Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краткий аналитический обзор работ по теории предельного равновесия пластинок. основные сведения о методе интерполяции по коэффициенту формы 12
1.1 Аналитический обзор работ по теории предельного равновесия.. 12
1.2 Кинематический метод предельного равновесия 17
1.3 Общие сведения о коэффициенте формы 23
1.4 Общие сведения о методе интерполяции по коэффициенту формы 30
1.5 Основные выводы по главе 1 35
Глава 2. Расчет пластинок кинематическим методом предельного равновесия 36
2.1 Основные условные обозначения, принятые в работе. 36
2.2 Расчет треугольных пластинок 37
2.2.1 Действие сосредоточенной силы... 37
2.2.2 Действие равномерно распределенной нагрузки 40
2.3 Расчет параллелограммных пластинок 45
2.3.1 Действие сосредоточенной силы 45
2.3.2 Действие равномерно распределенной нагрузки 50
2.4 Расчет трапецеидальных пластинок 55
2.4.1 Действие сосредоточенной силы... 55
2.4.2 Действие равномерно распределенной нагрузки .-.. 58
2.5 Доказательство функциональной зависимости между разрушающей нагрузкой и коэффициентом формы 62
2.6 Графическая интерпретация зависимости между разрушающей нагрузкой и коэффициентом формы 66
2.6.1 Действие сосредоточенной силы приложенной в центре пластинки 69
2.6.2 Действие равномерно распределенной нагрузки 74
2.7 Основные выводы по главе 2 76
Глава 3. Расчет треугольных пластинок методом интерполяции по коэффициенту формы 77
3.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы для треугольных пластинок при аффинных преобразованиях 77
3.2 Изопериметрические теоремы 81
3.3 Выбор аффинных преобразований и способы решения задач 82
3.4 Построение граничных аппроксимирующих функций для треугольных пластинок 86
3.4.1 Действие сосредоточенной силы 86
3.4.2 Действие равномерно распределенной нагрузки 88
Глава 4. Расчет параллелограммных пластинок методом интерполяции по коэффициенту формы 91
4.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы для параллелограммных пластинок при аффинных преобразованиях 91
4.2 Изопериметрические теоремы 95
4.3 Выбор аффинных преобразований и способы решения задач... 96
4.4 Построение граничных аппроксимирующих функций для параллелограммных пластинок 102
4.4.1 Действие сосредоточенной силы 102
4.4.2 Действие равномерно распределенной нагрузки 105
Глава 5. Расчет трапецеидальных пластинок ме тодом интерполяции по коэффициенту формы 109
5.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы для трапецеидальных пластинок при аффинных преобразованиях 109
5.2 Изопериметрические теоремы 116
5.3 Выбор аффинных преобразований и способы решения задач 117
5.4 Построение граничных аппроксимирующих функций для трапецеидальных пластинок 120
Глава 6. Разработка алгоритма и программного комплекса по расчету пластинок, находящихся в предельном состоянии, с помощью МИКФ 122
6.1 Основные положения 124
6.2 Разработка общего алгоритма действий 127
6.3 Разработка программного комплекса 127
6.3.1 Определение коэффициента формы и площади заданной пластинки и граничных фигур 127
6.3.2 Определение несущей способности граничных и заданной пластинок (на примере треугольной пластинки) 131
Основные выводы 132
Список литературы 133
Приложение
- Кинематический метод предельного равновесия
- Доказательство функциональной зависимости между разрушающей нагрузкой и коэффициентом формы
- Выбор аффинных преобразований и способы решения задач
- Построение граничных аппроксимирующих функций для параллелограммных пластинок
Введение к работе
Актуальность темы. Проектирование современных зданий и сооружений, связано с всесторонними расчётами прочности конструкций, находящихся под действием статических и динамических нагрузок. Расчётные схемы элементов многих конструкций представляются в виде пластинок сложной формы с различными граничными условиями. Для их расчёта применяются в основном численные методы и создаются целевые программные комплексы.
Однако в расчётной практике по-прежнему придается большое значение разработке, развитию и совершенствованию простых аналитических методов решения конкретных задач для типичных элементов конструкций зданий и сооружений, наглядно отражающих влияние их отдельных геометрических и физических параметров на прочность конструкций, что способствует более правильному пониманию её силовой схемы.
Пластинки различного очертания - треугольные, паралл ело грамм ные, трапецеидальные применяются в строительных и машиностроительных конструкциях в качестве несущих элементов мостовых конструкций, плит аэродромного покрытия, в виде элементов обшивки крыла и фюзеляжа самолёта, корпуса корабля. Точных методов расчёта таких пластинок не существует. Они рассчитываются приближёнными методами, как правило, численными, при использовании которых часто теряется физическая сущность задачи. В современной справочной литературе [17, 21, 22, 31, 79, 88] содержится весьма ограниченный набор известных решений задач для косоугольных пластинок и все они получены разными приближенными методами и имеют разную степень точности и достоверности.
В последние годы д.т.н., профессором А.В. Коробко был предложен новый эффективный инженерный метод решения двумерных задач строительной механики - метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) [52], основанный на использовании физико-геометрического подобия интегральных характеристик в рассматриваемых задачах технической теории пластинок и интегральной характеристики их формы (коэффициентом формы Kf).
Этот метод позволяет, используя разнообразные геометрические преобразования, с помощью известных «опорных» решений, получать с достаточно высокой точностью значения интегральных характеристик пластинок при анализе задач свободных колебаний, поперечного изгиба и устойчивости.
Однако МИКФ требует дальнейшего развития и совершенствования, поскольку остается еще множество нерешенных задач, применительно к которым можно было бы его использовать. Одной из таких задач является определение разрушающих нагрузок в пластинках с произвольным контуром. Кроме того, несмотря на очевидную простоту практической реализации МИКФ, имеется необходимость разработки программного комплекса для проведения конструкторских расчетов.
Цель диссертационной работы состоит в развитии и применении метода интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ) для решения задач предельного равновесия пластинок.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие зада чи: изучить и обобщить закономерности изменения коэффициента формы пластинок с выпуклым контуром (треугольных, параллелограммных, трапецеидальных) при различных геометрических преобразованиях, и в частности при аффинных преобразованиях; доказать свойство о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок, представленного в координатных осях Рра3р - Kf, для треугольных и четырехугольных пластинок; используя кинематический метод предельного равновесия, получить новые решения для построения граничных аппроксимирующих кривых для пластинок определенных форм; построить граничные аппроксимирующие функции, охватывающие все множество опорных решений для треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок; - отработать методику применения МИКФ к решению задач предельного равновесия треугольных и четырехугольных пластинок; - разработать алгоритм и программный комплекс для решения задач, свя занных с расчётом треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пласти нок.
Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использовались методы геометрического подобия плоских фигур при проведении комбинированных аффинных преобразований. При исследовании физической стороны проблемы применялись кинематический метод предельного равновесия, методы физико-механического подобия, геометрические методы строительной механики (изопериметрический и МИКФ).
Научную новизну диссертации составляют следующие результаты: доказательство закономерности о двусторонней ограниченности всего множества значений разрушающих нагрузок, для шарнирно и свободно опертых, а также жестко защемленных пластинок в виде произвольных треугольных и четырехугольных фигур, включая равнобедренные треугольники, ромбы, параллелограммы, трапеции, представленные в осях Рразр — Kf, для случая действия сосредоточенной силы и (1/ Рразр - І/Kf), для случая действия равномерно распределенной нагрузки; построенные граничные кривые, для пластинок в виде произвольного четырехугольника, параллелограмма, равнобочных трапеций, представленные в осях Ppajp-Kf; методика использования МИКФ для определения разрушающих нагрузок произвольных треугольных и четырехугольных пластинок без анализа их схем разрушения; алгоритм и программный комплекс для определения разрушающей нагрузки с помощью ПЭВМ для треугольных, параллелограммных, трапецеидальных пластинок с использованием МИКФ.
8 Практическая ценность работы заключается: в графической интерпретации результатов исследования геометрической и физической сторон задач при расчете пластинок по методу предельного равновесия, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач; в разработке практических приемов реализации МИКФ при решении задач, связанных с треугольными, параллелограммными, трапецеидальными пластинками; в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач, связанных с расчетом с помощью МИКФ треугольных, параллелограммных, трапецеидальных пластинок, находящихся в предельном равновесии.
Достоверность полученных в работе результатов подтверждается использованием фундаментальных методов строительной механики, их сопоставление?\ с известными решениями задач теории предельного равновесия, полученными другими исследователями, а также решением большого количества тестовых задач.
На защиту выносятся: - доказательство закономерности о двусторонней ограниченности всего множества значений Рразр для четырехугольных пластинок, двумя границами; - представление граничных кривых Рра3р - Kf в виде аналитических зави симостей, обобщающих известные решения и некоторые новые результаты, по лученные в работе; методика применения МИКФ для определения величины разрушающей нагрузки треугольных, параллелограммных, трапецеидальных пластинок; графическая интерпретация полученных результатов при исследовании геометрической и физической сторон задач предельного равновесия пластинок; алгоритм и составленный на их его основе программный комплекс для решения задач предельного равновесия пластинок при определении разрушающих нагрузок треугольных, параллелограммных и трапецеидальных пластинок с помощью МИКФ.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: 33-й студенческой научно-технической конференции «Неделя науки - 2000» (Орел, 2000); студенческой научно-технической конференции (Брянск, 2003); II-ой Международной научно-технической конференции «Проблемы строительного и дорожного комплексов» (Брянск, 2004); научно-технических конференциях ОрелГТУ 2001...2004 гг.; Ш-х Международных академических чтениях «Проблемы обеспечения безопасностк строительного фонда России» (Курск, 2004), а также опубликованы в научных журналах «Вестник отделения строительных наук» (Москва, 2004); «Известия ОрелГТУ. Строительство и транспорт» (Орёл, 2004).
Структура и объём работы. Диссертация изложена на 161 странице, включающих 144 страницы основного текста, и состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы, включающего 129 наименования, приложения. В работе приведено 62 рисунка и 34 таблицы.
Во введении обосновывается актуальность темы, даётся общая характеристика диссертации. Приводятся цели и задачи исследования, доказываются достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.
В первой главе содержится краткий аналитический обзор работ по теории предельного равновесия пластинок, указываются перспективы развития геометрических методов расчёта, в частности МИКФ, сформулированы основные цели и задачи работы, приводятся основные сведения о геометрическом аналоге интегральных характеристик пластинок - коэффициенте формы плоской области, экстремальных свойствах коэффициента формы треугольников, параллелограммов и трапеций, изопериметрические теоремы - геометрическая и физическая, сущность МИКФ, обсуждаются проблемы его дальнейшего развития.
Во второй главе рассматриваются вопросы расчета пластинок кинематическим методом предельного равновесия, имеющих форму треугольника, параллелограмма и трапеции, с использованием энергетических соотношений теории предельного равновесия пластинок. Приводится доказательство функциональной связи разрушающей нагрузки пластинок с интегральной характеристикой формы пластинки - коэффициентом формы. Графики изменения разрушающих нагрузок пластинок, представлены в координатных осях Рразр ~ Kfj для случая действия сосредоточенной силы и 1/ Рразр - 1/Kf, для случая действия равномерно рас пределенной нагрузки;
В третьей главе излагается методика определения разрушающей нагрузки для треугольных пластинок с помощью МИКФ, Указаны преимущества и недостатки различных преобразований в зависимости от выбора опорных фигур. Произведён выбор наиболее рациональных преобразований, приведены соответствующие рекомендации, сформулированы изопериметрические теоремы относительно разрушающих нагрузок треугольных пластинок, получены граничные аппроксимирующие функции, охватывающие всё множество опорных решений для треугольных пластинок с использованием известных решений и решений, полученных кинематическим методом предельного равновесия.
В четвертой главе излагается методика определения разрушающей нагрузки для параллелограммных пластинок с помощью МИКФ. Указаны преимущества и недостатки различных преобразований в зависимости от выбора опорных фигур. Произведён выбор наиболее рациональных преобразований, приведены соответствующие рекомендации, сформулированы изопериметрические теоремы относительно разрушающих нагрузок параллелограммных пластинок, получены граничные аппроксимирующие функции, охватывающие всё множество опорных решений для параллелограммных пластинок с использованием известных решений и решений, полученных кинематическим методом предельного равновесия.
В пятой главе излагается методика определения разрушающей нагрузки для трапецеидальных пластинок с помощью МИКФ. Указаны преимущества и недостатки различных преобразований в зависимости от выбора опорных фигур. Произведён выбор наиболее рациональных преобразований, приведены соответствующие рекомендации, сформулированы изопериметрические теоремы относительно разрушающих нагрузок трапецеидальных пластинок, получены граничные аппроксимирующие функции, охватывающие всё множество опорных решений для трапецеидальных пластинок с использованием известных решений и решений, полученных кинематическим методом предельного равновесия.
В шестой главе разрабатывается алгоритм и программный комплекс решения задач с помощью МИКФ, приводится описание программного комплекса «МИКФ», представлены принципы работы программы, её возможности. Излагается методика работы с программным комплексом. Приводится общая блок-схема действия программы, на конкретном примере рассматривается функционирование алгоритма программы.
В приложении А помещен исходный текст программы «МИКФ».
В приложении Б представлены акт и справка о внедрении результатов работы.
Кинематический метод предельного равновесия
В теории предельного равновесия особенно большой популярностью ПОЛЬ зуется кинематический метод (метод шарнирных линий), основанный на кинематической теореме. Это связано с тем, что от физической проблемы удается перейти к геометрической, что существенно упрощает задачу и позволяет получить верхнюю оценку несущей способности в виде замкнутого выражения. Упрощение расчета обусловливается тем, что в отдельных элементах системы внутренние усилия задолго до разрушения принимают постоянные значения, не изменяющиеся при последующих деформациях этих элементов.
Кинематический метод начал применяться в инженерной практике значительно раньше появления основных теорем теории предельного равновесия [17, 21,88].
Расчет железобетонных плит по линиям излома впервые был предложен А. Ингерслевом в 1921 г., а затем в более современном виде К.В. Иогансеном в 1931 г. Благодаря работам А.А. Гвоздева [17] этот метод получил современную трактовку и теоретическое обоснование.
При решении задач предельного равновесия кинематическим методом, необходимо прежде всего выявить все возможные схемы разрушения системы. Для этого следует считать, что в состояние пластической текучести перешло столько связей системы, сколько необходимо для превращения ее в изменяемую систему: (механизм или кинематическую цепь). Это превращение может быть произведено в общем случае различными способами. Каждому из этих способов, соответствующему определенной схеме разрушения, будет отвечать определенное значение предельной нагрузки, необходимой для уравновешивания предельных внутренних усилий в связях, перешедших в состояние текучести. Нагрузка считается при этом вполне определенной (заданной) по своему направлению и по соотношениям между отдельными внешними усилиями, ее составляющими. Определению подлежит лишь числовой коэффициент пропорциональности, характеризующий величину нагрузки. Усилиями и напряжениями в связях и элементах, не перешедших в состояние текучести, мы здесь можем не интересоваться.
Из всех полученных таким образом значений разрушающей нагрузки ближе к истинному будет наименьшее значение.
Расчет по линиям излома производится в следующем порядке: - принимаются возможные схемы разрушения пластинки; - по кинематическому методу составляется уравнение работ внешней нагрузки и внутренних усилий по линиям излома, соответствующих единичному смещению середины пластинки или точки приложения сосредоточенной силы.
При известных направлениях линий излома задача определения несущей способности пластин оказывается достаточно простой. Однако направление линий излома зависит от многих факторов: расположение нагрузки, геометрических размеров, граничных условий, свойств материала пластины и т.п.
В предельном состоянии пластинок считают положительными те линии излома, которые соответствуют положительным предельным моментам; линии излома, соответствующие отрицательным моментам, считают отрицательными.
Деформации пластины в предельном состоянии сводятся к вращению ее отдельных элементов вокруг мгновенных осей вращения. Положение осей вращения определяется характером и взаимным расположением опор пластины.
В пластине постоянной толщины все пластические шарниры находятся вблизи поверхности пластины и могут быть приняты параллельными плоскости опоры. В том случае, если нагрузки и реакции перпендикулярны к поверхности пластинки, то оси вращения будут также параллельны ей.
Пренебрегая толщиной пластинки, которая очень мала по сравнению с размерами в плане, можно считать оси вращения и пластические шарниры лежащими в одной плоскости. При этом пространственная кинематическая задача сводится к частному случаю, названному кинематикой около плоскости [20]. Известная в кинематике плоских систем теорема Арнгольда, на основании «прин ципа двойственности» в кинематике около плоскости запишется следующим образом: три мгновенные оси, соответствующие движению трех звеньев всегда пересекаются в одной точке. Исходя из вышеизложенного можно сформулировать следующие положения: - общая линия излома двух элементов пластины проходит через точку пересечения их осей вращения (рис. 1. 1); - схема излома пластины определяется положением осей вращения элементов пластины и соотношением их углов поворота (рис. 1.2).
Предельное состояние пластинки достигается, как только она образует однократно изменяемую кинематическую цепь. В однократно изменяемой цепи все скорости зависят от одного параметра, который может быть выбран произвольно. Если пластина разделена на п частей и все оси вращения известны, то схема излома зависит только от п -1 соотношений между Qi.
Угол взаимного вращения двух элементов является геометрической суммой их поворотов относительно соответствующих осей вращения. Если элементы плиты I, II, III (рис. 1.3) образуют последовательные пары: I-II, II-III, ІІІ-І, то угол взаимного вращения Qm t элемента III относительно элемента I будет равен геометрической сумме вращения Qm]I и Q;II. [20]. Из определения предельного момента ясно, что величина его не зависит от угла взаимного поворота сечений вокруг линии излома. В практических расчетах необходимо знать только знаки углов взаимного поворота.
В углу, образованном двумя свободно опертыми краями, согласно положению I линия излома между элементами I и II должна проходить через точку А - точку пересечения их осей вращения (рис. 1.4) [20]. Такая линия излома может иметь место только при определенных условиях. Если эти условия не выполнены, то в результате действия перерезывающих сил и крутящих моментов угол пластины приподнимается с опоры. Первоначальная линия излома расщепляется, образуя угловой элемент. Ось вращения углового элемента проходит через концевые точки линии излома и ограничивает приподнимаемую часть IV, которая отделяется от опоры и вращается вокруг оси ab. Отрыв от опоры незакрепленных углов наблюдается при испытании свободно опертых пластин.
Доказательство функциональной зависимости между разрушающей нагрузкой и коэффициентом формы
В работе [88] для изотропных пластинок, находящихся в предельном равновесии, используя уравнение полной энергии системы получена приближенная зависимость для определения разрушающей нагрузки: Представим функцию прогибов пластинки в предельном состоянии в виде однопараметрической функции, линии уровня которой подобны контуру у, подобно расположены, причем центр подобия находится в начале координат, совпадающем с точкой, в которой коэффициент формы области принимает минимальное значение [80]: где р = t/r((p). Подставим эту функцию в числитель выражения (2.17): Здесь индексы при f указывают на вид производной (например, ft - первая производная по t, f -вторая производная по д? и т.д.). g Здесь использованы известные в теории изопериметрических неравенств математической физики [80] и строительной механики [52] соотношения, свя зывающие коэффициент формы области с уравнением ее контура в полярных координатах: л Знак неравенства в этом выражении поставлен в связи с тем, что функция прогибов в виде выражения (2.18) накладывает на деформированную поверхность увеличению разрушающей нагрузки. Выбирая подходящим образом функцию g(p), можно получить значение разрушающей нагрузки для пластинки произвольного вида. В выражении (2.22) дробь, содержащая интегралы, представляется числовым коэффициентом, точность которого зависит от точности выбора функции g(p). Если эту дробь заменить коэффициентом Кр, внеся в него и дробь 1Л, то выражение (2.22) можно представить.
Таким образом, разрушающая нагрузка функционально зависит от коэффициента формы пластинок. Если схему излома, например шарнирно опертой пластинки, задать в виде пирамидальной (конической) формы, то функция g(p) будет представляться соотношением g(p) = 1 - р. В этом случае: МИКФ использует прием геометрического моделирования формы пластинок и исследования поведения их интегральных параметров в зависимости от из-менения их коэффициентов формы при различных геометрических преобразованиях. При разработке теоретических основ МИКФ [52] была установлена важная закономерность, которая заключается в следующем: все множество значений интегральных характеристик в двумерных задачах теории упругости, представленное в координатных осях «интегральная характеристика — коэффициент формы», ограничено с двух сторон: одну из границ (верхнюю или нижнюю) образуют правильные многоугольники и равнобедренные треугольники, другую (нижнюю или верхнюю) образуют эллипсы; для треугольных и четырехугольных областей произвольного вида нижнюю или верхнюю границу образуют треугольники и прямоугольники, Эта закономерность на примере задачи о геометрической жесткости сечений при кручении призматических стержней иллюстрируется на рисунке 2.17 [52]. На этом рисунке по оси ординат откладывается величина приведенной геометрической жесткости сечений it = Ik/A2. Аналитический и графический анализ этой задачи показал [52]: - область возможного распределения всего множества значений приведенной геометрической жесткости сечения ik ограничена весьма узкой областью: сверху кривой 0-3-4-6-О, снизу О-О; - кривая 3-4-6-0 соответствует значениям приведенной геометрической жесткости сечения 4 Для правильной треугольной, квадратной, правильной шестиугольной и круглой пластинкам соответственно; кривая 0-3 — сечениям в виде равнобедренных треугольников; кривая 0-4 - прямоугольным сечениям; кривая О-О -эллиптическим сечениям; - область возможного изменения геометрической жесткости для сечений в виде произвольных треугольников и четырехугольников ограничена снизу кривой 0-4 (прямоугольники), а сверху кривой 0-3-4 (равнобедренные треугольники и. трапеции, все стороны которой касаются вписанной окружности); - относительная близость указанных границ говорит о том, что коэффициент формы является главным (определяющим) аргументом при оценке геометрической жесткости сечения. Для задачи кручения упругого призматического стержня приведенная геометрическая жесткость через коэффициент формы выражается соотношением [52]
Выбор аффинных преобразований и способы решения задач
Любой треугольник может быть получен с помощью аффинных преобразований равнобедренных треугольников бесконечно большим числом способов. Поэтому можно получить бесконечно большое число граничных (опорных) решений, дающих оценку разрушающей нагрузке для пластинки заданной формы с различной точностью.
При нахождении двух опорных значений по граничным кривым Рра3р - Kf или 1/Рразр — 1/Кг следует руководствоваться следующими правилами: аффинные преобразования необходимо применять в такой комбинации, чтобы граничные значения разрушающих нагрузок (опорные решения) незначительно отличались друг от друга (расстояния между опорными решениями (по графику) должны быть по возможности близкими); тенденцию изменения разрушающей нагрузки при выбранном преобразовании можно прослеживать по изменению коэффициента формы треугольников.
Рассмотрим треугольные пластинки, нагруженные равномерно распределенной нагрузкой, имеющие шарнирное опирание по сторонам и удовлетворяющие квадратному условию пластичности. Пример 1. Определим разрушающую нагрузку Pva3p= qA для пластинки в виде прямоугольного треугольника с углом а = 60 , А= 0,2165a (Kf = 12,928), используя преобразование аффинного сдвига равнобедренного треугольника (рисунок 3.5-6). Для этой пластинки найдено значение разрушающей нагрузки с помощью кинематического метода предельного равновесия: Рра3р- 38,785тт.
Заданный прямоугольный треугольник может быть получен из равнобедренного тупоугольного треугольника с углом при вершине Р — 98,21, а = 40,895, А] = 0,2165а (Кп = 12,4595) (рис. 3.5-а). При аффинном сдвиге этого треугольника параллельно основанию получается также остроугольный равнобедренным треугольник с углами а = (3 = 77,47, А2= 0,2165a2 (KQ = 13,9857).
Значения разрушающих нагрузок для опорных пластинок в виде равнобедренных треугольников находятся с помощью кинематического метода предельного равновесия: Р] = 37,382тт, Р2 — 41,957шт. По этим опорным решениям, используя методику МИКФ, найдем Рразр для заданной пластинки в виде прямоугольного треугольника: что отличается от решения полученного кинематическим методом предельного равновесия Рразр" 38,785шт на 0,013 % (в пределах ошибки округления). Пример 2. Решим предыдущую задачу, используя одновременно преобра-зование аффинного сдвига и растяжения равнобедренного треугольника (рисунок 3.6).
Выберем в качестве одной из опорных фигур тупоугольный равнобедренный треугольник с углом при вершине [З = 100, а = 40 (Кп = 12,668). С помощью аффинного растяжения и сдвига этого треугольника, как показано на рисунке 3.6, получим другую опорную фигуру - равнобедренный остроугольный треугольник с углом при вершине р = 26,22 ,а = 76,89 (Kf2 13,626).
Значения разрушающих нагрузок для опорных пластинок в виде равнобедренных треугольников находятся с помощью кинематического метода предельного равновесия: Pi = 38,01mT, Рг= 40,879піт. По этим опорным решениям с помощью МИКФ находим: Рра3р = 37,75шт, что отличается от решения полученного кинематическим методом предельного равновесия РразР= 38,785тт на 0,1%. Пример 3. Необходимо определить разрушающую нагрузку для пластинки в виде остроугольного треугольника с углами р = 75, а = 60, у = 45 (Kf = 10,899) (рисунок 3.7-6). Для этой пластинки определено значение разрушающей нагрузки с помощью кинематического метода предельного равновесия: Рразр= 32,697тт.
Если воспользоваться преобразованием аффинного сдвига параллельно основанию (рисунок 3.7), то заданный треугольник получается из равнобедренного треугольника с углом при вершине р = 76,51, а = 51,745 ( Кп = 10,785), а из заданного треугольника получается равнобедренный треугольник с углом при основании а = 70,32 (Kf2= 11,271).
Значения разрушающих нагрузок для опорных пластинок в виде равнобедренных треугольников находятся с помощью кинематического метода предельного равновесия: Pi = 32,353mT, Р2 = 32,812mT. По этим опорным решениям с помощью МИКФ находим: РРазР= 32,24тт, что отличается от решения полученного кинематическим методом предельного равновесия Рразр= 32,697тт на 1,4%.
Сопоставление трех приведенных примеров показывает, что выбор вида геометрических преобразований влияет на точность решения.
Следует заметить, что ввиду близости граничных (опорных) решений д;ія пластинок в виде остроугольных треугольников практически всегда будут получаться решения рассматриваемых задач с высокой точностью.
Построение граничных аппроксимирующих функций для параллелограммных пластинок
Шарнирное опирание по контуру Для прямоугольных шарнирно опёртых по контуру пластинок, используем соотношения, приведённые в главе 2: Для ромбических шарнирно опёртых по контуру пластинок, используя данные таблицы 2.8 и 2.9, построена аппроксимирующая функция: где а = 9,5910998, 0 = 101,35386. Результаты вычислений по формуле (4.2) представлены в таблице 4.1. Анализ результатов, приведённых в таблицах 4Л...4.7, показывает, что точность результатов, получаемых с помощью аппроксимирующих функций, не более 0,73%. Полученные граничные аппроксимирующие функции охватывают всё множество опорных решений для наиболее часто применяемых в расчётной практике форм параллелограммных пластинок.
Поэтому, при создании программного комплекса, нами будут использоваться именно эти граничные аппроксимирующие функции. Обобщая результаты исследований, проведенные в этой главе, можно сделать следующие выводы: 1 Изучены экстремальные свойства коэффициента формы параллелограммов и показано, что для всего множества параллелограммов граничными фигурами для них являются прямоугольники и ромбы. 2 Обобщены и подробно исследованы геометрические свойства и закономерности изменения коэффициента формы параллелограммов при комбинированных аффинных преобразованиях. 3 Предложены несколько приёмов геометрических преобразований параллелограммов, позволяющих получить любой параллелограмм из двух граничных фигур: прямоугольник - ромб, прямоугольник - другой прямоугольник. 4 Используя аналогию Рразр - Kf, сформулированы и обобщены изопери-метрические теоремы относительно интегральных характеристик параллело-граммных пластинок. 5 Показана возможность определения разрушающей нагрузки для паралле-лограммных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы. 6 С использованием решений задач предельного равновесия для паралле-лограммных пластинок построены графики, которые ограничивают область возможного изменения разрушающей нагрузки таких пластинок, одну из границ образуют прямоугольные пластинки, другую - ромбические. Получены граничные аппроксимирующие функции, охватывающие всё множество опорных решений для параллелограммных пластинок. 7 Решение тестовых задач показало, что выбор вида геометрических преобразований влияет на точность решения. Следует заметить, что ввиду близости граничных (опорных) решений для пластинок в виде параллелограммов практически всегда будут получаться решения рассматриваемых задач с высокой точностью. 9 Таким образом, МИКФ дает возможность достаточно просто и с высокой степенью точности находить значения разрушающих нагрузок в задачах строительной механики пластинок, связанных с параллелограммной областью.
