Введение к работе
Актуальность работы. Проблема определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики возникает при нахождении собственных частот и форм собственных колебаний строительных конструкций. Изучение характеристик собственных колебаний конструкций важно для исследования их чувствительности к периодическим воздействиям. Решение данной проблемы в рамках настоящей диссертации осуществляется на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ), предложенного в работах А.Б. Золотова и П.А. Акимова. Область применения ДКМКЭ составляют конструкции, здания и сооружения, в которых по одному из координатных направлений (условно называемому основным) имеется постоянство физико-геометрических характеристик (параметров) при произвольно меняющихся внешних нагрузках и любом характере закреплений. Такого рода объекты широко представлены в строительстве, что объясняется, в частности, высокой степенью технологичности их проектирования, изготовления, и монтажа. Метод является дискретно-континуальном в том отношении, что по основному («продольному») направлению сохраняется континуальный характер задачи и, соответственно, аналитический вид получаемого решения, в то время как по остальным («поперечным») направлениям производится дискретизация с использованием стандартной техники метода конечных элементов. В итоге расчетную схему конструкции составляет ансамбль дискретно-континуальных конечных элементов. Таким образом, построение решения осуществляется за счет эффективного сочетания численных и аналитических подходов. Определенная с помощью ДКМКЭ картина напряженно-деформированного состояния (НДС) развивает интуицию расчетчика и улучшает понимание работы конструкций, характера влияния на последние различных локальных и глобальных факторов. ДКМКЭ исключительно эффективен в зонах краевого эффекта, там, где часть составляющих решения представляет собой быстроизменяющиеся функции, скорость изменения которых не всегда может быть адекватно учтена традиционными численными методами. Преимуществами ДКМКЭ являются понижение размерности при численном решении и отсутствие при расчете практических ограничений на длину объектов вдоль основного направления. Диссертационная работа посвящена развитию численных методов, реализации подходов функционального анализа, в частности, методов теории операторов, вычисления их спектральных характеристик (собственных функций и собственных значений) применительно к решению практических задач расчета строительных конструкций.
Работа выполнялась в рамках Гранта Российского фонда фундаментальных исследований №09-08-13697, Гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки научных исследований молодых российских ученых МД-4641.2009.8 и Проекта №6414 Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)».
Цели и задачи работы. Целью работы является разработка эффективных подходов к определению собственных значений и собственных
функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов.
Начальной задачей работы является постановка краевых задач строительной механики с выделением основного направления (и соответствующих участвующих в формулировке производных) и использованием операторных подходов и обобщенных функций. В рамках общей континуальной постановки это приводит к формированию обыкновенного дифференциального уравнения с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.
Следующая задача - это дискретная аппроксимация операторных коэффициентов основного уравнения на основе соответствующих им функционалов с использованием техники метода конечных элементов (МКЭ). Здесь требуется формирование нескольких нестандартных матриц жесткости, которые оказывается правильным строить на основе общематематических подходов.
Заключительный этап - это разработка шагового алгоритма вычисления собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе корректного построения точного аналитического решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Перечисленные задачи отчасти могут соответствовать традиционным подходам, но в целом имеют более удобную математическую и алгоритмическую основу.
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
Построены эффективные с точки зрения последующей вычислительной реализации математические формулировки и подходы, обеспечивающие дискретно-континуальные постановки проблем определения собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики, в частности, сведение исходных задач в начале к обыкновенному дифференциальному уравнению второго или четвертого порядка с операторными коэффициентами, включающими краевые условия, а затем к аналогичной системе уравнений первого порядка.
Построены дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций на основе конечноэлементных аппроксимаций операторных коэффициентов, представляющих собой нетрадиционные сочетания дифференциальных операторов, включающих в себя краевые условия и обобщенные функции.
Предложены корректные универсальные формулы построения точного аналитического решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие специфические математические особенности практических задач строительной механики. Здесь следует отметить такие «коварные» свойства матрицы коэффициентов системы как наличие в ее спектре собственных значений разных знаков, жордановых клеток неединичного порядка, жесткость системы, значительная размерность и т.д.
Построены эффективные подходы к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на
основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов. Важнейшим этапом этих подходов является специальный шаговый алгоритм, использующий формулы корректного определения точного аналитического решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Практическая ценность работы состоит в:
разработанных подходах к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе развития дискретно-континуального метода конечных элементов;
создании авторских программных комплексов, которые могут стать составной частью при построении комплексов промышленного типа;
выполненных расчетах реальных конструкций.
Внедрение работы состоит в использовании разработанных подходов, алгоритмов и программ для решения задач расчета конструкций и сооружений в ГОУ ВПО МГСУ и Научно-исследовательском центре «СтаДиО».
На защиту выносятся:
Общий подход к определению собственных значений и собственных функций краевых задач строительной механики на основе теории операторов и обобщенных функций.
Сведение исходных проблем определения собственных значений и собственных функций краевых задач расчета строительных конструкций к соответствующим проблемам для обыкновенных дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами, включающими краевые условия.
Дискретно-континуальные расчетные модели строительных конструкций на основе конечноэлементной аппроксимации в «поперечных» направлениях.
Корректные универсальные формулы построения точного аналитического решения краевых задач для разрешающих систем обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие специфические математические особенности практических задач строительной механики.
Специальный шаговый алгоритм, использующий формулы определения точного аналитического решения краевой задачи для разрешающей системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
6. Эффективные подходы к определению собственных значений и собст
венных функций краевых задач строительной механики на основе разви
тия дискретно-континуального метода конечных элементов.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуж
дались на следующих конференциях и семинарах: VI Научно-практическая и
учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном
строительстве» (Москва, 2008 г.); XI и XII Международная межвузовская на
учно-практическая конференция молодых ученых, докторантов и аспирантов
«Строительство - формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 2008-
2009 гг.); II Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютер
ного моделирования конструкций и сооружений» (Пермь, 2008 г.); Междуна-
родная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (Москва, 2008 г.); XVIII Российско-Польско-Словацкий семинар «Теоретические основы строительства» (Архангельск, 2009 г.); XXIII Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2009 г.); Научные семинары научно-исследовательского центра «СтаДиО» (Москва, 2007-2009 гг.); Научные семинары кафедры информатики и прикладной математики МГСУ под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2005-2009 гг.); Научные семинары научно-образовательного центра компьютерного моделирования уникальных зданий, сооружений и комплексов МГСУ под руководством профессора A.M. Белостоцкого (Москва, 2008-2009 гг.).
Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчетов с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.
Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 29 работ.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 229 наименований, и семи приложений. 165 страниц основного текста и 35 страниц приложений включают 56 рисунков и 41 таблицу.
