Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Исторический обзор и анализ развития мкэ и его модификаций
1.1. История развития МКЭ 11
1.2. Общие физические представления и матем атиче ские формулировки МКЭ
1.2.1. Общие физические представления. 15
1.2.2. Математические формулировки МКЭ. 17
1.2.3. Выбор пробных функций 21
1.2.4. Основные уравнения МКЭ в матричной форме 22
1.3. Типы КЭ 26
1.3.1. Классификация элементов по геометрическим признакам 26
1.3.2. Базисные функции элемента. Классификация элементов в зависимости от используемых базисных.функций.
1.3.3. Криволинейные конечные элементы 29
1.4. Метод супер элементов 33
1.5. Метод граничных элементов 36
1.6. Метод модуль-элементов 39
1.7. Метод конечных полос 42
1.8. Метод редуцированных элементов 43
1.9. Вопросы точности и сходимости МКЭ 43
1.9.1. Ошибки пробной функции 44
1.9.2. Ошибки дискретизации и округления 45
1.9.3. Устойчивость решения системы уравнений 46
1.10. Выводы по главе 1 48
ГЛАВА 2. Теоретические основы метода редуцированных элементов
2.1. Сущность метода редуцированных, элементов 50
2.2. Интерполяционное редуцирование матриц жесткости и векторов узловых нагрузок
2.2.1. Редуцированная матрица жесткости 52
2.2.2. Редуцированный вектор узловых нагрузок 55
2.2.3. Поэлементное редуцирование 55
2.3. Получение интерполяционной матрицы 63
2.4. Выводы по главе 2 74
ГЛАВА 3. Исследование элементной базы МРЭ 76
3.1. Одномерные элементы 76
3.1.1. Одномерные элементы, работающие на растяжение - сжатие 76
3.1.2. Стержневые КЭ, работающие на изгиб (изгибные КЭ). 99
3.2. Конечные элементы, используемые в решении задач теплопроводности
3.2.1. Матрицы теплопроводности 118
3.2 1.1. Одномерный случай переноса тепла 118
3.2.1.2. Прямоугольные элементы 118
3.2.1.3. Произвольные четырехугольные элементы 123
3.2.2. Матрицы теплоотдачи пограничного слоя 124
3.2.3. Редуцированные векторы нагрузки 125
3.2.4. Учет граничных условий I рода 125
3.2.5. Учет точечного источника тепла 126
3.2.6. Учет фильтрации теплоносителя 127
3.3. Выводы по главе 3 127
ГЛАВА 4. Разработка .алгоритмов, реализующих МРЭ 129
4.1, Алгоритм получения интерполяционных матриц одномерных РЭ 129
4.2. Алгоритмы послойного и поэлементного редуцирования для двумерных задач
4.3. Алгоритм для решения задач теории теплопроводности с помощью МРЭ
4.4. Выводы по главе 4 142
ГЛАВА 5. Примеры расчета с использованием мрэ 143
5.1. Расчет стержня переменного поперечного сечения на растяжение-сжатие
5.2. Расчет многоэтажной рамы 149
5.3. Расчет температурных полей с использованием МРЭ 157
5.3.1. Расчет стационарного температурного поля 157
5.3.2. Учет точечного источника тепла 163
5.3.3. Учет фильтрации теплоносителя 168
5.4. Расчет температурного поля в здании 170
5.5. Исследование температурного поля под плитным фундаментом здания
5.6. Выводы по главе 5 183
Заключение 184
Литература 186
- Общие физические представления и матем атиче ские формулировки МКЭ
- Интерполяционное редуцирование матриц жесткости и векторов узловых нагрузок
- Стержневые КЭ, работающие на изгиб (изгибные КЭ).
- Алгоритм получения интерполяционных матриц одномерных РЭ
Общие физические представления и матем атиче ские формулировки МКЭ
Во многих областях техники анализ напряженно-деформированного состояния (НДС), устойчивости, вибрации сложных инженерных сооружений выполняется с привлечением ЭВМ. Практические потребности этого анализа вызвали появление разлитых численных методов, среди которых особое место занимает метод конечных элементов (МКЭ), который имеет такие достоинства, как четкая физическая модель, независимость алгоритма по отношению к типу и геометрии конструкции, граничным условиям (ГУ) и внешней нагрузке, широкие возможности автоматизации формирования исходных уравнений и их решения. Кроме того, МКЭ в настоящее время строго теоретически обоснован, а в вычислительном плане приводит обычно к хорошо обусловленным задачам линейной алгебры. Все это объясняет необычайную популярность МКЭ как в исследовательских центрах, так и в проектных и строительных организациях.
Основная идея, на которой базируется МКЭ - физическая дискретизация конструкции, то есть разделение непрерывной конструкции на отдельные составные части. Данный принцип использовался людьми с древних времен. С его использованием были решены такие задачи геометрии, как определение длины окружности, площади круга, объема сферы и пирамиды. Уже тогда решались вопросы, актуальные для любого численного метода, включая и МКЭ - точность решения, его сходимость, аппроксимация.
МКЭ получил свое развитие в середине XX века. Вначале он развивался по двум независимым путям - инженерному и математическому. Инженерный путь заключался в замене сложных инженерных конструкций простыми, что позволяло их рассчитывать уже известными методами. Математический подход предполагал решение определенных граничных задач с привлечением вариационных способов. Первым таким способом, получившим широкое применение, стат метод конечных разностей (МКР). Первая работа по применению МКР принадлежит НС. Стрелецкому (1913 г.). В 1921 г. ИМ. Рабинович применил МКР к расчету неразрезных балок, а в своих последующих работах распространил эту методику расчета для различных стержневых систем [136].
Позднее оба подхода слились в один общий, что создало возможность для быстрого развития МКЭ. Метод физической дискретизации впервые был применен в 1941 г. (А. Хренников [232]) при решении плоской задачи теории упругости с помощью заменяющих рамных систем. В дальнейшем этот подход был развит Д. Мак-Генри, Н.М. Нью-Марком [9], СУ. Мак-Кормиком [79], Г. Кроном [59], АР. Ржаниныным [147], М.А. Левиным [71, 72], Л.И. Лубо [75], А.А.Покровским [104, 123], Л.А. Розиным [150-152], А.П. Филиным [200-203], и другими учеными, однако ввиду отсутствия необходимых вычислительных средств не сразу получил широкое применение.
Особое значение приобретают методы сил и перемещений в связи с переводом их в матричную форму, что давало возможность для применения счетно-вычислительных машин. Впервые матричные методы в строительной механике были применены в 1947 г. А.Ф. Смирновым [180]. В дальнейшем метод сил в матричной форме применил С. Леви [236]. В работах Б.Лангефорса [235] и других ученых этот метод был матрично сформулирован, и были показаны возможности применения компьютеров в конкретных расчетах.
В 1950-60-е годы матричный метод расчета был развит Дж. Аргирисом [11-12], А.В. Александровым, Б.Я. Лащениковым, Н.Н. Шапошниковым [4-7, 66-70, 142, 212-214], Р. Ливсли, Дж. Робинсоном, А.П Филиным [200-203] и другими учеными. Было введено понятие МЖ, определяющей связь между кинематическими и статическими величинами. Работы основаны на методе сил. но указано и на возможность применения кинематических величин в качестве основных неизвестных задачи.
Первая работа, в которой изложена современная концепция МКЭ, появилась в 1956 г. (М.Тэрнер, Р.У.Клаф, Х.К. Мартин и Л. Топп [245]) с целью анализа плоского напряженного состояния ввели треугольный элемент, для которого сформировали МЖ и вектор узловой нагрузки. Название - метод конечных элементов - ввел в 1960 г. Р.У. Клаф [52].
В период 1960-65 гг. за рубежом опубликованы ряд работ, в которых используются КЭ простой формы для решения различных инженерных задач - работы Р.Д.Мслоша [85, 86], Р.У.Клафа, Х.К.Мартина, Дж.Аргириса, М.Р.Айронса [2], Е.Л.Вильсона, Р.Галлагера [35] и др. В этот же период начинается активное использование ЭВМ в расчетах строительных конструкций отечественными учеными. Первый отечественный труд по расчету статически неопределимых систем на ЭВМ принадлежит Р.А.Резникову [145, 146]. Далее этот вопрос был развит в работах А.П.Филина, А.А.Петропавловского [117], А.В.Александрова [4-7], Б.Я.Лащеникова [66-70]. Н.Н.Шапошникова [212-214], А.Ф. Смирнова [179-181], В.А.Смирнова [182], Ю.К.Вилипыльда [143], Л.К.Нареца, A.M.Масленникова (80, 81] и др. А.В Александров и Н.Н.Шапошников [7] применили МКЭ дпя расчета пластинчатой системы на ЭВМ.
Особое значение для развития МКЭ имели вариационные принципы механики сплошной среды и основанные на них математические методы, что означало разработку математической базы для МКЭ. Первым попытался решить граничную задачу с применением вариационных принципов Р.Курант, применивший метод Ритца при исследовании кручения стержня произвольного поперечного сечения [227].
В начале 1960-х годов появились работы Р.Н.Уайта и К.О.Фридрикса, в которых содержался поиск решения дифференциальных уравнений с использованием вариационных принципов [194]. В 1960-65 гг. публикуются работы, основанные на вариационных принципах (Р.Д.Мелош, Ф. де Вейбеке [231], Р.Е.Джонес, Т.Х.Х. Пиан [118], Дж.Беселинн [225], А.П.Филин, Л.А.Розин, Б.Я.Лащеников и др.) На базе экстремальных принципов потенциальной и дополнительной энергии дискретной системы Ф. де Вей беке вводит понятия нижней и верхней границ аппроксимации. Р.Е.Джоиес получает смешанную модель МКЭ на основе вариационного принципа Хеллингера-Рейсснера. Б.Я.Лащеников [66] предложил метод получения дифференциальных уравнений равновесия исходя из дискретной основной системы, что позволило снижать размерность многих задач.
В 1965-70 гг. рассматриваются вопросы точности аппроксимации и сходимости решений по МКЭ. В это время напечатана первая монография об МКЭ О.К.Зенкевича и И.К.Ченга [247], в которой область применения метода значительно расширяется для всех задач механики сплошной среды, допускающих вариационную формулировку.
В 70-е гг. появилась математическая теория МКЭ (Дж.Аргирис, В.Г.Корнеев [56], Л.А.Розин, Г.Стрэнг [184], Ф.Сьярле [190] , Р.Н.Уайт, Дж.Фикс, Ж.Кханна [66], Р.Ф.Гули [67] и др.). Среди ряда работ, посвященных этой проблеме, следует выделить работы Дж.Одена [115, 239], который ввел ряд обобщений и теорем, расширил область их применения на многомерное и эвклидово пространство, а также для нелинейных задач. Им же введены некоторые обобщения в геометрии элементов в связи с выбором системы местных координат, интерполяционными функциями и основными неизвестными величинами.
В дальнейшем с целью усовершенствования метода появляются ряд его модификаций: метод суперэлементов (МСЭ); метод модуль-элементов (ММЭ), метод граничных элементов (МГЭ), метод редуцированных элементов (МРЭ), метод конечных полос (МКП). Применение модификаций МКЭ позволяет значительно снизить трудоемкость решения и затраты машинного времени при решении ряда задач по сравнению с классическим вариантом МКЭ. Отмеченные модификации МКЭ будут рассмотрены ниже.
Интерполяционное редуцирование матриц жесткости и векторов узловых нагрузок
Таким образом, редуцированный вектор нагрузок, позволяющий привести все нагрузки к стыковочным узлам, может быть получен с использованием вектора нагрузки для всей системы и тех же самых интерполяционных матриц
(S или S\ что и при получении редуцированных МЖ. При этом также используются только операции умножения и сложения матриц.
. Поэлементное редуцирование. При решении задач с большим числом неизвестных МЖ, вектор нагрузки и интерполяционная матрица могут иметь большие размеры. При этом может возникнуть ситуация, когда оперативной памяти ЭВМ окажегся недостаточно, чтобы их хранить, и придется прибегать к внешней памяти ЭВМ, что значительно отражается на времени расчета.
Для того, чтобы сократить число обращений к внешней памяти ЭВМ, может быть использована процедура поэлементного редуцирования. Сущность данной процедуры сводится к тому, что для каждого отдельного КЭ, формирующего РЭ, может быть составлена своя интерполяционная матрица и получена часть матриц Ks и ps, соответствующая этому элементу.
Рассмотрим отдельный КЭ, составляющий РЭ. Уравнение равновесия для него имеет вид КіЧі=рІУ (2.21) при этом q,=S,qs, (2.22) где Sj - локальная интерполяционная матрица, позволяющая получить через перемещения стыковочных узлов только перемещения узлов, принадлежащих данному КЭ (в их число могут входить и некоторые стыковочные узлы). Энергии деформаций и работы узловых сил до и после редуцирования должны быть равны между собой. Поэтому можно сделать вывод о том, что энергия деформаций и работа узловых сил после редуцирования могут быть получены в виде сумм этих величин для всех КЭ, составляющих РЭ: ЯІК,Ча=31яїКі4і, С2-23) 9ІР, = X?f А (2 24) Подставив в эти уравнения выражения для q по формуле (2.22), после преобразований получаем: Kt=T,Sf[K,S,t (2.25) P,=T,Sfp,. (2.26) Влияние, оказываемое каждым отдельным КЭ на МЖ и вектор нагрузки всего РЭ, можно оценить, выполнив матричные операции отдельно для этого элемента. В случае, если получаемый РЭ содержит всего один КЭ, будут сразу получены матрицы для РЭ. При использовании данных зависимостей следует получать локальные интерполяционные матрицы Sr Их получение не требует специальных приемов, поскольку данные матрицы являются составляющими частями всей матрицы S и могут быть получены с использованием тех же зависимостей. В качестве матрицы S, могут быть использованы столбцы матрицы S, соответствующие перемещениям узлов рассматриваемого КЭ.
Данная процедура может быть выражена в отношении общей МЖ, вектора нагрузок и интерполяционной матрицы следующим образом. В матрицу жесткости и вектор нагрузок должны быть помещены только те блоки, которые соответствуют рассматриваемому КЭ, а все остальные элементы этих матриц принимаются нулевыми. В операции матричного перемножения будут участвовать только те строки матрицы S (и столбцы матрицы S ), которые соответствуют перемещениям узлов этого элемента. На рис.2.1 схематично показано, как получаются МЖ и нагрузки от одного КЭ (ненулевые элементы, содержащиеся в перемножаемых матрицах, заштрихованы).
В общем случае использование процедуры поэлементного редуцирования позволяет сократить объем вычислений и заіратьі машинного времени. Это связано с тем, что размеры матриц Кі и Si существенно меньше, чем у матриц К и S для всего блока. Дополнительные затраты на построение локальных интерполяционных матриц S, компенсируются за счет того, что перемножаются матрицы меньших размеров.
В отдельных случаях в результате анализа матричных операций, проводимых для отдельных КЭ, можно получить для всех элементов матриц Ks и ps готовые аналитические выражения. В этом случае можно обойтись даже без самой процедуры перемножения матриц и получать матрицы Кл и ps с использованием этих выражений, что позволяет еще более сократить время расчета. Алгоритм получения МЖ и векторов нагрузок при использовании поэлементного редуцирования приведен нарис.2.2.
Стержневые КЭ, работающие на изгиб (изгибные КЭ).
). Как правило, учег только продольных деформаций не позволяет объективно судить об истинной деформационной картине. Большей точности можно достичь, если исследовать работу каждого КЭ на изгиб и поперечные смещения (деформации сдвига). При этом используются изгибные КЭ, имеющие для каждого из узлов по 3 степени свободы - продольные, поперечные и угловые смещения каждого из узлов КЭ. В некоторых случаях учет продольных деформаций не оказывает существенного влияния на результаты расчета; тогда достаточно учесть только изгибные и сдвиговые деформации КЭ. Основной областью исследования из-гибных КЭ являются элементы балок и рам; в некоторых случаях возможно их применение и в других задачах.
Интерполяционные функции для стержневых КЭ представляют собой уравнения прогибов стержня от единичных смещений его концов (табл. 3.9). Эти уравнения носят название полиномов Эрмита.
Анализ интерполяционных функций показывает, что они представляют собой линии влияния соответствующих опорных реакций (построенных кинематическим способом). Их первые производные Э] - это графики углов поворота от заданного опорного смещения (с противоположным знаком), а Э" и Э -эпюры М и Q, используемые в методе перемещений.
При учете продольных деформаций в матрицу S добавляются соответствующие строки и столбцы.
Результаты редуцирования по МРЭ приведены в табл. 3.10. Для сравнения в табл. 3.11 приведены МЖ, полученные при использовании МСЭ.
Из таблиц ЗЛО, 3.1 ] видно, что в случае постоянной жесткости получаемый РЭ или СЭ имеет такую же МЖ, что и один элемент с длиной, равной сумме длин отдельных КЭ в составе РЭ или СЭ. Для элементов непостоянной жесткости происходит перераспределение коэффициентов внутри МЖ: большие значения коэффициентов соответствуют тому концу РЭ (СЭ), к которому прилегает КЭ с большей жесткостью. При этом характер распределения коэффициентов в МРЭ и МСЭ получается различным.
Для оценки точности решений, получаемых с помощью МРЭ и МСЭ, были проанализированы прогибы конца консольной балки при ее нагружении на конце сосредоточенной единичной силой. При этом использование МСЭ приводит к точным решениям, а МРЭ дает погрешность, величина которой растет с увеличением коэффициента к (см. табл. 3.12 и рис. 3.5), причем истинные значения перемещений занижаются.
Анализ данных табл. 3.12 позволяет сделать вывод о том, что характер роста погрешностей МРЭ в целом сохраняется таким же, как и для элементов с одной степенью свободы в каждом узле, однако величина погрешности с увеличением к. растет несколько медленнее. Гак, погрешность менее 3% достигается при 1с 1,99, а погрешность менее 1% - при к 1,49. Бели такая точность недостаточна, следует использовать в качестве функций формы линии влияния опорных реакций с учетом различия жесткостей по участкам. Проведенные расчеты показывают, что при таких интерполяционных функциях решения МКЭ и МРЭ совпадают.
Для исследования причины отличия в результатах, которые получаются при использовании МСЭ и МРЭ, можно получить соответствующие интерполяционные матрицы для расчетов по МСЭ. Такая матрица состоит из двух блоков, один из которых относится к стыковочным узлам и представляет собой единичную матрицу, а второй блок, относящийся к промежуточным узлам, вы-считывается путем перемножения блоков исходной матрицы жесткости, выделяемых для расчета по МСЭ:
Можно отметить, что элементы полученных интерполяционных матриц, относящиеся к линейным перемещениям промежуточных узлов, представляют собой ординаты линий влияния соответствующих опорных реакций в балке, имеющей жесткие заделки в каждом из стыковочных узлов. Они показывают значения опорных реакций от действия единичной вертикальной силы, размещенной в соответствующем промежуточном узле. Элементы матрицы, относящиеся к угловым перемещениям, представляют собой значения опорных реакций в той же самой балке от действия единичного изгибающего момента, помещенного в соответствующем промежуточном узле. Если добавить в матрицу строки и столбцы, относящиеся к продольным смещениям, то коэффициенты в интерполяционной матрице, которые описывают эти смещения, будут представлять собой значения опорных реакций в той же системе от действия единичной продольной силы, размещенной в промежуточных узлах.
Следовательно, для достижения точных результатов при использовании МРЭ следует получать элементы интерполяционных матриц с учетом физического смысла задачи. Для этого нужно получить значения опорных реакций в балке, имеющей жесткие заделки во всех стыковочных узлах, от действия единичных изгибающих моментов, вертикальных и горизонтальных сил, размещенных в каждом узле. Направление этих нагрузок должно быть противоположно положительному направлению для соответствующих степеней свободы. Знаки опорных реакций будут положительны, если их направление совпадает с соответствующей степенью свободы в узле. Очевидно, что при размещении таких нагрузок в стыковочном узле, имеющем жесткую заделку, одна из реакций в этом узле будет равна 1, а все остальные реакции в балке будут нулевыми.
Проведенные расчеты по МРЭ для всех схем, рассмотренных в табл. 3.1, 3.6 и 3.10, приводят к получению таких же результатов, как при использовании МСЭ. В отличие от МСЭ, такая модель допускает любое сочетание стыковочных и промежуточных узлов в исходной системе. Следовательно, МСЭ и МРЭ используют однотипную процедуру преобразования координат, но алгоритм МРЭ более универсален.
Алгоритм получения интерполяционных матриц одномерных РЭ
На основании методики, изложенной в п. 3.2, можно получать интерполяционные матрицы для одномерных элементов, работающих на растяжение-сжатие и изгиб. Для четкой алгоритмизации этого метода необходимо, чтобы были заданы длины и жесткости всех КЭ, входящих в состав формируемого КЭ. Процедура получения интерполяционной матрицы требует получения на каждом шаге промежуточной интерполяционной матрицы.
При анализе выполняемых матричных операций выявлено, что промежуточная интерполяционная матрица для каждого шага имеет вполне определенную структуру. В общем случае размер такой матрицы на первом шаге составляет i(m+2)-i(m-rl) где т - количество промежуточных узлов, і -число степеней свободы в каждом узле. При исключении на каждом шаге только одного промежуточного узла каждый из размеров интерполяционной матрицы уменьшается на величину і, и на последнем, /и-ом шаге тогда получим матрицу размером 2И. Если на каждом шаге исключается крайний левый промежуточный узел, то в матрице на каждом шаге верхние і и нижние іт строк вместе формируют единичную матрицу; в строках с номерами от (і+1) до 2і левые 21 столбцов содержат блок интерполяционной матрицы, который формируется согласно методике МСЭ: 3—t&m, (4.1) а оставшиеся элементы в этих строках - нулевые. Таким образом, при такой методике достаточно сформировать именно эти блоки, а также МЖ объединяемых элементов для каждого шага (причем при анализе матричных операций можно выявить, что достаточно на каждом шаге вычислить только правую половину первой матрицы и левую половину второй, т.е. столбцы, относящиеся к исключаемому на этом шаге узлу). При этом с 130 достаточной точностью можно принимать характеристики жесткости левой части (частично сформированного РЭ) равными среднему арифметическому от жесткостей отдельных КЭ в этой части. Матрица Крр размером Н получается суммированием нижней половины первой МЖ и верхней половины второй, а матрица Kps размером ЇН составляется из верхней половины первой матрицы и нижней половины второй (рис. 4.1). Предлагаемый алгоритм хорошо поддается автоматизации, особенно с использованием программных продуктов, содержащих в готовом виде процедуры перемножения матриц и вычисления обратных матриц. Примерами таких программных средств могут служить электронные таблицы Excel или современная версия языка программирования Фортран. Блок-схема алгоритма приведена на рис. 4.2. Проведенные расчеты показывают, что использование алгоритма оправдано при большом количестве исключаемых узлов, особенно при наличии нескольких степеней свободы в узлах. Дополнительное время, затрачиваемое на формирование и перемножение матриц на каждом шаге в отдельности, в этом случае компенсируется за счет того, что вместо одной весьма трудоемкой процедуры вычисления обратной матрицы высокого порядка несколько раз вычисляются обратные матрицы не более чем 3-го порядка.
Для двумерных задач реализация алгоритма, предложенного в п. 4.1, не приведет к сколько-нибудь заметной экономии по количеству вычислительных операций, поскольку получить интерполяционные матрицы для каждого шага в двумерной задаче достаточно сложно. Однако существуют алгоритмы, позволяющие заметно сократить время на формирование МЖ РЭ в двумерных задачах - послойное и поэлементное редуцирование.
Поэлементное редуцирование предполагает, что МЖ РЭ формируется путем последовательного присоединения каждого элемента к РЭ. При этом на каждом шаге этого процесса выполняется стандартная процедура МРЭ, и окончательная матрица получается в результате пошагового формирования r.-JX A- (4.2)
Таким образом, на каждом шаге необходимо формировать матрицу преобразований S, для рассматриваемого элемента. Однако дополнительные затраты времени на их построение перекрываются за счет экономии от перемножения матриц значительно меньшего размера, чем в случае их формирования сразу для всего элемента. Частным случаем данного приема можно считать и алгоритм из п. 4.1.
При послойном редуцировании всю область РЭ разбивают на слои [32]. МЖ каждого слоя может быть получена с использованием процедуры МРЭ либо в один прием, либо поэлементно. Дальнейшая процедура послойного редуцирования похожа на поэлементное, но на каждом шаге к формируемому РЭ присоединяется сразу целый слой.
Возможен и другой вариант поэлементного редуцирования, когда вклад каждого отдельного элемента сразу помещается в МЖ РЭ. Если проанализировать матричные операции, выполняемые в МРЭ, то можно заметить, что вклад каждого отдельного элемента в общую МЖ РЭ определяется только теми строками матрицы 5", которые относятся к узлам данного элемента. Поэтому в качестве St на каждом шаге можно принять часть общей матрицы S. Здесь возможны два варианта - либо сразу формируется вся матрица S и затем на каждом шаге из нее извлекается соответствующий блок Sit либо по известным зависимостям на каждом шаге Сформируется независимо. Вклад каждого элемента определяется формулой (4.2), а результат на каждом шаге представляет собой сумму вкладов всех пройденных элементов в МЖ всего РЭ.
Особым случаем поэлементного редуцирования можно считать такой его вариант, при котором могут быть получены готовые аналитические зависимости, определяющие вклад каждого элемента в МЖ РЭ. Эти зависимости получаются путем анализа описанной ранее матричной процедуры, что возможно лишь в сравнительно простых случаях. Тогда матричные операции по определению вкладов элементов заменяются их вычислением но выведенным формулам, определяющим эти вклады для каждого элемента МЖ РЭ.
В качестве примера, иллюстрирующего процедуру получения РЭ, разработаны алгоритмы, позволяющие получить матрицу теплопроводности РЭ для температурных элементов при линейном поле перемещений в случае послойного и поэлементного редуцирования. Предполагается, что РЭ представлен в виде группы одинаковых по размерам прямоугольных элементов 1-го порядка, формирующих прямоугольный массив п} х п2 элементов.
При послойном редуцировании алгоритм состоит из следующих основных блоков:
а) обработка исходных данных;
б) получение матрицы теплопроводности для отдельного элемента;
в) процедура поэлементного редуцирования для слоя;
г) процедура послойного редуцирования.
Обработка исходных данных включает в себя определение основных характеристик каждого элемента - толщины S, коэффициентов теплопроводности Лх и Яу и коэффициента fi = bnl/an29 где а,Ь- линейные размеры РЭ соответственно в горизонтальном и вертикальном направлении; п]уп2 - количество элементов в этих направлениях. Получение матрицы теплопроводности для отдельного элемента состоит в определении значений коэффициентов матрицы AyB,C,D по известным зависимостям [161] и их расстановке внутри матрицы.
