Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы по течениям с локальными зонами аккумуляции частиц 11
2 Двухконтинуальная модель дисперсной среды 20
2.1 Основные предположения и уравнения 20
2.2 Полный лагранжев метод 25
3 Аккумуляция частиц вблизи критических и стационарных точек 28
3.1 Стационарные течения в окрестности критических точек 28
3.1.1 Постановка задачи о несимметричном взаимодействии вязких дисперсных потоков 30
3.1.2 Предельный случай взаимодействия вязкого дисперсного потока с твердой стенкой 32
3.1.3 Столкновение вязких дисперсных потоков 39
3.1.4 Несимметричное взаимодействие невязких дисперсных потоков 46
3.2 Нестационарное течение в окрестности стационарной точки 55
4 Аккумуляция дисперсной примеси в течениях с локализованными вихревыми зонами 60
4.1 Течение типа торнадо с дисперсными включениям 61
4.2 Дисперсное течение Кельвина типа "кошачий глаз" 77
5 Фокусировка частиц в сдвиговом течении 85
Заключение 104
Литература 108
- Основные предположения и уравнения
- Постановка задачи о несимметричном взаимодействии вязких дисперсных потоков
- Несимметричное взаимодействие невязких дисперсных потоков
- Дисперсное течение Кельвина типа "кошачий глаз"
Введение к работе
Исследования дисперсных потоков стимулируются многочисленными приложениями в аэромеханике (движение летательных аппаратов в газопылевых и аэрозольных облаках), теплоэнергетике (парокапельные течения в парогенераторах, двухфазное обтекание лопаток турбомашин), промышленных технологиях (окраска напылением, центрифугирование, производство порошковых материалов), медицине (лекарственные аэрозоли), экологии (промышленные выбросы в атмосферу), метеорологии (песчаные бури, смерчи, торнадо), нефтедобыче (технология гидроразрыва) и др. В перечисленных приложениях объемная доля дисперсной примеси, как правило, мала, однако инерционные свойства частиц и несущей фазы существенно различаются. В силу этого имеет место рассогласование скоростей фаз и, как следствие, формирование значительных неоднородностей в поле осредненной плотности (концентрации) дисперсной фазы даже в случае несжимаемой несущей фазы.
В последнее время наметился значительный интерес к изучению областей предпочтительной аккумуляции дисперсных частиц в различных потоках и механизмов формирования таких областей. Указанный интерес связан с развитием методов визуализации потоков с использованием малых дисперсных частиц-трейсеров (методы PIV, PTV, ЛДИС), усовершенствованием технологий инерционной коагуляции аэрозолей, а также с развитием моделей механики многофазных сред применительно к описанию двухфазных течений с фазовыми переходами (испарением, конденсацией, кавитацией и др.), интенсифицирующимися в областях скопления дисперсной фазы. Кроме того,
последнее время быстро развиваются технологии, использующие сфокусированные пучки микро- и наночастиц (технологии очистки поверхностей, резки материалов, нанесения покрытий), для формирования которых используются специально организованные газовые потоки ("аэродинамические линзы").
При моделировании течений разреженных дисперсных смесей типа запыленных газов, аэрозолей, пузырьковых жидкостей, разреженных суспензий дисперсная фаза обычно описывается уравнениями континуума, лишенного собственных напряжений. Межчастичными взаимодействиями и хаотической составляющей скорости частиц, как правило, пренебрегается. Такой "холодный" континуум с нулевыми собственными напряжениями обладает повышенной сжимаемостью. Более того, в дисперсной среде возможно возникновение зон, свободных от частиц (фрагментация фазового объема) и областей пересекающихся траекторий частиц (образование "сборок" и "складок"), на границах которых концентрация дисперсной фазы резко возрастает. "Складкой" называется область течения, в которой в одну и ту же точку пространства приходят различные траектории частиц, так что часть пространства оказывается покрытой несколькими слоями среды. При этом в силу малости объемной концентрации частиц межчастичными столкновениями можно пренебречь, поскольку реальные частицы приходят в данную точку пространства в разные моменты времени.
В случае бесконечно малой инерционности частиц поля скоростей дисперсной и несущей фазы совпадают и при однородной начальной загрузке потока частицами концентрация дисперсной фазы во всем поле течения постоянна. При учете малой, но конечной инерционности частиц картина поля осред-ненной плотности дисперсной фазы резко изменяется, возникают локальные неоднородности концентрации дисперсной фазы, которые в первую очередь проявляются вблизи кинематических особенностей поля скоростей несущей фазы (критических точек, разрывов, зон локализованной завихренности и др.). В связи с этим представляет интерес исследование полей концентрации инерционных частиц вблизи основных гидродинамических особенностей,
являющихся типичными локальными элементами многих дисперсных течений.
Детальное исследование полей концентрации дисперсной фазы при наличии разрывов, интегрируемых особенностей, "сборок" и "складок" фазового объема требует высокой точности расчета гидродинамических полей несущей фазы и развития специальных методов расчета поля концентрации дисперсной фазы. В большинстве опубликованных работ, посвященных разреженным дисперсным средам, отсутствует аккуратный расчет поля концентрации частиц. Обычно применяются стандартные методы, подразумевающие отсутствие пересечения траекторий частиц (континуальный эйлеров подход, метод трубок тока частиц), либо лагранжевы методы типа "частиц-в-ячейках", основанные на замене малого лагранжева объема дисперсной фазы "крупной частицей" (ее масса считается неизменной в процессе движения), в которых отслеживается движение большого числа таких "крупных частиц". Указанные методы не позволяют адекватно описывать поля концентрации дисперсной фазы в областях пересекающихся траекторий частиц и зонах больших градиентов концентрации, где даже малый лагранжев объем среды частиц испытывает большие деформации.
В последние годы начал активно развиваться альтернативный полный лагранжев метод для расчета поля концентрации дисперсной фазы, предложенный в работах А.Н. Осипцова [1,2]. Этот метод, основанный на привлечении дополнительных уравнений для компонент якобиана перехода от эйлеровых к лагранжевым переменным, позволяет рассчитывать с контролируемой точностью структуру областей пересекающихся траекторий и зон накопления частиц. Именно этот метод и является основой для исследований, проведенных в настоящей диссертации.
Для описания поля скоростей несущей фазы в настоящей работе используются точные или автомодельные решения, что позволяет проводить детальные исследования структуры зон аккумуляции частиц с контролируемой точностью.
Целями настоящей работы являются:
исследование механизмов фокусировки инерционных частиц в дисперсных потоках на примере ряда течений с типичными гидродинамическими особенностями в поле параметров несущей фазы, описываемых автомодельными либо аналитическими решениями;
исследование влияния различных компонент межфазных сил на механизмы фокусировки примеси при различных отношениях плотностей материалов фаз;
нахождение критических значений параметров инерционности дисперсной фазы, соответствующих возникновению зон аккумуляции частиц;
численное исследование структуры зон аккумуляции частиц, соответствующих появлению "складок" в континууме частиц на основе развития и применения полного лагранжева подхода.
Несмотря на кажущееся большое разнообразие возможных кинематических особенностей полей скорости несущей фазы, все они сводятся к комбинациям нескольких классов течений, наиболее типичные из которых и исследованы в данной работе. Первый характерный класс модельных течений, рассмотренный в диссертации, это локальные течения вблизи критической точки, возникающей при столкновении под произвольными углами двух плоских стационарных вязких потоков, имеющих (в общем случае) различные плотности и вязкости. Указанный класс течений довольно обширен - в предельном случае бесконечной вязкости одного из сталкивающихся потоков возникает задача неортогонального натекания на твердую стенку, а при отсутствии вяз-костей потоков - задача о взаимодействии идеальных несжимаемых струй. Локальные области такого рода течений возникают при обтекании тел дисперсной смесью, вблизи точек присоединения пограничного слоя, при соударении потоков, содержащих дисперсные включения, в задачах сепарации и аспирации аэрозолей и др.
Другой пример течения, рассмотренный в диссертации, - поведение поля концентрации инерционных частиц в окрестности стационарной точки в нестационарном невязком двумерном потоке с гармонической зависимостью скорости растекания от времени. Выбор данного типа течений связан с обсуждением в литературе проблем кластеризации инерционных частиц в турбулентных'потоках и высказываемой гипотезой о связи зон накопления частиц с наличием в турбулентных потоках стационарных точек (точек нулевого ускорения) .
Третий тип рассмотренных течений - это формирование поля концентрации инерционных частиц в присутствии силы тяжести на фоне плоского стационарного невязкого течения вблизи границы между двумя параллельными однородными потоками, имеющими различные скорости, т.е. течения в окрестности тонкой вихревой пелены, распавшейся на периодическую структуру зон локализованной завихренности (течение Кельвина типа "кошачий глаз"). Такие течения, моделирующие квазистационарный этап развития неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, могут существовать довольно длительное время и часто наблюдаются в атмосфере.
Четвертым важным примером гидродинамической особенности является течение в окрестности присоединения вихревой нити к твердой поверхности. Такое двухфазное течение представляет интерес в связи с моделированием атмосферных явлений типа торнадо, смерчей, течений в вихревых сепараторах, а также оптимизацией работы воздухозаборных устройств вблизи подстилающей поверхности. В настоящей работе исследуются зоны аккумуляции частиц в трехмерном осесимметричном автомодельном течении, описывающем взаимодействие полубесконечной вихревой нити с ортогонально расположенной плоской стенкой в рамках модели несжимаемой вязкой жидкости.
В перечисленных примерах течений фокусировка частиц происходит лишь под действием сил аэродинамического сопротивления. В то же время, в сильно градиентных потоках существует другой механизм фокусировки траекторий частиц и формирования зон повышенной концентрации частиц - этот
механизм связан с действием на частицы подъемных сил, обусловленных градиентами скорости на масштабе частицы. Исследование механизма фокусировки частиц, вызванного действием боковой силы в сдвиговом течении, проведено в последнем разделе диссертации на примере задачи о поперечной миграции частиц, оседающих под действием силы тяжести в узком вертикальном канале. Неоднородность потока несущей фазы (профиль Пуазейля), оседание частиц и наличие стенок приводят к возникновению боковой силы, действующей на частицу и направленной от стенок к центру канала. Это вызывает поперечную миграцию частиц и формирование неоднородного профиля концентрации частиц поперек канала. Так как течение разреженной суспензии в узком канале является частью многих технологических процессов (например, подачи проппанта в трещины гидроразрыва), то изучение неоднородностей распределения дисперсной фазы в канале представляет и значительный практический интерес.
В работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:
Изучены механизмы фокусировки частиц и образования неоднородностей в распределении инерционной дисперсной примеси на примере (і) течений в окрестности "неортогональных" критических точек в двумерных вязких стационарных потоках и в окрестности стационарной точки в двумерном периодическом по времени течении, (іі) течения в области локализованной завихренности на границе взаимодействия двух параллельных невязких потоков (течения Кельвина типа "кошачий глаз"), (ііі) вязкого течения в окрестности присоединения вихревой нити к твердой поверхности (модель "торнадо") и (iv) вязкого течения суспензии в узком вертикальном канале в присутствии силы тяжести.
В рассмотренных течениях найдены критические значения определяющих параметров, соответствующие качественной перестройке структуры течения и формированию локальных зон накопления частиц.
Численно исследована структура зон накопления дисперсной примеси и изучены типы сингулярностей в поле числовой концентрации частиц.
Достоверность результатов диссертации обусловлена использованием строгих математических моделей движения двухфазных сред. В численных алгоритмах применялись хорошо апробированные методы с контролем точности. Точность расчетов подтверждается сравнением результатов с известными численными решениями, а также качественным соответствием полученных результатов некоторым известным экспериментальным данным.
Научная значимость работы состоит в установлении связи между типами гидродинамических особенностей несущей фазы и характером неоднород-ностей, возникающих в поле концентрации инерционной дисперсной примеси. На примере ряда течений в окрестности типичных гидродинамических особенностей исследованы механизмы образования зон предпочтительной аккумуляции частиц в зависимости от определяющих параметров течения и форм межфазного взаимодействия. Полученные результаты могут быть использованы для усовершенствования моделей дисперсных сред с учетом мезомас-штабных неоднородностей в распределении дисперсной фазы.
Практическая значимость работы определяется возможностью применения результатов для развития технологий фокусировки и сепарации частиц, методов визуализации потоков при помощи дисперсных включений, для совершенствования технологий, использующих движение разреженных суспензий в плоских каналах, а также для планирования и проведения экспериментов по дисперсным течениям.
Результаты, полученные в диссертации, докладывались на 17 научных конференциях: Конференции-конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ (2004-2008); Конференции "Ломоносовские чтения" (2005, 2008); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н.Новгород, 2006); XIV и XV школе-семинаре "Современные проблемы гидроаэродинамики" (Сочи, 2006, 2007); 77 и 79 Научных конгрессах Германского общества приклад-
ной математики и механики GAMM (Германия, 2006, 2008); Всероссийской конференции "Механика и химическая физика сплошных сред" (Бирск, 2007); Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Москва, 2007); XIX Международном симпозиуме по процессам переноса ISTP-19 (Исландия, 2008); IV Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2008); III Международной конференции "Тепломассообмен и гидродинамика в закрученных потоках" (Москва, 2008).
Результаты работы обсуждались на трех специализированных научных семинарах: семинаре НИИ механики МГУ под руководством акад. Г.Г. Черного (Москва, 2008), семинаре кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2003-2008), семинаре по механике многофазных сред под руководством д.ф.м.н А.Н. Осипцова (НИИ механики МГУ, Москва, 2003-2008).
За работы "Аэродисперсное течение вблизи критической точки на границе взаимодействия двух потоков" и "Формирование локальных зон аккумуляции дисперсной примеси в нестационарных и вихревых потоках", вошедшие в состав диссертации, автор удостоен дипломов 3-ей степени на Конференции-конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ в 2005 и 2007 годах. За работу "Аэрогидродинамическая фокусировка частиц в дисперсных потоках", лежащую в основе диссертации, автор удостоен звания победителя конкурсной программы "Участник молодежного научно-инновационного конкурса" ("УМНИК") , проводимой Фондом содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в 2008 году.
Основные результаты работы изложены в 18 научных публикациях [108-125], из которых 10 статей и тезисы 8-ми докладов. Восемь работ написаны в соавторстве. Статьи [115,124] опубликованы в журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации.
Основные предположения и уравнения
Обнаружение в расчетах точек, линий или поверхностей, при приближении к которым числовая концентрация частиц резко (и даже неограниченно) возрастает, ставит вопрос о применимости бесстолкновительной модели частиц. В первых работах, в которых авторы сталкивались с появлением в расчетах точек сингулярного поведения осредненной плотности дисперсной фазы, как правило, утверждалось, что вблизи этих точек модель несталкивающихся частиц перестает быть применимой.
Действительно, в общем случае пересечение траекторий частиц требует усложнения эйлеровой модели "холодного континуума" (типа модели Ф. Мар-бла [45]), в которой все параметры дисперсной фазы предполагаются однозначными) и введения многоскоростной среды частиц либо учета непосредственного взаимодействия частиц между собой. В работах А.Н. Крайко и СМ. Сулаймановой [46,47] в случаях, когда взаимодействие частиц, движущихся по пересекающимся траекториям, происходит в узких зонах (что справедливо для потоков с достаточно высоким объемных содержанием частиц), предлагается заменять такие зоны поверхностями сильного разрыва ("пеленами"), несущими конечные массу, импульс и энергию. Величины последних определяются из соответствующих интегральных законов сохранения. Следует отметить, что введение таких разрывов в "холодной" среде используется и в других областях механики, например, при моделировании "пробок" в транспортных потоках или исследовании кумулятивных эффектов при высокоскоростном деформировании оболочек, метаемых взрывом (А.Н. Голубятников и др. [48]).
Постулирование того или иного усложнения модели "холодной" среды, вызванного пересечениями траекторий или неограниченным ростом концентрации частиц, требует анализа границ его применимости. В работе А.Н. Осипцо-ва [49] была проведена классификация особенностей концентрации дисперсной фазы, появляющихся при решении уравнений бесстолкновительной модели точечных инерционных частиц, и показано, что особенности концентрации бывают двух типов - интегрируемые и неинтегрируемые. В последнем случае бесстолкновительная модель дисперсных частиц перестает быть применимой, и вблизи точек резкого увеличения концентрации частиц требуется усложнение модели, связанное с учетом непосредственного взаимодействия частиц. В случае интегрируемых особенностей концентрации требуется дополнительный анализ вероятности столкновения частиц или среднего расстояния между частицами в точках особенностей концентрации. Такой анализ был проведен в [49] для нескольких простых случаев движения дисперсной фазы (допускающих аналитические решения для локального поведения концентрации частиц) с использованием вероятностной функции распределения среднего расстояния между частицами, введенной ранее в работе СИ. Чер-нышенко [50]. Было показано, что при достаточно малых средних объемных концентрациях дисперсной фазы (порядка Ю-5 и менее), в точках типичных интегрируемых особенностей концентрации дисперсной фазы среднее расстояние между частицами остается вполне конечным и модель бесстолкнови-тельного движения частиц остается применимой. Анализ вероятности столкновения частиц в зонах пересекающихся траекторий частиц, проведенный в работах [51,52], в разумном диапазоне изменения радиуса частиц и макромасштаба течения также дал близкие значения объемной концентрации частиц (порядка Ю-5 — Ю-6), начиная с которых межчастичные столкновения можно не учитывать. Таким образом, для широкого диапазона физических параметров, типичных для многих течений разреженных дисперсных сред, имеет смысл рассматривать решения с интегрируемыми сингулярностями полей концентрации частиц и локальными зонами пересекающихся траекторий частиц. Наличие пересечений траекторий частиц приводит к необходимости разработки специальных алгоритмов, позволяющих вычислять суммарную концентрацию дисперсной фазы и выделять границы областей пересекающихся траекторий частиц. Для расчета поля концентрации дисперсной фазы в литературе обычно используются конечно-разностные методы, основанные на эйлеровом описании среды частиц, либо лагранжевы методы типа "частиц-в-ячейках" (СТ. Crowe [53], М.М. Гилинский, В.Н. Толстов [54]), основанные на замене малого лагранжева объема дисперсной фазы "крупной частицей", масса которой считается неизменной в процессе движения. Указанные методы не позволяют корректно описывать поля концентрации дисперсной фазы в областях пересекающихся траекторий частиц и зонах больших градиентов концентрации, где даже малый лагранжев объем среды частиц испытывает большие деформации. Альтернативный метод нахождения полей концентрации дисперсной фазы был предложен впервые работах А.Н. Осипцова [55,56]. Указанный метод основан на привлечении дополнительных уравнений для компонент якобиана преобразования от эйлеровых к лагранжевым переменным, которые совместно с уравнениями движения и неразрывности дисперсной фазы, записанными в лагранжевой форме, позволяют вычислять концентрацию частиц вдоль выбранных траекторий РІЗ решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В последние годы данный метод начал активно использоваться как в России, так и за рубежом, для исследования обтекания тел запыленным газом (Ю.М. Циркунов и др. [57-59]), двухфазных течений в трактах турбомашин (D. P. Healy, J. P. Young [60]), подъема пыли за ударными волнами (B.Y. Wang [61]), кластеризации частиц в турбулентных потоках (М. Picciotto et al. [30]) и др. Данный метод позволяет исследовать тонкую структуру полей концентрации частиц в областях пересекающихся траекторий и локальных зонах накопления частиц, поэтому в настоящей диссертации он принят в качестве основного инструмента исследования.
Постановка задачи о несимметричном взаимодействии вязких дисперсных потоков
Данная глава посвящена исследованию аккумуляции частиц в окрестности критических и стационарных точек.
Локальные области течения в окрестности критических точек возникают при столкновении двухфазных струй, при двухфазном вдуве с обтекаемых поверхностей [75], в задачах аспирации аэрозолей [76], при обтекании тел газодисперсными потоками [77], вблизи точек присоединения пограничного слоя и др.
Течение чистой жидкости вблизи критической точки, возникающей при неортогональном натекании потока на твердую поверхность, исследовалось в [78-82]. В [83] изучена структура течения вблизи критических точек, образующихся при соударении двух однофазных потоков. Дисперсные течения вблизи критической точки на твердой поверхности в случае, когда поток подходит к поверхности под прямым углом, рассматривались в работах [45,77,84-86] и цитируемой в них литературе.
Движение частиц в окрестности стационарных точек в нестационарном течении исследовалось в работах [19,20], где были установлены условия, при которых возможна группировка дисперсной примеси, а также исследованы возможные типы траекторий частиц.
Исследуется класс плоских стационарных автомодельных течений, формирующихся в окрестности критической точки при неортогональном столкнове ний двух вязких потоков с дисперсными включениями. В предельном случае бесконечной вязкости одного из сталкивающихся потоков возникает течение вблизи твердой стенки, а при отсутствии вязкости потоков - взаимодействие двух эффективно невязких струй.
Рассматривается плоское, стационарное течение двух несжимаемых потоков с плотностями pi, р2 и вязкостями ц\, fi2i которые взаимодействуют без смешения по прямой линии, образуя критическую точку (фиг. 3.1.1). Параметры, относящиеся к верхнему и нижнему потокам, обозначаются индексами 1 и 2 соответственно. Первая среда содержит сферические дисперсные включения, которые в силу их инерционности могут проникать во вторую среду. Система координат вводится следующим образом: ось х совпадает с линией взаимодействия потоков, ось у перпендикулярна ей, а начало координат находится в точке, куда пришла бы разделяющая линия тока несущей фазы первого потока, если бы эта фаза была невязкой (фиг. 3.1.1). В вязкой и идеальной жидкостях эти точки различны. В окрестности нуля поле скоростей идеального несжимаемого газа пред ставимо в виде следующего ряда с точностью до членов первого порядка: В силу того, что скорость в критической точке равна нулю, имеем UQ = VQ = 0. Чтобы удовлетворить условию непротекания на границе раздела v (x , 0) = 0, необходимо положить dv /dx = 0. Из уравнения неразрывности имеем соотношение ди /дх = —dv /dy . Окончательно поле скоростей в окрестности нуля принимает следующий размерный вид: и = Сх + By , v = -Су (3.1.1) Здесь С = ди /дх имеет смысл скорости растекания, а В = ди /ду — удвоенного модуля завихренности: rotv = (0,0,5). Таким образом, (3.1.1) представляет собой поле скоростей вблизи произвольной критической точки, в том числе и вихревой, на плоской поверхности в идеальной несжимаемой жидкости. В нашем случае представление (3.1.1) справедливо для обоих потоков несущей фазы: Параметры Q, В{ связаны с углами (pi, ip2, под которыми натекают потоки (фиг. 3.1.1), формулами: Когда несущая фаза является невязкой жидкостью, представление (3.1.2) задает поле скоростей во всей области основного течения. Если же несущая фаза - вязкая несжимаема жидкость, то (3.1.2) является асимптотикой, на которую выходит поле скоростей несущей фазы при удалении от линии взаимодействия потоков. Параметры в окрестности этой линии в этом случае находятся из решения уравнения Навье-Стокса. 3.1.1 Постановка задачи о несимметричном взаимодействии вязких дисперсных потоков Рассмотрим сначала взаимодействие двух вязких несжимаемых потоков с дисперсными включениями. Вдали от критической точки поля скоростей несущей фазы в верхнем и нижнем потоках выходят на поля скоростей, соответствующие течению идеальной жидкости вблизи произвольной вихревой критической точки (3.1.2). Для описания течений в зонах, где присутствуют дисперсные частицы, используется двухконтинуальная модель запыленного газа, описанная в главе 2. В межфазном взаимодействии учитывается лишь сила Стокса. Уравнения (2.1.5) для двух потоков имеют вид: Система зависит от четырех безразмерных параметров: относительной массовой концентрации а, параметра инерционности частиц /3 и отношения плотностей р и вязкостей р двух потоков. При обезразмеривании в качестве масштабов длины и скорости взяты L = {p,\/C\pi) и U = (piCi/pi) (число Рейнольдса Re = LUpi/p,i = 1). Концентрация дисперсной фазы отнесена к nso, давление отнесено к р,\С\. В зонах пересечения траекторий частиц параметры vs и ns становятся многозначными и в (3.1.3) соответствующие уравнения импульса и неразрывности следует писать для каждой "фазы" частиц, а источниковые члены в уравнении импульса несущей фазы суммировать по всем "фазам" частиц.
Несимметричное взаимодействие невязких дисперсных потоков
Достаточно инерционные частицы могут отражаться несколько раз. Зависимость уге/ расстояния от стенки до огибающей отраженных траекторий от параметра инерционности для т/о — Ю представлена на фиг. 3.1.4.
Существует критическое значение параметра инерционности /Зс, зависящее от уо? такое что при (3 / инерционного осаждения частиц на стенку не происходит, а при j3 fic имеет место течение с отражением частиц от стенки. Результаты численных расчетов зависимости (Зс{уо) приведены на фиг. 3.1.5.
При конечных значениях массовой концентрации дисперсной примеси а необходим учет обратного влияния частиц на несущую фазу. В этом случае уравнения для дисперсной и несущей фаз (3.1.3) решаются совместно. С учетом (3.1.8) и (3.1.14) решение ищется в автомодельном виде Здесь F, G, H, Q и N — неизвестные функции, зависящие только от у. После подстановки в (3.1.3), исключения давления и интегрирования уравнений на F и G получаем систему Это краевая задача девятого порядка с тремя граничными условиями на одном конце и шестью на другом. Можно выделить независимую подсистему шестого порядка, исключая из рассмотрения второе и четвертое уравнения и соответствующие граничные условия. Полученная таким образом задача совпадает с соответствующей задачей для случая ортогонального натекания потока на стенку [77]. Решение краевой задачи находится численно, итерациями по параметру а при фиксированном значении параметра р. На первом шаге при а = 0, функции F, G, Я, Z, Q, N равны соответствующим функциям из (3.1.14), известным из решения задачи без учета обратного влияния. На каждом следующем итерационном шаге в качестве начального приближения берутся параметры фаз, рассчитанные на предыдущем шаге. Частицы, достигающие стенки с ненулевой вертикальной скоростью, далее считаются исчезнувшими из потока. Как и в случае течения без обратного влияния, имеют место выражения, аналогичные (3.1.10)-(3.1.13). На фиг. 3.1.6 представлены два возможных режима течения: с наличием и без инерционного осаждения частиц на стенку. На фиг. 3.1.5 представлена рассчитанная зависимость критического значения параметра инерционности частиц от массовой концентрации дисперсной фазы при фиксированном значении уо — 10. Область параметров, лежащая ниже кривой, соответствует течению с осаждением частиц, а выше - режиму без осаждения. Видно, что достаточно инерционные частицы, осаждающиеся в приближении малости а, при учете конечности а движутся без осаждения. Задача о столкновении двух вязких потоков с дисперсными включениями исследуется в предположении, что а 1. В этом случае параметры течения несущей фазы могут быть найдены независимо из решения уравнений (3.1.3), в которых положено а = 0, с граничными условиями (3.1.4)-(3.1.5). Следуя [80] ищем решение в автомодельном виде Такое автомодельное представление имеет место не для произвольных параметров сталкивающихся потоков, а лишь при дополнительном ограничении ХІР = 1 [80]. После подстановки в (3.1.3), исключения давления и интегрирования уравнений для Fi и Gt получается система (« = 1,2) : Это система обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка с шестью условиями в нуле и четырьмя на бесконечности. В случае р = 1 существует аналитическое решение краевой задачи (г = 1,2) [80]: При различных плотностях потоков краевая задачи решается путем сведения к многократному решению задач Коши. Ниже поясним метод построения численных решений. Обозначим /?() зависимость второй производной в нуле F"(Q) от первой производной в нуле і (0) для задачи Вид функции /?() находится численно путем многократного решения задачи (3.1.16): для функции F задается значение 1 (0) и методом "пристрелки" находится значение F"(0). Из граничных условий системы (3.1.15) получаем зависимость (0 + 2p-lfMpl/2C) = о Это конечное соотношение, из которого модифицированным методом Ньютона численно находится зависимость ("(/І,/?). Результаты расчетов этой зависимости приведены в Таб. 3.1.
Дисперсное течение Кельвина типа "кошачий глаз"
Анализ приведенного выше решения показывает, что в зависимости от значений безразмерных определяющих параметров (3 и г/, задающих коэффициенты а и Ь, и начальных условий VQ и т/о могут быть реализованы различные картины течения дисперсной примеси. На фиг. 3.1.9, 3.1.10 показаны возможные режимы течений.
На фиг. 3.1.11 в плоскости (/?, rj) обозначены области, соответствующие различным значениям дискриминанта D. Область 1 соответствует условию D 0 и решению (3.1.17)і. В этом случае реализуется течение, показанное на фиг. 3.1.9, а. В этом режиме при любом начальном значении VQ дисперсная примесь проникает во второй поток. Траектории частиц осциллируют вблизи линии раздела, многократно пересекая ее и образуя многослойную складчатую структуру в окрестности оси Ох. Огибающими траекторий являются прямые линии, на которых компонента скорости vs обращается в нуль, а числовая концентрация неограниченно возрастает. В этом случае сингулярность в поле концентрации является интегрируемой, так как через огибающие, где ns — 00, имеется ненулевой поток несущей фазы. В работе [50] было показано, что в этом случае особенность концентрации является интегрируемой.
Области 2 и 3 на фиг. 3.1.11 определяют диапазон параметров D 0, где функция ys(t) имеет вид (3.1.17)п- При этом в области 2 все слагаемые решения ys(t) убывают при t —» со, а в области 3 функция ys(t) имеет растущее со временем слагаемое. В каждой из этих областей режим течения зависит от начальных условий и определяется величиной W = UQ — шіу0. В зависимости от знака W траектории частиц могут пересекать или не пересекать линию раздела за конечное время, то есть может существовать или не существовать tc 00 : y(tc) = 0. Рассмотрим случай ш\ а/2 0, соответствующий области 2 на фиг. 3.1.11. При W 0 частицы пересекают линию раздела за конечное время и проникают во второй поток (фиг. 3.1.9, б), где они разворачиваются и стремятся к линии раздела снизу, не пересекая ее вторично. В дисперсном континууме Режимы течения дисперсной фазы. Линии тока, вертикальная компонента скорости и величина, обратная числовой концентрации при А = 2 для (а) /3 = 1, г) = 1.5, v0 = —0.75; (б) /3 = 1, г) = 0.8, VQ = —2; (в) /3 = 0.5, VQ = wiya, -q = 0.5 (сплошные линии) и г) = 0.75,1, 2 (штриховые линии). Стрелками показано направление увеличения г/. формируется одна складка с прямолинейной границей на конечном расстоянии от линии раздела, где числовая концентрация частиц неограниченно возрастает интегрируемым образом. Если начальная скорость VQ недостаточна и W 0, то траектории дисперсной фазы стремятся к линии раздела, но не пересекают ее (фиг. 3.1.9, е). Подставив значения о 2 и и± из (3.1.17) получим, что sign(7i) = sign — 1). Это означает, что поведение числовой концентрации определяется отношением плотностей материалов фаз г). Если плотность материала частиц меньше плотности несущей фазы, то числовая концентрация стремится к нулю по мере приближения к линии раздела, несмотря на то, что траектории частиц расходятся. В случае нейтрально плавучих частиц концентрация постоянна. Если плотность материала частиц превосходит плотность несущей фазы, то числовая концентрация примеси стремится к бесконечности (фиг. 3.1.9, е). При этом — 1 7i 0) т0 есть возникающая сингулярность интегрируемая. Рассмотрим теперь случай шх 0 Ш2, которому отвечает область 3 на фиг. 3.1.11. При W 0 модуль начальной скорости VQ не достаточен для инерционного проникновения частиц во второй поток. При этом сила Архимеда не дает примеси приблизиться к линии раздела, вытесняя ее из области высокого давления (фиг. 3.1.10, а). Траектории частиц разворачиваются, не достигнув линии раздела, и устремляются в бесконечность. В среде частиц образуется складка с бесконечным значением плотности числа частиц на ее границе (особенность интегрируемая). Если W 0, то начальная скорость частиц достаточна для их инерционного проникновения во вторую область, где действие силы Архимеда приводит к тому, что частицы удаляются от линии раздела (фиг. 3.1.10, б), а их концентрация по мере движения уменьшается. В последнем случае, когда W = 0, коэффициент при растущем слагаемом в функции уs{t) обращается в нуль. Дисперсная примесь стремится к линии раздела, но не достигает ее за конечное время (фиг. 3.1.10, в). Аналогично изложенному выше случаю, в котором сої и 2 0 и W 0, здесь для числовой концентрации при у —У 0 имеем следующую асршптотику: Подставив значения и\ и и 4 из (3.1.17) получим, что sign(72) = sign(l —77). Эта ситуация противоположна той, что изображенной на фиг. 3.1.9, в. Если плотность материала частиц больше плотности несущей фазы, то числовая концентрация стремится к нулю по мере приближения к линии раздела. Нейтрально плавучие частицы также имеют постоянную концентрацию. Если плотность материала частиц меньше плотности несущей фазы, то числовая концентрация примеси стремится к бесконечности. При этом сингулярность также интегрируемая, так как — 1 72 0.
