Содержание к диссертации
Введение
I Аналитический обзор работ по проблеме расчёта строительных конструкций методом предельного равновесия. теоретические основы метода предельного равновесия 17
1.1 Аналитический обзор работ по проблеме расчёта строительных конструкций методом предельного равновесия 17
1.2 Теоретические основы метода предельного равновесия 47
1.2.1 Физические основы метода предельного равновесия 47
1.2.2 Геометрическая проблема в теории предельного равновесия пластинок 57
1.3 Основные выводы по главе 1 65
II Расчёт пластинок постоянной толщины кинематическим методом предельного равновесия 67
2.1 Прямоугольные шарнирно опёртые пластинки, нагруженные сосредоточенной силой, приложенной произвольно 67
2.1.1 Частные случаи приложения сосредоточенной силы 70
2.1.2 Пластинка с соотношением сторон к 2,093 72
2.1.3 Граница перехода минимального значения разрушающей нагрузки при смещении точки приложения силы от диагонали пластинки к центру 78
2.2 Особенности развития зон пластичности в углах шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой 79
2.2.1 Образование зоны пластичности у острого угла пластинки 79
2.2.2 Образование зоны пластичности у тупого угла пластинки 82
2.3 Трапециевидные шарнирно опёртые пластинки, нагруженные сосредоточенной силой, приложенной произвольно 84
2.3.1 Пластинки, нагруженные сосредоточенной силой в центральной их части 85
2.3.2 Пластинки, нагруженные сосредоточенной силой, приложенной вблизи вершины угла 90
2.3.3 Пластинки, нагруженные сосредоточенной силой, приложенной вблизи стороны 90
2.4 Параллелограммные шарнирно опёртые пластинки, нагруженные сосредоточенной силой, приложенной произвольно 90
2.5 Треугольные шарнирно опёртые пластинки, нагруженные сосредоточенной силой, приложенной произвольно 95
2.6 Пластинки, нагруженные сосредоточенной силой 99
2.7 Жёстко защемлённые пластинки с произвольным выпуклым контуром, нагруженные сосредоточенной силой,
приложенной произвольно 100
2.8 Свободно опёртые пластинки, нагруженные сосредоточенной силой, приложенной произвольно 101
2.9 Метод интерполяции по коэффициенту формы в задачах предельного равновесия пластинок 102
2.10 Пластинки, нагруженные равномерно распределённой нагрузкой 105
2.10.1 Прямоугольная пластинка 108
2.10.2 Треугольная пластинка 111
2.10.3 Ромбическая пластинка 113
2.10.4 Пластинкав форме правильного п-угольника 115
2.10.5 Эллиптическая пластинка 117
2.11 Графическая интерпретация зависимости между разрушающей нагрузкой и коэффициентом формы пластинок при действии равномерно распределённой нагрузки 118
2.12 Разработка алгоритма и программы для определения
несущей способности прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой 124
2.13 Основные выводы по главе 2 131
IIІ Расчёт пластинок линейно-переменной толщины кинематическим методом предельного равновесия 133
3.1 Шарнирно опёртые пластинки под действием сосредоточенной нагрузки 133
3.1.1 Несущая способность пластинок с полигональным контуром 133
3.1.2 Несущая способность пластинок с криволинейным контуром 137
3.1.3 Частные случаи шарнирно опёртых пластинок 139
3.2 Шарнирно опёртые пластинки под действием равномерно распределённой нагрузки 141
3.3 Жёстко защемлённые пластинки
под действием сосредоточенной нагрузки 145
3.3.1 Несущая способность пластинок с полигональным контуром 146
3.3.2 Несущая способность пластинок с криволинейным контуром 147
3.3.3 Об одном свойстве краевого шарнира текучести 149
3.3.4 О форме краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины и о применимости свойства равенства работ предельных моментов краевого и радиальных шарниров текучести для таких пластинок 150
3.4 Жёстко защемлённые пластинки под действием равномерно распределённой нагрузки 153
3.5 Критерии истинных форм разрушения пластинок линейно-переменной толщины 154
3.6 Формы разрушения пластинок переменного сечения с незамкнутым краевым шарниром текучести,
нагруженных сосредоточенной силой 154
3.7 Экспериментальные исследования плит линейно-переменной толщины, нагруженных сосредоточенной силой 156
3.7.1 Цель и задачи экспериментальных исследований 156
3.7.2 Испытательный стенд
для проведения экспериментальных исследований 157
3.7.3 Конструкции для экспериментальных исследований 159
3.7.4 Методика проведения и результаты
экспериментальных исследований 161
3.8 Основные выводы по главе 3 165
IV Балки ступенчато-переменной жёсткости: расчёт в упругой стадии и по предельному равновесию 167
4.1 Расчёт балок ступенчато-переменной жёсткости, материал которых работает в упругой стадии 168
4.1.1 Балка, один конец которой жёстко защемлён, а другой шарнирно опёрт 168
4.1.2 Балка с двумя жёстко защемлёнными концами 169
4.2 Расчёт балок ступенчато-переменной жёсткости методом предельного равновесия 170
4.2.1 Балка с жёстко защемлённым и шарнирно опёртым концами 171
4.2.2 Балка с двумя жёстко защемлёнными концами 175
4.3 Пример расчёта 177
4.3.1 Расчёт балки в упругой стадии 179
4.3.2 Расчёт балки методом предельного равновесия 182
4.4 Основные выводы по главе 4 183
Основные выводы 185
Список литературы
- Геометрическая проблема в теории предельного равновесия пластинок
- Граница перехода минимального значения разрушающей нагрузки при смещении точки приложения силы от диагонали пластинки к центру
- Частные случаи шарнирно опёртых пластинок
- Расчёт балок ступенчато-переменной жёсткости методом предельного равновесия
Введение к работе
Актуальность темы. Пластинки и балки являются одними из самых распространённых конструктивных элементов в строительных и машиностроительных конструкциях, занимая одно из наиболее значимых мест: несущие элементы мостовых конструкций, элементы обшивки крыла, фюзеляжа самолёта или корпуса корабля, элементы перекрытия и покрытия в зданиях и сооружениях. Для их расчёта применяются в большинстве своём численные методы (метод конечных элементов, метод конечных разностей) и создаются программные комплексы, при использовании которых часто теряется физическая сущность задачи.
Однако в расчётной практике по-прежнему придаётся большое значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических, в том числе и приближённых, методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние их отдельных геометрических и физических параметров на прочность, жёсткость и устойчивость конструкций, что способствует более правильному пониманию её силовой схемы.
Одним из таких методов является метод предельного равновесия, который даёт возможность определить разрушающую нагрузку путём сравнительно несложного расчёта и во многих случаях обеспечивает рациональное расходование материала. Метод предельного равновесия позволяет решать задачи, которые с трудом поддаются расчёту другими методами из-за сложности математических вычислений. Определение несущей способности конструкций с учётом пластических деформаций производится с использованием различных условий текучести, а также с применением теорем предельного равновесия.
В справочной и научной литературе приводится весьма ограниченный набор известных решений задач предельного равновесия пластинок, большинство из них получены приближёнными методами и имеют разную степень точности и достоверности.
Вместе с тем важное теоретическое и практическое значение имеет дальнейшее развитие кинематического метода предельного равновесия для расчёта пластинок и стержневых систем постоянной и переменной жёсткости.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются пластинки постоянной жёсткости с произвольным выпуклым контуром и однородными граничными условиями по всему контуру (либо шарнирное опирание, либо свободное опира-ние, либо жёсткое защемление), пластинки линейно-переменной толщины и статически неопределимые балки ступенчато-переменной жёсткости. Материал пластинок и балок удовлетворяет условиям жёсткопластического деформирования. Предметом исследования являются кинематический метод предельного равновесия, способы и методики определения разрушающих нагрузок для пластинок и балок, нагруженных сосредоточенной силой или равномерно распределённой нагрузкой, изучение и использование взаимосвязи кинематического метода с методом интерполяции по коэффициенту формы.
Цель диссертационной работы заключается в развитии кинематического метода предельного равновесия для оценки несущей способности пластинок постоянной жёсткости произвольного вида и различными граничными условиями, разработке теоретического аппарата для расчёта пластинок линейно-переменной жёсткости и балок переменного сечения.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- получить аналитические зависимости границ перехода между возможными
схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в произвольной точке, и на их основе разработать алгоритм и программный комплекс для расчёта таких пластинок;
исследовать возможные схемы разрушения шарнирно опёртых пластинок в форме трапеции, параллелограмма, треугольника при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы;
выявить закономерности изменения разрушающих нагрузок для пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной в их геометрическом центре;
получить функциональные зависимости «разрушающая нагрузка - коэффициент формы пластинок» для пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, имеющих различные очертания опорного контура;
разработать теоретическую базу для расчёта пластинок линейно-переменной толщины, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой или сосредоточенной силой, кинематическим методом предельного равновесия для пирамидальных и конических схем разрушения;
исследовать поведение замкнутого краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины, получить соответствующее дифференциальное уравнение и его интеграл;
провести экспериментальные исследования прямоугольных шарнирно опёртых пластинок линейно-переменной толщины, для выяснения вопроса об угле выхода криволинейного шарнира текучести на опорный контур;
исследовать несущую способность оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.
Методы исследования. В ходе проведения теоретических исследований использовались классические методы строительной механики и теории сооружений, при обработке результатов экспериментальных исследований - методы математической статистики. Для исследования геометрической стороны изучаемой проблемы применялись методы геометрического подобия плоских фигур (аффинные преобразования), а при исследовании физической стороны - кинематический метод предельного равновесия, метод конечных разностей, метод интерполяции по коэффициенту формы. Для аппроксимации полученных решений использовался программный комплекс «Table Curve 2D V. 5.01», оценка погрешности найденных функций выполнялась в приложении «Microsoft Office Excel 2003». Для получения численных решений применялся программный комплекс «MathCAD 14».
Научную новизну диссертационной работы составляют следующие результаты:
аналитическое и графическое представление границ перехода между возможными схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы, алгоритм и программный комплекс для расчёта таких пластинок, разработанный на основе полученных решений;
аналитические зависимости для определения разрушающей нагрузки различных четырёхугольных пластинок (в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба) при произвольном месте приложения сосредоточенной нагрузки;
закономерность о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок для четырёхугольных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в их геометрическом центре;
граничные кривые, представленные в координатных осях «разрушающая на-
грузка - коэффициент формы», для пластинок с различным очертанием опорного контура, однородными граничными условиями и нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;
аппроксимирующие функции для определения параметров схем разрушения пластинок с образованием угловых элементов в полигональных свободно опёртых пластинках, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;
расчётные формулы для определения разрушающих нагрузок пластинок линейно-переменной толщины и закономерности образования пирамидальных и конических схем излома;
новые результаты экспериментальных исследований по выявлению закономерностей поведения криволинейного шарнира текучести при его выходе на шарнирно опёртый контур.
Теоретическая значимость и практическая ценность результатов диссертационной работы заключается в следующем:
- в выявлении закономерностей и физических эффектов при исследовании рабо
ты пластинок в предельном состоянии с их аналитической и графической интерпрета
цией; в использовании этих закономерностей при выводе расчётных формул для опре
деления разрушающих нагрузок пластинок произвольного вида с однородными гра
ничными условиями при воздействии на них сосредоточенной силы или равномерно
распределённой нагрузки;
в построении граничных функций «разрушающая нагрузка - коэффициент формы», позволяющих использовать аппарат изопериметрического метода и метода интерполяции по коэффициенту формы для решения задач предельного равновесия пластинок;
в разработке теоретической базы для расчёта пластинок линейно-переменной толщины кинематическим методом предельного равновесия; в теоретическом исследовании поведения замкнутого шарнира текучести в жёстко защемлённых пластинках, нагруженных сосредоточенной силой; в экспериментальном исследовании поведения незамкнутого краевого шарнира текучести с выходом его на шарнирно опёртый контур пластинки линейно-переменной толщины;
в разработке алгоритма и программы для определения несущей способности прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных произвольно приложенной сосредоточенной силой;
в методике определения разрушающей нагрузки для оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.
Достоверность представленных научных положений и результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики и теории сооружений, сопоставлением полученных результатов с известными решениями других исследователей, а также решением большого количества тестовых задач.
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
- аналитические зависимости и графическое представление границ перехода ме
жду возможными схемами разрушения прямоугольных шарнирно опёртых пластинок
при действии на них произвольно приложенной сосредоточенной силы, алгоритм и
программный комплекс для расчёта таких пластинок, разработанный на основе полу
ченных решений;
аналитические зависимости для определения разрушающей нагрузки различных четырёхугольных шарнирно опёртых пластинок (в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба) при произвольном месте приложения сосредоточенной силы;
двусторонние оценки разрушающей нагрузки шарнирно опёртых трапециевидных, параллелограммных и треугольных пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной в их геометрическом центре;
графическое представление граничных кривых Рразр - Kf для пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, а также примеры расчёта, демонстрирующие эффективность применения построенных кривых при оценке несущей способности пластинок в задачах строительной механики, связанных с произвольной выпуклой областью;
аппроксимирующие функции для определения параметров схем излома пластинок с образованием угловых элементов в полигональных свободно опёртых пластинках, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой;
расчётные формулы для определения разрушающих нагрузок пластинок линейно-переменной толщины и закономерности образования пирамидальных и конических схем разрушения;
вывод и численное решение дифференциального уравнения замкнутого краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины;
результаты экспериментальных исследований по выявлению закономерностей поведения криволинейного шарнира текучести при его выходе на шарнирно опёртый контур;
методика определения разрушающей нагрузки для оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ОрёлГТУ (Госуниверситета - УНПК) в 2009...2011 гг.; Международных академических чтениях «Биосферно-совместимая безопасная среда обитания с позиции архитектурно-градостроительного комплекса» (Брянск, 2007 г.); Международных академических чтениях «Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения» (Курск, 2009...2010 гг.); 2-ой Всероссийской конференции «Проблемы оптимального проектирования сооружений» (Новосибирск, 2011 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 8 статей в ведущих рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов диссертационных исследований на соискание учёной степени кандидата технических наук.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных вьшодов, списка литературы, включающего 164 наименования, в том числе 50 зарубежных, и 8 приложений. Работа изложена на 274 страницах, включает 202 страницы основного текста, содержит 67 рисунков, 51 таблицу.
Геометрическая проблема в теории предельного равновесия пластинок
В последние десятилетия при расчётах строительных конструкций наряду с совершенствованием универсальных методов, ориентированных на применение современных программных комплексов (ПК), отчётливо прослеживается тенденция к развитию альтернативных методов, предназначенных для решения определённого (узкого) класса задач, в пределах которых они имеют высокую эффективность. Одним из них является метод предельного равновесия.
Расчёт строительных конструкций методом предельного равновесия широко применяется в инженерной практике. В нормах проектирования многих стран разрешается и предписывается его применение при расчёте конструкций, для которых он уже разработан. Преимущества этого метода заключаются в том, что он даёт возможность определить несущую способность конструкции путём сравнительно несложного расчёта и во многих случаях ведёт к значительному экономическому эффекту. Поэтому проведение теоретических и экспериментальных исследований будет способствовать его дальнейшему развитию и усовершенствованию.
Основы теории упругих пластинок были заложены ещё в ХГХ веке. Широкое использование их в инженерном деле началось в XX столетии с появлением новых строительных материалов, в частности, железобетона. Линейная теория упругих пластинок принимает сложившуюся форму в первой половине прошлого века. При решении задач, в которых необходимо учитывать запасы прочности тел, математического аппарата теории упругости оказывается недостаточно. Более правильную оценку несущей способности конструкций, изготовленных из пластических материалов (например, сталь, железобетон), дают теории, основанные на моделях упругопластического [37, 103] или жёстко-пластического тела [11, 14]. Кроме того, расчёт пластинок методами теории упругости является довольно сложным и громоздким [8, 40, 63, 108], в то время.как определение их несущей способности методом предельного равновесия осуществляется гораздо проще. Поэтому рассматриваемый метод получил существенное развитие во многих работах отечественных и зарубежных авторов [13, 17, 101, 109, 116, 122, 127, 151, 160, 163] и др.
Начало возникновения метода предельного равновесия следует отнести к ХУЛ веку, к временам Г. Галилея. Позднее он был вытеснен методомрасчёта упругих систем по допускаемым напряжениям. Почти сто лет назад этот метод вновь возродился, но уже на более совершенной основе. Одними из первых исследователей этого метода следует считать Г. Казинци и Н. Киста, которые рассматривали перераспределение изгибающих моментов в неразрезных балках. ВЛ913 году F. Казинци указал, что при, разрушении статически неопределимых систем необходимо появление в них пластических шарниров в количестве, большем на единицу их статической неопределимости.
Расчёт железобетонных плит по линиям излома впервые был предложен А. Ингерслевом в 1921 году, а в более совершенном виде К.В. Йогансеном в 1931 году.
В России одним из инициаторов внедрения в инженерную практику метода расчёта по предельной несущей способностшбыл А.Ф. Лолейт, который в 1904 году предложил, а в 1932 году разработал методику расчёта железобетонных конструкций по стадии разрушения, основанную на многочисленных экспериментах, проведённых на этот период времени.
Создание и теоретическое обоснование современного метода предельно го равновесия принадлежит А.А. Гвоздеву [13, 14], который в 1934 году сформулировал, а в 1938 году [11] привёл доказательство основных теорем об экстремальных свойствах предельных нагрузок, а также указал на основополагающие принципы, дающие верхнюю и нижнюю оценки несущей способности упругопластических систем. Им были найдены новые формы разрушения пластинок с криволинейными краевыми шарнирами текучести. А.А. Гвоздевым и его учениками этот метод расчёта был обоснован рядом экспериментально-теоретических работ и лёг в основу норм [12] и технических условий проектирования бетонных и железобетонных конструкций.
Наиболее интенсивная работа, направленная на разработку методов теории пластинок, работающих за пределом упругости, началась на рубеже 40-х годов прошлого столетия. В 60-е годы большое развитие получила теория расчёта, учитывающая пластические деформации.
Теория предельного равновесия относится к числу наиболее разработанных, обоснованных и имеющих наибольшее практическое значение среди разделов современной теории пластичности. Ведущую роль в этом сыграли фундаментальные работы А.А. Гвоздева [13], А.А. Ильюшина [37], СМ. Крылова [71], А. Надай [82], В. Прагера [88], А.Р. Ржаницына [95], А. Савчука [151], 3. Соботки [156], Р. Хилла [124], Ф.Г. Ходжа [109] и др.
С момента появления первых работ по теории расчёта пластинок с учётом пластических деформаций и до настоящего времени выдвинуто много новых и плодотворных идей, решено большое количество различных задач, появилась научная и справочная литература по этому вопросу [8, 25, 35, 40, 92, 101, 127, 132, 133, 143, 146, 149, 152, 156 и др.].
Расчёт железобетонных плит, основанный на теории предельного равновесия, проводился советскими учёными А.А. Гвоздевым, А.С. Григорьевым, A.M. Дубинским, М.И. Ерховым, B.C. Зыряновым, Д.Д. Ивлевым, А.С. Кал-манком, A.M. Проценко, А.Р. Ржаницыным [11...15, 18...20, 24...27, 29...36, 39, 40, 96, 101] и др. Их достижения имеют актуальное значение в наше время и широко цитируются в мировой научной литературе. Из зарубежных исследователей следует отметить работы М. Арьенпура, Г. Гопкинса, К.В. Иогансена, Е.Н. Мансфилда, Э. Митчелла, М.П. Нильсена, В. Ольшака, В. Прагера, А. Савчука, 3. Соботки, Ф.Г. Ходжа, М. Хораши [16, 17, 85, 88...90, 109, 115, 118...120, 126, 127, 139, 143, 145, 155, 156] и др.
В классической форме метода предельного равновесия применяются уравнения недеформированной системы, которые используются при незначительном изменении геометрических величин, входящих в уравнения, равновесия [19, 25, 101, 127, 141] и др.
Расчёт прочности плит (пластинок) на основе теории предельного равновесия проводился в диссертационных исследованиях Б.Ж. Давранова, К.М. Джеманкулова, К.Ф. Исламова, Ю.В. Киржаева, В.И. Коробко, Г.И. Коро-теева, В.В. Ражайтиса, К.М. Тельконурова, Д.А. Темралинова, С. Греха [21, 23, 38,43, 49,70, 94, 104, 105] и др.
Теоретические исследования, направленные на качественный анализ напряжённо-деформированного состояния плит и предельных условий по линиям излома, рассматривались в работах [10, 30, 31, 75, 76] и др. Большая часть этих исследований выполнена для плит, опёртых по контуру.
Определять разрушающую нагрузку методом предельного равновесия можно двумя путями соответственно двум предельным теоремам (более подробно они будут рассмотрены в разделе 1.2). Статический метод определения разрушающей нагрузки даёт оценку несущей способности снизу, а кинематический - сверху. Полное решение задачи подразумевает совместное применение обоих методов при расчёте одной и той же конструкции. Это позволяют получить двустороннюю оценку несущей способности, как это сделано, например, в работе [88]. Однако применение каждого из методов по отдельности также представляет практический интерес.
Граница перехода минимального значения разрушающей нагрузки при смещении точки приложения силы от диагонали пластинки к центру
Из представленного обзора работ видно, что существует ещё множество нерешённых вопросов, требующих дальнейших теоретических и экспериментальных исследований, целью которых должно являться изучение поведения пластинчатых элементов с учётом возможных резервов прочности материалов, из которых они изготовлены. Это позволит усовершенствовать существующие методы расчёта с широким привлечением современных вычислительных комплексов, решить ряд новых и важных задач.
Проблемы определения несущей способности пластинчатых и балочных элементов постоянного и переменного сечения, изложенные в данном параграфе, определили основную цель диссертационной работы, которая заключается в совершенствовании кинематического метода предельного равновесия для расчёта пластинок постоянной жёсткости произвольного вида и различными граничными условиями без исследования возможных схем их разрушения, а также в развитии этого метода для расчёта пластинок и балок переменного сечения.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: - получить аналитические зависимости, границ, перехода между возможными схемами разрушения. прямоугольных шарнирно опёртых пластинок, нагруженных сосредоточенной силой в произвольной точке, и на их основе разработать алгоритм и программный комплекс по расчёту таких пластинок; исследовать возможные схемы разрушения шарнирно опёртых пластинок в форме трапеции, параллелограмма, треугольника при действии на них произвольно приложенной,сосредоточенной силы; выявить закономерности изменения разрушающих нагрузок для пластинок, нагруженных сосредоточенной силой, приложенной в их геометрическом центре; получить функциональные зависимости «разрушающая нагрузка - коэффициент формы пластинок» для пластинок, нагруженных равномерно рас пределённой нагрузкой, имеющих различные очертания опорного контура; разработать теоретическую базу для расчёта пластинок линейно-переменной толщины, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой или сосредоточенной силой, кинематическим методом предельного равновесия для пирамидальных и конических схем разрушения; исследовать поведение замкнутого краевого шарнира текучести для пластинок линейно-переменной толщины, получить соответствующее дифференциальное уравнение и его интеграл; провести экспериментальные исследования прямоугольных шарнирно опёртых пластинок линейно-переменной толщины, для выяснения вопроса об угле выхода криволинейного шарнира текучести на опорный контур; исследовать несущую способность неразрезных оптимально запроектированных металлических балок ступенчато-переменной жёсткости, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой.
Существующие методы расчёта конструкций в большинстве случаев основываются на представлении о них как о системах, выполненных из идеально-упругих элементов. Учёт пластических свойств материала даёт более полную и достоверную оценку работы отдельных элементов конструкций и сооружения в целом.
Широко распространённые стержневые системы, применяемые в качестве строительных конструкций (многопролётные балки, рамы, фермы, арки и их комбинации), обычно являются статически неопределимыми. Статически неопределимыми являются и пластинки. Если материал этих конструкций обладает пластическими свойствами, то они имеют дополнительные резервы проч ности, так как после достижения предела текучести в каком-либо наиболее напряжённом сечении элемента конструкции она может нести дополнительную нагрузку за счёт перераспределения внутренних сил.
Увеличение внешней нагрузки не может быть бесконечным. В определённый момент времени сооружение перестаёт удовлетворять эксплуатационным требованиям: появляются либо чрезмерные деформации, либо сооружение превращается в кинематический механизм. Состояние системы (сооружения), когда она перестаёт удовлетворять эксплуатационным требованиям, называется предельным состоянием, а внешняя нагрузка, соответствующая этому состоянию, - предельной (разрушающей) нагрузкой. О конструкции, достигшей такого состояния, говорят, что она исчерпала несущую способность, то есть не может сопротивляться воздействию дополнительных внешних сил.
Разрушение (исчерпание несущей способности) в большинстве случаев -является одним из важнейших предельных состояний элементов конструкций или сооружения в целом. Заранее знать, при какой нагрузке произойдёт разрушение конструкции, — основная цель инженерных расчётов. Определение несущей способности конструкции с учётом её действительной работы проще всего осуществить с помощью метода предельного равновесия.
В методе предельного равновесия рассматривается только момент исчерпания несущей способности конструкции, а все её предыдущие состояния и поведение остаются вне поля зрения.
При определении несущей способности пластинок используются уравнения равновесия недеформированной системы. Это допустимо только тогда, когда вплоть до исчерпания несущей способности, деформации остаются настолько малыми, что без существенной погрешности можно пренебречь изменением всех геометрических величин, входящих в условия равновесия.
Требование малости деформаций представляет собой существенное ограничение при использовании метода предельного равновесия. Это особенно сказывается тогда, когда исчерпание несущей способности выражается в рез ком провисании пластинок. Поэтому предел несущей способности должен представлять собой достаточно резко выраженную границу между жёстким и пластическим поведением пластинки. В этом плане пластинки переменного сечения находятся в более выгодном положении, поскольку смысл их проектирования диктуется требованием оптимальности, а оптимально запроектированные пластинки переходят в пластический режим работы практически одновременно по всей её области или, по крайней мере, по большей её части.
Расчёты по предельному состоянию основываются на использовании упрощённых зависимостей между напряжениями и продольными деформациями материала (диаграммы о - є). Применяя такие диаграммы необходимо помнить о степени неточности, которую они вносят в расчёт. Но даже при-" такой идеализации диаграмм качественные результаты расчёта, полученные по методу предельного равновесия; лучше отражают действительное поведение строительных конструкций, чем результаты их расчёта по допускаемым напряжениям как чисто упругих систем.
Частные случаи шарнирно опёртых пластинок
Выражения (2.56 ) и (2.59) отличаются только коэффициентом пропорциональности (множителем 2), поэтому минимизация последнего приведёт к тому же результату, что и для шарнирно опёртой пластинки. Из этого следует, что положение точек Оі и О2 при схеме разрушения в виде «конверта» не зависит от вида рассматриваемых граничных условий прямоугольной пластинки.
Свободное опирание по контуру
Для прямоугольной свободно опёртой пластинки с полностью закреплёнными краями, нагруженной равномерно распределённой нагрузкой, в состоянии предельного равновесия схема излома принимается такой же, как и для шарнирно опёртой пластинки. В этом случае остаётся справедливым выражение (2.56 ).
Если углы свободно опёртой пластинки незакреплены, то в предельном состоянии они могут приподниматься, вращаясь вокруг прямых (показанных на рисунке пунктирными линиями), образуя угловые элементы. В этом случае разрушение пластинки будет происходить по схеме, изображённой на рисунке 2.15, в. Составляя уравнения работ внешних и внутренних сил, получим формулу для определения несущей способности: причём A = kx2(k-S)-5 + l, В = к[кх2(к- )-(і-Й(3-2х2)], С = 1 + кх2. Прямая минимизация выражений (2.60) по параметру є невозможна. Поэтому к анализу закономерностей изменения qpa3p в этом случае следует подходить, используя численные решения.
Так как для нахождения параметров угловых элементов пластинок, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, использовались геометрические свойства пластинок, симметричных относительно биссектрис углов, то зависимость параметра , определяющего схему образования углового элемента прямоугольной пластинки, может быть принята такой же, как и для квадратной пластинки и найдена из соотношения: = 0,3207 . Решая совместно уравнения (2.61) и (2.62), находим значения параметров «х2», ,, г и є "", определяющих схему разрушения пластинки, изображённую на рисунке 2.15, в.
Параметр л не может быть больше единицы (иначе рассматриваемая задача не имеет смысла), поэтому значение ц = 1 является конечным и достигается при значении к = 2,093 (в этом можно убедиться, решив записанную выше систему уравнений). При к 2,093 значение параметра г следует принимать равным единице, а параметры «х2», , и є определять также, как показано выше.
Для треугольной пластинки, жёстко защемлённой по контуру и нагруженной равномерно распределённой нагрузкой, принимается схема излома, изображённая на рисунке 2.16, б. Разрушающая нагрузка в этом случае определяется по формуле
Для треугольной свободно опёртой пластинки с полностью закреплёнными краями, нагруженной равномерно распределённой нагрузкой, схема Раз 112 рушения принимается такой же, как и для шарнирно опёртой пластинки. В этом случае остаётся справедливым выражение (2.63 ).
Если углы свободно опёртой пластинки не закреплены, то разрушение будет происходить по схеме, изображённой на рисунке 2.16, в. Несущая способность пластинки в этом случае может быть найдена из выражения [8]:
Если ромбическая шарнирно опёртая пластинка нагружена равномерно распределённой нагрузкой, то ожидаемую схему её разрушения можно представить в виде «пирамиды» (рисунок 2.17, а) [101], вершина которой будет расположена в центре тяжести ромба. Предельная нагрузка в этом случае определяется по формуле:
Для ромбической пластинки, жёстко защемлённой по контуру и нагруженной равномерно распределённой нагрузкой, принимается схема разрушения, изображённая на рисунке 2.17, б. Разрушающая нагрузка в этом случае определяется по формуле:
Для ромбической свободно опёртой пластинки с полностью закреплёнными краями, нагруженной равномерно распределённой нагрузкой, схема излома принимается такой же, как и для шарнирно опёртой пластинки. В этом случае остаётся справедливым выражение (2.67).
Если углы свободно опёртой пластинки незакреплены, то разрушение будет происходить по схеме, изображённой на рисунке 2.17, в. Несущая способность пластинки в этом случае может быть найдена из выражения [8]:
Если шарнирно опёртая пластинка в форме правильного п-угольника нагружена равномерно распределённой нагрузкой, то ожидаемую схему её разрушения можно представить в виде «пирамиды» (рисунок 2.18, а) [101], вершина которой будет расположена в центре тяжести п-угольника. Предельная нагрузка в этом случае определяется по формуле (2.63 ).
Значения , ц принимаются в зависимости от величины угла п-угольника. Прямая минимизация выражений (2.65), (2.69) и (2.71) по параметру є затруднительна. Поэтому к анализу закономерностей изменения qpa3p в этом случае следует подходить, используя численные решения.
Как отмечается в [8], для рассматриваемых видов пластинок при.вычис-лении величин и rji следует пользоваться коэффициентами 8х и 52, полученными при расчёте правильных многоугольных и ромбических пластинок (см. таблицу 2.7). Если, величины углов рассчитываемой пластинки не совпадают со значениями, представленными в данной таблице, то их можно найти из функциональных зависимостей (2.54), (2.55), полученных в диссертационной работе.
В качестве множителя при вычислении величин и ТІ входит искомая величина є. В первом приближении принимают характеристику контура пластинки є=1 (как для пластинки с полностью закреплёнными углами) и вычисляют коэффициенты ,i, rji. Подставляя найденные значения %, л, в формулы (2.66), (2.70) или (2.72), уточняют значение є. Последовательными итерациями добиваются, чтобы разность между значениями є, принятым при вычислении І, т); и полученным после подстановки этих коэффициентов в (2.66), (2.70) или (2.72), не превысит установленной погрешности.
Расчёт балок ступенчато-переменной жёсткости методом предельного равновесия
Граничные точки перехода между схемами разрушения д), е), з) и г), д), е) будут иметь такие же координаты, как и для случая, когда к 2,093. Координаты этих точек (0,4735b; 0,1954b) и (0,1814b; 0,4394b) соответственно.
Таким образом, в интервале 0,1814Ь х 0,4735b, 0,1954Ь у 0,4394Ь происходит переход от схемы излома д) к схеме е). Результаты вычисления координат «х», «у» для рассматриваемого интервала представлены в таблице 2.4. Интервал 0; 1797b х 0,1814b, 0,4394b у 0,5b является переходной границей между схемами разрушения г) и д). Координаты «х», «у», обеспечивающие равенство предельных нагрузок для возможных схем разрушения в рассматриваемом интервале, представлены в таблице 2.5.
Приравнивая выражения (2.1), (2.5) значению (2.3) и решая полученную систему уравнений, найдём: Таким образом, точка с координатами (0,9160b; 0,3758Ь) является граничной между схемами разрушения а) и д). В этой точке значение предельной нагрузки для обеих схем излома равно 10,283тт. Координаты точек «х», «у» для схемы разрушения д), когда Рразр = 10,283тт, следует принимать по таблице 2.6, учитывая только, что граничное значение х2 = 0,9160Ь для заданного у = 0,3758Ь.
Минимальное значение разрушающей нагрузки для схемы излома д), как и для отношения сторон пластинки к 2,093, будет в точке, лежащей на биссектрисе угла, когда х = у = 0,5Ь и равно 9,142тт. Таким образом, для прямоугольных пластинок с соотношением сторон к = 1,9231, границы значений предельных нагрузок можно также представить в виде двустороннего неравен 212 ства (2.36).
В интервале 0,8766Ь х 0,9615b, 0,3188Ь у 0,5Ь разрушение пластинки происходит по схеме а). Задавшись величиной «у», приравнивая выражения (2.1) и (2.3), находим значение параметра «х», при котором выполняется данное равенство. Результаты вычислений представлены в таблице Б.З. Таблица Б.З - Результаты вычисления значений «х», удовлетворяющие условию равенства разрушающей нагрузки, вычисленной по формуле (2.1) значению (2.3), в интервале 0,8766Ь х 0,9615b, 0,3753Ь у 0,3758Ь
Как видно из таблицы Б.З, интервал значений «у» очень мал, поэтому границей, вдоль которой значение разрушающей нагрузки равно 10,283тт, можно считать прямую, проведённую через крайние точки интервала.
По результатам найденных значений, представленных в таблицах 2.4...2.6 и Б.1...Б.З, построены кривые (рисунок БЛ), являющиеся границами между возможными схемами разрушения пластинки.
Для заданного отношения сторон пластинки к = 1,6667 (см. таблицу 2Л) определяем точки (координаты «х», «у»), расположенные на осях, в которых значения разрушающих нагрузок для схем а), д) и а), з) равны. Точка с координатами (0,6202b; 0,5Ь) является граничной между схемами излома а) и д), а точка с координатами (0,8334b; 0,2446Ь) - между схемами а) и з).
Таким образом, в интервале 0,1814Ь х 0,4735b, 0,1954Ь у 0,4394Ь происходит переход от схемы излома д) к схеме е). Результаты вычисления координат «х», «у» для рассматриваемого интервала представлены в таблице 2.4. Интервал 0,1797b х 0,1814b, 0,4394b у 0,5b является-переходной границей между схемами разрушения г) и д). Координаты «х», «у», обеспечивающие равенство предельных нагрузок для возможных схем разрушения в рассматриваемом интервале, представлены в таблице 2.5.
В интервале 0,4735Ь х 0,7944Ь, 0,1954b у 0,2447Ь происходит переход от схемы разрушения д) к схеме з). Задавшись величиной «у», приравнивая выражения (2.4) и (2.5), находим значение параметра «х». Результаты вычислений представлены в таблице Б.5.
Таким образом, точка с координатами (0,7171b; 0,3070Ь) является граничной между схемами излома а) и д). В этой точке значение предельной нагрузки для обеих схем разрушения равно 10,283тт.
Координаты точек «х», «у» для схемы излома д), когда Рразр = 10,283тт, следует принимать по таблице 2.6, учитывая только, что граничное значение х2 = 0,7171Ь для заданного у = 0,3070Ь.
В интервале 0,7171Ь х 0,8334b, 0,3036Ь у 0,3070Ь разрушение пластинки происходит по схеме а). Задавшись величиной «у», приравнивая выражения (2.1) и (2.3),- находим значение параметра «х», при котором выполняется данное равенство. Результаты вычислений представлены в таблице Б.7. Таблица Б.7 - Результаты вычисления значений «х», удовлетворяющие условию равенства разрушающих нагрузок, вычисленные по формулам (2.1)
Таким образом, в интервале 0,1814Ь х 0,4735Ь, 0Д954Ь у 0,4394Ь происходит переход от схемы излома д) к схеме е). Результаты вычисления координат «х», «у» для рассматриваемого интервала представлены в таблице 2.4. Интервал 0,1797b х 0,1814b, 0,4394b у 0,5b является переходной границей между схемами разрушения г) и д). Координаты «х», «у», обеспечивающие равенство предельных нагрузок для возможных схем разрушения в рассматриваемом интервале, представлены в таблице 2.5.
В интервале 0,4735Ь х 0,5760b, 0Д954Ь у 0,2071Ь происходит переход от схемы излома д) к схеме з). Задавшись величиной «у», приравнивая выражения (2.4) и (2.5), находим значение параметра «х». Результаты вычислений представлены в таблице Б.9.
Таким образом, точка с координатами (0,4878b; 0,2654Ь) является граничной между схемами излома а) и д). В этой точке значение предельной нагрузки для обеих схем разрушения равно 10,283тт.
Координаты точек «х», «у» для схемы разрушения д), когда Рразр = 10,283тт, следует принимать по таблице 216 только для значений «Xi».
В интервале 0,4878Ь х 0,6945Ь, 0503Ь у 0,2654Ь излом пластинки происходит по схеме а). Задавшись величиной «у», приравнивая выражения (2.1) и (2.3), находим значение параметра «х», при котором выполняется данное равенство
