Содержание к диссертации
Введение
1 Динамика двух нелинейно связанных автогенераторов 14
1.1 Бифуркационный анализ периодических решений при малой нелинейности 16
1.1.1 Анализ укороченных уравнений 17
1.1.2 Переход к конечной нелинейности 26
1.2 Бифуркационный анализ периодических решений при сильной нелинейности 29
1.3 Область хаотического поведения 33
1.4 Механизмы перехода к хаосу 36
1.5 Выводы 41
2 Влияние расстройки параметров и случайных воздей ствий на динамику двух нелинейно связанных авто генераторов . 44
2.1 Влияние линейной расстройки частоты 45
2.2 Влияние случайных воздействий 47
2.2.1 Влияние аддитивного шума 50
2.2.2 Влияние мультипликативного шума 51
2.3 Выводы 54
3 Динамика системы четырех автогенераторов с нели нейными связями 58
3.1 Симметричные связи 59
3.2 Несимметричные связи 61
3.2.1 Система четырех автогенераторов с нелиней ными связями как модель локомоторной актив ности человека 61
3.3 Выводы 64
4 Динамика системы релаксационных автогенераторов с однонаправленными нелинейными пороговыми свя зями под импульсным воздействием 66
4.1 Динамика элемента 67
4.1.1 Быстрая подсистема 68
4.1.2 Медленная подсистема 70
4.2 Динамика межэлементной связи 74
4.3 Синхронизация релаксационного автогенератора периодическим импульсным сигналом 75
4.4 Преобразование кодирующих сигналов 86
4.4.1 Преобразование импульсов в береты 92
ф 4.4.2 Преобразование беретов в импульсы 95
4.4.3 Динамическая ненадежность 97
4.5 Выводы 104
Заключение
- Переход к конечной нелинейности
- Влияние случайных воздействий
- Система четырех автогенераторов с нелиней ными связями как модель локомоторной актив ности человека
- Синхронизация релаксационного автогенератора периодическим импульсным сигналом
Введение к работе
Исследование коллективной динамики ансамблей автоколебательных систем на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики. С одной стороны такими ансамблями являются цепочки и решетки джозевсоновских контактов [ 1, 2], полупроводниковые лазеры [ 3]-[ 5] и генераторы переменного тока [ 6, 7], фазированные антенные решетки [ 8]-[ 13] и д.р. С другой стороны в дискретном приближении с помощью цепочек и решеток автогенераторов можно моделировать некоторые нелинейные процессы в таких распределенных системах как неоднородные гидродинамические среды [ 14]-[ 16], оптические волокна [ 17]-[ 20], неравновесные химические реакции [ 21]-[ 28] и др.
Динамика ансамблей автоколебательных элементов зависит от выбора базового активного элемента, типа и пространственной организации связей. В несвязанном состоянии элементы могут находится в покое, совершать периодические колебания или демонстрировать хаотическое поведение. В некоторых случаях этими свойствами элементы обладают одновременно, т.е. являются мультистабильными. Характер связи между элементами также варьируется в широких
пределах. Рассмотрены ансамбли элементов связанных как локально, так и глобально. Связи могут быть линейными и нелинейными, обладать запаздыванием и т.д.
Наиболее хорошо изучены ансамбли автоколебательных систем с линейными связями. К этому типу относятся, например, ансамбли с резистивными, индуктивными и емкостными связями. Для малых ансамблей автогенераторов с линейными связями изучены такие явления как синхронизация, конкурентное подавление колебаний, регуляризация хаотической динамики элементов. В качестве примера можно привести два индуктивно связанных генератора Ван-дер-Поля [ 29], малые ансамбли ротаторов [ 30, 31], контактов Джозеф-сона [-!]-[ 5], элементов ФитцХыо-Нагумо [ 32]-[ 34], генераторов Чуа [ 35, 36] и т.д. В цепочках и решетках автогенераторов проведены исследования пространственной синхронизации колебаний [ 31]-[ 45] и пространственно-временного беспорядка [ 37]~[ 43]. Для больших ансамблей мультистабильных элементов изучены явления формирования пространственных структур [ 46]-[ 51], нелинейные волновые процессы [ 52]-[ 58]: бегущие импульсы и диссипативные солитоны в возбудимых системах, фронты переключения в бистабильиых системах, спиральные и концентрические волны в решеточных системах возбудимого типа.
Ансамбли автоколебательных систем с нелинейными связями исследованы значительно хуже. Вместе с тем изучение таких ансам-
блей важно, так как нелинейные связи существенно влияют на динамические свойства систем. Более того, за счет использования нелинейных связей можно существенно изменить коллективную динамику ансамбля и получить его новые свойства, которые при линейных связях не существуют. Например, нелинейное соединение систем фазовой автоподстройки в ансамбли позволяет улучшить их динамические характеристики (полосу захвата, фильтрующие свойства, быстродействие и т.д.), решить задачи, связанные с обработкой сложных сигналов, синтезом частот и т.д. [ 59]-[ 61].
В последнее время наблюдается повышенный интерес к нетрадиционным системам передачи, обработки и хранения информации, построенных на основе принципов функционирования нейронных ансамблей. Большое число работ посвящено моделированию малых нервных систем простейших организмов, нейронных ансамблей передающих и обрабатывающих информацию, генераторов ритма, управляющих движениями живых организмов и т.д. Наиболее широкое распространение получили автогенераторные модели нейродинами-ческих систем. Нейроны, как правило, моделируются релаксационными автогенераторами [ 62]-[ 66], которые могут периодически и хаотически, самостоятельно и под действием стимула генерировать как уединенные импульсы (спайки) так и пачки импульсов (береты). Взаимодействие между нейронами происходит посредством так называемых синаптических связей [ 67, 68], которые могут представ-
лять из себя как линейные резистивные, так и нелинейные пороговые связи. Отметим, что для более развитых нервных систем свойственны именно нелинейные связи. Возникающие перед нейронными ансамблями задачи решаются за счет коллективной динамики, обеспечиваемой конфигурацией, типом и силой связей. Такое устройство обеспечивает гибкость и "обучаемость" нейронных ансамблей посредством перераспределения связей и их параметров.
Целью диссертационной работы является изучение динамических и информационных аспектов динамики малых ансамблей автоколебательных систем с нелинейными связями (кубичной и пороговой) и исследование влияния шума на динамику малых ансамблей автоколебательных систем.
Научная новизна:
1. Проведено исследование динамики двух нелинейно связанных автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга при сильной нелинейности. Получены области существования синхронных режимов, разность фаз между которыми равна /\(р = ±(/9, <р Є (0,7г). Обнаружено существование хаотического аттрактора, рождение которого происходит через перемежаемость I-рода с двумя метастабильными состояниями, проявляющуюся в чередовании временных интервалов с квазипериодическим и хаотическим поведением. Обнаружено, что при критическом значении управляющего параметра одновременно исчезают две пары
предельных циклов и появляются два метастабильных состояния. Поэтому, в отличии от классического случая, в исследуемой системе для перемежаемости характерны нерегулярные переключения между двумя квазипериодическими режимами.
Изучено влияние шумов на перемежаемость первого рода с двумя метастабильными состояниями. Установлено, что мультипликативные шумы с большим временем корреляции (порядка длительности ламинарной фазы) качественно меняют зависимость средней длительности ламинарных фаз от надкритичио-сти и плотность распределения вероятности ламинарных фаз, приводя их к виду характерному для on-off перемежаемости.
Обнаружено, что при соединении двух пар автогенераторов Ван-дер- Поля-Дюффинга линейными связями (с нелинейными связями в каждой паре) возможно существование режима противофазной синхронизации этих пар как в регулярном, так и в хаотическом режиме.
Показано, что ансамбль линейно связанных двух пар автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга (с нелинейными кубическими функциями связи в каждой паре) может рассматриваться как модель локомоторного ритма человека для двуногого хождения. Такая модель качественно описывает результаты экспериментов по иницированию шагательных движений человека
при нерезонансной вибрации мышц.
5. Установлен механизм генерации серий импульсов (беретов) релаксационным автогенератором, моделирующим нейрон Хинд-марша-Розе с тормозящей нелинейной связью, под действием импульсного сигнала. Показано, что генерации беретов соответствует переходный процесс, являющийся следствием специфической топологии фазового пространства системы, в окрестности единственного аттрактора.
Теоретическая и практическая значимость результатов:
В диссертации рассмотрены динамические и информационные аспекты коллективной динамики малых ансамблей автогенераторов с нелинейными связями. Результаты исследования развивают теорию малых ансамблей активных элементов с нелинейными связями и могут быть полезны при конструировании малых ансамблей активных элементов с заданными свойствами.
Результаты по исследованию импульсного воздействия на малый ансамбль релаксационных автогенераторов с нелинейными связями показали, что такие ансамбли могут рассматриваться в качестве элементных структур при построении нетрадиционных систем передачи и обработки информации.
Система четырех автогенераторов с линейными и кубическими функциями связи может рассматриваться как модель локомоторной
активности человека под действием нерезонансной вибрации мышц. Практическая значимость этих результатов заключается в возможной диагностике состояния нервных центров, управляющими ходьбой. Параметры такой маломерной динамической системы, определяемые по временньш реализациям колебаний суставов больного, могут использоваться в качестве критерия правильности выбранного курса тренировок при восстановлении утраченных локомоторных функций.
Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ.
Апробация результатов: Основные результаты диссертации были опубликованы в [ 69]-[ 78] и представлены Научных конференциях ННГУ (1998-1999), Сессиях молодых ученых (Нижний Новгород, 1998-2001), И Всероссийской научной конференции студентов - радиофизиков (Санкт-Петербург, 1998), Пятой всероссийской конференции по биомеханике (Нижний Новгород, 2000), международных симпозиумах: The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications Nolta'98 (Crans -Montana, Switzerland, 1998), The Int. Summer School-Workshop DYNAMICS DAYS in Nizhny Novgorod DDNN98 (Нижний Новгород, Россия, 1998), The 5th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'98 (Саратов, Россия,1998), The Second International Conference "Control of Oscillation and Chaos" COC'2000
(Санкт-Петербург, Россия, 2000), The International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications NOLTA'2000 (Dresden, Germany, 2000), The International Conference "Dynamics Days 2001" (Dresden, Germany, 2001), The International Conference "Progress in Nonlinear Science" (Нижний Новгород, Россия, 2001), The International Conference "Experimental Chaos 2001" (Potsdam, Germany, 2001), The 6th International School of Chaotic Oscillations and Pattern Formations CHAOS'01 (Саратов, Россия, 2001), XII Научная школа "Нелинейные волны - 2004" (Нижний Новгород, 2004).
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии.
В первой главе рассматривается динамика системы двух автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга с кубичной функцией связи.
Во второй главе изучается влияние аддитивных и мультипликативных шумов с различными временами корреляции и расстройки параметров автогенераторов на перемежаемость 1-го рода с двумя метастаб ильным и состояниями.
В третьей главе исследуется динамика двух линейно связанных пар автогенераторов Ван-дер-Поля-Дюффинга с нелинейными связями в каждой паре.
В четвертой главе рассмотрена динамика малого ансамбля релаксационных автогенераторов (нейронов Хиндмарша-Розе) с однонаправленными нелинейными пороговыми связями. Изучаются син-
хронизация автогенератора периодической импульсной последовательностью и динамическое преобразование кодирующих сигналов малым ансамблем релаксационных автогенераторов.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Переход к конечной нелинейности
В случае конечных значений параметра нелинейности система уравнений (1.3) численно исследовалась при А — 1,7 = 0.5 и различных значеннях а и (3. Таким образом 7 — Г/3, а = ЗА, /3 = Б/3.
Различия в поведении синхронизованных решений исходной системы и системы укороченных уравнений возникает плавно с момента, когда г начинает отличаться от 0. Тем не менее они становятся существенны при сравнительно малых г. Двухпараметрическая бифуркационная диаграмма приведена на рис. 1.5. При г = 0.03, в отличие от состояний равновесия укороченной системы (1.3) О-ф, Оф, соответствующих одинаковым и постоянным значениям амплитуд Область диаграммы на рис. 1.36 состояние равновесия тип многообразия
Состояния равновесия системы укороченных уравнений (продолжение). колебаний генераторов а — Ъ = 1, здесь периодические решения Р-ф,Рф отвечают неодинаковым, но близким по значениям и зависящим от параметра а амплитудам автогенераторов (рис. 1.6а). Еще одним отличием является сдвиг в сторону меньших А точки, соответствующей бифуркации потери симметрии (соответствующей бифуркации трехкратного равновесия системы укороченных уравнений) при А = А 2, в результате которой Рф,Р-ф исчезают (кривая In). Кроме того, начиная с некоторого значения параметра г = гсг (точка Si), меняется качественный вид динамики исходной системы (рис. 1.66). При А = Аъ от периодического решения Р через бифуркацию потери симметрии рождается пара седловых предельных Область диаграммы на рис. 1.36 состояние равновесия тип многообразия
Состояния равновесия системы укороченных уравнений (продолжение). циклов P&Pl (кривая 1 ). Далее, при A = As они исчезают через седло-узловую бифуркацию предельных циклов вместе с устойчивыми периодическими решениями Р-ф, Рф (кривая гпз). С продолжением роста г происходит сближение точек, соответствующих бифуркациям потери симметрии при A = А2 и А — Ai соответственно (кривые 1ъ и І2). При некотором значении параметра г эти точки сливаются в одну, что соответствует бифуркации коразмерности 4 (точка Si - смыкание кривых 1 и 1%). Далее, при увеличении г происходит попарное замыкание ветвей, соответствующих периодическим решениям 7) РА И Pi-, Р&-, ДРУГ на друга. Замкнувшиеся ветви отходят от ветви противофазного решения Дг, оставляя на ней след в виде бифуркации рождения инвариантного тора в точке А — Л\ (кривая і). Дальнейший рост г приводит к увеличению значения параметра Aj, при котором периодическое решение Р приобретает устойчивость (рис. 1.6г).
Бифуркационный анализ периодических решений при сильной нелинейности Зафиксируем параметры парциальных генераторов г — 0.5, А — 1, Р = 2. и будем исследовать периодические решения системы (1.2) при различных значениях параметров связи a, j: Однопарамехрические бифуркационные диаграммы системы (1.3) при Л 3=1, Г = 1.5, В = 3, т = 0.01. а) г = 0.01; б) г = 0.03; в) г = 0.05; г) г = 0.1. По горизонтальной оси отложен параметр Л, по вертикальной - максимальное значение переменной х\ (максимальное значение х2 определяется из соображений симметрии, как Х2(Рф) Х1(Р_ф),Х2{Р ф) = Хі{Рф))
Двухпараметрическая бифуркационная диаграмма в плоскости параметров (7з0 приведена на рис. 1.7. При а 0 при всех положительных значениях 7 устойчивым является синфазное периодическое решение х\ = ж2) У\ = Уъ При переходе а через 0 синфазное периодическое решение PQ теряет устойчивость и от него вследствие бифуркации потери симметрии рождаются два периодических решения, отвечающим с близким амплитудам колебаний парциальных генераторов и разностью фаз ±ф между ними (см. рис. 1.8а,б,в). Будем, как это делалось раньше в случае малой нелинейности, говорить о них как о периодических решениях Рф, Р-ф.
При дальнейшем увеличении а на кривой В (рис. 1.7), при у 72 рождается еще одна пара устойчивых периодических решений Р?,Р8, соответствующих существенно разным амплитудам колебаний генераторов. Каждое из решений этого типа рождается в паре с неустойчивым периодическим решением Рз и -RifcM- Рис 1.8а,б). При дальнейшем увеличении а на кривой А происходит седло-узловая бифуркация предельных циклов - периодические решения Рф, Р ф и Рз, Pi исчезают.
Периодические решения P-j,P& на кривой С (рис. 1.7) теряют устойчивость с выходом пары комплексно-сопряженных мультипликаторов за единичную окружность, что соответствует бифуркации рождения инвариантного устойчивого тора (рис. 1.8а.б,в).
Противофазное решение Р {х\ = —X2,yi = —уг) так же может быть устойчивым в системе (1.10), но оно приобретает устойчивость только в области больших значений j (7 10), поэтому здесь мы его рассматривать не будем.
Влияние случайных воздействий
Исследование влияния белого шума на перемежаемость 7-го рода проводилось в работах [ 87, 88]. В них аналитически на примере точечного отображения где a,b,z - параметры, - белый шум, были получены длительности ламинарных фаз в зависимости от интенсивности шума и надкритичности. Установлено, что шум приводит к появлению перемежаемости при меньших значениях контрольного параметра (к смещению бифуркационной границы) и изменению скейлинга в зависимости длительности ламинарной фазы (пребыванию в области метастабильного состояния) от надкритичности.
Другим заслуживающим внимания эффектом является то, что шум вблизи "взрывной"(blowout) бифуркации может привести к появлению on-off перемежаемости. Такой тип перемежаемости изучался теоретически [ 89, 90, 91] и экспериментально [ 92]. Для нее характерны зависимость средней длительности ламинарных фаз от надкритичности - I ос е-1 и в распределение длительностей лами-нарных фаз - W{1) ос J".
Мы будем рассматривать влияние аддитивных и мультипликативных шумов на динамику системы (1.2) в окрестности границы седло-узловой бифуркации предельных циклов, которая разделяет области параметров с устойчивыми периодическими решениями Рф, Р_0 (соответствующими колебаниям автогенераторов с разностью фаз ср = ± ) и перемежаемостью 7-го рода с двумя метаста-бильными состояниями. Здесь система (1.2) имеет два временных масштаба: один масштаб связан с периодом колебаний генераторов, а второй - со средней длительностью ламинарных фаз. Поэтому, в нашем случае система (1.2) исследовалась в присутствии слабых шумов с различными временами корреляции тсог. Шумы в динамическую систему вводились следующим образом: 2 „ . л (2-2) xi = уі - j(xi - х2)((хг - х2)2 - а - 7i) + & Ш = r[yi(l - х\) - /3x1] - xi %2==У2- 7( 2 - xi)((x2 - xxf - а - щ) + 2 У2 = г[у2{1 - х22) -/3x1] - х2. Случайные функции &, I — 1,2, (r}i,l = 1,2, определяются ана логично) в каждый момент времени tj определены следующим образом: tk Ь _ и ш = где — 1, 2, [я] - целая часть х, At С Т - интервал времени между отсчетами случайной величины {//}: (7 f п " v on J і /Т7 ZJ РТІ-Н ViV ї=1 где ( - равномерно распределенная в интервале [—1; +1] серия случайных чисел. Под временем корреляции мы понимали величину Тсогг — NAt.
Напомним, что в силу симметрии исходной динамической системы седло-узловая бифуркация предельных циклов имеет коразмер ность 2 - одновременно исчезают две пары предельных циклов. Ме-тастабильные состояния, образовавшиеся на месте исчезнувших предельных циклов, так же появляются одновременно. Введение статистически независимых шумов в уравнения системы (2.2) приводит к разрушению симметрии и может оказать нетривиальное влияние на перемежаемость.
Аддитивный шум в систему (1.2) вводился как слагаемые і, г в первое и третье уравнение соответственно. Не смотря на то, что величина этих добавок существенно меньше других слагаемых (дисперсия а = 0.00083), входящих в эти уравнения, тем не менее они оказывают заметное влияние на поведение системы (2.2). Так, происходит качественное изменение поведения системы при докритических значениях параметра а (а асг) - переключения в системе (2.2) начинают появляться при меньших значениях параметра а, чем это было в системе без шума. При а асг существенных изменений не наблюдается - скейлинг в зависимости средней частоты переключений от надкритичности и поведение в ламинарных фазах качественно не меняется (зависимость для времени корреляции случайных процессов i,2 тсог — 5 приводится на рис. 2.3). Это утверждение остается справедливым и при других значениях тсог (рис. 2.4). Распределение длительностей ламинарных фаз (рис. 2.5) несколько расплывается, однако, почти остается без изменений средняя длительность ламинарных фаз. Вероятность наблюдения длительностей ламинарных фаз, характерных для системы без шума, так же достаточно велика.
Система четырех автогенераторов с нелиней ными связями как модель локомоторной актив ности человека
Для изучения динамики системы (3.1) при разных коэффициентах связи dh Ф dk будем менять параметр d при фиксированном значении параметра dh — 0.2. В этом случае симметрия между автогенераторами в каждой паре нарушается. Как уже отмечалось в Главе 2 при нарушении симметрии в паре автогенераторов одно из мета-стабильных состояний появляется раньше другого, а при сильном нарушении симметрии мы получим качественно другую динамику - сначала будет наблюдаться одно метастабилы-юе состояние, затем другое, а область переключений будет малой или будет вообще отсутствовать. Действительно, в нашем случае (при dh 0.2, ( = 0.1) хаотический режим наблюдается при меньших значениях параметра а. В момент его появления противофазный режим разрушается, затем при увеличении параметра а противофазное многобразие становится устойчивым, а при больших значениях а опять теряет устойчивость (рис. 3.2а,б).
Система четырех автогенераторов с нелинейными связями как модель локомоторной активности человека Процесс восстановления локомоторных функций, утраченных после травм, требует длительных тренировок. Важной проблемой, которую необходимо решать, особенно на начальном этапе, является выбор характеристик, с помощью которых можно было бы оценивать
Однопараметрическая бифуркационная диаграмма по параметру а в случае разных коэффициентов связи е4 и efo для (а) 7 = 0.5, 4 = —0.2, = -0.1; (Ь) 7 = 0.5, 4 = -0.2, dk = -0.11. эффективность тренировок. Один из путей решения этой проблемы является введение маломерной динамической модели, описывающей основные свойства экспериментальных реализаций. Введение такой динамической системы возможно на принципе центрального генератора ритма. Основой для построения маломерной динамической модели могут служить эксперименты по иницированию шагатель-ных движений ног нерезонансной вибрацией мышц, проведенных в Институте проблем передачи информации РАН под руководством B.C. Гурфинкеля [ 93, 94, 69, 73]. После построения такой модели состояние нервных центров, отвечающих за хождение, можно будет описывать ее параметрами, определенными по конкретным экспериментальным реализациям. К основным экспериментальным эффектам относятся следующие: существование двух режимов непроизвольного шагания ("впе-ред"и "назад"), характеризуемых примерно одинаковыми по величине и противоположными по знаку фазовыми сдвигами между колебаниями углов коленного и бедренного суставов; движения суставов разных ног являются противофазными; отсутствие большого различия в вероятности перехода к тому или иному режиму из расслабленного состояния ног при включении вибраций; в зависимости от индивидуальных особенностей или состояния испытуемого возможно устойчивое наблюдение как одного из режимов, так и переключений между ними, через нерегулярные промежутки времени (рис. 3.4); переключения осуществляются достаточно быстро (преимущественно за одни период шагания), а средняя длительность режимов непроизвольного шагания вперед" и назад" существенно больше одного периода; размерность вложения порождающей системы составляет d — 4-6; вибрация является нерезонансной по отношению к движению суставов. Рис. 3.4: Переключения, наблюдаемые в эксперименте [ 93, 94]. Верхняя часть рисунка представляет осциллограммы колебаний углов колейного и тазобедренного суставов (сплошная линия - тазобедренный сустав, пунктирная - коленный), нижняя - осциллограмма разность фаз между ними,
Рассмотренная нами система (3.1) может рассматриваться как модель локомоторной активности человека для двуногого хождения ( а два нелинейно связанных генератора (1.2) - для одногого хождения),Каждая пара генераторов, в этом случае, качественно моделирует колебания коленного и бедренного сустава одной из ног. Как видно из сравнения основных экспериментальных эффектов с результатами, полученными в первой, второй главах, а также в первых двух частях третьей главы, данная модель качественно описывает эксперименты по ииицированию шагательных движений ног нерезонаисной вибрацией мышц, и может использоваться для диагностики нервных центров человека, после разработки алгоритма определения ее параметров по экспериментальным реализациям.
Синхронизация релаксационного автогенератора периодическим импульсным сигналом
Данный раздел посвящен синхронизации релаксационного автогенератора (4.1) импульсным сигналом. Отметим, что такое исследование представляет интерес не только с точки зрения радиофизики. В биофизике есть похожая задача - синхронизация пейсмейкер-ыого нейрона (pacemaker neuron) внешним импульсным сигналом. Результаты экспериментов по синхронизации таких нейронов представлены в обзоре [ 96]. Для описания таких экспериментов используются самые разные модели нейронов , от простейшей модели "изохронных часов", в виде фазовых уравнений, до "точных" нейрофизиологических моделей Ходжкина-Хаксли (см., например, обзор [ 97] и цитируемую в нем литературу). Простые модели хорошо ка чественно описывают синхронизацию нейронов, но работают только в приближении независимости действия приходящих импульсов. К недостаткам "точных" многомерных моделей с большим числом параметров можно отнести сложность исследования их динамики. Здесь мы рассмотрим синхронизацию импульсным сигналом нейрона Хиндмарша-Розе с нелинейной пороговой связью. Эта модель, с одной стороны, обладает богатой динамикой и не так сложна в исследовании как "точные" модели Ходжкина-Хаксли. С другой стороны, существует электронный прототип нейрона Хиндмарша-Розе [ 98] вместе с нелинейной связью, аналогичной (4.7), что позволит перенести полученные результаты на практику.
Таким образом, здесь мы рассмотрим синхронизацию релаксационного автогенератора (4.1) с нелинейной функцией связи (4.7) периодическим импульсным сигналом. Отметим, что полная синхронизация в нашем случае невозможна. Под синхронизацией здесь мы будем понимать частотную синхронизацию или захват частоты TIW\ = mwiny где тяп- целые числа, a Win и W\ - частоты входного сигнала и нейрона соответственно.
В силу того, что функция связи носит пороговый характер, важной характеристикой является не форма входного импульса (и динамическая система его порождающая), а время превышения входным сигналом порогового значения 3. Временные характеристики непосредственного воздействия на автогенератор задаются самой связью. Поэтому моделируя однонаправленную связь между автогенераторами мы можем, без нарушения общности, взять входной сигнал в виде меандра: 1, если nTin t nTin 4- tpuise %= (4.8) О, если nTin + tpuise і (га + \)Tin Зафиксируем параметры входного сигнала: период Х-1П и длительность импульса tpuise — 0.55, и будем исследовать следующую систему уравнений: І&і — -gon{t){x-xrev)t Ать — = рв(хіп)(1 - га) - an, 1 + Є Kv — = y + 3x2-x -z-\-jdc + jsi, dz = м(4ж + 6.42-г), где go и a - параметры связи, a jdc - контрольный параметр автогенератора.
В выражении для переменной jSi, стоит "—". Это означает, что входная импульсная последовательность будет способствовать подавлению колебаний автогенератора. Переменная связи js{ входит непосредственно в правую часть уравнения для переменной ж, аддитивно с контрольным параметром J&..
Это означает, что при превышении некоторых значений параметра силы связи до и частоты входного сигнала W{n среднее значение "эффективного" контрольного параметра будет уменьшаться. С их увеличением частота автогенератора будет снижаться. При дальнейшем увеличении этих параметров автогенератор может уйти в область генерации пачек импульсов (беретов), а затем может произойти подавление колебаний - генератор перейдет в состояние покоя. Тем не менее в зависимости w(Win) будут наблюдаться линейные нарастающие участки -это области захвата частоты niv = mwin, где тип- целые числа (рис. 4.4).
Выберем время действия импульсов много меньше периода колебаний - зафиксируем значение параметра связи а, — 2. Основные области захвата частоты для этого случая приведены на рис. 4.5. При малой силе связи
