Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование универсальных свойств порога внешней синхронизации хаотических систем 15
1.1 Синхронизация хаоса 15
1.2 Способы определения порога синхронизации 19
1.3 Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Лоренца . 21
1.4 Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Ресслера. 24
1.5 Выводы 25
2 "Странный нехаотический аттрактор" в трехмерной автоном ной дифференциальной системе 38
2.1 Странный нехаотический аттрактор 38
2.2 Основные свойства "странного нехаотического аттрактора" . 41
2.3 Некоторые дополнительные характеристики "странного нехаотического аттрактора" 47
2.4 Выводы 51
3 Стохастический резонанс в бистабильной системе под воздей ствием хаотического сигнала 62
3.1 Стохастический резонанс 62
3.2 Постановка задачи 65
3.3 Бистабильный осциллятор под гармоническим воздействием . 67
3.4 Бистабильный осциллятор под воздействием хаотического сигнала 70
3.5 Выводы 77
Заключение 88
Литература
- Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Лоренца
- Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Ресслера.
- Некоторые дополнительные характеристики "странного нехаотического аттрактора"
- Бистабильный осциллятор под гармоническим воздействием
Введение к работе
Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на аксиомах и строго доказанных теоремах, имеет дело только с гиперболическими системами [1]- [7]. Гиперболичность подразумевает, что все траектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловой тип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы дис-сипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазового объема, демонстрируют странные аттракторы с хаотическими свойствами. Примерами гиперболических аттракторов являются искусственными математические конструкции, такие, как аттрактор Плыкина и соленоид Смейла-Вильямса [8].
Доказано, что гиперболические странные аттракторы являются грубыми (структурно устойчивыми) [1]- [5]. Грубость означает нечувствительность характера движений и структуры взаимного расположения траекторий в фазовом пространстве по отношению к малым вариациям уравнений, задающих динамику системы. При этом старший показатель Ляпунова, отвечающий за степень хаотичности, а так же чувствительность динамики по отношению к возмущениям начальных условий, зависят от параметров гладким образом
(без провалов в область отрицательных значений, что характерно в случае негиперболического аттрактора).
Однако, математическая теория гиперболического хаоса никогда не была применена убедительно к какому-либо физическому объекту, несмотря на то, что ее концепции постоянно используются для интерпретации хаотического поведения реальных нелинейных систем.
Следует отметить, что широко исследуемые нелинейные системы со сложной динамикой, имеющие в основе конкретный физический процесс, например, хаотические автогенераторы, нелинейные осцилляторы с периодическим внешним воздействием, модель Ресслера и др., не относятся к классу гиперболических систем [7]- [11]. Как правило, наблюдаемый в них хаос связан с так называемым квазиаттрактором, который наряду с хаотическими траекториями включает также устойчивые орбиты большого периода. (Последние обычно не различимы при численном решении уравнений на компьютере из-за малости их бассейнов притяжения.) Строгое математическое описание квазиаттракторов остается нерешенной проблемой, хотя в физических системах негиперболичность эффективно маскируется в силу присутствия шума. В модели Лоренца в определенной области параметров хаотический аттрактор, как доказано, обладает основными свойствами гиперболических аттракторов (с оговорками, касающимися нарушения в некоторых деталях аксиоматических положений гиперболической теории), и динамика характеризуется как квазигиперболическая [12]- [13]. Так же известны квазигиперболические аттракторы Лози [14] и Белыха [15], [15]
Известно немного теоретических работ, в которых обсуждаются приме-
ры гиперболического хаоса в системах, описываемых дифференциальными уравнениями [17]- [19]. Так же в работе [20] представлен пример физической неавтономной системы, обладающей странным хаотическим аттрактором, который по мнению автора относится к классу гиперболических аттракторов.
Однако, гораздо чаще в реальных физических системах регистрируются хаотические аттракторы, которые никак нельзя отнести к классу гиперболических. И, следовательно, к ним невозможно применить все те математические теоремы, которые были строго доказаны только для гиперболических систем. Но поскольку таких систем большинство, то вопрос об их свойствах и характеристиках не является праздным, и раз уж строгое математическое описание не представляется возможным, то остается использовать другие методы исследования - в частности численный эксперимент.
Таким образом, представляется необходимым выявить и систематизировать отличительные экспериментальные характеристики негиперболических аттракторов, которые можно использовать для их исследований при компьютерном моделировании.
В рамках данной диссертационной работы рассматривается ряд характеристик негиперболических систем, которые могут быть использованы для их описания. В частности проверяется наличие универсальной зависимости между порогом синхронизации хаотической системы внешним периодическим сигналом и степенью хаотичности системы, исследуется поведение бистабиль-ного осциллятора, находящегося под воздействием сигнала, представляющего собой хаотический аттрактор спирального типа. А так же проводятся исследования нового режима, обнаруженного в автономной системе, свойства
которого близки с свойствам странного нехаотического аттрактора. Все эти исследования направлены на то, чтобы расширить знания о свойствах негиперболических систем.
Актуальность работы определяется важностью проблемы определения свойств и характеристик систем с негиперболическим хаосом. Из-за невозможности строго математического описания такие системы можно исследовать только с помощью физического или численного эксперимента. В представленной работе, с использованием второго из указанных методов, были исследованы некоторые закономерности, присущие негиперболическим системам.
Так же было показано, что закономерности, выявленные в численном эксперименте для систем с квазигиперболическим аттрактором, не справедливы для систем, демонстрирующих негиперболические режимы, хотя иногда такие экстраполяции исследователями производятся.
Следует отметить, что, как уже говорилось ранее, строгое математическое описание негиперболических систем не представляется возможным, следовательно приходится обходиться экспериментальными методами. Поэтому любые исследования, проводимые в этом направлении имеют большое значение, особенно если принять во внимание тот факт, что реальные физические системы относятся к классу негиперболических.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании ряда характеристик и свойств негиперболического хаоса, в частности:
1. Порог синхронизации внешним периодическим сигналом и его взаимосвязь со степенью хаотичности режима автоколебаний.
Возможности реализации режима хаотических автоколебаний в автономных трехмерных системах, близких по свойствам к известным странным нехаотическим аттракторам неавтономных систем.
Закономерность прохождения хаотического сигнала, отвечающего режиму спирального (фазокогерентного) хаоса, через бистабильную систему в режиме стохастического резонанса.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Впервые установлено, что степенная зависимость порога синхронизации хаотической системы, находящейся под внешним гармоническим воздействием, от старшего показателя Ляпунова выполняется лишь для систем с квазигиперболическим аттрактором, и принципиально нарушается для негиперболических систем.
Впервые выявлена возможность генерации автономной потоковой динаг мической системой режима, по свойствам очень близкого к странному нехаотическому аттрактору.
Проведен детальный анализ поведения бистабильной системы, находящейся под воздействием сигнала, соответствующего спиральному хаотическому аттрактору.
Научно-практическое значение результатов работы заключается в том, что ее результаты расширяют наше представление о структуре и свойствах хаотической динамики маломерных диссипативных систем, не удовлетворяющих условиям гиперболичности. Так как практически все известные
хаотические системы не являются гиперболическими, результаты настоящей работы могут быть использованы для понимания многих экспериментальных результатов исследования хаоса.
Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием некоторых результатов, полученных при выполнении диссертационной работы, с результатами и гипотезами, высказанными в ряде известных опубликованных работ. При численном моделировании применялись известные и широко используемые алгоритмы и программы, исключающие ошибки программирования. Расчеты проводились с высокой степенью точности, все результаты характеризовались устойчивостью к малым изменениям параметров численной схемы и воспроизводимы.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
Для негиперболических хаотических аттракторов не существует универсальной зависимости порога синхронизации хаотической системы, находящейся под внешним периодическим воздействием, от степени ее хаотичности, характеризуемой старшим ляпуновским показателем.
В автономных трехмерных диссипативных системах, обладающих негиперболическими свойствами, возможна реализация нового типа аттрактора, который по совокупности характеристик близок к странным нехаотическим аттракторам, возникающим при двухчастотном квазипериодическом возбуждении.
Бистабильный осциллятор, находящийся под воздействием хаотического сигнала, отвечающего аттрактору спирального типа, демонстрирует яв-
ление стохастического резонанса. Причем максимум коэффициента усиления системы уменьшается с ростом коэффициента диффузии, определяющего ширину базовой спектральной линии хаотического сигнала.
Апробация работы и публикации.
Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях:
Отчетная конференция по НОЦ. май 2003.
International Konference "PHYSICS AND CONTROL" (PhysCon 2003) August 20-22, 2003, Saint Petersburg, RUSSIA
V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, С.Петербург, 11-14 декабря 2001.
По теме диссертации опубликовано 3 работы (2 статьи в журналах и 1 статья в материалах конференции), которые включены в общий список литературы под номерами [92]- [94]
Результаты работы использованы при выполнении грантов CRDF (REC-006), а также индивидуальных грантов НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» и Федерального Агентства по образованию РФ (Е02-3.2-345) .
Личный вклад автора. Основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Формулировка поставленных задач, а также объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем и соавторами.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и списка цитируемой литературы. В ней содержится 76 страниц текста, 27 рисунков, библиография из 94 наименований на 11 страницах. Общий объем диссертации 103 страницы.
Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена изучению влияния негиперболичности на закономерность в зависимости амплитудного порога синхронизации от такой характеристики режима автоколебаний динамической системы, как старший показатель Ляпунова.
Синхронизация хаоса рассматривается как смена хаотического режима регулярным при изменении параметров внешней гармонической силы. При этом синхронизация возникает при конечной амплитуде внешнего воздействия, то есть имеет место амплитудный порог синхронизации. Проверяется гипотеза об универсальности степенной зависимости, связывающей амплитудный порог синхронизации хаотической системы с ее старшим ляпуновским показателем на системе Лоренца в режиме квазигиперболического аттрактора. Исследуется влияние негиперболичности на закономерность, полученную для систем с гиперболическим хаосом. Для этого рассматривается квазиаттрактор в системе Лоренца и спиральный и винтовой негиперболические аттракторы в системе Ресслера.
В разделе 1.1 рассматриваются концепции синхронизации хаоса, а так же
приводится вид степенной зависимости величины порога синхронизации от энтропии Колмогорова. В дальнейшем универсальность именно этого соотношения и будет проверена для различных хаотических режимов.
В разделе 1.2 приведены способы определения порога синхронизации хаотической системы. Приведены методики их расчета и дан сравнительный качественный анализ полученных результатов.
Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Лоренца
В качестве исследуемых систем использовались система Лоренца в режиме квазигиперболического и негиперболического хаоса и система Ресслера в режиме негиперболического хаоса спирального и винтового типов. Для каждого фиксированного значения параметра системы рассчитывался амплитудный порог синхронизации двумя способами. При первом способе использовалась следующая методика. Для двухтактного цикла внутри области синхронизации с помощью пакета прикладных программ LOCBIF строились линии бифуркации удвоения периода. В результате получается область в виде клюва синхронизации. Внутри области существует цикл периода 2, который при переходе параметров через границу клюва сменяется циклом периода 4. Затем по минимальному значению амплитуды, соответствующей нижней точке клюва, определялся порог синхронизации. Второй способ заключался в следующем. Фиксировалась амплитуда внешнего воздействия и изменялась его частота. Рассчитывался старший ляпуновский показатель системы, и определялся его знак. Затем уровень амплитуды менялся на меньший и все повторялось. В результате была получена область параметров, в которой ляпуновский показатель меняет знак с положительного на отрицательный. При этом минимальное значение амплитуды и будет искомым порогом синхронизации. Продемонстрируем эти два способа на конкретном примере. Возьмем систему Ресслера в режиме спирального хаоса (при a = b = 0.2, т = 4.5). х = —у — z у = х + ay + Acos27rft (1.3) -21 z = b — mz + xz где x, у, z- динамические переменные; а, тп, b- параметры системы, А- амплитуда, /- частота внешней силы.
На рис. 1.2 изображена область синхронизации для системы Ресслера под внешним периодическим воздействием, которое вводилось в виде аддитивного слагаемого в правую часть второго уравнения системы.
На данном рисунке показаны области синхронизации двухтактного 1ч и четырехтактного U циклов, а также линия IQ перехода к хаосу, рассчитанная по обращению в ноль старшего ляпуновского показателя.
Первому способу определения порога отвечает точка С, и порог равен А\. Это соответствует минимальному значению амплитуды, при котором происходит переход от двухтактного цикла к четырехтактному, что является потерей синхронизации для двухтактного цикла.
Если определять порог синхронизации вторым способом, то он соответствует точке В на графике, то есть переходу от хаоса к регулярному режиму. При этом пороговое значение амплитуды равно Ач Видно, что при разных способах определения порога получаем различное значение для его величины. Однако для поставленной перед нами задачи значимым является не величина порога, а ее изменение, поэтому способ определения порога не является принципиальным и выбирается из соображений удобства расчетов.
Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Лоренца.
Рассмотрим систему Лоренца под внешним периодическим воздействием, которое вводится в виде аддитивного слагаемого в правую часть третьего уравнения системы: х = —ах -f- ау у = —y + rx — xz (1.4) і = —bz + ху + Acos27rft где х, у, z- динамические переменные; с, г, Ь- параметры системы, А- амплитуда, /- частота внешней силы.
Параметры а и b фиксировались (а = 10, b = 8/3) и рассчитывалась величина амплитудного порога для различных значений г. Параметр г изменялся в пределах от 24 до 80. Значениям г меньше 32 соответствует режим почти гиперболического аттрактора Лоренца, а для значений г 32 система демонстрирует режим негиперболического аттрактора. График зависимости старшего ляпуновского показателя от параметра г представлен на рис. 1.3.
В результате произведенных вычислений был построен график зависимости амплитудного порога синхронизации от параметра г (см. рис. 1.4). Жирная линия соответствует первому способу расчета амплитудного порога, а тонкая является результатом расчетов вторым способом
Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Ресслера.
Концепция странного нехаотического аттрактора (СНА) введена в 1984 г. в работе Гребожи, Отта, Пеликана и Йорке [46] и относится к специальному классу диссипативных систем - системам с квазипериодическим внешним воздействием. Это системы, в которых мгновенное состояние задается набором некоторого числа переменных - обобщенных координат, относящихся собственно к системе, и фазовых переменных, по количеству составляющих внешнего воздействия с несоизмеримыми частотами. Эпитет "странный" противопоставляет СНА аттрактору в виде тора, имеющего гладкую зависимость координатных переменных от фазовых. Эпитет "нехаотический" противопоставляет его странному хаотическому аттрактору, который характеризуется присутствием экспоненциальной неустойчивости траекторий. Оказалось, что в области между порядком и хаосом СНА типичны в системах с квазипериодическим воздействием. Можно сказать, что при переходе от простой динамики к сложной в этих системах сначала возникает "странность", а уже потом хаос. Как оказалось, динамические системы с грубым СНА существуют как в дифференциальных, так и в дискретных динамических системах [47]- [49].
Вообще говоря, доказательство существования странного аттрактора было дано в жестком предположении, что динамическая система, в которой он существует, является грубой и гиперболической [50]- [53]. Что это означает? Система является гиперболической, если все фазовые траектории седловые. Точка, как образ траектории в сечении Пуанкаре в гиперболической системе всегда является седлом. Грубость означает, что при малом возмущении правых частей системы дифференциальных уравнений, описывающих систему, и вариации управляющих параметров в конечной области их значений все траектории продолжают оставаться седловыми.
В системах с квазипериодическим воздействием СНА реализуется на множестве положительной меры в пространстве параметров, и поэтому должен рассматриваться как типичный феномен, характерный для области между порядком и хаосом. В автономных системах частоты колебательных составляющих порождаются динамикой самой системы и не допускают простого и непосредственного регулирования. В этой ситуации возможность реализации СНА, как типичного феномена, проблематична.
Поводом для проведения настоящих исследований послужила работа [44]. В ней утверждается, что в динамических системах с петлей сепаратрисы седла возможно возникновение притягивающего гиперболического подмно -40 жества, то есть аттрактора гиперболического типа. Этот аттрактор в сечении Пуанкаре имеет структуру аттрактора Плыкина [45]. Результат чрезвычайно интересный, так как до сих пор гиперболические аттракторы, включая ат-трактор Плыкина, в конкретных дифференциальных системах экспериментально не наблюдались.
Гиперболические аттрактора должны удовлетворять следующим условиям [51]: 1. Состоять из континуума "неустойчивых листов" или кривых, всюду плотных в аттракторе, вдоль которых близкие траектории экспоненциально расходятся; 2. в окрестности любой точки иметь геометрию произведения канторова множества на интервал; 3. иметь окрестность в виде расщепленных устойчивых слоев, вдоль которых близкие траектории сходятся к аттрактору. Таким образом, грубость означает, что свойства 1-3 сохраняются при возмущениях. В математике известны по крайней мере два примера грубых гиперболиче ских аттракторов: аттрактор Смейла-Вильямса [8] и аттрактор Плыкина [45].
Однако в реальных системах естествознания режим строго гиперболическо го грубого хаоса до сих пор не обнаружен. Истинно странные аттракторы являются идеальной, но недостижимой пока моделью детерминированного хаоса. В работе [54] была введена трехмерная автономная динамическая система, в которой в зависимости от параметров реализуется петля сепаратрисы седло-фокуса и переход к режиму петли сепаратрисы седла. Было интересно проверить предсказание [44] и попытаться методами численного моделирования найти режим гиперболического хаоса в этой системе. Сразу отметим, что гиперболический аттрактор не был найден, однако установлено существование нового типа нерегулярного аттрактора, который, как нам известно, для автономных трехмерных систем наблюдается впервые.
Некоторые дополнительные характеристики "странного нехаотического аттрактора"
Из сравнения полученных данных видно, что старшие ляпуновские показатели для двух рассматриваемых хаотических режимов отличаются на порядок. Причем для случая т = 2.105 максимальный характеристический показатель очень мал. Однако нельзя считать его нулевым. Для сравнения были рассчитаны ляпуновские показатели для регулярного режима, который наблюдается при т — 2.1065. Видно, что нулевой показатель регистрируется с точностью до четвертого знака, следовательно, можно сказать, что хотя при т = 2.105 максимальный показатель довольно мал, но все-таки этот режим является хаотическим.
Таким образом, мы получили, что новый режим характеризуется сравнительно малым значением старшего ляпуновского показателя и отсутствием в отображении последования квадратичного максимума.
Более того, для случая т = 2.105 старший ляпуновский показатель был рассчитан с большей точностью. А именно, вычисления производились по следующей схеме: рассчитывалось значение старшего ляпуновского показателя на времени интегрирования 106 и шаге интегрирования Ю-4, затем последовательно рассчитывалось следующее значение на таком же интервале времени и т.д. Таким образом было произведено около 25 счетов, что дало общее время интегрирования порядка 2.5 107. Но даже на таких временах наблюдалось лишь небольшое изменение величины старшего ляпуновского показателя (в пределах ошибки интегрирования), но он при этом все равно оставался ненулевым.
Следует отметить, что при переходе к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода при критическом значении параметра можно наблюдать странный нехаотический аттрактор (когда старший ляпуновский показатель пересекает нулевой уровень). Но этот режим не грубый, поскольку существует только при единственном значении параметра. Аттрактор, который исследуется в данной работе, существует в некоторой области параметров, хотя и довольно малой. Следовательно, рассматриваемый аттрактор является независимым режимом, а не переходным между регулярным и хаотическими режимами.
Таким образом, мы получили, что новый режим характеризуется сравни--тельно малым значением старшего ляпуновского показателя и отсутствием в отображении последования квадратичного максимума. Но разумеется этой информации не достаточно, чтобы сказать, с каким типом аттрактора мы имеем дело. Чтобы сказать что-то более конкретное, необходимо рассчитать некоторые дополнительные характеристики найденного аттрактора.
Произведем расчет автокорелляционной функции (АКФ) и спектра мощности для исследуемого режима. Результаты представлены на рис. 2.4 - рис. 2. Из рис. 2.4 видно, что для т = 2.100 автокорелляционная функция имеет вид, характерный для хаотического негиперболического аттрактора, то есть относительно быстро спадает при росте т. Совсем по-другому обстоит дело для второго аттрактора (рис. 2.5). Автокорелляционная функция в этом случае не спадает до нуля даже на достаточно больших временах. Более того, из рисунка видно, что АКФ при больших г выходит на некоторый постоянный уровень, что характерно для странных нехаотических аттракторов! [46,56]
На рис. 2.6 и рис. 2.7 приведены спектры мощности по переменной у для обоих аттракторов. Для случая т = 2.100 (рис. 2.6) спектр является сплошным, с выбросами на базовой частоте, ее гармониках и субгармониках. Это обычный вид спектра негиперболических аттракторов, возникающих через каскад удвоения периода. Совершенно другой вид спектра при т = 2.105 (рис. 2.7). Он гораздо более сильно "изрезан", и его максимум смещен в сторону более низких частот, а структура напоминает сингулярно-непрерывный спектр [56]. (Участок спектра, показанный на рис. 2.7(b) повторяется на интервале [0.015 : 0.03]). Это снова наводит на мысль о странном нехаотическом аттракторе.
Для сравнения был проведен расчет спектра мощности устойчивого периодического решения (реализующегося по параметру вблизи исследуемого аттрактора). Оказалось, что некоторые пики спектра совпадают с выбросами в спектре хаотического аттрактора при т = 2.105
Бистабильный осциллятор под гармоническим воздействием
В результате строился график зависимости дисперсии мгновенной фазы от времени. На интервале t Є [0,10000] дисперсия растет во времени почти линейно. Оценка углового коэффициента по методу наименьших квадратов позволяет определить коэффициент эффективной диффузии фазы:
Из рисунка 3.6 следует, что коэффициент эффективной диффузии фазы, хотя и довольно мал (что вызвано в том числе и тем обстоятельством, что происходит сдвиг базовой частоты осциллятора Ресслера на два порядка), но в при т 7.3 заметно растет с ростом параметра т (спадание до нуля на некоторых участках кривой объясняется попаданием в окна устойчивости). Потому будет интересно посмотреть зависимость максимума коэффициента усиления от коэффициента эффективной диффузии фазы, то есть от ширины спектральной линии. Но сначала исследуем зависимость коэффициента усиления от интенсивности шума при фиксированном значении параметра га и сравним ее с кривой, полученной в случае воздействия на бистабильный осциллятор гармонического сигнала.
Проведя расчет зависимости коэффициента усиления от интенсивности шума, получим результат, представленный на рис. 3.3 (кривая 2). Максимум кривой наблюдается при той же интенсивности шума D — 0.075, что и для воздействия гармоническим сигналом и имеет несколько меньшую величину в сравнении с кривой 1. Точное определение максимума затруднено, поскольку кривая более пологая.
Если на бистабильный осциллятор подать сигнал с большим коэффициентом диффузии, чем в первом случае (то есть с более широкой спектральной линией), то кривая зависимости коэффициента усиления от интенсивности шума будет проходить ниже (кривая 3).
В работе [84] на осциллятор Крамерса воздействовал сигнал в виде гармонического шума. Он получался линейной фильтрацией белого шума (двумерный процесс Орнштейна-Уленбека). Было показано, что конечность ширины спектральной линии приводит к уменьшению коэффициента усиления. Причем, чем шире линия, тем меньше коэффициент усиления. Именно это и объясняет результаты, показанные на рисунке 3.3 (кривые 1,2 и 3).
Чтобы более детально проследить за изменением максимального значения коэффициента усиления при изменении ширины спектральной линии, была рассчитана зависимость коэффициента усиления от интенсивности шума для различных значений управляющего параметра га, то есть для различных значений коэффициента эффективной диффузии. В результате была построена кривая зависимости максимума коэффициента усиления от коэффициента эффективной диффузии фазы, которая представлена на рис. 3.7
Рассматриваемая нами модель сигнала (хаотические колебания в режиме спирального аттрактора) по спектральным свойствам подобна гармоническому шуму, рассматриваемому в [84]. Однако имеются отличия: плотность вероятности переменной х существенно иная, а в спектре, кроме узкополосной компоненты на основной частоте имеются спектральные линии на ее гармониках, а также широкополосный пьедестал, связанный с флуктуациями амплитуды колебаний. Чтобы выяснить, что больше влияет на эффект СР - конечная ширина основной спектральной линии или амплитудные флуктуации - были проведены расчеты коэффициента усиления для бистабильного осциллятора, на который воздействовал сигнал вида: A-cos[ f (t)] (3.10) где ф{ї) - мгновенная фаза осциллятора Ресслера, которая рассчитывается по формуле 3.7; А - амплитуда сигнала, которая выбиралась равной амплитуде гармонического сигнала А = 0.05. То есть, при этом исключаются амплитудные флуктуации сигнала.
При таком воздействии кривая зависимости проходит ближе к кривой, построенной для гармонического сигнала (см. рис. 3.8 кривая 3 - построена для параметра осциллятора Ресслера т = 6.5). эффициента усиления наблюдается при той же интенсивности шума, что и для предыдущих случаев. Таким образом широкополосная компонента хаотического сигнала качественно не повлияла на эффект СР, однако при этом происходит количественное изменение максимального значения коэффициента усиления.
По реализациям x{t) как для гармонического воздействия, так и для воздействия сигналом, генерируемым осциллятором Ресслера была рассчитана средняя частота переключений (частота Крамерса). Расчет производился по временным реализациям сигнала на выходе бистабильной системы. Частота Крамерса при этом рассчитывается как частота перехода динамической переменной через нулевой уровень в одном направлении. При этом получили, что в первом случае частота Крамерса равна 2nFk = 0.009010, а во втором случае 2-7rFfc = 0.009377. Эти результаты хорошо согласуются с теоретическим расчетом (27rFjt = 0.009696) и в пределах погрешности совпадают с частотой гармонического воздействия шо = 0.01 и частотой пика в спектре хаотического сигнала.
