Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Моделирование и численное решение стационарных задач теории фильтрации с неоднородными граничными условиями методом Монте-Карло 8
1.1. Дискретная модель краевой задачи с неоднородными граничными условиями 11
1.2. Теоретико-вероятностная модель блуждания для обобщенной конечно-разностной схемы 24
1.3. Некоторые вопросы реализации метода Монте-Карло 34 на ЭВМ и примеры расчетов
1.4. О применении метода Монте-Карло для решения задачи оптимизации отборов при управлении разработкой пласта 65
ГЛАВА 2. Применение метода статистических испытаний монте-карло для численного решения краевых задач теории фильтрации при нестационарном режиме 77
2.1. Общая постановка плоской нестационарной задачи теории фильтрации 80
2.2. Дискретная модель краевой задачи 84
2.3. Доказательство равносильности вероятностной модели решений систем уравнений в конечных разностях 91
2.4. О применении неявных схем аппроксимации краевой задачи теории фильтрации 98
2.5. Вычислительная схема метода Монте-Карло для задач теории фильтрации в многопластовых системах при упругом режиме 104
2.6. Результаты машинных экспериментов и их анализ 112
ГЛАВА 3. Исследование фильтрации и взаимодействие пластов при упруго-водонапорном режиме 122
3.1. Математическая постановка задач нестационарного взаимодействия пластов в условиях продвижения краевых вод 124
3.2. Алгоритм численного решения рассматриваемой задачи и исследование процессов нестационарной фильтрации в системе взаимодействующих пластов 134
3.3. Анализ и прогноз разработки месторождения "Северный Уртабулак" 149
Заключение 157
Литература 159
Приложение 168
- Теоретико-вероятностная модель блуждания для обобщенной конечно-разностной схемы
- О применении метода Монте-Карло для решения задачи оптимизации отборов при управлении разработкой пласта
- Доказательство равносильности вероятностной модели решений систем уравнений в конечных разностях
- Алгоритм численного решения рассматриваемой задачи и исследование процессов нестационарной фильтрации в системе взаимодействующих пластов
Введение к работе
Краевые задачи нестационарной фильтрации описывают процессы движения жидкостей и газа в пористой среде. Их решения необходимы для оценки влияния на изучаемый процесс многих факторов в различных условиях движения. Выявление закономерностей, присущих рассматриваемым процессам, может быть основано на использовании полученных решений, как численных и аналитических.
Особенный интерес представляет получение решений краевых задач нестационарной фильтрации в условиях, близких природе среды, в том числе при случайных неоднородностях фильтрационных параметров. При их численном решении могут быть отмечены 2 характерные черты.
Первая черта - непрерывная среда заменяется некоторой дискретной моделью, а дифференциальные уравнения, описывающие с граничными и начальными условиями исходную задачу, - конечной системой дискретных уравнений. Дискретная модель краевой задачи нестационарной фильтрации может быть построена самыми различными способами. Вторая черта - получение решения конечной системы дискретных уравнений, причем методы должны быть приемлемыми с практической точки зрения - реализации их на современных ЭВМ.
Эффективность применяемого метода исследования определяется: во-первых, возможностями учета в математических моделях нестационарной фильтрации физического содержания исследуемого процесса; во-вторых, погрешностью счета на ЭВМ, устойчивого к различного рода воздействиям; и, в-третьих - машинным временем, затрачиваемым на получение решения.
Изложенные принципы применяются в настоящей работе, в которой развиваются метод статистических испытаний (Монте-Карло) для численного решения краевых задач для дифференциальных урав - 5 нений нестационарной фильтрации и исследования на этой основе процессов, описываемых ими.
Целью исследований являются:
- постановка линейных и нелинейных краевых задач стационарной и нестационарной фильтрации в неоднородных средах с неподвижными и подвижными (подлежащими определению) границами областей движения ;
- разработка дискретных моделей краевых задач стационарной и нестационарной фильтрации в тесной связи с методами решения и их обоснование, а также создание вычислительных схем и программных средств расчета на ЭВМ, обеспечивающих эффективную машинную реализацию решений ;
- исследование фильтрационных течений для поставленных задач с применением широких машинных экспериментов и на этой основе количественная оценка влияния факторов и условий на определяющие показатели, а также прогнозирование их на перспективу ;
- использование результатов исследований в газогидродинамических расчетах нефтяных и газоносных пластов в условиях действующих месторождений Средней Азии.
Научная новизна исследований. Теоретически и практически развиваются метод статистических испытаний (Монте-Карло) решения краевых задач стационарной и нестационарной фильтрации к системам скважин в областях произвольной конфигурации, обладающий положительными возможностями реализации на современных ЭВМ.
Рассматривается дискретная модель случайных блужданий применительно к фильтрационным процессам в гидродинамически связанных пластах и метод решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений нестационарной фильтрации, реализованный на ЭВМ.
Рассматривается квазитрехмерная постановка нелинейной краевой задачи нестационарной фильтрации в газогидродинамических связанных пластах с подвижной границей раздела областей фильтрации и метод ее решения.
Предложенные методы пригодны для машинного моделирования и изучения процессов стационарной и нестационарной фильтрации в однопластовых и многопластовых системах.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Усовершенствованный метод Монте-Карло для решения многомерных краевых задач фильтрации, а также полученные решения на ЭВМ, на основе которых рассматривается нестационарная фильтрация к системам скважин в одном пласте и в пластах, гидродинамически связанных.
2. Постановка квазитрехмерных краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений нестационарной фильтрации в газогидродинамических связанных областях с подвижной границей раздела, методы решения на ЭВМ и результаты исследований фильтрационных течений.
3. Разработанные программные средства расчетов на ЭВМ, результаты машинных экспериментов, решение многомерных краевых задач нестационарной фильтрации в однопластовых и многопластовых системах, а также их внедрение в газогидродинамических расчетах действующих месторождений Средней Азии.
Практическая ценность исследований. Разработанные методы и программные средства расчетов на ЭВМ могут быть использованы в анализе нефтяных и газовых месторождений и при прогнозировании их гидродинамических показателей, а также в составе математического обеспечения создаваемых автоматизированных систем газогидродинамических расчетов. Разработанная "Методика расчета и анализа на ЭВМ процессов разработки массивных залежей" внедрена Среднеазиатским научно-исследовательским проектным институтом нефти Министерства нефтяной промышленности СССР, фактический экономический эффект которого составляет 21 тыс. рублей в год.
Апробация работы. Основное содержание и результаты работы докладывались и обсуждались: на Республиканской конференции молодых ученьк и специалистов Узбекистана, посвященной 60-летию Ленинского комсомола "Актуальные проблемы в области технических, общественных и естественных наук" (г.Самарканд, 1978 г.), на ежегодных городских конференциях молодых ученых АН УзССР (Институт кибернетики с Щ АН УзССР, 1974-1978 гг.), на Республиканской конференции "Методологические и прикладные аспекты системы автоматизированного проектирования" (г.Ташкент,1981 г.), на объединенном семинаре лабораторий "Математическое обеспечение", "Оптимизации систем газоснабжения на ЭВМ" и "Алгоритмизация" Института кибернетики с Щ АН УзССР в I980-I98I гг.; на научном семинаре кафедры "Аэрогидромеханика" ТашПИ им. Абу Райхана Бируни в 1980-1982 гг.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в б научных статьях.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, в которых приводится акт о внедрении результатов диссертационной работы в народном хозяйстве.
Список использованной литературы состоит из 81 наименования. Диссертационная работа написана на 170 страницах машинописи, содержит 8 рисунков, 24 таблицы.
Теоретико-вероятностная модель блуждания для обобщенной конечно-разностной схемы
Рассмотрение правила члучайного блуждания в дискретной области фильтрации позволяют построить алгоритм расчета на ЭВМ значения функции давления в каком-то узле сетки. При каждом испытании, т.е. блуждании из исходного узла, для которого имеется значение функции давления, вырабатывается его случайное значение, При многократном повторении испытания получим совокупность случайных значений искомого решения, которые можно считать как множество значений случайной величины с соответствующими вероятностями. Это дает возможность найти математическое ожидание, т.е. определить приближенное решение задачи.
Пусть J\T - число попаданий в особый узел 1-го рода ( i, j ) или граничный при Ж испытаниях, a JTQ число попаданий в особый узел 2-го ( \ j ) при t -ом испытании. Тогда численное решение поставленной задачи в точке ( t, j ) определяется следующей формулой:
В этом алгоритме не используется объем промежуточной информации о траектории блуждания для каждого испытания, а требуется лишь знать количество остановок в каждом из особых узлов 1-го рода или граничных узлов JV;: , а также количест Я во проходов через особые узлы 2-го рода J)l\ В том случае, когда необходимо определить численное решение краевой задачи теории фильтрации в каком-то отдельно взятом узле, такое использование объема информации о траектории блуждания оправдано. Однако, в том случае, когда нас интересует численное решение в некотором множестве узлов дискретной области фильтрации, то алгоритм расчета на ЭВМ оказывается неудобным. Вместе с тем можно, используя объем информации о траектории блуждания при каждом испытании, найти численное решение краевой задачи теории фильтрации в требуемом множестве узлов дискретной области. Алгоритм расчета на ЭВМ при этом практически не отличается от первого случая, так как правила блуждания во внутренних и внешних узлах дискретной области остаются без изменения. Объем информации о траектории блуждания сохраняется для тех узлов дискретной области, в которых необходимо найти значение функции давления /2, о, б, 38, 72/. При переходе через внутренний узел, особый узел 1-го рода или 2-го рода и граничный узел запоминаем информацию о качестве прохода для данного испытания блуждания исходного узла, ко- . торое заканчивается в особом узле 1-го рода или в граничном узле. Эта информация представляется в следующем виде 0{; [ где Os — 1 , если для о -го испытания блуждание переходит через узел ( і j J ) , причем оно прекратилось в каком-то ч особом узле 1-го рода или граничном узле Q ; Т.-. - слу чайное значение решения в узле ( і - j ) в соответствии с граничными условиями краевой задачи теории фильтрации. Многократное повторение испытания блуждания из исходного узла позволяет определить вероятность случайного значения решения в узле ( t , j ) и, следовательно, найти его среднее значение. Формула для приближенного решения в каком-то узле ( і j j ) рассматриваемого множества имеет вид: Учитывая это, первое слагаемое можно привести к виду, которое применяем в алгоритме расчета на ЭВМ: при этом для некоторых S , значения Тц могут совпадать. Таким образом, изложенная теоретико-вероятностная модель блуждания позволяет найти численное решение рассматриваемой краевой задачи теории фильтрации в общей постановке. При этом точность решения задачи в дисрвтной форме определяет заданное число испытаний л Метод статистических испытаний применим для задач, связанных с марковскими процессами, требующих ограниченную точность решения. Задачи теории фильтрации могут быть отнесены к подобным задачам. Сущность метода Монте-Карло при решении краевых задач теории фильтрации сводится к тому, что искомая величина представляется как математическое ожидание некоторой случайной величины. Путем многократного моделирования соответствующего случайного процесса определяется эмпирическое среднее, которое является приближенньм значением определяемой величины. При этом, точность метода Монте-Карло может быть оценена построением статистической оценки дисперсии моделируемых случайных значений функции, тем самым точность метода Монте-Карло может быть оценена в процессе решения задачи на ЭВМ. Трудности, встающие на пути применения методов статистических испытаний, заключается, прежде всего, в построении теоретико-вероятностных аналогий или вероятностных моделей случайных испытаний, которые рассмотрены нами в разделе 1.2. Следовательно, при решении краевых задач теории фильтрации, прежде всего, надо доказать равносильность исходной дисретнои задачи в сеточной области и соответствующей ей вероятностной модели блуждания. Далее можно выполнить эксперименты с помощью ЭВМ по реа лизации численного алгоритма и получить решение поставленной задачи, удовлетворяющее соответствующим требованиям по устой чивости и точности приближенного решения. —. Важной особенностью метода Монте-Карло является то, что\ в оперативной памяти ЭВМ необходимо одновременно хранить мало исходной и промежуточной информации.
О применении метода Монте-Карло для решения задачи оптимизации отборов при управлении разработкой пласта
Исследование закономерностей движения жидкостей и газов в пористой среде представляет определенный интерес при нестационарном режиме фильтрации. Нестационарные задачи теории фильтрации более соответствуют практическим вопросам разработки нефтяных, газовых и водоносных пластов. Как известно, математическая модель нестационарного движения жидкостей и газов в пористой среде описываются уравнениями параболического типа, для которых необходимо поставить как граничные условия, аналогичные тем, которые соответствуют постановкам краевых задач при стационарном режиме фильтрации, так и отличные от них начальные условия. Математических трудностей, встающих на пути решения нестационарных задач, по-видимому, больше, так как в общем случае они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных; при определенном предположении математическая модель нестационарных задач может привести их к линейным краевым задачам для уравнения параболического типа. Правда, и в этом случае, как уже было отмечено в предыдущей главе, имеется необходимость трудностей, связанных с многосвязностью области движения. Особенности постановки задачи и построения решения краевых задач теории фильтрации, вытекающих при стремлении достаточно полного описания реальных свойств движения жидкостей и газов в пористой среде, естетственно, более соответствуют нестационарным течениям. Излагаемые в данной главе исследования являются, по существу, дальнейшим развитием методом решения краевых задач теории фильтрации, изложенных в предыдущей главе, на случай нестационарного режима фильтрации. Поэтому все результаты исследований по применению метода Монте-Карло для построения алгоритмов расчета стационарных задач теории фильтрации, так или иначе, примыкают к вопросам, разрешаемым при изучении нестационарных задач. Именно этим, по-видимому, объясняется тот факт, что работ, посвященных применению метода Монте-Карло для решения нестационарных задач значительно меньше, чем работ, в которых изучаются решения стационарных задач. В работе Скворцова В.В. /67/, в которой достаточно полно изложено состояние вопроса о применении метода Монте-Карло для решения стационарных задач теории фильтрации, указывается о целесообразности применения метода статистических испытаний при решении нестационарных задач теории фильтрации.
В работе Швидлера М.И. /71/, являющейся первой монографией по применению метода Монте-Карло для решения краевых задач теории фильтрации указывается о возможности решения нестационарных задач применением метода малого возмущения. Метод Монте-Карло был использован Исякаевым В.А. для решения нестационарной задачи теории фильтрации, его исследования отражены в работе /39/. В работе Эмиха В. /76/ приводится схема алгоритма расчета нестационарной задачи теории фильтрации на одном примере плановой неустановившегося движения грунтовых вод. В этой работе на основе изучения реализации метода Монте-Карло выяснены условия, когда применение метода может быть более экономичным, чем методы решения уравнений в конечных разностях.
В настоящей главе, в начале излагаются постановка задачи плоской нестационарной фильтрации, математическое описание которой сводится к краевой задаче для нелинейного уравнения параболического типа, а затем метод Монте-Карло применяется для решения краевых задач нестационарной фильтрации в многопластовых системах при упругом режиме.
При математическом моделировании краевых задач нестационарной фильтрации в начале дается общая постановка и цель исследования, рассматриваемые нелинейные задачи приводятся к линейному виду, для них приводится дискретная модель аппроксимации дифференциального уравнения, а также начальных и граничных условий, при этом конечно-разностная схема уравнений получена применением явной схемы аппроксимации. Дается вероятностная модель дискретной задачи, доказывается равносильность ее соответствующей системе уравнений в конечных разностях, аппроксимирующей рассматриваемую дифференциальную задачу. Далее излагается применение неявной схемы аппроксимации краевой задачи нестационарной фильтрации, приводится теоретико-вероятностная модель блуждания, доказывается, что вероятность бесконечного долгого блуждания в дискретной области равна нулю, т.е. за конечное число шагов с вероятностью, равной единице, блуждающая частица переходит в особый узел. Приводится алгоритм расчета на ЭВМ. Впервые дается вычислительная схема метода Монте-Карло для решения краевых задач теории фильтрации в многопластовых системах при упругом режиме. Дается постановка, теоретико-вероятностная модель блуждания для систем дифференциальных уравнений, граничных и начальных условий, а также условий на общих границах пластов, приводится алгоритм расчета и в этом случае.
Доказательство равносильности вероятностной модели решений систем уравнений в конечных разностях
Устойчивость конечно-разностных схем занимает основное место при решении дифференциальных уравнений. Для выяснения того, насколько удобен вероятностный метод для решения нестационарных краевых задач теории фильтрации по явной схеме необходимо определить влияние шага на устойчивость. Из предыдущего ясно, что решение по методу Монте-Карло в данной точке представляет собой математическое ожидание или средние дискретные граничных и начальных значений, и является случайной величиной, то решение в данной точке отличается от точного меньше, чем на заданную ведичину. Более того, отклонение статистического решения от точного - обратно пропорционально квадрату числа точек, по которым вычислено среднее, так как при использовании теории конечно-разностной схемы, решение дифференциальных уравнений зависит от шага и At , то необходимо, чтобы эти величины приближались к нулю /51, 43, 63/. Однако размельчение ДХ и ДГ не дает гарантий, что найденное решение сходится к точному, так как при этом имеется возможность безграничного увеличения погрешности. Следовательно, для того, чтобы вероятностный метод был пригоден к решению дифференциальных уравнений, надо постараться, чтобы взять разумное соотношение между масштабом времени и шагом сетки, чтобы выполнилось условие устойчивости конечно-разностных схем.
Условие устойчивости разностных схем для решения уравнений параболического типа вероятностным методом является одним из основных вопросов, так как блуждающая частица на каждом шаге ддлжна переходить с вероятностью 1/4 из данного узла в один из четырех узлов предыдущего временного слоя и после К -го шага ркажется в начальном слое. Процесс блуждания практически происходит как уже отмечалось в главе I, следующим образом: отрезок (0,1) разбивается на четыре отрезка, каждый из которых соответствует определенному событию - переходу блуждающей частицы из одного узла в один из четырех соседних. Частица перейдет в тот или иной соседний узел в зависимости от того, в каком отрезке оказывается случайное число, полученное из интервала (0,1). Теоретическое соотношение устойчивости является необходимым условием при применении конечно-разностной явной схемы аппроксимации. Мы будем предполагать, что это условие устойчивости выполнено и будем строить вероятностную модель,равносильную этой дискретной модели рассматриваемой задачи.
Имеем сеточную область &, , количество узлов которой f[= ftj+flg+ftg , где ftj - количество граничных узлов, Иг - количество внутренних обыкновенных узлов, a flQ- 1i5 + Щр fl - количество особых узлов, где известен дебит скважины, Ї1ЗЯ- количество особых узлов, где известно забойное давление.
Пусть случайное блуждание некоторой материальной частицы, выходящей из произвольного внутреннего узла, происходит так. Из точки ( і , j ) частица с вероятностями J - , точно за единицк времени переходит в любой из восьми соседних узлов, если узел обыкновенный, или имеет возможность остаться с вероятностью В.. , если узел особый с давлением; ясно, что
В силу того, что процесс блуждания случайный, то ориентация перехода в соседний узел абсолютно произвольна, и поэтому можно определить направление блуждания следующим образом. Выбирается для каждого очередного перехода равномерно распределенное в сегменте (0,1) случайное число и это число сравнивается с вероятностью J c . , также как в главе I. Частица,достигая новой точки будет шагать к следующей согласно правилу блуждания. Процесс продолжается до тех пор, пока частица не достигает точки ( i , j ) ll-r ( 6- - множество граничных узлов) или прекратит блуждание во внутреннем особом узле, где известно забойное давление.
В обоих случаях одно испытание выполнено, причем, очевидно, что пятое условие имеет место лишь для особого узла, где известно забойное давление.
Граничные и внутренние узлы с известными забойными давлениями будем называть особыми узлами, причем граничные - особые узлы 1-го рода, внутренние с известными забойными давлениями - узлами П-го рода.
Алгоритм численного решения рассматриваемой задачи и исследование процессов нестационарной фильтрации в системе взаимодействующих пластов
В предыдущих разделах рассматривалось применение явной схемы аппроксимации для представления дискретной модели краевой задачи теории фильтрации.
При использовании неявной схемы для решения уравнений параболического типа вероятностным методом, отпадает необходимость соблюдения выбора шага сетки.
Дискретная модель рассматриваемой нестационарной краевой задачи теории фильтрации приведена в разделе 2.2 настоящей главы. Не приводя подробности всех выкладок, дадим представления уравнений в конечных разностях в произвольном внутреннем узле дискретной области фильтрации при неявной схеме аппроксимации. При этом заметим, что нами применяется абсолютно устойчивая неявная пятиточечная двухслойная по времени разностная схема; причем в отличии, например, от схемы продольно-поперечных направлений, рассматриваемой в /63/ здесь нет промежуточного слоя и обе пространственные производные аппроксимируются на расчетном временном слое /25, 80/.
Разрешая дифференциальное уравнение (2.1) в конечных разностях относительно центрального узла ( 1, j ) на временном слое LK , мы получим позволяет построить вероятностную модель случайного блуждания в дискретной области фильтрации.
Пусть случайное блуждание некоторой материальной частицы, выходящей из произвольного внутреннего узла, происходит следующим образом. Из обыкновенного узла ( 1 , ) частица с вероятностями Jb-X. переходит в любой из четырех соседних узлов ( t J ) временного слоя ск и имеет возможность с вероятностью J$L- спуститься на предыдущий временной слой tК-і Если узел особый, то кроме перечисленных возможных случаев перехода с соответствующими вероятностями у и v\ , части-ца может осться в исходном узле с вероятностью Jf\? . J? В силу того, что процесс блуждания случайный, ориентация перехода в соседний узел произвольная и можно определить направление блуждания следующим образом. Выбирается для каждого очередного перехода равномерно распределенной в отрезке /0,1/ случайное число , которое сравнивается с вероятностями Зс- Ъ. или - ; у1., и у., точно также, как это было описано нами в разделе I. Отличие будет лишь в том, что в данном случае меньше единицы и поэтому вводим дополнительное пятое или шестое условие для перехода на предыдущий временной слой. Далее, достигнув очередного узла, частица может идти дальше аналогичным образом, пока не достигнет граничного узла дискретной области фильтрации. Можно показать, что вероятность бесконечно долгого блуждания внутри области & равна нулю, т.е. с вероятностью, равной единице, блуждающая частица остановится в особом узле за конечное число шагов /6, 5/. Действительно, пусть D Li вероятность достижения блуждающей частицы, вышедшей из точки ( г., j ) в какую-то точку ( i- j ), (особый узел) в течение S шагов. Ясно, что может лишь ростом S . Тогда можно найти для всех ( і , \ ) такое значение S= S1$ что D.. =0, то есть блуждающая частица перейдет в один из указанных узлов с нулевой вероятностью. При этом вероятность того, что за St шагов блуждающая частица не перейдет в особый узел, будет равна. В силу того, что вероятность перехода не зависит от предыстории, возможность того, что блуждающая частица не дос-тигнет особого узла за J4 1 шагов не превосходит величины ( 1- Ь{ г. Так как liwi. (Д- Ц Л ) та 0 то вероятность бесконечно долгого блуждания внутри области &- равна нулю, то есть с вероятностью, равной единице, блуждающая частица переходит в особый узел за конечное число шагов. Обозначим через D - вероятность того, что через К шагов блуждающая частица, выходя из узла ( і , j ) остановится в граничном узле ( і j ) или на нулевом временном слое.
