Введение к работе
Актуальность работы
Синхронизация колебаний взаимодействующих систем - одно из фундаментальных свойств природы, имеющее широкое применение в различных областях науки и техники В радиофизике работы по синхронизации начинаются в первой половине 20 века, когда было обнаружено явление захвата частоты колебаний триодного генератора периодическим сигналом В дальнейшем синхронизация в ансамблях радиофизических генераторов стала одной из ключевых проблем современной радиофизики. Дополнительный толчок к исследованиям этого явления дало открытие динамического хаоса, которое привело к созданию нового научного направления - синхронизация хаоса В настоящее время существуют две базовые концепции хаотической синхронизации обобщенная (В С Афраймович, П С. Ланда, Н Ф Рульков и др ) и частотно-фазовая (А С Пиковский, В С Анищенко, М.Г. Розенблюм и др.). В первом случае синхронными полагаются хаотические колебания, между временными реализациями которых существует некоторая детерминированная взаимосвязь xi(t) = G(x2(t)). Вторая концепция является обобщением синхронизации периодических генераторов, как явления захвата собственных частот и мгновенных фаз колебаний, на хаотические системы. Она, как правило, рассматривает синхронизацию в системах с непрерывным временем, в спектрах которых содержатся узкие пики на частотах, кратных базовой частоте (когерентный хаос).
Особый интерес в радиофизике представляют такие виды обобщенной синхронизации, как полная (С7(х) = х) и противофазная (G(x) = —х) Они связаны с определенными свойствами симметрии динамических систем, следствием которых является существование в фазовом пространстве взаимодействующих осцилляторов инвариантных симметричных подпространств- /, xi = Х2 для полной синхронизации и 1а х\ = — а-2 Для противофазной синхронизации, в которых располагаются аттракторы, соответствующие синхронным колебаниям Явление полной синхронизации широко исследовалось учеными, начиная с 1983 года (X. Ямада и Т. Фуджисака, А.С. Пиковский, СП. Кузнецов, B.C. Афраймович, Л Кэролл и Т Пекора и др). Было обнаружено, что оно наблюдается в широком классе систем при достаточно сильной связи. Для анализа устойчивости синхронных режимов используются трансверсальные показатели Ляпунова, определяющие устойчивость синхронных колеба-
ний к возмущениям, трансверсальным к /». Позднее было показано (А.С. Пиковский, П Ашвин, Ю Л Майстренко), что трансверсальной устойчивости синхронного аттрактора может быть недостаточно для существования грубых режимов синхронизации хаоса, наличие в аттракторе трансверсально неустойчивых предельных множеств разрушает режим синхронизации через такие явления, как "пузырение аттрактора" и "изрешечивание его бассейна притяжения" При изучении явления полной синхронизации хаоса возникает ряд фундаментальных вопросов, касающихся, прежде всего, механизмов формирования и разрушения синхронных хаотических режимов Каким образом происходит переход от режима полной синхронизации хаоса к режиму несинхронных колебаний для такого широкого класса систем, как системы с удвоениями периода7 Существуют ли для подобных систем общие закономерности хаотической синхронизации, определяемые общим сценарием формирования хаотического аттрактора и типом связи, или же в каждой из них рассинхронизация происходит по-своему? Каков бифуркационный механизм разрушения синхронного хаоса? Как на этот механизм и наблюдаемые явления влияют особенности поведения рассматриваемых систем (обратимость/необратимость, бистабильность/моностабильность)? Влияет ли на них неидентичность подсистем, которая нарушает симметрию и тем самым разрушает инвариантное подпространство'' Все эти вопросы представляются важными для понимания тех процессов, которые наг блюдаются в реальных системах самой разной природы, находящихся в режиме полной синхронизации хаоса Они также полностью актуальны и для другого вида обобщенной синхронизации - противофазной синхронизации хаоса
В ансамблях из нескольких элементов, наряду с полной может наблюдаться кластерная синхронизация В этом случае существуют наборы осцилляторов (кластеры), работающие в режиме полной синхронизации, но между самими кластерами данный вид синхронизации отсутствует Если число осцилляторов в ансамбле невелико, то вместо термина "кластерная синхронизация" принято использовать термин "частичная синхронизация" Частичная синхронизация рассматривалась в работах М Хаслера, Ю Л Майстренко, С Янчука, В Н. Белыха, А Погромского, А В. Таборова и др Однако, детальный бифуркационный анализ процессов формирования и разрушения полной и частичной синхронизации хаоса в системах с бифуркациями удвоения периода, связанных посредством взаимной диффузионной связи, не был сделан Каким образом
формируются режимы кластерной синхронизации, какие бифуркации принимают в этом участие? Как соотносятся на плоскости параметров режимы полной и частичной синхронизации7 Приводит ли увеличение длины цепочки осцилляторов к смене бифуркационного механизма рае-синхронизации? Решение данных вопросов представляются логическим продолжением анализа механизмов хаотической синхронизации в двух осцилляторах.
Кластерная синхронизация - один из случаев организации пространственно - упорядоченных структур в ансамблях из локально связанных осцилляторов. Пространственные структуры в системах с удвоениями периода являются естественным следствием процесса формирования в них фазовой мультистабильности, классическим примером которого является последовательное увеличение числа сосуществующих устойчивых периодических режимов в ходе каскада субгармонических бифуркаций в двух связанных осцилляторах (В В. Астахов, Б П Безручко, Е.П Селезнев и др ). В ансамблях из нескольких осцилляторов фазовая мульти-стабильность проявляется уже на этапе гармонических колебаний в виде режимов бегущих волн, при которых колебания в соседних элементах ансамбля имеют одинаковую форму, но отличаются на постоянный фазовый сдвиг Подобные режимы интенсивно исследовались в радиофизике, начиная с 70-х годов 20 века (А А. Мальцев, Ю М Романовский, П С. Ланда, А А Дворников, Г Б Эрментроут, В И Некоркин), как правило, на примере квазигармонических осцилляторов. Возможность появления новых эффектов при усложнении формы колебаний исследовалась в работе X Даидо [X Даидо, 1997], где им было обнаружено, что учет второй гармоники в уравнениях для фазовых осцилляторов, замкнутых в кольцо, приводит к появлению пространственно - разупорядоченных режимов, названных автором "странными волнами" Однако, система Даидо носит слишком искусственный характер используемая модель ангармоничности нетипична для реальных автогенераторов, у которых переход к релаксационным колебаниям сопровождается не столько ростом второй гармоники в спектре, сколько появлением все большего числа высших гармоник. Как влияет усложнение временной динамики в реальных осцилляторах на пространственную упорядоченность7 Как будет развиваться фазовая мультистабильиость при постепенном усложнении формы колебаний от гармонических колебаний к релаксационным, либо от периодических к хаотическим7 Как меняется при этом структура пространства параметров7 Каков сценарий перехода от пространственно -
периодических режимов к пространственно нерегулярным? Все эти вопросы несомненно важны как с фундаментальной точки зрения, так и для различных приложений в радиофизике.
Исследование синхронизации и ее влияния на пространственную организацию взаимодействующих систем интересно не только с фундаментальной точки зрения, но и имеет существенное значение для многочисленных приложений Традиционно, радиофизические методы анализа сложных сигналов используются в химии, где ход химических реакций зачастую представляет собой сложный колебательный процесс, а распределение реагирующих веществ в пространстве реакций - пространственно - упорядоченные структуры Если реакции сопровождаются сильным перемешиванием или диффузией, то для их анализа обычно используется метод среднего поля, дающий модель в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Однако, для такого важного класса реакций, как автокаталитические реакции, протекающие на поверхности твердого катализатора, метод среднего поля дает слишком грубое описание. Здесь более адекватными являются подходы, учитывающие локальность реакций и неоднородность их компонентов в пространстве, например, методы вероятностного клеточного автомата (методы Монте-Карло) [Г Николис, А. Провата, Г Эртл, В. Жданов и др ] Динамика ансамблей клеточных автоматов включает в себя образование пространственно - упорядоченных структур (гомогенных кластеров) и их взаимодействие, результатом которого являются глобальные колебания средних концентраций участвующих в их образовании веществ Анализ таких моделей, включая их статистическое описание, дает возможность предсказать поведение хода реакций при изменении управляющих параметров и начальных концентраций, оценить влияние неоднородности распределения компонентов в пространстве реакций, а также, позволяет разрабатывать методы управление ходом реакций
Как уже было сказано выше до настоящего времени не выработано единого взгляда на процессы хаотической синхронизации. Разные подходы к ее определению, а также постепенный характер перехода от синхронных колебаний к несинхронным, делает особенно актуальным задачу количественного анализа синхронизации. Построение количественной меры хаотической синхронизации остается нетривиальной проблемой, несмотря на продолжающиеся с начала 90-х годов попытки разработать такую характеристику. Первыми работами в этом направлении можно,
по-видимому, считать работы П С Ланда [Ланда, 1992, Ланда, 1993], в которых для этой цели предлагалось использовать размерность аттрактора по отношению к его размерности в фазовом пространстве парциальной системы В дальнейшем появились и другие подходы к измерению хаотической синхронизации, которые базировались на определении взаимной информации между подсистемами [Р Квирога, П Грассбергер, 2002], измерении "близости" фазовых точек в синхронизируемой подсистеме, отвечающих соседним точкам в синхронизирующем осцилляторе (так называемый метод "нелинейных взаимозависимостей") [С Шифф, 1996, Ж Арнольд, 1999] Указанные методы основывались на непосредственном анализе временных реализаций сигналов, генерируемых взаимодействующими подсистемами С другой стороны, в радиофизике часто используется спектральный анализ сигналов, то есть переход от временного представления к частотным Соответственно, появились алгоритмы построения количественной меры синхронизации, основанные на анализе спектров сигналов, например, использующие анализ распределения разностей Фурье-фаз [А.Е Храмов, А А Короновский, 2005]
Представляется, что количественная характеристика синхронизации хаоса должна удовлетворять следующим требованиям* (а) универсальность, то есть применимость к разным видам синхронного поведения, (б) ясный физический смысл, позволяющий легко интерпретировать получаемые результаты; (в) инвариантность к виду конкретных уравнений, описывающих колебательную систему, (г) устойчивость по отношению к действию малых возмущающих факторов, таких как внешний шум или малые искажения генерируемых сигналов, неизбежно присутствующих в процессе измерения Она должна представлять собой вещественное число, принимающее значение в заданном интервале, едином для всех рассматриваемых динамических систем и видов синхронного поведения и, кроме того, желательно, чтобы ее расчет базировался на простых и устойчивых алгоритмах, позволяющих перевести задачу определения степени синхронизации хаоса из разряда научных проблем в разряд технических процедур На момент начала работы над диссертацией ни один из предлагаемых подходов не мог удовлетворить перечисленным выше требованиям, поэтому, проблема измерения степени хаотической синхронизации представляла несомненный интерес Решение этой задачи было бы существенным шагом на пути объединения разных подходов к явлению хаотической синхронизации в единую теорию синхронизации хаоса
Сформулированные выше вопросы и проблемы определили цель диссертационной работы, которая заключается в выявлении типичных закономерностей и бифуркационных механизмов синхронизации и формирования фазовой мультистабилыгости в ансамблях осцилляторов с локальными связями, а также в разработке универсальных критериев для диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации, позволяющих с единых позиций рассматривать разные проявления согласования хаотической динамики взаимодействующих автоколебательных систем
Научная новизна результатов
В диссертации впервые
показано, что различные системы с дискретным временем, объединенные общим сценарием формирования хаоса через каскад бифуркаций удвоения периода и общим типом диффузионной связи, обладают также общим сценарием формирования и разрушения режима полной синхронизации хаоса, который практически не зависит от индивидуальных особенностей подсистем,
проведен детальный бифуркационный анализ процесса разрушения синхронизации и формирования мультистабильности в связанных системах с дискретным временем, переход к хаосу в которых происходит через последовательность бифуркаций удвоения периода;
выявлено влияние слабой неидентичности подсистем на бифуркации, ведущие к разрушению полной синхронизации,
показано, что в диффузионно связанных отображениях с бифуркациями удвоения периода наблюдаются только регулярные противофазные колебания с любым периодом, поскольку противофазные хаотические колебания оказываются трансверсально неустойчивыми,
исследован механизм формирования фазовой мультистабильности па базе противофазных колебаний,
продемонстрирована возможность управляемой противофазной синхронизации хаоса в двух диффузионно связанных отображениях, исследован бифуркационный механизм управляемой противофазной синхронизации,
проведен детальный бифуркационный анализ формирования и разрушения режимов полной и частичной синхронизации в кольце из дискретных отображений с симметричной диффузионной связью,
построена структура областей существования пространственно - периодических режимов с разными длинами волн на плоскости параметров "связь - возбуждение" для ангармонических осцилляторов и выявлено качественное различие в устройстве пространства параметров для гармонических и негармонических автоколебаний;
обнаружены и описано новое явление в ансамблях ангармонических осцилляторов, заключающееся в появлении на фоне волнового режима движущихся локальных сбоев фазы,
проведен анализ закономерностей перехода к пространственному беспорядку от пространственной периодичности при усложнении формы колебаний в ходе каскада бифуркаций удвоения периода в кольце осцилляторов, показано, что разрушение пространственной упорядоченности связано с разрушением фазовой синхронизации хаоса между соседними осцилляторами;
показана возможность принудительной синхронизации в цепочках конечной длины посредством высокочастотной модуляции параметра связи,
предложен метод диагностики и количественного анализа хаотической синхронизации, основанный на усредненной по диапазону частот функции когерентности; показана его применимость для разных видов синхронного поведения и слабая чувствительность к искажениям экспериментальных данных,
показана принципиальная разница в установлении режима хаотической синхронизации для систем с непрерывным и дискретным временем1 в последнем случае в режиме когерентного хаоса отсутствует порог синхронизации по параметру связи;
показана возможность диагностирования фазовой синхронизации посредством функции когерентности,
предложен метод расчета степени синхронизации хаотических колебаний, основанный на нормированной функции взаимной информации. Показано, что этот метод дает возможность анализировать
разные виды синхронного поведения полную и фазовую синхронизацию хаоса, включая синхронизацию на гармониках
Научно-практическая значимость результатов
Проведенные исследования относятся, в основном, к фундаментальным проблемам радиофизики и нелинейной динамики Исследования, посвященные анализу образования структур в системах автокаталитических реакций, имеют, кроме того, и прикладное значение Научно-практическая значимость результатов заключается в том, что
проведен детальный бифуркационный анализ и построены карты динамических режимов для ряда колебательных систем, представляющие интерес в радиофизике,
предложен метод принудительной синхронизации противофазных хаотических колебаний и определены области значений параметров, где эта синхронизация реализуется,
предложен и апробирован метод принудительной синхронизации хаотических колебаний в ансамбле осцилляторов посредством параметрического воздействия,
разработан простой метод диагностирования и количественного анализа синхронизации хаоса, применимый для разных типов синхронизации,
проведено сопоставление методов среднего поля и Монте-Карло для исследования динамики химических реакций на поверхности каталитической решетки, показаны границы применимости метода среднего поля.
Результаты работы используются в учебном процессе в Саратовском государственном университете при чтении общих курсов ("Теория колебаний"), а также спецкурсов по специальности "радиофизика и электроника"
Достоверность научных выводов работы основывается на соответствии результатов теоретических исследований и численных экспериментов, на их воспроизводимости, на устойчивости применяемых методов к малым изменениям численной схемы, а также на их согласованности с имеющимися теоретическими представлениями
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
1. Диффузионно связанные системы с удвоениями периода обладают общим сценарием разрушения полной синхронизации хаоса, который практически не зависит от особенностей индивидуальной динамики осцилляторов Разрушение полной синхронизации происходит через два промежуточных этапа "пузырящееся поведение" и "изрешечивание бассейна притяжения синхронного аттрактора". Бифуркационный сценарий этих явлений совпадает с механизмом формирования в данных системах фазовой мультистабильности.
В диффузионно связанных отображениях режим противофазной синхронизации наблюдается лишь для регулярных колебаний На плоскости параметров "связь - возбуждение" области устойчивости периодических противофазных колебаний сужаются по мере увеличения периода колебаний, и на пороге перехода к хаосу их ширина становится равной нулю
Для полной и противофазной синхронизации слабая неидентичность подсистем, а также малая асимметрия связи не меняет сценарий разрушения синхронизации и структуру фазового пространства в окрестности синхронного аттрактора, но меняет его бифуркационный механизм в части бифуркаций, обусловленных симметрией системы.
Индекс синхронизации, построенный на основе усредненной взвешенной функции когерентности может служить универсальной характеристикой для измерения разных типов синхронного поведения' полной, обобщенной или фазовой синхронизации. Данная характеристика нечувствительна к малым шумам и искажениям сигналов, имеющим место в процессе измерения.
5. Функция когерентности может служить средством диагностики фазовой синхронизации хаоса как для идентичных автоколебательных систем, так и систем с расстройкой по параметрам Данный метод позволяет уйти от использования расчета мгновенных фаз хаотических колебаний, которые нельзя корректно определить в случае развитого хаоса
Апробаїшя работы и публикации
Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях 5-th international school on chaotic oscillations and pattern formation CHAOS-98, Saratov, Russia, October 6-10, 1998, 2-nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos", July 5-7, St Petersburg, Russia, 2000, международная межвузовская конференция "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ", Саратов, Российская Федерация, 20-24 марта 2001 г, 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation "CHAOS'01", Saratov, Russia, October 2-7, 2001, international conference "Synchronization of chaotic and stochastic oscillations", Saratov, Russia, September 22-28,2002, international conference "Physics and Control", S. Petersburg, Russia, Aug 20-22,2003, international conference "Physics and Control (PhysCon2005)", S Petersburg, Russia, Aug 20-22,2005, CECAM Woikshop on Dynamics at the Mesoscale Theory, Modelling and Experiments September 8-11, Lyon, France, 2004, VII международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур", 1-6 октября 2004 г. Саратов, научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых", 2005, международная конференция молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов 2006" Москва
Результаты работы неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ, научно - образовательного центра нелинейной динамики и биофизики при СГУ, института физической химии национального научного центра республики Греция "Demokntos" (Греция, Афины), лаборатории нелинейной динамики Потсдамского университета (Германия), кафедры нелинейной динамики технического университета г Лодзь (Польша), кафедры нелинейных систем университета г Лозанны (Швейцария)
По материалам работы опубликовано 46 работ: 33 статьи в реферируемых научных журналах (из них 27 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций), 4 статьи в сборниках международных научных конференций и 9 тезисов докладов Результаты работы использованы при выполнении госбюджетных тем "Радиофизика", "Радиофизика-2", "Радиофизика-3", при выполнении грантов РФФИ, совместного гранта министерства Образования и науки РФ и американского фонда развития гражданских исследований (CRDF)
Личный вклад автора
В большинстве публикаций, написанных в соавторстве [5, 7, 9-12, 14-
23, 25-28, 30-34, 36-42, 45], соискателю принадлежит постановка задачи, проведение теоретического и численного анализа. Во всех работах автор принимал активное участие в постановке задачи, в проведении исследований, в обсуждении и интерпретации результатов
Структура и объем работы
