Содержание к диссертации
Введение
2. Современное состояние вопроса о влиянии инерции при фильтрации 14
2.1. Развитие основных исследований по фильтрации жидкости, подчиняющейся квадратичному закону сопротивления 14
2.2. Решение задач фильтрации жидкости с учетом сил инерции и упругих свойств 18
2.3. Постановка задачи и обоснование методов исследования 22
3. Обоснование нелинейного закона фильтрации при повышенной скорости течения 27
3.1. Приближенная зависимость для коэффициента и его связь с числом Рейнольдса 27
3.2. Одно следствие преобразования уравнений Навье-Стокса 31
4. Расчет инерционного сопротивления при обтекании группы сфер приближение 34
4.1. Течение между концентричными сферами 34
4.2. Структура внутрипорового течения 42
5. Диффуpjрная модель ПОШ 49
5.1. Использование результата Хамеля для оценки инерционной составляющей 49
5.2. Метод диссипативной функции при фильтрации 57
5.3. Анализ результатов 65
6. Решение задач фильтрации с квадратичным законом сопротивления 72
6.1. Задача об установившейся нелинейной фильтрации в прискважинной зоне 72
6.2. Расчет волны разрежения, возникающей при сбросе давления в скважине 81
7. Некоторые нелинейные эффекты в условиях скоростной фильтрации 91
7.1, Влияние внутрипорового течения жидкости на деформацию твердой фазы 91
7.2. Структура стационарного фильтрационного потока вблизи стенки канала ИЗ
Основные результаты и выводы 126
Литература 129
- Решение задач фильтрации жидкости с учетом сил инерции и упругих свойств
- Одно следствие преобразования уравнений Навье-Стокса
- Структура внутрипорового течения
- Метод диссипативной функции при фильтрации
Решение задач фильтрации жидкости с учетом сил инерции и упругих свойств
Вопросы постановки и решения краевых задач при нелинейном режиме фильтрации зависят от конкретного вида нелинейности. В работах Лейбензона, Чарного, Щелкачева, Полубариновой-Кочиной, Баренблатта и др. развиты приближенные методы решения нелинейных задач фильтрации. Пирвердяном и Ентовым и др. выведены теоремы сравнения для исследования поведения решения при изменении начальных и граничных условий, а также при их линеаризации. Работами Ентова В.М. [ I7J , Молоковича Ю.М. [37, 32] и др. получены решения некоторых нелинейных задач фильтрации в аналитической форме.
Данное уравнение описывает распространение волны с затуханием. Решения краевых задач для уравнений (2.2.4), полученные в работах приведенных выше,свидетельствуют о том,что на начальном этапе движения имеет место существенно волновая структура фильтрационного движения. За время,когда силы инерции оказывают влияние на процесс фильтрации,данная волна претерпевает сильное затухание и в дальнейшем процесс описывается уравнением пьезопроводности. Найденная особенность течения представляет интерес для ряда практических задач.Например,известны эффекты увеличения притока нефти при акустической обработке скважины [27J . Оіоії&опи Т [88J предпринял общий анализ квазилинейной гиперболической системы (2.2.1) - (2.2.3) методом характеристик. Путем преобразования этой системы показана возможность использования развитого математического аппарата газовой динамики к широкому классу задач фильтрации. Это представляет интерес в применении к нелинейным задачам. Внезапное уменьшение давления на границе по сравнению с начальным приводит к распространению волны разрежения или слабому разрыву, наоборот, увеличение давления, создает ударную волну. Учитывая то, что нефтепромысловая практика все чаще использует такие воздействия на пласт как взрыв, представляет интерес исследовать фильтрационные течения при указанных условиях. В названных задачах имеет место взаимодействие различных факторов. Тем более детально должно быть исследовано поведение среды на уровне микроструктуры.
Вопросы динамики взрывных волн в грунтах и горных породах рассмотрены в работе Ляхова Г.М. [Зі] . В ней содержится методика проведения эксперимента, характерное изменение основных параметров, приближенная теория и т.д. Эксперимент по ударным волнам на песчаных колонках выполнен гагхиг [92J . Математическое моделирование вопроса о прохождении ударной волны на насыщенной пористой среде развивается в работах В.Н.Николаевского j_34J . В них учитывается различие инерционных, температурных и других свойств составляющих фаз. Заметим вместе с авторами работы [ЗЗ] что на фронте ударной волны фильтрация описывается нелинейной квадратичной зависимостью. Таким образом диспергирование фаз происходит в условиях фильтрации с повышенной скоростью. Теоретическое исследование вопроса связано с учетом большого числа факторов. В работе Г35І предложен феноменологический подход построения теории взрыва в грунте без учета микроструктуры, описывающий основные закономерности эволюции ударной волны в грунте и удовлетворительно соответствующий эксперименту. Об актуальности данной задачи свидетельствуют известные опыты по воздействию взрывом на забой скважины с целью увеличения нефтеотдачи [76J .
Кроме того представляются недостаточно исследованными условия, когда вместе с упругими свойствами жидкости имеют значение упругие свойства твердого скелета. Известно, что присутствие жидкости в порах значительно изменяет деформационные свойства грунта [l3J . В условиях фильтрации жидкости на межфазной поверхности имеют место касательные напряжения обусловленные вязким трением. Влияние данных напряжений исследовано недостаточно. В случае повышенного сопротивления жидкости типа квадратичной зависимости (2.1,1) эти напряжения могут быть еще более существенными. Представляет интерес рассмотреть их влияние на обобщенный тензор напряжения упругой пористой среды и на процесс деформации двухфазной среды.
При этом известно, что значительное влияние на процесс деформации оказывает структура среды: размер и форма неодно-родностей, состав и физические свойства включений и т.д. \lb\. Насыщенная зернистая среда представляет собой идеализированную модель двухфазного грунта, позволяющая произвести некоторый учет структуры. В работе [_7і] в качестве зернистой среды использованы упругие сферы, четырех сортов отличающихся размерами. Упаковка бралась произвольной. Вклад в деформацию учитывался только от областей контакта для сфер одного сорта. Зависимость для изменения объема включающего N сфер и жидкость получена с помощью энергетической оценки. В работе [99 J найдены эффективные модули для структуры из упругих сфер, погруженных в упругую жидкость. Использована кубическая упаковка и предположение об отсутствии усилия в горизонтальной ее плоскости. Модель из упорядоченных равных сфер применялась также при вычислении давления зернистой среды на подпорную стену [бб] .
В последнее время исследуемый вопрос находит приложение к задаче о продувке химического сырья через слой зернистого катализатора [4,12 J , Заметим, что вышеизложенный подход, использующий идеализацию твердых частиц, отличен от направления развитого работами Био М.А, [8J и Николаевского В.Н. [34J , В упомянутых работах учет структуры осуществлен феноменологическим способом, то есть заданием необходимого числа параметров, требующих экспериментального определения.
Одно следствие преобразования уравнений Навье-Стокса
Формула (2.I.I) получена экспериментальным путем. Из различных предложенных зависимостей была выбрана более адекватная двучленная формула. Решение вопроса об обосновании данного вида формулы может быть решено на основе связи исследуемого режима фильтрации с теорией Навье-Стокса.
Предположение об инерционной природе нелинейного слагаемого в (2.I.I) требует учета инерционных членов типа конвективного ускорения при записи системы уравнений динамики жидкости. Покажем, что в одном случае,путем преобразований системы уравнений Навье-Стокса,можно получить зависимость типа (2.I.I) без ее аналитического решения.
В зависимости (3.2.9) не детализируется структура течения и механизм возникновения дополнительного сопротивления. Для этого необходимо исследовать течение на микроуровне, например, с помощью идеализированной модели поры.
Следует заметить, что неоднородность строения реальных пор приводит к существенным флуктуациям основных параметров на уровне микроструктуры. Поэтому переход к идеальной поре соответствует осреднению параметров течения.
Численный анализ системы (3.2.1) - (3.2.3) не позволит выделить квадратичную форму вида (2.I.I).
Таким образом, учет сил инерции для преобразованной системы уравнений Стокса дает некоторую общую форму решения, адекватную эмпирической зависимости (2.I.I). Для уточнения функциональной зависимости коэффициентов & , j? от параметров фильтрации и установления связи теории Стокса с исследуемым режимом фильтрации необходимо найти некоторое частное решение для случая идеализированной системы пор.
Исследование структуры внутрипорового течения с повышенной скоростью произведем с помощью ячеечной модели Хаппеля [бо] . На рисунке I показана ячейка, содержащая сферическую твердую частицу в форме сферы, радиуса О . Пространство между данной сферой и внешней сферической поверхностью радиуса & заполнено жидкостью. Причем, величины CL, и связаны следующим образом B = a(i-ru)v (4.1) При этом сфера " В " находится в квазистационарном движении относительно внешней границы, то есть возмущение, вносимое в поток частицей считается локализованным в объеме сферы "О-", вблизи данной частицы.
Методом выбора соответствующих краевых условий данная ячейка моделирует течение в поре. Найдены решения для очень малых величин числа Рейнольдса и при отсутствии инерции [60J . Представляет интерес учесть влияние силы инерции на общее решение системы уравнений Навье-Стокса. Используем математический аппарат линеаризации нелинейных конвективных членов, развитый Озееном для случая обтекания одиночной сферы.
Здесь использовано разложение Qjocp в ряд Тейлора. Аналогичное преобразование применим к выражению (4.1.6). Заметим, что при усечении рядов в выражениях (4.1.6), (4.1.10) сохранение большего количества членов пропорциональных коэффициентам с более высокой степенью Re = tlCL/y гС { , тем не менее не обеспечит повышение точности (второй порядок), обусловленной линеаризацией исходной системы уравнений.
Структура внутрипорового течения
Данное асимптотическое представление (4.1.21) вполне соответствует известному результату Озеена [26] . Краевое условие (4.1.4) неудовлетворено вследствие выбранного приближения (4.1.6) Из рисунка следует, что имеет место нарушение симметрии линий тока относительно плоскости, перпендикулярной направлению течения и проходящей через центр сферы. Вследствие этого в направлении потока появляется дополнительное сопротивление пропорциональное квадрату скорости. Его появление обусловлено учетом конвективных составляющих сил инерции . Последние отличны от нуля при наличии кривизны траектории движения или при условиях пространственной неоднородности задачи. Таким образом, экспериментальные зависимости для сил сопротивления в виде квадратичной формы по скорости течения как в случае обтекания сферы , так и течения в сферической плоскости,адекватны аналитическим решениям линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса. При этом квадратичная составляющая обусловлена силами инерции типа конвективного ускорения.
Переход к ячейке, моделирующей пористую среду осуществим с помощью замены краевых условий (4.1.4). Считаем, что скорость жидкости на поверхности ячейки такова, что при сближении двух ячеек в точке соприкосновения она имеет одинаковую величину и направление. Этого можно достичь, предполагая отсутствие касательных напряжений на поверхности сферы " CL ". Кроме того количество жидкости в ячейке постоянно, то есть нет радиальных перетоков. Таким образом,взамен (4.1.4) для уравнений (4.1.3) имеем краевые условия.
Иллюстрация к выражению (4.2.7) показана на рисунке 3. Видно, что переход к краевому условию (4.2.1) существенно изменяет структуру линий тока. На рисунке 3 для наглядности увеличена область, содержащая жидкость. Однако основным отличием от случая отсутствия сил инерции является наличие асимметрии в расположении линий тока вдоль направления течения.
Следовательно, при повышенной скорости фильтрации нелинейные эффекты обусловлены гидродинамическими особенностями течения с учетом кривизны траектории движения. Возможны другие структуры геометрии поры, отличные от ячеечной модели, рассмотренной в 4 разделе. Например, криволинейную траекторию течения внутри поры обеспечивает модель, изображенная на рисунке 5. Она представляет собой канал, содержащий участки расширения (диффузор) и сужения (конфузор). Здесь осредненными параметрами являются минимальный " Ь " и максимальный " Х " радиусы поры, а также угол Эс , связанные между собой соотношением
Пусть жидкость несжимаема, а поровое пространство представляет собой периодическую структуру с элементарной ячейкой, изображенной на рисунке. Общее решение задачи о течении в сужении либо расширении найдено Хамелем [26 ] . Ниже показано, что его использование связано с определенными трудностями.
Метод диссипативной функции при фильтрации
Ход зависимостей (5.2.20) и (5,2.21) показан на рисунках 8,9. Видно, что величины К и В существенно зависят от геометрической структуры поры. При этом величина для сужения и расширения поры имеет различные значения, в то время как величина проницаемости одинакова в обоих случаях. Для 6 можно выделить некоторое оптимальное значение , при котором Ъ максимально. По-видимому это связано с образованием застойных зон, уменьшением кривизны движения и как следствие уменьшения сопротивления.
Показано, что расчет течения в конструкции из плотно упакованных сфер, моделируемой ячейкой Хаппеля, приводит к зависимости силы сопротивления,в виде квадратичной формы, аналогичной (2.I.I). При этом,кроме геометрической структуры среды были учтены свойства вязкости иинертности жидкости, а также искривление траектории линии тока при обтекании сферы с помощью учета конвективных членов в системе уравнений Навье-Стокса. Степень приближения данной модели обусловлена линеаризацией упомянутых нелинейных конвективных составляющих в уравнениях движения, а также пространственным осреднением ячейки. Таким образом в подтверждение результатов пункта 3.2 квадратичная форма силы сопротивления есть следствие независимого вклада сил инерции и внутреннего трения жидкости при течении в поровых каналах исследуемой формы. В этом случае данный режим фильтрационного потока может быть описан системой уравнений Навье-Стокса в масштабе порового пространства при учете микроконвективных ускорений.
Формула (4.2.10) дает ожидаемую зависимость от параметров фильтрации Ы, /і, р, Ь . Для данной модели средний размер зернг "в" является характерным параметром, влияющим на величину проницаемости и инерционного сопротивления. В модели конфузорно-диффузорной поры влияние конвективных членов учтено в нелинеаризованном виде. Кроме того,для описания геометрической структуры пористой среды введены дополнительные параметры. Заметим, что здесь отсутствует средний размер частицы. Введем всопогательную величину - коэффициент извилистости.
Недостатками данной модели является довольно громоздкий аналитический аппарат эллиптических функций и интегралов,приближенный поиск решения системы интегральных уравнений (5.1.II), а также процедура сращивания решений на участке перехода конфу-зор-диффузор с помощью диссипативной функции. Следствием использования модели является то, что квадратичная форма вида (2.1 Л) обусловлена различными механизмами преобразования энергии жидкости при исследуемом течении. Еслив величина диссипации энергии жидкости связана со свойством внутреннего трения ее, то потеря кинетической энергии при мик-роконвекциях внутри поры обусловлена инерционными свойствами.
Показано, что кроме влияния пористости на обобщенные фильтрационные характеристики должен быть введен параметр извилистости, характеризующий структуру пористой среды.
Следует отметить идентичный вид приведенных кривых по различным моделям, а также экспериментальных данных Еъаип На графиках вполне определенно заметно влияние нелинейной составляющей приводящей к искривлению зависимости vp іЛ выпуклостью к оси скорости фильтрации. С увеличением пористости m заметна тенденция к сближению данных по различным моделям .Увеличению среднего размера зерна"в"соответствующее увеличению порового канала,сопутствует повышение угла наклона кривой On Vp и оси tn О . Это обусловлено повышенным вкладом инерционных составляющих при расширении порового канала с фиксированной структурой. При этом относительный вклад линейной и нелинейной составляющей пропорционально отношению I/g2- : 1/# В то же время изменение величин вязкости жидкости и ее плотности имеет прямопропорциональную зависимость для соответствующих членов силы сопротивления. А именно, увеличение ВЯЗКОСТИ yU сопровождается выполаживанием зависимости Vp ІҐ , приближением ее к линейному закону Дарси, повышение плотности J , наоборот дает нелинейную форму типа Краснопольского 48J . Заметим, что величина критической скорости \Т соответствующая началу влияния инерционных сил не фиксированна, а имеет относительно широкую переходную зону. Расположение данной зоны на оси скорости V с увеличением пористости смещается влево. В случае больших размеров частиц линейная область не наблюдается ; по-видимому она расположена в области 1Г [ Ю м, либо отсутствует совсем. Что касается влияния пористости tTL на ход зависимости vp О" , то в общем случае он имеет сложный характер. Это соответствует выводу, полученному в работе ][б0] . Различные модели устанавливают различную функциональную зависимость сопротивления от пористости. По-видимому здесь большой вклад вносит структура среды, т.е. характер упаковки частиц, их сцементированность, а также геометрическое строение пор. Исследование данного вопроса, однако, выходит за рамки работы.
