Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Линейная интерференция случайных волн и образование больших волн 16
1.2 Механизм дисперсионного фокусирования как механизм формирования «волн-убийц» 18
1.3 Различные формы волн-убийц при наложении волн зыби и ветровых волн 33
1.4 Взаимодействие морских волн с вертикальной преградой 47
1.5 Заключение 55
ГЛАВА 2 Двухсолитонные взаимодействия в нелинейных моделях длинных волн в жидкости 56
2.1 Введение 56
2.2 Наблюдения солитонов в прибрежной зоне моря и основные уравнения 57
2.3 Двухсолитонное взаимодействие в рамках уравнения Кортевега - де Вриза 75
2.4 Двухсолитонное взаимодействие в рамках модифицированного уравнения Кортевега де Вриза 85
2.5 Заключение 95
ГЛАВА 3 Солитонная турбулентность в рамках интегрируемых длинноволновых моделей 96
3.1 Введение 96
3.2 Нелинейная динамика случайного ансамбля солитонов в рамках уравнения Кортевега - де Вриза 98
3.3 Однополярный солитонный газ в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза 109
3.4 Волны-убийцы в солитонных полях модифицированного уравнения Кортевега -де Вриза 117
3.5 Заключение 126
Заключение 127
Список литературы
- Различные формы волн-убийц при наложении волн зыби и ветровых волн
- Взаимодействие морских волн с вертикальной преградой
- Двухсолитонное взаимодействие в рамках уравнения Кортевега - де Вриза
- Однополярный солитонный газ в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза
Различные формы волн-убийц при наложении волн зыби и ветровых волн
Неожиданно появляющиеся на короткое время волны большой амплитуды на морской поверхности (волны - убийцы) сейчас приковывают внимание специалистов ввиду их опасности для кораблей и нефтяных платформ в море, портовых сооружений и туристических зон на побережье. Многочисленные данные наблюдений волн-убийц в различных районах Мирового Океана можно найти, например, в книгах [Лавренов, 1998; Куркин и Пелиновский, 2004; Kharif et al, 2009] и статьях [Лавренов, 1985; Лопатухин и др., 2003; Ливийский и др., 2004; Бадулин и др., 2005; Didenkulova et al, 2006; Liu, 2007; Nikolkina & Didenkulova, 2011, 2012]. Среди механизмов их появления в открытом океане отмечаются [Kharif et al, 2009]: а) суперпозиция большого числа индивидуальных спектральных компонент, двигающихся с различной скоростью и в различных направлениях (дисперсионное и геометрическое фокусирование); б) нелинейные механизмы модуляционной неустойчивости; в) взаимодействие морских волн с дном, течениями и ветровым потоком. Каждый из этих механизмов имеет свою специфику, которая, в конечном счете, проявляется в соответствующей вероятности появления волн - убийц и времени ее жизни. Каждый механизм приводит к разным формам волны - убийцы и сценариям их проявления. Все эти важные характеристики еще не достаточно исследованы.
В данном параграфе будет рассмотрен сценарий появления волн - убийц в море, основанный на дисперсионном фокусировании волновых пакетов распространяющихся в одном направлении. Этот механизм проявляется для диспергирующих волн любой физической природы, когда групповая скорость волн зависит от частоты (периода). В этом случае быстрые волны догоняют более медленные волны и обгоняют их. Очевидно, что для значительного фокусирования волновой энергии необходимо схождение большого числа квазимонохроматических пакетов. Любая реализация ветрового волнения демонстрирует волновые группы с переменной амплитудой и частотой, вопрос заключается лишь в достаточности имеющейся частотной и амплитудной модуляции ветровых волн для формирования волн-убийц. Существование редких экстремальных событий можно интерпретировать как локальную суперпозицию большого числа монохроматических волн с подходящими фазами, приводящую к формированию временных каустик в волновом поле. Данный механизм «работает» как для детерминированных (при определенных условиях на фазы спектральных компонент), так и для случайных волн, приводя к закономерному или случайному появлению аномально высоких волн. Он возможен как в линейной, так и нелинейной теории волн на воде, хотя, конечно, нелинейность приводит к своим особенностям в волновом поле [Пелиновский и Хариф, 2000; Пелиновский и др., 2003; Kharif et al, 2001; Pelinovsky et al, 2000; Shemer et al, 2007; Shemer and Dorfman, 2008].
Теоретические (аналитические) результаты по фокусированию волновых пакетов на воде получены, в основном, в линейной теории, в рамках так называемого параболического уравнения для огибающей волнового пакета, см., например, [Clauss and Bergmann, 1986; Magnusson et al, 1999; Shemer et al, 2002; Pelinovsky et al, 2003; Shemer and Dorfman, 2008]. Подчеркнем, что параболическое уравнение для волнового пакета может быть выведено для слабо модулированных волн в жидкости любой глубины, не обязательно бесконечно глубокой. Однако на мелководье дисперсия убывает, и процессы дисперсионного схлопывания происходят на очень больших временах (расстояниях), которые могут превышать физические размеры водного бассейна. Поэтому основное применение параболического уравнения связаны с жидкостью конечной, но не малой, глубины. Частным точным решением такого уравнения является гауссовый пакет [Clauss and Bergmann, 1986; Magnusson et al, 1999; Пелиновский и Хариф, 2000], который демонстрирует процесс появления аномально высоких волн и их исчезновения. Важно подчеркнуть, что параболическое уравнение справедливо при медленном изменении огибающей на масштабе несущей, так что волна - убийца представляет собой группу волн типа «три сестры»; термина, часто встречающегося в свидетельских описаниях явления. Однако оно не соответствует одиночной волне -убийце, описания которой также присутствует в литературе. Именно на описании процесса генерации одиночной волны-убийцы мы сосредоточимся в данном разделе.
В данной главе мы будем использовать следующие допущения: 1. Жидкость предполагается идеальной, несжимаемой и нестратифицированной. где и, w — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости жидкости, р - ее плотность, р - давление, g - гравитационное ускорение, х - горизонтальная координата, z - направленная вверх вертикальная координата и t - время. Жидкость ограничена снизу неподвижным горизонтальным дном z=-h, а сверху - свободной поверхностью, положение равновесия которой z=0 (рисунок 1.2.1).
Взаимодействие морских волн с вертикальной преградой
Такие волны крайне редко наблюдаются на поверхности океана. Если рассмотреть волны только очень большой амплитуды, троекратно превышающие значительную амплитуду волны, то число таких волн, как и следовало ожидать, существенно меньше на пространственно-временных диаграммах (рис. 1.3.9). Фактически все «естественные» волны-убийцы пропали, и заметно только расплывание аномально большой волны зыби.
Выберем более «маленькие» аномальные волны зыби с a/as = 2.2, 2.7, которые должны наблюдаться чаще. На рис. 1.3.10 изображены срезы волнового поля (по уровню двойного превышения значительной амплитуды) в случае эволюции «одной сестры» для трех разных амплитуд зыби в начальный момент времени, соответствующий формированию волны-убийцы. Естественно, что чем больше начальная амплитуда, тем дольше она будет превышать порог afr. срез волнового поля на уровне троекратного превышения значительной амплитуды. Для удобства выбран разный масштаб, а - «одна сестра»; б - «две сестры»; в - «три сестры»; г - «четыре сестры». И хотя по рисунку трудно сказать, где аномальная волна зыби теряется в ветровом волнении, имеющем «собственные» волны-убийцы, мы можем оценить время ее жизни. Так, в случае, когда alas = 2.2 (рис. 1.3.10а), время исчезновения аномальной волны составляет 1-2 мин, в случае a/as = 2.7 (рис. 1.3.106) - 2-3 мин, в случае a/as = 3.2 (рис. І.З.ІОв) - 6-7 мин.
Аналогичные рисунки могут быть приведены для аномальных волн зыби в виде «двух, трех и четырех сестер». Качественно они все похожи, будут меняться лишь интенсивность и ширина линий. В случае «двух сестер» для отношений а/а =2.2, 2.7 и 3.2 средние времена исчезновения аномальных волн зыби составляют 9, 15 и 35 мин соответственно; в случае «трех сестер» - 15, 50 и 80 мин, в случае «четырех сестер» время жизни превышает 2 ч, и такие долгоживущие волны уже трудно называть аномальными.
Данные о времени жизни волн-убийц в настоящее время фактически берутся из описаний моряков, которые сообщают, с какого расстояния они замечают аномальную волну. Естественно, что видимость с корабля напрямую зависит от погодных условий. Будем считать, что волна-убийца может быть заметна на расстоянии 500 м от корабля. Тогда, по данным диаграммам, полное время жизни (появление + исчезновение волны) всех видов волн зыби составляет примерно 4 мин (эта оценка сделана исходя из условия, что корабль находится на расстояния 500 м от места образования волны). Скорость зыби, вычисленная по наклону на пространственно-временных диаграммах, равняется примерно 5.8 м/с. Если пользоваться стандартной формулой для групповой скорости волнового пакета на глубокой воде можно вычислить время, за которое волна проходит расстояние 1000 м (500 м - до апогея волны и 500 м - после), оно равняется примерно 3 мин, что несколько меньше визуальной оценки в 4 мин в силу расплывания волнового пакета. Время жизни также может меняться в зависимости от положения корабля относительно «эпицентра» волны. Например, на расстоянии 20 км волной пакет зыби уже достаточно широк и расстояние 1 км волна-убийца проходит за 15 мин (рис. 1.3.8г, левая часть). Итак, если корабль находится близко к «эпицентру», то аномальные волны движутся с наибольшей амплитудой, но имеют меньшую продолжительность; и наоборот, если далеко - то амплитуды волн-убийц сравнительно небольшие, но корабль будет трясти дольше (в силу дисперсионного расплывания волновой пакет на больших расстояниях будет шире).
И здесь в заключение скажем, что с уменьшением глубины бассейна время жизни волн-убийц возрастает, что позволяет надеяться на возможность их заблаговременного обнаружения в прибрежных районах. 1.4 Взаимодействие морских волн с вертикальной преградой
В настоящее время особый интерес вызывает возможность появления волн-убийц вблизи берега, которые оказываются неожиданными для многих людей, проводящих свой отдых вблизи воды. Так, волна около 9 метров смыла двух людей с пирса в Южной Африке 26 августа 2005 года, см. рис. 1.41, взятый из [Kharif et al, 2009]. 14 февраля 2010 года двумя большими волнами смыло в океан с бетонного парапета 13 человек, и многие их них получили переломы и ушибы (рис. 1.4.2). Это произошло недалеко от Сан-Франциско (Half Moon Bay), когда около 200 зрителей наблюдали за соревнованиями по виндсерфингу, об этом сообщило агентство CNN (http://www.ireport.com/docs/DOC-409122?hpt=T2). Внезапное появление большой волны на берегу вблизи Сан-Франциско (14 февраля 2010 года). В данном параграфе будет рассмотрен один из возможных сценариев появления волн убийц вблизи вертикальной преграды, основанный на дисперсионном фокусировании волновых пакетов, распространяющихся к берегу в одном направлении.
Обычно проблема волн - убийц обсуждается для открытого океана в связи с очевидной опасностью их для проходящих кораблей и нефтяных и газовых платформ. Волны-убийцы, однако, встречаются и в прибрежной зоне и на берегу, и их статистика и географическое распределение за 2006-2010 годы можно найти в статье [Nikolkina & Didenkulova, 2011, 2012]. Особый интерес вызывает возможность появления волн-убийц вблизи крутого берега, отвесных скал или специальных защитных стенок, где люди обычно не ожидают появления опасных волн.
Схематизируем задачу. Волны, подходящие к вертикальной преграде, считаются линейными, а глубина воды достаточно велика. Геометрия данной задачи представлена на рисунке 1.4.3. Волна подходит к стенке справа. геометрия задачи. Математическая модель данной задачи аналогична описанной в параграфе 1.2. Ввиду отражения волны от стенки мы обязаны рассматривать суперпозицию встречных волн, так чтобы на стенке горизонтальная скорость обращалась в нуль
С физической точки зрения взаимодействие волны со стенкой эквивалентно взаимодействию двух одинаковых волн или волновых пакетов, двигающихся навстречу друг другу. При этом граничное условие на стенке (равенство нулю горизонтальной скорости) выполняется автоматически. Как и в предыдущих параграфах можно задать начальные условия в момент образования волны-убийцы на стенке и рассматривать задачу ее распада на две волны, распространяющиеся в разные стороны. Получаемые решения в полупространстве x 0 после инвертации во времени и пространстве будут демонстрировать процесс формирования волны-убийцы.
В качестве ожидаемой аномальной волны вблизи стенки выберем гауссовый импульс. Фактически, «половинка» гауссового импульса (x 0) и представляет собой ожидаемую волну-убийцу около стенки. Форма волнового пакета в различные моменты безразмерного времени показана на рис. 1.4.4. эволюция первоначального гауссового импульса в глубокой воде на больших временах (цифры - безразмерное время). На малых временах интеграл (1.4.8), представляющий суперпозицию волн, двигающихся в противоположных направлениях, рассчитан численно. Эволюция формы волны на малых временах показана на рис. 1.4.5. Первоначально положительный импульс (горб) трансформируется в знакопеременную волну, а затем в волну понижения (впадину), и далее в волновой цуг.
Двухсолитонное взаимодействие в рамках уравнения Кортевега - де Вриза
Все эти случаи подбирались так, чтобы не было повторных данных, когда измерения проводятся в одном и том же месте и в близкие даты, когда показатели примерно одинаковые. Поэтому мы надеемся, что наша выборка является репрезентативной. В качестве входных параметров выступают тип и высота бора относительно дна (Я), а также глубина водоёма перед фронтом бора (h).
Общее число данных в таблице 17, из них 5 случаев обрушенного бора, И - волнообразного бора, и один - промежуточный.
Имеющиеся в литературе критерии основаны на различных параметрах волнового потока, и наиболее простые из них используют отношение высоты бора, отсчитываемого от дна (Я), к невозмущенной глубине бассейна (К). В работе Фавра [Favre, 1935] приводится следующий критерий: если H/h 1.28, то бор считается волнообразным; если H/h 1.75, то бор опрокидывающийся (гидравлический прыжок). Между данными значениями находится промежуточный режим, когда могут наблюдаться оба эффекта - как обрушение, так и дисперсионный распад.
В книге Стокера [Стокер, 1959] фигурирует более общий критерий, не включающий в себя промежуточный режим: если H/h 1.5, то бор считается волнообразным, если же H/h 1.5, то бор опрокидывающийся. В экспериментальной работе Накамуры [Накамура, 1973] к критерию Стокера прибавляется ещё одно условие: если H/h 9, когда реализуется случай параболической волны (как в классической волне разрушения плотины).
В работе Тель да Сильвы и Перегрина [Teles Da Silva & Peregrine 1990] интервалы данного критерия немного сдвигаются: волнообразный бор проявляется при H/h 1.3, а обрушающийся бор образуется при H/h 1.7. В промежутке же могут проявляться волнообразные боры с обрушения. Натурные данные, содержащиеся в Табл. 1, могут быть проверены на выполнение данных критериев (рис. 2.2.3).
Как видим, волнообразные и обрушивающиеся боры хорошо разделяются пороговым значением Н/h = 1.5, за исключением одного случая с Н/h = 1.8, который находится на пороге интервала Favre - Teles da Silva. В целом можно сказать, что критерий Н/h = 1.5 может использоваться для грубой оценки типа волнового движения, и, соответственно, выбора подходящей численной модели для описания длинноволновой динамики. Мы в дальнейшем будем считать, что Н/h 1.5, и даже H/h « 1.5, что позволит говорить о волнообразном (ундулярном) боре, содержащим малоамплитудные солитоны. Это утверждение касается волн на поверхности мелкого моря.
Солитоны, однако, существуют не только на водной поверхности, но и внутри жидкости, если она стратифицирована. Такая ситуация типична для природных водоемов, когда слабы эффекты турбулентного перемешивания. Внутренние гравитационные волны имеют ту же природу, что и поверхностные гравитационные волны, только для них гравитация почти уравновешена силой Архимеда, поэтому редуцированное гравитационное ускорение примерно на три порядка меньше, чем для поверхностных волн. Внутренние волны существуют в случае устойчивой стратификации вод океана, при которой средняя плотность воды увеличивается по направлению ко дну. Внутренние волны были описаны теоретически еще в середине XIX в., обнаружены в океане в начале XX в., однако потребовалось еще почти столетие, чтобы осознать важную роль внутренних волн в жизни океана [Миропольский, 1981; Коняев и Сабинин, 1992].
Высота типичных океанских внутренних волн обычно значительно больше, чем высота типичных волн на поверхности океана; она тем больше, чем менее устойчива плотностная стратификация воды. Наблюдаемые в океане внутренние волны обычно имеют амплитуды 5-20 м, но иногда они достигают и больших высот. Так, внутренние солитоны в Андаманском море имеют скорость до 2,0 м/с и амплитуду до 60 м [Osborne & Burch, 1980].
Основным механизмом генерации сильных внутренних волн является трансформация баротропного приливного течения на резком перепаде глубины (кромка континентального шельфа), хотя, конечно, есть и другие механизмы генерации внутренних волн (ветровая циркуляция, неустойчивые течения). Но волны большой амплитуды возникают именно на кромке континентального течения при наличии сильного приливного течения. В вертикальной плоскости такие волны выглядят как одиночные вариации глубины залегания пикноклина (зоны наиболее резкого изменения плотности воды) достаточно большой величины (по оценкам до 15-20 м). Их скорость перемещения 0,6-1,0 м/с. Затем, в течение нескольких часов вертикальное распределение плотности восстанавливается, а первичное возмущение, распространяясь вдоль пикноклина, распадается на ряд последовательных солитонов, формирующих цуг, состоящий из лидирующего солитона - самой большой и быстрой волны в цуге, и волнового хвоста - группы мелких диспергирующих волн в конце цуга (ундулярный бор или как принято говорить в океанологии - солибор). Разнообразные спутниковые изображения внутренних волн приведены на рис. 2.2.4 - 2.2.7. Рис. 2.2.4. Внутренние волны в пресноводном Ладожском озере на радиолокационном изображенииКА «Алмаз-1» (26.06.91, 04:54 UTC). НПО машиностроения.
Внутренние волны у атолла Донгша в Южно-Китайском море на радиолокационных изображениях ERS-2 (23.06.1998, 14:41 UTC), где происходит рефракция, отражение и дифракция волн. ESA Хотя и накоплен большой экспериментальный материал, внутренние волны изучены пока недостаточно, в частности, не вполне ясны механизмы генерации тех или иных внутренних волн, условия их распространения и трансформации, динамическая устойчивость и диссипация энергии. Спутниковые, прежде всего радиолокационные съемки, позволили судить о пространственных характеристиках внутренних волн, их эволюции и динамике. Во многом благодаря дистанционным методам изменилось представление о внутренних волнах, как о линейных гармонических волнах. Стала очевидна большая роль нелинейных эффектов в эволюции внутренних волн. В настоящее время на базе космических съемок создаются атласы и каталоги внутренних волн (см. например, [Atlas, 2004]). Опубликовано несколько обзоров по солитонам внутренних волн [Ostrovsky & Stepanyants, 1989, 2005; Apel et al, 2007]. Именно они ответственные за сильные вариации на спутниковых изображениях.
Всё вышесказанное подтверждает, что солитоны являются неотъемлемой частью волновой динамики, как на поверхности, так и внутри мелкого океана. Поэтому изучение солитонов и их взаимодействий является крайне важной задачей.
Кратко приведем основные уравнения, описывающие солитоны в мелком море. Наш анализ будет основан на семействе уравнений Кортевега-де Вриза. Для поверхностных волн оно было выведено еще в 1895 году в пионерской работе Кортевега и де Вриза, и затем многократно перевыводилось в литературе [Korteweg & de Vries, 1895; Карпман, 1973].
Однополярный солитонный газ в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза
Процесс взаимодействия солитонов будет влиять на функции распределения волнового поля. В начальный момент времени амплитуды солитонов в расчетной области выбраны близкими к распределению Вейбулла (рис. 3.2.5):
С течением времени функция распределения амплитуд волн (локальных максимумов волнового поля) меняется в каждой реализации, и примеры распределений показаны на том же рисунке. Качественно изменения происходят одинаковым образом: число мало амплитудных импульсов возрастает, а число больших волн уменьшается. В результате, функция распределения амплитуд волн становится более крутой, по сравнению с начальным распределением. В принципе, эффект укручения функции распределения на мелководье известен, достаточно упомянуть эмпирическое распределение Глуховского [Massel, 1996]. Однако в чисто солитонном поле этот эффект проявляется слабо, подчеркивая упругий характер взаимодействия солитонов и сохранения их параметров.
Обсудим статистические характеристики солитонного газа. Мы имеем случайное волновое поле, зависящее от двух переменных: координаты х и времени t, что не совсем удобно для анализа. Для упрощения мы будем рассматривать статистические характеристики величин, усредненные по расчетной области (мы используем здесь то же обозначение, что и во второй главе, но надеемся, что это не вызовет недоразумений) любая характеристика волнового поля), которые являются функциями только текущего времени. В каком-то смысле эта процедура соответствует эргодической гипотезе, когда усреднение по ансамблю реализаций заменяется на интегрирование, в данном случае по пространству. Естественно, что M(t) в свою очередь является случайной функцией времени в силу случайного характера взаимодействия солитонов. Моментами случайной функции, как известно, называются величины, усредненные по ансамблю реализаций
Эта величина при большом числе реализаций, в пределе п — х перестает зависеть от времени и определяет статистические моменты интегральных характеристик волнового поля. В принципе, можно снова воспользоваться эргодической гипотезой и заменить усреднение по ансамблю интегрированием по времени (которое должно быть достаточно большим). Ниже мы часто будем называть интегральные характеристики (3.2.3) моментами волнового поля, как и в (3.2.4), и надеемся, что по тексту у читателя не будет возникать путаницы между (3.2.3) и (3.2.4).
Наиболее просто все эти моменты вычисляются в начальный момент времени, когда все солитоны изолированы друг от друга (мы уже демонстрировали это во второй главе на примере двух невзаимодействующих солитонов). В этом случае все интегральные характеристики вычисляются в явном виде. Рассмотрим, например, среднее значение волнового поля по расчетной области
В силу узости солитонов по сравнению с размером расчетной области интегрирование можно производить по бесконечным пределам и последний интеграл вычисляется тривиально. Тогда, среднее поле есть где К есть статистическое среднее по ансамблю случайных амплитуд солитонов. Как видим, Мі не зависит от реализации солитонного газа, поэтому, его величина не изменится при усреднении по реализациям и представляет собой первый статистический момент - среднее значение М; = u(t=0) .
Как и ожидалось, среднее поле растет с увеличением плотности солитонного газа. Отметим также, что А1/2 ( А )1/2, так что знание средней амплитуды солитонов является недостаточным для расчета средних характеристик солитонного газа.
Разумеется, среднее поле, как и любой пьедестал, в рамках уравнения Кортевега - де Вриза может быть устранен соответствующим масштабированием, однако в этом случае возникает ряд трудностей при переходе к волнам на воде (определению невозмущенной глубины и, соответственно, ширины солитона), которые здесь не будут рассматриваться.
Величину критической плотности легко понять из следующих соображений. Считая, что все амплитуды одинаковы, критическая плотность становится равной рсг = К/3. Если вспомнить определение плотности как (3.2.8), то критическое число солитонов оказывается равным Ncr = KL/3. Но К1 есть характерный масштаб солитона, так что критическое условие соответствует одному-двум солитонам в отрезке. Естественно, что при этом всякие процедуры усреднения теряют смысл, и, следовательно, плотность солитонов всегда должна быть меньше критической. Поскольку мы говорим о большом числе случайных солитонов, первоначально отделенных друг от друга, то плотность солитонного газа должна быть много меньшей критического значения. Отсюда вытекает, что наши формулы будут хорошо работать только для разреженного газа.
При малой величине плотности солитонного газа в (3.2.11) можно пренебречь вторым слагаемым и удерживать только линейное по плотности слагаемое. Мы, однако, не будем этого делать, так как в численных расчетах плотность солитонов не очень мала, и второе слагаемое важно для анализа результатов расчетов.
Видно, что величина плотности газа входит в знаменатели в (3.2.15 и 3.2.16), так что коэффициенты асимметрии и эксцесса аномально велики для очень разреженного газа. Таким образом, очень разреженный солитонный газ всегда не является гауссовым процессом.
Вычисленные в начальный момент времени моменты представляют собой, как уже указывалось, статистические моменты ансамбля солитонов, и они не зависят от числа реализаций. Входящие сюда различные средние значения могут быть легко вычислены, если задаться какой-нибудь функцией распределения амплитуд солитонов. Для конкретных вычислений ниже принято: N=20 и L=410 (такое «нецелое» значение размера расчетной области выбрано, чтобы «отодвинуть» границы от солитонов, обеспечивая периодические граничные условия), так что плотность солитонного газар = 0.048 действительно мала.
Начальные значения статистических моментов для выбранного распределения амплитуд равны: Положительность коэффициента асимметрии легко объяснить, поскольку все солитоны положительны, а среднее значение мало.
С течением времени солитоны начинают взаимодействовать, и приведенные выше формулы, вообще говоря, неприменимы. Однако, первые два момента представляют собой инварианты уравнения Кортевега-де Вриза, и, следовательно, в процессе нелинейного взаимодействия среднее значение и дисперсия солитонного газа не меняется.
