Содержание к диссертации
Введение
ЧАСТЬ I. Аналитические методы решения пространственных задач обтекания при больших числах рейнольдса в рамках ламинарного пограничного слоя 36
1. Пограничный слой около осесимметричных тел и стреловидных крыльев бесконечного размаха, обтекаемых под углом атаки 36
1.1. Постановка задачи 36
1.2. Метод последовательных приближений для решения уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе 38
1.3. Аналитическое решение задачи в первом приближении 41
1.4. Вывод формул для теплового потока и напряжения трения, отнесенных к их значениям в точке торможения 45
1.5. Результаты расчетов теплового потока и напряжения трения на поверхности длинных крыльев, обтекаемых под углами атаки и скольжения. Сравнение аналитических решений с численными 48
2. Пограничный слой в окрестности плоскости симметрии трехмерных течений 55
2.1. Итерационный алгоритм в окрестности плоскости симметрии. Аналитическое решение 55
2.2. Решение для относительного теплового потока и напряжения трения 61
2.3. Сравнение аналитических решений с численными на линии растекания (стекания) трехмерных тел, обтекаемых под углом атаки 63
3. Пространственный пограничный слой в сжимаемом газе 68
3.1. Метод последовательных приближений для решения трехмерных уравнений пограничного слоя 68
3.2. Решение в первом приближении. Формулы для относительных значений теплового потока и компонент напряжения трения 73
3.3. Сопоставление аналитических решений с численными 76
4. Тепловой поток к идеально каталитической поверхности затупленных тел при пространственном обтекании диссоциированным и ионизованным газом 80
5. Пространственный пограничный слой в несжимаемой жидкости 86
5.1. Определение метрических коэффициентов для уравнений трехмерного пограничного слоя в системе координат, связанной с линиями тока внешнего невязкого течения .86
5.2. Метод последовательных приближений в случае малости вторичного течения 90
5.3. Аналитическое решение .93
5.4. Обтекание пластины под углом скольжения при наличии на ее поверхности эллиптического цилиндра .95
5.5. Обтекание произвольных эллипсоидов под углом атаки .102
6. О сходимости метода последовательных приближений для уравнений погранслойного типа 107
Часть II. Аналитические методы решения пространственных задач гиперзвукового обтекания при умеренных числах рейнольдса 112
1. Тонкий вязкий ударный слой около осесимметричных тел и крыльев бесконечного размаха, обтекаемых под углами атаки и скольжения .112
1.1. Постановка задачи 112
1.2. Метод последовательных приближений для решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя. Исследование сходимости .116
1.3. Аналитическое решение задачи 120
1.4. Решение для теплового потока, отнесенного к его значению в точке торможения 123
1.5. Сравнение аналитических решений с численными решениями уравнений полного и тонкого вязкого ударного слоя и уравнений Навье–Стокса 130
2. Пространственный тонкий вязкий ударный слой .139
2.1. Постановка задачи трехмерного обтекания затупленных тел однородным газом в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя .139
2.2. Метод последовательных приближений для решения трехмерных уравнений .143
3. Течение в окрестности линии торможения трехмерного тела 146
3.1. Решение уравнений тонкого вязкого ударного слоя в окрестности линии торможения трехмерного тела 146
3.2. Сопоставление аналитических решений с численными 149
4. Течение в окрестности плоскости симметрии при трехмерном обтекании 154
4.1. Уравнения тонкого вязкого ударного слоя в окрестности плоскости симметрии трехмерного течения 154
4.2. Аналитическое решение. Сравнение с численным решением 157
4.3. Распределение относительного теплового потока вдоль плоскости симметрии тел, обтекаемых под углом атаки 160
5. Течение около боковой поверхности трехмерного тела 167
5.1. Аналитическое решение трехмерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя. Сравнение аналитических решений с численными 167
5.2. Относительный тепловой поток на боковой поверхности тела 171
6. Тепловой поток к поверхности затупленных тел, обтекаемых химически неравновесным потоком газа 178
6.1. Постановка задачи трехмерного обтекания затупленных тел химически реагирующим газом в рамках тонкого вязкого ударного слоя 178
6.2. Распределение относительного теплового потока вдоль идеально каталитической поверхности 181
ЧАСТЬ III. Метод подобия трехмерных и осесимметричных гиперзвуковых течений .188
1. Метод подобия для расчета тепловых потоков и напряжения трения в окрестности плоскости симметрии трехмерных течений 188
1.1. Соотношения подобия в окрестности плоскости симметрии 188
1.2. Тестирование метода подобия для однородного газа в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя 191
1.3. Применение метода подобия в рамках уравнений Навье-Стокса 195
2. Метод подобия для расчета тепловых потоков и напряжения трения на поверхности трехмерных тел, обтекаемых под углом атаки 201
2.1. Соотношения подобия в общем случае трехмерного течения 201
2.2. Эквивалентное осесимметричное тело 204
2.3. Конвертирующая программа 208
2.4. Тестирование метода подобия для однородного газа 209
3. Применение метода подобия для расчета тепловых потоков и напряжения трения при химически неравновесном обтекании 214
3.1. Тестирование метода подобия для химически реагирующего газа в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя 214
3.2. Тестирование метода подобия для химически реагирующего газа в рамках модели полного вязкого ударного слоя 228
ЧАСТЬ IV. Континуальные методы исследования гиперзвукового обтекания при малых числах рейнольдса 234
1. Асимптотический анализ задачи гиперзвукового обтекания затупленных тел при малых числах рейнольдса 234
1.1. Асимптотическая оценка членов уравнений Навье–Стокса при малых числах Рейнольдса 234
1.2. Вывод уравнений полного и тонкого вязкого ударного слоя из уравнений Навье–Стокса при малых числах Рейнольдса .242
1.3. Вывод асимптотически корректных граничных условий для моделей полного и тонкого вязкого ударного слоя .244
1.4. Асимптотически согласованные модели ВУС и ТВУС 247
2. Асимптотические решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя при малых числах рейнольдса .253
2.1. Режимы и параметры гиперзвукового течения разреженного газа .253
2.2. Асимптотический метод решения уравнений ТВУС 255
2.3. Аналитические решения для коэффициентов теплопередачи, трения и давления в переходном режиме пространственного обтекания тел .258
2.4. Оценка точности и области применимости асимптотического решения 267
3. Границы применимости континуальных методов 277
3.1. Континуальные подходы к моделированию гиперзвукового обтекания тел разреженным газом. Сопоставление с результатами расчетов методом Монте-Карло 277
3.2. Сравнение континуальных решений с решениями кинетических уравнений..291
3.3. Область применимости континуальных моделей 295
Заключение 298
Список литературы .302
- Результаты расчетов теплового потока и напряжения трения на поверхности длинных крыльев, обтекаемых под углами атаки и скольжения. Сравнение аналитических решений с численными
- Сравнение аналитических решений с численными решениями уравнений полного и тонкого вязкого ударного слоя и уравнений Навье–Стокса
- Тестирование метода подобия для однородного газа в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя
- Вывод асимптотически корректных граничных условий для моделей полного и тонкого вязкого ударного слоя
Введение к работе
Актуальность темы. При спуске космических аппаратов в атмосфере Земли они последовательно проходят различные режимы сверх- и гиперзвукового обтекания: свободномолекулярный; переходной от свободномолекулярного к континуальному режиму (режиму сплошной среды); «навье-стоксовский»; «погранслойный». Эти режимы характеризуются разными диапазонами изменения чисел Рейнольдса, в каждом из них течение газа описывается адекватными математическими моделями. При исследовании теплообмена и аэродинамики гиперзвуковых летательных аппаратов возникает необходимость решения пространственных задач обтекания тел вязким теплопроводным газом во всех режимах. Экспериментальное моделирование гиперзвуковых высотных течений около таких аппаратов в лабораторных условиях сильно ограничено в настоящее время. Численное моделирование сложных трехмерных задач обтекания с учетом физико-химических процессов, зависящих от многих определяющих параметров, требует больших затрат вычислительных ресурсов и позволяет получать достаточно точные результаты для каждой конкретной комбинации этих параметров. В то же время исследование зависимостей аэродинамических и тепловых характеристик от высоты и скорости полета, угла атаки, геометрической формы тела требует расчетов многочисленных вариантов. Поэтому актуальна разработка эффективных приближенных методов, которые позволяют значительно сократить вычислительные затраты, получить аналитические решения, полезные для постановки экспериментов и интерпретации результатов численного моделирования и могут применяться в практике проведения многочисленных расчетов при варьировании параметров обтекания и формы тела, необходимых при проектировании перспективных гиперзвуковых летательных аппаратов.
Разработанность темы. Для различных режимов гиперзвукового ламинарного обтекания затупленных тел: переходном, навье-стоксовском и погранслойном разработаны приближенные и аналитические методы расчета теплопередачи и трения на наветренной стороне пространственно обтекаемых тел. Получены аналитические решения двумерных и трехмерных задач обтекания тел совершенным газом во всех режимах. Получены простые выражения для теплового потока к идеально-каталитической поверхности тел, обтекаемых химически реагирующим газом при больших и умеренных числах Рейнольдса. Разработан метод подобия, позволяющий решать трехмерные задачи вязкого обтекания в рамках упрощенных и полных уравнений Навье-Стокса с учетом неравновесных химических реакций и каталитических свойств поверхности, используя при этом программы расчета осесимметричных течений. Разработаны континуальные модели, позволяющие рассчитывать тепловой поток и напряжение трения на лобовой поверхности затупленных тел при малых числах Рейнольдса в переходном режиме.
Основные цели работы - это разработка эффективных приближенных методов решения задач гиперзвукового вязкого обтекания при малых, умеренных и больших числах Рейнольдса Re, ориентированных на быстрый расчет тепловых потоков и сил вязкого трения на лобовой поверхности летательных аппаратов:
Получение аналитических решений пространственных задач ламинарного обтекания затупленных тел совершенным газом во всем диапазоне чисел Re в рамках моделей пограничного слоя и тонкого вязкого ударного слоя.
Получение выражений для теплового потока на идеально-каталитической поверхности затупленных тел, пространственно обтекаемых гиперзвуковым потоком химически реагирующего газа при больших и умеренных числах Re.
Разработка метода подобия для расчета теплопередачи и напряжения трения на наветренной стороне пространственных тел, обтекаемых под углом атаки гиперзвуковым потоком вязкого газа с учетом реальных физико-химических процессов и каталитических свойств поверхности, позволяющего решать трехмерные задачи, используя программы расчета осесимметричных течений в рамках упрощенных и полных уравнений Навье-Стокса.
Исследование возможности применения континуальных моделей в переходном от континуального к свободномолекулярному режиме обтекания. Разработка континуальных методов расчета теплопередачи и трения на лобовой поверхности тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа при малых числах Re, гораздо более простых и требующих существенно меньших вычислительных ресурсов по сравнению с применяемым в настоящее время методом прямого статистического моделирования Монте-Карло.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.
Разработан метод последовательных приближений для решения уравнений тонкого вязкого ударного слоя, позволяющий получать как численные, так и приближенные аналитические решения. Метод последовательных приближений для решения уравнений пограничного слоя обобщен на случай пространственных течений. С использованием этого метода получены:
Аналитические решения трехмерных уравнений ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при обтекании под углом атаки затупленных стреловидных крыльев большого удлинения, окрестности плоскости симметрии и боковой поверхности пространственных тел при наличии вдува (отсоса) с поверхности в зависимости от параметров внешнего невязкого обтекания.
Простые аналитические решения для теплового потока и напряжения трения на поверхности пространственных тел, отнесенных к их значениям в точке торможения, в рамках модели пограничного слоя, в зависимости от параметров внешнего невязкого обтекания.
Аналитические решения трехмерных уравнений пограничного слоя в несжимаемой жидкости в случае малости вторичных течений.
Аналитические решения двумерных и трехмерных уравнений тонкого вязкого ударного слоя при обтекании осесимметричных тел, затупленных стреловидных крыльев большого удлинения, окрестности плоскости симметрии и боковой поверхности пространственных тел.
Простые аналитические решения для относительного теплового потока на поверхности затупленных пространственных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком газа при умеренных и больших числах Re в зависимости от геометрических параметров тела и температуры поверхности и решения, имеющие более широкую область применимости, чем модель тонкого вязкого ударного слоя, зависящие от геометрии тела и давления.
Показано, что эти решения для относительного теплового потока могут использоваться на идеально-каталитической поверхности пространственных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком химически неравновесного газа.
Предложены выражения для теплового потока на идеально-каталитической поверхности пространственных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком химически реагирующего газа, в рамках модели пограничного слоя.
Разработан на основе обнаруженных параметров подобия метод подобия для расчета тепловых потоков и напряжения трения на лобовой поверхности трехмерных тел, обтекаемых под углом атаки, который сводит решение трехмерной задачи к решению двумерных уравнений с переменным, зависящим от геометрии, числом Re для эквивалентных осесимметричных тел, построенных специальным образом для меридиональных сечений реального тела. Получены формулы и создана конвертирующая программа для расчета всех параметров эквивалентного тела в зависимости от геометрии реального тела, угла атаки и угла меридиональной плоскости. Метод подобия применим в рамках разных моделей вязкого течения - уравнений Навье-Стокса, полного и тонкого вязкого ударного слоя, пограничного слоя - как для течений однородного газа, так и для химически неравновесного многокомпонентного газа для разных каталитических свойств поверхности.
Путем асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса для гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом при малых числах Re выведены уравнения вязкого ударного слоя (ВУС) и тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС), ранее полученные только для больших чисел Re. Выведены асимптотически согласующиеся с уравнениями граничные условия на ударной волне и на теле для моделей ТВУС и ВУС при малых числах Re. Предложено модифицированное условие для скачка температуры на поверхности в модели ВУС. Показано, что эти граничные условия с учетом кривизны поверхности существенно улучшают предсказание теплопередачи и трения в рамках модели ВУС и расширяют область ее применимости.
Получены асимптотические решения уравнений ТВУС при малых числах Re для коэффициентов теплопередачи, трения и давления на лобовой поверхности пространственных тел, обтекаемых разреженным газом, в зависимости от параметров набегающего потока и геометрических параметров тела, с уменьшением числа Re приближающиеся к решениям в свободномолекулярном режиме обтекания при единичном коэффициенте аккомодации.
Показана возможность применения разработанных асимптотически согласованных моделей ТВУС и ВУС для расчета теплопередачи и трения на лобовой поверхности затупленных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа в переходном от континуального к свободномолекулярному режиме обтекания.
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в получении приближенных аналитических решений сложных в математическом отношении трехмерных задач обтекания затупленных тел гиперзвуковым потоком вязкого теплопроводного газа во всем диапазоне чисел Re, в обнаружении подобия трехмерных и осесимметричных вязких течений, в разработке асимптотически согласованных континуальных моделей, которые могут применяться для расчета теплопередачи и трения на лобовой поверхности тел в переходном режиме обтекания.
Аналитические решения для теплового потока и напряжения трения на лобовой поверхности пространственных тел для разных режимов ламинарного обтекания гиперзвуковых летательных аппаратов при их спуске в атмосфере Земли полезны для аналитической формулировки вариационных задач, для интерпретации результатов численного моделирования, корректной постановки экспериментов. Они позволяют быстро проводить многочисленные расчеты при варьировании параметров обтекания и формы тела, необходимые при проектировании новых гиперзвуковых летательных аппаратов. Аналитические решения полезны также для определения конвективного теплообмена метеороидов при их движении в атмосфере Земли.
Метод подобия для расчета теплопередачи и трения на лобовой поверхности пространственных тел, обтекаемых под углом атаки, позволяет решать трехмерные задачи гиперзвукового обтекания с учетом реальных физико-химических процессов в рамках полных и упрощенных уравнений Навье-Стокса, используя имеющиеся программы расчета осесимметричных течений, что существенно расширяет возможности и экономит вычислительные ресурсы.
Разработанные континуальные методы для расчета тепловых потоков и напряжения трения на лобовой поверхности гиперзвуковых летательных аппаратов в переходном режиме обтекания, гораздо более простые, чем используемый в настоящее время метод прямого статистического моделирования Монте-Карло, позволяют значительно сократить вычислительные затраты.
Достоверность и апробация результатов. Все полученные аналитические решения сравнивались с численными решениями и с экспериментальными данными, на основании сравнений оценены их точность и область применимости. Сходимость метода последовательных приближений исследовалась численно и на модельной задаче - аналитически. Метод подобия тщательно тестировался в рамках разных моделей вязкого течения - уравнений Навье-Стокса, полного и тонкого вязкого ударного слоя как для совершенного газа, так и для химически реагирующего. Достоверность континуальных решений в переходном режиме обтекания подтверждена сравнением с численными решениями кинетического уравнения Больцмана с модельными интегралами столкновений, с результатами, полученными методом прямого статистического моделирования Монте-Карло и с решением в свободномолекулярном режиме.
Результаты работы докладывались и обсуждались на: Всесоюзной школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости, Махачкала, 1978; Всесоюзном совещании-семинаре по механике реагирующих сред, Красноярск, 1988; Всесоюзной школе-семинаре по современным проблемам механики жидкости и газа, Иркутск, 1990; Школе-семинаре ЦАГИ «Механика жидкости и газа», ЦАГИ, 1992; Европейском симпозиуме по Аэротермодинамике космических аппаратов, ESA, Нордвик, Нидерланды, 1994; Международной школе института современных исследований НАТО «Молекулярная физика и гиперзвуковые течения», Аквафреда де Маратеа, Италия, 1995; Совещании-семинаре НАСА по Исследованию теплопередачи и обтекания и дизайну космических аппаратов, Хьюстон, США, 1997; Международном симпозиуме по Входу в атмосферу летательных аппаратов и систем, Аркашон, Франция, 1999; Конференции, посвященной 40-летию НИИ механики МГУ, Москва, 1999; Международной конференции по численному моделированию в механике сплошной среды, Прага, Чешская Республика, 2000; VIII, IX и X Всеросссийских съездах по теоретической и прикладной механике: Пермь 2001, Нижний Новгород, 2006, 2011; Европейской конференции Евромех по Аэродинамике и термохимии высокоскоростных течений, Марсель, Франция, 2002; Всероссийской конференции «Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке», посвященной 80-летию академика Г.Г. Черного, Москва, МГУ, 2003; Всероссийских школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики»: Туапсе, 2003, 2005, 2006, 2007, 2010; Международных симпозиумах по Динамике разреженного газа (RGD-24, -25, -26, -27, -28): Бари, Италия, 2004, Санкт-Петербург, 2006, Киото, Япония, 2008, Пасифик Гроувс, США, 2010, Сарагосса, Испания, 2012; Международных конференциях Восток-Запад по Высокоскоростным течениям (WEHSF): Пекин, Китай, 2005, Москва, 2007; Ломоносовских чтениях МГУ: Москва, 2005, 2007, 2009, 2010, 2012; Всероссийской конференции
«Современные проблемы механики сплошной среды», посвященной 100-летию со дня рождения академика Л.И. Седова, Москва, 2007; Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения СВ. Валландера, Санкт-Петербург, 2008; Международной научно-технической конференции «Авиадвигатели XXI века», Москва, 2010; Международной конференции по прикладной математике и информатике, посвященной 100-летию со дня рождения А.А. Дородницына, Москва, 2010; Международной научной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения», Санкт-Петербург, 2012; семинарах НИИ механики МГУ: по газовой динамике под рук. акад. Г.Г. Черного; по физико-химической газодинамике под рук. проф. Г.А. Тирского; по физико-химической кинетике под рук. проф. С.А. Лосева, семинаре кафедры гидромеханики МГУ «Механика сплошной среды» под рук. акад. А.Г. Куликовского, проф. В.П. Карликова, чл.-корр. О.Э. Мельника.
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 53 статьи, в том числе 34 - из перечня ВАК.
Личный вклад автора. Основные результаты, представленные в диссертации: разработанные методы - метод последовательных приближений, метод подобия, аналитические решения, разработка континуальных моделей при малых числах Re - вывод уравнений и граничных условий, получены лично автором; оценка точности и области применимости аналитических решений, метода подобия и разработанных моделей проводились лично и совместно с соавторами под руководством автора. В совместных публикациях по теме диссертации автору принадлежит основной вклад в постановку задач и анализ результатов, подготовка статей к публикации; кроме того, в [1] - получение метрических коэффициентов и аналитического решения, оценка его точности, в [4-8, 10-12, 15, 17, 21, 29, 30] - разработка метода последовательных приближений, получение аналитических решений, участие в оценке их точности и области применимости, в [13, 14, 16, 18-20, 22-24, 31, 33] -разработка метода подобия, участие в его апробации, в [35, 37, 39, 41-44, 46, 47, 50-53] - разработка континуальных моделей в разреженном газе, вывод уравнений и граничных условий, асимптотические решения, участие в оценке области применимости континуальных моделей, в [49] - применение аналитического решения для расчета конвективного теплообмена метеороидов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х частей, заключения и списка литературы из 248 наименований. Объем 320 страниц.
Результаты расчетов теплового потока и напряжения трения на поверхности длинных крыльев, обтекаемых под углами атаки и скольжения. Сравнение аналитических решений с численными
Расчеты по формулам (1.20), полученным при задании нулевого приближения в виде (1.15), (1.16), проведенные для осесимметричных тел и для крыльев различной формы, обтекаемых под углами атаки от 0 до 30 и углами скольжения от 0 до 45, показали, что распределения вдоль поверхности величин теплового потока и коэффициентов трения, отнесенных к их значениям в критической точке, слабо зависят от нулевого приближения. (это видно из рис. 1.5, приведенного в разделе 1.6). То, что решение в первом приближении для относительных величин слабо зависит от вида нулевого приближения, можно показать и аналитически.
Коэффициент теплопередачи в первом приближении для произвольного нулевого приближения, не зависящего от s, определяется по формуле (при B = 0 и слабо меняющейся по s температуре стенки):
Кемп Н., Роуз П., Детра Р. [45] с целью уточнения формулы Лиза для случаев, когда меняется по J и д меняется по , использовали концепцию локального подобия и на основании численных расчетов системы обыкновенных дифференциальных уравнений (при = 1) получили аппроксимационную формулу для q(s)/q(0). Результаты расчетов относительного теплового потока по формуле (1.30) сравнивались с результатами расчетов по формулам Лиза и Кемпа, Роуза, Детры. Из результатов сравнения, представленных ниже в разделе 4 на рис. 4.2, видно, что различия при использовании всех трех формул невелики.
Для распределения вдоль поверхности тела относительных значений напряжения трения можно, аналогично тому, как это было сделано для теплового потока, получить следующие выражения:
Таким образом, получены простые выражения (1.29), (1.31), (1.32) для значений теплового потока и напряжения трения, отнесенных к их значениям в точке торможения, в зависимости от температуры поверхности, числа Прандтля, параметров на внешней границе пограничного слоя, расстояния вдоль контура и расстояния от поверхности тела до оси симметрии (для осесимметричных тел) или угла скольжения (для крыльев). Выражения имеют инвариантный относительно выбора системы координат вид.
По полученным формулам проведен расчет течения в пограничном слое на осесимметричных телах и на крыльях бесконечного размаха, обтекаемых под разными углами скольжения и атаки. Для оценки точности аналитического решения в этом разделе и разделах 2 и 3 проводились сравнения с численными решениями уравнений пограничного слоя (Брыкина И.Г., Гершбейн Э.А. Пейгин С.В. [40-42], численные расчеты проводились Пейгиным С.В.), в этом разделе – также с результатами расчетов Башкина В.А. [16] и с экспериментальными данными Беквиса И., Галлахера Дж. [175]. Рассмотрим сначала непроницаемую поверхность. Исследовалось обтекание эллиптических (отношение полуосей менялось от 0.1 до 1), параболического, 45-гиперболического цилиндров под разными углами стреловидности (р (0 (р 50) и атаки в (0 в 15). В расчетах принималось Mте = 10, у = 1.4-1.2, о = 0.71, со = 0.4-0.9. Распределение давления рассчитывалось по формуле Ньютона, температура поверхности Tw считалась постоянной и ее значение варьировались в пределах 0.01 TW 0.5.
Сравнение аналитического решения с численным, проведенное для крыльев различной формы в широком диапазоне определяющих параметров задачи, показало, что для непроницаемой поверхности отличие абсолютных значений коэффициентов трения и теплообмена, посчитанных по формулам (1.20) и полученных из численного решения, не превышает 20% для всех вариантов расчета; отличие же различных их относительных величин - отнесенных к значениям в точке торможения или выраженных формулами (1.23), от численных значительно меньше.
На рис. 1.2 показана зависимость от угла скольжения ф коэффициентов трения и теплопередачи на линии торможения крыла, отнесенных к их значениям при ф = 0, для разных значений Tw . Там же проводится сравнение аналитического решения с численным. Как показали результаты сравнения, погрешность формул (1.23) в диапазоне 0 ф 45 и 0.03 TW 0.5 не превышает: для теплового потока - 1%, для коэффициентов трения - 5%.
Отметим, что влияние температуры стенки на относительный тепловой ноток проявляется сильнее, чем на коэффициенты трения, причем последние можно с хорошей точностью (меньше 2%) аппроксимировать формулами более простыми, чем (1.23):
Эти величины также приведены на рис. 1.2. Расчеты показали, что а, х , х слабо aзависят от ft) (для ft) = 0.4 и 0.9 при Tw = 0.03 максимальное отличие не превосходило 3%).
Сравнение с численным решением коэффициентов трения и теплопередачи при нулевом угле скольжения, посчитанных по формулам (1.24) и (1.24 ), приведены на рис. 1.3 в зависимости от температуры поверхности. Как показывает рис. 1.3, формула (1.24) для с1 обладает хорошей точностью, величины cq и ср, полученные по формулам (1.24 ), практически совпадают с численным решением.
Характерные распределения коэффициентов вдоль поверхности цилиндрических тел различной формы, обтекаемых под разными углами скольжения и атаки, ((а также вдоль поверхности различных осесимметричных тел)) приведены на рис. (1.4)–(1.8).
Сравнение аналитических решений с численными решениями уравнений полного и тонкого вязкого ударного слоя и уравнений Навье–Стокса
По формулам (5.32)-(5.35) с учетом полученных в данном разделе выражений был проведен расчет течения в пограничном слое на эллипсоидах. Безразмерная величина продольной компоненты трения ЭЕ/ЭА, на линии растекания у = О приводится на рис. 5.9 для эллипсоида с а:Ъ:с = 1:6:6, обтекаемого под нулевым углами атаки 0 ( a = 90, (3 = 90, у= 0) и 6 ( a = 84, (3 = 90, у = 6).
На рис. 5.10 показано поведение предельных линий тока на поверхности эллипсоида с соотношением полуосей 2:3:4, обтекаемом вдоль оси z. Картина линий тока приводится в плоскостях yz и xz. Ясно видна линия отрыва, являющаяся огибающей предельных линий тока и проходящая через особые точки на линиях растекания, в которых напряжение трения обращается в нуль (xi = 0, Хг = 0). На рис. 5.11 приводится картина поведения предельных линий тока на поверхности эллипсоида с соотношением полуосей 1:6:6, обтекаемом вдоль оси z (вид в плоскости yz).
Относительно справедливости результатов, полученных за линией отрыва, остается в силе замечание предыдущего раздела 5.5.
Результаты расчета линий отрыва по приближенным формулам для эллипсоида вращения с соотношением полуосей 1:1:2, обтекаемого под углами атаки 0 ( а = 90, (3 = 90, у = 0), 15 ( а = 75, (3 = 90, у = 15) и 30 ( а = 60, (3 = 90, у = 30), сравниваются на рис. 5.12 (слева) с результатами, полученными конечно-разностным методом Шевелевым Ю.Д. [181]. Сравнение показывает удовлетворительное согласование приближенных аналитических и численных результатов.
Слева - Сравнение расчетных линий отрыва (сплошные кривые) с численными решениями [181] (штриховые) для эллипсоида с соотношением полуосей 1:1:2, обтекаемого под углами атаки 0, 15, 30.
Справа – Зависимость положения точки отрыва на линии растекания с наветренной стороны эллипсоида с соотношением полуосей 1:1:4 от угла атаки. Сплошная кривая – аналитическое решение, крестики - численное решение [182].
Зависимость положения точки отрыва на линии растекания (точки, в которой трение обращается в ноль) от угла атаки, полученная на основе формул (5.35), показана на рис. 5.12 (справа). Результаты приведены для наветренной стороны эллипсоида вращения с соотношением полуосей 1:1:4. Проведенное здесь же сравнение с результатами конечно-разностных расчетов Вонга К. [182] показывает хорошую точность приближенного аналитического решения.
Доказательства сходимости и устойчивости методов решения в нелинейных задачах механики сплошной среды всегда достаточно сложны, в частности потому, что для этих задач часто не доказаны теоремы существования и единственности. Поэтому, как правило, сходимость итерационных методов решения таких задач проверяется или с помощью «численного эксперимента», или на модельных задачах. Сходимость метода последовательных приближений была проверена «экспериментально» путем вычисления большого числа приближений на ЭВМ для двумерных задач пограничного слоя в работе Ковач Э.А., Тирского Г.А. [33]. В данном разделе дается аналитическое доказательство сходимости метода последовательных приближений на простой автомодельной задаче.
Рассмотрим задачу об охлаждении теплопроводного полупространства y 0, имеющего в начальный момент температуру T , вследствие приложения к его границе термостата с бесконечной теплопроводностью и температурой T0, занимающего полупространство y 0. Эта задача автомодельна и сводится к решению следующей краевой задачи (Тихонов А.Н., Самарский А.А. [210]): Здесь A, - коэффициент теплопроводности, p - плотность, с - теплоемкость материала, заполняющего полупространство 0. Решение задачи (6.1) представляется через интеграл ошибок: Применяя метод последовательных приближений, описанный в первом разделе, к интегрированию задачи (6.1), получим следующий итерационный процесс, где индексу означает номер приближения: Возьмем в качестве нулевого приближения функцию Установим рекуррентный вид для j-го приближения # . Разложим точное решение задачи в ряд по х\: Затем найдем в (ц) и покажем, что в (г[)— в (ц) при j — . Тем самым будет доказано, что приближения, полученные по методу последовательных приближений, с учетом нулевого приближения (6.3), сходятся к точному решению.
Тестирование метода подобия для однородного газа в рамках модели тонкого вязкого ударного слоя
Для проверки установленных аналогий проводилось сравнение численных решений трех систем уравнений: системы уравнений (4.1) части II, описывающей течение в окрестности плоскости симметрии 3D тела, системы (1.3) части II, описывающей осесимметричное течение, с модификацией числа Re, и системы уравнений, описывающей течение на линии торможения осесимметричного тела. Рассматривались разные эллиптические параболоиды и гиперболоиды (описываемые уравнениями (4.8) части II), обтекаемые под углами атаки от 0 до 45 в широком диапазоне чисел Re (в расчетах полагалось Pr = 0.71, = 1.4, Gw = 0.1). Некоторые результаты сравнения приближенных решений, полученных методом подобия с помощью соотношений (1.5)–(1.7), (1.9), (1.10) с решением системы уравнений (4.1) части II приведены на рис. 1.1-1.4, где , - расстояние вдоль линии растекания от точки торможения.
Апробация метода подобия в этом и следующих разделах проводилась совместно с соавторами под руководством автора с использованием численных расчетов Русакова В.В. (ТВУС, однородный газ, Брыкина И.Г., Русаков В.В. [110, 229], Сахарова В.И. (уравнения НС, однородный газ, Брыкина И.Г., Сахаров В.И. [230, 231]), Щербака В.Г. (ТВУС, однородный и химически реагирующий газ, Брыкина И.Г., Русаков В.В, Щербак В.Г. [100, 101, 111-113, 233], Скотта К. (ВУС, химически реагирующий газ, Брыкина И.Г., Скотт К. [114, 234], Крупнова А.А. (ВУС, химически реагирующий газ, Брыкина И.Г., Ковалев В.Л., Крупнов А.А. [236]).
На рис. 1.1 показаны распределения числа Стантона и коэффициента трения вдоль плоскости симметрии эллиптического параболоида с k = 0.8, обтекаемого под углом атаки 15 при разных числах Рейнольдса, полученные из численного решения трехмерных уравнений и методом подобия путем решения одномерных и осесимметричных уравнений. Аналогичные распределения числа Стантона и коэффициента трения вдоль плоскости симметрии того же эллиптического параболоида, обтекаемого при числе Re = 100 под разными углами атаки приведены на рис. 1.2. Распределения числа Стантона вдоль плоскости симметрии 45-го гиперболоида вращения, обтекаемого под углом атаки 30 при разных числах Re, приведены на рис.1.3. На рис. 1.4 сравнения результатов для cH и cf проводится для эллиптических параболоидов с k = 0.25 и k = 4, обтекаемых под нулевым углом атаки при разных числах Рейнольдса.
Распределения числа Стантона и коэффициента трения вдоль плоскости симметрии эллиптического параболоида с k = 0.8, угол атаки 15. Сплошные кривые – расчет 3D уравнений, штриховые – метод подобия с использованием соотношений (1.6), (1.7), светлые точки – с использованием соотношения (1.5).
Проведенное сравнение показало высокую точность соотношения подобия (1.6), с помощью которого расчет теплового потока на поверхности тела в окрестности плоскости симметрии 3D течения сводится к расчету теплового потока к поверхности осесимметричного тела. Аналогичное соотношение (1.7) для коэффициента трения в ряде случаев дает большую погрешность, чем соотношение (1.6) для числа Стантона. Сравнение показало также, что тепловые потоки, определяемые с помощью соотношения (1.5) путем расчета теплового потока в точке торможения осесимметричного тела, хорошо согласуются с результатами численного решения уравнений (4.1) части II, однако точность (1.5) ниже, чем точность соотношения (1.6).
Распределения числа Стантона и коэффициента трения вдоль плоскости симметрии эллиптических параболоидов с k = 4 (кривые без штрихов) и k = 0.25 (со штрихами), обтекаемых под нулевым углом атаки при Re = 1, 100, 700 – линии 1, 2, 3. Сплошные кривые – решение 3D уравнений, штриховые – метод подобия с использованием соотношений (1.6), (1.7), крестики – соотношения (1.10), светлые и темные точки – соотношений (1.5) и (1.9). Штрих-пунктирные линии – решение для осесимметричного тела, образованного вращением линии растекания.
Анализ полученных результатов показал, что при Re 100 результаты расчетов с помощью упрощенных соотношений (1.9), (1.10) практически совпадают с результатами, полученными соответственно с помощью соотношений (1.5), (1.6). Таким образом, для определения тепловых потоков при Re 100 можно пользоваться более простыми по сравнению с (1.5), (1.6) соотношениями (1.9), (1.10), не требующими использования при расчетах переменных чисел Рейнольдса.
Использование полученных соотношений подобия позволяет свести трехмерную задачу к двумерной или одномерной и значительно сократить время расчетов.
Следует отметить, что для определения тепловых потоков на линии растекания затупленных тел при их трехмерном обтекании нельзя использовать просто решение для осесимметричного тела, образованного вращением линии растекания вокруг оси, проходящей через точку торможения и параллельной направлению скорости набегающего потока. Для сравнения такие осесимметричные решения нанесены штрих-пунктирной линией на рис. 1.3, 1.4 при Re = 100, 700, 1000. Видно, что использование обычных осесимметричных решений без поправок, связанных с поперечной кривизной поверхности, в отличие от предложенных в данной работе, может давать значительные ошибки – до 100% и больше. Влияние поперечной кривизны, или трехмерности течения, на тепловой поток хорошо учитывается разработанным методом подобия.
Соотношения подобия были выведены для модели тонкого вязкого ударного слоя. Можно предположить, что метод подобия носит весьма общий характер, так как соотношения подобия зависят только от геометрии тела и числа Рейнольдса, а при больших числах Рейнольдса – только от геометрии, и могут применяться и для других моделей течения – пограничного слоя, полного вязкого ударного слоя, параболизованных и полных уравнений Навье–Стокса.
Рассмотрим применение метода подобия в рамках системы полных уравнений Навье – Стокса и его апробацию для расчета пространственных течений в окрестности их плоскости симметрии. При применении метода подобия для уравнений Навье–Стокса по сравнению с уравнениями тонкого вязкого ударного слоя возникают некоторые вопросы. Один из них – это выбор характерного линейного размера R0 для числа Re: Re = R0V / . Этот вопрос возникает из-за того, что расчет течения проводится для
эквивалентного тела. Уравнения тонкого вязкого ударного слоя являются параболическими и в качестве характерного размера выбирается один из радиусов главных кривизн в точке торможения. Уравнения Навье–Стокса – эллиптические, поэтому на решение задачи во всей расчетной области, в том числе и в области линии торможения, оказывает влияние полный размер тела, или возмущенная область течения вниз по потоку. Например, если рассматривать обтекание эллипсоида, то число Re можно определять по расстоянию до миделевого сечения или по среднему между ним и одним из радиусов кривизны в точке торможения. При этом если тело обтекается под углом атаки, то для плоскости симметрии имеется два эквивалентных осесимметричных тела, соответствующих разным направлениям от точки торможения, и размер этих тел будет разным. Поэтому можно рассматривать два разных числа Re – для каждого из этих тел. Подробнее этот вопрос будет обсуждаться ниже.
Второй вопрос связан с тем, что в случае обтекания тела под углом атаки при решении уравнений Навье–Стокса с использованием соотношений подобия для двух осесимметричных тел, соответствующих двум ветвям линии растекания по разные стороны от точки торможения, в точке торможения получаются два значения теплового потока для этих двух разных тел (в отличие от модели вязкого ударного слоя, где решение на линии торможения определяется кривизной поверхности в критической точке). Разрыв в этих значениях можно уменьшить или совсем устранить за счет надлежащего выбора характерных размеров эквивалентных тел, что приведет к изменению чисел Re„, а следовательно, и значений теплового потока в критической точке. Этот вопрос связан с вопросом о выборе характерного линейного размера и также будет рассматриваться ниже.
Для оценки точности метода подобия применительно к уравнениям Навье-Стокса расчет пространственного течения при обтекании затупленных тел в окрестности их плоскости симметрии проводился путем численного решения двумерной системы уравнений Навье-Стокса для эквивалентных осесимметричных тел с использованием соотношений подобия (Брыкина И.Г., Сахаров В.И. [230, 231], численные расчеты уравнений НС проводились Сахаровым В.И.). Полученные значения теплового потока и коэффициента трения вдоль поверхности сравнивались с результатами прямых расчетов трехмерных упрощенных уравнений Навье-Стокса Корякина В.Е., Попова Ф.Д. [232] и Гершбейна Э.А., Щербака В.Г. [86].
Вывод асимптотически корректных граничных условий для моделей полного и тонкого вязкого ударного слоя
Граничные условия на ударной волне. Проведем асимптотический анализ при малых числах Re соотношений на внешней границе ударного слоя - ударной волне (УВ) – необходимых для решения асимптотически упрощенных уравнений НС в ударном слое. Рассматривались общие соотношения на скачке (Седов Л.И. [241]), выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии при переходе через скачок. Была проведена оценка порядка всех членов этих соотношений при малых числах Re с учетом (1.24)-(1.38). Запишем эти соотношения на УВ в специально скомпанованном согласно этим оценкам Если в соотношениях (1.40) пренебречь членами О(%) (при єМ 1), то получим условия на УВ для уравнений ТВУС при малых числах Re, совпадающие с условиями, полученными Ченгом [61] для уравнений ТВУС при больших числах Re, за исключением второго из соотношений (1.40), в котором необходимо учитывать все члены этого уравнения, являющимися малыми одного порядка, Ченгом был опущен член tg Д. Точное соотношение (1.42) заменяется в модели ТВУС приближенным соотношением (3 а.
Если в соотношениях (1.40) пренебречь членами О(% ), то получим граничные условия для уравнений ВУС при малых числах Re, которые, в отличие от уравнений, отличаются от граничных условий, предложенных Дэвисом [74] для модели ВУС при больших числах Re. В классической модели ВУС Дэвиса в граничных условиях, во-первых, отсутствуют некоторые множители порядка cosPs, которые должны присутствовать как при малых, так и при больших числах Re, во-вторых, отсутствуют некоторые члены, связанные с кривизной УВ, являющиеся внепорядковыми при больших числах Re, но которые должны присутствовать при малых числах Re, поскольку эти члены О(%). Подробнее это будет изложено в следующем разделе, где граничные условия для моделей ВУС и ТВУС будут выписаны в исходных переменных х, у.
Граничные условия на поверхности. Перейдем к анализу граничных условий на поверхности тела при малых числах Re. Запишем граничные условия на поверхности, учитывающие скорость скольжения и скачок температуры, в переменных х, у в общепринятом достаточно простом виде, полученном Шидловским В.П. [242] и приведенном им для прямолинейной системы координат. Именно в таком виде условия скольжения использовались Дэвисом [74] (существуют вариации этих граничных условий, и они будут рассматриваться далее, но асимптотические оценки для них аналогичны):
Уравнения ВУС выведены в пренебрежении членами О(% ) и учете членов О(%), поэтому в этой модели нужно учитывать эффекты скольжения и скачка температуры на стенке, поскольку эти эффекты порядка %. Уравнения ТВУС выводятся в пренебрежении членами как О(% ), так и О(%), поэтому асимптотически строгая модель ТВУС получается в пренебрежении эффектами скольжения на поверхности порядка %. То, что эффекты скольжения являются внепорядковыми для модели ТВУС для холодной стенки, отмечал и Ченг [60, 61, 155]. Отметим, что модель ТВУС, как будет показано далее, именно с условиями прилипания на поверхности дает правильные свободномолекулярные пределы (с коэффициентом аккомодации, равным единице) для коэффициентов теплопередачи и трения при Re — 0.
Условия скольжения Дэвиса в системе координат, связанной с поверхностью тела, совпадают с условиями (1.44) и не учитывают криволинейности поверхности, т.е. влияние кривизны поверхности 1/R, где R - радиус кривизны контура тела. Если в условиях (1.44), приведенных в [242] для декартовой системы координат, перейти к криволинейной, связанной с поверхностью обтекаемого тела, то получим, что в условиях на стенке, как и в условиях на УВ, нужно удерживать дополнительные члены, связанные с кривизной, которые входят в компоненту тензора вязких напряжений т и компоненту вектора плотности потока энергии Y1.
Таким образом, для модели ВУС в качестве условий на поверхности вместо используемых в классической модели Дэвиса [74] соотношений (1.44) правильно использовать следующие условия, учитывающие члены, связанные с криволинейностью поверхности, оказывающие, как будет показано далее, существенное влияние на тепловой поток и напряжение трения при малых числах Re:
Эти условия для скорости скольжения и скачка температуры будут модифицированы в следующем разделе, чтобы описать едиными граничными условиями режимы как с малыми, так и с большими скачками температуры на поверхности с целью насколько возможно адекватно предсказывать теплопередачу и напряжение трения на поверхности в переходном режиме обтекания.
В результате проведенного выше асимптотического анализа задачи гиперзвукового обтекания тел при малых числах Re были получены уравнения и согласующиеся с ними граничные условия для двух асимптотически согласованных моделей ВУС и ТВУС. Термин «асимптотически согласованная модель» означает, что в уравнениях и граничных условиях учитываются все члены одного порядка и не учитываются члены более высокого порядка малости (имеется в виду порядок малого параметра %). Выпишем уравнения и соответствующие им граничные условия для этих двух моделей, которые будут использоваться далее для асимптотического и численного исследования гиперзвукового обтекания затупленных тел разреженным газом в переходном от континуального к свободномолекулярному режиме обтекания.
Асимптотически согласованная модель ТВУС. Уравнения ТВУС в криволинейной ортогональной системе координат (х, у), связанной с поверхностью обтекаемого тела (рис. 4.1), имеют вид
