Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы по методам расчета пластинок 8
1.1. Методы расчета пластин 8
1.1.1. Задачи изгиба пластин 8
1.1.2. Основные направления расчета сетчатых пластинок и оболочек 10
1.1.3. Свободные колебания сетчатых пластинок н оболочек 11
1.2. Метод декомпозиция 12
1.2.К Редукционные методы расчетав задачах математической физики 12
1.2.2. Метод расчленения дифференциальных уравнений... 14
1.2.3. Метод декомпозиции решения уравнений и краевых задач 15
1.3. Метод коллокации 17
2. Коллокационный вариант метода декомпозиции для расчета сплошных пластинок 21
2.1.0. Алгоритм расчета изгибаемых пластинок коллокационный вариантом метода декомпозиции 21
2.1.1. Постановка задачи.. 21
2.1.2. Теория коллокационного варианта метода декомпозиции. 24
2.2. Изгиб прямоугольной изотропной пластинки с симметричным закреплением сторон ... ...26
2.3. Изгиб прямоугольной пластинки три края которой упруго оперты, четвертый свободен.„ 32
2.3.1. Постановка задачи. 32
2.3.2. Декомпозиция задачи 33
2.3.3. Коллокационный вариант метода декомпозиции 38
2.4. Изгиб прямоугольной пластинки два края которой упруго оперты, два свободны. 44
2.4.1. Постановка задачи 44
2.4.2. Декомпозиция задачи 45
2.4.3. Коллокационный вариант метода декомпозиции 48
3. Свободные колебания сетчатой пластинки. 51
3.1. Свободные колебания сплошной пластинки. 51
3.2. Свободные колебания сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней 53
3.2.1. Свободные поперечные колебания сетчатой пластинки . 53
3.2.2. Постановка задачи 54
3.2.3. Декомпозиция задачи., 55
3.2.4. Численное исследование точности расчета для жестко защемленных и шарнирно опертых пластинок 58
3.2.5. Численное исследование точности расчета для пластинок с различными коэффициентами упругости контура 72
4. Расчет г-образной пластинки 89
4.1. Гибридный метод декомпозиции 89
4.2. Расчет шарнирно опертой Г-образной пластинки 90
4.3. Расчет жестко защемленной Г-образной пластинки 96
4.4. Численное исследование Г-образной пластинки 101
Заключение 103
Список использованных источников и литературы 105
Приложения 122
- Метод декомпозиция
- Изгиб прямоугольной изотропной пластинки с симметричным закреплением сторон
- Свободные колебания сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней
- Расчет шарнирно опертой Г-образной пластинки
Введение к работе
Актуальность темы Конструкции в виде сплошных и сетчатых оболочек и пластинок находят широкое применение в различных областях современной техники (строительство, судостроение, машиностроение и т.д.). Однако большие возможности применения таких конструкций сдерживаются трудностями их расчета и проектирования. Определение напряженно-деформированного состояния этих конструкций, как систем с усложненной внутренней структурой, с неклассическими граничными условиями, сложным контуром вызывает не только вычислительные, но и принципиальные затруднения.
Применение к таким конструкциям хорошо разработанных численных методов, таких как МКЭ, приводит к решению систем линейных уравнений высоких порядков, что сказывается на точности вычислений, приводит к большим затратам машинного времени и в конечном счете делает расчет таких конструкций не экономичным.
Если учесть, что на стадии предварительного проектирования требуется знать лишь приближенную оценку напряженно-деформированного состояния конструкции и иметь для этого аналитические или полуаналитические зависимости или методы, позволяющие делать быстрый пересчет при изменении параметров конструкций, то разработка таких методов представляется актуальной и практически важной проблемой.
Цель диссертационной работы развитие одного из наиболее перспективных приближенных методов решения краевых задач математической физики, метода декомпозиции, предложенного Г.И. Пшеничновым в его работах, и разработке на его основе алгоритма построения аналитических и численно-аналитических решений для упруго защемленных по контуру прямоугольных в плане пластинок. Получение
приближенных аналитических формул ДЛ5
„ ;новного
РОС НАЦИОНАЛЬНА*| БИБЛИОТЕКА СОстщ О»
тона свободных колебаний упруго защемленной сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней.
Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:
на основе метода декомпозиции Г. И. Пшеничнова, разработан
алгоритм применения коллокационного варианта метода декомпозиции
для упруго защемленной пластинки;
получены приближенные аналитические формулы для задачи изгиба и
определения низшего тона собственных колебаний прямоугольной
упругозащемленной по контуру сетчатой пластинки с четырьмя
семействами стержней;
получено приближенное решение по методу декомпозиции для Г-
образной пластинки, с шарнирными и жестко-защемленными по
контуру краями.
Практическая значимость работы заключается в следующем:
Получены приближенные формулы для практического расчета сплошных и сетчатых пластинок с различными видами краевых условий, которые имеют место в практике эксплуатации конструкций.
Получены приближенные аналитические зависимости для оценки основного тона свободных колебаний сплошных и сетчатых пластинок с четырьмя семействами стержней.
Достоверность результатов, полученных в работе, обеспечивается корректностью постановки задач в рамках классических методов строительной механики. В ходе выполнения исследований на вспомогательных тестовых задачах был осуществлен анализ полученных результатов и их сравнение с результатами, известными из литературы и полученными, как на основе классических методов строительной механики, так и на основе МКЭ в форме метода перемещений.
5 Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на III международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов» (Волгоград, март 2003), на региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, ноябрь 2003) и ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии в 2001-2003 г.г. Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Строительной механики и САПР» ВолгГАСУ (Волгоград, январь 2004).
Публикации. Основные результаты по теме диссертационной работы отражены в 4 публикациях.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения, изложена на 128 страницах текста, содержит 56 рисунков и 36' таблиц. Список использованной литературы включает 189 наименований.
Метод декомпозиция
Прогресс в развитии вычислительной техники, начавшийся в 1950-х годах, обусловил, в свою очередь, бурное развитие численных методов решения задач математической физики. В особенности это относится к методу конечных разностей, в основе которого лежит аппроксимация дифференциальных операторов разностными операторами и, как следствие этого, сведение задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Математические, трудности, связанные с решением СЛАУ, привели к созданию эффективных численных методов решения стационарных задач математической физики, основанных на использовании свойств систем алгебраических уравнений с трехдиагональными и блочно-трехдиагональными матрицами коэффициентов при неизвестных. Все эти методы,. называемые методами прогонки (факторизации) и основанные на факторизации одномерного разностного оператора, подготовили основу для решения более сложных задач математической физики. В начале 1960-х, годов; Дж. Дугласом и Г\ Рэчфордом [145] был предложен метод переменных направлений, в котором исходная многомерная задача редуцировалась к последовательности конечно-разностных одномерных с трехдиагональными матрицами коэффициентов, легко обращаемыми на ЭВМ. Все эти методы, названные методами расщепления, развиты в работах советских математиков и наиболее полно изложены в монографиях Г.И. Марчука [71, 72]. В основе этих методов лежит построение конечномерного приближения задачи: математической физики, записанной в операторной форме, например, конечно-разностным методом. Методы расщепления нашли широкое применение для разнообразных по своему характеру задач и стимулировали формирование более общего подхода к решению задач математической физики. В настоящее время методы расщепления и переменных направлений рассматриваются как классы конечно-разностных алгоритмов решения нестационарных задач математической физики. К. работам, посвященным методам расчленения дифференциальных операторов уравнений математической физики, следует отнести работы Л.А. Розина [106-108] и Г.И. Пшеничнова [88-95]. С самого начала идея этих методов оказалась связанной с вопросами построения стержневых схем для задач теории пластин и оболочек. Здесь неизвестная функция fx (Р) является по физическому смыслу функцией взаимосвязи. Система уравнений (1.3) относительно неизвестных функций и(Р), /і (Р) эквивалентна (1.1). Так как функции и, входящие в (1.3) и (1.4) должны быть одинаковыми, то можно получить одно уравнение относительно функции ./і (Р): Если операторы Zq, L2 дифференциальные, то операторы Ц1, L являются интегральными. Расчленение оператора позволяет придать исходной задаче различные эквивалентные формулировки. Метод декомпозиции для решения уравнений и краевых задач впервые предложенный Г.И. Пшеничновым в 1985 году [88], имеет ту же исходную идею, что и метод расчленения, но обладает большей общностью. Главное различие этих методов состоит в том, что метод расчленения является методом дискретизации исходной континуальной задачи, а метод декомпозиции является методом как точного,, так и; приближенного аналитического или численного решения дифференциальных уравнений математической физики типа (1.1) путем расчленения их на отдельные уравнения меньшей мерности и уравнения взаимосвязи типа (1.3), (1.4), (1.5). Идея этого метода и его математическое обоснование изложены в [88]. Решаемые этим методом уравнения могут быть как дифференциальными, так и более общего вида. Как и метод расчленения метод декомпозиции основан на рассмотрении более простых вспомогательных задач, в постановке которых содержатся дополнительные функции. Итак, решение исходной краевой задачи (1.1) можно заменить решениями вспомогательных задач (1.3), (1.4), (1.5), содержащих неизвестные функции fi{P). При выполнении поставленных условий возможно получить точное решение исходной краевой задачи в случае, когда условия выполняются лишь приближенно (в отдельных точках, по отдельным линиям, интегрально, минимизацией соответствующих функционалов и т.д.) будет получено решение (1.1).
Изгиб прямоугольной изотропной пластинки с симметричным закреплением сторон
По предложенной методике выполнены тестовые примеры расчета прямоугольных пластинок с различным соотношением сторон при жестком и шарнирном закреплениях контура.. Полученные результаты сравнены с точными значениями [120], а также с результатами, полученными в [30]. Результаты сравнения приведены по значениям прогибов и по значениям изгибающих моментов в табл. 2.1-2.5. На рис. 2.2-2.6 представлены графические зависимости максимальных значений прогибов и изгибающих моментов (взятых по абсолютной величине) от соотношений длин сторон пластинки и условий закрепления. Выполненные тестовые примеры расчета пластинок с различными соотношениями сторон показывают существенное уточнение полученных результатов по сравнению с результатами, приведенными в работе [30]. Предложенная методика проста в реализации, позволяет получать аналитические зависимости для функций прогибов и усилий в сплошных пластинках. В то же время, найденное в аналитическом виде выражение для безразмерной функции прогиба позволяет легко получить формулы для определения внутренних усилий и напряжений в любой точке пластинки. Следует отметить, что проверка результатов расчетов проведена для всех значений соотношений сторон пластинки Л,. Низкие значения погрешностей для рассмотренных случаев свидетельствуют о высокой надежности и устойчивости метода. Рассматривается прямоугольная изотропная пластинка (рис. 2.7), имеющая по трем сторонам одинаковые жесткости защемления, четвертый край свободен. Поперечная нагрузка принята равномерно распределенной. Краевая задача изгиба пластинки, записанная в безразмерных координатах аир, имеет вид В соответствии с методом декомпозиции исходная краевая задача (2.17), (2.18) раскладывается на три вспомогательных задачи. Первая задача (краевая): Отметим, что в граничные условия (2.21) включена функция ufl\ которая меняет свое значение вдоль оси а. В связи с этим возникает необходимость заменить равенства нулю А/р и Q в любой точке края р = 1 условиями равенства нулю суммы работ всех Л/р(сс,1) на углах поворота 0(а,1)и приведенных поперечных сил бр(а,1) на прогибах о(сс,1) вдоль края пластины. Такая замена называется смягчением граничных условий, и окончательно граничные условия (2.21) при р = 1 примут вид (2.22) Третья задача (решение дифференциального уравнения взаимосвязи): Решение вспомогательных задач подчиняется условию (2.24) Неизвестные функции приняты в виде: (2.25) Несмотря на сложность аналитического решения данной краевой задачи, использование программы Maple позволяет получить универсальные аналитические зависимости для постоянных интегрирования. В табл. 2.6 представлены значения двенадцати постоянных интегрирования С0 - Сп, полученных в системе аналитических решений Maple.
Свободные колебания сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней
Рассмотрим применимость метода декомпозиции к расчету на свободные поперечные колебания тонких упругих сетчатых пластинок на основе континуальной расчетной модели Г.И. Пшеничнова [87]. Рассмотрим пластинку, состоящую из четырех семейств стержней п =4 (рис, З.1.), причем поперечные сечения стержней первого и второго семейств одинаковы и ф = pj = _ф2 ( а = ах = а2 - 2a2s = 2аАс (воспользуемся обозначениями, принятыми в [87]). Дифференциальное уравнение изгиба расчетной модели пластинки в случае рассматриваемой сетки из четырех семейств стержней в соответствии с [87]: Чтобы получить дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний пластинок, следует в уравнениях изгиба внешнюю нагрузку заменить силами инерции, возникающими при ее движении: dt2 ы\ я, где \i{ — плотность материала стержней і-го семейства. Отсюда в случае установившихся гармонических свободных колебаний с круговой частотой со, находим Правая часть (3.1) примет следующий вид: и выражение для изгиба в случае сетки с 4-мя стержнями преобразуется в Граничные условия запишем в следующем виде: Рассматривается прямоугольная сетчатая пластинка (рис. (4.22)), имеющая по всем сторонам различные коэффициенты упругости, при граничных условиях (3.8) краевая задача (4.15) представляют собой задачу на собственные значения. Требуется определить наименьшее значение частоты ю, при котором имеется нетривиальное решение задачи. В соответствии с методом декомпозиции исходная краевая задача (4.15), (3.8), раскладывается на три вспомогательные задачи. Лервая задача (краевая): и выполнить условие (3.14) выполнить точно, то все три формы решения ww (к -1, 2,3) будут совпадать. При этом будет получено точное решение исходной задачи. В случае приближенного вьшолнения условий (3.14) (в отдельных точках, интегрально и т.д.), или не строгого решения дифференциальных уравнений, будет получено приближенное решение задачи в трех формах. Неизвестные функции приняты в виде
На основании метода декомпозиции получены аналитические зависимости значений свободных частот для упруго опертой сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней. Вычисления по методу декомпозиции были, реализованы при помощи системы компьютерной математики Maple, алгоритм позволяет вычислять значения частот для различных сочетаний закрепления контура и угла q> с минимальными затратами компьютерного времени.
Произведено сравнение полученных результатов с МКЭ. Погрешности значений частот свободных колебаний для шарнирно опертой и жестко защемленной: пластинки находятся в пределах допустимых значений. Для улучшения результатов необходимо применение полиномов более высоких степеней, что;в свою очередь,ведет к значительным затратам машинного времени, даже на современных компьютерах класса Pentium4.
Приведены данные для пластинок с шагом сетки вдвое меньше основного, с целью проверки работоспособности формулы реагировать на изменение не только геометрических размеров пластинки в плане. Поскольку масса пластинки увеличилась, а с другой стороны увеличение жесткости за счет более частого шага сетки, значения частот полученных при шаге 0,5 практически совпадают с частотами для пластинок с шагом сетки 1м.
Результаты, погрешностей сравнения МКЭ и метода декомпозиции свидетельствуют о применимости указанных формул для подсчета низшей частоты для любого шага сетки.
Расчет шарнирно опертой Г-образной пластинки
Задавая численные значения размеров пластинки, вычисляем прогибы по некоторым характерным линиям пластинки; Полученные результаты, сведены в табл. 4.1, сравниваются с известным решением [115], а также с результатами, полученными по МКЭ. Отличительной особенностью таких пластинок является наличие «особых - угловых» точек, в которых функции изгибающих моментов претерпевают разрывы, и в окрестностях которых возникают локальные вазмущения напряженно-деформированного состояния пластинки. В качестве контрольного примера для реализации по МКЭ рассмотрим Г-образную изотропную пластинку со следующими физико-геометрическими параметрами: Е=200 ГПа; ц = 0.3; Ь=0,8 м; А = 0,02 м. Пластинка разбивается на КЭ с размером элемента 0,025 x0,025 м, нагрузка принята равномерно распределенной по всей площади пластинки с интенсивностью 7=10 кН/м2. Приведенные результаты имеют удовлетворительное совпадение, что свидетельствует об эффективности применения гибридного метода декомпозиции для расчета пластин со сложным контуром. Для шарнирно опертой и жестко защемленной Г-образной пластинки результаты заняли промежуточное значение между МКЭ и расчетами, выполненными В.А. Смирновым [115]. Использование в качестве аппроксимирующих; функций полиномов более высоких степеней позволит улучшить результаты. Выводы по 4-й главе 1. Метод декомпозиции дает возможность получать численно- аналитические решения, обладающие хорошей точностью, для задач изгиба пластинок со сложным контуром. 2. Возможности метода продемонстрированы на примере решения задачи изгиба Г-образной пластинки. Сравнение результатов расчета с решениями других авторов, а также решением, полученным на основе МКЭ, позволяет сделать вывод об эффективности предлагаемого метода. 3. Свободная постановка исходных задач и методы их решений делают метод декомпозиции очень гибким в вычислительном отношении по сравненшо с другими методами расчета пластин и оболочек. Подобная методика может быть развита для расчета пластинок, имеющих вырезы, и пластинок со смешанными граничными условиями. В диссертационной работе получил развитие один из наиболее перспективных методов решения краевых задач математической физики -метод декомпозиции, предложенный Г.И. Пшеничновым. Выполнено исследование изгиба упруго опертой пластинки при различных граничных условиях, на основе коллокационного варианта метода декомпозиции. Исследован основной тон свободных колебаний прямоугольной упруго опертой сетчатой пластинки с четырьмя семействами стержней на основе метода декомпозиции и теории тонких упругих сетчатых обоолчек Г.И. Пшеничнова. Развит гибридный метод декомпозиции для расчета пластинки со сложным контуром. X. На основе метода декомпозиции в комбинации с методом коллокации разработан новый колдокационный вариант метода декомпозиции. 2. Предложены эффективные алгоритмы построения аналитических и численно-аналитических решений для упругозащемленных по контуру прямоугольных сплошных и сетчатых пластинок. 3. Получены аналитические и численно-аналитические решения задач изгиба сплошных пластинок при различных краевых условиях. 4. Использование вычислительного пакета Maple позволяет значительно снизить затраты машинного времени на получение таких решений. 5. На основе метода декомпозиции получено аналитическое решение задачи о свободных колебаниях для стержневой пластинки с четырьмя семействами стержней и различными коэффициентами упругости по сторонам контура.
