Введение к работе
Актуальность темы. Проектирование современных зданий и сооружений связано с проведением всесторонних расчётов для оценки прочности, жёсткости и устойчивости конструкций, находящихся под действием как статических, так и динамических нагрузок. Расчётные схемы несущих элементов строительных конструкций во многих случаях представляются в виде пластинок различной формы и с различными граничными условиями. Расчёт пластинок сложного вида и с комбинированными граничными условиями производится в основном численными методами с использованием специализированных программных комплексов.
Однако в настоящее время в строительной механике по-прежнему большое значение придается разработке и развитию простых аналитических приближенных методов, которые позволяют путем сравнительно несложных расчётов получать оценки интегральных физических параметров конструкций. С помощью таких методов удаётся установить аналитическую связь параметров прочности, жесткости и устойчивости от отдельных геометрических характеристик конструкций и физико-механических свойств материала. Это способствует более правильному представлению о силовых схемах в исследуемых конструкциях.
Одним из таких эффективных инженерных методов решения двумерных задач строительной механики является метод интерполяции по коэффициенту формы (МИКФ), теоретические и методологические основы которого были разработаны д.т.н., профессором А.В. Коробко. В этом методе используется приём геометрического моделирования формы плоских областей и исследования поведения интегральных физических характеристик при различных геометрических преобразованиях в зависимости от изменения интегральной геометрической характеристики формы области (коэффициента формы Kf), которая является геометрическим аналогом интегральных физических характеристик. Благодаря установленной аналогии сложные физические задачи теории упругости, описываемые дифференциальными уравнениями эллиптического типа второго и четвёртого порядков, сводятся к решению простой геометрической задачи.
МИКФ достаточно хорошо разработан для решения задач с однородными граничными условиями, а в отношении задач с комбинированными граничными условиями даны лишь рекомендации по его развитию.
В задачах динамики сооружений одной из важнейших является проблема определения собственных частот колебаний конструкций. Для упругих пластинок сложных форм и комбинированными граничными условиями эти задачи являются весьма трудоёмкими и обычно решаются численными методами (в большинстве случаем с помощью МКЭ). Поэтому
целью диссертационной работы является обобщение и развитие метода интерполяции по коэффициенту формы для решения задач свободных колебаний упругих косоугольных пластинок с комбинированными граничными условиями.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
– используя метод конечных элементов, определить значения частотных параметров для пластинок в виде равнобедренных треугольников, правильных фигур, прямоугольников и ромбов со всевозможными комбинациями граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления и построить аппроксимирующие функции для характерных кривых, ограничивающих множество значений этого коэффициента, в координатных осях «основная частота колебаний пластинок – геометрическая характеристика» ( – Г);
– провести тестирование МИКФ на примерах решения задач для пластинок в виде параллелограммов и трапеций;
– предложить рациональные виды геометрических преобразований параллелограммов и трапеций для нахождения «опорных» решений, расположенных на граничных кривых;
– разработать методику определения высших частот колебаний с помощью МИКФ;
– разработать методику, алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач, связанных с определением основной частоты колебаний пластинок в виде произвольных треугольников, четырёхугольников (в том числе параллелограммов, трапеций) и правильных фигур.
Методы исследования. В процессе исследования геометрической стороны проблемы использовались методы геометрического и аффинного подобия плоских фигур. При исследовании физической стороны проблемы применялись методы физико-механического подобия, метод конечных элементов, геометрические методы строительной механики (МИКФ и изопериметрический).
Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:
– доказательство ограниченности всего множества значений частотного параметра, представленного в координатных осях – Kf для пластинок в виде треугольников и четырёхугольников с комбинированными граничными условиями;
– аппроксимирующие функции – Kf, ограничивающие область возможного распределения частотного параметра для пластинок в виде произвольных треугольников и четырёхугольников со всеми возможными комбинациями шарнирного опирания и жесткого защемления их сторон, которые могут использоваться для получения «опорных» решений при исследовании задач свободных колебаний пластинок;
– методика определения высших частот колебаний с помощью МИКФ;
– методика, алгоритм и программный комплекс для определения основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с помощью МИКФ.
Практическая ценность работы заключается:
– в графической интерпретации результатов исследования геометрической и физической сторон задач по определению основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями, позволяющей наглядно оценивать как качественную, так и количественную стороны решаемых задач;
– в разработке практических приемов применения МИКФ для определения основных и высших частот собственных колебаний таких пластинок;
– в разработке программного комплекса для решения конструкторских задач по определению основного тона колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями с помощью МИКФ.
Достоверность полученных результатов подтверждается использованием фундаментальных принципов и методов строительной механики, их сопоставлением с известными решениями аналогичных задач, полученными другими методами, приводимыми в научной и справочной литературе и решением большого числа тестовых задач.
На защиту выносятся:
– доказательство двухсторонней ограниченности всего множества значений основной частоты колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями, представленного в координатных осях – Kf;
– аппроксимирующие функции (Kf), ограничивающие область распределения всего множества значений основной частоты колебаний треугольных и четырёхугольных пластинок с различными комбинированными граничными условиями;
– методика определения высших частот колебаний косоугольных пластинок с однородными граничными условиями;
– методика, алгоритм и программный комплекс для решения конструкторских задач по определению основной частоты колебаний пластинок в виде треугольников, параллелограммов, трапеций и правильных фигур с различными граничными условиями с помощью МИКФ.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: Международной научно-практической конференции «Повышение качества среды жизнедеятельности города и сельских поселений архитектурно-строительными средствами» (Орел, 2005); Международной научно-практической конференции «Прогрессивные архитектурно-строительные решения промышленных и сельскохозяйственных предприятий» (Орел, 2006); Международной научно-практической конференции «Основные тенденции развития архитектурно-строительного комплекса XXI века» (Орел, 2007); Международной научно-практической конференции «Основные проблемы архитектуры и строительства в XXI веке» (Орел, 2008).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.
Структура и объём работы. Диссертация изложена на 207 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы, включающего 125 наименования и четырех приложений. В работе приведены 89 рисунков и 33 таблицы.
