Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор современных численных методов решения задач расчета конструкций и некоторые вопросы их реализации . 9
1.1. Метод конечных элементов 9
1.2. Метод граничных интегральных уравнений 12
1.3. Применение аппарата обобщенных функций 15
Глава 2. Постановки краевых задач расчета балочных конструкций и корректные методы их аналитического решения 21
2.1. Постановки некоторых одномерных задач строительной механики 21
2.2. Корректный метод аналитического решения краевых задач строительной механики 26
2.3. Примеры постановок и аналитических решений некоторых краевых задач строительной механики 34
2.4 Общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли 42
Глава 3. Общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи об изгибе плиты 53
3.1. О постановках краевой задачи об изгибе плиты 53
3.2. Операторная постановка краевой задачи об изгибе плиты 53
3.3. Представление оператора краевой задачи в декартовых координатах 55
3.4. Представление оператора краевой задачи в граничных координатах 58
3.5. Общая постановка смешанной краевой задачи об изгибе плиты 64
3.6. Безусловная вариационная постановка краевой задачи об изгибе плиты 66
3.7. Граничная постановка краевой задачи об изгибе плиты 68
3.8. Об определении интегралов от ядер граничного оператора краевой задачи об изгибе плиты для линейных участков границы 71
3.9. Постановка краевой задачи об изгибе плиты, используемая для численной реализации 78
Глава 4. Общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи теории упругости 85
4.1. Операторная постановка краевой задачи теории упругости. 85
4.2. Представление оператора краевой задачи в декартовых координатах 86
4.3. Представление оператора краевой задачи в граничных координатах 88
4.4. Общая постановка смешанной краевой задачи теории упругости 89
4.5. Безусловная вариационная постановка краевой задачи теории упругости 90
4.6. Граничная постановка краевой задачи теории упругости 93
4.7. Основные результаты и выводы по Главе 4 95
Глава 5. Численное решение задачи стыковки двух плит 96
5.1. Математическая постановка задачи 96
5.2. Численный подход к построению общего решения задачи 100
5.3. Об определении интегралов от ядер граничных операторов... 102
Глава 6. Численное решение задачи стыковки стенки и балки 108
6.1. Постановка краевых задач и общий вид решения 108
6.2. Численный подход к построению решения задачи 115
6.3. Об определении интегралов от ядер граничных операторов . 115
Заключение 119
Литература 124
Приложение
- Метод граничных интегральных уравнений
- Корректный метод аналитического решения краевых задач строительной механики
- Операторная постановка краевой задачи об изгибе плиты
- Представление оператора краевой задачи в декартовых координатах
Введение к работе
Актуальность работы. Создание и внедрение в современную строительную практику новых видов конструкций, применение разнообразных форм конструирования, внедрение новых материалов и новых технологий строительства определяет актуальность задачи корректного и достоверного численного расчета сложных комбинированных систем. Построение и исследование математических моделей для расчета строительных сооружений, в том числе, расчета комбинированных систем, является одним из важнейших аспектов обеспечения безопасного проектирования.
Учитывая, что сложность соответствующих моделей может быть весьма высока, для достижения требуемой точности и скорости расчетов очевидна необходимость применения ЭВМ. Среди современных вычислительных методов в большей степени внедрены в практику расчета строительных конструкций и сооружений метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). МКЭ имеет полувековую историю развития, хорошо изучен и заслуженно пользуется популярностью в среде расчетчиков. МГЭ появился позднее и, в сочетании с современным уровнем мощности компьютерной техники и программного обеспечения, развития математики в области аналитических методов (теория обобщенных функций, теория граничных интегральных уравнений) открывает новые вычислительные возможности исследования в области расчета конструкций.
В настоящей работе разрабатывается и исследуется методика решения задач расчета комбинированных систем с применением аналитического аппарата теории граничных интегральных уравнений. Стыки конструкций всегда являются зонами повышенной опасности, именно там чаще происходят разрушения. При этом важной исследовательской проблемой является задача расчета соединений конструкций разной размерности или разной ориентации в пространстве (например, стержень, расположенный перпендикулярно к плите, или плиты, расположенные под углом друг к другу). Так же важным является возможность корректного расчета фрагментов сооружений, математическая модель которых состоит из дифференциальных уравнений разного порядка (например, балка на упругом полупространстве или балка, опирающаяся продольно на конструкцию, напряженное состояние которой описывается уравнениями плоской задачи теории упругости, и т.д.). В этих случаях при стандартных подходах с позиций метода конечных элементов имеет место так называемая «несовместность» элементов, примыкающих к линиям или поверхностям стыковок. Это происходит из-за того, что функции формы стыкуемых конечных элементов представлены полиномами разного порядка. Поэтому на границах соответствующих конечных элементов в решениях будут разрывы, что приводит к не всегда контролируемым и предсказуемым погрешностям. Из этого следует актуальность аналитического решения таких задач, позволяющего либо непосредственно осуществить уточненный расчет конструкции, либо использовать его для сопоставления и корректировки результатов численных расчетов.
Целью работы является развитие современных методов расчета сложных строительных конструкций путем корректного совместного численного решения краевых задач на базе метода граничных элементов. Для достижения указанной цели поставлены и решаются следующие задачи:
-
Построение единой методики аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, позволяющей преодолеть трудности, обусловленные явлениями типа краевого эффекта и наличием в решении экспоненциальных составляющих с положительными аргументами (настоящая методика является основой для разрабатываемых подходов к численному решению краевых задач строительной механики для расчета комбинированных систем).
-
Формулировка общей операторной постановки, обеспечивающей должную обусловленность соответствующих дискретных задач и безусловной вариационной постановки (не налагающей дополнительных условий, например, кинематических, на функции из области определения) краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.
-
Формулировка общей операторной постановки в виде единого уравнения, включающего условия внутри области и на ее границе, и безусловной вариационной постановки (пространство функций, на котором функционал определен, не имеет ограничений, кроме наличия второй производной) краевой задачи об изгибе плиты.
-
Формулировка общей операторной постановки в виде единого уравнения, включающего условия внутри области и на ее границе, и безусловной вариационной постановки (пространство функций, на котором функционал определен, не имеет ограничений, кроме наличия первой производной) краевой задачи для двумерной задачи теории упругости.
-
Разработка корректного численного метода решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в разных плоскостях.
-
Разработка корректного численного метода решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой балки-стенки (двумерная задача теории упругости) и балки.
-
Программная реализация и приложение разработанных подходов решения тестовых и практических задач расчета строительных конструкций.
Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
-
Построена единая методика аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, являющаяся основой для разрабатываемых в диссертации подходов.
-
Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи о поперечном изгибе балки Бернулли.
-
Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи об изгибе плиты.
-
Сформулирована общая операторная постановка и безусловная вариационная постановка краевой задачи для двумерной задачи теории упругости.
-
Разработан корректный численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.
-
Разработан корректный численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.
Практическая значимость работы состоит в:
разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений;
разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях;
разработке методики, алгоритмов и программного комплекса, реализующих метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки;
в выполненных расчетах реальных конструкций.
Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов и программ для решения задач расчета строительных конструкций при выполнении научно-исследовательских работ в МГСУ и ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО».
На защиту выносятся:
-
Метод аналитического решения краевых задач строительной механики для обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Общие операторные постановки и безусловные вариационные постановки краевых задач об изгибе плиты, поперечном изгибе балки Бернулли и для двумерной задачи теории упругости.
-
Численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой двух плит, работающих в перпендикулярных плоскостях.
-
Численный метод решения задачи расчета комбинированной системы, образованной стыковкой стенки и балки.
-
Постановки задач, ориентированные на численную реализацию.
-
Решения задач по разработанным численным подходам.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: V, VII научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, 2006, 2008 гг.); XXII Международная конференция «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов BEM&FEM» (Санкт-Петербург, 2007 г.); II Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (Пермь, 2008 г.); научно-техническая конференция Института фундаментального образования МГСУ по итогам научно-исследовательских работ студентов и мо-
лодых ученых за 2007/2008 учебный год (Москва, 2008 г.); научные семинары кафедры информатики и прикладной математики под руководством профессоров В.Н. Сидорова и А.Б. Золотова (Москва, 2002-2009 гг.); научные семинары в Научно-исследовательском центре «СтаДиО» под руководством профессора A.M. Белостоцкого (Москва, 2002-2009 гг.).
Достоверность и обоснованность результатов основана на строгости используемого математического аппарата; сопоставлении полученных результатов с результатами проводимых параллельно контрольных расчетов с привлечением верифицированных программных комплексов промышленного типа; сопоставлении результатов расчета с решениями, полученными по другим аналитическим и численным методам; экспертной оценке точности решений специалистами в области НДС.
Публикации. По материалам и результатам исследований опубликовано 18 работ, из них 3 в журналах перечня ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 187 наименований, и четырех приложений. 140 страниц основного текста и 50 страниц приложений включает 93 рисунка.
Метод граничных интегральных уравнений
Наиболее естественным методом аналитического подхода к задаче стыковки фрагментов сооружений является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ). При этом подходе задача сводится к некоторой системе интегральных уравнений с неизвестными функциями, сосредоточенными по линиям стыковки. Специфика состоит в том, что эти уравнения достаточно разные в случае стыковки таких конструкций как изгибаемая плита и балка-стенка, чья работа моделируется двумерной (плоской) задачей теории упругости. Наиболее сложной в математическом плане здесь оказывается модель плиты, поскольку метод граничных уравнений для нее менее разработан. Поэтому, прежде чем переходить к постановке задачи о стыковке, правильно предварительно провести анализ и реализацию соответствующих ГИУ.
В практическом отношении можно заметить, что, несмотря на широкое распространение метода ГИУ в научных исследованиях, его практическая «промышленная» реализация (а это метод граничных элементов - МГЭ) при расчете сложных конструкций не имеет широкого применения и используется, по-видимому, лишь для отдельных исследований.
Сложность метода ГИУ связана в первую очередь с наличием в уравнениях так называемых сингулярных интегралов, в которых ядра имеют степенные особенности, неинтегрируемые в обычном смысле. Частичные направления ГИУ имеют свои отдельные названия и по-разному выводятся.
Значительный вклад в обобщенное формальное понимание интегральных уравнений был сделан С.Г. Михлиным.
Самое первое название метода, чья идея лежит в основе метода ГИУ, -это метод потенциала. Он возник при решении задач исследования электрических полей. В дальнейшем с его помощью стали исследовать и другие технические задачи, в частности, задачи о напряженно-деформированном состоянии строительных конструкций. Наиболее обстоятельным исследованиям в этом направлении была посвящена работа Н.М. Гюнтера.
В дальнейшем появилось деление таких подходов на прямой и непрямой методы.
Непрямой метод состоит в том, что рассчитываемая конструкция представляется частью бесконечного пространства. Другими словами, она дополняется до некоторой, окаймляющей конструкцию, простейшей конечной (стандартной) или бесконечной области. При этом на границе реальной конструкции прилагается фиктивная нагрузка, обеспечивающая выполнение граничных условий на внутренней части границы. Такой подход часто называется методом компенсирующих нагрузок. Одним из первых авторов, в чьих работах рассматривался метод компенсирующих нагрузок, был Б.Г. Коренев. В изначальной интерпретации непрямого метода принималось, что на границе с окаймляющей областью конструкция не имеет разрыва и, соответственно, ее перемещения непрерывны. В дальнейшем этот метод может быть расширен. Например, при переходе через границу можно допустить разрыв в перемещениях, но при этом обеспечить непрерывность напряжений по нормали к границе и т.д. То есть, в общем случае один скачок полагается нулевым, а второй задается (вычисляется) таким образом, чтобы обеспечить выполнение краевых условий внутри исходной области. Наконец, руководствуясь чисто математическими соображениями, исходящими из теории обобщенных функций, можно в качестве неизвестных принимать скачки искомых функций и их производных по нормали к границе, не придавая этим неизвестным особого физического смысла. Все это также входит в обобщенную концепцию непрямого метода.
В теории упругости были разработаны такие эффективные расчетные методы, как метод компенсирующих нагрузок Б.Г. Коренева, метод расширенной области О.В. Лужина, метод обобщенных решений В.И. Травуша и метод дельта-преобразования А.И. Цейтлина. Как и методы теории потенциала, они основаны на рассмотрении задачи в некоторой расширенной области (конечной или неограниченной) с дополнительными силовыми или кинематическими воздействиями, размещаемыми на границе области или за ее пределами.
Корректный метод аналитического решения краевых задач строительной механики
Пусть матрица А (см. формулу (2.6)) имеет следующее жорданово разложение Jk - жорданова клетка, чаще всего просто число Лк (простое собственное значение), к = 1,..., т, т п. (х) Фундаментальная матрица-функция определяется решением задачи Фундаментальная матрица-функция должна удовлетворять равенству (основному условию): Будем искать фундаментальную матрицу-функцию в виде Заметим, что такое представление допустимо, поскольку матрицы Т и Г-1, очевидно, невырожденные. Следовательно, подставляя (2.11) в (2.8) и учитывая, что E = TT l, а также вид матрицы J, получим: Умножая это равенство на Т 1 слева и на Г справа, получим: Рассмотрим случай, когда жорданова клетка имеет единичный порядок, т.е. Я - так называемая простая точка спектра. В этом случае соответствующее уравнение из системы (2.12) имеет вид Тогда имеем: -приЯеЯ/, 0 (є0(хУ)и=х(х)ехтр(Лрх), (2.13) - при К&Яр 0 (є0 ( )),.,. = х(-х) ехр(Ярзс), (2.14) -при Re4 =0 (oW)«= )» (2Л5) где лг(х) - функция Хависайда. Можно показать, что из общего условия (2.10) вытекает, что Пусть А - действительная матрица, имеющая только простые собственные значения. Любому комплексному собственному значению Л = а + іР соответствует сопряженное Я —a — ip. Имеет место в этом случае следующее соответствие жордановых клеток: Этой паре собственных значений соответствует пара комплексных собственных векторов х = її + iv и у = її - iv . Данную пару после перехода (2.17) заменим также соответствующей парой действительных векторов: х — и +iv и y = u-iv— x=uny=v. (2.18) Действуя подобным образом, можно перестроить матрицы Т и Т х, «сделав» их действительными. Соответствующая матрица є0 (х) имеет вид Таким образом, при построении общего вида фундаментальной матрицы-функции в случае действительной матрицы А можно обойтись без комплексных чисел. Можно показать, что общее решение задачи (2.6) записывается в следующем виде: где є(х) - фундаментальная матрица-функция системы (2.6). Обоснуем справедливость этой формулы. Основное операторное соотношение для рассматриваемой краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид где L - дифференциальный оператор рассматриваемой задачи, (2.23) в = 6{х) - характеристическая функция области определения рассматриваемой краевой задачи (здесь отрезка (0, ) ), g — соответствующее граничное неизвестное. Далее, из условия Ly = f следует равенство откуда На основании формулы (2.27) получаем: Из свойств фундаментальной матрицы-функции следуют полезные для проводимого обоснования равенства: при произвольных JC 0 и t О Вводя обозначение можно показать, что из (2.28) вытекает (2.21). Действительно, свойства (2.29)-(2.30), отнимем от правой части полученного равенства нулевые выражения Тогда Следовательно и доказывает эквивалентность формул (2.21) и (2.28). Вводя обозначения переписываем (2.21) в виде Подставляя (2.33) в краевые условия, получим: или в развернутом виде Поскольку получим:
Операторная постановка краевой задачи об изгибе плиты
Рассмотрим задачу теории упругости аналогично тому, как это было сделано выше по отношению к задаче об изгибе плиты. Будем, как правило, пользоваться введенными там обозначениями. Операторная формулировка двумерной задачи для естественных краевых условий имеет вид где компоненты тензора напряжений определяются формулами В свою очередь, входящие в это представление компоненты тензора деформаций имеют вид Кроме того, 1=1 Sy - символ Кронекера; ut - компоненты вектора перемещений; Л, /л — параметры Ламе; Ff - компоненты вектора объемной нагрузки; fi - компоненты вектора граничной нагрузки; со - стандартная расширенная область: Q cz со, О. — исходная область, занимаемая рассчитываемым объектом (рис. 3.1); в = в{х)—характеристическая функция области Q: 0(x) = , х EQ О , xeQ. С учетом формул (4.2) - (4.3) запишем задачу (4.1) в развернутом виде [dje/jdju, +(dJejudl + di0AdJ)uJ] + aFi + srfi = о, І = \Л (4.4) 4.2. Представление оператора краевой задачи в декартовых координатах Задачу (4.1) можно представить в виде L\0a = 0F+Srf, (4.5) где L\ = д\ О д2 о д\ a; j и т = [ап а22 ап]т, д\=-дк, к = 1,2. Из формул (4.2) следует представление для вектора напряжений сг : а = Сє , (4.6) где є - [єп є22 \2 \ "2// +Я Я О" С= Я 2// + Я 0 и О О ju В свою очередь из формул (4.3) вытекает представление для вектора деформаций є: д2и2 (4.7) _(д2щ+д1и2)/2_ или хи , є = L,u (4.8) где Lx = "5, 0" 0 д2 A 5i_ Таким образом, оператор L задачи теории упругости может быть представлен в следующем мультипликативном виде X-/ — X/ V X-fj (4.9) Рассмотрим действие оператора L на функции, имеющие скачок при пересечении границы области, т.е. и = Ш. L0u = LxCLx0u. В последующих выкладках воспользуемся соотношениями Lx0 = 8rTv и L\6 = -5rTl, где о и Г = Г, = г,= о V\ 0" 0 2 Уг п_ Рассмотрим действие дифференциального оператора Lx на произведение характеристической функции области в и вектор-функции и : ЬХШ = (Lx0)(u) + в{Ьхй) = 8rTvu + 0Lxu. Подставляем полученное выражение в исходный оператор: Lx CLX вії = Lx 6CLX її + LX CSrTv її Рассмотрим выражение для сопряженного дифференциального оператора Ґх9ц/ , где у/ = у/{х) = \ц/х (х) ц/2(х) з(х)] — произвольная вектор-функция, имеющая первую производную: L\ey7=(L\e)y7 + e(L\ipr) = -8тҐуф + 9Ь\у7. Заменим ц/ на CLxu и подставим в полученное ранее промежуточное выражение исходного оператора L0w = eLw- SrT CLxu + L\CdTTvu Обозначим = -SrT CLl3 (4.10) тогда f= L\CTvST. (4.11) Таким образом, приходим к следующему виду оператора задачи, определенному на всем пространстве ЬШ = вЬй + й- й. (4.12) Преимущество предлагаемой постановки (4.12) состоит в явной записи операторов, которые необходимы для дальнейших исследований. Кроме того, такая постановка правильно отражает весовые характеристики, соответствующие как операторам внутри области, так и операторам на границе, и может рассматриваться на любой окаймляющей области. 4.3. Представление оператора краевой задачи в граничных координатах Определим полученную в предыдущем пункте основную формулировку краевой задачи применительно к граничным координатам. Точнее, переопределению подлежат граничные дифференциальные операторы и . Для этого воспользуемся представлением операторов I, и І, в граничных координатах: Lx = Tvdv + Гтдт и L\ = d v Г + д тГ . Це Подставим эти выражения в и : = -5ГТІСЦ =-5rT vC(Tvdv +Гтдт) = -8r{TlCTvdv +ҐуСГтдт), -ґ= L\crvsr = (dX +dX)crvsr = (dXcrv +dXcrv)sr. Введем следующие обозначения с = г ст =с с =г ст с = г сг =с г =г ст Перепишем выражения для и : = -Sv{Cvvdv+CvrdT) (4.14) =(d vCl+Kclr)ST (4.15) Кроме того, заметим, что дт и дт перестановочны с Sr и дт = -дт. Тогда i-f =-5T[Cvvdv+(CVT+Cl)dr] + d vCvvST (4.16) Введем следующие обозначения для физико-геометрических понятий и соответствующих им дифференциальных операторов. = Lau = - вектор напряжений внутри области, а = 12. где La — оператор вычисления внутренних напряжений: av = L u — нормальные напряжения, где L , — оператор вычисления нормальных напряжений: L =T L Используя представленные выше обозначения, получаем следующее операторное соотношение (4.17) L0u - OLu — 5T JV + L Sj-u Такая запись операторной постановки включает в явном виде непосредственно физические величины, которые определяют краевые условия. 4.4. Общая постановка смешанной краевой задачи теории упругости Определим характеристические функции кинематических и естественных краевых условий: Г1, її - задано Ґ0, ст., - не задано к(х) = \ _ = к(х) = \-к(х) = \ _У , (4.18) [О , и-незадано (1, JV - задано Таким образом, характеристические функции к(х) и к(х) в стандартных случаях ортогональны. Это отражает физическую суть краевых условий, т.е. на границе заданы либо перемещения, либо напряжения. Далее, если некая величина «о» задана, будем обозначать её «о». Например, при fc(x) = 1 - заданы краевые условия первого рода, т.е. й = й , а при к(х) = 0 — краевые условия второго рода, т.е. б\, = JV . Введем следующий полезный для дальнейшего изложения оператор LQ=9L + (4.19) Этот оператор можно представить также в виде L0=L\9CLX, (4.20) откуда следует, что он самосопряженный. Тогда основное операторное соотношение (4.12) можно представить в виде LOw = L0w — I w (4.21) Обозначим нагрузку внутри области FQ, т.е. OLw = FQ. Представим основное операторное соотношение (4.17) в виде LOw = F0 - 8т{к + K) JV + ҐаУдг(іс + к)и здесь используется соотношение к + к = 1 . С учетом краевых условий разобьем на группы заданные и неизвестные величины
Представление оператора краевой задачи в декартовых координатах
Получена явная форма оператора краевой задачи, которую, следуя терминологии строительной механики, можно назвать оператором жесткости. Область определения этого оператора в общем случае не предполагает специальных кинематических (главных) условий на искомые функции. Предлагаемый подход обеспечивает правильную обусловленность соответствующих дискретных задач, следующих из операторной постановки. Соблюдается согласованность «весовых» характеристик условий на границе и внутри области определения краевой задачи. Например, при решении рассматриваемой задачи методом конечных разностей (МКР), общий множитель при каждом разностном операторе в полученной операторной постановке будет один и тот же (1//И, где h — шаг разностной аппроксимации по координате х). В свою очередь, это обеспечивает правильное вычисление невязки по ее норме при использовании итерационных процессов и общей проверке решения.
Предложенная в диссертации вариационная формулировка задачи является безусловной, т.е. не налагает никаких дополнительных условий (например, кинематических) на функции из области определения. Решением исходной задачи является стационарная точка полученного функционала. Функционал не является положительно определенным. Это обстоятельство возникает, впрочем, только при наличии в функционале членов, учитывающих кинематические условия. Можно сказать, что полученный функционал является безусловным (с точки зрения отсутствия дополнительных условий) обобщением функционала Лагранжа. Функционал Лагранжа получается из него, если его рассматривать на множестве функций с соответствующими кинематическими ограничениями. Неположительная определенность носит локальный характер, т.е. в основном весь спектр соответствующего функционалу дифференциального оператора положителен и лишь небольшое конечное число точек спектра, при континуальной задаче, являются неположительными. Получаемые из функционала дискретные операторы обеспечивают правильное вычисление невязки.
Получены явные формы операторов краевых задач, которые можно назвать операторами жесткости. В работе общий оператор краевой задачи связан с понятием расширенной области. Полученные постановки представляют собой единые уравнения, включающие в себя все условия, определяющие краевую задачу как внутри области, так и на ее границе. При этом сформулированную таким образом краевую задачу можно рассматривать на любой области, окаймляющую исследуемую. Такая постановка правильно отражает весовые характеристики, соответствующие как операторам внутри области, так и операторам на границе. Другим важным фактором является использование в постановке граничных координат, что позволяет наиболее удобным образом определить граничные условия для смешанной краевой задачи.
Полученные функционалы являются безусловными, т.е. пространство функций, на котором они определены, не имеет ограничений, кроме наличия второй производной для задачи об изгибе плиты и первой производной для двумерной теории упругости. Поскольку такие функционалы при некоторых кинематических условиях могут не быть положительно определенными, решением вариационной задачи является не минимум, а стационарная точка функционала. Эти функционалы можно назвать обобщенными функционалами Лагранжа. Если рассматривать их на множестве функций, удовлетворяющих кинематическим ограничениям, то получим обычные функционалы Лагранжа.
Полученный алгоритм разработан на основе непрямой постановки метода граничных элементов. Представлены математические формулировки краевых задач для каждой из плит, а также уравнения стыковки. Постановка соответствующих краевых задач включает в себя как задачу об изгибе плиты, моделирующую ее работу из своей плоскости, так и задачу теории упругости, моделирующую работу плиты в своей плоскости. Представлен общий вид решения для каждой из рассматриваемых краевых задач. На основании кусочно-постоянной аппроксимации неизвестных граничных функций получен переход к системе линейных алгебраических уравнений. Определены интегралы от ядер граничных операторов задачи теории упругости и задачи изгиба плиты, а также производные от них.
