Введение к работе
Актуальность темы:
Коллективная динамика ансамблей систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одной из фундаментальных задач нелинейной физики. Интенсивные исследования в этой области, ведущиеся на протяжении более 20 лет, связаны с высокой степенью актуальности для целого спектра прикладных задач: от исследования колебательных режимов в решетках микро- и наномеханических осцилляторов и динамики атомарных конденсатов в решеточных оптических структурах до анализа механизмов регуляции клеточного состава адаптивной иммунной системы и коллективных эффектов в социо- экономических моделях.
Методы, традиционные для радиофизики (в первую очередь, теория колебательно-волновых процессов), являются мощным инструментом в решении этих задач. К настоящему моменту их применение позволило достигнуть значительного прогресса в изучении и понимании процессов конкуренции и синхронизации в живых системах, локализации и распространения волновых пакетов в физических системах, структурооб- разования в сложных ансамблях различной природы.
Оказалось, что во многих случаях названные эффекты неразрывно связанны. Наиболее ярким примером, пожалуй, является классическая проблема резонансного взаимодействия в системе трех мод- осцилляторов с квадратичной нелинейностью в функции связи. Различные колебательные режимы обмена энергией между модами, вытекающие из соотношений Мэнли-Роу, (преимущественное сохранение энергии в низкочастотных модах, возбуждение низкочастотных мод за счет перекачки энергии из высокочастотной) можно рассматривать и как конкуренцию, и как процессы модовой локализации-делокализации энер- 1
гии .
1 Отметим, что эффекты конкуренции и локализации возникают и в пространственно -непрерывных средах, описываемых уравнениями в частных производных (конкуренция мод, динамика солитонов, бризеров, кинков, сопутствующая локализация в прямом и обратном пространстве), составляя, однако, отдельную фундаментальную физическую проблему, которая в настоящей работе не рассматривается.
Вместе с тем следует констатировать значительный пробел в теории этих явлений, связанный с тем, что указанные коллективные эффекты преимущественно изучались в рамках упрощенных моделей: либо пространственно-однородных систем, либо ансамблей с линейным взаимодействием между элементами ансамблей. Это было продиктовано высокой сложностью даже упрощенных задач, как для теоретического, так и для численного анализа. В большинстве реальных систем, однако, принципиальную роль играют как беспорядок (пространственная неоднородность параметров), так и нелинейность межэлементных связей.
На сегодняшний день прогресс в решении целого ряда задач физики, биологии и социо -экономики невозможен без разработки теории коллективной динамики — делокализации и распространения волновых пакетов, конкуренции и структурообразования — в колебательных ансамблях с одновременным присутствием как беспорядка, так и нелинейного взаимодействия.
Одной из основополагающих работ в области колебательно- волновой динамики нелинейных систем является исследование Э. Ферми, Д. Пасты и С. Улама (1954), в котором рассмотрена задача о делокализации энергии, сосредоточенной в низкочастотных модах в модели атомарной цепочки с нелинейными связями. Авторы предполагали, что именно нелинейное взаимодействие между элементами (приводящее к неинтегрируемости уравнений) лежит в основе детерминистического механизма термализации системы, равнораспределения энергии по всему спектру. Однако численные эксперименты показали, что энергия остается локализованной в нескольких низкочастотных модах на протяжении всего времени интегрирования, практически полностью возвращаясь к начальному распределению с некоторой периодичностью.
Потребовалось несколько десятилетий активных исследований (Ф.М. Израйлев, А.М. Косевич, Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич, Д.Л. Ше- пелянский, Б.В. Чириков, G. Benettin, J. Ford, L. Galgani, A. Giorgilli, H. Kantz, M. Kruskal, A.J. Lichtenberg, R. Livi, S. Paleari, T. Penati, A. Ponno, A. Scotti, N. Zabusky и др.), чтобы установить, что существуют так называемые пороги слабой и сильной стохастичности по энергии, выше первого из которых колебания становятся хаотическими, оставаясь локализованными в низкочастотных модах, а выше второго происходит быстрая делокализация за счет развитого динамического хаоса, изучить зависимость этих порогов от размера системы и временных масштабов делока- лизации от энергии.
Однако, несмотря на усилия большого числа исследователей, последовательную теорию парадокса Ферми-Паста-Улама (ФПУ) долгое время построить не удавалось. В 2005 году было обнаружено существование q-бризеров в колебательной цепочке ФПУ — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, что позволило объяснить все основные особенности парадокса (М.В. Иванченко в соавторстве с С. Флахом и О.И. Канаковым [20]). Прикладная значимость этого результата стимулировала разработку общей теории q-бризеров: в системах с произвольным порядком нелинейности, двумерных и трехмерных решетках, в присутствии беспорядка (пространственной неоднородности) и применение к исследованию процессов делокализации, коллективных механических колебаний и теплопроводности в структурированных низкоразмерных наномасштабных системах.
Локализация энергии в прямом пространстве нелинейных колебательных решеточных систем также имеет длительную историю исследований. Было установлено наличие долгоживущих колебательных возбуждений — диксретных бризеров - амплитуда которых спадает экспоненциально по мере удаления от центральной точки: сначала как приближенных решений в численных экспериментах (А.А. Овчинников, S.J. Sievers, S. Takeno, K. Kisoda), а затем как точных периодических траекторий системы (S. Aubry, R.S. MacKay). Оказалось, что присутствие дискретных бризеров существенно влияет на распространение волновых пакетов, делокализацию энергии из начального локализованного возбуждения: делокализуется только часть энергии, а остальная остается в виде долгоживущего бризерного решения (S.J. Sievers, S. Takeno).
Несмотря на интенсивные исследования, делокализация и распространение волновых пакетов в нелинейных системах с беспорядком остается нерешенной проблемой (Б.Л. Альтшулер, И.Л. Алейнер, Д.М. Басько, Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич, А.С. Пиковский, S. Aubry, S. Fishman, S. Flach, M. Johansson, D. Krimer, S. Kopidakis и др.). В линейном случае одномерных и двумерных решеток осцилляторов с беспорядком все моды являются экспоненциально локализованными в прямом пространстве (так называемая андерсоновская локализация), а, следовательно, начальные волновые пакеты остаются локализованными. Нелинейность приводит к взаимодействию между модами и, потенциально, к делокализации и распространению волновых пакетов. Однако результаты аналитических и численных исследований в этой области противоречивы, а эксперименты хоть и показывают локализацию света и атомарных конденсатов в пространственных решетках, на настоящий момент недостаточно продолжительны, чтобы делокализация могла бы наблюдаться.
Конкурентная динамика характерна не только для физических, но и живых систем. Ее проявления на клеточном и молекулярном уровнях лежат в основе механизмов регуляции и функциональности. Многочисленные эксперименты позволяют все лучше объяснять физическую и химическую природу этих взаимодействий, однако их кооперативные эффекты по-прежнему практически не изучены. Основные успехи были достигнуты в нейродинамике и исследовании роли синхронизации в когнитивных функциях мозга (В.С. Анищенко, В.В. Астахов, Б.П. Безручко, В.Н. Белых, Е.В. Волков, А.С. Дмитриев, А.А. Короновский, А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, А.Ю. Лоскутов, В.В. Матросов, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, А.С. Пиковский, Д.Е. Постнов, М.И. Рабинович, М. Розенблюм, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхно, H. Abarbahel, S. Boccaletti, B.G. Ermentrout, E.M. Izhekevich, M. Hasler, J. Kurths, Y. Kuramoto, U. Parlitz, L. Pecora, S. Strogatz и др.).
Роль конкуренции в нейродинамических процессах также становится все более ясной (В.С. Афраймович, А.А. Короновский, А.Ю. Лоскутов, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, М.И. Рабинович, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхно, H. Abarbahel, E.M. Izhekevich, R. Huerta, T. Nowonty и др.), однако остается существенный пробел в понимании аналогичных процессов в ансамблях нейронов с генерацией сложных хаотических колебаний с несколькими характерными временными масштабами.
Гораздо меньше известно о роли конкуренции в процессах развития, роста и регуляции многоклеточных систем со сложной неоднородной структурой нелинейных взаимодействий, например иммунной системы (Г.А. Бочаров, Е.В. Волков, А. Заикин, А.А. Романюха, Л. Цим- ринг, R. de Boer, J. Carneiro, C. Grebogi, E. Frey, J. Garcia-Ojalvo, J. Kurths, G. Lythe, C. Molina-Paris, A. Perelson и др.). Классические результаты вымирания или сосуществования видов в традиционных экологических моделях типа Лотки-Вольтерра не могут быть непосредственно использованы здесь в силу ограничений малой размерности и (или) глобальной архитектуры связей. Современные математические теории химических реакций и экологического разнообразия видов учитывают подвижность клеток и пространственную неоднородность концентраций взаимодействующих и конкурирующих видов, однако ограничиваются малым числом популяций. Механизм динамического кластерообразования, недавно предложенный для описания дифференциации клеток в развивающихся тканях, учитывает многокомпонентность клеточных систем, однако исследован только в рамках приближения глобальной связи.
Схожая ситуация сложилась и в нелинейной динамике социо- экономических систем, где основные результаты в изучении структур пространственно-временной активности достигнуты в допущениях глобальной связи между элементами ансамбля, идентичности элементов, простых, преимущественно линейных функций связи, а во многих случаях анализируется сложная структура сетей взаимодействия, но не динамика.
Именно эти обстоятельства определяют актуальность темы диссертационной работы.
Цель диссертационной работы состоит в разработке теории коллективных динамических явлений делокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и диссипативных систем с нелинейной связью и беспорядком и ее применении для исследования процессов теплопроводности и распространения волновых пакетов в низкоразмерных физических решеточных системах, формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях, закономерностей принятия координированных решений в ансамблях взаимодействующих активных элементов.
Методы исследования и достоверность научных результатов.
Представленные в работе результаты получены с использованием методов нелинейной теории колебаний в сочетании с методами численного моделирования. Их достоверность подтверждается согласованностью аналитических и численных результатов; воспроизводимостью результатов численного моделирования; воспроизводимостью результатов на базе различных математических моделей; соответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы.
Научная новизна.
Проблема перехода от локализации к делокализации энергии в модовом пространстве решена в работе для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для
решеток различной размерности). Для этого развита теория q- бризеров — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, получены условия их неустойчивости и делокализации, показана их определяющая роль в процессах обмена энергией между взаимодействующими модами.
Впервые разработан численный алгоритм нахождения q-бризеров и определения их устойчивости в цепочках с произвольным порядком нелинейности с применением параллельного программирования (стандарт MPI), позволяющий исследовать q-бризеры в цепочках большого размера, используя высокопроизводительные компьютерные системы.
Теория q-бризеров распространена на случай пространственного беспорядка и решеток с оптическим типом спектра. Исследован вклад беспорядка в процессы делокализации и развития неустойчивости q-бризеров; показано, что в низкочастотной части спектра слабонелинейных акустических цепочек с беспорядком в пределе бесконечного размера существует зона локализованных q- бризеров, в оптических цепочках наличие пространственного беспорядка приводит к исчезновению подобной зоны при увеличении размеров системы. Предложен метод управления устойчивостью q-бризеров за счет создания пространственных неодно- родностей определенного вида.
Впервые проведено аналитическое исследование режимов теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Предсказано существование переходов между режимами изолятора, нормальной теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней энергии. Теоретические результаты нашли подтверждение в численных экспериментах. Проведенные численные эксперименты также позволили впервые показать связь характеристик неравновесного процесса распространения волновых пакетов и равновесного процесса теплопроводности.
Сделан существенный шаг вперед в теории конкуренции в многокомпонентных клеточных системах с неоднородной случайной структурой связей, установлены свойства масштабирования характеристик процесса конкуренции с размером ансамбля, обнаружен новый тип переходной переключательной динамики, не
требующий существования устойчивых гетероклинических последовательностей. Анализ модели развития и регуляции иммунных Т-клеток позволил впервые оценить ключевые биологические параметры: вероятность распознавания T-клеткой антигенного профиля и среднее число клонотипов Т-клеток, конкурирующих за профиль.
Разработана теория формирования структур переключательной активности в малых ансамблях нейронных осцилляторов с многомасштабными колебаниями и конкуренцией. Получены режимы моно- и бистабильности паттернов, показана структурная устойчивость переключательной активности по отношению к неидентичности параметров нейронных осцилляторов.
Установлена и проанализирована связь между переходом от локализации к делокализации возмущений, вызываемых одиночной пространственной неоднородностью, и переходом от мелкомасштабных пространственных структур к крупномасштабным в цепочечных и решеточных системах с беспорядком. Впервые обнаружена хаотическая пространственная бифуркация, вызванная нелинейным характером связи между элементами.
Практическая значимость состоит в том, что полученные результаты применимы в широком спектре физических, биологических и социо-экономических задач, где и нелинейное взаимодействие, и беспорядок неотъемлемо присутствуют и определяют коллективную динамику.
Делокализация q-бризеров описывает разрушение линейчатого спектра колебаний при превышении некоторого порога по нелинейности (энергии), что отвечает на вопрос о рабочем квазилинейном диапазоне решеток микро и наноэлектромеханических осцилляторов — перспективных устройств в задачах обработки информации, фильтрации в гигагерцовом диапазоне, прямого измерения масс молекул.
Анализ зависимости ширины зоны локализованных q-бризеров от размеров системы и средней энергии позволяет предсказать различные режимы теплопроводности в нанотрубках и нанопроводах, их характеристики. Полученные теоретические результаты согласуются с данными недавних физических экспериментов.
Теория распространения волновых пакетов в нелинейных средах с беспорядком тоже предсказывает и объясняет особенности переноса энергии в наноразмерных системах, что актуально для задачи теплоотво- да в наноэлектронике. Кроме того, она описывает имеющиеся и предсказывает новые результаты по динамике Бозе-Эйнштейн конденсатов в оптических решетках — в экспериментах, которые широко рассматриваются как «макроскопическая лаборатория квантовой физики».
Теория конкуренции в многокомпонентных биологических клеточных системах позволяет выявлять механизмы регуляции клеточного состава. В рассмотренном частном случае ансамбля Т-лимфоцитов — определить некоторые важнейшие биологические параметры иммунной системы (недоступные для прямого экспериментального измерения) на базе имеющихся экспериментальных данных. В перспективе, совокупность фундаментальных теоретических знаний и адекватных математических моделей может дать инструмент прогнозирования клеточной динамики, иммунного ответа, анализа тактики лечения заболеваний.
Теория формирования структур последовательной активности берстов в нейронных ансамблях с конкуренцией применима в задачах нейродинамики (обработки и хранения информации нейронными ансамблями), а также для разработки алгоритмических принципов искусственных интеллектуальных систем.
Полученные результаты в области структурообразования в математических моделях взаимодействующих активных элементов, при интерпретации задачи в терминах взаимодействия покупателей на рынке, дают представление о возможных режимах коллективного принятия решений в зависимости от пространственной неоднородности, силы и типа нелинейной связи. На этом основании могут формулироваться рекомендации качественного характера о тактике эффективного управления для регулятора рынка.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
-
Переход от локализации к делокализации энергии в модовом пространстве в широком классе колебательных решеток (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности) отвечает разрушению локализации точных периодических решений — q-бризеров.
-
Делокализация q-бризеров происходит при увеличении энергии, а также при увеличении размеров системы, когда порядок нелинейности потенциала взаимодействия меньше определенного порогового значения. Увеличение размерности решетки затрудняет
делокализацию. Долгоживущие возбуждения, локализованные в модовом пространстве, присутствуют и в термализованных решетках, а их характеристики и существование могут быть качественно объяснены теорией q-бризеров.
-
-
q-Бризерные решения существуют в нелинейных решеточных системах с пространственным беспорядком, как с акустическим, так и с оптическим спектрами линейных колебаний. Увеличение силы беспорядка приводит к переходу от локализации к делока- лизации энергии в модовом пространстве. В пределе малых энергий в системах с акустическим спектром зона q-бризерных решений сохраняется при произвольно большой длине цепочки, в системах с оптическим спектром — разрушается при превышении некоторого порога по длине, зависящего от силы беспорядка.
-
Беспорядок может как понижать порог неустойчивости q- бризеров по нелинейности, так и увеличивать, в зависимости от конкретной реализации. Возможно управление порогом устойчивости за счет создания пространственных неоднородностей.
-
Теория q-бризеров описывает различные режимы теплопроводности в моделях низкоразмерных наномасштабных атомарных структур с нелинейностью и беспорядком (цепочка-изолятор, нормальная теплопроводность, два режима аномальной теплопроводности с доминированием эффектов беспорядка и нелинейности соответственно), переходы между ними при изменении средней энергии и размеров системы.
-
Конкуренция за стимулы выживания в многокомпонентных неоднородных клеточных ансамблях является эффективным механизмом регуляции численности и селекции наиболее функциональных семейств (клонотипов) клеток. Зависимость доли вымирающих клонотипов и характерного времени переходных процессов масштабируются с увеличением размеров ансамбля; характеристики остаются постоянными, если фиксированы интенсивные параметры биграфа связанности ансамбля.
-
Конкуренция за стимулы выживания в многокомпонентных ансамблях является механизмом возникновения длительной переходной переключательной динамики.
-
В малых ансамблях нейроноподобных осцилляторов характеристики автономных берстов определяют генерацию структур последовательной пространственно-временной активности. Как в
случае широких, так и узких беретов их характеристики сильно зависят от силы конкурентного взаимодействия; во втором случае возникает бистабильность берстовых последовательностей. Генерируемые пространственно-временные последовательности берстовых колебаний структурно устойчивы по отношению к неидентичности параметров индивидуальных нейронов.
-
-
Ансамбли частотно-управляемых осцилляторов с нелинейной характеристикой связи и пространственной неоднородностью параметров в случае конкурентного взаимодействия демонстрируют развитие коротковолновых пространственных неустойчивостей; когда взаимодействие носит кооперативный характер, слабая связь приводит к образованию мелкомасштабной кластерной структуры, а сильная связь — к укрупнению кластеров. Процесс делокализации, перехода от локальной динамики к крупномасштабной, происходит при увеличении силы связей.
-
Сложная нелинейная связь между элементами в ансамблях фазо- управляемых осцилляторов может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации, координата которой в пространстве оказывается фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой.
Личный вклад автора. Результаты, опубликованные в статьях [1,3,4,5-9,15] получены лично автором. В совместных статьях [2,10,14,18,23,24] роль автора в выборе направлений исследований и постановке основных задач, получении и обсуждении результатов была ведущей; научные результаты в статьях [11-13,16,17,19-22] получены на паритетных началах с соавторами.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных научных семинарах, конференциях и симпозиумах «Topical Problems of Nonlinear Wave Physics» (Нижний Новгород, 2005), «10th Experimental Chaos Conference» (Catania, Italy, 2008), «Dynamics in Systems Biology» (Aberdeen, UK, 2009), «Advanced Workshop on Anderson Localization, Nonlinearity and Turbulence: a Cross-Fertilization» (Trieste, Italy), «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010), «Physics of Immunity: Complexity Approach» (Dresden, Germany, 2011), «Noise in Non- equilibrium Systems: From Physics to Biology» (Dresden, Germany, 2011).
Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, отделения НОЦ по нанотехнологиям на Биологическом факультете МГУ, Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems (Dresden, Germany), University of Leeds (United Kingdom), Institute for Nonlinear Science (University of California San Diego, USA).
По теме диссертации опубликованы 24 научных статьи в ведущих международных и российских рецензируемых физических журналах из списка ВАК [1-24], и 9 прочих печатных работ [25-33].
Исследования, результаты которых вошли в диссертационную работу, выполнялись при поддержке грантов РФФИ (02-02-17573-a, 05- 02-19815-MF-a, 05-02-90567-NNS-a, 06-02-16499-a, 06-02-16596-a, 07-02- 01404-a, 10-02-00865), EPSRC Ref. EP/G059780/1, INTAS Ref. No. 0483-2816, ФПЦ "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России", контракты 14.740.11.0075, П2308.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Диссертация содержит 337 страниц, включая 102 рисунка и список литературы из 198 наименований.
Похожие диссертации на Делокализация и конкуренция: коллективная динамика осцилляторных ансамблей с нелинейной связью и беспорядком
-
-
-
