Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 28
1.1. Особенности применения функционала дополнительной энергии 28
1.2. Использование принципа возможных перемещений для получения уравнений статики 31
1.3. Минимизация функционала при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений 37
1.4. Определение перемещений узлов и реакций связей 42
1.5. Методика автоматического выбора величины параметра штрафных функций 45
1.6. Сравнение решений, полученных на основе двух вариантов расширенного функционала дополнительной энергии 48
1.7. Использование расширенного функционала дополнительной энергии для расчёта арок произвольного очертания 55
1.8. Учет влияния сдвигающих сил на изгиб при расчете арок в напряжениях 65
1.9. Методика получения линий и поверхностей влияния кинематическим способом 68
1.10. Выводы по главе 71
2. РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ 75
2.1. Использование линейных функций для аппроксимации напряжений по области конечного элемента 75
2.2. Использование постоянных функций для аппроксимации напряжений по области конечного элемента 91
2.3. Вариационно-сеточный метод 99
2.4. Примеры решения упругих задач. Анализ и сравнение результатов 104
2.5. Алгоритм решения задач теории пластичности в напряжениях 124
2.6. Пример расчета пластины с отверстием с учётом пластических деформаций 128
2.7. Выводы по главе 131
3. РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ИЗГИБА ПЛАСТИН В НАПРЯЖЕНИЯХ 136
3.1. Использование линейных функций для аппроксимации моментов по области конечного элемента 136
3.2. Вариационно-сеточный метод 152
3.3. Примеры решения упругих задач. Анализ и сравнение результатов 157
3.4. Решение задач изгиба изотропных плит с учётом пластических деформаций 171
3.5. Решение динамических задач изгиба плит в напряжениях 175
3.6. Пример динамического расчёта изгибаемой плиты с учётом пластических деформаций. Анализ и сравнение результатов 179
3.7. Пример расчета плиты перекрытия жилого здания 182
3.8. Выводы по главе 185
4. РАСЧЁТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК В НАПРЯЖЕНИЯХ 188
4.1. Использование линейных функций для аппроксимации внутренних усилий по области конечного элемента 188
4.2. Вариационно-сеточный метод 199
4.3. Примеры расчёта цилиндрических оболочек. Анализ и сравнение результатов 203
4.4. Выводы по главе 209
5. РАСЧЁТ ОБОЛОЧЕК ПРОИЗВОЛЬНОГО ОЧЕРТАНИЯ В НАПРЯЖЕНИЯХ 211
5.1. Глобальная и локальная системы координат 211
5.2. Связь между возможными перемещениями в глобальной и локальной системах координат 214
5.3. Уравнения равновесия для сетки треугольных конечных элементов 216
5.4. Дополнительная энергия деформаций треугольного конечного элемента 223
5.5. Примеры расчёта сферических оболочек. Анализ и сравнение результатов 226
5.6. Выводы по главе 240
6. РЕШЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ 242
6.1. Использование линейных функций для аппроксимации напряжений по области конечного элемента
6.2. Использование постоянных функций для аппроксимации напряжений по области конечного элемента
6.3. Вариационно-сеточный метод 268
6.4. Примеры расчёта. Анализ и сравнение результатов 274
6.5. Выводы по главе 281
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ 285
ЛИТЕРАТУРА 300
Введение к работе
0.1. Состояние решаемой проблемы. Обзор литературы.
Одной из основных задач, возникающих при проектировании строительных конструкций, является задача определения полей перемещений и напряжений от действия заданных на конструкцию нагрузок. При этом поле напряжений имеет первостепенное значение. В общем случае, в соответствии с теорией упругости [83, 84], решение такой задачи сводится к системе дифференциальных уравнений равновесия и совместности перемещений, при выполнении граничных условий для напряжений и перемещений. При этом напряжения и деформации связаны уравнениями состояния материала или законом Гука. Очевидно, что получение точного решения данной системы дифференциальных уравнений для реальных конструкций практически невозможно. Поэтому, с появлением электронных вычислительных машин, получили широкое распространение различные приближенные методы расчета строительных конструкций. К таким методам относятся: метод конечных разностей, метод Бубнова - Галеркина, метод коллокаций, метод Ритца, метод взвешенных невязок, метод В. 3. Власова, метод конечных элементов, метод граничных элементов и др. [2, 3, 7, 9-13, 15, 17, 20, 22-24, 27, 29, 33-36, 40-41, 58, 67, 72, 75-77, 79-80,117,120,127-128].
Погрешность решений, получаемых с помощью приближенных методов, связана с нарушением (неточным выполнением) уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций или краевых условий. Дальнейшее развитие существующих численных методов и разработка новых в первую очередь направлены на повышение точности определения перемещений и напряжений при одновременном усложнении рассчитываемых конструкций.
В настоящее время наиболее распространенным и универсальным методом расчета строительных конструкций является метод конечных элементов [24, 25, 31, 32, 41, 47, 52-55, 59, 62, 64, 66, 73, 74, 80-81, 122]. В соответствии с этим методом, любая самая сложная конструкция разделяется на большое чис ло подобластей (конечных элементов), имеющих простую геометрическую форму. Описание напряженно-деформированного состояния каждого конечного элемента производится при помощи выбираемого набора функций, которые приближенно представляют перемещения и напряжения в области рассматриваемого элемента. Для получения разрешающих соотношений, как для отдельного конечного элемента, так и для всей конструкции чаще всего используются энергетические принципы. Основополагающими являются - принцип минимума потенциальной энергии, или принцип Лагранжа [14, 17, 31], и принцип минимума дополнительной энергии, или принцип Кастилиано [24, 73, 78, 80]. На основе указанных выше принципов разработаны различные гибридные и смешанные вариационные принципы. Наиболее известные из них -это принципы Рейсснера, Ху-Вашицу, Херрмана и др. [5, 18, 24, 49, 133, 137, 139, 146, 147,150].
В основе вариационных функционалов Лагранжа и Кастилиано лежат более фундаментальные принципы виртуальных перемещений и виртуальных сил [24, 31, 69, 71, 75-76, 80, 119, 135]. Оба принципа являются различными формами общего принципа виртуальной работы и могут служить независимым подходом к построению соотношений метода конечных элементов.
Самым распространенным и универсальным является метод конечных элементов, использующий принцип Лагранжа [31, 80]. В этом случае аппроксимируется только поле перемещений, а напряжения вычисляются через дифференциальные зависимости, связывающие перемещения и деформации, а также уравнения состояния материала. Погрешность решения в этом случае может быть связана с неточным выполнением уравнений равновесия, уравнений совместности деформаций и с возможными разрывами напряжений и деформаций по границам конечных элементов. Для обеспечения сходимости получаемого приближенного решения к точному (при измельчении сетки конечных элементов) выбираемые функции должны удовлетворять определенным условиям [31, 81]. В зависимости от наибольшего порядка произвол ных, входящих в выражение потенциальной энергии деформаций, функции должны обладать определенной степенью гладкости, то есть иметь непрерывные по границам конечных элементов производные определенного порядка. Также выбираемые функции должны включать представления постоянных величин для соответствующих напряжений или деформаций и обеспечивать нулевую энергию деформации при движении конструкции как твердого целого.
Плоское напряжённое состояние является простейшей формой напряженного состояния, часто встречающееся в практических расчётах. Такие конечные элементы также используются для учёта мембранных напряжений в оболочках. В данном случае довольно легко подобрать аппроксимирующие функции, обеспечивающие непрерывность перемещений и необходимую гладкость для всей конструкции. Для решения задач плоской теории упругости достаточно использовать линейные базисные функции для треугольных или прямоугольных конечных элементов [24, 31, 65, 78]. В работе [24] выполнено сравнение различных типов плосконапряжённых конечных элементов, построенных на базе предполагаемых перемещений. При использовании элементов с линейными полями перемещений и, соответственно, с постоянными полями напряжений, вызывает трудности интерпретация вычисленных напряжений. Предлагается для сглаживания разрывных напряжений вычислять сопряженные напряжения на основе принципа виртуальной работы. Отмечается, что для решения основных задач теории упругости о плоском напряжённом состоянии предпочтительнее использовать треугольные элементы с линейной деформацией в них, а преимущества использования треугольных элементов более высокого порядка не столь очевидны. Для обеспечения линейного поля деформаций необходимо введение дополнительных узлов на сторонах элемента или дополнительных узловых неизвестных в виде производных от перемещений. В работе [138] отмечается, что в первом случае для вытянутых конечных элементов значительно увеличивается погрешность определения перемещений. В последнем случае деформация будет квадратичной, и требуется введение до полнительного узла в центре элемента. Введение дополнительных узлов приводит к увеличению общего числа неизвестных и ширины ленты системы уравнений.
Формулировки, основанные на принципе минимума дополнительной энергии в задачах о плоском напряжённом состоянии, включают задание функционала, содержащего вторые производные, если в качестве основной неизвестной выступает функция напряжений Эри. Поэтому требуется, чтобы сама функция напряжений и её первые производные были непрерывны при переходе от элемента к элементу. В связи с этим возникают дополнительные трудности с выбором подходящих полиномов для представления функции напряжений. Подход, основанный на дополнительной энергии, может оказаться удобным для решения задач неупругого анализа, так как в таких расчётах поведение материала определяется в форме зависимости деформаций от напряжений. Поэтому для формулировок на базе потенциальной энергии требуется обращать связывающую деформации и напряжения матрицу, что может привести к дополнительным сложностям при решении задач с учётом временных зависимостей.
В работе [132] при решении плоской задачи теории упругости методом конечных элементов для вычисления производных от перемещений в узлах используются разностные выражения. В этом случае единственными степенями свободы будут величины неизвестных узловых перемещений, при этом сохраняется их непрерывность. Таким образом, число степеней свободы для каждого элемента не изменяется по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, однако общее число неизвестных параметров значительно уменьшается. Замена производных разностными выражениями вызывает сложности с учетом граничных условий, связанных с производными от перемещений на криволинейных границах.
В работе [134] предлагается метод вычисления узловых значений частных производных какой-либо функции, заданной в конечном элементе. На пряжения вычисляются как средние значения напряжений в конечных элементах, примыкающих к рассматриваемому узлу, но с учётом весовых коэффициентов. Приводятся формулы для определения данных коэффициентов, и отмечается, что предлагаемый метод позволяет получить весьма точные значения не только во внутренних узлах, но и в точках, лежащих на границе тела, что особенно важно в задачах о концентрации напряжений. Метод не обоснован строго математически, но даёт хорошие результаты при решении тестовых задач.
В случае расчета изгибаемых пластин методом конечных элементов [24, 26, 28, 31, 57], трудно подобрать поле перемещений с непрерывными первыми производными по границам конечных элементов, и тем самым обеспечить необходимые условия для сходимости получаемого решения к теоретически правильному решению. Кроме того, в этом случае разрывы первых производных от функции перемещений будут вносить дополнительную погрешность в уравнения равновесия для узлов конечно-элементной сетки. В работе [24] отмечается, что для задач изгиба пластин можно получить достоверные и точные результаты для моделей, построенных на основе принципа минимума потенциальной энергии. Однако выдвигаемым при этом требованиям к решениям трудно удовлетворить, что приводит к большому объему алгебраических операций при построении базисных коэффициентов матрицы жёсткости. Поэтому проявляется значительный интерес к формулировкам, основанным на использовании других вариационных принципов с менее жёсткими требованиями к предполагаемым функциям. Если использовать для решения принцип дополнительной энергии, а для представления напряжений функции напряжений Саусвелла, то можно построить матрицу податливости конечного элемента. Но очевидные преимущества применения такого подхода к анализу изгиба пластин в значительной степени снижаются из-за трудности задания внешних нагрузок. Граничные условия на нагруженной поверхности должны учитываться особым образом, обычно посредством наложения уравнений связи. Численные результаты подтверждают, что решения, полученные с помощью альтернативной формулировки, основанной на принципе минимума дополнительной энергии, сходятся к точному решению снизу и обеспечивают достаточную точность.
Также в [24] рассматривается смешанная формулировка изгибаемого конечного элемента, основанная на модифицированной форме вариационного принципа Рейсснера. Предполагается, что прогибы описываются линейным полем, а компоненты внутренних изгибающих моментов являются константами. В работе отмечается, что численные результаты, полученные с использованием данной смешанной формулировки, совпадают с результатами, полученными с использованием матрицы жёсткости, построенной на основе полного квадратичного полинома. Смешанная формулировка, основанная на представлении более высокого порядка (линейно изменяющиеся моменты, квадратичные перемещения), существенно повышает точность решения, но в этом случае для каждого элемента требуется вдвое больше узлов. В еще большей степени, отмеченные выше трудности, относятся к решению задач с учетом пластических свойств материала и к задачам, имеющим зоны концентрации напряжений. При решении таких задач возможно появление резких изменений напряжений в пределах одного конечного элемента, что предъявляет дополнительные требования к непрерывности функций, аппроксимирующих напряжения.
В работе [146] рассматриваются гибридные конечно-элементные модели для расчёта изгибаемых плит и тонких оболочек. В вариационный принцип Кастилиано в качестве дополнительных условий вводятся уравнения равновесия внутренних сил, действующих по границам конечных элементов, и заданных граничных напряжений. Соответствующими множителями Лагранжа являются перемещения вдоль рассматриваемых границ. Напряжения в каждом элементе в этом случае являются независимыми и должны удовлетворять уравнениям равновесия внутри элемента. Уравнения равновесия вдоль границ удовлетворяются интегрально. С другой стороны, уравнения равновесия для внутренней области конечного элемента также могут быть добавлены к функционалу в качестве дополнительного условия. Множителями Лагранжа являются независимые по отношению к напряжениям перемещения внутренних точек конечного элемента. Напряжения в этом случае не удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия. Для треугольного конечного элемента с шестью узлами и пятью неизвестными усилиями в каждом узле, общее количество неизвестных для элемента равно тридцати. Использование таких конечных элементов требует значительных вычислительных затрат на формирование и решение системы уравнений. Если на стадии получения соотношений для конечного элемента исключить неизвестные узловые перемещения, то можно получить непрерывное поле напряжений, но при этом поле перемещений будет иметь разрывы по границам конечных элементов.
С целью улучшения характеристик конечных элементов для задач изгиба пластин в работе [130] предлагается искусственно уменьшить их жёсткость. Метод уменьшения жёсткости применяется к элементам, имеющим внутренние степени свободы. На ряде числовых примеров показана эффективность использования конечных элементов с пониженной жёсткостью.
В работе [131] для расчёта сжатой прямоугольной пластины, подкреплённой системой равноотстоящих одинаковых рёбер жёсткости, для представления поперечных перемещений используются как глобальные, так и локальные аппроксимирующие функции. Для продольных перемещений используются только локальные функции. В работе отмечается, что добавление глобальных функций для перемещений в плоскости может привести к численной неустойчивости. Авторы отмечают, что решения, полученные стандартным методом конечных элементов и с добавлением глобальных функций поперечных перемещений, отличаются мало, следовательно, точность решения зависит главным образом от задаваемого поля для перемещений в плоскости пластины.
В статье [126] рассматриваются вопросы, связанные с исследованием поведения упругих плит с учётом больших перемещений. Исследуются условия для получения конечного элемента, который позволяет обеспечить удовлетворительную точность и гарантирует сходимость к точному решению при измельчении сетки конечных элементов. А это значит, что функции, описывающие поведение элемента, должны воспроизводить точно элементарные состояния, а именно постоянные деформации в срединной плоскости, постоянные кривизны, а также обеспечивать перемещение элемента как жёсткого целого. Как показывает опыт решения линейных задач, наиболее оптимальным является применение таких функций форм, которые дают линейное распределение напряжений. При этом имеются определённые трудности, так как в этом случае в качестве аппроксимирующих функций необходимо принимать полные полиномы третьего порядка. Это связано с тем, что только в этом случае удаётся описать состояния элемента с постоянной кривизной и кручением, а также добиться требуемой непрерывности перемещений при переходе через границы соседних элементов. Автор отмечает, что для описания деформирования зон плиты, где возникают усилия краевого эффекта, требуется особый тип элементов, с особым характером распределения усилий.
В работе [135] даются уравнения метода конечных элементов при выборе в качестве основных неизвестных усилий в срединной поверхности, изгибающих и крутящих моментов, деформаций удлинения и сдвига и кривизн. Считается, что между точками все величины изменяются линейно. Уравнения равновесия, которым должны удовлетворять основные неизвестные, получаются с помощью принципа возможных перемещений, причем в качестве допустимых перемещений рассматриваются перемещения конечного элемента как твёрдого тела. Работа сил при этом выражается через интегралы вдоль границ элемента. Для записи уравнений совместности перемещений используется статико-геометрическая аналогия. Отмечается, что описанный метод позволяет с одинаковой точностью определять усилия и моменты, а также избе жать численного дифференцирования, которое необходимо, если в качестве неизвестных параметров используются узловые перемещения. Получены соотношения для решения плоских задач теории упругости, задач изгиба плит и пологих оболочек. В работе отмечается, что предлагаемый метод может давать хорошие результаты в задачах, имеющих зоны концентрации напряжений.
Для расчёта оболочек произвольного очертания методом конечных элементов используются два основных подхода. Первый подход связан с представлением поверхности оболочки набором плоских треугольных конечных элементов [31, 66, 74, 141]. Предполагается, что напряжённое состояние оболочки может быть определено в рамках линейной теории оболочек с использованием гипотезы Кирхгоффа. Это приводит к тому, что напряженное состояние в срединной поверхности элемента может быть описано с помощью соотношений для плоской задачи теории упругости, а напряженное состояние, возникающее при изгибе элемента, - на базе теории изгиба пластин. Использование построенной таким образом матрицы жесткости при анализе напряженного состояния произвольных оболочек не приводит к каким-либо затруднениям. Исключением является частный случай, когда в отдельных узлах оболочки все сходящиеся конечные элементы лежат в одной плоскости. Жесткость такой оболочки при вращении относительно оси, нормальной к данной плоскости, будет равна нулю, и общая матрица жесткости становится особенной. В этом случае в упомянутых узловых точках следует ввести дополнительные кинематические закрепления, препятствующие вращению вокруг нормали к оболочке в этих узловых точках. Предлагаются и другие способы, позволяющие решить указанную проблему [31].
Второе направление применения метода конечных элементов для расчёта оболочек характеризуется тем, что каждый элемент в расчётной схеме оболочки повторяет форму представляемой этим элементом области конструкции [26, 45, 63, 123, 144, 148]. При этом стремятся разрабатывать конечные элементы, позволяющие получить хорошую точность при сравнительно редкой сетке. Это достигается использованием в качестве функций перемещений полиномов высокой степени. Для получения необходимых характеристик криволинейных конечных элементов применяется та или иная теория расчёта оболочек. Если разрабатывается универсальный элемент, предназначенный для расчёта оболочек произвольной формы, то используется общая теория оболочек. Ясно, что для криволинейных конечных элементов еще сложнее подобрать такие аппроксимирующие перемещения функции, которые обеспечивали бы непрерывность деформаций и напряжений по границам элементов.
В работах [37, 85] для расчёта нелинейно деформируемых оболочек применяется альтернативный рассмотренным выше двум подходам вариационно-разностный метод дискретизации. При вычислении функционала Ла-гранжа производные вектора перемещений заменяются конечными разностями, а для вычисления интеграла по ячейке используется его дискретный аналог.
Работа [142] посвящена изучению различных методов получения соотношений для конечных элементов осесимметричных оболочек. Обсуждаются различные методы: коллокаций, Бубнова, моментов, наименьших квадратов. Все данные методы называются методами взвешивания остатков. Перемещения внутри элементов аппроксимируются кубическими полиномами Эрмита. Численные результаты, приведенные в данной статье, показывают, что использование рассмотренных методов приводит в случае осесимметричной оболочки к весьма высокой точности получаемых решений.
Для расчёта осесимметричных оболочек с успехом применяется и смешанный подход [133, 144]. Авторы статьи [144] используют в качестве конечного элемента часть поверхности между параллельными плоскостями, перпендикулярными оси вращения. В качестве неизвестных приняты радиальное и осевое перемещения, а также меридиональный и окружной изгибающий моменты. Меридиональную кривую задают полиномом пятой степени. Авторы отмечают, что в сравнении с другими конечно-элементными формулировками, рассматриваемый в статье подход требует минимального числа узловых неизвестных, которые обеспечивали бы непрерывность перемещений и изгибающих моментов. Это достигается путём принятия линейного закона изменения указанных параметров по длине конечного элемента. Отмечается также простота учета деформаций сдвига. В работе [133] для расчёта оболочек методом конечных элементов применяется смешанный функционал, в котором исключаются вторые производные искомых функций. Иногда это достигается за счёт увеличения числа неизвестных функций. Предлагаемые варианты функционалов базируются на известном функционале Рейсснера и методе множителей Лагранжа.
Сплошные, или трёхмерные, конечные элементы используются при решении таких задач, как расчёт массивных бетонных и каменных конструкций, определение напряжений в породах грунта, соединениях толстостенных труб и др. Из-за большой размерности конечно-элементное представление для сплошного тела требует очень большого числа степеней свободы [1, 24, 31, 78]. Поэтому решающими для использования какого-либо метода в трёхмерном случае являются вопросы снижения необходимого числа узловых параметров и общего количества неизвестных. Существующие формулировки трехмерных элементов почти все основываются на предполагаемых полях перемещений и принципе минимума потенциальной энергии. Простейшими конечными элементами являются прямоугольные шестигранные элементы с постоянными напряжениями. В этом случае в каждом узле имеется только три степени свободы. Для того чтобы обеспечить непрерывность деформаций по границам конечных элементов, необходимо в каждом узле ввести дополнительно в качестве неизвестных производные от перемещений. Тогда общее число узловых неизвестных возрастает, а для аппроксимации перемещений потребуется использовать неполный полином пятой степени. Если на ребрах конечного элемента ввести дополнительные узлы, то можно уменьшить число неизвестных до шестидесяти на элемент, при этом поля перемещений аппроксимируются квадратичными полиномами, но существенно увеличивается ширина ленты ненулевых коэффициентов системы уравнений. Аналогичные варианты аппроксимации перемещений по объему используются и для тетраэдральных конечных элементов [24]. Успех применения трёхмерных элементов существенно зависит от имеющихся возможностей проведения высокоэффективного общего анализа системы, причём использование наиболее эффективных алгоритмов решения является обязательным. Использование формулировок на базе функционала дополнительной энергии и смешанных функционалов является перспективным направлением использования метода конечных элементов для решения задач трехмерной теории упругости [24, 78].
Одно из направлений развития метода конечных элементов связано с разработкой методики оценки точности решения [32, 81]. При решении в перемещениях основную погрешность в уравнения равновесия и, следовательно, в получаемое по методу конечных элементов решение, вносят разрывы полей деформаций и напряжений по границам конечных элементов [24, 81, 126]. Кроме того, разрывы полей напряжений обуславливают сложность интерпретации вычисленных напряжений и деформаций, так как в одном и том же узле величина напряжений будет различной при рассмотрении разных конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу [134, 143]. Стремление обеспечить непрерывность напряжений по всей предметной области привело к разработке конечных элементов, в которых для аппроксимации поля перемещений используются полиномы высокого порядка. Так для изгибаемых пластин использовались полиномы пятого и шестого порядков [24, 26, 31, 126]. В этих случаях потребовалось введение в качестве узловых неизвестных производных первого и второго порядка, а также дополнительных узловых точек на сторонах конечных элементов. Это значительно усложнило процесс формирования матриц жесткости конечных элементов и разрешающей системы линейных уравнений. В работе [86] для расчета плоских стержневых систем использовались конечные элементы, в которых в качестве узловых неизвестных дополнительно вводились кривизна и продольная деформация оси стержня. Такой подход обеспечивал непрерывность напряжений и деформаций в узловых точках.
Безусловно, существует и другой возможный путь уменьшения погрешности решения, который заключается в последовательном измельчении конечно-элементной сетки. Но при измельчении сетки будет неуклонно возрастать объем арифметических операций и, соответственно, величина ошибки, которая связана с округлениями чисел. Понятно, что бесконечным такой процесс быть не может, и его необходимо остановить на том шаге, когда погрешность вычислений, связанная с округлениями при арифметических операциях, будет сопоставима с погрешностью конечно-элементного решения. Но, так как оценить возможную погрешность решения с такой точностью невозможно, то невозможно определить и этот шаг.
Известно, что при соблюдении определенных условий, решение по методу конечных элементов в форме перемещений всегда дает нижнюю, с точки зрения перемещений, границу решения. Поэтому становится весьма важной возможность определения второй, верхней границы перемещений. Определив обе границы решения, мы сможем оценить и его точность.
Верхнюю границу решения, опять же при определенных условиях, можно найти, если использовать принцип минимума дополнительной энергии [24, 78, 80, 124]. В соответствии с этим принципом поле напряжений, доставляющее минимум дополнительной энергии системы, удовлетворяет уравнениям совместности перемещений и заданным граничным условиям для перемещений. При этом выбираемое поле напряжений должно априори удовлетворять условиям равновесия внутри тела и заданным значениям напряжений на границе.
Если в качестве неизвестных выбрать узловые силы, то получить соответствующие формулировки на основе выражения дополнительной энергии намного труднее, по сравнению с выражениями для жесткостной формулиров ки, получаемыми из принципа минимума потенциальной энергии [4, 39, 78]. Это усложнение связано с тем, что для статически неопределимой (внутренне и внешне) конечно-элементной расчетной схемы нельзя напрямую связать внутренние узловые силы и внешние нагрузки. Для получения матрицы податливости всей конструкции необходимо выполнить большое число матричных операций, включая операцию обращения матрицы большого размера. Большие вычислительные затраты и сложность алгоритма решения сдерживают практическое применение данного подхода.
Существует подход, позволяющий обойти перечисленные трудности [24, 31, 78]. Для этого, в качестве параметров поля напряжений можно ввести специальные функции напряжений. Для плоской задачи теории упругости напряженное состояние можно охарактеризовать одной функцией, называемой функцией Эри. Для задач расчета изгибаемых плит используются функции Са-усвелла. Если напряжения вычислять путем дифференцирования функций напряжений, то поле напряжений будет автоматически удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия внутри тела, и его можно использовать для минимизации дополнительной энергии системы. В качестве узловых неизвестных принимаются значения функции напряжений и её производных. Для того, чтобы обеспечить непрерывность напряжений по границам конечных элементов, необходимо аппроксимировать функцию напряжений полиномом высокой степени. При этом возникнут те же сложности, что и при построении решения на основе принципа Лагранжа. Для учёта статических граничных условий вводятся дополнительные ограничения на узловые значения функции напряжений. При этом граничные условия будут выполняться интегрально. Кроме того, если внешние нагрузки не являются самоуравновешенными, необходима специальная процедура модификации матрицы податливости для учета кинематических граничных условий. Таким образом, данный подход, с точки зрения получения непрерывных полей напряжений и деформаций, практиче ски не имеет преимуществ перед подходом, основанным на принципе минимума потенциальной энергии.
В [48] рассматривается применение принципа Кастилиано для расчета плоских стержневых систем. В качестве неизвестных принимаются изгибающие моменты в узлах рамы. С помощью принципа возможных перемещений составляются уравнения равновесия, соответствующие возможным перемещениям узлов вдоль осей координат. С помощью полученных уравнений и уравнений равновесия в узлах из функционала Кастилиано исключаются линейно зависимые неизвестные. Разрешающая система уравнений определяется из условия минимума потенциальной энергии.
В работе [16] предлагается метод расчета в напряжениях, основывающийся на использовании согласованных конечных элементов. Для подсчета напряжений разработан алгоритм генерирования ансамбля конечных элементов и выведена универсальная рекуррентная формула подсчета субблоков матрицы обобщенных деформаций, исключающая процедуры формирования и решения глобальной системы алгебраических уравнений. Следует отметить, что при предлагаемом подходе напряжения и деформации являются согласованными только в направлении, перпендикулярном границам конечных элементов, и несогласованными вдоль сторон элементов.
Альтернативами методам, использующим единственное аппроксимирующее поле, являются вариационные методы, базирующиеся на применении нескольких полей для представления характеристик элемента и обобщении принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии [14, 24, 73, 80, 129, 140, 144]. В гибридных методах одно поле перемещений и (или) напряжений задаётся внутри конечного элемента, другое поле перемещений или напряжений принимается независимо на границе элемента. Все поля, кроме одного, выражаются при помощи обобщенных параметров. Одно поле выражается через узловые перемещения. Соответствующее обобщенное энергети ческое выражение для конечного элемента записывается при помощи всех введенных полей.
В соответствии с условием стационарности функционала, выполняется его вариация по вектору обобщенных параметров. Если из полученной в результате вариации функционала системы уравнений выразить обобщенные параметры через узловые перемещения и подставить в выражение функционала, то можно получить матрицу жесткости элемента. Если, наоборот, выразить узловые перемещения через обобщенные параметры, соответствующие напряжениям, то можно получить матрицу податливости.
В смешанных функционалах, например в известном функционале Рейс-снера [18, 24, 80, 140], используются два поля внутри элемента для описания перемещений и напряжений (сил) соответственно. В результате вариации функционала по напряжениям (силам) и перемещениям получаем смешанную матрицу связи между напряжениями (силами) и перемещениями.
Смешанная матрица является симметричной, но может иметь ряд нулевых элементов на главной диагонали. Поэтому, если не исключать параметры, относящиеся к напряжениям или перемещениям, решение системы уравнений для всей конструкции значительно усложняется за счет увеличения общего числа неизвестных и из-за появления нулевых коэффициентов на главной диагонали. Если параметры, относящиеся к одному из полей исключить, то можно получить положительно определенную матрицу. Таким образом, применение в гибридных и смешанных функционалах нескольких полей для описания напряженно-деформированного состояния конечного элемента снижает уровень требований к гладкости аппроксимирующих эти поля функций, но, в общем случае не гарантирует непрерывность напряжений по границам элементов.
В последнее время появились работы, посвященные разработке аналити-ко-численных методов решения краевых задач строительной механики [33-36, 125, 150]. Областью применения таких методов являются конструкции, здания и сооружения, в которых имеется постоянство физико-геометрических харак теристик по одному из координатных направлений. Это, например, задачи расчета балок, балок-стенок, тонкостенных стержней, полос, длинных фундаментов, плит, пластин, оболочек, высотных и протяженных зданий и т. д. Предлагаемый в данных работах дискретно-континуальный метод конечных элементов позволяет получать решения в аналитической форме, способствующей улучшению качества исследования рассматриваемых объектов. Метод особенно эффективен в зонах краевого эффекта.
В работе [80] подробно рассматриваются особенности применения различных вариационных принципов для решения задач строительной механики. Рассматриваются принципы Лагранжа, Кастилиано, Рейсснера, Ху-Васидзу, обобщенный смешанный принцип и вариационный принцип Гуртина. Функционал Гуртина [136] был введен для решения задач динамики в свертках. Данный функционал определен на полях напряжений, которые не обязаны удовлетворять каким либо уравнениям равновесия или краевым условиям. Дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются в слабом смысле (интегрально) путем введения их в функционал при помощи штрафа. Позднее было осознано, что функционалы такого типа можно распространить и на задачи статики при наличии упругой среды с невырожденным оператором. Расширение этой возможности на задачи без упругой среды возможно при помощи формального ввода в механическую модель упругой среды. Эта искусственно введенная среда играет роль штрафа в постановке задачи, слегка искажающего решение, но зато дающего возможность удобного перехода к формулировке вариационной задачи только в напряжениях.
Учитывая результаты многочисленных исследований по применению метода конечных элементов для решения различных задач строительной механики, можно сделать следующие основные выводы:
- актуальной остаётся проблема более точного моделирования напряженного состояния конструкции при получении решения, как на основе функционала Лагранжа, так и на основе функционала Кастилиано;
- при решении задач методом конечных элементов во многих случаях актуальной является проблема получения непрерывных полей напряжений и деформаций;
- актуальной является проблема построения решения методом конечных элементов на основе функционала дополнительной энергии при использовании единственного обобщенного поля напряжений, с целью получения верхней с точки зрения перемещений границы решения.
0.2. Решаемая научная проблема. Постановка задачи
Научной проблемой, решаемой в диссертации, является проблема построения решения статических и динамических задач строительной механики в напряжениях, на основе функционала дополнительной энергии деформаций и конечно-элементной дискретизации предметной области, с целью более точного моделирования напряженного состояния конструкций, а также с целью получения верхней, с точки зрения перемещений, границы решения.
Целью диссертационной работы являются:
1. Разработка методики решения задач строительной механики в напряжениях на основе минимизации дополнительной энергии деформаций и конечно-элементной дискретизации предметной области, с целью более точного моделирования напряженного состояния, а также получения верхней, с точки зрения перемещений, границы решения.
2. Разработка алгоритмов и численное исследование предлагаемой методики для решения следующих задач:
- расчет арок произвольного очертания на действие статических нагрузок;
- решение плоских статических задач теории упругости и пластичности;
- решение статических и динамических задач изгиба плит с учётом упругих и пластических свойств материалов;
- расчет круговых цилиндрических оболочек на действие статических нагрузок;
- расчет оболочек произвольного очертания на действие статических нагрузок;
- решение объемной статической задачи теории упругости.
0.3. Содержание диссертации
Диссертация состоит из введения и шести разделов, в которых рассмотрены методы решения статических и динамических задач плоской и пространственной теории упругости и пластичности методом конечных элементов на основе функционала дополнительной энергии в напряжениях.
В главе 1 рассматривается методика формирования расширенного функционала дополнительной энергии за счёт включения в него алгебраических уравнений равновесия узлов сетки конечных элементов, полученных при помощи принципа возможных перемещений. Показывается, что при измельчении сетки алгебраические уравнения равновесия, составленные для внутренних узлов, стремятся к соответствующим дифференциальным уравнениям равновесия, а уравнения для узлов, лежащих на границе, - к соответствующим статическим граничным условиям. В качестве возможных перемещений принимаются перемещения узлов вдоль осей координат. При этом возможные перемещения точек конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу, можно аппроксимировать простыми линейными, постоянными или кусочно-постоянными функциями. В уравнениях работ внешних и внутренних сил участвуют только внутренние и внешние силы, относящиеся к окружающим рассматриваемый узел конечным элементам. Уравнения прибавляются к функционалу в виде функций штрафа или при помощи метода множителей Лагранжа. В качестве неизвестных могут быть приняты непосредственно напряжения (деформации) и, дополнительно, все или часть перемещений узлов. Для случая, когда в качестве неизвестных принимаются только узловые на пряжения, разработан алгоритм вычисления перемещений узлов после вычисления напряжений. При этом не требуется формирование и решение системы уравнений. Предлагается методика автоматического определения величины параметра функции штрафа и оценка его влияния на точность получаемого решения. Рассматривается алгоритм построения поверхностей влияния кинематическим методом. На основе предлагаемой методики разработан алгоритм расчета арок произвольного очертания в напряжениях с учетом влияния сдвигающих сил на изгиб. Приводится пример расчёта круговой арки на действие сосредоточенной силы. Показано, что предлагаемый метод расчёта позволяет получить более точные величины продольных сил по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях. Производится сравнение решений, полученных на основе использования штрафных функций и на основе метода множителей Лагранжа.
В главе 2 предлагается методика решения задач плоской теории упругости и пластичности на основе расширенного функционала дополнительной энергии методом конечных элементов в напряжениях. Рассмотрены три варианта решения: метод линейных напряжений, вариационно-сеточный метод и метод постоянных напряжений. Получены необходимые выражения дополнительной энергии и уравнений равновесия для узлов сеток из треугольных и прямоугольных конечных элементов. При формировании уравнений равновесия в качестве возможных используются перемещения узлов сетки вдоль осей глобальной системы координат. По площади каждого конечного элемента, примыкающего к рассматриваемому узлу, возможные перемещения аппроксимируются линейными функциями. Нормальные и сдвиговые напряжения по площади конечного элемента аппроксимируются линейными или постоянными функциями. В качестве узловых неизвестных принимаются величины нормальных напряжений вдоль осей координат и напряжений сдвига. Получены разрешающие уравнения и разработан алгоритм решения задач теории пластичности на основе предлагаемого функционала. Приведены результаты сравнения решений ряда тестовых задач, полученных по предлагаемой методике, с аналитическими решениями и решениями, полученными методом конечных элементов в перемещениях.
В главе 3 рассматривается методика решения задач статического и динамического изгиба плит. Получены разрешающие уравнения для треугольных и прямоугольных конечных элементов. Для получения уравнений равновесия рассматриваются единичные перемещения узлов сетки конечных элементов вдоль нормали к поверхности плиты. При этом вертикальные перемещения точек конечных элементов, примыкающих к узлу, аппроксимируются линейными функциями. Работа внутренних сил на возможных перемещениях вычисляется в виде работы изгибающих и крутящих моментов на углах поворота конечных элементов, перемещающихся как жёсткое целое. Рассмотрены два варианта решения: метод линейных напряжений и вариационно-сеточный метод, в которых изгибающие и крутящие моменты в пределах конечного элемента представляются, соответственно, линейными и кусочно-постоянными функциями. Узловыми неизвестными являются непосредственно изгибающие и крутящие моменты. Рассмотрен алгоритм решения задач динамики плит с учетом пластических деформаций на основе расширенного функционала дополнительной энергии. В соответствии с принципом Даламбера при получении уравнений равновесия учитываются силы инерции. Для решения полученной системы дифференциальных уравнений используется метод Ньюмарка. Выполнено сравнение полученных численных результатов для ряда задач с другими аналитическими и численными решениями.
В главе 4 получены необходимые соотношения для расчета круговых цилиндрических оболочек на основе минимизации функционала дополнительной энергии. Рассматривается сетка прямоугольных криволинейных конечных элементов. Для определения деформаций используются формулы моментной теории цилиндрических оболочек. При получении уравнений равновесия рассматриваются возможные перемещения узлов вдоль нормали к срединной по верхности оболочки, а также вдоль образующей и вдоль криволинейной оси оболочки. В качестве неизвестных в каждом узле принимаются шесть параметров: изгибающие и крутящие моменты, нормальные и сдвигающие силы. Рассмотрен метод линейных напряжений, в котором все внутренние усилия аппроксимируются по области конечных элементов линейными функциями, и вариационно-сеточный метод, использующий кусочно-постоянные аппроксимации. Приводятся примеры расчета цилиндрических оболочек при различных видах нагружения и сравнение полученных результатов с другими известными решениями.
В главе 5 предлагается методика расчета оболочек произвольного очертания. Получены выражения дополнительной энергии и уравнений равновесия для сетки плоских треугольных конечных элементов. В качестве неизвестных используются величины шести внутренних усилий (напряжений) в каждом узле. Дополнительная энергия конечного элемента вычисляется в виде суммы дополнительной энергии изгиба и дополнительной энергии, связанной с деформацией срединной поверхности. Возможные перемещения узлов вдоль каждой из трёх осей глобальной системы координат представляются в виде векторной суммы перемещений вдоль трех осей введенной локальной системы координат, связанной с рассматриваемым конечным элементом. При этом для получения внутренней энергии деформации, вызванной перемещениями узлов вдоль локальных осей, используются соотношения, полученные в главах 2 и 3 для плоской задачи теории упругости и изгибаемых плит. Приводятся примеры расчета сферических оболочек и сравнение численных результатов с аналитическими решениями.
В главе 6 рассматривается решение объемных задач теории упругости методом конечных элементов в напряжениях на основе функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений. Получены необходимые выражения дополнительной энергии деформаций для конечных элементов в виде шестигранника, пятигранника и тетраэдра. В качестве неизвестных па раметров используются непосредственно три нормальных и три касательных напряжения. Рассмотрены три варианта аппроксимации напряжений по области конечных элементов: линейными, постоянными или кусочно-постоянными функциями. Для формирования уравнений равновесия рассматриваются возможные перемещения узлов вдоль трёх осей глобальной системы координат. При этом по области конечных элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу, возможные перемещения изменяются также в виде соответствующих линейных функций. Приводятся примеры решения объемных задач теории упругости и сравнение полученных результатов с другими решениями.
0.4. Вопросы, выносимые на защиту
1. Методика решения статических и динамических задач теории упругости и пластичности в напряжениях, основанная на минимизации дополнительной энергии деформаций, и использующая для представления напряженно-деформированного состояния дискретизированной предметной области линейные, постоянные или кусочно-постоянные аппроксимации напряжений.
2. Использование принципа возможных перемещений для получения алгебраических уравнений равновесия узлов, которые являются сопряженными с соответствующими дифференциальными уравнениями равновесия и статическими граничными условиями.
3. Использование метода штрафных функций для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений на область выбора неизвестных параметров, представленных в виде линейных алгебраических уравнений равновесия узлов. Методика автоматического выбора величины параметра штрафных функций. Методика вычисления перемещений узлов.
4. Методика решения динамических задач с учетом пластических деформаций в напряжениях.
Использование метода множителей Лагранжа для решения задачи минимизации дополнительной энергии при наличии ограничений в виде системы уравнений равновесия, включающих в себя, в соответствии с принципом Да-ламбера, силы инерции.
5. Методика получения верхней, с точки зрения перемещений, границы решения для задач изгиба плит, плоской и пространственной теории упругости, основанная на использовании постоянных и кусочно-постоянных аппроксимаций напряжений по области конечных элементов.
