Содержание к диссертации
Введение
1. Сложная динамика модуляционной неустойчивости в нелинейных средах с дисперсией 14
1.1. Нелинейная динамика модуляционной неустойчивости в окрестности критической частоты 14
1.1.1. Нелинейный эффект смены характера МН. Теория 15
1.1.2. Численное моделирование нелинейной динамики МН (нелинейное уравнение Шрёдингера) 20
1.1.3. Численное моделирование нелинейной динамики МН (нелинейное уравнение Клейна-Гордона) 26
1.1.4. Влияние характера модуляционной неустойчивости на эффекты нелинейного туннелирования 33
1.1.5. Нелинейная динамика МН в периодической брэгговской структуре 38
1.2. Нелинейная динамика МН в кольцевом нелинейном резонаторе 50
1.2.1. Модель кольцевого нелинейного резонатора 50
1.2.2. Анализ условий неустойчивости стационарного режима 52
1.2.3. Результаты численного моделирования 57
1.3. Нелинейная динамика МН при наличии отражений от границ 62
1.3.1. Модель и основные уравнения 62
1.3.2. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость 64
1.3.3. Численное моделирование нелинейной динамики одномерного резонатора 69
1.4. Выводы 76
2. Сложная динамика в нелинейной радиотехнической линии передачи. 80
2.1. Модель и основные уравнения 80
2.2. Собственные частоты линейных колебаний 81
2.3. Теоретический анализ модуляционной неустойчивости в нелинейных цепочках84
2.3.1. Цепочка с квадратичной нелинейностью 84
2.3.2. Цепочка с кубичной нелинейностью. 88
2.4. Результаты численного моделирования 89
2.4.1. Цепочка с квадратичной нелинейностью 89
2.4.2. Цепочка с кубичной нелинейностью 100
2.5. Выводы 112
3. Моделирование сложной динамики электромагнитных полей в нелинейных диэлектрических структурах методом конечных разностей во временной области 115
3.1. Метод конечных разностей во временной области (FDTD) 115
3.2. Сложная динамика нелинейного диэлектрического резонатора 120
3.3. Сложная динамика в периодической нелинейной диэлектрической структуре 125
3.3.1. Постановка задачи 125
3.3.2. Анализ дисперсионного соотношения для линейной системы 126
3.3.3. Результаты численного моделирования 129
3.4. Выводы 134
4. Сложная динамика кольцевого нелинейного резонатора (системы икеды) под воздействием двухчастотного сигнала 135
4.1. Введение и постановка задачи 135
4.2. Вывод системы связанных отображений Икеды 137
4.3. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость 139
4.4. Результаты численного моделирования 143
4.5. Выводы 151
Заключение 152
- Нелинейная динамика МН в кольцевом нелинейном резонаторе
- Численное моделирование нелинейной динамики одномерного резонатора
- Цепочка с кубичной нелинейностью
- Сложная динамика в периодической нелинейной диэлектрической структуре
Введение к работе
Актуальность исследуемой проблемы. Изучение нелинейных явлений, включая режимы динамического хаоса, в распределенных волновых системах в настоящее время относится к числу наиболее актуальных направлений в современной радиофизике и нелинейной динамике [1-4]. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипативных структур. Однако на сегодняшний день последовательная теория нелинейной динамики распределенных систем отсутствует, и по сравнению с системами с небольшим числом степеней свободы они изучены все еще достаточно слабо, хотя именно они представляют наибольший интерес.
Следует отметить, что в основном изучается нелинейная динамика в так называемых активных средах, в которых присутствует усиление малых возмущений за счет развития различных волновых неустоичивостеи [2-6]. Однако не меньший интерес представляет исследование подобных явлении в нелинейных средах, в которых усиления нет, т.е. их следует отнести к пассивным. При определенных условиях интенсивный регулярный сигнал, генерируемый внешним источником, в процессе распространения в пассивной нелинейной среде может обогащаться новыми независимыми спектральными компонентами и, в частности, становиться хаотическим. Выяснение механизмов, за счет которых это происходит, определение универсальных особенностей сложного поведения, типичных сценариев перехода к хаосу представляет принципиальный интерес для целого ряда разделов физики, в первую очередь — для радиофизики. Отметим, что на языке теории колебаний данную ситуацию следует ассоциировать не с автоколебаниями, а, скорее, с вынужденными колебаниями.
Механизмами, приводящими к сложной динамике в пассивных средах, являются так называемые вторичные неустойчивости, которые развиваются на фоне распространяющихся волн достаточно большой постоянной амплитуды. Среди них следует выделить модуляционную неустойчивость (МН) [2,4,7-11], которая играет важную роль в гидродинамике, радиофизике, нелинейной оптике, физике плазмы и др. и заключается в том, что периодическая волна, распространяющаяся в нелинейной диспергирующей среде, оказывается неустойчивой относительно крупномасштабных пространственных и/или временных модуляций. Развитие МН обычно приводит на сильно нелинейной стадии к образованию солитонов огибающей. Хотя изучению этих явлений посвящено большое количество работ, в них, как правило, идет речь о неустойчивости в безгра- ничных и консервативных средах. В то же время, для ответа на поставленные выше вопросы принципиальный интерес представляет рассмотрение ограниченных в пространстве систем с учетом внешнего источника и диссипации (например, за счет излучения энергии через границы). Отметим, что отрезок нелинейной среды конечной протяженности, возбуждаемый на границе внешним сигналом, можно трактовать как распределенный нелинейный резонатор под внешним воздействием; Поскольку нелинейный неавтономный осциллятор давно является одной из эталонных моделей нелинейной динамики систем с конечным числом степеней свободы [1,2,4], можно ожидать, что рассматриваемая задача должна играть такую же важную роль для распределенных сие-тем.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики, нелинейной динамики и теории волн.
Целью диссертации является последовательное изучение сложной динамики в распределенных пассивных нелинейных средах с модуляционной неустойчивостью, возбуждаемых гармоническим внешним сигналом на одной из границ. Для достижения поставленной цели решается ряд конкретных задач: рассматриваются как простые модельные системы, описывающиеся эталонными уравнениями типа нелинейных уравнений Шрёдингера и Клейна-Гордона, так и достаточно сложные реалистичные модели (нелинейная линия передачи, периодическая диэлектрическая структура).
Научная новизна.
Впервые получен критерий, определяющий характер МН (конвективная или абсолютная) в безграничной нелинейной среде с дисперсией. Обнаружен нелинейный эффект смены характера неустойчивости с конвективной на абсолютную при увеличении интенсивности входного сигнала. Показано, что этот эффект связан с появлением неустойчивых возмущений, групповая скорость которых отрицательна, т.е. направлена навстречу несущей волне.
Впервые выявлена связь различных режимов солитонного туннелирования с характером модуляционной неустойчивости. Показано, что квазилинейное туннелирова-ние связано с конвективной неустойчивостью, а солитонное — с абсолютной.
Впервые изучены переходы к хаосу в системах типа одномерных распределенных резонаторов, заполненных нелинейной диспергирующей средой и возбуждаемых на одной из границ гармоническим внешним сигналом. Рассмотрены как системы, описываемые известными модельными уравнениями теории нелинейных волн, так и реалистичные модели радиофизических нелинейных сред (отрезок нелинейной радиотехни- ческой линии передачи, периодическая нелинейная диэлектрическая структура). Показано, что основным механизмом, приводящим к неустойчивости режима периодических колебаний, является модуляционная неустойчивость, а переход к хаосу происходит в основном через разрушение квазипериодического движения.
Впервые проведено подробное исследование сложной динамики при воздействии двухчастотного внешнего сигнала на кольцевой нелинейный резонатор, заполненный средой с кубичной фазовой нелинейностью. Показано, что добавление второй компоненты внешнего сигнала с достаточно малой интенсивностью позволяет эффективно управлять динамикой системы. Варьируя амплитуду и частоту второй компоненты, можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при одночастотном воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса.
Практическая значимость. Результаты исследований сложной динамики в распределенных резонаторах представляют практический интерес в связи с появившимися в последние годы перспективами использования хаотических сигналов в системах связи, радиолокации и др. Причем распределенные системы представляют в этом отношении = особый интерес, поскольку способны генерировать высокоразмерные хаотические колебания, имеющие в некотором смысле большую сложность. Рассматриваемые в диссертации модели, в частности нелинейные брэгтовские структуры, могут найти применение в качестве логических элементов в системах обработки информации, в системах чисто оптического переключения, ограничения мощности и др. Процессы образования и распространения солитонов представляют интерес для генерации ультракоротких импульсов. В особенности это относится к так называемым щелевым солитонам, образующимся при солитонном туннелировании.
Ряд результатов диссертации используется, в учебном процессе (лекционные курсы «Нелинейные колебания» и «Нелинейные волны» для студентов факультета нелинейных процессов СГУ).
Апробация работы и публикации. Работа выполнена на кафедре нелинейной физики СГУ. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН, а также на II Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), Межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), VIII и IX Всероссийских школах-семинарах «Физика и применение микроволн» (Звенигород,. Моск. обл., 2001,2003), ЕХ, X, XI International Workshop and School "Nonlinear Dynamics and Complex Systems", (Minsk, 2001, 2002, 2003), VI Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2001), VIII Всероссийской конференции студентов физиков и молодых ученых (С.-Петербург, 2001), VI Всероссийской конференции студентов-радиофизиков (С.-Петербург, 2002), IX Всероссийской. школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах», (Красновидово, Моск. обл., 2002), Международной конференции "Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations SYNCHRO-2002", (Саратов, 2002), XII Зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2003), XII Всероссийской школе «Нелинейные волны 2004» (Н. Новгород, 2004). Результаты работы неоднократно докладывались на ежегодных конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (1999-2003). По теме диссертации опубликованы работы [81-107].
Результаты диссертации использовались при выполнении грантов CRDF (№ REC-006), РФФИ (Ма 99-02-16016, 02-02-16351, 02-02-17317), ФЦП «Интеграция» (Ка А0057), индивидуальных грантов РФФИ для молодых ученых (Лг№ 02-02-06315, 03-02-06257), грант поддержки научных школ Минпромнауки РФ (НШ-1250.2003.2)
Личный вклад соискателя. Большинство работ по теме диссертации опубликовано в соавторстве с научным руководителем диссертации. Содержащиеся в этих работах аналитические результаты получены совместно с научным руководителем. Основные результаты численного моделирования получены лично соискателем с использованием им же разработанных комплексов программ. Физическая интерпретация результатов проводилась совместно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, содержит 162 страницы текста, включая 69 рисунков, 3 таблицы и список литературы из 107 наименований на 7 страницах.
Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна и положения, выносимые на защиту.
Нелинейная динамика МН в кольцевом нелинейном резонаторе
В предыдущих разделах были исследованы процессы усложнения сигнала в случае, когда модуляционная неустойчивость является абсолютной. Однако аналогичные явления возможны и при конвективной МН, если рассматривается система конечной протяженности. В этом случае появление какого-либо механизма внешней обратной связи (ОС) может превратить неустойчивость в глобальную, что также дестабилизирует режим стационарного распространения сигнала. Отметим, что подобную систему можно рассматривать как кольцевой нелинейный резонатор, возбуждаемый внешним сигналом. Итак, рассмотрим резонатор, содержащий нелинейную среду с МН, схематически изображенный на рис. 1.18. Данную модель можно описать при помощи НУШ (1.1) с граничным условием, содержащим запаздывание Здесь R = pexp(iip) — комплексный коэффициент обратной связи, At — время запаздывания, L — протяженность нелинейной среды, \ и а; — амплитуда и частота входного сигнала. В случае, когда МН отсутствует, эта система была подробно изучена К. Икедой с соавторами [19,33-35], которые рассматривали динамику светового пучка в оптическом резонаторе, содержащем нелинейный диэлектрик. Следуя исторической традиции, на рис. 1.18 изображена схема нелинейно-оптической модели, однако это не является принципиальным. Можно рассмотреть резонатор любой физической природы, заполненный средой с кубичной фазовой нелинейностью. В частности, как отмечается в [36], представляет интерес квазиоптический аналог системы Икеды, который может найти разнообразные применения в микроволновом диапазоне для нелинейной селекции импульсов разной интенсивности, амплитудной модуляции и др. где V — групповая скорость. Это отображение, известное как отображение Икеды [19], само по себе давно стало одной из эталонных моделей нелинейной динамики, и его поведение хорошо изучено (см., например, [1,20,37]). Как известно, когда амплитуда входного сигнала превышает некоторое критическое значение, стационарный режим становится неустойчивым, и возникает автомодуляция с периодом 2т (неустойчивость Икеды). При дальнейшем увеличении Д, происходит переход к хаосу, причем основным сценарием является последовательность бифуркаций удвоения периода. Совершенно иное поведение наблюдается в случае, когда присутствует МН.
Эта ситуация исследовалась ранее Н.Н. Розановым (см. монографию [37] и цитированную там литературу) применительно к кольцевому резонатору, состоящему из отрезка оптического волокна с внешней ОС. В [37] выполнен теоретический анализ порога автомодуляции, а также приведен пример расчета нестационарного режима, реализующегося при превышении порога, позволяющий предположить хаотическое поведение (хотя соответствующий режим назван импульсно-периодическим). Однако исследование сце- нариев перехода к хаосу и других особенностей сложной динамики проведено не было. Эти вопросы рассматриваются в настоящем разделе. Прежде всего, обсудим условия неустойчивости стационарных вынужденных колебаний на частоте внешнего сигнала Хотя подобный анализ можно найти в [37], тем не менее, приведем основные результаты, необходимые для физической интерпретации численного моделирования. В данном случае удобно переписать НУШ (1.1) в ви- де, содержащем только первую производную по времени где k д7кд /дм2. Принципиальной разницы между уравнениями (1.1) и (1.60) нет, они справедливы с одинаковой степенью точности. Критерий Лайтхилла в данном случае принимает вид рк" 0. Для определенности далее везде будем считать j3 0, к1 0. Критерий абсолютной неустойчивости (1.18) для уравнения (1.60) выглядит следующим образом: рис. 1.19 изображены фрагменты резонансных кривых, построенные при трех различных значениях Д,. В окрестности отдельного резонанса они ведут себя подобно резонансным кривым нелинейного диссипативного осциллятора [2,4,38]: с ростом Д, они наклоняются влево, и при достаточно больших амплитудах воздействия становятся неоднозначными. В этом случае состояния, соответствующие промежуточным ветвям резонансных кривых, неустойчивы, и имеют место эффекты мультистабильности и гистерезиса. Максимумы располагаются на так называемых «скелетных кривых», которые определяются уравнением (1.68). Следует отметить, что при достаточно больших номерах мод подкоренное выражение в (1.68) становится отрицательным. Это связано с тем, что при из — —l/k V, групповая скорость обращается в бесконечность, и само исходное уравнение (1.60) уже несправедливо. Имеет смысл рассматривать только те значения параметров, при которых jx 1, а спектр сигнала лежит в области leal — l/kfiV. Это эквивалентно тому, что протяженность нелинейной среды полагается большой, а дисперсия — слабой. Теперь выясним условия, при которых возникает автомодуляция, т.е. режим од-ночастотных вынужденных колебаний теряет устойчивость. Задавая малое возмущение в виде пары сателлитов, равноотстоящих от несущей частоты (1.7), и повторяя анализ, проделанный в п. 1.1.1, находим дисперсионное соотношение (ср. (1.8)) Здесь следует учесть, что VI — это отстройка от частоты внешнего сигнала и:, т.е. в спектре появляется пара сателлитов с частотами ш ± Пт. Уравнение (1.74), таким образом, принимает вид где А = A(fim) .Отсюда можно найти пороговые значения параметров (например, глубину ОС р или амплитуду входного сигнала Д ), при которых происходит возбуждение пары сателлитов с номером m. Будем называть эти возмущения автомодуляционными модами. Частоты автомодуляционных мод в общем случае не совпадают с собственными частотами резонатора, и близки к ним только в пределе слабой нелинейности (/3Д L/V — 0) и слабой дисперсии, когда можно считать, что с точностью до членов первого порядка малости спектр резонатора эквидистантный, Проанализировать уравнение (1.76) в общем случае довольно затруднительно. Однако представляется очевидным, что в первую очередь возбуждаются автомодуляционные моды с частотами, для которых инкремент МЫ (1.71) максимален, т.е. В случае достаточно протяженной среды или большого времени запаздывания, когда т 1, спектр мод густой, и практически всегда частота одной из мод близка к Отлх. При этом уравнение (1.76) упрощается: Отметим, что при больших г частота автомодуляции будет значительно выше, чем при неустойчивости Икеды, когда П = тг/т.
Действительно, в данном случае определяющую роль играет не время прохождения сигнала по резонатору, а частотная зависимость инкремента МН. Далее, очевидно, что инкремент МН тем больше, чем больше амплитуда стационарных колебаний. Как было показано выше, \А \ достигает максимума при cos0 = 1, когда частота ш удовлетворяет соотношению (1.68). Тогда что позволяет найти минимальную амплитуду (или минимальную глубину ОС), необходимую для возникновения автомодуляции. Если учесть еще, что Ал в свою очередь зависит от р согласно формуле (1,66), то получим { 2Р ) Представленные результаты уточняют соотношения, приведенные в [37, 4.2]. Кроме того, можно показать, что рассматриваемая система имеет много общего с другими автоколебательными системами с запаздыванием (см., например, [39-42]). В частности, порог автомодуляции будет периодически зависеть от фазы ф параметра ОС. Действительно, при изменении ф будет изменяться амплитуда колебаний в резонаторе, и, соответственно, инкремент неустойчивости. Однако при т 1, когда имеется большое число мод, находящихся примерно в одинаковых условиях, влияние этого фактора невелико. Численное исследование НУШ с запаздыванием проводилось по схеме, описанной в п. 1.1.2: на левой границе система возбуждалась периодическим входным сигналом постоянной амплитуды, справа (при х L) в систему вводились поглощающие слои. Значения управляющих параметров выбирались таким образом, чтобы в системе без обратной связи неустойчивость была бы конвективной. Опишем вначале поведение системы при постепенном увеличении амплитуды входного сигнала. Численное моделирование проводилось в широком диапазоне параметров, ниже представлены типичные результаты при следующих значениях: коэффициент обратной связи р = 0.5, фаза ОС ip = 0, параметр нелинейности /3 = 1, параметр дисперсии ш" = 1, частота входного сигнала и = 0, групповая скорость V = 2, время запаздывания At = 0.05, длина системы Ь = 20. Значение At выбрано малым для удобства численного моделирования, в принципе, если длина L достаточно велика, увеличение At не приводит к каким-либо качественным изменениям.
Численное моделирование нелинейной динамики одномерного резонатора
По аналогии с предыдущими разделами для удобства численного моделирования перепишем уравнения (1.78) в форме, содержащей производные по времени только первого порядка: Численное исследование системы (1.94) проводилось по схеме, описанной в п. 1.1.2: на левой границе система возбуждалась периодическим входным сигналом постоянной амплитуды, справа и слева (при х L и х 0) в систему вводились поглощающие слои. Значения управляющих параметров выбирались таким образом, чтобы в системе без обратной связи неустойчивость была бы конвективной. Численное моделирование проводилось в широком диапазоне параметров, ниже представлены типичные результаты при следующих значениях: параметр нелинейности /3 = 1, параметр дисперсии и" = 1.2 , групповая скорость V = 1 , длина системы L = 20, коэффициенты отражения 7 = RL = 0.7. Понятно, что необходимо оставаться в диапазоне параметров, для которых МН (в безграничной среде) является конвективной. Из соотношения (1.18) нетрудно найти, что критическое значение амплитуды входного сигнала, при котором происходит смена характера неустойчивости в данном случае равно 0.64. Все представленные ниже результаты получены в случае, когда максимально достижимая амплитуда стационарных колебаний в резонаторе, которая определяется формулой (1.66), меньше этого значения. Динамика системы во многом похожа на поведение НУШ с запаздыванием (п. 1.2.3). Если зафиксировать частоту сигнала и увеличивать амплитуду, то при малых значениях \ будет устанавливаться режим периодических колебаний, причем значе- ние амплитуды полностью совпадает с теоретическим (п. 1.3.2). С ростом А$ появляется периодическая автомодуляция, а затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Однако в данном случае значительное влияние оказывают эффекты мультистабильности. Действительно, мультистабильность является важнейшим свойством нелинейных резонаторов, содержащих среду с кубичной фазовой нелинейностью [33,37]. На рис. 1.27 приведена типичная передаточная характеристика — зависимость амплитуды стационарных колебаний І4 от амплитуды входного сигнала, рассчитанная в соответствии с соотношением (1.82). Как известно, ветви, имеющие отрицательный наклон, отвечают неустойчивым состояниям; на рисунке они показаны штриховыми линиями. Восходящие ветви отвечают состояниям, которые либо устойчивы, либо теряют устойчивость в результате автомодуляции.
Фактически, пространство параметров системы является многолистным, и переходы к хаосу по сценарию Рюэля-Такенса происходят на различных его листах. Разумеется, мультистабильность присутствует и в кольцевом резонаторе (п. 1.2). Однако в данном случае она сказывается сильнее (при одинаковых значениях параметров), поскольку сигнал распространяется в нелинейной среде и в прямом, и во встречном направлениях, и эффективная длина системы оказывается в два раза больше. Таким образом, нелинейный набег фазы, являющийся причиной мультистабильности, при тех же значениях интенсивности входного сигнала оказывается больше. На рис. 1.28 приведены временные реализации выходного сигнала А+ [х = L), фазовые портреты и спектры, иллюстрирующие переход к хаосу для тех же параметров, что и на рис. 1.27. Реализации для встречной волны А_ (х = 0) выглядят аналогично и поэтому на рисунках не представлены. Как видно из рис. 1.28, при Д, « 0.18 стационарный одночастотный режим жестко сменяется режимом квазипериодической автомодуляции. При этом происходит переход со второй ветви передаточной характеристики на третью (см. рис. 1.27). Хорошо видно, что среднее значение амплитуды колебаний резко возросло. Таки образом, в данном случае, когда мы выбираем начальные условия в виде А± (t = 0) = 0, т.е. считается, что колебания в резонаторе в начальный момент отсутствуют, режим периодической автомодуляции вообще не наблюдается. Однако можно пронаблюдать его, если, выйдя на верхний лист, двигаться по нему, плавно уменьшая Д с наследованием начальных условий. При меньших Д, можно наблюдать еще один жесткий переход, на этот раз между двумя стационарными режимами. По мере дальнейшего увеличения амплитуды происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. На рис. 1.28в приведены соответствующая временная реализация, фазовый портрет и спектр. При несколько других значениях параметров жесткие переходы происходят между другими режимами. В частности, рис. 1.29 иллюстрирует подобный переход от режима периодической автомодуляции к хаосу, а рис. 1.30 — от стационарного режима к хаосу. Во всех случаях критическое значение Д, полностью согласуется с видом соответствующей передаточной характеристики. Если сопоставить эти результаты с теоретическими соотношениями, полученными в п. 1.3.2, то, например, для значений параметров, которым соответствует рис. 1,29, из условия (1.93) можно определить соответствующее значение максимального инкремента неустойчивости: А, = 0.052, т.е. амплитуда стационарного состоя- ния \АЛ «0.17. Тогда из соотношения (1.82) можно найти пороговую амплитуду внешнего сигнала Д, «0.23. Это достаточно близко к результатам численного моделирования, согласно которым пороговое значение 0.24 Д, 0.25. Также можно оценить частоту автомодуляции, полагая, что она близка к частоте, на которой инкремент МН максимален. Формула (1.90) дает П « 0.137г, что оказывается достаточно близко к полученному в результате численного моделирования значению 0.12тг (ср. рис. 1.29а). На рис. 1.31 приведены пространственно-временные диаграммы в режимах периодической, квазипериодической и хаотической автомодуляции. Видно, что в периодическом режиме сигнал фактически представляет собой последовательность солито-нов, распространяющихся по резонатору и отражающихся от его границ.
В случае, представленном на рис. 1.31а, одновременно имеется два таких солитона — прямой и встречный. Такое поведение очень напоминает результаты недавнего гидродинамического эксперимента с возбуждением солитонов гравитационных поверхностных волн на мелкой воде [52,53] (хотя в нашем случае имеется некоторая специфика, так как речь идет о солитонах огибающей). В хаотическом режиме картина оказывается нерегулярной и во времени, и в пространстве. На диаграмме для прямой волны в некоторые моменты времени видны следы интенсивного взаимодействия со встречным солитоном. Масштаб времени на рис. 1.31б,в увеличен примерно в три раза по сравнению с С дальнейшим ростом амплитуды входного сигнала происходит перескок на другую ветвь дисперсионной характеристики, для которой характерен иной вид временной реализации (рис. 1.32в). Отметим, что пронаблюдать переход к хаосу в этом случае не удается, поскольку дисперсионная характеристика с ростом амплитуды входного сигнала оказывается в полосе непропускания. В настоящей главе изучены режимы сложной динамики в пассивных средах с модуляционной неустойчивостью. Показано, что можно выделить две характерные ситуации, когда гармонический сигнал, распространяющийся в подобной среде, может усложняться (т.е. обогащаться новыми, независимыми частотными компонентами) и становиться хаотическим. Во-первых, это возможно, когда МН является абсолютной (п. 1.1). Для среды, которую можно описать с помощью нелинейного уравнения Шре-дингера, был впервые получен аналитический критерий характера неустойчивости и обнаружено, что по мере увеличения амплитуды внешнего сигнала наблюдается нелинейный эффект смены характера МН с конвективной на абсолютную. Показано, что физически этот переход обусловлен расширением диапазона неустойчивых волновых чисел в область встречных волн, групповые скорости которых направлены навстречу несущему сигналу. Таким образом, возникает внутренняя распределенная обратная связь, и неустойчивость становится абсолютной. Поскольку эти эффекты связаны с появлением волн, распространяющихся во встречном направлении, они должны наблюдаться, в основном, в окрестности критической частоты. Теоретические результаты были подтверждены численным моделированием. Для среды конечной протяженности, возбуждаемой гармоническим внешним сигналом, было обнаружено, что при малых интенсивностях входного сигнала, когда неустойчивость является конвективной, все неустойчивые возмущения сносятся через границу рассматриваемой области, и по окончании переходного процесса устанавливается стационарный режим распространения.
Цепочка с кубичной нелинейностью
В случае цепочки с кубичной нелинейностью безразмерные переменные введем следующим образом В результате уравнения (2.2) примут вид Вновь в случае знака «-» во втором уравнении, как и в предыдущем разделе, модифицируем (2.38) следующим образом: Опишем вначале поведение системы, когда в уравнениях (2,38) выбран знак «-», т.е. емкость уменьшается с ростом приложенного напряжения. Рассмотрим линию, согласованную в области низких частот ( R = 1.0 ) при частоте входного сигнала u; = 0.3068. По мере распространения сигнала вдоль цепочки наблюдается укручение фронта возмущения и его трансформация в последовательность солитоноподобных уединенных волн. В отличие от цепочки с квадратичной нелинейностью уединенные волны имеют различную полярность (рис. 2.12). При малых интенсивностях по окончании переходного процесса устанавливаются периодические колебания, в спектре которых видна частота внешнего воздействия и ее нечетные гармоники. При Д, « 0.55 происходит мягкое возбуждение сателлитов, расположенных вблизи основных составляющих. По мере дальнейшего увеличения интенсивности входного сигнала наблюдается сложная последовательность чередующихся периодических, квазипериодических и хаотических режимов (рис. 2.13). Переходы к хаосу как правило происходят жестко (см. рис. 2.13е,ж). Аттрактор в хаотическом режиме напоминает зашумленныи предельный цикл, а в спектре хорошо видны пики на частоте входного сигнала и ее гармониках на фоне невысокого шумового пьедестала, который постепенно увеличивается с ростом амплитуды. Несколько по иному происходит переход к хаосу при более высоких частотах. В качестве примера рассмотрим случай и = 1.2272. В этом случае на начальной стадии переходного процесса возбуждается мода, близкая к частоте отсечки, которая очень медленно затухает. Например, при Д, = 0.25 время, в течение которого интенсивность этой компоненты становится на 40 dB меньше основной, может составлять порядка 10000 (в безразмерных единицах). Очевидно, это объясняется тем, что ее добротность очень велика, так как коэффициент отражения на этой частоте близок к единице. Также возбуждается комбинационная спектральная составляющая, расположенная симметрично относительно основной частоты. При Д, 0.26 затухание паразитной моды прекращается.
Однако вместо периодической автомодуляции жестко возникает хаотический режим с достаточно однородным невысоким шумовым пьедесталом, занимающим практически всю полосу пропускания цепочки. На его фоне хорошо выделяются составляющие на частоте сигнала, частоте отсечки и разностной частоте 2-а; (рис. 2.14). Такое поведение связано с тем, что за счет перекрестного нелинейного взаимодействия происходит возбуждение большого числа собственных мод, которые сложным образом взаимодействуют между собой. Также следует отметить, что жесткий переход сопровождается гистерезисом. Так, при плавном увеличении амплитуды с наследованием начальных условий переход к хаосу происходит при А = 0.26, а обратный переход при уменьшении амплитуды — при А = 0.18. Характерные примеры реализаций, спектров и фазовых портретов в периодическом и хаотическом режимах приведены нарис. 2.14. Интересно отметить, что в режиме хаотических колебаний в цепочке существуют устойчивые локализованные долгоживущие структуры, когда в определенной области пространства (порядка 5-6 ячеек) амплитуда колебаний значительно превосходит амплитуду во всех остальных ячейках. Подобные состояния естественно отождествить с бризерами [8-10]. В качестве иллюстрации на рис. 2.15 построена пространственно-временная диаграмма. Как и ранее, темный цвет отвечает большим величинам напряжения. Видно, что при данных значениях параметров образуются два бризера. Эти структуры медленно дрейфуют вдоль системы, скорость их перемещения мала. Например, отрезок времени, за который строилась пространственно-временная диаграмма на рис. 2.15, равен 2000 единицам, тогда как период внешнего воздействия в этом случае составляет только 5 единиц. Действительно, скорость, с которой движутся бризеры, должна быть близка к групповой скорости, которая на частоте отсечки обращается в нуль. Отметим, что бризеры наблюдаются только в тех системах, где имеет место МН, и их можно трактовать как предел НУШ-солитонов при малом числе периодов заполнения [60]. Рис. 2.15. Пространственно-временная диаграмма в случае хаотического режима, иллюстрирующая появление бризероподобных состояний. Параметры соответствуют рис. Теперь рассмотрим случай рассогласованной линии (Л = 0.1), когда коэффициент отражения существенно отличен от нуля во всем частотном диапазоне (рис. 2.26). В области низких частот переход к хаосу происходит жестко при Д, RJ 0.11 (рис. 2.16). Отметим, что порог оказывается значительно ниже, чем при R — 1, следовательно, основную роль в данном случае должны играть отражения. Наиболее наглядной, иллюстрацией служат пространственно-временные диаграммы (рис. 2.17). Видно, что в периодическом режиме фактически происходит возбуждение стоячей волны, причем вдоль цепочки (при 32 элементах) укладывается три полуволны, В хаотическом режиме картина более сложная. Происходит образование уединенных волн различной полярности, распространяющихся вдоль системы в прямом и встречном направлениях. Им соответствуют яркие темные и светлые линии на рис. 2.176. Доходя до границ системы, уединенные волны отражаются, при этом проис- ходит смена их полярностей. Также видны области взаимодействия попутных и встречных волн при столкновениях; при этом они испытывают небольшой фазовый сдвиг, типичный для взаимодействия солитонов [2,7-10]. Одновременно на длине цепочки в данном случае образуется шесть солитонов: три прямых и три встречных.
Хотя картина на рис. 2.176 на первый взгляд кажется регулярной, в действительности многократные взаимодействия уединенных волн друг с другом и с осциллирующими хвостами приводят к хаотической динамике. Это еще один пример «солитонной турбулентности» [55], которая уже обсуждалась выше. Отметим, что спектр хаотического режима на рис. 2.166 содержит большое число отчетливо выраженных дискретных составляющих и имеет невысокий шумовой пьедестал. Основным отличием в данном случае является то, что не происходит образования солитонов. Выходной сигнал напоминает, скорее, последовательность почти прямоугольных импульсов. Это можно объяснить следующим образом. В длинноволновой области можно перейти в (2.38) к непрерывному пределу, сохранив члены, отвечающие за дисперсию, и получить уравнение (см., например, [10, гл. 8]) Рассмотрим решения этого уравнения в виде стационарных волн, которые зависят от. координаты и времени следующим образом: V(x,t) = V(x — Ut) t где U — const — скорость волны. Тогда уравнение (2.40) после двукратного интегрирования примет вид уравнения нелинейного осциллятора. Очевидно, что в случае, когда в (2.41) выбирается знак «+», при выполнении условия U2 1 потенциальная функция осциллятора имеет вид так называемого «потенциала с двумя ямами», когда имеется седловое положение равновесия в начале координат, и два устойчивых положения равновесия в точках ±ЛЗ (l — U 2). Соответственно,, на фазовой плоскости осциллятора имеются сепаратрисные петли, которым отвечают соли-тоны различной полярности [10]. Если же в уравнении (2.41) выбран знак «-», то при U2 1 осциллятор вообще не имеет устойчивых положений равновесия, и фазовые траектории уходят в бесконечность. Имеет смысл рассматривать лишь случай U2 1. При этом в начале координат имеется положение равновесия типа центр, а в точках ±J3(U г — і) — седла. Но и в этом случае солитоноподобные решения отсутствуют. Впрочем, на фазовой плоскости существуют сепаратрисы, идущие из седла в седло, которым отвечают уединенные волны типа кинков. Однако, как известно, уединенные волны, скорости которых могут совпадать с фазовыми скоростями линейных волн (так называемые embedded solitons), неустойчивы [10, гл. 8]. Эта неустойчивость интерпретируется как своего рода черенковский резонанс между уединенной волной и осциллирующим хвостом, приводящий к ее разрушению [61]. В случае, когда цепочка сильно рассогласована ( R = 0.1), динамика является несколько более простой: наблюдается единственный жесткий переход к хаосу при Д, — 0.84, после чего аттрактор качественно перестает меняться.
Сложная динамика в периодической нелинейной диэлектрической структуре
Сложная динамика электромагнитных полей в нелинейной периодической брэг-говской структуре уже рассматривалась в п. 1,1.5 на основе уравнений для медленно меняющихся амплитуд связанных волн. Были обнаружены различные нетривиальные динамические режимы, включая хаотические, в случае, когда частота лежит вблизи полосы непропускания. В настоящем разделе представлены результаты численного моделирования подобной системы при помощи метода FDTD. Очевидно, что такой подход является более строгим, поскольку не совершается переход к медленно меняющимся амплитудам. Кроме того, задача считается двумерной. Будем, как и в п. 1.1.5, рассматривать систему, составленную из нелинейных диэлектриков с кубичной нелинейностью. Используем значения параметров, приведенные в работе [17], которые характерны для реальных структур. При этом будем ограничиваться такими значениями мощности падающего излучения, чтобы нелинейная добавка к показателю преломления не превышала 1% от линейной части. Выберем размеры структуры (которую считаем двумерной) 15.1 /лд х 6.275 /лп , шаги по координате Да: = Ау = 0.025 им (соответственно 605x251 шагов дискретизации). Толщина одного слоя выбиралась равной 0.5 um (20 шагов дискретизации), число слоев равнялось 24. Следуя [17], частоту входного сигнала, соответствующую брэгговскому резонансу, выберем равной 2-Ю14 Гц. При этом длина волны 1.5 цт, а период структуры — 0.5 щи. Представим показатели преломления в виде (1.40) и выберем пшог = 1.5 ±0.03, п 2 = 2.5-Ю-12 см2/Вт. Пусть 10 — мощность падающего излучения, при которой нелинейная добавка к показателю преломления составляет 1%. Нетрудно подсчитать, что 1а — 0.6 Ю10 Вт/см . Пусть Е0 — напряженность поля на оси на входе в структуру, которая соответствует интенсивности 10. Отнормируем напряженность поля на величину Е0, а остальные переменные — в соответствии с формулами (3.5). Тогда по-прежнему можно пользоваться разностными уравнениями (3.8), но для нелинейных диэлектрических проницаемостей теперь будем иметь выражения где є\2 = nll02 — линейные части диэлектрической проницаемости. Как и в п. 3.2., введем поглощающие слои, окружающие периодическую систему со всех сторон.
Толщина поглощающих слоев составляет 40 шагов пространственной дискретизации. На левой границе периодическая структура переходит в однородную. Схема моделируемой области приведена на рис. 3.6. Обсудим вначале дисперсию линейной периодической системы, которую будем полагать одномерной и безграничной. Распространение волны в такой среде, как известно (см., например, [68-70]), подчиняется уравнению Здесь с — скорость света в свободном пространстве, / (ж) — периодическая ступенчатая функция: d - - период структуры, а параметр (л характеризует масштаб неоднородности. Величины /12 связаны с введенными выше линейными показателями преломления пош следующим образом: пШУ2 = 1 + ц 2. Для простоты мы ограничиваемся случаем, когда толщины слоев одинаковы: В предположении, что зависимость поля от времени гармоническая получаем из (3.14) уравнение Хилла. Его решение представляет собой суперпозицию прямой и обратной волн, записанных для каждого из слоев. Из него можно найти дисперсионное соотношение [68] — волновые числа в однородной среде с показателями преломления гам или ), соответственно. Дисперсионная характеристика периодической структуры (3.15) имеет вид чередующихся полос пропускания и непропускания и является периодической по волновому числу к. Областям непропускания, когда амплитуда сигнала экспоненциально затухает по мере распространения возмущения вглубь среды, отвечает случай Icos (Ы) 1. В случае, когда / = , т.е. структура составлена из одинаковых диэлектриков, дисперсия пропадает. На рис. 3.7 представлена дисперсионная характеристика, рассчитанная численно при значениях параметров, приведенных в п. 3.3.1, причем изображен лишь небольшой участок зависимости и) (к) в окрестности брэгговского резонанса. Видно, что сильная дисперсия имеется только в окрестности критической частоты. По мере удаления от критической частоты дисперсия пропадает, и среда ведет себя как диэлектрик с показателем преломления, равным (тг(11 + п05)/2 — 1.5. Соотношение (3.16) отличается от дисперсионных соотношений для уравнения Клейна-Гордона (1.26) и для периодической структуры (1.45) только вторым слагаемым в правой части, которое отвечает за сдвиг дисперсионной характеристики вдоль оси Q вверх или вниз, в зависимости от знака. Оно может быть легко устранено заменой переменных. Полагая в (3.16) к = 0, найдем частоты отсечки 2и Видно, что величина к0 определяет пшрину полосы непропускания. В случае, когда диэлектрики имеют одинаковые значения линейных показателей преломления, из формул (3.17) следует, что Kg = 0, а = 0, и критические частоты обращаются в нуль. Основываясь на результатах п. 1.1.5, можно предположить, что увеличение амплитуды внешнего воздействия приводит к сдвигу критических частот. Если выбрать частоту лежащей в полосе непропускания линейной системы, то с ростом амплитуды частота сравняется с критической. Произойдет переход от режима непропускания к режиму нестационарного распространения сигнала (автомодуляции), т.е. к режиму абсолютной МН (гл. 1). Затем следует ожидать, что уменьшение дисперсии при удалении от критической частоты приведет к обратному переходу к конвективной МН, и восстановится режим стационарного распространения. Воспользуемся результатами п. 1.1.5 и оценим порог возникновения автомодуляции, считая, что частота внешнего сигнала лежит в полосе непропускания линейной системы и совпадает с частотой брэгтовского резонанса. Для приведенных выше значений параметров найдем, что где использованы обозначения, введенные в п. 1.1.5 (формулы (1.43)).
Поскольку в п. 1.1.5 использовалась другая нормировка переменных, величина п определяется как (п + га )/,,/2. Из нелинейного дисперсионного соотношения (1.47) найдем значение интенсивности, при котором происходит переходу от режима непропускания к режиму абсолютной МН то есть, согласно определению величины I0, нелинейная добавка к показателю преломления составляет порядка 0.4%. Таким образом, в данном случае можно ожидать, что режимы сложной динамики возникнут при гораздо меньшей интенсивности, чем в случае однородной системы, описанной в п. 3.2. Для численного моделирования периодической нелинейной структуры метод FDTD не требует какой-либо специальной доработки по сравнению с п. 3.2, где исследовался нелинейный диэлектрический резонатор. Исследуемая система окружалась поглощающими слоями, на правую границу подавался гармонический входной сигнал с плавно нарастающей амплитудой и гауссовым распределением интенсивности по оси Оу (формулы (3.12)). Для идентификации колебательных режимов в основном анализировались временные реализации напряженности электрического поля в разных точках на оси симметрии системы. Как и в предыдущем случае, внутри всей структуры установившийся режим колебаний качественно один и тот же. По мере удаления от правой границы интенсивность колебаний падает вследствие излучения через боковые границы. Для определенности все последующие результаты представлены в точке с координатами х — L, у — у0 на левой границе периодической структуры. Для уверенной идентификации режима колебаний требуется временная реализация длительностью порядка 10"п 10 13с, что составляет 104 -j-105 шагов по времени. Время расчета на компьютере Celeron 1200 MHz для системы размером 605 х 251 точек дискретизации составляет 3-4 часа. На рис. 3.8 приведены результаты численного моделирования в случае, когда частота входного сигнала и = шс = 4тг 1014 с" Представлены временные реализации, фазовые портреты и спектры компоненты электрического поля.Ez (в единицах Е0). При малых значениях амплитуды воздействия Д, (см. выражения (3.12)) колебания регулярные, в спектре сигнала присутствует только частота внешнего воздействия; (рис. 3.8а). Наблюдается затухание амплитуды колебаний вдоль направления распространения, на рис. 3.8а она уменьшилась примерно в пять раз. Рост амплитуды входного сигнала приводит к усложнению спектра и фазового портрета системы, однако колебания остаются периодическими (рис. 3.86). В спектре выходного сигнала появляются все новые гармоники, их интенсивность растет. Затухание уменьшается (ср. рис.3.8а,б), что говорит о том, что частота отсечки приближается к частоте сигнала.
