Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета тонкостенных конструкций, находящихся в температур ном поле 14
1.1. Анализ методов расчета стационарных и нестационарных температурных полей 14
1.2. Построение исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек 17
1.3. Методы решения термоупругих задач теории пластин и оболочек 23
Глава 2. Решение нестационарной задачи теплопроводности методом конечных элементов 34
2.1. Постановка задачи 34
2.2. Построение матриц жесткости и энтальпии 36
2.3. Расчет нестационарных температурных полей 41
Глава 3. Задачи термоупругости пластин и оболочек и методика их решения 50
3.1. Исходные геометрические и физические соотношения нелинейной теории оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига и температурного воздействия 50
3.2. Построение дискретного аналога функционала Лагранжа 59
3.3. Формирование вектора градиента 68
3.4. Численный алгоритм квазиньютоновского метода 71
3.5. Численный алгоритм метода сопряженных градиентов 83
Глава 4. Решение задач термоупругости 91
4.1. Решение тестовых задач 91
4.2. Расчет пластинки на силовое и термосиловое воздействие 100
4.3. Расчет пологой сферической оболочки при термосиловом воз-действии 102
4.4. Расчет ортотропной пластинки и цилиндрической оболочки с низкой сдвиговой жесткостью на термосиловое воздействие 108
4.5. Структура вычислительной программы для решения задач термоупругости пластин и пологих оболочек 121
Заключение 124
Литература 126
- Построение исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек
- Построение матриц жесткости и энтальпии
- Построение дискретного аналога функционала Лагранжа
- Расчет пластинки на силовое и термосиловое воздействие
Введение к работе
Тонкостенные пространственные системы в виде оболочек и пластин как естественные конструктивные формы применяются в различных областях техники — в машино- и приборостроении, в судостроении, авиа-и ракетостроении и других областях. Значительное распространение пространственные тонкостенные конструкции получили в строительстве в качестве рациональных решений покрытий и перекрытий промышленных, гражданских, жилых и сельскохозяйственных зданий и в качестве конструктивных форм инженерных сооружений. Типы пространственных конструкций покрытий весьма разнообразны — от сравнительно небольших по размерам систем в виде оболочек панелей размером на пролет здания порядка 18-г24 м до большепролетных конструкций с размерами до 200 м и более. Оболочечные конструкции подразделяются на жесткие и гибкие. К первой группе относятся: короткие панели-оболочки, своды, складки, цилиндрические своды-оболочки, пологие оболочки двоякой кривизны, купола, составные системы из совокупности нескольких оболочек различных конфигураций, сетчатые оболочки и структуры. Жесткие оболочки, опирающиеся на опорный контур, в основном работают на сжатие, сдвиг, а также на растяжение. Ко второй группе относятся большепролетные, весьма пологие из-за экономии строительной высоты оболочки, а также висячие оболочки, вантовые и мембранные системы, подвешиваемые к опорному контуру. Последние, в основном, работают на растяжение и сдвиг. К гибким оболочкам относятся также пневматические конструкции.
В последние годы интенсивно разрабатываются новые типы облегченных пространственных конструкций покрытий из многослойных панелей и композиционных материалов, вес которых в 5-6 раз меньше желе- зобетонных, что существенно снижает расход материала на поддерживающие их конструкции каркаса стен и фундаментов. Типы оболочек инженерных сооружений также весьма разнообразны. Они применяются в виде оболочек вращения при сооружении телевизионных башен, силосов, трубопроводов, резервуаров, градирен, корпусов доменных печей, газгольдеров, корпусов и защитных оболочек атомных реакторов, а также в виде односвязных и многосвязных складчатых систем применительно к конструкциям башенных копров, угольных и горнорудных шахт, элеваторов, приливных электростанций, доков, коробчатых строений мостов и ряда других конструкций.
Таким образом, вопросы надежного проектирования и расчета тонкостенных пространственных систем представляют важную инженерную задачу.
Теория и методы расчета тонкостенных пространственных систем, применяемых в строительстве, имея много общего с теорией и расчетом подобных систем в других областях техники, обладают рядом особенностей. Это объясняется тем, что применяемые в строительстве пространственные системы отличаются большими габаритами и весьма разнообразны по конструктивным решениям и виду применяемых материалов. Теория расчета оболочек и пластин представляет один из важных разделов строительной механики. Наибольшее развитие получили математическая и прикладные (технические) линейные теории оболочек, поскольку для них физические зависимости между напряжениями и деформациями, выражаемые линейными алгебраическими зависимостями закона Гука, наиболее просты и такой расчет идет в запас прочности, а при учете нелинейных факторов является необходимым этапом итерационного способа решения нелинейных уравнений.
Классическая математическая теория тонких упругих оболочек, заложенная на сегодня в основу почти всех методов расчета тонкостенных систем и основанная на гипотезах Кирхгофа— Лява, развивалась в направлении построения основных дифференциальных уравнений и их качественного анализа. Как и для расчета стержневых систем, при расчете оболочечных систем приходится иметь дело с рассмотрением краевых задач для дифференциальных уравнений, но с частными производными, решение которых может выполняться в соответствии с тремя методами строительной механики: методом перемещений, методом сил и смешанным методом, при этом используются аналитические, полуаналитические и численные методы расчета. Использование аналитических и полуаналитических методов расчета оболочечных конструкций в тех случаях, когда удается их разработать, всегда остается более привлекательным и уместным, поскольку они позволяют более наглядно проводить как качественный, так и количественный анализ решения задачи и, кроме того, при их использовании, в сопоставлении с численными методами расчета на ЭВМ, существенно экономится машинное время. При расчете сложных по конфигурации тонкостенных пространственных систем, оболочечных конструкций находящихся под воздействием нестационарных температурных полей, при построении кривых равновесных состояний оболочечных конструкций с учетом геометрической и (или) физической нелинейности их поведения, приходится прибегать к численным методам расчета. Характерная особенность численных методов состоит в том, что они позволяют с большей или меньшей точностью представить решение в числовом виде в конечном числе дискретно расположенных точек (в узлах условной расчетной сетки).
Современная строительная механика характеризуется широким проникновением ЭВМ в область проектирования и расчета строительных конструкций, в том числе тонкостенных пространственных систем. Это проникновение одновременно сопровождается совершенствованием и развитием технических теорий и численных методов расчета тонкостенных конструкций с использованием ЭВМ, таких как разностные и вариационно-разностные, включая различные модификации метода конечных элементов.
Важным вопросом в теории тонкостенных конструкций является вопрос сведения исходных трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек. При построении исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек целесообразно учесть деформации поперечного сдвига по толщине плит и оболочек, что позволяет построить некий вариант уточненной технической теории, который, существенно упрощает алгоритмизацию численных методов расчета. В этом случае применение вариационно-разностного метода (ВРМ) дает возможность построить эффективный численный алгоритм, который, обладая всеми присущими классическому варианту ВРМ достоинствами при расчете тонкостенных конструкций (упрощение формулировки краевых и контактных задач, понижение порядка аппроксимирующих функций, симметрия матрицы разрешающих алгебраических уравнений и т. д.), вместе с тем не имеет весьма существенных недостатков, присущих ВРМ, основанному на классической теории тонкостенных конструкций в рамках модели Кирхгофа-Лява. При дискретизации потенциальной энергии изгиба, входящей в функционал Лагранжа, в силу того, что она содержит производные выше первого порядка, появляются законтурные точки, а это требует введения дополнительных условий для их исключения. Кроме того, при разном порядке производных в функционале необходима различная дискретизация. Оба эти обстоятельства заметно усложняют вычислительный алгоритм. Реализация разработанной уточненной технической теории позволяет построить достаточно простой и эффективный алгоритм расчета линейно и нелинейно деформируемых тонкостенных пространственных систем без использования законтурных точек при линейной в направлении координатных осей аппроксимации искомых функций перемещений.
Построенная таким образом уточненная техническая теория тонкостенных конструкций, в которой учитываются деформации поперечного сдвига и геометрическая нелинейность позволяет существенно расширить класс решаемых задач. Как показывают проведенные исследования, учет деформаций сдвига по толщине играет большую роль при расчете относительно толстых оболочек (h/R ~ 1/20 — 1/3), в динамических задачах при быстроменяющихся во времени нагрузках, в задачах взаимодействия тонкостенных элементов между собой и с жесткими штампами, при расчете трехслойных тонкостенных пространственных конструкций с легким заполнителем и конструкций, выполненных из композиционных анизотропных материалов с низкой сдвиговой жесткостью.
Задача минимизации исходного функционала Лагранжа при использовании классического вариационно-разностного метода сводится к решению уравнений Эйлера, представляющих собой систему линейных алгебраических уравнений. Для решения подобной задачи требуется предварительно построить матрицу системы (матрицу Гессе), коэффициенты которой находятся как вторые производные дискретного аналога исходного функционала. Для этой цели используются приближенные разностные формулы, реализация которых требует существенных вычислительных затрат. После формирования матрицы система уравнений решается одним из известных численных методов (методы Гаусса, Холецкого, итерационные методы). В качестве альтернативного подхода к решению вариационной задачи может быть применен один из так называемых ква- зиньютоновских прямых методов минимизации функции многих переменных. В методе Дэвидона-Флетчера-Пауэлла матрица, обратная матрице Гессе аппроксимируется с помощью градиентов целевой функции. Для квадратичной целевой функции с п неизвестными решение находится за п шагов. Такой подход имеет определенное преимущество, поскольку формирование коэффициентов градиента требует меньше вычислительных затрат по сравнению с формированием коэффициентов матрицы вторых производных. Эффективный численный алгоритм может быть построен на основе метода сопряженных градиентов, в котором используются лишь векторы градиентов, что существенно экономит объем машинной памяти.
В связи с появлением технологических процессов, происходящих при высоких температурах, созданием конструкций ядерных реакторов, высокими скоростями полетов объектов аэрокосмической техники, строительством пространственных покрытий, работающих в условиях высоких градиентов температур, большое значение приобретает расчет строительных, машиностроительных, авиационных конструкций на температурные воздействия. Нагревание конструкции приводит к тепловому расширению ее элементов. В том случае, когда тело может свободно расширяться, напряжения в нем отсутствуют. Если же температурное воздействие неравномерно или имеются лишние связи, то в теле возникают температурные напряжения.
В общем случае задача определения температурного поля и поля напряжений является связанной. В связанной задаче учитываются влияние напряжений на распределение температур и тепло, которое выделяется при деформации тела в результате приложения внешних силовых нагрузок.
Для большого количества практически важных задач, и в первую очередь задач расчета пространственных строительных конструкций, скорость изменения температуры мала, а эффект связанности незначителен и им можно пренебречь. В этом случае при решении задачи термоупругости вначале определяется поле температур, а затем решается задача об определении напряженно-деформированного состояния при заданных значениях температуры.
Представляет практический интерес квазистатическая задача термоупругости, когда не учитываются инерционные члены в уравнениях движения и связывающий член в уравнении теплопроводности. В этом случае система уравнений связанной задачи распадается на уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения термоупругости при заданном температурном поле. При численной реализации такой модели возможно пошаговое решении задачи, когда на каждом шаге по времени для текущих значений температуры определяется напряженно-деформированное состояние рассматриваемой конструкции. Процедура решения квазистатической задачи термоупругости может быть реализована в рамках единой вычислительной программы с визуализацией результатов расчета в виде изополей или поверхностей.
Целью диссертационной работы является:
Построение базовой математической модели тонких и средней толщины нелинейно-деформируемых пластин и оболочек с учетом температурного воздействия.
Создание численных алгоритмов решения нестационарной задачи теплопроводности на базе метода конечных элементов.
Разработка методик решения задачи термоупругости на основе квазиньютоновского метода минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа и метода сопряженных градиентов.
4. Разработка программного обеспечения и расчет пластин и оболочек при различных видах термосилового воздействия.
Научную новизну работы составляют:
Вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и температурного воздействия.
Методика решения термоупругой задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием прямых методов минимизации дискретного аналога функционала Лагранжа.
Результаты расчета тонкостенных пространственных конструкций при тепловом и термосиловом воздействиях в линейной и геометрически нелинейной постановках.
Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения для расчета ортотропных пластин и оболочек при термосиловом воздействии, который реализован в среде Fortran PowerStation и позволяет визуализировать результаты расчетов температурных полей и напряженно-деформированного состояния.
Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций определяется построением корректных математических моделей, возможностью перехода от предложенной теории пластин и оболочек к известным частным теориям, выбором хорошо апробированных методов решения краевых задач, тщательной проработкой численных процедур реализации предложенных алгоритмов для ЭВМ. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов.
По теме диссертации опубликованы 3 работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе приведен обзор работ по теории и численным методам расчета тонкостенных конструкций, находящихся в температурном поле. Дается анализ методов расчета стационарных и нестационарных температурных полей, методов решения термоупругих задач теории пластин и оболочек. Определенное место в работе отведено вопросам построения исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек, а также методам и алгоритмам решения линейных и нелинейных задач расчета тонкостенных конструкций при силовом и температурном воздействии.
Во второй главе дан алгоритм решения нестационарной температурной задачи, основанный на методе конечных элементов. Решена тестовая задача, построены температурные поля при различных граничных условиях для заданных моментов времени.
Третья глава посвящена термоупругим задачам теории пластин и оболочек и методике их решения. Построены исходные геометрические соотношения нелинейной теории оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, построен дискретный аналог функционала Лагранжа и представлены численные алгоритмы решения термоупругой задачи, основанные на квазиньютоновском методе Дэвидона-Флетчера-Пауэлла и методе сопряженных градиентов Флетчера-Ривса.
В четвертой главе на основе полученных температурных полей решен ряд задач термоупругости тонкостенных пространственных конструкций. Приведены решения тестовых задач, исследовано поведение пластин, цилиндрических и пологих сферических оболочек при силовом и температурном воздействиях. Кратко представлена структура вычисли- тельной программы, реализующей предложенные в работе численные алгоритмы.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Построение исходных геометрических соотношений теории пластин и оболочек
В задачах расчета тонкостенных конструкций на прочность и устойчивость одним из ключевых вопросов, тесно связанным с выбором метода расчета, является вопрос сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек. Опубликовано очень большое количество работ по построению основных соотношений теории пластин и оболочек и их уточнениям. По классификации, предложенной И.И.Воровичем [25], все эти исследования можно условно разделить на две основные группы, в которых: 1) трехмерная задача теории упругости заменяется бесконечной последовательностью двумерных задач, решение которых сходится, в каком-то смысле, к решению исходной трехмерной задачи; 2) трехмерная задача сразу заменяется двумерной на основе допущений и гипотез.
Среди работ первой группы важное место занимают асимптотические методы, которые заключаются в разложении характерных величин напряженно-деформированного состояния в ряды по степеням малого па раметра h/R по поперечной координате z с последующим построением итерационного процесса для определения коэффициентов разложения. Таким образом, задача сводится к определению основного напряженного состояния, медленно изменяющегося вдали от возмущающих факторов, и краевых эффектов. Асимптотические методы нашли свое развитие в работах А.Л.Гольденвейзера [32], И.И.Воровича [25, 26], К.Фридрихса [100], Э.Рейсснера[104].
В работах АЛ.Гольденвейзера и К.Фридрихса краевая задача трехмерной теории упругости разделяется асимптотически на три двумерных: бигармоническую для области плиты; бигармоническую для полуполосы; гармоническую для полуполосы. В работах И.И.Воровича используется подход, который заключается в предварительном использовании некоторых общих представлений решений исследуемой трехмерной задачи теории упругости через функции, удовлетворяющие более простым уравнениям и в последующем асимптотическом анализе этих уравнений.
Метод асимптотического интегрирования геометрически нелинейных трехмерных уравнений теории упругости рассмотрен в работах Л.Я.Айнолы [2,4], где в сочетании с вариационным методом выведены нелинейные дифференциальные уравнения основных напряженных состояний с учетом инерционных членов и соответствующие граничные условия.
К исследованиям второй группы относятся модели, в которых осуществляется аппроксимация перемещений или напряжений с последующим использованием трехмерных уравнений теории упругости.
В работах Э.Рейсснера [105-107] и С.А.Амбарцумяна [6, 7] использовалась аппроксимация части напряжений по толщине оболочки, при этом остальные напряжения определялись из уравнений равновесия теории упругости. Несколько иной подход использовал П.М.Нахди [103]. Для того чтобы иметь возможность получить уравнения он аппроксимировал и напряжения и перемещения и применял затем вариационный принцип Рейсснера-Хеллингера, в то время как Э.Рейсснер аппроксимировал лишь напряжения и использовал вариационный принцип Кастильяно.
Выводу нелинейных уравнений для осесимметричного прогиба оболочек вращения посвящена статья Э.Рейсснера [105].
Способ сведения трехмерной задачи к двумерной, заключающийся в задании закона изменения перемещений по толщине пластинки или оболочки, использовался в работах И.Е.Милейковского [60], М Л.Шереметьева и Б.Л.Пелеха [95], Р.Кристенсена [52].
Наиболее распространенной моделью пластин и оболочек является классическая модель, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява [5, 15, 22, 23, 32, 34, 46, 50, 69, 73, 85, 89 и др.]. Она широко используется в практике расчетов и позволяет получить достаточную точность при решении многих прикладных задач. Различные варианты нелинейных уравнений, базирующиеся на данной модели, представлены в работах В.В.Новожилова [72], Э.И.Григолюка и В.В.Кабанова [34], Л.А.Шаповалова [94], А.В.Кармишина и др. [85], В.И.Мяченкова, И.В.Григорьева [69], C.H.Tsao [109] и многих других. Среди разнообразных вариантов в данной постановке можно отметить следующие формы записи геометрических соотношений малых нелинейных деформаций тонких оболочек. Для зависимостей вида
Построение матриц жесткости и энтальпии
Задача теплопроводности заключается в нахождении температурной функции B(xy,t), определенной и непрерывной в области П и удовлетворяющей дифференциальному уравнению [57]: начальным условиям и граничным условиям, которые могут быть следующих видов: а) граничные условия 1-го рода - на границе S области О. задана температура, т.е. б) граничные условия И-го рода - на границе 5" области Q. задан теп ловой поток, т.е. в) граничные условия Ш-го рода - на границе S области D. осущест вляется теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона, т.е. qs(t)=a{QA-Qs), где а - коэффициент теплообмена; 8 - температура на поверхности тела; Qs - температура окружающей среды.
В формуле (2.1) с(0) - объемная теплоемкость (размерность дж/(м град)), 1(9) - коэффициент теплопроводности (размерность вт/(м град)). Одним из путей решения нелинейного уравнения (2.1) является его предварительная линеаризация с последующим использованием различных численных процедур, таких как, например, метод конечных разностей или метод конечных элементов. В этом случае для преобразования уравнения (2.1) используются две подстановки [57]: Функция Я представляет собой энтальпию или теплосодержание (размерность дж/м3), а функция Ф - поток тепла (размерность вт/м). Тогда с учетом (2.2) и (2.3) уравнение (2.1) преобразуется к виду: Уравнение (2.4) является уравнением Эйлера для функционала вида: Если коэффициенты теплопроводности и теплоемкости не зависят от температуры, то из (2.1) получим уравнение теплопроводности вида: Уравнение (2.6) представляет собой уравнение Эйлера для функционала двумерной нестационарной температурной задачи:
На основе функционала (2.7) могут быть построены матрицы жесткости и энтальпии для решения одномерной или двумерной температурной задачи в рамках метода конечных элементов. Для решения задачи с помощью МКЭ выбран треугольный конечный элемент с тремя узлами. Узлы конечного элемента нумеруются против часовой стрелки, начиная с некоторого произвольно выбранного /-го узла. Координаты /-го,_/-го и к-го узлов по оси х обозначены через х„ xJf х по оси у - через ун ур ук. Базисная функция, используемая для аппроксимации температуры внутри конечного элемента, должна обеспечивать условия сходимости и непрерывности. Для обеспечения сходимости решения базисная функция должна быть построена таким образом, чтобы при уменьшении размеров конечного элемента величина полной потенциальной энергии стремилась к некоторой постоянной величине. Другими словами, интерполирующая функция должна обеспечивать постоянные значения рассматриваемых величин при уменьшении размеров элемента. Для этого в треугольном элементе при использовании функции (2.9) требуется выполнение условия Nl + NJ + Nk = i. В этом легко убедиться. Предположим, что в формуле (2.9) 9, = 0; = 9 -с (с-константа). Тогда Q = N$, + N]Qj + NkQk=(Nl- rNJ + Nk)Qr Но 9 = с - 9,, следовательно Nt + N + Nk = 1. Таким образом, сумма значений функции формы должна равняться единице в любой внутренней точке конечного элемента. Базисная функция (2.8) удовлетворяет этому условию. Действительно, учитывая соотношения (2.11) получим: Nl+NJ+Nk=—(al+a}+ak+x(bl+bJ+bk) + y(c,+c]+ck)). Принимая во внимание, что а1 + а] + ак=2А,ъ также учитывая, что bt+b}+bk =0 и с, + с +ск =0 будем иметь Nl + NJ + Nk=\. Условие непрерывности обеспечивается в том случае, когда интерполирующая функция непрерывна вместе со своими производными до (w-l)-ro порядка включительно (где и-максимальный порядок производной в подынтегральном выражении функционала энергии) на границе между элементами. Непрерывность для одномерного элемента обеспечивается тем, что два смежных элемента имеют общий узел. Для двумерного конечного элемента доказательство непрерывности на границе элементов основано на использовании L-координат, каждая из которых представляет собой отношение расстояния s от выбранной точки треугольника до одной из его сторон к высоте h (Q Lp \,p=\,2,l ).
Построение дискретного аналога функционала Лагранжа
Формулы (3.14) являются следствием гипотезы о том, что нормаль, проведенная к срединной поверхности оболочки до деформации, остается нормальной к ней и после деформации. Подставляя (3.14) в (3.13), получим известные выражения для кривизн кп , к22 и Кі2 согласно классической теории Кирхгофа-Лява.
Соотношения (3.12), (3.13) являются геометрическими соотношениями теории тонких оболочек и оболочек средней толщины в квадратичном приближении. Помимо большей точности, по сравнению с классической теорией Кирхгофа-Лява, они относительно просты и удобны при реализации на ЭВМ, поскольку не содержат производных выше первого порядка.
Модель оболочки, подверженной температурному воздействию, строится на основе следующих положений: 1. Компоненты полной деформации ztJ записываются в виде суммы упругих є,/ и температурных а Г де формаций: где а - коэффициент теплового линейного расширения материала; Т(а\, ajj) - функция, определяющая закон изменения температуры по объему оболочки. Тогда
Считается справедливой гипотеза Франца Неймана для термоупругих задач теории оболочек, при этом исходные геометрические соотношения, связывающие полные деформации и перемещения определяются соотношениями (3.13). Для пластин и пологих оболочек в декартовой системе координатную при А\=А2=1 из соотношений (3.13) получим: где и и v - тангенциальные составляющие перемещения; w - нормальная составляющая; 0) и 6 - углы поворота поперечных сечений оболочки; Ru R2 - радиусы кривизн в направлении координатных осей. Соотношения (3.16) построены с учетом деформаций поперечного сдвига, что позволяет, в отличие от модели Кирхгоф а-Лява, рассчитывать оболочечные конструкции средней толщины, а также выполненные из материала с низкой сдвиговой жесткостью. 3. Компоненты напряженного состояния связываются с компонентами упругой деформации соотношениями обобщенного закона Гука:
Вариационная постановка задач расчета тонкостенных конструкций связана с нахождением функций, дающих минимальное значение функционалу, представляющему собой полную потенциальную энергию сие темы. Одним из наиболее эффективных численных методов минимизации функционала является вариационно-разностный метод (ВРМ), который имеет ряд существенных достоинств [1,61], в частности, он дает возможность рассчитывать тонкостенные конструкции сложной конфигурации с различного рода особенностями (изломами поверхности, отверстиями, подкреплениями и пр.). В ходе численной реализации ВРМ, как уже отмечалось выше, весьма существенную роль играет тот факт, что вариационная постановка приводит к снижению порядка производных по сравнению с формулировкой задачи в виде дифференциальных уравнений равновесия. Кроме того, матрица системы алгебраических уравнений получается редко заполненной и имеет квазидиагональную структуру, что ускоряет решение задачи и сокращает требуемый объем машинной памяти. Наконец подход, основанной на использовании ВРМ, позволяет построить эффективный и гибкий алгоритм, который дает возможность легко переходить от одной задачи к другой, внося в программу расчета небольшие изменения, связанные в основном лишь с записью конкретного функционала и аппроксимирующих функций.
Полная потенциальная энергия деформации оболочки как трехмерного тела при температурном воздействии и внешней нагрузке, приложенной на поверхности, представляется как сумма потенциальной энергии деформации U{v) и потенциала внешних сил A(v): где v=(u v w) - вектор, компонентами которого являются функции перемещений; ее = (єец БС22 єЄ!2 єеіз єЄ2з )Т вектор, компонентами которого являются составляющие упругой деформации (3.15); о = ( о"п о22 Сті2 о"п сг2з )Т - вектор, элементами которого являются компо-ненты тензора напряжений; q = ( q\ д2 qz ) - вектор внешней нагрузки, компоненты которого имеют направления, соответствующие компонентам вектора перемещений.
Подставим в выражение для потенциальной энергии деформации, входящей в (3.18), формулы (3.15) и (3.17) и выполним интегрирование по z от -й/2 до /г/2. В результате ряда преобразований получим:
Усилия N\\, N22, - , Q23, действующие в пологой оболочке, показаны на рис.3.3. Они определяются по известным зависимостям:
Расчет пластинки на силовое и термосиловое воздействие
В качестве первого примера рассмотрена задача расчета квадратной пластинки, находящейся в условиях силового воздействия (рис.4.5). В расчетах принято: Е 2,\-\0п Па; v=0,3; a=b=\ м; /z=10"2 м. Расчет выполнялся с учетом геометрической нелинейности, то есть с сохранением квадратичных слагаемых в геометрических соотношениях (3.13). Нагрузка прикладывалась пошагово и на каждом шаге решалась нелинеаризованная задача методом Дэвидона-Флетчера-Пауэлла в модификации Полака-Рибьера, то есть на каждом шаге находилось стационарное значение функции, содержащей наряду с квадратичными слагаемыми также третьи и четвертые степени узловых перемещений. Величина шага по нагрузке составляла Aqz-10 Па. Максимальное значение поперечной равномерно распределенной нагрузки составляла qz 3-lО4 Па. Граничные условия соответствуют свободному опиранню по контуру.
Ввиду симметрии задачи рассчитывалась четверть пластинки, на которую накладывалась сетка размером 9x9. Принимались следующие условия на контуре: при я=0 w=0; при 0 w=0; при х=а/2 u=Qi 0; при у=Ы1 v=92=0. На рис.4.10 показана деформированная схема пластинки (прогибы указаны в см), полученная с учетом больших прогибов при значении поперечной равномерно распределенной нагрузки равном дг=ЗЛ04 Па. В качестве второго примера рассмотрена задача расчета квадратной пластинки, находящейся в условиях совместного силового и темперара-турного воздействий. В расчетах принято: =2,1-1011 Па; v=0,3; a=b=\ м; /г=10"2м;а=0,15-10"4град1. Граничные условия соответствуют свободному опиранню по контуру. Ввиду симметрии задачи рассчитывалась четверть пластинки, на которую накладывалась сетка размером 9x9. Принимались следующие условия на контуре: при х=0 w=0; при у=0 w=0; при х=а/2 м=91=0; при у=Ь/2 v=02=O. На пластику действует поперечная равномерно распределенная нагрузка интенсивностью qz-l0 Па и постоянная по объему температура 7=20 град. На рис.4.11 показана деформированная схема пластинки (прогибы указаны в см), полученная при значении поперечной равномерно распределенной нагрузки равном qz=\0 Па и температуре Г=20 град. В качестве первой задачи рассмотрим пологую сферическую оболочку на квадратном плане, находящуюся в условиях совместного силового и температурного воздействий (рис. 4.8).
В расчетах принято: =2,Ы0" Па; v=0,3; а=6=1 м; /z=10"2 м; х=0,15-10"4 град"1. Граничные условия соответствуют опиранню по контуру на абсолютно жесткие в плоскости и абсолютно гибкие из плоскости диафрагмы. Ввиду симметрии задачи рассчитывалась четверть оболочки, на которую накладывалась сетка размером 9x9. Принимались следующие условия на контуре: при х=0 v=02=w=O; при y=Q и=6і=иН); при х=а/2 и=8і=0; при у=6/2 v=92=0. На оболочку действует поперечная равномерно распределенная нагрузка интенсивностью 7Z=1,289 10 Па и постоянная по объему температура 7 =20 град. Расчеты выполнялись для оболочек с различными значениями кривизны h=l/R : і=2=0,2 м"1; 0,25 м 1; 0,4 м-1. Нормальные перемещения и изополя изгибающих моментов М\ \ при установившемся температурном режиме для k\-kjr,2 м"1 показаны соответственно на рис. 4.12 и 4,13, для &i=2 0,25 м"1 на рис. 4.14 и 4.15, для к\=к2=0А м"1 на рис. 4.16 и 4.17. Выполнены расчеты сферической оболочки при тех же исходных геометрических и физических параметрах, но жестко закрепленная по контуру. На оболочку действует поперечная равномерно распределенная нагрузка интенсивностью дг=1,289-105 Па и постоянная по объему температура 7 =20 град. Расчеты выполнялись для оболочек со значением кривизны 1= 2=0,4 м 1. На рис.4.18, 4.19 представлены нормальные перемещения w и изгибающие моменты М] і. Температурное воздействие вызывает нормальные перемещения, направленные от центра кривизны. Поперечная равномерно распределенная нагрузка приводит к возникновению перемещений, направленных к центру кривизны. В итоге, вследствие большей жесткости оболочки, обусловленной принятыми граничными условиями жесткого закрепления, нормальные перемещения для рассматриваемого случая имеют большее значение, по сравнению с условиями шарнирного закрепления. В качестве второй задачи рассмотрим пологую сферическую оболочку на прямоугольном плане, находящуюся в условиях совместного
