Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод сосредоточенных деформаций в решений-задач по расчету несущих элементов зданий
1.1. Обзор работ по методу сосредоточенных деформаций 19
1.2. Обзор экспериментальных исследований 22
1.3. Обзор публикаций по сейсмостойкости с учетом нелинейности ...24
1.4. О сущности метода сосредоточенных деформаций в развитом варианте 30
1.5. Иллюстрация идеи метода на примерах расчета балок 36
1.6. Математическая модель метода сосредоточенных деформаций...59 Выводы по первой главе 61
Глава 2. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач стержневых систем 63
2.1. Основные матричные уравнения упругих стержневых систем 63
2.2. Реализация метода сосредоточенных деформаций на примере балок 65
2.3.Учет податливости опорных закреплений и деформации реальных связей 73
2.4. Решение статической задачи балок ступенчато - переменного поперечного сечения 82
2.5. Динамическая модель метода сосредоточенных деформаций и уравнение движения 89
2.6. Влияние продольно - сжимающей силы 102
2.7. Результаты динамического расчета балок постоянного и ступенчато - переменного поперечного сечения с различными граничными условиями 108
Выводы по второй главе 115
Глава 3. Решение плоской статической и динамической задач теории упругости 117
3.1. Основы теории расчета 117
3.2. Матрица внутренней жесткости 121
3.3. Матрица уравнений равновесия 125
3.4. Матрица внешней жесткости динамической задачи 128
3.5. Учет деформации реальных связей 130
3.6. Плоское напряженное состояние многосвязных прямоугольных пластин 133
3.7. Численные примеры 134
3.8. Определение перемещений и усилий в угловых точках в решении плоской задачи 148
Выводы по третьей главе 154
Глава 4. Численное решение динамических задач по расчету изгибаемых пластин 156
4.1. Основы теории расчета пластин 156
4.2. Уравнения движения 159
4.3. Матрица жесткости 162
4.4. Численные примеры 165
4.5. Определение усилий в угловых точках в расчете плит с прямоугольным отверстием 168
4.6. Анализ сходимости численного решения динамической задачи изгиба плит 176
Выводы по четвертой главе 178
Глава 5. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач балок и плит на упругом основании 180
5.1. Основы теории расчета балок на упругом основании 180
5.2. Колебания балок на упругом основании 181
5.3. МСД в решении статических задач для балок на упругом основании 182
5.4. МСД в решении динамических задач для балок на упругом основании 188
5.5. Численный анализ устойчивости, сходимости и точности. МСД 192
5.6. Результаты расчета балки на упругом однородном основании на действие вибрационной нагрузки... 198
5.7. Расчет балок постоянного поперечного сечения на неоднородном основании 199
5.8. Пример расчета фундамента 11-этажного каркасного здания 203
5.9. Пластины на упругом основании 204
Выводы по пятой главе 208
Глава 6. Метод сосредоточенных деформаций в расчете пластинчатых систем 211
6.1.Трехмерное моделирование методом сосредоточенных деформаций 211
6.2.Система из элементов, которые деформируются как в своей плоскости, так и из плоскости 216
6.3 .Матрица внутренней жесткости 219
6.4.Матрица коэффициентов уравнений равновесия 227
6.5.Учет жесткости реальных связей 231
б.б.Численное решение динамической задачи пластинчатой системы 237
6.7.Численные примеры 239
6.8.Расчет экспериментальной модели помещения атомной электростанции 250
6.9. Алгоритм расчета пластинчатой системы. Численная реализация алгоритма 251
Выводы по шестой главе 265
Глава 7. Метод сосредоточенных деформаций в решении задач теории сейсмостойкости 267
7.1. Математическая модель 267
7.2. Матрица жесткости стержня с учетом крутильных деформаций...273
7.3. Уравнение сейсмических колебаний и его решение 278
7.4.Численные исследования устойчивости и сходимости решений динамических задач на примере консольной динамической модели 282
7.5.Примеры расчета по исследованию свободных и вынужденных колебаний расчетной модели здания 284
7.6. Спектры сейсмических колебаний многомассового осциллятора при учете заданной акселерограммы 294
7.7. Учет влияния динамического гасителя колебаний 300
Выводы по седьмой главе 321
Глава 8. Решение динамических задач с учетом физической нелинейности 323
8.1. Численное решение динамических задач систем со многими степенями свободы с учетом упругопластических деформаций...323
8.2. Численные примеры расчета зданий на сейсмические воздействия по предложенной методике 340
Выводы по восьмой главе 354
Глава 9. Применение метода сосредоточенных деформа ций к расчету многоэтажных зданий и их несу щих элементов 356
9.1 Учет податливости стыковых соединений и экспериментальные исследования жесткости железобетонных плит перекрытий 356
9.2. Расчетные модели железобетонных дисков перекрытий 358
9.3. Расчет сборных железобетонных дисков перекрытий МСД на действие горизонтальной (сейсмической) нагрузки 361
9.4. Расчет вертикальных несущих элементов многоэтажных зданий 367
9.4.1. Расчет шестиэтажной монолитной диафрагмы жесткости 367
9.4.2. Расчет двенадцатиэтажных монолитных диафрагм жесткости...371
9.5. Расчет 12- этажного монолитного каркасного здания на сейсмические воздействия 379
Выводы по девятой главе 389
Общие выводы 390
Литература
- Обзор публикаций по сейсмостойкости с учетом нелинейности
- Динамическая модель метода сосредоточенных деформаций и уравнение движения
- Учет деформации реальных связей
- Численный анализ устойчивости, сходимости и точности. МСД
Введение к работе
Актуальность темы. Проектирование зданий и сооружений в районах с высокой сейсмичностью опирается на результаты исследований в области теории сейсмостойкости, которая непосредственным образом связана с теорией колебаний. Развитие и совершенствование методов расчёта одна из важнейших задач строительной механики.
Существующие методы расчета строительных конструкций специально не ориентированы на несущие системы, соединения элементов которых обладают значительной податливостью. Поэтому актуальным является вопрос разработки метода расчета, в наилучшей степени учитывающего конструктивные особенности элементов. Метод сосредоточенных деформаций (МСД), который развивается в данной работе, позволяет учитывать свойства этих систем. Кроме того, этот метод менее трудоемок по сравнению с МКЭ.
Разработка эффективных методов решения динамических задач строительной механики, в том числе задач теории сейсмостойкости, имеет важное народнохозяйственное значение. Метод упругих сосредоточенных деформаций, предложенный А.Р. Ржаницыным для пластинок, нагруженных в своей плоскости, являющийся разновидностью метода конечных элементов, оказался особенно эффективным для расчета диафрагм зданий и других конструкций, составленных из прямоугольных блоков и панелей. Метод упругих сосредоточенных деформаций получил развитие в работах М.И. Додонова, в которых были введены понятия о реальных, фиктивных и комплексных швах при расчете железобетонных конструкций.
В настоящей диссертации развит метод сосредоточенных деформаций применительно к динамическим задачам, позволяющий с меньшей трудоемкостью и достаточной точностью получить полную картину напряженно-деформированного состояния несущих конструкций зданий.
Учет специфики деформирования железобетона с помощью применяемых в распространенных программных комплексах универсальных конечных элементов требует составления сложных и громоздких расчетных схем. Так, даже при упругих расчетах монолитного многоэтажного здания число узлов в расчетных схемах достигает нескольких десятков тысяч. Поскольку в расчетной модели МКЭ предполагается постоянство характеристик в пределах каждого конечного элемента, учет физической нелинейности и податливости соединений между сборными конструкциями требует введения дополнительных узлов. Их общее количество начинает измеряться сотнями тысяч, что приводит к значительному усложнению ввода исходных данных и анализа результатов, повышению вероятности ошибок, резкому возрастанию трудоемкости и длительности выполнения и проверки расчетов.
Актуальность работы состоит в том, что развитый метод позволяет учитывать конструктивные особенности элементов без дополнительных узлов, что существенно упрощает расчеты и уменьшает трудоемкость подготовки к расчетам.
Одним из важнейших направлений является также анализ упругопластических колебаний сооружений, который составляет одну из центральных проблем современной теории сейсмостойкости.
Цель диссертационной работы - развитие метода сосредоточенных деформаций для статических и динамических задач строительной механики с учетом податливости соединений.
Научная новизна работы состоит в том, что:
-метод сосредоточенных деформаций впервые развит и применен к расчету пластинчатых систем при действии статических, динамических и сейсмических сил; при этом формирование матрицы внутренней жесткости в трехмерных задачах выполняется с учетом податливости реальных связей;
-впервые метод сосредоточенных деформаций применен к решению динамических задач по расчёту балок и плит на упругом основании и плоской динамической задачи теории упругости;
-разработана методика и получены новые результаты расчета многомассовой системы с учетом физической нелинейности при действии мгновенного импульса и сейсмического воздействия;
-разработаны программы решения на ЭВМ статических и динамических задач;
-получено решение динамических задач с учетом продольно – сжимающей силы;
-сформирована дискретная расчетная динамическая модель многоэтажного здания с учетом поворота и кручения дисков перекрытий; с учетом податливости реальных связей, а также с учётом гасителя колебаний.
Научная ценность определяется комплексом проведенных исследований, включая развитие метода сосредоточенных деформаций, на основе которого разработаны алгоритмы и программы, позволяющие получить решения прикладных задач строительной механики, имеющих важное народнохозяйственное значение.
Достоверность полученных результатов, сформулированных в диссертации, определяется корректным применением основных закономерностей и гипотез механики деформируемого твердого тела, численным исследованием сходимости решений, многочисленными сопоставлениями полученных результатов с известными, в том числе и с имеющимися точными решениями, а также сравнением решений некоторых задач с экспериментальными результатами.
Практическое значение работы заключается в том, что:
- разработанные алгоритмы и программы используются в инженерных расчетах с применением ЭВМ;
- разработанный метод решения динамических задач строительной механики применен при исследовании напряженно-деформированного состояния пластинчатых систем с учетом податливости связей;
- предлагаемые алгоритмы и методы решения плоской задачи теории упругости позволяют исследовать односвязные и многосвязные системы при статических и динамических воздействиях;
- предлагаемая модель трехмерной системы может быть использована для решения задач сейсмостойкости с учетом пространственного характера сейсмического воздействия.
- рассчитаны диафрагмы жесткости, диск перекрытия и многоэтажных монолитных каркасных зданий, возводимых в республике Таджикистан.
Реализация работы. Результаты разработок использованы в Институте сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан при расчёте зданий на сейсмические воздействия по теме «Формирование динамических расчетных схем и разработка математических моделей сооружений для решения задач теории сейсмостойкости» и внедрены в практику проектирования и научно-исследовательских работ Акционерного общества открытого типа «Гипропром», Государственного унитарного предприятия «Научно-исследовательский институт строительства и архитектуры», Общество с ограниченной ответственностью «Ориён Арк» и Общество с ограниченной ответственностью «Файз-2003». Теоретические и прикладные задачи диссертации внедрены в учебный процесс Таджикского технического университета (ТТУ) по специальностям 2903 - ПГС, 2911- мосты и транспортные туннели, Хорогского государственного университета по специальности 2904 – Гидротехническое строительство. Акты о внедрении даются в приложении диссертации.
Апробация диссертации. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались: на Х координационном совещании “Исследование, конструирование и расчет дисков перекрытий высоких зданий различных конструктивных систем” (Москва, 1984); республиканских научно–теоретических конференциях (Душанбе, 1984, 1985, 1988, 1989 г.г.); итоговой научно-теоретической конференции (Душанбе, 1989 г.); расширенном заседании кафедры промышленного и гражданского строительства ТТУ (Душанбе, 2004 г.); на областных научно-технических конференциях (Хорог, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008г. г.); на международной конференции “Развитие горных регионов Центральной Азии в XXI веке” (Хорог, 2001 г.), международной научно-практической конференции “16 сессия Шурои Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и её историческая значимость в развитии науки и образования” (Душанбе, 2002 г.); международной научно-практической конференции “Перспективы развития науки и образования в XXI веке” (Душанбе, 2004 г.); III Центрально–Азиатском международном геотехническом симпозиуме “Геотехнические проблемы строительства на просадочных грунтах в сейсмических районах”; том 2 (Душанбе, 2005 г.); на республиканском симпозиуме “ Экономика и наука ГБАО: прошлое, настоящее и будущее” ( Хорог, 2005 г.); международной научной конференции “Современные аспекты развития сейсмостойкого строительства и сейсмологии” (Душанбе, 2005 г.); на международной научно–практической конференции “Перспективы развития науки и образования в XXI веке” (Душанбе, 2007 г.); на республиканской научной конференции «100 лет со дня Каратагского землетрясения (21 октября 1907 года) и современные проблемы сейсмостойкого строительства и сейсмологии» “Актуальные проблемы научных исследований сейсмоактивных территорий” (Душанбе, 2007 г.); на международной научно-практической конференции «Научно-технический прогресс и развитие инженерной мысли в ХХI веке» Худжандский филиал Таджикского технического университета им. акад. М.С. Осими (Худжанд, 2007 г.); в лаборатории «Моделирования сейсмических явлений и воздействий» института сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан (Душанбе, 2008 г.); на расширенном заседании кафедры строительной механики и сейсмостойкости сооружений ТТУ (Душанбе, 2008 г.); на объединенном научном семинаре кафедры сопротивление материалов и строительной механики Московского государственного строительного университета (Москва, 2008 г.); на объединенном научном семинаре кафедры сопротивление материалов, строительной механики, информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета (Москва, 2009 г.);
На защиту выносятся:
1.Математические модели статических и динамических состояний стержневых систем, разработанные на основе МСД с учетом податливости соединений и продольно-сжимающей силы.
2. Решение статических и динамических задач плит и балок на упругом основании при различных воздействиях и результаты расчета крупнопанельного здания на винклеровом основании по МСД (с применением сплайновой аппроксимации скоростей и ускорений).
3.Численные результаты расчета пластинок на действие статических и динамических нагрузок с учетом реальных связей; решение тестовых статических и динамических задач односвязных и многосвязных пластин на действие равномерно распределенного мгновенного импульса.
4. Результаты статического и динамического расчета пластинчатых систем с учетом податливостей соединений.
5. Динамические модели зданий при сейсмических воздействиях, а также с учетом гасителя колебаний.
6.Результаты динамического расчета зданий с учетом физической нелинейности.
Публикации: по теме диссертационной работы опубликована монография “Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительной механики» (соавтор Низомов Д.Н.). Основное содержание диссертации опубликовано в 44 статьях в России и Республике Таджикистан.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав, общих выводов, списка литературы из 352 наименований, приложения и содержит 392 страниц основного текста, включая 143 рисунков, 103 таблиц.
Обзор публикаций по сейсмостойкости с учетом нелинейности
Метод упругих сосредоточенных деформаций, предложенный А.Р. Ржа-ницыным [228], исходит из того, что связь между элементами осуществляется по линиям, разделяющим жесткие конечные элементы. Величины относительных деформаций считаются бесконечно большими, поскольку они происходят по бесконечно малой длине нормали к поверхности или к линии сосредоточенных деформаций. В этой работе рассмотрены два вида деформации: сосредоточенные деформации сдвига и сосредоточенные деформации удлинения -укорочения. Сосредоточенные деформации вызывают усилия сдвига и растяжения, передающиеся с двух соседних жестких элементов. Однако данный метод, разработанный для пластинок, трудно применить для расчета сборных элементов в таком виде, поскольку горизонтальные несущие элементы зданий не только поступательно перемещаются в своей плоскости, но и изгибаются. Данный метод был развит с учетом специфики железобетонных конструкции при статических нагрузках в работах [13, 62 , 71 - 80, 86, 112 - 120, 131, 156, 197]. В работе [71] предполагается, в развитие [228], что связи, соединяющие элементы, способны воспринимать напряжения с неравномерными эпюрами. Эта неравномерность обусловлена взаимными поворотами плит в своей плоскости, благодаря этому точность расчёта существенно повышается и при малом числе элементов. Для реализации данного метода разработана программа [205].
Исследования на основе МСД строятся на следующих положениях: 1) продольные деформации бетона и арматуры в нормальных сечениях распределяются по закону плоскости на всех уровнях загружения; 2) продольные деформации и соответствующие им.нормальные напряжёния-в бетонеи арматуре принимаются «средними»; 3) в расчеты вводятся полные диаграммы т - є для бетона и арматуры, получаемые при их одноосном загружении на эталонных образцах; 4) в расчетах нормальные сечения задаются в дискретной форме, состоящей из совокупности элементарных участков бетона и арматуры; 5) нормальные напряжения в бетоне и арматуре на соответствующих элементарных площадках распределяются равномерно. Допущение закона о распределении продольных деформаций в бетоне и арматуре по закону плоскости (гипотеза плоских сечений) соответствует работе конструкции в стадии до образования трещин [125]. Представление сечений в дискретной форме [71,74], примененное к железобетонным элементам, открыло новые возможности для расчета прочности и перемещений стержневых железобетонных элементов и позволило получать результаты, совпадающие с опытными [114]. В расчетах прочности, деформаций, трещиностойкости и перемещений предполагается, что растянутый бетон работает с полной диаграммой а —є, включая нисходящую ветвь неограниченной протяженности.
В работе [131] приведен способ учета геометрической и физической нелинейности внецентренно сжатых железобетонных элементов МСД.
В работах [114, 197] были проведены специальные экспериментальные исследования на моделях из.оргстекла. В этих экспериментальных исследованиях изучалось напряженно - деформированное состояние дисков перекрытий, составленных из плит безопалубочного (непрерывного) формования. Модели из оргстекла выполнялись в масштабе 1:10 с соблюдением геометрического подобия. Сложную задачу представлял подбор оптимального растворного состава для заполнения швов между плитами и ригелями. После многочисленных проб был найден раствор, в состав которого вошли гипс, резиновая крошка, вода вхоотношении Г:5:1 (по объему). Были изучены физико-механические характеристики материала, а также условия совместной работы плит-моделей при сдвиге с растворным швом между НИМИ:
Однопролетные диски перекрытия-„были испытаны- на действие сосредоточенных сил в своей плоскости с регистрацией напряжений (деформаций) в элементах и соединениях. Разрушение диска перекрытия со стальной затяжкой по оси колонн произошло от сдвига по растворным швам.
Опытные результаты сопоставлены с расчетными, полученными по методу сосредоточенных деформации (в упругой стадии). Опытная модель разбивалась плоскостями сосредоточенных деформаций на 30 элементов МСД; плоскости разбивки совмещались с реальными связями (растворными швами).
Из полученных горизонтальных перемещений (прогибы) диска перекрытия следует, что расчетные и опытные данные удовлетворительно совпадают вплоть до проявления неупругих деформаций; имеющиеся расхождения можно объяснить большой изменчивостью характеристик растворных швов по полю диска.
Расчетные эпюры поперечных сил по плоскостям сосредоточенных деформаций, параллельных направлению действия внешней силы, показывают, что поперечные силы распределяются по полю диска достаточно равномерно; суммарные значения поперечных сил по каждой из пяти плоскостей сосредоточенных деформаций дают величину внешней силыР, что свидетельствует о правильности расчета.
Расчетом по методу сосредоточенных деформаций определяют усилшь растяжения в межколонных связях, по этим усилиям нетрудно подобрать соответствующее сечение, исходя из требований прочности или ограничения деформативности. Задачей экспериментальных исследований [197] двухпро-летной модели, составленной из сборных элементов из оргстекла, объединенных между растворными- швами и специальными связями, моделирующими сварные соединения железобетонных плит перекрытий между собой по осям колонн в многоэтажных каркасных зданиях связевого типа, была- отработка нелинейного расчета дисков перекрытий-при загружении в своей плоскости на основе метода сосредоточенных деформаций.
В работе [156] представлена методика проведения испытания двух фрагментов, полностью собранных из плит безопалубочного формования, а также отдельных плит для определения их жесткостных характеристик при деформировании в плоскости. Результаты расчета по МСД фрагмента перекрытия при деформировании в плоскости удовлетворительно совпадают с опытными данными.
В несущих системах многоэтажных зданий плосконапряженными железобетонными элементами могут быть стенки диафрагм жесткости при расчете их на вертикальные и горизонтальные нагрузки без учета кручения здания; плоское напряженное состояние испытывают наружные и внутренние стены в панельных и монолитных зданиях; по схеме плоско напряженного состояния могут рассчитываться сборные диски перекрытий многоэтажных каркасных зданий, при работе их в своей плоскости на действие горизонтальных нагрузок; в некоторых случаях по плосконапряженной модели целесообразно рассчитывать надпроёмные перемычки многоэтажных зданий, рассматривая их как балки - стенки, работающие в своей плоскости.
Понятно, что во всех перечисленных случаях плоское напряженное состояние не реализуется в явном виде, оно- обычно сопровождается силовыми воздействиями из плоскости элементов при поперечных нагрузках, неизбежных расчетных или случайных эксцентриситетах действия сил из плоскости элементов, из-за конструктивной неоднородности сечений и проявления физической и геометрической нелинейности, вследствие сложных условий опирання конструкции, а также и по другим причинам.
Динамическая модель метода сосредоточенных деформаций и уравнение движения
Строительные конструкции в основном состоят из отдельных элементов, соединенных между собой швами, имеющих соответствующие коэффициенты жесткости при растяжении (сжатии), изгибе и сдвиге. Учет податливости реальных швов в расчетной схеме строительных конструкций зданий и сооружений имеет практический интерес. Метод сосредоточенных деформаций, на основе опытных данных, позволяет построить математическую модель для анализа НДС таких конструкций.
В отличие от расчета сплошной конструкции, где в фиктивных швах сосредотачивались деформации, здесь возникает необходимость в введении понятия комплексного шва [71]. Комплексный шов состоит из реального шва заполнения и фиктивного шва. Деформируемость конструкции после разбивки ее на элементы МСД сосредотачивается в фиктивных швах, где может быть реальный шов. Если в фиктивном шве физические и геометрические характеристики зависят от свойства материала примыкающих к швам конструкций, то в реальном шве - от способа соединения элементов конструкции.
Рассмотрим, расчетный шов конструкции, который является комплексным швом. Податливость такого шва с учетом соединения разнотипных элементов вычисляется исходя из последовательного соединения элементов тремя швами по формуле
Далее предположим, что реальный шов находится на промежуточной опоре балки (рис. 2.6). Причем промежуточная опора может быть представлена как упругоподатливая с коэффициентом жесткости С2С.
Коэффициенты, соответствующие растяжению (сжатию) и изгибу комплексного шва, определяются по аналогии с (2.41) с соответствующей заменой жест-костей.
Пример 2.3. В качестве примера учета податливости реальных швов рассмотрим задачу, приведенную в примере 2.2. Предполагается, что в конструкции имеется один реальный шов, установленный на промежуточной опоре С. Разбивая неразрезную балку на 10 элементов МСД, получим ленточную матрицу А размера 30x34. Элементы матрицы внутренней жесткости С, соответствующие опорным сечениям с учетом жесткости реального шва и податливости промежуточной опоры, представляются в виде
В табл.2.3 приведены результаты расчета двухпролётной неразрезной балки с учетом работы реального шва, установленного на промежуточной опоре С. Схема А1 соответствует неразрезной балке с шарнирными концами и абсолютно жесткой шарнирно подвижной промежуточной опорой и жесткост-ные характеристики шва составляют 50% жесткостных характеристик балки. Схема А2 отличается от схемы А1 тем, что жесткостные характеристики реального шва приняты, равными 2x10" от соответствующих жесткостей балки. В, схеме A3» промежуточная опора принята упругоподатливой с коэффициентом жесткости С,с =2Л03кН/м, жесткостные характеристики шва такие же, как в схеме А1. В схеме А4 данные такие же, что в схеме A3, только с той раз ницей, что жесткостные характеристики реального шва составляют 25% жест-костей балки. Схема С1 соответствует неразрезной балке с защемленными концами и жесткостями реального шва, составляющие 25% жесткостей балки. Схема С2 отличается от схемы С1 только тем, что длина реального шва принята равной 1/5 от половины длины элемента МСД.
Из результатов схемы А2 следует, что при стремлении жесткостей реального шва к нулю, неразрезная балка превращается в две простые балки пролётами по Зм. Максимальный изгибающий момент, возникающий в середине пролета простой балки, равняется 10,916 кН.м, что на 3% отличается от точного решения.
Пример 2.4l Рассмотрим статический расчет консольной системы высотой Н = 21м, от действия единичных сосредоточенных сил, приложенных на уровне каждого этажа: Модуль упругости Е = 2-Ю7кНIм2, модуль сдвига G = 0,$-W1KH/M2. Полученные результаты статического расчета приведены в табл.2.4 Таблица 2.4
Например, для ступенчатой балки, представленной на рис.2.7, показаны две схемы разбивки на элементы МСД. При разбивке балки по первой схеме (рис.2.7,а) на 10 элементов МСД получим следующие размеры матриц и векторов: матрица коэффициентов А - 30x33; диагональная матрица внутренней жесткости С - 33 х 33; матрица жесткости R - 30х 30; векторы-столбцы деформаций и внутренних усилий — из 33 элементов. Таким образом, мы получим по три внутренних усилия в 11 сечениях сосредоточенных деформаций, включая опорные сечения. В случае разбивки по второй схеме (рис.2.7,б), размеры матриц и векторов следующие: матрица - 27x36; матрица внутренней жесткости - 36x36; матрица жесткости - 27x27; векторы деформаций и внутренних усилий - 36x1. Хотя во второй схеме количество неизвестных перемещений уменьшается на три, но при этом на три увеличивается количество искомых усилий. Во второй схеме усилия определяются в 12 сечениях сосредоточенных деформаций.
Пример 2.5. В этом примере приведены результаты расчета балки ступенчатого переменного сечения, представленной на рис.2.8, при ее разбивке по схеме рис. 2.7,6. Результаты, приведенные в табл.2.5, получены от действия равномерно распределенной нагрузки д = 10кНІМ, которая приводится к сосредоточенной силе р = ql/10, при / = Зм и для балок с различными граничными условиями: BS-1- шарнирное опирание; BS-2- жесткое защемление; BS-3-шарнирное опирание с упругоподатливыми вертикальными опорами с коэффициентом жесткости с, = 2-Ю3кНIм.
Учет деформации реальных связей
На рис 3.11,а представлено напряженное состояние пластинки, полученное МСД на сетке 10x10. Величины касательных и нормальных напряжений сравниваются с результатами специально выполненных расчетов по МКЭ при той же степени дискретизации и с узлами МКЭ, имеющими три степени свободы (два линейных и одно угловое перемещение в плоскости балки-стенки) и данными [30]. Из рис.3.11,а, б следует, что результаты расчетов по МСД близки к полученным другими численными методами: в области наибольших и наименьших значений напряжений ах и уу все три методики дают практиче ски совпадающие результаты и их различия объясняются, по-видимому, численной природой всех сравниваемых расчетных подходов. На рис.3.11,а на левой вертикальной наружной грани указаны-результаты [30]. Результаты напряженного состояния метода сосредоточенных деформаций соответствуют сечениям по центру граней элементов (рис.3.8). Сравнение результатов показывает, что характер НДС конструкции полностью совпадает с полученными по МКЭ. Для задачи, в которой вместо отверстий имеются впаянные включения из других материалов, их влияние на НДС пластинки учитывается введением матрицы модулей упругости.
Пример 3.3. Третья тестовая задача представляет собой прямоугольную консольную балку-стенку с двумя прямоугольными отверстиями под действием горизонтальной нагрузки, распределенной равномерно по вертикальной грани (рис.3.12). Геометрия пластинки такая же, как в примере 3.2. Кривые 1 и 2 показывают распределения нормальной силы Л в сечениях левого вертикального контура соответственно в пластинке без отверстиям с отверстиями. В табл.3.4 и 3.5 представлены результаты статических и динамических расчетов. Как следует из результатов статического расчета, в пластинке с отверстиями (П-2) нормальная. силаг в опорной части почти в полтора раза больше, чем1 в пластинке без отверстия (П-1), а перемещения больше; чем в два раза (рис.3 . 12). В табл.3.4 и 3.5 приведены также максимальные значения нормальной силы и перемещения в различных сечениях и узлах дискретной модели
Дискретная модель пластинки с двумя отверстиями, защемленной в основании: 1-распределение нормальной силы в сечениях левой грани пластинки без отверстия; 2-то же с отверстиями. пластинки в пределах первого периода колебаний от действия кратковременной нагрузки,? =\0кН/м2 продолжительностью действия 0,012с, и от действия распределенного мгновенного импульса s =\кН-с/м2, который создает начальную скорость боковой грани V0 = slm = 1/17, 6=0,056&м/с. Сравнение показывает, что динамический эффект кратковременной нагрузки значительно ниже динамического эффекта мгновенного импульса. Динамический коэффициент мгновенного импульса составляет порядка 1,5 по перемещениям и больше 3 по нормальной силе. Сравнение полученных результатов для пластинки с двумя отверстиями по МСД (рис.3.12,а) и с результатами специально выполненных расчетов по МКЭ (рис.3.12,6) при той же степени дискретизации и с узлами МКЭ, имеющими три степени свободы показывает, что характер НДС конструкций по обоим методам полностью совпадают. где u(x,y,t)n v(x,y,f)- составляющие перемещений по осям X и 7; // и - коэффициент Пуассона и модуль упругости материала; p = y/g- плотность материала; у - объемный вес материала. Для случая плоской деформации в уравнениях (3.35) коэффициент Пуассона // заменяется на //, = ///(1 — //), а модуль упругости Е на Ex=E/(l-ju2). При этом модуль сдвига G = El/2(l. + Mi) = E/2(l + ju).
В работе [90] плотина рассматривается как плоское упругое тело, подстилаемое либо абсолютно жестким, либо упругим основанием. Материал плотины предполагается однородным и изотропным. Получено решение уравнений движения (3.35) в конечных разностях и выполнен пример расчета неустановившихся колебаний упругого прямоугольного тела (упрощенная схема плотины шириной 80;и, высотой 100Л ), жестко закрепленного по подошве и подверженного действию кратковременного бокового импульса I = qrQ, где q = -ЮкН/м2- внезапно приложенная равномерная нагрузка, г0= 0,012с - длительность ее действия. Результаты получены на сеточной области с 30 узлами, включая 5 опорных узлов.
Решение вышеизложенной задачи на основе метода сосредоточенных деформаций было выполнено при разбивке 10x10 (рис.3.13) и следующих данных: модуль упругости Е = 2,51 Л 0б МПа ; коэффициент Пуассона // = 0,2; плотность р = 0,22кН-с2 /м4; шаг по времени г = 0,006с; толщина пластинки 1м. В данной задаче матрица А имеет размер 300x660, а К является диагональной матрицей 660 порядка. Система разрешающих алгебраических уравнений 300 порядка.
Численный анализ устойчивости, сходимости и точности. МСД
Динамическая модель балки на упругом основании при ее разбивке на N элементов метода сосредоточенных деформаций представляется в виде системы с 3N степенями свободы. Здесь, так же как и в задачах теории сейсмостойкости, считается, что опорные узлы имеют по 3 степени свободы - линейное перемещение вдоль оси балки, угловое перемещение и прогиб..Разбивка балки на элементы МСД производится по схеме, представленной на рис.5.1, где имеется-два. вида элементов - опорные и промежуточные: Особенность опорного элемента состоит в том, что водной плоскости сосредотачиваются и деформации, и перемещения. Прирегулярной разбивке балки длина опорного элемента в два раза меньше, чем длина.промежуточного элемента. Учет упругого основания осуществляется через установленные в узлах сосредоточенные силы, от действия реактивного давления р(х).
Система, динамических уравнений равновесия для дискретной модели балки наупругом основаниипредставляетсяв виде
Решение динамической задачи балки на упругом основании от действия произвольной динамической нагрузки сводится к следующему. Исходя из дискретной динамической модели и заданного коэффициента постели, формируется вектор (5.15). После составления матрицы жесткости балки формируется общая матрица жесткости (5.14). Матрица обобщенной жесткости формируется по одной из представленных формул (5.18)-(5.20). Исходя из начальных условий задачи, формируется вектор свободных членов. Из решения (5.16) определяется вектор искомых перемещений, Vn+l, а затем вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий
Предлагаемый алгоритм расчета позволяет исследовать динамическое поведение балок на упругом основании при различных внешних воздействиях из непосредственного решения систем дифференциальных уравнений.
Далее будем исследовать численное решение динамической задачи бал-ки; при действии распределенного,мгновенного импульса:. Рассмотрим случай; когда мгновенный импульс S равномерно распределен, по?всей длине балки, так что интенсивность импульса составляет = SIL. Ириэтом начальные скорости изменяются разрывно - ониравны -Sim во всех точках оси балки,! кроме концов; скорости;которых равны нулю. 
