Содержание к диссертации
Введение
I Краткий анализ развития методов расчёта параллелограммных пластинок
1.1 Аналитические и численные методы 13
1.2 Геометрические методы 29
II Геометрическое и физико-механическое моделирование параллелограммных пластинок
2.1 Основные условные обозначения, принятые в работе 35
2.2 Геометрическое моделирование формы пластинок 36
2.2.1 Коэффициент формы плоской области 36
2.2.2 Аффинные преобразования параллелограммов 37
2.2.3 Экстремальные свойства коэффициента формы параллелограмма. Изопериметрические теоремы 44
2.3 Физико-механическое моделирование интегральных характеристик пластинок 45
2.3.1 Физико-механическое и геометрическое подобие в задачах технической теории пластинок 45
2.3.2 Задачи технической теории пластинок 49
2.3.3 Сущность изопериметрического метода 50
2.3.4 Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы 54
2.3.5 Изопериметрическое теоремы 5о
2.4 Основные направления дальнейшего развития МИКФ 57
2.5 Основные выводы по главе II 58
III Определение интегральных характеристик пластинок с помощью микф
3.1 Способы выбора аффинных преобразований при использовании МИКФ 60
3.2 Методика определения интегральных характеристик с помощью МИКФ 64
3.3 Построение аппроксимирующих граничных функций для пластинок с шарнирно опёртым контуром 66
3.3.1 Поперечный изгиб пластинок 66
3.3.2 Свободные колебания пластинок 68
3.3.3 Продольный изгиб пластинок .' 72
3.3.4 Свободные колебания мембран 73
3.4 Построение аппроксимирующих граничных функций для пластинок с жёстко защемлённым контуром 76
3.4.1 Поперечный изгиб пластинок 76
3.4.2 Свободные колебания пластинок 77
3.4.3 Продольный изгиб пластинок 78
3.5 Построение аппроксимирующих граничных функций для пластинок с комбинированными граничными условиями 80
3.6 Другие приёмы определения интегральных характеристик с использованием Kt- 8t>
3.6.1 Использование условия KfF~ const 86
3.6.2 Использование коэффициента жёсткости контура 88
3.7 Выбор рациональных преобразований и геометрических параметров для интерполяции опорных решений 92
3.8 Экспериментально-теоретический способ решения двумерных задач теории упругости, связанных с параллелограммной областью 99
3.9 Построение полей прогибов и усилий для параллелограммных пластинок 102
3.9.1 Использование метода начальных параметров 102
3.9.2 Использование метода конечных разностей 105
3.10 Основные выводы по главе III 107
IV Разработка расчетно-исследовательского программного комплекса
4.1 Основные положения 109
4.2 Разработка исследовательской части программного комплекса 111
4.2.1 Определение коэффициента формы и площади заданного параллелограмма и граничных фигур 111
4.2.2 Определение решений для граничных и заданной пластинок 112
4.2.3 Автоматизированный подбор граничных пластинок и решений 114 4.3 Разработка расчётной части программного комплекса 121
4.3.1 Общий алгоритм действий '. 121
4.3.2 Особенности работы 122
4.3.3 Реализация стандартных функций Windows 123
4.3.4 Пример расчёта 124
Основные выводы 129
Список литературы 131
Приложение 1 145
- Геометрические методы
- Геометрическое моделирование формы пластинок
- Методика определения интегральных характеристик с помощью МИКФ
- Разработка исследовательской части программного комплекса
Геометрические методы
Среди приближённых методов решения задач технической теории пластинок геометрические методы занимают особое место. Возможность получения решения или приемлемых оценок интегральных физических характеристик путём сравнительно простых геометрических преобразований рассматриваемого объекта и элементарных расчётов часто делает геометрические методы предпочтительнее прямых физических методов. Из геометрических методов наиболее удобными и естественными являются косвенные методы решения, основная идея которых сводится к доказательству того, «что все рассматриваемые области некоторого множества, кроме какой-то одной (или нескольких), не могут служить решением задачи, поэтому та единственная фигура, которая мы не можем улучшить, и будет являться решением задачи» [22, с. 11].
К косвенным методам относятся изопериметрическии метод и метод интерполяции по коэффициенту формы, являющийся естественным развитием первого. Изопериметрической проблемой интересовались с древнейших времён. Так, со времён античности было известно, что круг имеет наибольшую площадь из всех фигур, имеющих одинаковый периметр (изопериметрических фигур). Основные геометрические изопериметрические теоремы были сформулированы древнегреческим математиком Зенодором в начале II в. до н.э. в трактате «О фигурах, имеющих равную периферию». Впервые в задачах механики изопериметрическии метод нашёл применение в работах Сен-Венана [63] и Релея [126]. Серьёзное развитие изопериметрическии метод нашёл в исследованиях Г. Полна и Г. Сеге, обобщённых в работе [59]. Фактически ими было положено начало системного применения данного метода к исследованию задач математической физики. Статья В. Шуманна [74] является одной из первых работ по применению изопериметрического метода для расчёта пластинок, находящихся в предельном состоянии. В ней было доказано, что из всех однородных пластинок с одинаковой площадью, нагруженных равномерно распределённой нагрузкой, пластинка круглой формы имеет наименьшую несущую способность.
В исследованиях учёных СССР и России изопериметрическая проблема в строительной механике поднималась с семидесятых годов. В статье [62] А. Саченков доказал изопериметрические теоремы об основной частоте колебаний треугольных и четырёхугольных пластин постоянной толщины.
В дальнейшем, такими авторами как Коробко В.И., Мануйлов Г.А. изо-периметрический метод был существенно развит, расширены возможности его применения в технической теории пластинок. Так, ряд работ Г.А. Мануйлова [48...51] посвящен использованию изопереметрии и геометрических приёмов в расчётах мембран и пластинок. Эти работы связаны с применением операции симметризации Штейнера и десимметризации к областям в виде четырёхугольников - ромбов, параллелограммов и др. Ряд выводов, полученных в этих статьях, повторяют решения и результаты, полученные В.И. Коробко в работах [34, 35,37... 39,41].
Серьёзно систематизирован и развит изопериметрический метод в докторской диссертации В.И. Коробко [40], где впервые основные результаты решения задач строительной механики представляются в изопериметрическом виде: труднодоступные физические величины выражаются через легкодоступные геометрические характеристики пластинок - площадь, периметр, коэффициент формы и т.д. Получены решения для определения частот собственных колебаний, максимального прогиба и критической силы при потере устойчивости пластинок различного очертания в том числе и ромбических.
В более позднее время изопериметрический метод наряду с другими геометрическими методами использовался в кандидатской диссертации Коробко А.В.[25]
В исследовании [72] при решении задач на устойчивость ромбических и параллелограммных пластин также применён изопериметрический метод, установлена взаимосвязь задач продольного и поперечного изгиба пластинок, показан ряд возможностей её использования для получения оценок критического усилия пластинок. в статье [33] приведены оценки критического усилия для некоторых па-раллелограммных пластин, полученные с помощью изопериметрического подхода для случая шарнирного опирания по контуру. Анализ данных говорит о хорошей точности предлагаемого способа.
С позиции изопериметрического метода в работе [42] предлагается анализ задач колебаний. Основная идея заключается в возможности получения одно- или двустороннего изопериметрического неравенства при переходе от заданной пластинки к двум другим с известными решениями.
В работе [55] методика изопериметрического метода применяется для решений задач колебаний упругих пластинок различного очертания, в т.ч. ромбических и параллелограммных. Доказано наличие функциональной связи между основной частотой колебаний пластинок и коэффициентом их формы, построены аппроксимирующие функции «основная частота колебаний - коэффициент формы», которые могут использоваться для построения двухсторонних изопериметрических неравенств при оценке основной частоты колебаний пластинок произвольного вида и для нахождения опорных решений при использовании метода интерполяции по коэффициенту формы.
Работы [17, 18, 26] являются одними из первых, где для расчёта парап-лелограммных пластин применяется метод интерполяции по коэффициенту формы. В них показана возможность использования различных непрерывных геометрических преобразований и получения аналитических зависимостей. представляемых в изопериметрическом виде, для определённого ограниченного множества областей, соответствующих какому-либо одному геометрическому преобразованию. При этом необходимым условием является наличие хотя бы двух известных опорных решений для двух областей из рассматриваемого множества. Геометрические преобразования могут быть выбраны произвольно, что значительно упрощает и сокращает выбор опорных решений Это позволяет при ограниченном количестве известных решений получит! аналитические зависимости для широкого множества областей.
Геометрическое моделирование формы пластинок
При сравнении геометрических фигур необходимо выбирать определённые критерии сравнения, в качестве которых часто используют площадь и периметр фигур. При сравнении правильных многоугольников таким критерием может быть число сторон, при сравнении прямоугольников - соотношение длин сторон, при сравнении ромбов - угол между смежными сторонами и т.д. При сравнении же фигур разных классов, например, круг и трапеция, эллипс и квадрат, как показали исследования Г. Полна и Г. Сеге [59], можно использовать интегральную характеристику формы фигур - коэффициент формы. Рассмотрим произвольную выпуклую область (рисунок 2.1) и зададимся уравнением её контура в полярных координатах г = г(ф). Выберем внутри области точку «а» и опустим из неё перпендикуляр h на касательную, проведённую к переменной точке контура области. Интеграл по периметру заданной области: где ds - линейный элемент контура, является количественной характеристикой её формы и называется коэффициентом формы. Он численно определяет степень «правильности» (симметричности) плоских фигур и позволяет сравнивать их между собой. Для областей с полигональным контуром выражение (2.1) представляется в виде суммы: где n - число сторон многоугольника, a остальные принятые обозначения указаны на рисунке 2.2. Для областей с криволинейным контуром формула (2.1) принимает следующий вид [59]: Выбор полюса влияет на величину коэффициента формы. В любой выпуклой фигуре имеется только единственная точка, обеспечивающая ему минимальное значение (Kf = min Kfa) [59]. Именно такие значения Kf будут применяться в дальнейшем.
Из приведённых зависимостей легко выводятся формулы для определения значений коэффициента формы для наиболее распространённых геометрических фигур. Например: -для круга Kf=27i; - для прямоугольника Kf = 4(a/b + b/a), где а и b - стороны прямоугольника; - для эллипса Kf = я(а/Ь + Ь/а), где а и b - полуоси эллипса; - для треугольника Kf = 2ctg(a/2)ctg(p/2)ctg(Y/2), где а, (3, у - углы треугольника; - для правильного п-угольника Kf = L/R = L2/(2A), где L, R, А - соответственно периметр, радиус вписанной окружности, площадь фигуры. В монографии [22] доказана закономерность, которая касается свойств коэффициента формы. Если представить распределение значений Kf в координатных осях Kf - R/p (где R - наибольший радиус вписанной в фигуру окружности, р - наименьший радиус описанной вокруг нее окружности), то: - все множество значений коэффициента формы для областей с выпуклым контуром ограничено с двух сторон: нижнюю границу образуют эллипсы, а верхнюю - многоугольники, описанные вокруг окружности, все стороны которых касаются этой окружности (включая и правильные многоугольники); - для четырехугольных и треугольных областей нижнюю границу образуют прямоугольники. Эти свойства и закономерности графически представлены на рисунке 2.3. Выделим основные из них, которые были сформулированы в работе [25], и будут в дальнейшем использованы: - коэффициент формы - величина безразмерная и не зависит от масштаба фигур; - для фигур, имеющих центр симметрии, min Kfa достигается тогда, когда полюс "а" совпадает с ним; - для фигур, имеющих одну ось симметрии, полюс "а", обеспечивающий min Kfa, лежит на оси симметрии; - из всего множества фигур с выпуклым контуром наименьшее значение коэффициента формы имеет круг; - из всего множества п-угольников наименьшее значение Kf имеет правильный п-угольник; - из двух правильных п-угольников меньшее значение Kf имеет тот, у ко торого большее число сторон.
Методика определения интегральных характеристик с помощью МИКФ
Пусть задана параллелограммная пластинка, для которой требуется определить интегральную характеристику. Для этого необходимо выбрать опорные пластинки и объединить их и заданную одним геометрическим преобразованием. При аффинных преобразованиях необходимо, чтобы граничные условия опорных и заданной пластинок были одинаковыми. Наиболее универсальным аффинным преобразованием является растяжение (или сжатие) со сдвигом. При этом вершины параллелограмма параллельно скользят по направляющим, которые могут быть кривыми или прямыми. Эти преобразования подробно описаны в главе П (рисунок 2.9). Таким образом, существенно расширится круг опорных решений, что позволит применять наиболее оптимальные преобразования для получения решений с максимальной точностью. Для иллюстрации изложенного рассмотрим ряд примеров использования МИКФ. Пусть задана шарнирно опёртая пластинка с соотношением сторон а/Ь=2 и острым углом а = 60 (Kf = 11,547; А = 1,735 Ь ).
Необходимо найти основную частоту колебаний пластинки. Данный параллелограмм можно получить в результате аффинного преобразования прямоугольника с основанием а и высотой с, который обратится в ромб со стороной а и углом р (рисунок 3.4). При этом вершины прямоугольника скользят по направляющей прямой под углом у к горизонту. При у = 20 опорными пластинками являются прямоугольная (с = 0,684Ь, Апр=1,368 ь2, КГпр-13,0бЗ,(вЧ)=«32,232Л/5 /А) и ромбическая (р « 38,747, АР=2,504Ь2, КГр=12,782,шр=27,495 /пі/А) пластинки. личается от известного значения на 0,22%. Таким образом, из представленного примера видно, что для повышения точности расчётов необходимо выявить оптимальные углы наклона направляющей при данном преобразовании. Выполнение подобной работы вручную займёт очень много времени ввиду большого количества вычислений, поэтому для этой цели требуется создать исследовательский программный комплекс. При построении аппроксимирующих функций для прямоугольных и ромбических пластинок использовались известные решения и программные комплексы Table Curve 1.10 и Table Curve 2.2. Причём для каждой кривой использовалось не менее четырёх известных значений. По заданным точкам подбирались аппроксимирующие кривые и определялись отклонения от заданных значений. Далее требовалось проанализировать представленные результаты и выявить наиболее удобные к применению и более точные функции. Полученные функции могут использоваться для определения интегральных характеристик любых ромбических и прямоугольных пластинок. Для прямоугольных шарнирно опёртых по контуру пластинок известным решениям для максимального прогиба хорошо удовлетворяют следующие аппроксимирующие функции:где а = -0,12270493; b = 266,6443189; Kw - значение прогиба, приведённое к единичной площади и цилиндрической жёсткости. Данные для построения этих кривых приведены в таблице 3.1. Выражение (3.1) с высокой точностью описывает известные результаты [71] и будет использована при составлении программного комплекса; формула (3.2) менее точна, однако легко может применяться для ручного счёта. Результаты вычислений по формулам (3.1) и (3.2) представлены в таблице 3.1.
Разработка исследовательской части программного комплекса
Рассмотрим произвольный параллелограмм (рисунок 3.4). С учётом обе значений, принятых на рисунке 3.4, алгоритм данной части программы можн записать в следующей последовательности. 1 В соответствующие поля ввода рабочего окна программы (рисуно 4.1) пользователем вводятся значения исходных геометрических параметро параллелограмма, причём угловые размеры вводятся в градусах или доля градуса в десятичной системе исчисления; размерность линейных размеров н имеет значения. Далее будем иллюстрировать выполнение алгоритма на конкретно: примере. Пусть требуется найти Kf и А параллелограмма и граничных фигу при аффинном преобразовании (см. п. 3.2). Исходные данные: а = 2, b = а = 60, у = 12, преобразование - по умолчанию, интерполяция - по площади, 2 Высота граничного прямоугольника определяется по формуле: c = Изображение преобразования. Программа вырисовывает в левом ниж нем углу рабочего окна красным цветом заданный параллелограмм, синим цветом - граничные фигуры, направляющую - зелёным цветом. Все фигуры изображаются в масштабе. В случае других видов преобразований, предусмот ренных программой, направляющая соединяет соответствующие точки гра ничных фигур. В общем случае в соответствующие поля ввода пользователь сам поме 113 ищет граничные решения для полученных опорных пластинок.
Однако в программе предусмотрено автоматическое определение решений для перечисленных в п. 4.1 задач. Нужные задачи выбираются из разворачивающегося списка «Тип задачи». Допустим, требуется определить основную частоту колебаний при шарнирном опираний по контуру. Для граничных фигур эта характеристика определяется по формулам (3.5...ЗЛО). Для прямоугольной пластинки: ромбической пластинки:1 Подбор производится изменением угла наклона направляющей от 0 до значения, заданного пользователем ранее. Пользователь помещает в соответствующие поля ввода шаг изменения наклона направляющей и, при желании, может исключить нужный диапазон. Подбор начинается после нажатия кнопки «Анимация». На каждый подбор программа тратит 0,4 секунды, за это время производятся описанные выше вычисления и рисуется рисунок преобразования. Затем наклон направляющей увеличивается на заданный шаг, прежний рисунок стирается и процесс происходит заново до тех пор, пока угол наклона не достигнет установленного пользователем предела. Мелькание кадров создаёт анимацию процесса подбора. При желании можно оставить на экране промежуточные граничные фигуры, установив галочку в опции «Шлейф». Остаиовить анимацию можно, нажав кнопку «Стоп». На самом деле, на весь подбор даже очень большого количества пластинок и решений программа затратит менее одной секунды (точное время зависит от используемого процессора).
Интервал в 0,4 секунды установлен именно для поддержки анимации, в противном случае на экране пользователь ничего не увидит. Допустим, пользователем установлен шаг изменения угла направляющей 3. Исходя из этого, программа подберёт пять вариантов граничных пластинок и искомых решений. Все необходимые расчётные данные заносятся в таблицу, определяются большее и меньшее из решений, а так же среднее арифметическое, В правом верхнем углу рабочего окна на графике схематично указывается отклонение решений от среднего значения в зависимости от угла наклона направляющей. Рабочее окно с перечисленной информацией открывается при нажатии кнопки «Данные» (рисунок 4,2). Рисунок с графиком может сохраняться в точечном ( .bmp) файле, копироваться в буфер обмена и выводиться на печать. Таблица с данными сохраняется в текстовый файл или копируется в буфер обмена в специально сфор матированном виде. Это обусловлено: во-первых, определёнными неудобствами при создании и управлении базами данных расчётов, что делает приложение менее мобильным; во-вторых, возможностью открытия текстового файла из электронных таблиц Excel для последующей обработки данных и печати. В таблице 4.1 приведён результат автоматизированного подбора рассматриваемого примера.
