Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние проблемы. Задачи исследования 10
1.1. Область применения мягких оболочек 10
1.2. Теоретическое направление исследований мягких оболочек 15
1.2.1. Базовые формы оболочек в расчетных моделях 15
1.2.2. Задачи и принципиальные схемы расчета 16
1.2.3. Основные направления теоретических исследований 17
1.3. Исследование оболочек численными методами 18
1.3.1, Численные методы расчета тонких оболочек 18
1.3.2. Численные методы исследования мягких оболочек 31
1.4. Выводы по главе 1 43
1.5. Задачи исследования 45
2. Конечно-элементная модель конструкций с мягкими оболочками 47
2.1 Общая постановка задачи 47
2.2. Основные допущения 48
2.3. Кинематические соотношения 49
2.4. Физические соотношения. Энергия деформации 57
2.4.1. Энергия деформации элемента в бесскладчатом состоянии оболочки 61
2.4.2. Энергия деформации элемента при одноосном напряженном состоянии 65
2.5. Деформационные составляющие в конечно-элементной модели 69
2.6. Выражение действия давления внутренней и внешней сред через потенциалы давления 74
2.6.1. Описание распределения давления внутренней и внешней сред 75
2.6.2. Потенциалы давления сред 77
Составляющие давления сред в конечно-элементной модели 81
Составляющие давления сред в плоской задаче
деформирования оболочек 84
Разрешающие уравнения МКЭ и их структура 86
Структура матрицы касательной жесткости 88
Частные случаи уравнений равновесия 88
2.12.1. Тентовая конструкция 88
2.12.2. Пневмоконструкция под действием избыточного давления 89
2.12.3. Уравнения равновесия равнонапряженной пленки, натянутой на заданный контур 90
Заключение по главе 2 91
Схемы решения разрешающих уравнений МКЭ 94
Краткий обзор основных методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, получаемых при решении краевых
задач теории оболочек 94
3.1.1. Метод простой итерации . 94
3.1.2. Методы линеаризации 95
3.1.3. Методы спуска 96
3.1.4. Методы установления 99
3.1.5. Метод дифференцирования по параметру 100
3.1.6. Метод продолжения по параметру 101
3.1.7. Модифицированный метод простой итерации для сеточных аналогов нелинейных краевых задач 101
Особенности деформирования конструкций с мягкими оболочками 102
Предлагаемые схемы решения разрешающих уравнений МКЭ 103
3.3.1. Схема 1 104
3.3.2. Схема 2 105
3.3.3. Схема 2* 105
3.3.4. Схема 3 106
3.3.5. Схема3* 107
3.3.6. Схема 4 108
Итерационное уточнение корня 108
Выбор исходного состояния модели конструкции 109
Сходимость решения в случаях образования складок 110
Основа алгоритма расчета конструкций с мягкими оболочками 111
Оптимизация итерационного процесса решения разрешающих уравнений 113
Заключение по главе 3 114
Тестирование модели деформирования 116
Плоские задачи теории упругости 117
4.1.1. Растяжение-сжатие полосы 117
4.1.2. Пластинка под действием сдвигающих усилий на боковых гранях 118
4.1.3. Чистый изгиб прямого бруса 119
4 Л А. Кинематическое воздействие на стержень 120
4.1.5. Сравнение состояний равновесия при кинематическом и эквивалентном ему силовом воздействиях 122
4.1.6. Обсуждение результатов решения плоских задач теории упругости 124
Задачи деформирования мягких оболочек 126
4.2.1. Тестовая задача 1 127
4.2.2. Тестовая задача 2 128
4.2.3. Тестовая задача 3 131
4.2.4. Обсуждение результатов решения задач расчета мягких оболочек 133
Численный эксперимент по исследованию сходимости итераций в расчетных схемах 134
Модель оболочки в численном эксперименте 134
Исследование влияния составляющих матрицы касательной жесткости 136
Исследование влияния соотношения характерных параметров нагрузки и жесткости оболочки
Исследование сочетаний расчетных схем 141
Заключение по главе 5 146
Задачи деформирования оболочек общего вида 148
Нагружение оболочки избыточным давлением и локальной нагрузкой 149
Обжатие поддутой оболочки плоскостью 156
Нагружение оболочки постоянным давлением 165
Заключение по главе 6 168
Анализ нелинейного деформирования 170
Схемы анализа нелинейного деформирования 170
Тестирование методики анализа 173
Характерные особенности деформирования стержня 176
Характерные особенности деформирования мягкой оболочки 181
Исследование деформирования мягкой оболочки, используемой в строительных сооружениях
Постановка задачи 187
Результаты расчетов 18 8
Экспериментальная проверка модели деформирования 194
Постановка задачи эксперимента 194
Установка для проведения испытаний 195
Методика проведения эксперимента 198
Результаты экспериментальных исследований 198
Результаты, полученные МКЭ, и сравнение их с данными экспериментальных исследований
Основные выводы 204
Список использованных источников
- Базовые формы оболочек в расчетных моделях
- Энергия деформации элемента в бесскладчатом состоянии оболочки
- Метод дифференцирования по параметру
- Модель оболочки в численном эксперименте
Введение к работе
Актуальность проблемы. Широкое применение экономически выгодных конструкций с мягкими оболочками, дальнейшее их совершенствование является одним из направлений научно-технического прогресса. Особо бурное развитие это направление получило за последние десятилетия. В значительной степени этому способствовали создание и производство современных высокопрочных материалов, обладающих также другими положительными характеристиками и свойствами.
Создание сложных, а в большинстве случаев уникальных объектов с мягкими оболочками требует тщательного анализа их работы. Экспериментальные исследования таких объектов связаны с большими материальными затратами, удлиняют сроки разработок, а зачастую являются невыполнимыми. Поэтому новые подходы к анализу ориентированы на использование компьютерных технологий и численных методов.
Одним из современных- численных методов является метод конечных элементов (МКЭ). Однако применение МКЭ к расчету конструкций с мягкими оболочками сопряжено с рядом трудностей, обусловленных проблемами нелинейного деформирования тонких оболочек в сочетании с особенностями формообразования мягких оболочек. Вследствие этого степень отработки методов и алгоритмов решения задач статики еде недостаточна, а решение статических задач получают, как правило, на базе динамических моделей. Вместе с тем создаваемые программные комплексы не охватывают всего многообразия задач, возникающих в практике проектирования.
При проектировании сложных объектов с мягкими оболочками рассматриваются и рассчитываются многие варианты конструктивных решений при различных исходных данных. Использование более простых и эффективных алгоритмов, позволяющих выявить свойства конструкций на этапе их проектирования, является экономически целесообразным. Поэтому усилия ученых и исследователей направлены на совершенствование существующих и поиск новых подходов к расчету мягких оболочек.
Цель работы:
разработка более полной статической модели нелинейного деформирования конструкций с мягкими оболочками, учитывающей большие геометрические изгибания оболочки в целом или отдельных ее частей, одноосность напряженного состояния в зонах сжатия материала, воздействие внутренней и внешней сред (газ, жидкость) на оболочку посредством введения и использования потенциалов давления сред;
разработка методики численного анализа, позволяющей находить критические нагрузки, целенаправленно определять смежные формы равновесия, выявлять и исследовать характерные свойства конструкций при деформировании;
реализация модели и методики в программах для ЭВ
Общая методика исследования. На базе общих положений теорий тонких и мягких оболочек, численных методов решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела строится математическая модель деформирования конструкций с мягкими оболочками. На основе этой модели и метода продолжения решения по параметру разрабатывается методика анализа нелинейного деформирования. Численными и экспериментальными исследованиями подтверждается достоверность результатов, полученных по алгоритмам, созданным на основе модели и методики.
Научня новизна диссертационной работы заключается в следующем:
1. Разработана математическая модель, позволяющая численно исследо
вать формообразование и напряженное состояние конструкций с мягкими
оболочками общего вида при статическом нагружении.
Основу модели составляют:
A. Новая конечно-элементная модель, построенная на базе подхода, вклю
чающего:
кинематические соотношения, устанавливающие связь деформаций в элементе с удлинениями его сторон. Соотношения позволяют обеспечить совместность элементов и вместе с тем точно представить в элементах жесткие смещения и постоянные деформации независимо от величины перемещений;
физические уравнения, отражающие слабую сопротивляемость материала оболочки усилиям сжатия и сдвига;
использование потенциалов давления сред. Введение потенциалов позволяет точнее учесть воздействие сред при больших перемещениях оболочки, а также в случаях образования зон одноосного напряженного состояния. В критическом состоянии оболочки составляющие матрицы касательной жесткости, обусловленные давлением сред, являются естественными параметрами регуляризации решения задачи;
представление полной потенциальной энергии системы функцией координат узлов;
получение разрешающих уравнений прямой минимизацией функции энергии по координатам, характеризующим деформированное состояние;
получение матрицы касательной жесткости в форме матрицы Якоби вектор-функции узловых сил.
B. Разработанные автором схемы итерационного решения разрешающих
уравнений, основанные на использовании предложенной процедуры в сочета
нии с уравнением для определения ее параметра. Выбор параметра позволяет:
обеспечить сходимость итерационного процесса вне зависимости от удаленно
сти равновесного состояния; исследовать закритические состояния модели; це
ленаправленно находить смежные формы равновесия, соответствующие задан
ной нагрузке, в случае нескольких решений системы разрешающих уравнений.
2. Разработана методика численного анализа нелинейного деформирова
ния конструкций. Методика базируется на математической модели и методе
продолжения решения по параметру. В результате анализа определяются состояния равновесия, соответствующие заданной нагрузке, находится критическая нагрузка, выявляются характерные свойства конструкции при ее деформировании.
На защиту выносятся:
-
Новая конечно-элементная модель.
-
Схемы решения разрешающих уравнений, базирующиеся на предложенной процедуре в сочетании с уравнением для определения ее параметра.
-
Методика анализа нелинейного деформирования конструкций.
-
Результаты тестирования модели, методики и программ расчета.
-
Результаты численного эксперимента и экспериментальных исследований.
-
Решения демонстрационных задач деформирования оболочек общего вида, в том числе оболочки строительного назначения.
-
Результаты численного анализа деформирования моделей конкретных конструкций.
Практическая ценность работы заключается в разработке модели нелинейного деформирования конструкций с мягкими оболочками, а также методики анализа этой модели с доведением полученных теоретических результатов до программ расчета. Использование модели и методики позволяет исследовать деформирование мягких оболочек в докритических и закритиче-ских областях, выявлять характерные свойства новых конструкций.
Реализация результатов работы. На основе модели и методики разработаны алгоритмы и программы, позволившие выполнить расчет мягкой оболочки дирижабля полужесткой конструкции. Результаты работы переданы также на ФГУП "Научно-производственное предприятие "Прогресс" (г. Омск) и могут быть использованы при разработке изделий с мягкими оболочками.
Апробация работы. Результаты выполненной работы докладывались и обсуждались на региональных, отраслевых и всесоюзных конференциях в период с 1983 по 1996 годы, а также на:
Международной 52-й научно-технической конференции БГПА "Технические ВУЗы - Республике" (Минск, 1997 г.);
Международной научно-технической конференции, посвященной 55-летию Омского госуд. технического университета (Омск, 1997 г.);
Сибирской школе-семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" в ИГиЛ СО РАН (Новосибирск, 1997 г.);
расширенном научном семинаре лаборатории механики композитных материалов ИМСС УрО РАН (Пермь, 1998 г.);
Зимней школе по механике сплошных сред (двенадцатой) в ИМСС УрО РАН (Пермь, 1999 г.);
Международной научно-технической конференции "Динамика систем, механизмов и машин" в ОмГТУ (Омск, 1999 г.);
научном семинаре кафедры "Математическое моделирование систем и процессов" ПГТУ (Пермь, 1999 г.);
расширенном заседании кафедры "Сопротивление материалов" ОмГТУ (Омск, 2000 г.);
Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в ИМСС УрО РАН (Пермь, 2001 г.);
семинаре кафедры "Прикладная механика" МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, 2003 г.);
семинаре кафедры "Строительная механика" Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ) (Москва, 2003 г.);
Международной научно-практической конференции "Дорожно-транспортный комплекс, экономика, экология, строительство и архитектура" в СибАДИ (Омск, 2003 г.);
XXXIII и XXXTV Уральских семинарах по механике и процессам управления (г. Миасс, 2003 и 2004 гг.);
расширенном заседании кафедры "Строительная механика" СибАДИ (Омск, 2004 г.).
Публикации. По тематике исследований опубликовано 30 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и библиографического списка из 260 наименований.
Базовые формы оболочек в расчетных моделях
При использовании МКЭ для расчета тонких оболочек, прежде всего, возникает проблема выбора конечного элемента (КЭ), позволяющего получить достаточную точность при минимальных затратах. По мере совершенствования МКЭ накапливается информация о свойствах конечных элементов, появляются сведения о новых элементах, как правило, искривленных, позволяющих за счет увеличения размеров элементов уменьшить число разрешающих уравнений, не снижая при этом точности аппроксимации оболочки и ее контура.
Основы построения искривленных КЭ тонких оболочек с учетом механики их деформирования изложены в монографии А. И. Голованова и М. С. Корнишина [57]. Авторы приводят обзор наиболее известных конечных элементов тонких оболочек, в котором помимо указания литературы излагаются основные этапы построения соответствующих матриц жесткости и дается качественный анализ их свойств. В обзоре рассматривается около 70 различных искривленных КЭ тонких оболочек и свыше 30 плоских элементов оболочек и пластин.
Авторы обращают внимание на две проблемы, с которыми приходится сталкиваться при расчетах тонких оболочек,
Первая из них связана с малой толщиной оболочек. Доказано [121], что приближенное решение, полученное одним из проекционно-сеточных методов, в частности МКЭ, будет сходиться к точному решению лишь в том случае, когда выполнены условия согласованности или конформности конечных элементов. Удовлетворить требованиям согласованности в рамках классической теории намного сложнее, чем при использовании теории типа Тимошенко. Но, как уже было отмечено, при уменьшении толщины оболочки точность решения, полученного по второй из теорий, резко снижается. Если не использовать специальные приемы, то для получения приемлемого решения необходимо разбивать оболочку на элементы, размеры которых соизмеримы с толщиной, что приводит к быстрому возрастанию объема вычислений.
Вторая проблема связана с наличием кривизны оболочки. Суть ее в том, что приближенные выражения для деформаций должны достаточно точно описывать, по крайней мере, нулевое и постоянное деформированное состояние. Но в случае оболочек, этим требованиям можно удовлетворить точно, лишь нарушив совместность и, наоборот, построив совместный элемент, нельзя в общем случае точно представить в нем ни жестких смещений, ни постоянных деформаций.
Обе проблемы присущи КЭ, построенным как на основе классической теории, так и на основе сдвиговой теории типа Тимошенко. Во втором случае эти проблемы осложняются тем, что помимо мембранных и изгибных деформаций появляются и сдвиговые.
Таким образом, построение искривленных сдвиговых КЭ тонких оболочек не менее сложно, чем КЭ без учета сдвига.
Особое внимание авторы работы [57] уделяют проблеме удовлетворения требованиям, гарантирующим быструю сходимость. Изложены различные способы улучшения свойств элементов с анализом возможности распространения этих способов с одних типов элементов на другие.
Вычислительные трудности, связанные со сходимостью конечно-элементного расчета, отмечаются в работе [255]. Здесь обсуждается применение МКЭ в нелинейном анализе напряженно-деформированного состояния оболочек аэростатов в процессе подъема и полете на заданной высоте. Предложенный автором подход основан на том, что для тонких оболочек нулевой гауссовой кривизны компоненты мембранного решения могут быть отделены от компонент изгибного решения. В соответствующую замещающую задачу введена малая искусственная жесткость, которая обеспечивает должную сходимость конечно-элементного расчета без существенного влияния на компоненты мембранного решения.
А. С. Сахаровым в работе [172] предложена моментная схема конечных элементов (МСКЭ), позволяющая учесть все виды смещений элемента как жесткого целого. Теоретическое обоснование, развитие и практическая реализация МСКЭ изложены в монографии [171]. На базе МКЭ и МСКЭ разработана автоматизированная система «Прочность», ориентированная на исследование прочности, устойчивости и динамики гладких и ребристых оболочек, массивных тел и комбинированных конструкций. С помощью подхода, использующего МСКЭ, исследовано закритическое поведение гибких пологих и не пологих оболочек при различных видах нагрузки.
Для оболочек, расчет которых основан на классической теории, условие согласованности оказывается трудновыполнимым, поэтому было создано множество конечных элементов, основанных на несогласованных аппроксимациях. Однако применение несогласованных элементов не позволяет делать выводы о точности расчетов.
В работе [217] приводится сравнение трех программных комплексов для расчета тонкостенных оболочечных конструкций высотных аэростатов. Отмечается, что существующие конечно-элементные коммерческие программы не удовлетворяют целям оптимального проектирования и требуют усовершенствования.
Метод конечных элементов для расчета пластин и оболочек, построенный на варианте теории оболочек типа Тимошенко, изложен в монографии Р. Б. Рикардса [163]. Здесь на базе теории типа Тимошенко построены функционалы типа Лаграижа, Рейснера, Кастильяно и функционал обобщенного вариационного принципа. На основе этих функционалов получен ряд новых конечных элементов. Проведено их тестирование в задачах изгиба, устойчивости и колебаний.
Энергия деформации элемента в бесскладчатом состоянии оболочки
В случаях, когда исходные нелинейные уравнения были получены в результате минимизации некоторого функционала J(x), вариационная формулировка задачи является естественной и никакой замены не требуется [127].
Среди различных вариантов спуска наиболее известны метод покоординатного спуска и градиентные методы, в частности, метод наискорейшего спуска, метод сопряженных градиентов, метод сопряженных направлений, параллельных касательных и др. [19,43, 156].
В методе покоординатного спуска при нахождении минимума функции Ф(х) фиксируются значения всех координат, за исключением одной, и далее находится минимум функции Ф(х) в направлении этой координаты. После этого переходят к спуску по следующей координате.
Метод спуска по координатам несложен, но сходится он медленно, а при наличии оврагов функции Ф(х) — очень медленно [91]. Поэтому этот метод используют в качестве начальной попытки при нахождении минимума Ф(х).
В методах градиентного спуска итерационный процесс поиска минимума функции Ф( ) ведется по схеме заданное начальное приближение к точке минимума. Необходимо учитывать, что различные начальные приближения могут привести к различным точкам локального минимума. Условием окончания процесса служит соотношение
Важным моментом в методах градиентного спуска является выбор шага. Используемые условия для выбора шага h = h(k) и их реализация определяют различные варианты градиентного спуска.
Одним их градиентных методов спуска является метод наискорейшего спуска. В этом методе h выбирается из условия, чтобы функция Ф(х) за очередной шаг h = h максимально уменьшила свое значение: Таким образом, выбор шага К сводится к определению минимума функции одной переменной.
В градиентных методах сопряженных направлений, сопряженных градиентов, параллельных касательных для поиска минимума Ф(х) осуществляется поочередный спуск по сопряженным направлениям.
Для квадратичной функции с симметричной положительно определенной матрицей А процесс спуска по сопряженным направлениям сойдется точно к минимуму функции Ф(х) за конечное число шагов, в то время как, для получения решения уравнений (3.1) методами покоординатного спуска и наискорейшего спуска требуется бесконечное число итераций. Два вектора х и у называют сопряженными (по отношению к заданной матрице А), если они ортогональны в смысле скалярного произведения (х, Ау\ т. е. если
Для квадратичных функций Ф(х) методы сопряженных направлений, сопряженных градиентов, параллельных касательных и др. применяются с одинаковым успехом. На произвольные функции наиболее хорошо обобщается метод сопряженных направлений.
Основная идея метода сопряженных направлений заключается в следующем [46, 91, 120]. Взаимно сопряженные векторы линейно независимы, поэтому система п сопряженных векторов является базисом в пространстве ЕР. Для матрицы А имеется бесчисленное множество базисов, состоящих из взаимно сопряженных векторов. Любые два вектора базиса связаны соотношениями Из точки хо совершаются спуски до минимума поочередно по каждому из сопряженных направлений /. При этом каждый спуск минимизирует свой член суммы (3.5), вследствие этого минимум функции (3.3) достигается после одного цикла спусков, т. е. за конечное число шагов.
Процесс построения сопряженного базиса хорошо отработан [34]. Хотя понятие сопряженного базиса определено только для квадратичных функций, однако алгоритм спуска по сопряженным направлениям формально распространяется и на произвольные функции [91]. Метод сопряженных направлений считается одним из самых эффективных из методов спуска.
Метод установления [19, 120] заключается в том, что решение некоторой стационарной задачи Ах Ь (3.6) рассматривается как результат установления (при / -» оо) развивающегося во времени процесса x(t). При этом находится решение задачи Коши для некоторого нестационарного уравнения с тем же оператором А, например вида
Следовательно, приближенные методы решения задачи (3.7), (3.8) используются для построения итерационных алгоритмов решения уравнений (3.4).
Различные виды операторов Q и различные виды аппроксимаций по t в уравнениях (3.7) позволяют получить разнообразные методы решения
Применительно к задачам статики мягких оболочек суть метода установления состоит в том [88], что к рассматриваемой модели объекта в течение короткого промежутка времени прикладывается известное внешнее возмущение, меняющееся по определенному закону. Под действием нагрузки конструкция совершает колебания, которые при наличии диссипативных сил носят затухающий характер. При достаточно больших t устанавливается равновесное состояние, причем обычно необходимо сделать 1-Ю3-3-Ю3 шагов по времени [132].
Метод дифференцирования по параметру
Из приведенных таблиц следует, что комбинация схем с циклом: 1+1 уже дает уменьшение количества итераций основного метода хотя бы на единицу. Так как каждая из схем предполагает решение системы алгебраических уравнений, то эффект от такой комбинации обусловлен лишь экономией времени, которое затрачивается на формирование матрицы жесткости в дополнительном методе.
В четвертом сочетании после очередного шага по схеме 3 следовало п шагов по схеме 2, Следовательно, исследовалась комбинация схем с циклом: 1 шаг по схеме 3 + п шагов по схеме 2.
Количество итераций по схеме 3 для варианта внешних нагрузок 1 представлено в табл. 5.8. В скобках указано суммарное количество итераций в цикле.
При сопоставлении данных табл. 5.8 с данными табл. 5.6 видно, что предыдущее сочетание схем дает более заметное снижение числа итераций основного метода. Однако рассматриваемое четвертое сочетание эффективнее, так как в схеме 2 нет операций формирования матрицы касательной жесткости и решения системы алгебраических уравнений.
Данные табл. 5.8 свидетельствуют о том, что сочетание: 1 шаг по схеме 3 +2 шага по схеме 2, уже дает снижение количества шагов основной схемы 3 на 1 или 2, а число итераций по схеме 2 еще не столь велико, чтобы погасить полученный при этом эффект.
На основании численного эксперимента делаются следующие выводы: составляющие давления сред в матрице касательной жесткости оказывают существенное влияние на итерационный процесс решения разрешающих уравнений МКЭ; процесс с использованием схемы 3 во всех рассматриваемых случаях был сходящимся и для заданной нагрузки при любом из 4-х вариантов исходной формы приводил к одному результату. Процесс на основе метода Ньютона-Канторовича при исходных формах, удаленных от равновесных, в ряде случаев приводил к другому решению, а при использовании упрощенного варианта этого метода не являлся сходящимся; численным экспериментом подтверждается целесообразность оптимизации итерационного процесса получения решения разрешающих уравнений, схема которого приведена в разд. 3.8; из рассмотренных сочетаний расчетных схем наиболее оптимальным, с точки зрения автора, является сочетание с циклом:
Рассматриваемые в задачах оболочки имеют достаточно общий вид, а действие той или иной статической нагрузки не вызывает принципиальных затруднений при расчете. Именно по этой причине в задаче 3 выбран простейший вид нагружения.
Сложность решения данных задач заключается в их существенной нелинейности (как геометрической, так и физической). Геометрическая нелинейность обусловлена перемещениями оболочек под нагрузкой, соразмерными с максимальными размерами самих оболочек. Кроме того, деформирование оболочек сопровождается появлением зон сжатия материала, при этом необходимо учитывать неспособность мягкой оболочки воспринимать сжимающие усилия, т. е. учитывать нелинейность физическую.
С целью сравнения результатов, получаемых по линейной физической модели и нелинейной модели, учитывающей переход к одноосному напряженному состоянию в зонах сжатия, расчеты выполнены как по одной, так и другой моделям.
Необходимо отметить, что нагружение локальной нагрузкой не характерно для мягких оболочек, однако для иллюстрации возможностей модели задача 1 является вполне приемлемой, так как в целом, и форма оболочки, и усилия в элементах, удаленных от точки приложения силы, дают верную картину деформирования.
Рассчитывалась изотропная оболочка, имеющая две плоскости симметрии х - L/2 и у = 0, исходное ненапряженное состояние которой представлено на рис. 6.1. Размеры оболочки указаны на этом же рисунке. Толщина недеформированной оболочки: t0 - 10" м. Физические свойства материала: =107Па; v = 0,35.
Прогибы оболочки в точке приложения силы представлены на рис. 6.2. Пунктирная линия соответствует линейной физической модели, в которой упругие константы материала при растяжении и сжатии принимались равными (Осж = D), Сплошная линия соответствует нелинейной модели, учитывающей отличие свойств материала при растяжении и сжатии (Осж Ф D).
Вместе с тем форма оболочки в первом и во втором случаях физических соотношений имеет принципиальные отличия. Эти отличия связаны с появлением при Fz = 200 Н зон сжатия, характеризуемых сжимающим главным усилием Тъ Формы профилей оболочки в плоскостях у = 0 и х = 1/2 изображены на рис. 6.3 и 6.4.
Пунктирные линии соответствуют линейным физическим соотношениям Сплошные линии на рис. 6.3 и 6.4 соответствуют случаям моделирования складчатого состояния, т. е. случаям Осж Ф D.
Как видно из приведенных рисунков, формы профилей при Осж = D являются нереальными для мягкой оболочки и обусловлены явлением "мембранного запирания" элементов. При переходе к модели одноосного напряженного состояния формы профилей оболочки принимают реальные очертания.
Можно отметить, что на начальных итерациях решения задачи при Fs 200 Н отмечались случаи, когда оба главных усилия были сжимающими. В таких элементах (также как и при одном сжимающем усилии) осуществлялся переход к модели одноосного напряженного состояния. По окончании итерационного процесса проверкой не выявлено главных усилий Ті 0 при всех задаваемых значениях силы Fz. Одновременно с этим установлено, что в зонах сжатия Тг = 0.
Данные, соответствующие силам F-, при которых имеются зоны одноосного напряженного состояния, отделены жирной чертой от данных, соответствующих Fz, при которых таких зон нет.
Как следует из этой таблицы, при образовании зон сжатия (F2 200 Н) метод Ньютона-Канторовича не обеспечивает сходимости итерационного процесса. Связано это с величиной шага в направлении вектора 8, так как в методе Ньютона-Канторовича задаваемому шагу соответствует а = 1. По схеме 3 во всех расчетных случаях решения получены, но при моделировании складчатого состояния сходимость замедляется.
В случае линейных физических соотношений {DCDIC = D) оба метода в рассматриваемой задаче сходятся, однако сходимость метода Ньютона-Канторовича значительно хуже, чем метода с использованием схемы 3.
Модель оболочки в численном эксперименте
Исследованием установлено, что при указанных условиях закрепления нагружение оболочки внутренним давлением сопровождается образованием областей с отрицательной гауссовой кривизной срединной поверхности. Эта особенность наблюдалась при всех заданных значениях внутреннего давления/?.
Например, при р = 400 Па проекции пространственных кривых, соответствующих профилям недеформированной оболочки в меридиональных сечениях с угловыми координатами ф, на плоскости сечений ф + Дф показаны на рис. 8.3. Здесь значения ф - первые слагаемые в скобках, вторые слагаемые -величины Дф.
Углы Дф получены следующим образом. Профиль недеформированной оболочки, соответствующий меридиональной плоскости сечения ф = const, в результате деформации образует пространственную кривую. Преобразование поворота относительно оси х позволяет получить координаты произвольной точки А(г(ф ), х) этой кривой, где г((р ) = усоэф + z sirup , ф = ф + Аф.
Положение плоскости, на которую проектируется кривая, определено из условия максимума функции /=ХГ/ по параметру Дф. Суммирование выпол нено для узловых точек цилиндрической части оболочки.
С целью наглядности рисунка перемещения v и w увеличены в 100 раз по отношению к размеру оболочки h.
Эпюры перемещений профилей поперечных сечений д: = 0 (кривая 2) и х = (L- 1)12 (кривая 3) изображены на рис. 8.4. Перемещения v и w также увеличены в 100 раз. Кривая / соответствует исходному профилю цилиндрической части оболочки.
Для сравнения на рис. 8.5 построена эпюра перемещений оболочки в меридиональных сечениях (кривая 3) при граничных условиях на кромках: и Ф 0, v Ф 0, w 0. В этом случае эпюры для всех сечений идентичны, что является следствием независимости перемещений от угловой координаты ф.
Эпюра, изображенная на рис. 8.5 линией 7, получена при увеличении не только перемещений v и w, но и перемещений и. Линией 2 изображена эпюра, соответствующая случаю закрепления полюсов сфер (точки х = -1/2; y = z 0 и х = L-112; y = z ). Все перемещения также увеличены в 100 раз.
При других значениях/ получены аналогичные результаты. Нагружение оболочки дополнительной нагрузкой qy или qx приводит к появлению зон с отрицательным главным усилием Тг, а при дальнейшем увеличении боковой или продольной нагрузок происходит их расширение и зарождение зон с отрицательным главным усилием Т\. Такими зонами являются окрестности точек сферических частей оболочки с координатами у = z = 0.
Зависимость относительной нагрузки qy/p, при которой появляются зоны с усилиями 7 2 0, от внутреннего давления показана на рис. 8.6 (нижняя кривая). Верхняя кривая на этом рисунке соответствует предельной нагрузке qy/p, при которой еще нет отрицательных главных усилий 7 {. При усилии в элементе 7 2 0 осуществлялся переход к физической модели одноосного напряженного состояния.
Для случая совместного действия р = 400 Па и qy = 0,3р проекции перемещений профилей меридиональных сечений, аналогичные проекциям, изображенным на рис. 8.3, показаны на рис. 8.7. Перемещения v и w увеличены в 10 раз по отношению к размеру оболочки h.
Эпюры перемещений профилей поперечных сечений Л: = 0 (кривая 2) и x = (L — 1)12 (кривая 3) изображены на рис. 8.8. Перемещения v и w также увеличены в 10 раз. Кривая 1 соответствует исходному профилю цилиндрической части оболочки. Сопоставление эпюр, изображенных на рис. 8.3 и 8.4, с соответствующими эпюрами на рис. 8.7 и 8.8 показывает, что перемещения от нагрузки qy почти на порядок превосходят перемещения от действия давления р. Следовательно, характерное свойство мягких оболочек — подверженность большим геометрическим изгибаниям - заметно проявляется в данной задаче.
Исследованием устойчивости оболочки при нагрузках qx и qy, не превышающих предельных значений, соответствующих появлению зон с усилиями Т\ О, установлена устойчивость симметричной формы равновесия при задаваемых в численном эксперименте вариантах возмущающих воздействий.
Таким образом, при деформировании составной мягкой оболочки возможно возникновение областей с отрицательной гауссовой кривизной срединной поверхности, а также проявление краевого эффекта в зонах сопряжения частей оболочки. Эти особенности мягких оболочек известны и освещены в литературных источниках [162, 203, 206 и др.]. Глава 9
Экспериментально исследовалось симметричное деформирование полусферической оболочки радиуса R с отсеченными частями. Схема оболочки в исходном состоянии изображена на рис. 9.1. Отсечением частей плоскостями х = 0 и х = L уменьшалось общее число плоскостей симметрии оболочки до двух: у - О и х = L/2. На всех кромках задавались условия закрепления и = v = w - 0.
Оболочка, находящаяся под действием внутреннего давления р, обжималась жесткими поверхностями (штампами), имеющими форму плоскости и сферы, радиус которой равнялся 4,48 см. В каждом из этих вариантов смещение поджимающей оболочку поверхности было направлено вдоль оси z, а первоначальный контакт штампа с оболочкой происходил в точке C(L/2, 0, zc), где zc— координатаz точки С при давлении/?.
Экспериментально определялось смещение штампа, характеризуемого координатой ZQ = R + wc, где wc — перемещение оболочки в точке С, в зависимости от усилия поджатия Fz, прикладываемого к штампу.
Установка для проведения испытаний Для проведения испытаний была спроектирована и изготовлена установка (рис. 9.2), позволяющая реализовать условия закрепления оболочки и ее нагружение согласно постановке задачи эксперимента. Схема установки представлена на рис. 9.3.
Основанием установки служит швеллер 1, лежащий на ребрах полок (см. рис. 9.3). Базовой горизонтальной поверхностью является наружная поверхность стенки швеллера. К швеллеру крепится стойка 2 с присоединенной к ней балкой 3. Втулка 6, жестко соединенная с балкой, обеспечивает вертикальное направление перемещения штока 7. К верхнему концу штока крепится стол 5 для установки заданного груза 4, а к нижнему - съемные штампы 8, служащие для обжатия оболочки. Поверхности штампов (плоскость, сфера, конус), контактирующие с оболочкой, имели класс чистоты не ниже 10-го.
