приложение: формализм сшивки
- Энергетические условия
- Кротовая нора, полученная методом сшивки двух пространств времен Шварцшильда (модель Виссера)
- Модель с анизотропной жидкостью
- Движение частиц и распространение света в пространстве-времени вращающейся кротовой норы
Введение к работе
Актуальность работы
Кротовыми норами в физической литературе называют туннели, связывающие удаленные области Вселенной, или «мосты», соединяющие различные вселенные. Кротовые норы относятся к объектам с нетривиальной топологической структурой, изучение которых всегда представляло значительный интерес в теории относительности [1, 2]. Исследование кротовых нор приобрело особую актуальность в последние десятилетия. Это связано с современным интересом к «экзотическим» формам материи. Как известно, для существования кротовых нор необходимо присутствие материи, нарушающей ряд энергетических условий [1, 2, 3]. На сегодняшний день существуют аргументы в пользу того, что материя такого рода может существовать во Вселенной. В первую очередь это связано с открытием ускоренного расширения Вселенной, для объяснения которого потребовалось введение новой экзотической субстанции, так называемой «темной энергии». Гипотеза «тёмной энергии» подкреплена изучением крупномасштабной структуры Вселенной, анизотропии реликтового излучения, оценками возраста и кривизны Вселенной. По современным оценкам наша Вселенная на 70% состоит из «тёмной энергии».
В настоящий момент кротовым норам посвящена обширная литература. Наиболее исследованными являются статические, сферически симметричные кротовые норы в силу их более высокой симметрии. Значительный интерес представляет изучение вращающихся кротовых нор, некоторые аспекты вращающихся кротовых нор рассмотрены в литературе [4, 5, 6, 7, 8]. Однако до недавнего времени в литературе не было точных решений, описывающих вращающиеся кротовые норы. Все это делает исследование вращающихся кротовых нор актуальной задачей.
Цель и задачи работы
Целью диссертационной работы является построение и исследование решений, описывающих вращающиеся кротовые норы в общей теории относительности. В диссертационной работе решаются следующие задачи:
1. Построение модели вращающейся кротовой норы методом сшивки двух
пространств-времен Керра, исследование физических свойств полученной
модели.
Получение решения, описывающего вращающуюся кротовую нору в теории гравитации со скалярным полем в приближении медленного вращения.
Анализ решения, описывающего вращающуюся кротовую нору: исследование движения частиц и распространения света в пространстве кротовой
норы, влияния медленного вращения на массу кротовой норы и на нарушение энергетических условий.
Научная новизна
В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
Построена новая модель вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств Керра с источником гравитации, сосредоточенным на поверхности сшивки (модель тонкой оболочки). В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, было получено два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины.
Построено новое решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в общей теории относительности с фантомным скалярным полем в приближении медленного вращения. Исследовано движение пробных частиц и распространение света, а также изучено влияние вращения на характеристики кротовой норы.
Достоверность результатов диссертации
Достоверность результатов работы подтверждается корректным использованием теоретических методов обоснования полученных результатов, выводов и рекомендаций; корректностью проведенных математических преобразований и расчетов; согласием полученных результатов с известными результатами в предельных случаях. Положения теории основываются на известных достижениях фундаментальных и прикладных научных дисциплин, сопряженных с предметом исследования диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах, неоднократно обсуждались на семинарах и конференциях.
Научные положения, выносимые на защиту
Модель, построенная методом сшивки двух решений Керра, описывает пространство-время вращающейся кротовой норы. Полученное в результате сшивки пространство-время не имеет горизонтов событий и обладает двумя плоскими асимптотиками, соединенными горловиной, расположенной на поверхности сшивки. Поверхность сшивки представляет собой тонкую оболочку, на которой сосредоточена «экзотическая» материя, нарушающая световое энергетическое условие.
Гравитационным источником в пространстве-времени вращающейся кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, сосредоточенная
на тонкой оболочке в горловине кротовой норы. Для данного типа источника найдены два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины. Поверхностная плотность энергии жидкости отрицательна, а компоненты давления положительны при всех значениях радиуса сшивки.
В общей теории относительности с фантомным скалярным полем существует решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в приближении медленного вращения.
Учет поправок первого порядка малости оказывает влияние на величину угловой скорости вращения и на движение пробных частиц и распространение лучей света в пространстве вращающейся кротовой норы. Во втором порядке малости поправку получает масса вращающейся кротовой норы и величина нарушения светового энергетического условия.
Личное участие автора
Основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично автором. В исследованиях, выполненных совместно с научным руководителем, профессору СВ. Сушкову принадлежат постановка задачи, контроль расчетов и обсуждение результатов.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Пятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2006» (Казань, 2006), Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2007» (Казань, 2007), XVIII Международной летней школе-семинаре «Волга-2007» по современным проблемам теоретической и математической физики (Казань, 2007), 13 Российской гравитационной конференции - международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике (Москва, 2008), Международной конференции по современным проблемам гравитации, космологии и релятивистской астрофизики (2010, РУДН, Москва), Российской летней школе-семинар «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» - GRACOS-2007 (Казань- Яльчик, 2007), Второй Российской летней школе-семинар «Современные проблемы теории гравитации и космологии» -GRACOS-2009 (Казань- Яльчик, 2009), семинарах кафедры теории относительности и гравитации Казанского университета, итоговых научных конференциях Казанского университета (2009 г., 2010 г.), научной студенческой конференций Казанского университета (2007 г.).
Публикации
Основное содержание диссертации отражено в двенадцати публикациях, среди которых одна статья в зарубежном журнале (Physical Review D), две статьи в российском журнале Gravitation and Cosmology, четыре статьи в трудах конференций и пять тезисов докладов.
Структура диссертаци
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 116 страниц. Список литературы содержит 153 наименования.
Энергетические условия
В этом параграфе рассмотрим вращающиеся кротовые норы. Некоторые их аспекты были исследованы в литературе. Различные представления метрики вращающейся кротовой норы были рассмотрены в работе [131]. Пространство-время вращающейся кротовой норы описывается стационарной аксиально-симметричной метрикой. Это означает, что пространство-время допускает, кроме времениподобного векторного поля Киллинга dt, пространственно-подобное векторное поле Киллинга дір, траекториями которого являются замкнутые компактные кривые [149]. Известно [149], что общая стационарная и аксиально симметричная метрика может быть представлена в виде ds2 = gttdt2 + 2gtipdtdip + gwdip2 + gijdxldx\ (1.3.46) где индексы пробегают значения i:j = 1,2, функции g , зависят от координат {х1,х1). Эта метрика определена с точностью до преобразований координат {хг,х2). Эти преобразования могут быть использованы для выполнения следующих условий gn= #22, #12 = О, которые упрощают подсчет тензора Эйнштейна для (1.3.46). В работе [131] дополнительные координатные преобразования используются для записи метрики (1.3.46) в сферической системе координат, в которой #22 = gtpp/ sin2 х2. В этом случае метрика принимает вид ds2 = -N2dt2 + e dr2 + r2K2[d92 + sin2 6{dip - udt)\ (1.3.47) где N, fi, К, ш - функции координат г, в. Физические свойства метрики (1.3.47) исследовались в работах [50, 51]. Функция со имеет смысл угловой скорости вращения, которую приобретет в точке (г, в) тело изначально поко ящееся на бесконечно удаленном расстоянии от кротовой норы. /С(г, в) положительная и неубывающая относительно координаты г функция. Величина R = rK (drR 0) (1.3.48) имеет смысл радиального расстояния от точки с координатами (г, в) до начала координат. Для того, чтобы метрика была несингулярна на оси вращения в = 0, 7Г необходимо, чтобы их производные по координате в на оси вращения обращались в ноль. Для описания кротовой норы удобно переписать метрику (1.3.47), полагая /z(r, в) = - In Л - Щ -) . (1.3.49) Метрика примет вид ds2 = -N2dt2 + (і - Ь- ) l dr2 + r2K2 (1.3.50) x [dO2 + sin2 6{dip - Lodt)2] . В отсутствии вращения эта форма метрики переходит в статическую сферически симметричную метрику (1.1.1), исследованную в [98]: N{r, 9) - еф(г), 6(г, 0) -+ 6(г), (1.3.51) К(г,9)- 1, ш(г:в) 0. (1.3.52)
По аналогии со статической сферически симметричной кротовой норой, удобно рассматривать пространство-время кротовой норы с метрикой (1.3.50), составленное из двух карт, в каждой из которых г 6, а горловина кротовой норы соответствует поверхности г = Ъ 0. Используя это представление метрики кротовой норы, в работе [131] строится диаграмма погружения. При постоянных значениях координат г, в метрика (1.3.47) имеет вид Щ p J -і ds2= 1 dr2 + г2К2 sin2 Odip2 (1.3.53) -і dp2 + p2dip2: где р — RsmO, j3(p) - выражается через b{r). На горловине имеем: р = /3. Двумерная метрика (1.3.53) рассматривается как индуцированная метрика на двумерной поверхности вращения, вложенной в трехмерное евклидовое пространство с метрикой dS2 - dz2 + dp2 + p2dtp2, (1.3.54) где z, p, ip - цилиндрические координаты. Поверхность зададим уравнением z = z(p). Сравнивая (1.3.54), (1.3.53), получим, что функция z(p) должна удовлетворять соотношению Поверхность вложения для кротовой норы схематически представлена на рис. 1.2. Для того, чтобы метрика описывала кротовую нору, необходимо, чтобы d2p функция zip) имела минимум на горловине, т.е. —- 0. На горловине г = о dz2 d2p _ dpd2r dz2 dr dz2 dp Учитывая, что — 0, получаем условие на горловине or d2r Ъ — b r „ , п - = 0, (1.3.56) которое совпадает с (1.1.18). Другая форма метрики, рассмотренная в [131], получается введением собственной радиальной координаты / dl ( 6V1/2 ± Iі г) (L357) Метрика в этом случае принимает вид ds2 = -N2(l, 9)dt2 + dl2 + r2{l)K2(l, в) (1.3.58) x d02 + sin2 в {dtp -w{l, в)dtf
В отличие от (1.3.47) метрика (1.3.58) хорошо ведет себя по обе стороны от горловины и покрывает все пространство-время. В работе [131] было показано, что на горловине кротовой норы, описываемой общей метрикой (1.3.47) световое энергетическое условие нарушается. Для этого рассмотрен следующий изотропный вектор V: w = ( е "/2 -) L3-59 Подсчитав тензор Эйнштейна GiW для метрики вида (1.3.47), получим на горловине свертку G у»у» =е-мд ИОг _ sin2 9 _ 1_ІІ_ пзбО) G K К Є /r r 2iV2 4(rif)2 U-d 0Uj 1 {{i0sm9)0 (No sin 0)o 2 (rK)2sm0 (rK)2Nsind В [131] было показано, что эта свертка обязана принимать отрицательные значения при некоторых значениях Є. Таким образом, вращающиеся кротовые норы также требуют присутствие в пространстве экзотической формы материи, нарушающей энергетические условия. В случае если вращение достаточно быстрое, т.е. велико значение и в (1.3.58), компонента метрики ди может оказаться положительной в некоторой области, что указывает на возможность существования эргосферы в пространстве-времени. В работе [131] была построена модель вращающейся кротовой норы, обладающей эргооб-ластыо вблизи горловины. В работах [81] также исследовалось нарушение энергетических условий в пространстве-времени вращающейся кротовой норы, исследовалась "проходимость" вращающейся кротовой норы. Общие свойства тензора энергии-импульса вращающейся кротовой норы исследовались в работе [106]. В работе [71] рассматриваются скалярные возмущения модели вращающейся кротовой норы. В работе [97] исследовалось поведение облака заряженных частиц в гравитационном поле вращающейся кротовой норы. Изучалось поведение топких дисков материи в поле вращающейся кротовой норы [49], исследовалось движение заряженных частиц в гравитационном и магнитном поле вращающейся кротовой норы [1]. В работе [122] исследовалось влияние вращения на количество темной энергии в пространстве крото вой норы. В работе [66] исследовалась возможность существования полуклассических вращающихся кротовых нор.
В работе мы будем использовать следующее представление стационарной аксиально симметричной метрики [50] ds2 = -Adt2 + Bdr2 + К2 [d92 + sin2 6{dip - udt)2} (1.3.61) где А, В, K, w — некоторые функции координат г, 9. Функция ш имеет ясный физический смысл; она представляет собой угловую скорость вращения, которую приобретет в точке (г, 9) тело изначально покоящееся на бесконечно удаленном расстоянии от кротовой поры. Требование конечности углового момента системы J, измеренного удаленным наблюдателем, приводит к следующему асимптотическому условию для и [150]: 2J ш = -z- + 0(г 4) при г -» со. (1.3.62) Массу М кротовой норы можно получить из асимптотического разложения метрической функции А: А=1- — + 0(г 2) при г - со. (1.3.63)
Также требуя, чтобы пространство-время было асимптотически плоским, мы получаем, что А - 1, В — 1 и К2 — г2 при г — со. Функция Л должна быть отличной от нуля, чтобы исключить существование горизонтов событий. Также, чтобы обеспечить регулярность скалярной кривизны на оси вращения, необходимо потребовать, чтобы первые производные по в от функций А, В, К и и обращались в ноль при 9 = 0,7Г [131].
Кротовая нора, полученная методом сшивки двух пространств времен Шварцшильда (модель Виссера)
Отметим, что величины а, рв, р и ( полностью определяются геометрическими параметрами модели, их значения зависят от параметров метрики т и а и радиуса сшивки Ь. Чтобы придать этим величинам физический смысл, нам необходимо определить материю, расположенную на горловине кротовой норы, т.е. заполняющую тонкую оболочку Е. В качестве такой материи мы рассмотрим идеальную жидкость и жидкость с анизотропным давлением.
В качестве простейшей модели материи на оболочке рассмотрим идеальную жидкость. В координатах {dt, d6. d(p} на Е (2.2.22) тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет вид Si3 = (Е + Р)щщ + дІЗР, (2.4.36) где gij имеет вид (2.2.23), иг - 3-вектор скорости жидкости, Р - давление, Е - плотность энергии жидкости на оболочке Е. Для вращающейся жидкости выберем и% = (и\0,иф). (2.4.37) Компоненты вектора иг должны удовлетворять соотношению (и1)2 - {иф)2 = 1. (2.4.38) Сравнивая (2.2.24) и (2.4.36), получим а = (Е + Р)и] - Р, (2.4.39) С = (Е + P)utU(p, (2.4.40) Рв = Р, (2.4.41) Рг=(Е+ Р)и% + Р. (2.4.42) Уравнения (2.4.39)-(2.4.42) вместе с условием (2.4.38) образуют систему пяти алгебраических уравнений на четыре неизвестные Е, Р, щ, uv. Комбинируя эти уравнения, легко получить следующее соотношение (Е + р (Рір-Ро)-(2 = 0. (2.4.43) Подставляя выражения (2.2.25)-(2.2.28) в (2.4.43) получим условие 4r Vp 6 sin2 в = 0. (2.4.44)
Условие (2.4.44) выполняется только в случае а = 0, т.е., в случае, когда отсутствует вращение. Таким образом идеальная жидкость не может быть источником вращающейся кротовой норы.
Рассмотрим теперь в качестве материи расположенной на оболочке Е жидкость с анизотропным давлением. Ее тензор энергии-импульса имеет вид % = Ещщ + PQVIVTJ + Р щщ - ViVj + giS), (2.4.45) где Pp и Рд - компоненты давления жидкости, Е - поверхностная плотность энергии жидкости, иг - скорость жидкости, v?= (0,1,0)- единичный вектор. Для вращающейся жидкости естественно выбрать вектор скорости в виде Компоненты вектора и1 должны удовлетворять соотношению {и1)2 - {иф)2 = 1. (2.4.46) В случае Рв = Рр = Р мы получим тензор энергии импульса идеальной жидкости (2.4.36). Сравнивая (2.2.24) и (2.4.45), получим r=(Q + Pv)u2t-Pv, (2.4.47) C=(Q+Pv)utuip, (2.4.48) Ро = Рв, (2-4.49) Pv = (Q + Pv)ul + Pv, (2.4.50) где левая часть уравнений определяется выражениями (2.2.29)-(2.2.32). Уравнения (2.4.47)-(2.4.50) вместе с условием (2.4.46) образуют систему пяти алгебраических уравнений на пять неизвестных Е, PQ, Р , Щ, UV. Преобразуем систему (2.4.46)-(2.4.50) к виду ? = {(т + Рф){рч,-Рч,) (2.4.51) E = a pv + P(p, (2.4.52) Рв = Ре, (2.4.53) К)2 = , (2-4.54) К)2 = g. (2.4.55) Уравнение (2.4.51) можно представить в виде квадратного уравнения отно сительно Pp РІ + Рч {? - PV) + [С2 - тр р] = 0. (2.4.56) Дискриминант этого уравнения (2.4.56) D = { j + Pv)f-A(2. (2.4.57) Подставляя выражения (2.4.51)-(2.4.55) для 7, р , , мы получаем D =(47rm)-2p 6A [р3(Р(0 - З)2 - 4а2) (2.4.58) +2а2р cos2 6(Р3 - 3/3 + 2а2) + a4 cos4 9{Р - I)2] . Уравнение (2.4.56) будет иметь решение в случае D 0. Так как параметр сшивки b г+, то /3 /3+ = 1 + л/1 — а2. Последние два слагаемых пропорциональные cos2 в в (2.4.58) положительны при /3 /3+ и обращаются в ноль на экваторе 0 = 7г/2. Поэтому знак D определяется первым слагаемым в (2.4.58). На экваторе условие D 0 имеет вид Ш) = Р{Р - З)2 - 4а2 0. (2.4.59) Кубический полином fa{P) имеет три вещественных корня (см. формулы Кардаио [148]) Х + 27г(г-3) + 2, г =1,2,3, (2.4.60) Pi — 2 cos Иг 3 где параметр х определяется по формуле cosx = 2а2 — 1. В случае 0 а 1 все корни вещественные, отличны друг от друга и Pi Р2 Рз (рис. 2.4). Если а = 1, то pi = р2 = 1 и /33 = 4. Если а = 0, то /Зі = 0 и 02 — Ръ — 3. Формально, можно рассматривать значения а 1 (т.е. а т)\ в этом случае /Зі и /32 становятся мнимыми, и /Зз является единственным вещественным корнем. Решением неравенства (2.4.59) является область /Зє[/Зь/32]и[/33)оо). (2.4.61) Мы ограничимся рассмотрением области Ъ г+. Используя безразмерные величины, это условие можно записать в виде: /3 /3+ = 1 + \/1 — а2. Пересечением областей р р+ и [/?і,/3г] U [/Зз,оо) является область /Зє(/3+,/32]и[/33,оо). (2.4.62) Графики функций: горизонт событий ,3+ = г+т г, эргосфера /Зо = гот-1 (в — 7г/2), (ЗІ (2.4.60) в зависимости от параметра а = ат 1. Заштрихованные области соответствуют запрещённым областям, в которых fa(/3) 0 или (3 (3+.
Возвращаясь к размерным обозначениям, получим: Ъ (г+,Г2] U [г3,оо), где г І — mpj. Отметим, что интервал возможных значений (3 состоит из двух непересекающихся областей Х — (/5+, /32] и Х = [/33. сю), которые объединяются только при а — 0 (а — О), когда /% = Аз Таким образом при выполнении условия (2.4.62), дискриминант D (2.4.58) не отрицателен, и система уравнений (2.4.51)-(2.4.55) имеет два решения о - pv ± \/Ъ -а + Ру ± vD (2.4.63) (2.4.64) (2.4.65) (2.4.66) (2.4.67) где сг, Рб», Р _ задаются соотношениями (2.2.29)-(2.2.32), & D - соотношением 2 1 1 Р± = 2 Pf = f», V ; 2УЛ 2 (U±)2 = ± L±2« _ I Е± = 4-3-2- P2 Рз P 2 3 1-1-3-4-J С Г" 4-з-2- ч ч р,ч 1 - L 1-2-3- ! - 1 3 (З5 а б Рис. 2.5: Графики функций: a) (uf)2, (и )2 и б) (lif)2, (ч )2 в зависимости от параметра /? при т = 1, а = 0 3, в = 7г/2. Толстые линии соответствуют (vt)2, тонкие — {и )2. Закрашенные области соответствуют запрещенным областям значений, где /а(/?) 0. (2.4.58). Отметим, как следствие этих уравнений (2.4.68) Е± + Р = ±VD.
В этом параграфе рассмотрим свойства анизотропной жидкости на Е. Подставляя (2.4.58) и (2.2.29)-(2.2.32) в (2.4.63)-(2.4.67), мы получим Е, Pv, Рв, щ, и и как явные функции от /?, 6 , а, т, где параметр /3 принадлежит области /5e(/ifj/52]U[/33)oo).
Однако, в виду громоздкости явных решений, мы не будем их приводить. Графики функций (и )2 и (и )2 в зависимости от (3 изображены на рис. 2.5. Значения (щ)2 и {и )2 должны быть положительны. Из рисунка 2.5 следует, что (и)2 и (uj)2 положительны в области / = (/?+,/?2), а (и/")2 и (w+)2 положительны в области / = (/?з,оо). Это означает, что в выражениях (2.4.63)-(2.4.67) в случае /З Є (P+ifa) следует брать решение со знаком 2 1 Рис. 2.6: Графики функций , Рв, Рф при т — 1, а = 0.3. Сплошная жирная линия соответствует функции Е, сплошная тонкая - Pv, штрихпунктирная — Рд. Закрашенные области соответствуют запрещенным областям значений, где /Q(/5) 0. плюс, в случае Р Є (/Зз, оо) следует брать решение со знаком минус. Поверхностная плотность энергии Е и компоненты давления Рв, Рф в зависимости от параметра Р представлены на рисунке 2.6. Энергия Е отрицательна, а Рв, Pv положительны при всех значениях р.
Во второй главе построена модель вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств Керра. Поверхность сшивки Е представляет собой тонкую оболочку, на которой сосредоточена «экзотическая» материя, нарушающая световое энергетическое условие. Предельный случай а = 0 соответствует отсутствию вращения, в этом предельном случае мы получаем статическую сферически симметричную модель кротовой норы, ранее рас смотренную в [134]. В качестве источника геометрии кротовой норы были рассмотрены идеальная жидкость и жидкость с анизотропным давлением на поверхности Е. Показано, что идеальная жидкость с трехмерным тензором энергии-импульса может служить источником кротовой норы только в случае а — О, который соответствует статической сферически симметричной конфигурации (без вращения). В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, получено два класса решений, описывающих кротовые поры с «большим» и «малым» радиусами горловины. Поверхностная плотность энергии жидкости Е отрицательна, а компоненты давления Р#, Рф положительны.
Модель с анизотропной жидкостью
Следуя процедуре изложенной в работе [50], каждую из функций будем искать в виде разложения по полиномам Лежандра Pi(9) а{г, в) = ао(г)Р0(9) + а Р О) + а2(г)Р2(9) + ..., №, в) = ШРо(е) + ШРі(о) + ШР2{в) +..., g 7 р(г, в) = ро(г)Ро(9) + р,{г)Р,{9) + Р2(г)Р2(9) + ..., ф(г, 9) = фо(г)Р0{9) + Mr)Pi{9) + ф2(г)Р2(9) + .... Как известно [146], полиномы Лежандра Pi (в) подчиняются дифференциальному уравнению: Ш + ая Ш--К1 + 1)т, (3.8.72) и удовлетворяют формуле Pt(9) = Ь1)1 (-1L-) (1 - cos2 9)п. (3.8.73) В частности Р0{9) = 1, Р1(в) = cosfl, Р2(9) = 1 - sm29.
Отметим, что Pi(9) = (—l)lPi(n — 9), четные полиномы симметричны относительно экваториальной плоскости 9 = 7г/2, нечетные - антисимметричны. Прежде чем подставить разложения (3.8.71) в систему (3.8.65)-(3.8.70), приведем ее к удобному для интегрирования виду. Интегрируя уравнение (3.8.67) по координате 9 получим (г2 + rl)dra + 2(r2 + rl)drp - г(/3 + а) + 2тпа = (3.8.74) 4(m2 + r,2)) . . . m где (Ji(r) - произвольная функция интегрирования, зависящая от координаты г. Складывая уравнения (3.8.G8) и (3.8.69), получим уравнение 4(r2 + г )д2р + 2гдг(8р + «-/?) + 8дгр - 4дтР (3.8.75) +2тдгЦЗ -а-4р) + 4{д2вр + ctg 9двр) + (д2а + ctg 9два) + {д2вР + ctg 9д0р) = -е 4и (г2 + г2)2 (дгшг)2 sin2 9. Вычитая (3.8.68) из уравнения (3.8.69), получим: д2ва + д]$ - сЩв(д0а + до/3) = е 4и (г2 + r2f (d sin2 в. (3.8.76) Дважды проинтегрируем уравнение (3.8.76) по переменной в. В результате получим а + (3 =ie-4u(5rw1)2(r2 + а2)2(2 cos2 в - 1) + ст3(г) cos в + а2(г), (3.8.77) где 02(г), сгз(г) произвольные функции от координаты г. Вместо системы уравнений (3.8.65)-(3.8.69) и (3.8.70) мы будем решать эквивалентную ей систему уравнений (3.8.65), (3.8.66), (3.8.74), (3.8.75), (3.8.77) и (3.8.70).
Подставляя разложения (3.8.71) в уравнения Эйнштейна— (3.8.65), (3.8.66), (3.8.74), (3.8.75), (3.8.77) и в уравнение движения ноля — (3.8.70) и разделяя переменные, получим систему уравнений на функции одного переменного (г2 + rl)an" + 2ra n + т(4р„ - ,%, + ап) - п{п + 1)ап = (3.8.78) = le-4u(r + r )\u,1 )\6n0-6ra), (г2 + г2)(а т[ + 4Р;7 ) - п(п + 1)Д, + (2г - т)(4рп - (Зп) + m3c/n = (3.8.79) = \е-"и{г2 + тЩи,!)2 - 8п2) + 8 ± -(ифп) , О 171 2(r2 + rl)p n + (г2 + г2К - г{ап + /5„) + 2та = (3.8.80) . т2 + ті = 4 п д + сгіОпо, m 4(г2 + г2)р1 - п(п + 1)(4р„ + а„ + /?„) + 2г(8/4 + - #,) (3.8.81) +8рп - 4/Зп + 2т(Д; - - 4 ) = -Je 4u(r2 + г2) V)2 - 6п2), an + Рп = \е ы (г2 + г2)2 (ал )2 + ъ(г)5п1 + x2(r) U (3.8.82) 2и{г2 + гХ - 2u(r)n(n + 1)фп + 4ш- (3.8.83) +ш(4рп - /Зп + ап + 4 „) = 0, где штрих означает производную по координате г, 5nk - символ Кронекера, п - индекс разложения по полиномам Лежандра. Нет необходимости решать систему (3.8.78)-(3.8.83) для произвольного целого п. Потребуем, чтобы решение обладало зеркальной симметрией относительно плоскости проходящей через начало координат и перпендикулярной оси вращения [50, 150]. Математически это означает, что решение должно оставаться неизменным при преобразовании 6 —У {-к — в). Следовательно, в силу симметрии полиномов Лежандра [146], все разложения (3.8.71) должны содержать лишь полиномы Лежандра четного номера. Коэффициенты с нечетными номерами равны нулю. При номере большем двух п 2 уравнения (3.8.78) (3.8.83) не содержат функции wi(r), а значит совпадают с уравнениями на статическую конфигурацию и, следовательно, имеют решение тождественно равное нулю. Таким образом получаем, что ап = Рті — Рп — Фп — 0 При П = 1 И 77, 3.
Сделаем удобное для последующих вычислений упрощение разложений (3.8.58) Преобразование вида г — f(r) не меняет формы метрики (3.1.1). Такое преобразование можно использовать для выполнения условия: р0(г) = 0. (3.8.84) Требование (3.8.84) будем считать выполненным. Таким образом для решения задачи во втором приближении медленного вращения необходимо решить систему уравнений (3.8.78)-(3.8.83) при двух значениях п — Оип = 2, и найти семь функций а0(г), /30(г), Фо(г) и а2{г), /32(г), р2{г), ф2(г).
В системе (3.8.78)-(3.8.83) уравнений больше, чем неизвестных функций, но она не переопределена. Известно [150], что компоненты тензора Эйнштейна удовлетворяют следующему дифференциальному тождеству: VUG = 0. (3.8.85) В случае метрики вида (3.1.1) требование (3.8.85) выражается в двух дополнительных условиях на тензор Эйнштейна. Второе условие связывает сами уравнения Эйнштейна. Поэтому уравнения (3.8.78)-(3.8.83) не являются независимыми, их связывают два условия (3.8.85). В качестве граничных условий на функции ao(r), /?o(r) V O") и «2(г), / (г), Р2(т), if)2{r) потребуем, чтобы влияние вращения на метрику на асимптотике г —» ±оо сводилось к нулю. Это эквивалентно условиям: ог- ±ос = 0; А)г- ±оо 0) Рог- ±оо = 0- (3.8.86) Л2Іг- ±ос — 0; /32І,_ -ІОО = 0, /52І7— ±оо = 0. Также потребуем, чтобы функция ф на асимптотике г — ±оо стремилась к постоянному значению, т.е. 0І7- ±оо = COllSt, 2Іг ±оо = 0. (3.8.87)
Это связано с тем, что физически наблюдаемой величиной является не само скалярное поле, а его тензор энергии-импульса, в который оно входит в виде производных, и добавление постоянной к его значению ф — ф + const оставляет инвариантными действие и уравнения движения.
В этом разделе будем искать решение системы уравнений (3.8.78)-(3.8.83) для п = 0. Решение определяется тремя функциями ао(г), А)(г) и фо(г). В силу того, что (7i(г), 02{г) — произвольные функции, уравнения (3.8.80), (3.8.82) выполняются тождественно. Система уравнений (3.8.78)-(3.8.83) в этом случае принимает вид (г2 + г 0" + 2m0 + т(а, - &) = 4w(r2 + r2)2(u,;)2, (3.8.88) 2 2 (г2 + г2) + m(3ao + А)) - 2rft= 8т Г(ц ))/ (3.8.89) +?е-4"(г2 + г2)2(о;;)2, (г - т)(а0 - Д,) = -\е-4"(г2 + г2)2(и\)2 + 2Д,, (3.8.90) 2u(r2 + r2) o + 4шч/ 0 + т(4фо + с 0 - /Зо) = 0. (3.8.91) Проинтегрируем уравнение (3.8.88) по координате г, в результате получим а 0{г2 + а2) + т{а{) - /30) = -m{rl + 4гя2)а;о і + 2сь (3.8.92) где сі — константа интегрирования. Из уравнения (3.8.88) выразим (о?о(г) — A)(r)) i а из уравнения (3.8.92) выразим Ро(г), эти выражения подставим в уравнение (3.8.90). В результате получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка на ац(г) о(г т){г2 + г2) + 2а0(2г2 - гт + rg) + 2а0т = Л (г), (3.8.93) где для сокращения записи введена функция /і (г) 3? 1 /i(r) - -7пш0(г2 + 4т2)Ш1 + -е-4ы(г2 + г2)2(и[)2(2г - т) + 4Cl. Интегрирование уравнения (3.8.93) дает , (3.8.94) а0(г) = сз + с2 firdr [г — in) где С2, Сз - константы интегрирования, а функция /2(г) имеет вид /2(r) = arctg— + —. г0 г Функция с о(г) имеет вид CJ2 г 8r-2e4w(r) «oW = , Л Сіг0 + C2r + Czru(r) + 2 [(г2 + 10m2)r3 (3.8.95) 6(г — тп) L rJ + Го +24?n3r2 + (т-ц + 4r2m2 + 16га4)г - 4m3(r + 4m2)] , Здесь использованы новые безразмерные константы интегрирования: Сі, С2, Сз. Связь старых и новых констант интегрирования имеет вид d = -Маш гй1 + 32тг0\1 + 4т2гй2) + бсзс 2? 3, С2 = 3(2с2 + сг7г)ш 2г 3, С3 = Ъсъшй2тГ1Гъ2.
Движение частиц и распространение света в пространстве-времени вращающейся кротовой норы
Функция К(г, в) имеет смысл расстояния от начала координат до поверхности г = const. Во втором приближении медленного вращения функция К имеет вид ,-2и К = е- у г + ті (1 + Х2р2Р2) . На асимптотиках г — ±оо: р2 — 0 и, следовательно, эквипотенциальные поверхности г = const являются сферами. Профиль горловины кротовой норы отличен от сферического и имеет вид эллипсоида сжатого вдоль оси вращения (рис. 3.7). (3.9.152)
Профиль горловины статической сферически симметричной кротовой норы (тонкая кривая) и вращающейся кротовой норы с учетом поправок медленного вращения (жирная кривая) в плоскости ip = const.
Для того чтобы найти массу М вращающейся кротовой норы, необходимо рассмотреть предел
График функции Ат(го,т) от т при г о = 1. Во втором порядке возмущения имеем gtt = А(г, в) = е2 [1 + Л2(а0(г) + а2{т)Р2{в))] Отметим, что -2 ОІ2І.Г) г— ±ос Следовательно, решение с п = 2 не дает вклад в массу кротовой норы. Разложим полученную во втором порядке возмущения по параметру Л метрическую функцию А(г. 9) на асимптотике г —» со: А(г, 0)1 = 1 - - [m + A2Am(r0, m)] + 0(l/r3), (3.9.153) где величина Дга(го, m) есть изменение массы кротовой норы во втором приближении медленного вращения 2wgm(34m4 - m2r20 + г )е4и т 2_\-l +2ш20(3аіг)-1{г% + 10т2)(1 + u(m))e-47rm/ -о;0(3г07г) 2(? 5 + Ют ) І marctan Ь г о (3.9.154) ттг(7го + 22т2) Функция Дга(го,т) представлена па рисунке 3.8. В случае т = 0: Л т(г0,0) = —-. 37Г Случай т = 0 соответствует безмассовой кротовой норе. Ненулевое значение Лт(го,0) означает, что не существует безмассовых вращающихся кротовых нор.
Как известно, в пространстве-времени кротовой норы световое энергетическое условие нарушается [134]. Световое энергетическое условие утверждает, что r/u/fc"fc" 0, где № - изотропный вектор. В силу уравнений Эйнштейна Щш —R = 87г7)д,, для изотропного вектора ки световое энергетическое условие приводит к требованию R k" 0. В этом параграфе исследуем нарушение энергетических условий в пространстве времени кротовой поры с учетом поправок медленного вращения. Рассмотрим изотропный вектор с координатами № = ( шлі&)- (ЗА155) Введем величину T(r,0) = RfiI,klikv. (3.9.156) С учетом поправок второго порядка по параметру Л величина Т(г, в) имеет вид Т(г, в) = Т0(т) + Л2 Ко(г) + 6(г)Р2(0)], (3.9.157) Рис. 3.9: Графики функций Т(г) и Т0(г) в зависимости от координаты г при значениях параметров Го = 1, m = 1. где То (г) значение величины Т(г. 9) в отсутствие вращения Го(г)= - " ГЧ (3.9.158) (И + Го)2 а величины о(г)) 2(г) выражаются через поправки к метрическим функциям во втором приближении медленного вращения
Величина Т0(г) характеризует конфигурацию без вращения. Так как To(r) отрицательна, то световое энергетическое условие нарушается в пространстве статической сферически симметричной кротовой норы. Усредним величину Т(г, в) по направлениям
На рисунке 3.9 изображены графики функций Т(г) и То (г) в зависимости от координаты г при значениях параметров VQ — 1, m = 1, Л = 0.2. Величина Т(г) отрицательна, но по абсолютной величине меньше значения То (г). Это означает, что в пространстве-времени вращающейся кротовой норы нарушение энергетических условий слабее, чем в пространстве статической сферически симметричной кротовой поры.
В третьей главе построено и исследовано решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в теории гравитации с фантомным скалярным полем в приближении медленного вращения. В качестве малого параметра Л выбрано отношение линейной скорости вращения иа горловине к скорости света. Решения уравнений гравитационного и скалярного полей получены с точностью до второго порядка малости. В линейном порядке по параметру Л получена поправка к угловой (-корости вращения. Угловая скорость вращения имеет различные пределы на асимптотиках г — +оо и г — —со. Это означает, что система координат покоящегося относительно кротовой норы наблюдателя, расположенного в асимптотической области г = +оо, вращается с постоянной угловой скоростью UJQ в асимптотической области г = — оо. В первом приближении медленного вращения исследовано движение пробных частиц и распространение света в экваториальной плоскости в пространстве вращающейся кротовой поры. Частица, двигаясь изначально на асимптотике г — +оо вдоль радиального направления с постоянным значением координаты /? = /?о, вовлекается во вращение, и, пройдя горловину, на асимптотике г — — оо движется по спирали с постоянным шагом Лг. Характер распространения луча света аналогичен поведению пробной частицы. В приближении второго порядка малости получена поправка к массе вращающейся кротовой норы и исследовано нарушение энергетических условия. Показано, что учет вращения кротовой норы приводит к уменьшению величины нарушения светового энергетического условия по сравнению с невращающимся случаем. Масса кротовой норы получает положительный добавок в сравнение с невращающимся случаем. Результаты и выводы
Основные результаты и выводы диссертационной работы сводятся к следующим:
1. Построена модель вращающейся кротовой норы методом сшивки двух пространств Керра. Полученное в результате сшивки пространство-время является геодезически полным, не имеет горизонтов событий и обладает двумя плоскими асимптотиками, соединенными горловиной, расположенной на поверхности сшивки. Поверхность сшивки представляет собой тонкую оболочку, на которой сосредоточена «экзотическая» материя, нарушающая световое энергетическое условие.
2. В предположении, что источником геометрии кротовой норы является жидкость с анизотропным давлением, сосредоточенная на тонкой оболочке в горловине кротовой поры, было получено два класса решений, описывающих кротовые норы с «большим» и «малым» радиусами горловины. Показано, что поверхностная плотность энергии жидкости отрицательна, а компоненты давления положительны при всех значениях радиуса сшивки.
3. Построено решение, описывающее вращающуюся кротовую нору в общей теории относительности с безмассовым скалярным полем с отрицательной кинетической энергией в приближении медленного вращения. В качестве малого параметра выбрано отношение линейной скорости вращения на горловине кротовой норы к скорости света. Решение уравнений гравитационного и скалярного полей получено с точностью до второго порядка малости. 4. В приближении первого порядка малости построены траектории движения частиц и исследован характер распространения лучей света в пространстве вращающейся кротовой норы. В приближении второго порядка малости вычислена поправка к массе вращающейся кротовой норы и исследовано нарушение энергетических условия. Показано, что учет вращения кротовой норы приводит к уменьшению величины нарушения светового энергетического условия по сравнению с иевращающимся случаем. Приложение: формализм сшивки
Процедура сшивки Дармуа-Лихпсровнча-Израэля [32, 84, 60] широко применяется в ОТО [15, 13, 129, 28, 10, 11, 93, 104]. В данном разделе вкратце описан метод сшивки и приведены уравнения Эйнштейна на поверхности сшивки (уравнения Ланчоса).
Рассмотрим пространства М+ п М_ с координатами а;" их", метриками 9ав и 9аВ сигнатуры (н ) и класса гладкости С2. Допустим, что каждое из пространств М+ и М_ имеет границу Е+ и Е- соответственно. Метрика g v определяет индуцированную трехмерную метрику на границе Е . Метод сшивки заключается в построении нового пространства М = M+UM_, путем отождествления соответствующих точек па границах Е+ и Е- при условии Е+ = Е- = Е. В случае изомстрпчности индуцированных метрик на + и Е-, можно определить непрерывную метрику на М, согласованную с д+„, д [28, 93]. Это позволяет нам рассматривать уравнения Эйнштейна на всем пространстве-времени М. Для простоты мы будем опускать знак «±», если предположения верны одновременно для А/+ и М-. Допустим, граница Е является простраиствеипоподобпоп трехмерной невырожденной поверхностью. Уравнение поверхности Е имеет вид
