Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Продольная деформация балки, взаимодействующей с дискретными опорами и сплошным основанием при помощи трения кулона
1.1. О минимизации выпуклых и недифференцируемых функционалов в задачах строительной механики 21
1.2. Продольная деформация многопролетной балки, взаимодействующей с жесткими дискретными опорами посредством трения 25
1.3. Продольная деформация многопролетной балки, взаимодействующей с упругими дискретными опорами посредством трения 46
1.4. Продольная деформация балки, взаимодействующей со сплошным упругим основанием посредством трения 66
ГЛАВА 2. Изгиб балки, взаимодействующей с упругим основанием посредством трения кулона 104
2.1. Изгиб балки, взаимодействующей с линейно-упругим основанием посредством трения 104
2.2. Изгиб балки, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием посредством трения 139
ГЛАВА 3. Действие движущихся ледовых образований в шельфовой зоне моря на заглубленный в грунт трубопровод 164
3.1. Общая расчетная схема. Варианты движения грунта относительно трубопровода и их воздействия на трубопровод 164
3.2. Метод расчета трубопровода при помощи итераций по нагрузке с использованием метода поточечной релаксации на каждом ее шаге 168
3.3. Процесе итераций, основанный непосредственно на методе поточечной релаксации с включением в него кинематического воздействия 175
3.4. Результаты расчетов трубопроводов 186
ГЛАВА 4. Линейная задача дополнительности в применении к расчету упругих систем с идеальными односторонними связями и трактовка методов ее решения в форме методов строительной механики . 206
4.1. Метод сил 207
4.2. Примеры расчета систем с идеальными односторонними связями методом сил 223
4.3. Метод перемещений 243
4.4. Примеры расчета систем с идеальными односторонними связями методом перемещений 253
4.5. Смешанный метод 267
ГЛАВА 5. Линейная задача дополнительности в применении к расчету систем с трением 276
5.1. Продольная деформация многопролетных балок, взаимодействующим посредством трения с дискретным или сплошным основанием 276
5.2. Изгиб многопролетных балок, взаимодействующих с упругим основанием посредством трения Кулона 299
5.3. Модернизация метода блочной релаксации на основе алгоритма Лемке для расчета продольной деформации балок, взаимодействующих посредством трения с дискретными жесткими опорами 309
5.4. Применение алгоритма Лемке к решению задач с односторонними связями и трением Кулона 315
Заключение 327
Список литературы
- Продольная деформация многопролетной балки, взаимодействующей с упругими дискретными опорами посредством трения
- Изгиб балки, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием посредством трения
- Метод расчета трубопровода при помощи итераций по нагрузке с использованием метода поточечной релаксации на каждом ее шаге
- Примеры расчета систем с идеальными односторонними связями методом перемещений
Введение к работе
Актуальность проблемы. Одной из важнейших задач, часто встречающейся при расчете конструкций в строительстве, машиностроении, приборостроении, робототехники и других отраслях инженерной деятельности, является задача определения усилий контактного взаимодействия между деформируемыми телами или частями одного и того же тела с заранее неизвестной зоной контакта. Во многих случаях именно состояние контактной зоны является определяющим с точки зрения прочности и работоспособности сооружений и конструкций. Область строительной механики, относящаяся к задачам контактного взаимодействия деформируемых тел, одна из наиболее динамично развивающихся областей механики. Практика ставит множество новых проблем, требующих постановки новых задач и разработки методов их решения. Как правило, эффективными оказываются проблемно-ориентированные методы и алгоритмы, которые учитывают специфические особенности приложений. Несмотря на большое число работ, посвященных задачам с односторонними связями и трением Кулона, остается еще много нерешенных проблем, относящихся к строительной механике и представляющих большое значение для практики. Постановкам и разработкам методов решения некоторых из подобных задач посвящена настоящая диссертация.
Цели работы состоят в следующем: постановка задач строительной механики для продольной и изгибной деформаций балки, взаимодействующей посредством трения Кулона (при заданном предельном трении) с линейно и нелинейно-упругим винклеровским основанием; разработка методов, алгоритмов и их программная реализация для решения указанных задач; применение разработанных методов к расчету магистральных трубопроводов, трубопроводов, проходящих по дну шельфовой зоны морей или заглубленных в грунт с нелинейно-упругими характеристиками, и предназначенных для транспортировки нефти и газа; решение задач с идеальными односторонними связями на основе задачи дополнительности, алгоритма Лемке и его модификаций и трактовка этих алгоритмов в духе методов строительной механики; применение линейной задачи дополнительности и алгоритма Лемке к решению задач с заданными предельными силами трения; применение линейной задачи дополнительности и
алгоритма Лемке к решению задач одностороннего контакта с трением Кулона с использованием известного метода итераций по предельным силам трения. Научная новизна.
- Сформулированы вариационные постановки задач и разработаны методы их
решения для продольной и изгибной деформации балки, взаимодействующей
посредством трения Кулона с дискретными опорами (жесткими и/или упруги
ми) или со сплошным упругим основанием винклеровского типа при заданном
предельном трении;
Разработаны методы и алгоритмы расчета балки-трубопровода, находящейся в нелинейно-упругой среде под действием заданных перемещений грунта, получены решения ряда конкретных задач и выполнен анализ как эффективности предложенных методов расчета, так и полученных результатов;
Для задач идеального контакта упругих деформируемых тел на примере плоской задачи теории упругости показан способ дискретизации, приводящий к проблеме условной оптимизации квадратичного функционала, условия Куна-Таккера для которого приводят к линейной задаче дополнительности; разработаны варианты алгоритма Лемке для решения линейной задачи дополнительности и предложена их трактовка в форме классических методов строительной механики — метода сил, метода перемещений, смешанного метода — с привлечением понятий: «основная система», «единичные и грузовое состояния», «условие эквивалентности заданной и основной систем»;
Для задач расчета продольной и изгибной деформации балки, взаимодействующей с упругим винклеровским основанием посредством трения Кулона, показан способ сведения проблемы безусловной минимизации выпуклого недиф-ференцируемого функционала к проблеме условной минимизации выпуклого дифференцируемого функционала, условия Куна-Таккера которого приводят к линейной задаче дополнительности стандартного вида. Разработаны соответствующие алгоритмы решения линейной задачи дополнительности; выполнено сопоставление разработанного метода и метода поточечной релаксации;
Разработан вариант метода блочной релаксации, объединяющий в себе сильные стороны методов поточечной релаксации и решения линейной задачи дополнительности. Показано применение алгоритмов линейной задачи дополнительности к решению задач с односторонними связями и трением.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием корректных математических методов, исследованием внутренней сходимости итерационных процессов и сопоставлением решений, полученных различными способами.
Практическая значимость. Разработки и рекомендации, полученные в диссертации, имеют теоретическое и практическое значение для развития и построения численных алгоритмов расчета систем с односторонними связями и трением Кулона. Проведена серия расчетов различных заглубленных в грунт шельфовой зоны моря трубопроводов на действие движущихся ледовых образований; рассмотрены различные типы оснований (глина, песок) и их жестко-стные характеристики. Выполнен анализ полученных результатов.
Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на: Третьих чтениях памяти проф. М. П. Даниловского «Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного комплекса» (Хабаровск, 2000 г.); Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Пермь, 2001); Региональной научно-практической конференции «Дальний Восток: проблемы развития архитектурно-строительного комплекса» (Хабаровск, 2003 г.); XX и XXI международных конференциях «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2003, 2005 гг.); Третьей международной научной конференции «Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке» (Хабаровск, 2003); Международной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (Хабаровск, 2003); VI международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (Санкт-Петербург, 2005 г.); Кафедре «Строительная механика и теория упругости» СПбГПУ (2003, 2005); Международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» (Москва, 2006); Международной научной конференции НАС ТОГУ «Новые идеи нового века» (Хабаровск, 2001, 2002,2006).
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 204 наименований; изложена на 352 страницах, содержит 135 рисунков и 13 таблиц.
Автор выражает глубокую признательность заслуженному деятелю науки я техники РФ, доктору физико-математических наук, профессору Л. А. Розину га постоянное внимание к работе, ценные советы и консультации.
Продольная деформация многопролетной балки, взаимодействующей с упругими дискретными опорами посредством трения
В строительной механике встречаются задачи, при решении которых возникает проблема минимизации выпуклых функционалов. Обычно подобные функционалы представляют собой интегралы по пространственным переменным, куда входят выпуклые функции от перемещений v точек системы. Выпуклая функция Ф(у) от перемещения v удовлетворяет условию справедливому для любых значений v,, v2 при любом параметре X, удовлетворяющему условию 0 Я 1. Если рассматривать, например, обычную пружину с нелинейно-упругой характеристикой жесткости, то выпуклая функция Ф(У) есть накопленная пружиной энергия при условии, что ее упругая характеристи ка является вогнутой функцией. Вогнутая функция удовлетворяет условию ти па (1.1), но с противоположным знаком неравенства [129]. В случае, когда в (1.1) стоит только знак неравенства функция или соответственно функционал называются строго выпуклыми. Если, согласно [32], функционал J(v) строго выпуклый, непрерывно зависит от v и J(v) — со при v — со, то существует единственное решение w задачи минимизации
Вариационная задача типа (1.2) часто встречается в строительной механике и в настоящей работе будет неоднократно рассматриваться. Оговоримся, что здесь пока не идет речь о возможных дополнительных условиях, которые могут иметь место в задаче (1.2).
Существуют приближенные численные методы решения задачи (1.2). Выбор того или иного метода зависит от характера задачи и эффективности его компьютерной реализации. Обычно процесс приближенного решение задачи (1.2) состоит из двух этапов. На первом этапе выполняется дискретизация задачи (1.2). Для этого существуют различные приближенные подходы, например, метод конечных разностей, метод конечных элементов, использование для интегралов квадратурных формул и т. п. На втором этапе строится тот или иной итерационный процесс минимизации дискретной задачи. Следует отметить [115], что в строительной механике стержневых систем, связанных с дискретными опорами, дискретизация осуществляется точно.
Запишем задачу (1.2) после дискретизации в виде Для приближенного решения (1.3) будем пользоваться методом поточечной релаксации. Это итерационный метод, который состоит в следующем. Начиная с задания первого приближения w! і = ({,...,т) и предполагая w, - і = ({,,..,т) известным в приближении г, будем вычислять последовательность w.+l для г = (1,...,т) как решение задачи
При этом предполагается, что функционал J (v,) является дифференцируемым. Если функционал нелинейный, но не квадратичный, то (1.4) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение относительно v(. Последовательно решая уравнения (1.4), получим процесс последовательных приближений к решению задачи (1.3). Если дискретизация функционала J(v) проведена корректно, то функционал J (у) приближается функционалом J1 (vt) в (1.3) и обладает также как и функционал J(v), свойствами выпуклости и дифференцируемое.
Тогда, как показано в [32], сходимость метода поточечной релаксации при решении задачи (1.3) имеет место, что позволяет получить приближенное решение задачи (1.2). Поточечная релаксация по существу представляет собой последовательную минимизацию функционала J1 по v. для отдельных значений /. Особенно эффективна поточечная релаксация для одномерных задач. В этом случае часто удается использовать для ее реализации компьютерные программы типа MathCAD, MatLAB и т. п. По существу все зависит от построения решения уравнения (1.4) и числа точек дискретизации т.
Можно поточечную релаксацию модифицировать в виде блочной релаксации, когда на каждом шаге итерационного процесса минимизируется функционал не при одном значении г, а при нескольких значениях /. Тогда вместо одного уравнения (1.4) на каждом шаге придется решать уже соответствующую систему подобных уравнений. Переход к такому приему всякий раз должен быть оправдан более эффективной реализацией расчета.
Выше предполагалось, что выпуклый функционал J [у) является непрерывным и дифференцируемым. Однако в задачах строительной механики, где рассматриваются силы трения Кулона, функционал J {у) остается выпуклым, но становится недифференцируемым. Общий вид подобного функционала после дискретизации будет где j[ (v() выпуклый и дифференцируемый функционал. Наличие подчеркнутого члена в (1.5) оставляет функционал J1 (v,) выпуклым, но делает его недифференцируемым вследствие появления членов с [vj. Задачу с недифференцируемым функционалом типа (1.5) можно методом регуляризации свести к задаче с дифференцируемым функционалом. Например, если вместо подчеркнутого в (1.5) члена рассматривать
Изгиб балки, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием посредством трения
Результаты расчета при различных значениях коэффициента трения представлены на рис. 1.4, б, в. Увеличение коэффициента трения приводит к уменьшению перемещений и увеличению значений продольных сил. Скачки на эпюрах продольных сил равны предельным силам трения, поскольку на всех опорах реализуется предельное трение ( и( Ф 0, / -1,..., 5 ).
Отслеживание изменения решения от итерации к итерации позволяет заключить о монотонной сходимости итерационного процесса. Скорость сходимости зависит от выбора начального приближения. Приведем данные для случая / = 0.1. Параметр окончания итерационного процесса q подсчитывался по формуле q- Yjк- иҐ /Хп сли в качестве начального приближения принять wf -0, (7 = 1,...,5) (приближение u =0), то сходимость по перемещениям на опорах и\ практически достигается при г - 30, когда q = 2.7 10"3. При этом относительная максимальная разность двух последних приближений не превышает 1.2%. По продольным силам, подобная относительная разность не превышает 4% при г = 5 0, когда q = 1.9 10"4.
Если в качестве w, (i = l,...,m) выбрать значения перемещений на опорах при отсутствии трения (приближение и(/ = 0)), то указанная выше точность достигается для перемещений и\ при г -10, а для сил NJ при г = 40.
В то же время численные эксперименты показали, что при / -1 в качестве начального приближения сходимость будет быстрее, если выбрать приближение и0 = 0.
Отмеченная особенность численных решений исследовалась на той же задаче, когда итерационный процесс обрывался по достижении требуемой точности q вычисления продольных усилий в балке на последних двух итерациях. При этом q вычислялся по формуле q = max
Коэффициент трения пробегал значения 0.3, 1.0, 10.0. Рассматривались два начальных приближения: ц=0 и и(/ = 0). Нарис. 1.5 показана зависимость количества итераций от коэффициента трения, начального приближения параметра q.
Зависимость количества итераций от коэффициента трения/и параметра окончания итерационного процесса q для начальных приближений: Й-нулевого; б-в отсутствии трения Из анализа рис. 1.5 следует, что при малом трении в качестве начального приближения лучше принимать ии(/-0), а при большом трении принимать и = 0.
При расчете балок с большим количеством пролетов обнаружилось замедление скорости сходимости итерационного процесса - количество итераций увеличивалось примерно на порядок при удвоении числа пролетов. Для ускорения метода поточечной релаксации был, поэтому, применен прием построения верхней (нижней) релаксации (1.35). Целью дальнейших численных расчетов являлось получение рекомендаций по назначению величины оптимального параметра релаксации со для задачи продольного деформирования балки, взаимодействующей с жесткими дискретными опорами посредством трения Кулона.
Рассматривалась балка, имеющая поперечное сечение и характеристики материала такие же, как в предыдущей задаче (рис. 1.4, а). Количество пролетов т принималось последовательно равным 10, 20, 30, 50, 100. Длины пролетов /. =2JW (i = 2,...,m-l), /, = lm = 1 м. Коэффициент трения / принимал значения 0.1, 0.3, 0.5, 0.8, 1.0, 2.0. Прижимающие силы Fni= 40 кН (/ = 2,...,/я-2), К\ =Кт-\ =20к#, Fmi -0. Температура Т = ШС на всем протяжении балки.
Сначала исследуем численную сходимость метода релаксации в зависимости от q = max N. - N- ] / Щ - задаваемой точности определения продольных сил на двух соседних итерациях. Для этого рассмотрим балку, взаимодействующую с опорами с коэффициентом трения / - 0.3 и переменными количеством участков т, параметром релаксации т и q. Кроме того, примем разные начальные приближения: и0 =0 и и(/-0). Количество участков примем последовательно равным 10, 20, 30, 50, 100.
На рис. 1.6 для т = 20 и приближения и(/=0) показана зависимость количества итераций у (обеспечивающих заданную точность q) от (о. Числами на диаграмме показано количество итераций, потребовавшихся для обеспече» ния заданной точности д = ]-).0 л. Наименьшее количество итераций, соответствующее со - соор1 = 1.85, примерно в 4 раза меньше, чем при со = 1. Из гистограммы ясно, что эффективным оказался метод верхней релаксации, для которого, по определению, 1 0) 2.
Обращает на себя внимание скачкообразное уменьшение числа итераций при й = 1, что встречается и при решении линейных задач [130]. Отметим также, что: для метода полной релаксации (& = 1) количество итераций существенно зависит от q; количество итераций для метода верхней (нижней) релаксации практически не зависит от q; параметр релаксации со ( также практически не зависит от q.
Число итераций, соответствующее coopt, обозначим / . Число итераций, соответствующее & = 1, обозначим yv При со 1, т. е. при w[+1 =гґ (см. формулу (1.35)), происходит резкое (примерно в 2 - 3 раза) возрастание числа итераций, необходимых для обеспечения увеличивающейся точности расчета. При этом как количество итераций, так и решение задачи существенно зависят от заданной точности д. Например, при т = 20, q=l 10"2 и начальном прибли а жении u - 0 получено решение ит (рис. 1.7, а). Это решение качественно отличается от точного и(х). Реакции трения опор Ft]% оказались значительно больше предельных сил трения fj\Fnj\ (рис. 1.7, б). При увеличении требований к точности расчета (q = l-10 3) графики перемещений ийЛ% и и(х) совпадают (рис. 1.7, а). Однако реакции трения F i% по-прежнему больше предельных сил трения (рис. 1.7, в). При q 1 1 (Г4 получено практически точное решение.
На рис. 1.7, а, кроме того, показаны эпюры перемещений, полученные для разных номеров итераций одного расчета при q = 1 10"2. Эти эпюры на рисунке обозначены числами, соответствующими номеру итерации. По ним можно судить о монотонном приближении решения к окончательному - в данном случае физически противоречивому - решению и1%. Как видно из рисунка, решения на смежных итерациях незначительно отличаются один от другого. При малой заданной точности решения это может привести (и приводит) к преждевременному окончанию итерационного процесса, результатом которого является физически противоречивое решение.
Метод расчета трубопровода при помощи итераций по нагрузке с использованием метода поточечной релаксации на каждом ее шаге
Обратимся к примерам решения конкретных задач, которые позволят во-первых оценить эффективность предложенного алгоритма метода поточечной релаксации для решения вариационной задачи (1.72) и во-вторых выяснить, на основе рассмотрения внутренней сходимости, влияние величины шага дискретизации /;. на точность решения непрерывной задачи. При численном решении оба указанных фактора связаны между собой, а на них, в свою очередь, влияют различные параметры задачи. Определенные выводы можно будет сделать на основе приведенных ниже результатов расчетов.
Поскольку задача расчета продольной деформации балки на сплошном основании (1.69) свелась к задаче расчета балки на дискретных опорах (1.72), то особенности численной реализации, касающиеся выбора значения параметра релаксации близкого к оптимальному; зависимость со от К, /, т, подробно рассмотрены в и. п. 1.2, 1.3. Главный интерес в этом параграфе представляет процесс внутренней сходимости.
Была проведена серия расчетов выше описанной балки при различных сочетаниях величин коэффициента трения, жесткости основания, температурного воздействия. Во всех этих расчетах наблюдается совпадение численных и теоретических результатов с точностью, задаваемой параметром q. Последний понимается как относительная разность величии продольных сил на двух последних итерациях: Указанная оценка точности (1.109) относится к продольным силам N . Сразу следует отметить, что сходимость по перемещениям достигается в несколько раз быстрее. Поэтому оценка (1.109) является более требовательной к числу итераций, чем аналогичная оценка по перемещениям. Оказалось, что в рассматриваемых задачах достаточно принять g-1-ІО"5, чтобы обеспечить равенство вычисленных реакций трения и известных предельных сил трения в зоне проскальзывания с погрешностью не более 3 %. Количество пролетов дискретизо-ванной задачи при этом равнялось 80 - 160. Подтвердилась сильная зависимость б)0}1 от числа пролетов т и гораздо меньшая его зависимость от / и К.
Подтвердилась также сильная чувствительность скорости итерационного процесса к значению параметра релаксации.
Обратимся далее к решению более сложных задач. Рассмотрим первоначально балку, лежащую на сплошном жестком основании и взаимодействующую с ним посредством трения. Продольную жесткость балки примем
Длину балки положим равной / = 159 м. Суммарная поперечная нагрузка по модулю равна 6320 кН и равномерно распределена. Положим коэффициент трения / =0.3. Примем коэффициент линейного температурного расширения а = 12.5-10 \ В качестве внешнего продольного воздействия на балку примем температуру. На каждом участке / температуру будем считать постоянной и равной Ґ =30 sin (З тіх(- /7), где х( - координата х узла г=1, ...,т. В качестве начального можно принимать приближения u =0 или u(/ = 0). Точность решения будем оценивать величиной q, определяемой выражением (1.109).
Параметр релаксации принимался 1.8 для т 100 и 1.97 - 1.99 для т 100. Если обозначить через у число итераций, обеспечивающих точность 7 = 0.001, то результаты получаются следующими: (т-10, у = 152), (/я = 20, у = 444), (/и = 40, у = 1671), (/и = 160, у = 2858), (т=320, у =-3101). Отметим, что, например для т = 160 при со = 1.8 величина у = 19543, в то время как при со = 1.97 имело место у = 2858. При этом для со = 2 число итераций резко возрастает. Таким образом, наблюдается сильная чувствительность скорости итерационного процесса к значению параметра релаксации со. Для ш 100, что, как правило, имеет место при аппроксимации непрерывного жесткого основания дискретными опорами, коэффициент со следует выбирать равным 1,97-1.99.
Обратимся теперь к выяснению влияния числа участков т на внутреннюю сходимость решения для данной задачи. На рис. 1.30, а показано изменение продольных сил N (/ = 1, ;Гп) вдоль х в зависимости от числа участков т. Ступенчатые эпюры для N1, отвечающие т = 10, 20, 40, 80, 160, 320 позволяют заключить, что уже при т = 80 достигается приемлемая точность для N .
Примеры расчета систем с идеальными односторонними связями методом перемещений
В настоящем параграфе рассмотрим изгиб балки, взаимодействующей с нелинейно-упругим основанием при учете трения Кулона [119]. Подобные задачи встречаются при расчете трубопроводов, проходящих в шельфовой зоне морей и предназначенных для транспортировки нефти и газа. На практике возникает потребность в расчетной схеме показанной на рис. 2. 18. В ней представлены три слоя грунта. Слой 1 над трубопроводом, Слойг, в котором расположен трубопровод, с толщиной равной его диаметру. Слой 2 расположенный ниже трубопровода. Перемещения грунта в слоях 1,2 становятся возможными только в результате их взаимодействием с трубопроводом посредством соответствующих сил трения. Балка-трубопровод расположена вдоль оси х и изгибается в плоскости xz вдоль оси z. Как и прежде: I длина балки; Е, I - соответственно модуль упругости материала балки и момент инерции его поперечного сечения. Слой 1 грунта схематизируется нелинейно-упругой пружиной Кк.. Взаимодействие между трубопроводом и этим слоем осуществляется при помощи силы трения Кулона Fu с коэффициентом трения fx. Слой z грунта в пределах диаметра трубопровода схематизируется нелинейно-упругой пружиной Kz. На трубопровод действует нагрузка р(х). Слой 2 схематизируется нелинейно-упругой пружиной К2с. Взаимодействие между трубопроводом и этим слоем осуществляется при помощи силы трения Кулона F2j с коэффициентом трения f2. Обозначим заданную силу, прижимающую трубопровод к слоям вдоль оси у через FH 0. Для всех сил (кроме FH) и перемещений на рис. 2.18 указаны их положительные направления.
Обратимся к условиям на контактах балки со слоями 1 и 2. Величины возможного взаимного проскальзывания между балкой - трубопроводом и соответственно слоями 1 и 2 будут
На контактах балки со слоями 1 и 2 при условии простого нагружения [26, 21] имеем известные условия трения Кулона. Слой 1:
Из условий (2.42) следует, что в случае допредельного трения, когда для слоя 1 в 1, (2.42) имеет место строгое неравенство, из 2] (2.42) имеем Awfz = 0 и wlc=-w. Другими словами отсутствует взаимное смещение между слоем 1 и трубопроводом, т. е. трубопровод прилипает к слою 1. При этом пружина К[с воздействует на трубопровод посредством силы трения Flr В аналогичном случае для слоя 2 имеет место Aw2z = 0 и w2c = -w. Здесь пружина К2с воздействует на трубопровод посредством силы F2l.
В случае предельного трения, когда, например, для слоя 1 в условии 1, (2.42) имеет место строгое равенство, на основании 2, (2.42) возникает проскальзывание между трубопроводом и слоем 1. При этом к трубопроводу приложена сила трения j-fi(J = ./ij „} а пружина Кіс не взаимодействует с трубопроводом. Аналогичная ситуация имеет место для слоя 2, трубопровода и пружины К2с.
Перейдем теперь к деформационным характеристикам нелинейно-упругих пружин. Рассмотрим пружину, например, К2. Обозначим силу в пружине qjw), которую будем считать положительной при сжатии, т. е., при w 0. Для того, чтобы в дальнейшем поставленная задача имела единственное решение, и предлагаемые ниже методы ее решения были математически корректными, требуется, чтобы функция q.(w) была вогнутой. Это означает [129], что прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки 1,2 на графике функции, лежит либо на самой функции, либо ниже ее (рис. 2.19). Примером вогнутой функции может служить ломаная на рис. 2.19, у которой тангенсы Kj углов наклона прямолинейных отрезков к оси w уменьшаются последовательно с увеличением номера j, оставаясь большими нуля, т. е.,
Характеристики жесткости пружины Покажем, что при условии вогнутости функции qz (w) функция Jz (w) бу дет выпуклой. Для выпуклой функции должно быть справедливо неравенство Л (Aw2 + (1 - A)w,) Uz (w2) + (1 - Я) J, (w,) (2.44) при любых wl, w2 и любом Я, 0 Я 1. Попутно заметим, что для вогнутой функции будет справедливо условие (2.44) с обратным знаком неравенства. Для функции одной переменной можно условие ее выпуклости (для w, Ф w2) представить в виде [129]
Геометрически это означает, что если функция J2(w) выпукла (рис. 2.20), то наклон касательной к графику функции Jz{w) в точке [wv Jz(w])] меньше или равен наклону секущей, проведенной через точки [wv «/Д ,)] и [w2, /,(w2)].
Покажем, что если функция q2{w) вогнутая, то отвечающая ей согласно (2.43) функция J,(w) является выпуклой. Рассмотрим два произвольных значения перемещений w, w2 для вогнутой функции qz{w) на рис. 2.21. Соединим точки 2 и 3, отвечающие wp w2 на кривой qz(w), прямолинейным отрезком. Согласно определению вогнутой функции qz(w), он пройдет ниже графика функции qT(w). Очевидно разность Jz(w2)- Jr(w,) = 5 равна площади заштрихованной криволинейной трапеции (1,2,3,4)- Обозначим площадь прямолинейной трапеции S (1, 2, 3, 4), сторона которой 2, 3 является прямолинейным отрезком. На основе того, что qz{w) вогнутая функция
Поскольку для вогнутой функции q (w2) qz(wi) при любых w2 w:, то условие (2.46) подавно сохранится, если в левую часть неравенства (2.46) вместо qz(w2) подставить qXw\)- При этом согласно (2.43) условие (2.46) переходит в неравенство (2.45), что позволяет заключить о выпуклости функции Jz(w). В дальнейшем деформационные характеристики пружины будем считать соответственно q2(w) - вогнутой и Jz{w) - выпуклой функциями. Этот факт отвечает многим типам грунтов, что позволяет их эффективно схематизировать соответствующими нелинейно-упругими пружинами.
