Содержание к диссертации
Введение
Корржтность постановки и качественные свойства обобщенных решений некоторых вырождающихся задач двухфазной фильтрации 20
Единственность и устойчивость обобщенных решений основных начально-краевых задач фильтрации .
несмешивающихся жидкостей 21
Исследование линейной сопряженной задачи 21
Теорема единственности 24
Теорема о сходимости решений регуляризованных задач 26
Теорема о непрерывной зависимости от коэффициентов и начально-краевых условий 28
О корректности постановки одномерной и осе-симметричной задач вытеснения при заданном перепаде давления 31
Качественные свойства обобщенных решений одномерных и осесимметричных задач вытеснения при заданных перепаде давления или суммарном потоке 39
Леммы о монотонной зависимости обобщенного решения от функции суммарного расхода 39
Лемма о влиянии функций капиллярного давления и суммарного расхода на характер поведения обобщенного решения 42
Теорема о мажорантной и минорантнои оценках обобщенного решения одномерной задачи вытеснения .44
4. Асимптотическое поведение при бесконечном возрастании времени обобщенного решения одномерной за дачи вытеснения с заданным суммарным расходом 48
ГЛАВА 2. Численное и экспериментальное исследование одномерной и осесимметричной задач вытеснения 52
I. Численный расчет нестационарных задач вытеснения при заданных перепаде давлений или суммарном по токе 52
1. Описание алгоритма расчета одномерной задачи 53
2. Стационарные решения 57
3. Результаты численных расчетов одномерной задачи 59
4. Осесимметричный случай 62
2. Решение задачи вытеснения методом последовательной смены стационарных состояний (МПССС) 65
3. Экспериментальное исследование вытеснения смачиваю щей жидкости несмачивающей 77
1. Методика проведения эксперимента 77
2. Результаты эксперимента имсравнение с расчетами . 80
Глава 3. Возможные способы устранения эффекта капиллярного запирания вытесняемой ФАШ 83
I. Математическая модель воздействия виброисточника на призабойную зону скважины 83
2. Численное моделирование эффекта вибровоздействия конечно-разностным методом 89
3. Стационарное решение задачи вытеснения в неоднородной пористой среде 93
4. Упругий режим стационарной фильтрации с капилляр ным запиранием смачивающей фазы
Заключение 103
Литература
- Исследование линейной сопряженной задачи
- О корректности постановки одномерной и осе-симметричной задач вытеснения при заданном перепаде давления
- Результаты численных расчетов одномерной задачи
- Стационарное решение задачи вытеснения в неоднородной пористой среде
Введение к работе
В настоящее время весьма актуальной проблемой является задача повышения коэффициента извлечения нефти и газа из продуктивных пластов.
При этом основными способами увеличения дебита эксплуатационной скважины являются заводнение пластов или вытеснение нефти оторочками из поверхностно-активных веществ, термическое воздействие, система газлифта и т.д. Однако достичь полного извлечения нефти или газа не удается. Это обусловлено рядом причин, как-то: - сложностью поровой структуры пласта, его неоднородностью, действием капиллярных сил, влиянием смачивающих свойств пород, слагающих пласт и т.п.
Далее, при современных методах бурения скважин с использованием промывочных жидкостей неизбежно тампонирование ими продуктивного пласта происходящее при бурении и перфорировании ствола скважины и ее остановки путем закачки жидкости за счет капиллярных сил и избыточного давления бурового раствора. Кроме того, в поровом объеме пород всегда имеется часть пластовых вод, остающаяся при замещении последних нефтью или газом.
С началом эксплуатации месторождения часть пластовых вод приходит в движение вместе с потоком нефти или газа. Это приводит к дополнительному тампонированию призабойной зоны скважины и снижению ее дебита.
В процессе вызова притока к эксплуатационной скважине часть тампонажных вод выбрасывается потоком нефти или газа, а часть остается в капиллярно-запертом состоянии, т.е. удерживается капиллярными силами. Эта часть жидкости снижает дебит эксплуатационной скважины, поскольку снижается проницаемость призабойной зоны.
Существуют различные методы воздействия на призабойную зону скважины, направленные на увеличение ее проницаемости. Например, химическая обработка, воздействие с помощью акустических или ультразвуковых полей.
Однако в настоящее время почти нет теоретических работ, в которых исследуется процесс фильтрации несмешивающихся жидкостей в призабойной зоне скважины, в частности образование режима капиллярно-запертой фазы, и изучается воздействие на последнюю различных способов повышения проницаемости пород.
Целью данной работы является всестороннее исследование фильтрации двухфазной жидкости в призабойной зоне скважины в следующих аспектах:
- Построение и исследование корректности математической модели, описывающей этот процесс.
- Способы численно-аналитического решения получаемой системы дифференциальных уравнений.
- Экспериментальное моделирование вышеописанного явления вытеснения фильтрата бурового раствора при вызове притока к скважине.
- Теоретическое обоснование возможных методов воздействия на призабойную зону для повышения дебита скважины.
Заметим, что поскольку речь идет о вытеснении фильтрата нефтью или газом в гидрофильной пористой среде, то нефть (газ) является несмачивающей фазой, а промывочная жидкость - смачивающей. Поэтому целесообразно рассматривать более общую задачу о вытеснении смачивающей фазы несмачивающей.
Следовательно результаты проведенных в настоящей работе исследований могут найти применение при изучении вытеснения водою нефти в гидрофобном пласте или нефти газом, в вопросах создания и эксплуатации подземных газохранилищ.
Необходимо отметить, что к настоящему времени существует ряд работ, в которых приведены результаты изучения разнообразных задач, возникающих в теории фильтрации несмешивающихся жидкостей и ее приложениях. Можно упомянуть работы Л.С.Лейбензона /34/, Г.И.Баренблатта, В.М.Ентова, В.М.Рыжика /8/, И.А.Чарного /51/, В.Д.Данилова, Р.М.Каца /14/, Р.Коллинза /24/, А.Н.Коновалова /26/, А.Э.Шейдеггера /57/ и ряда других авторов.
Общепринятой моделью для исследования фильтрации несмешивающихся жидкостей является модель Маскета-Леверетта /3/, или, в одномерном случае, модель Рапопорта-Лиса /77/.
Пусть смачивающая жидкость вытесняется несмачивающей. При подходе несмачивающей вытесняющей фазы к выходному сечению в силу наличия капиллярного скачка давление больше на стороне несмачивающей жидкости. Однако после выхода последней в свободное пространство кривизна границы раздела между жидкостями невелика и давления в фазах выравниваются. Следовательно из условия непрерывности давлений слева и справа от выходного сечения следует равенство давлений в фазах на выходе, фтоге это приводит к накоплению вытесняемой смачивающей фазы в области прилегающей к выходу. Аналогичная ситуация имеет место и при вытеснении несмачивающей жидкости смачивающей. Это явление экспериментально исследовалось Перкинсом /76/, Кайтом и Рапопортом /69/, Батики и др. /62/. Численные расчеты задач фильтрации двухфазной жидкости с учетом "концевого" эффекта приведены в работах /13, 58, 65, 66, 72/.
Однако следует отметить, что во всех этих работах главным образом рассматривалось вытеснение несмачивающей фазы смачиваю - 10 щей.
Теоретическое исследование стационарной задачи о вытеснении смачивающей жидкости несмачивающей с учетом концевого эффекта дано В.И.Пеньковским /37/ . Это решение, получаемое при изучении соответствующей краевой задачи, обнаружено ранее С.Н.Бузиновым /II/ как класс частных решений стационарных уравнений двухфазной фильтрации. Некоторое обобщение решения Бузинова на случай фильтрации жидкостей с вязко-пластическими свойствами дано в работе /32/.
Начально-краевую задачу для системы (8), (9) с условиями (17) - (21) назовем задачей с заданным суммарным расходом, а с условиями (17) - (20), (22) - задачей с заданным перепадом давлений. Отметим, что, по терминологии авторов / 3/, задача (8), (9), (17) - (21) относится к основным начально-краевым задачам двухфазной фильтрации несмешиващихся жидкостей, следовательно к ней применимы результаты полученные в /3/ для этого класса задач.
Задача с заданным перепадом в данной постановке ранее не изучалась.
Для уравнений вида (23) корректность постановки ряда начально-краевых задач, дифференциальные свойства обобщенных решений этих задач изучались Аронсоном /60/, /61/, Кружковым /30/, Опей-ник О.А. и др. /36/, Калашниковым А.С. /22/. Частные решения рада вырождающихся задач двухфазной фильтрации строились в /7, 39, 41, 42, 43/. Теорема единственности обобщенного решения в случае первой краевой задачи для "приведенного" давления и насыщенности анонсирована в /29/. Единственность и устойчивость обобщенных решений задач двухфазной фильтрации в данной выше постановке (заданных на границе области фильтрации давлений и/или потоков фаз) была доказана лишь в некоторых частных случаях: либо наперед заданной во всей области суммарной скорости фильтрации, либо в случае, когда класс решений таков, что функциясС (,S(x,t)) суммируема с некоторой положительной степенью, т.е. при наличии вырождения на множестве меры нуль /3/.
В настоящей работе получены теоремы единственности и устойчивости обобщенных решений начально-краевых задач двухфазной фильтрации для общего случая, т.е. вырождения на множестве положительной меры.
В последние три десятилетия, в связи с большой практической важностью, интенсивно развиваются методы численного решения задач двухфазной фильтрации. По численным расчетам на ЭВМ разнообразных задач фильтрации многофазной жидкости имеется весьма обширная библиография. В качестве примера можно привести сборники /54/ - /56/. Наряду с многочисленными работами прикладного харак -15-тера существует ряд работ, посвященных теоретическому обоснованию решения задач двухфазной фильтрации конечно-разностным методом, например, /3/, /28/, /25/, /46/.
Различные трудности, возникающие при численной реализации этих задач, достаточно полно освещены в работах А.Н.Коновалова /26/, /27/.
Отметим, что обобщенные решения вырождающихся задач двухфазной фильтрации строятся, как правило, методом - регуляризации. Поэтому важное значение при численной реализации этих задач может иметь оценка близости решений регуляризованной и исходной задач которая получена в данной работе.
Не утратили своего значения и методы получения приближенного аналитического решения краевых задач фильтрации, т.к. они позволяют качественно оценить влияние различных параметров, входящих в математическую модель, на характер процесса, а также, в некоторых случаях, дать достаточно точную количественную характеристику изучаемого явления. Кроме того, эти методы незаменимы при выяснении характера различных особенностей решения и дают достаточно простые формулы, годные при проведении инженерных расчетов.
Таким методом, применяемым в настоящей работе, является метод последовательной смены стационарных состояний, развитый И.А.Чар-ным /52/ и затем усовершенствованный Г.И.Баренблаттом /9/ в более общий метод интегральных соотношений. Расчеты по этому методу автомодельных задач двухфазной фильтрации проводились в /31, 51 /.
В данной работе метод последовательной смены стационарных
состояний впервые применен к расчету одноразмерных неавтомодельных нестационарных задач двухфазной фильтрации.
Довольно длительную историю имеет использование метода вибровоздействия в технологии добычи нефти и газа. Одно из самых ран - 16 них упоминаний сделано в /73/. Подробное описание различных аспектов использования этого метода дано в /12/. Исследование влияния акустических или ультразвуковых полей, получаемых при вибро-воздействии, на проницаемость пористой среды проводилось в работах /49/, /53/, /67/.
Основы математического моделирования с целью объяснения влияния способа вибровоздействия на фильтрацию несмвшивающихся жидкостей в призабойной зоне скважины заложены в /38/.
В настоящей работе излагаются результаты дальнейших исследований по построенной в /38/ математической модели.
Кроме того, теоретически показана возможность использования и других методов воздействия на призабойную зону для повышения проницаемости последней.
Охарактеризуем подробно основные результаты работы. В первом параграфе главы I рассмотрены вопросы единственности и непрерывной зависимости обобщенного решения пространственной задачи двухфазной фильтрации от коэффициентов уравнений и начально-краевых условий для случая вытеснения при заданном суммарном расходе фаз на границе области фильтрационного течения. Доказательство проводится методом построения и последующего исследования линейной сопряженной задачи. Аналогичным образом дается оцен -ка близости обобщенного решения вспомогательной - регуляризован-ной задачи к решению исходной вырождающейся.
Второй параграф главы I посвящен исследованию корректности постановки одномерной и осесимметричной задач вытеснения при заданном перепаде давлении. Доказаны теоремы существования обобщенного решения, а для частного вида начальной функции и единственности, обнаружен ряд свойств обобщенного решения. Например, следует отметить, что принцип максимума имеет вид, отличный от дока - 17 -занного ранее /3/, и это отличие состоит в том, что предельное значение насыщенности сверху определяется величиной перепада давлений.
В § 3 этой же главы изучены различные качественные свойства обобщенных решений задач при заданных перепаде давлений или суммарном расходе в случае одноразмерных течений, обнаруженные в ходе дальнейших исследований.
Доказаны свойства монотонной зависимости обобщенного решения задачи с известным суммарным расходом от функции суммарного расхода и ее производной. Они состоят в следующем.
Если два расхода U1(t) и (J (і) связаны неравенством U1 Ц , то аналогичное неравенство имеет место и для соответствующих обобщенных решений. Далее, если функция Uvfc.) является монотонно неубывающей функцией времени, то и обобщенное решение есть монотонно неубывающая функция времени. В качестве следствия приведена оценка решения нестационарной задачи через решение стационарной. Выяснено влияние функции капиллярного давления на структуру обобщенного решения. Получены оценки сверху и снизу для обобщенных решений через некоторые известные функции.
Следует отметить, что для уравнений нелинейной нестационарной однофазной фильтрации аналогичные теоремы сравнения получены В.М.Битовым в работе /19/.
В § 4 для решения вырождающейся одномерной задачи вытеснения при известном суммарном расходе доказано свойство стабилизации при бесконечном возрастании времени к стационарному решению с оценкой скорости сходимости.
В § I главы 2 предложен алгоритм численного решения и приведены данные расчетов одномерной и осесимметричнои задач вытеснения смачивающей жидкости несмачивающей, а также обсуждаются по - 18 -лученные результаты. Выяснены некоторые особенности задачи вытеснения смачивающей фазы несмачивающей с учетом концевого эффекта.
Во втором параграфе этой главы методом последовательной смены стационарных состояний решена нестационарная задача вытеснения при заданном перепаде давления. Посредством сравнения с результатами расчетов по конечно-разностному методу выяснена область применимости полученного приближенного решения.
В § 3 дана экспериментальная проверка полученных теоретических результатов. В нем изложена методика проведения эксперимента, приведены его результаты и дано сравнение экспериментальных данных с результатами численных расчетов.
В главе 3 в первых двух параграфах приведена математическая модель воздействия виброисточника на призабойную зону скважины и рассмотрены два способа получения решения по этой модели: -метод конечных разностей и квазистационарное приближение. Дано сравнение полученных решений.
В § 3 посредством анализа стационарных решений для случая кусочно-однородной пористой среды изучена еще одна возможность устранения капиллярного запирания фильтрата бурового раствора.
В четвертом параграфе главы 3 на основе полученных стационарных решений оценено влияние сжимаемости вытесняющей фазы на расход этой фазы и распределение насыщенности в режиме капиллярного запирания вытесняемой фазы.
Материалы диссертации изложены в работах / 5, 16-18/, а также ряде отчетов по НИР, выполненных в лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО АН СССР им. М.А.Лаврентьева.
Результаты диссертации докладывались на республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики (г.Донецк, 1983), на семинаре теоретического отдела Института гидродинамики СО АН СССР под руководством члена-корреспондента АН СССР Л.В.Овсянникова, на семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" в Институте гидродинамики СО АН СССР под руководством профессора В.Н.Монахова; на семинаре "Большие задачи математической физики" в Новосибирском госуниверситете под руководством профессора А.Н.Коновалова, на семинарах лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО АН СССР, на семинаре по механике жидкости и газа под руководством академика АН АзССР А.Х.Мирзаджанзаде и академика С.А.Христиановича в Институте проблем механики АН СССР (г.Москва),
Автор выражает искреннюю благодарность д.ф.-м.н. С.Н.Антонце-ву и к.ф.-м.н. В.И.Пеньковскому за научное руководство и поддержку, а также помощь в работе.
Исследование линейной сопряженной задачи
В 3 этой же главы изучены различные качественные свойства обобщенных решений задач при заданных перепаде давлений или суммарном расходе в случае одноразмерных течений, обнаруженные в ходе дальнейших исследований.
Доказаны свойства монотонной зависимости обобщенного решения задачи с известным суммарным расходом от функции суммарного расхода и ее производной. Они состоят в следующем.
Если два расхода U1(t) и (J (і) связаны неравенством U1 Ц , то аналогичное неравенство имеет место и для соответствующих обобщенных решений. Далее, если функция Uvfc.) является монотонно неубывающей функцией времени, то и обобщенное решение есть монотонно неубывающая функция времени. В качестве следствия приведена оценка решения нестационарной задачи через решение стационарной. Выяснено влияние функции капиллярного давления на структуру обобщенного решения. Получены оценки сверху и снизу для обобщенных решений через некоторые известные функции.
Следует отметить, что для уравнений нелинейной нестационарной однофазной фильтрации аналогичные теоремы сравнения получены В.М.Битовым в работе /19/.
В 4 для решения вырождающейся одномерной задачи вытеснения при известном суммарном расходе доказано свойство стабилизации при бесконечном возрастании времени к стационарному решению с оценкой скорости сходимости.
В I главы 2 предложен алгоритм численного решения и приведены данные расчетов одномерной и осесимметричнои задач вытеснения смачивающей жидкости несмачивающей, а также обсуждаются по - 18 -лученные результаты. Выяснены некоторые особенности задачи вытеснения смачивающей фазы несмачивающей с учетом концевого эффекта.
Во втором параграфе этой главы методом последовательной смены стационарных состояний решена нестационарная задача вытеснения при заданном перепаде давления. Посредством сравнения с результатами расчетов по конечно-разностному методу выяснена область применимости полученного приближенного решения.
В 3 дана экспериментальная проверка полученных теоретических результатов. В нем изложена методика проведения эксперимента, приведены его результаты и дано сравнение экспериментальных данных с результатами численных расчетов.
В главе 3 в первых двух параграфах приведена математическая модель воздействия виброисточника на призабойную зону скважины и рассмотрены два способа получения решения по этой модели: -метод конечных разностей и квазистационарное приближение. Дано сравнение полученных решений.
В 3 посредством анализа стационарных решений для случая кусочно-однородной пористой среды изучена еще одна возможность устранения капиллярного запирания фильтрата бурового раствора.
В четвертом параграфе главы 3 на основе полученных стационарных решений оценено влияние сжимаемости вытесняющей фазы на расход этой фазы и распределение насыщенности в режиме капиллярного запирания вытесняемой фазы.
Материалы диссертации изложены в работах / 5, 16-18/, а также ряде отчетов по НИР, выполненных в лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО АН СССР им. М.А.Лаврентьева.
Результаты диссертации докладывались на республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики (г.Донецк, 1983), на семинаре теоретического отдела Института гидродинамики СО АН СССР под руководством члена-корреспондента АН СССР Л.В.Овсянникова, на семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" в Институте гидродинамики СО АН СССР под руководством профессора В.Н.Монахова; на семинаре "Большие задачи математической физики" в Новосибирском госуниверситете под руководством профессора А.Н.Коновалова, на семинарах лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО АН СССР, на семинаре по механике жидкости и газа под руководством академика АН АзССР А.Х.Мирзаджанзаде и академика С.А.Христиановича в Институте проблем механики АН СССР (г.Москва)
О корректности постановки одномерной и осе-симметричной задач вытеснения при заданном перепаде давления
Докажем ограниченность производной О U/l X. в uu , постоянной, не зависящей от , х , t Обратимся к уравнению (1.30) и условиям (I.3I). В силу свойств коэффициентов OL , о и неравенства уравнение (1.30) можно дифференцировать по х один раз. Выполнив это, получим уравнение на функцию R н Ц/ х . Способом, предложенным в /2/, можно получить оценку R в й_ и оценку сверху. Поскольку то, очевидно, и вследствии краевого условия при -X = 1 верны неравенства постоянная, не зависящая по принципу максимума для функции р , существует такая постоянная X » не зависящая
Приведем одну вспомогательную лемму. Докажем сильную компактность последовательности Действительно, из (1.33) следует липшицевость c(se) по х с константой Липшица не зависящей от Проинтегрировав уравнение (1.30) по области, получим равенство
Поскольку ограничены на [0?l] , из последнего равенства следует оценка с X не зависящей от. Применяя лемму 2 к функции (х) а [тлСх/Ьд} " (Х )1 дая Дстаточно малых l j l имеем Из последнего неравенства легко получается
Следовательно последовательность с(5« удовлетворяет всем условиям теоремы Арцела и поэтому сильно компактна
Поскольку является образом компакта при непрерывном отображении = с (с) , то последовательность также сильно компактна в Поэтому существует подпоследовательность равномерно сходящаяся к SeC(i2 ). Из оценки (1.33) следует существование обобщенной производной
Легко видеть, что член Vc о (5) в интегральном тождестве (1.32) сходится к по выбранной подпоследовательности. Переходя в (1.32) к пределу /- 0 получим равенство (1.28) с непрерывной функцией &(хД) , причем последняя обладает свойст - 37 вами 0 « S(x,t) « s« , o o?- Ux
Теорема доказана. Замечание I. Обобщенное решение задачи (30) - (33) удовлетворяет граничному условию при в следующем смысле: для любой функции h (ос A) G С (Q, ) выполняется соотношение им. функцию с/ х изменить, быть может, на множестве меры нуль. Доказывается этот факт так же, как и аналогичное утверждение для второй краевой задачи в /36/.
Пусть выполнены дополнительные условия Теорема 5. Обобщенное решение задачи (30)-(33) единственно, если выполнены условия (1.35) Доказательство. Вычитанием друг из друга интегральных тождеств (1.28) записанных для двух возможных решений & и получим равенство значения функционала при и & соответственно. Произведя во втором под-интегральном члене интегрирование по частям, для всех таких,
Рассмотрим подробнее второе слагаемое в (1.36) Воспользовавшись теоремой Фубини, из двух последних равенств окончательно получим Таким образом, также как и при доказательстве теоремы I, получим следующую сопряженную задачу Здесь tl(p v- произвольная гладкая функция, (О Т) -0 . Далее схема доказательства аналогична теореме I (с использованием оценок леммы I). Теорема доказана.
Нетрудно видеть, что в условиях теоремы 5 можно получить аналоги теорем 2 и 3 для одномерной и осесимметричной задач вытеснения с заданным перепадом давлений.
Замечание 2. В случае задачи (30), (32), (33) с заданным суммарным расходом обобщенное решение строится также как и в задаче (30) - (33) и обладает всеми свойствами решения предыдущей задачи, однако принцип максимума имеет вид При этом на известную функцию V(т) накладывается ограничение и верны теоремы единственности, устойчивости по коэффициентам, если вместо условий теоремы I на характер поведения функций "k-н ( ) » К ( ) выполнено неравенство
Результаты численных расчетов одномерной задачи
В этой главе нестационарная задача о вытеснении смачивающей жидкости несмачиващей в изотропной однородной пористой среде исследуется методами численного моделирования и физического эксперимента с целью определения основных закономерностей, присущих вышеупомянутому процессу, и пригодности предлагаемой математической модели.
Кроме того, дан ряд приближенных формул, позволяющих достаточно эффективно находить основные характеристики вытеснения в зависимости от величин физических параметров задачи.
В данном параграфе осуществлена модификация известных алгоритмов расчета вырождающихся задач двухфазной фильтрации применительно к специфике рассматриваемых задач. Приведены результаты серии численных расчетов задач вытеснения смачивающей фазы несмачиващей в одномерном и осесимметричном случаях как при заданном перепаде давлений, так и при известном суммарном потоке фаз.Дан анализ полученных результатов.
К настоящему времени проведены достаточно полные численные расчеты одноразмерных задач вытеснения, например, /27/, /58/, /66/. Следует однако отметить, что в этих работах рассматривались задачи о вытеснении несмачивающей фазы смачиващей (вода вытесняет нефть в гидрофильной пористой среде) при постановке краевых условий на выходе с учетом и без учета "концевого" эффекта. Случай вытеснения смачивающей фазы несмачивающей с образованием стационарного режима капиллярно-запертой вытесняемой фазы /37/ имеет в отличие от этих задач особенность, связанную с тем, что переход от нестационарного режима вытеснения к стационарному при возрастании времени вытеснения сопровождается изменением порядка обращения в нуль на выходном сечении решений соответствующих задач. При проведении численных расчетов по обычным конечно-разностным схемам это приводит к нарушению монотонности распределения насыщенности на выходном сечении с течением времени.
Задача (2.5), (2.6) решалась методом трехточечной прогонки с итерациями по нелинейности коэффициентов X. » Ъ± функционала V и функции 1L , причем последняя итерировалась следующим образом = 3 5L (2.7) где - номер итерации. Шаг по пространственной переменной выбирался постоянным и равным 0.01, а шаг по времени определялся условиями выполнения материального баланса с точностью Ъ% и сходимости итерационного процесса с точностью 0.001. Время прорыва определялось путем проверки выполнения неравенства что означает наличие на выходном сечении вытесняющей фазы.
Сделаем следующее примечание. В работах /66/, /I/ и др. при расчете краевых задач для вырождающихся параболических уравнений использовались различные способы замены искомых функций. Это связано с тем, что на фронте градиент насыщенности обращается в бесконечность (последнее обстоятельство может приводить к нарушению точности расчета). Однако при этом либо замена являлась трудно обратимой, либо уравнение становилось недивергентного вида.
Предлагаемая разностная аппроксимация свободна от этих недостатков, ибо замена (2.3) легко обратима, градиент новой функции ограничен в окрестности фронта и разностная схема консервативна.
Как показывает исследование некоторых точных решений нестационарных уравнений фильтрации /42/,/7/ и нелинейной теплопровод ности /44/, на фронте насыщенность ведет себя, для фуніщий вида (1.27), как где х, - координата фронта вытеснения. В частности, при \, =0 : Для стационарных уравнений асимптотика иная /37/ Т.о. разностная схема должна хорошо чувствовать характер изменения порядка вырождения решения на выходном сечении, поэтому возникает ограничение на класс решений, которое также учитывает замена (2.3).
Проводились расчеты и по обычной разностной аппроксимации /26/ уравнения и начально-краевых условий в (2.1).
На первом этапе вытеснения обе схемы давали практически одинаковые результаты как по характеру изменения насыщенности, так и по времени прорыва в зависимости от Л , ЛЬ , Л . Однако следует отметить, что схема (2.5), (2.6) требовала несколько больше машинного времени чем обычная (примерно в 1.2 раза).
На втором этапе стандартная схема давала нефизический результат, состоящий в нарушении монотонности распределения насыщенности и самого процесса вытеснения, Для сравнения на рис. I приведены кривые распределения насыщенности после прорыва, рассчитанные по обычной схеме (кривая 2) и по схеме (2.5), (2.6) (кривая I) на один и тот же момент времени, cL = 0.018.
Заметим, что при известном перепаде давлений стационарное распределение насыщенности не зависит от отношения вязкостей оС . В случае заданного суммарного расхода это не так. Чем больше вязкость вытесняющей фазы, тем больше значение насыщенности на входе при условии постоянства характеристик вытесняемой фазы.
Этот факт свидетельствует о том, что более полное вытеснение в последнем случае происходит при более вязкой вытесняющей жидкости и обосновывает соответствующий вывод, полученный экспериментально в работах /75/, /79/ по исследованию влияния отношения вязкостей на коэффициент отдачи вытесняемой фазы при вытеснении смачивающей жидкости несмачивающей.
Отметим, что в целях экономии машинного времени на первом этапе расчетов использовалась обычная разностная схема /26/.
Рассмотрим случай заданного перепада давлений. Графический материал представлен на рис. 2-7. Рис. 2 показывает распределение насыщенности на разные моменты времени при cL = 0.018, др= 3 (сплошные линии). Цифрами помечены профили насыщенности, относящиеся к моментам времени t : I. - 0.030; 2. - 0.079; 3. 0.ІІІ; 4. - 0.595; 5. - + оо . Время прорыва t„B = 0.120.
Стационарное решение задачи вытеснения в неоднородной пористой среде
Расход воздуха сквозь выходное сечение трубки определялся расходомером, схематически представленном на рис. 31. Расход керосина и нефти определялся обычным способом с помощью мензурки. Основные водно-физические характеристики песка: пористость Уп. = 0.34, коэффициент фильтрации по воде К = 0.000137 м/сек,(проницаемость к, = 14 дарси), характерное капиллярное давление рк = 3300 Па, насыщенность лор "связанной водой", не движущейся под действием гравитационных сил, -1 - &cg =0.1.
Методика проведения измерений состояла в следующем. Первоначально загруженная сухим песком трубка 5 (рис. 29) ставилась в вертикальное положение и постепенной подачей раствора VaC2 медленно напитывалась снизу до полного насыщения поро-вого пространства. Подключением приборов I, 2, 3, удельное сопротивление [ . каждого из участков трубки, заключенных между соседними электродами, вычислялось по формуле Ома где AU - падение напряжения между электродами, 30 - сила тока в цепи, (порядка 0.8 ма), разность потенциалов на концах трубки ДІЛ- 3 в, применяемая частота переменного тока 500 гц.
Для контроля за полным и однородным насыщением образца раствором давление раствора в образце повышалось до 80000 Па. Если при этом сила тока J0 увеличивалась, принимались меры к возможно более полному" устранению защемленного воздуха. Неизменность величины J при смене давлений указывало на отсутствие воздуха в порах образца. В дальнейшем образец приводился в горизонтальное положение и осуществлялось вытеснение воздухом, керосином или нефтью раствора WaXt при заданных постоянных перепадах давления Лр = 5000 Па, 10000 Па, 20000 Па. При этом выход -ное сечение оставалось открытым (давление на выходе равнялось атмосферному), а к входному сечению подводился через редуктор либо сжатый воздух, давление в котором регулировалось образцовым манометром 4, либо шланг от сосуда, наполненного керосином или нефтью, который был поднят на заданную высоту с тем, чтобы создать перепад давлений.
Необходимо отметить, что количественное сравнение экспериментальных данных и теоретических кривых, полученные по математической модели двухфазной фильтрации, является весьма сложной задачей, поскольку модель построена на использовании ряда экспериментально определяемых функций, которые для различных пористых сред различны. Поэтому не всегда удается добиться полной корреляции теоретических и экспериментальных результатов.
Здесь, в основном, приводятся достаточно надежно полученные данные (и неоднократно проверенные) о времени прорыва вытесняющей фазы и графики распределения насыщенности по длине образца на разные моменты времени.
На рис. 32-34 приведены экспериментальные графики распределения насыщенности для случаев вытеснения раствора No, \Х воздухом, нефтью, керосином соответственно. Вытеснение производилось при ЛЬ = 10 Па (для керосина AD = 0.5-10 Па). Цифрами помечены распределения насыщенности на момент времени : рис. 32 - I. - 7200 сек; 2. - 18000 сек. Сплошной линией показано стационарное распределение насыщенности, полученное теоретически, путем решения стационарных уравнений (см. I, гл. 2). При этом теоретическая кривая, полученная в предположении отсутствия "связанной" воды, приведена к физическому распределению по формуле физическое значение насыщенности, Я- теоретическое, Sto - величина, определенная в п.1 данного параграфа (S о= 0.9 в нашем случае).
Расположение экспериментальных точек указывает на хорошее согласование результатов. Время прорыва воздуха при Лр = 10 Па равнялось 558 сек. Общее количество впитываемой в образец воды равнялось 107 10 м . При вытеснении воздухом к моменту прорыва выходит примерно 26»10 м3 воды. По истечении 9-Ю3 сек вытеснилось 70 10 м3 водного раствора, а за следующие 1980 сек вышло всего 0.5 10 м . Остаток раствора в образце по истечении 28800 сек вытеснения равнялся 30-10 м.
Эти данные находятся в удовлетворительном согласовании с теоретическими.
В случаях вытеснения нефтью и керосином, с учетом, того, что коэффициент межфазного натяжения для системы керосин-вода примерно вдвое меньше, чем для воздуха-воды (соответственной р ), также наблюдается достаточно хорошее согласование времен прорыва: для керосина "tnp— 3.3 3.6 Ю3 сек, нефти - 26300 сек.
На рис. 33 соответствующие различным моментам времени при вытеснении раствора нефтью значения насыщенности отмечены цифрами - I. - 5400 сек; 2.- 14400 сек; 3. - 28800 сек.
Рис. 35 показывает изменение суммарного расхода жидкостей во времени для этого случая. Для удобства сравнения с соответствующей теоретической кривой величины Vc - среднее значение суммарного расхода и время приведены к безразмерному виду аналогично теоретическим графикам. Наконец, рис. 36 показывает (также в безразмерных переменных) закон движения фронта вытеснения.
