Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 6
КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ 14
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ . .36
2.1. Основные соотношения теории тонких непологих оболочек
произвольного очертания 36
Геометрия произвольной оболочки в исходном состоянии 36
Геометрия оболочки в деформированном состоянии 40
Физические соотношения упругих произвольных непологих оболочек 46
Последовательность выполнения основных операций метода конечных элементов 48
Треугольный криволинейный конечный элемент 50
Геометрия элемента 50
Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций 52
Матрица жесткости 56
2.4. Четырехугольный криволинейный конечный элемент 59
Геометрия элемента 59
Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций 61
Матрица жесткости конечно-элементной модели 63
Примеры расчета 64
2.7. Деформация объемного тела вращения при осесимметричном
нагружении 77
Основные соотношения 78
Матрица жесткости конечного элемента 80
2.7.3. Пример расчета 81
Выводы по главе 88
3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РЕШЕНИИ ТРЕХМЕРНЫХ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 89
3.1. Основные соотношения теории упругости сплошной среды 89
Исходное состояние 89
Зависимости между компонентами тензора деформаций и составляющими компонентами вектора перемещения 91
Соотношения между напряжениями и деформациями для сплошной изотропной среды 93
3.2. Объемный конечный элемент в виде тетраэдра с четырьмя
узловыми точками 95
Геометрия элемента 95
Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций 98
Матрица жесткости конечного элемента 106
3.3. Объемный конечный элемент в виде треугольной призмы с первыми
производными узловых перемещений 109
Геометрия элемента 109
Выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций 111
Матрица жесткости 117
3.4. Объемный восьмиузловой конечный элемент 117
Геометрия элемента 1І7
Выбор узловых неизвестных 120
Матрица жесткости 122 *
3.5. Примеры расчета 123
3.6. Примеры расчета тонкостенных конструкций 146
Выводы по главе 155
4. РАСЧЕТ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК НА ОСНОВЕ
ОБЪЕМНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 156
4.1. Основные соотношения двух пересекающихся цилиндрических
оболочек 156
Геометрия оболочек в исходном состоянии на границе пересечения 156
Матрица преобразования компонент вектора перемещения одной оболочки через компоненты вектора перемещения другой оболочки . .160
4.2. Пример расчета 166
Выводы по главе 172
5. ВЕКТОРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ОБЪЕМНОГО ВОСЬМИУЗЛОВОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА . . .173
5.1. Матрица жесткости восьмиузлового конечного элемента с
векторной аппроксимацией полей перемещений 173
5.2. Примеры расчета 178
Выводы по главе 186
6. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА В
ИССЛЕДОВАНИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 187
6.1. Основные соотношения нелинейной теории упругости 187
Геометрия тела 189
Суммарные деформации и напряжения после завершения j-шагов нагружения 190
Деформации и напряжения на шаге нагружения 194
Формирование матрицы жесткости конечного элемента на шаге нагружения 192
Примеры расчета 197
6.4. Нелинейное деформирование при наличии особой точки 202
Алгоритм метода дискретного продолжения по параметру в окрестности особой точки 202
Реализация метода дискретного продолжения по параметру в нелинейной конечно-элементной процедуре 206
6.5. Пример расчета 208
Выводы по главе 216
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 217
ЛИТЕРАТУРА 219
ПРИЛОЖЕНИЕ 254
а»
Введение к работе
Надежность эксплуатации инженерных сооружений во многом зависит от точности расчетов на прочность, выполняемых на стадии проектирования. В связи с этим возникает необходимость разработки и усовершенствования новых эффективных методов расчета различных конструкций на прочность-., и жесткость.
Развитие вычислительной техники и увеличение мощности электронно-вычислительных машин обусловили широкое внедрение в расчетную практику численных методов. Среди других численных методов решения линейных и нелинейных задач строительной механики, механики деформируемого твердого тела наибольшее распространение в последнее время получил метод конечных элементов (МКЭ). МКЭ стал практически одним из основных численных методов для решения широкого круга краевых задач механики сплошной среды. Суть метода заключается в том, сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы представляется совокупностью отдельных конечных элементов, связанных между собой в узловых точках и имеющих конечное число степеней свободы. При заданных физико-механических свойствах материала определяется взаимосвязь между неизвестными узловыми перемещениями или усилиями и внешними воздействиями. В результате расчет сводится к решению системы с конечным числом линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
МКЭ во всех его различных формулировках предусматривает следующие основные этапы расчета: замена исходной конструкции дискретной моделью; выбор узловых неизвестных и аппроксимирующих функций; формирование матрицы жесткости или податливости и вектора нагрузок; определение компонентов напряженно-деформированного состояния исследуемой конструкции путем решения полученной (СЛАУ).
Для МКЭ характерны - широкий диапазон применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и механическим характеристикам материалов, простота учета взаимодействия конструкций с внешней средой (механические и температурные нагрузки), высокая степень приспособленности к автоматизации всех этапов расчета. Непосредственный переход к расчетной схеме дает возможность естественно формулировать граничные условия, произвольно располагать узлы сетки дискретных элементов, сгущая ее в местах ожидаемого большого градиента искомых величин, применять метод для исследования областей состоящих из фрагментов различной физической природы.
Понятие конечных элементов было впервые введено М. Тернером, Р. Клафом, X. Мартином, Л. Топпом. Дальнейшее развитие метода отражено в работах зарубежных и отечественных исследователей Дж. Аргириса, Е.Л. Вильсона, М.Р. Айронса, Р.У. Клафа, У.М. Дженкинса, O.K. Зенкевича, А.В. Александрова, A.M. Масленникова, Л.А. Розина, Н.Н. Шапошникова, В.А. Постнова, И.Я. Хархурима, Д. В. Вайнберга, А.С. Сахарова и др.
Литература, посвященная теории и реализации МКЭ, довольно обширна (в последние годы изданы книги [30, 181, 351]). Особо следует отметить книги O.K. Зенкевича [53] и В.А. Постнова, И.Я. Хархурима [155], в которых исчерпывающе изложена теория метода и дано ясное представление его реализации на ЭВМ.
В подавляющем большинстве работ по МКЭ метод, как правило, используется в форме метода перемещений. МКЭ в форме метода перемещений для решения произвольных сложных конструкций дает численные процедуры значительно более простые и стандартные, а с этим связаны простота алгоритмизации и программирования и большая универсальность МКЭ в варианте метода перемещений. В настоящей работе рассматривается подход, основанный на МКЭ в форме метода перемещений.
Цель работы заключается в развитии метода конечных элементов в форме метода перемещений для решения задач строительной механики и механики деформируемого тела в линейной и нелинейной постановках с учетом смещения конструкции как жесткого целого, в разработке алгоритмов формирования матриц жесткости высокоточных четырех-, пяти- и шестигранных объемных конечных элементов, в составлении комплекса программ применительно к персональному компьютеру, реализующих теоретические разработки и внедрение его в практику инженерных расчетов.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
На основе соотношений теории упругости разработаны четырех-, пяти-и шестигранные объемные конечные элементы, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные (при размерах матриц жесткости 48x48, 72x72, 96x96 соответственно), с функциями формы на основе использования полиномов Эрмита в их комбинации с полными двумерными полиномами;
Показана эффективность использования объемных конечных элементов в расчетах на прочность достаточно тонких оболочек, что позволяет учитывать поперечные и сдвиговые деформации без привлечения дополнительных гипотез;
3. Для разработанного шестигранного конечного элемента на линии
сочленения двух непологих оболочек получены соотношения для выражения
узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные
другой оболочки, необходимые в исследовании напряженно-деформированного
состояния в зоне сочленения элементов конструкций;
4. Для объемного конечного элемента шестигранной формы предложен
векторный способ аппроксимации полей перемещений, позволяющий в полной
мере учитывать смещения конечного элемента как жесткого целого;
5. Разработаны основы теории деформирования оболочек как
трехмерного тела с учетом геометрической нелинейности при шаговом
нагружении;
На основе разработанной теории реализован алгоритм формирования матрицы жесткости объемного элемента шестигранной формы в геометрически нелинейной постановке;
Разработан алгоритм дискретного продолжения решения по параметру на основе метода конечных элементов в окрестности предельной точки деформирования конструкций в геометрически нелинейной постановке.
Практическая ценность диссертационной работы заключается:
в разработке алгоритмов формирования матриц жесткости объемных четырех-, пяти- и шестигранных конечных элементов, за узловые неизвестные которых выбирались перемещения и их первые производные;
в создании программ для расчета на прочность оболочек и других инженерных конструкций в геометрически линейной и нелинейной постановках, которые могут эффективно использоваться научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, деятельность которых связана с проектированием и эксплуатацией сложных инженерных конструкций;
в использовании программ для уточненного расчета на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования, что позволяет проектировать экономически наиболее выгодные конструкции' с обеспечением их надежной эксплуатации.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
основы теории деформирования оболочки как трехмерного тела в геометрически нелинейной постановке при шаговом способе нагружения;
векторный способ аппроксимации полей перемещений объемного шестигранного конечного элемента;
- новый вариант получения функций формы для четырехгранного и
пятигранного конечных элементов, за узловые неизвестные которых
выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные;
алгоритмы формирования матриц жесткости четырех-, пяти- и шестигранных объемных конечных элементов за узловые неизвестные, которых выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные;
методика определения напряженно-деформированного состояния пересекающихся оболочек с использованием объемных конечных элементов;
алгоритм учета смещения конструкции как жесткого целого с использованием восьмиугольного конечного элемента;
алгоритм дискретного продолжения по параметру в окрестности предельной точки деформирования оболочек с использованием восьмиугольного конечного элемента в геометрически нелинейной постановке.
Достоверность научных положений обеспечивалась: корректной математической постановкой задач при использовании теории упругости, методов вычислительной математики и векторного анализа; сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований и экспериментальными данными других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различном количестве дискретных элементов рассчитываемой конструкции. Кроме того достоверность конечных результатов неоднократно была проверена независимо от автора по месту внедрения разработанных программ.
Реализация
Материалы выполненного исследования, реализующие теоретические результаты диссертационной работы, включены в программы для PC по расчету на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования в ОАО «ОРГЭНЕРГОНЕФТЬ», ОАО «ВОЛГОГРАД-
НЕФТЕМАШ», ОАО «РЕМГАЗКОМПЛЕКТПОСТАВКА». С использованием разработанных программ можно выполнять уточненный расчет на прочность конструктивных элементов нефтегазового и химического оборудования, что позволяет проектировать экономически наиболее выгодные конструкции с обеспечением их надежной эксплуатации без дополнительных затрат на ремонт.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка используемой литературы (343 наименования) и приложения, изложена на 256 странице машинописного текста, содержит 65 рисунков и 14 таблиц.
Во введении обосновывается актуальность использования численного
метода конечных элементов для исследования напряженно-деформированного
состояния инженерных конструкций, оболочек с различной толщиной стенок с
учетом геометрической нелинейности, формулируется цель выполненного
исследования, ее научная новизна, практическая ценность и общая
характеристика диссертационной работы. - *1
В первой главе изложен краткий исторический обзор развития численного метода конечных элементов в задачах исследования напряженно-деформированного состояния инженерных конструкций по опубликованным материалам отечественных и зарубежных авторов.
Во второй главе представлен вывод основных соотношений произвольных непологих оболочек с использованием гипотезы прямых нормалей в линейной постановке. Разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости двумерных четырехугольных и треугольных конечных элементов, соответственно с размерами матриц жесткости 72x72 и 54x54. Приводится пример расчета напряженно-деформированного состояния осесимметрично нагруженного объемного тела вращения с использованием кольцевых конечных элементов четырехугольного сечения.
В третьей главе с использованием уравнений механики сплошной среды представлен вывод основных соотношений трехмерных тел в линейной
постановке. Разработаны алгоритмы формирования матриц жесткости объемных конечных элементов в виде тетраэдра, призмы с треугольным основанием и шестигранного восьмиугольного конечного элемента, за узловые неизвестные которых выбирались компоненты вектора перемещения и их первые производные, соответственно с размерами матриц жесткости 48x48 и 72x72 и 96x96. Предложены новые варианты формирования функций формы для четырехгранного и конечного элемента в виде призмы с треугольным основанием. Приводятся примеры расчета напряженно-деформированного состояния объемных трехмерных тел и примеры расчета тонкостенных оболочек с использованием трехмерной теории упругости.
В четвертой главе изложен вывод основных соотношений для пересекающихся оболочек. Для разработанного шестигранного конечного элемента на линии сочленения двух оболочек получены соотношения для выражения узловых неизвестных одной оболочки через соответствующие неизвестные другой оболочки. Приводятся примеры расчета пересекающихся цилиндрических оболочек.
В пятой главе разработан алгоритм формирования матрицы жесткости
шестигранного конечного элемента, за узловые неизвестные которого выбирались векторы перемещений узловых точек и их первые производные. Предложен векторный способ интерполяции перемещений внутри конечного элемента и на его границах, который заключается в аппроксимации непосредственно самого вектора перемещения внутренней точки конечного элемента через векторы перемещений узловых точек. Приводятся примеры расчета.
В шестой главе изложен вывод основных соотношений теории деформирования оболочек как трехмерных тел в геометрически нелинейной постановке при шаговом нагружении. Разработан алгоритм дискретного продолжения по параметру в окрестности предельной точки деформирования оболочки на основе метода конечных элементов в геометрически нелинейной
постановке. Приведен пример расчета тонкостенной оболочки со значительными перемещениями, загруженной линейной нагрузкой.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии, в частности, с темой 4.5 «Напряженно-деформированное состояние конструкций и оболочек при больших перемещениях с учетом упруго-пластического состояния материала».
