Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Системы с глобальной связью на основе элементов, демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода, как модель сложной динамики нелинейных систем (обзор) 12
Глава 2. Динамика системы двух связанных отображений с симметричной и несимметричной связью 27
2.1. Введение 27
2.2. Метод ренормгруппового анализа. Два типа связи 27
2.3. Динамика двукластерных состояний. Два типа связи 32
2.4. Универсальность и скейлинг в системе двух несимметрично связанных отображений 44
2.5. Выводы 49
Глава 3. Система отображений с двумя типами глобальной связи . 51
3.1. Введение 51
3.2. Феномен кластеризации в системе отображений с двумя типами глобальной связи 53
3.3. Фазы Канеко и динамика глобально связанных отображений 60
3.4. Универсальность и скейлинг в системе глобально связанных отображений с двумя типами связи 69
3.5. Выводы 71
Глава 4. Волна кластеризации в цепочке систем, каждая из которых содержит набор элементов с внутренней глобальной связью . 75
4.1. Введение 75
4.2. Модель в виде цепочки связанных ячеек с внутренней глобальной связью 77
4.3. Численные эксперименты и волна кластеризации 78
4.4. Выводы 84
Глава 5. Модели с глобальной связью при наличии водителя ритма или пейсмекера 86
5.1. Введение 86
5.2. Набор элементов, управляемых общим водителем ритма: два типа связи, свойства универсальн ости и скейлинга
5.3. Динамика двукластерных отображений. Система двух отображений под действием водителя ритма с двумя типами симметричной и несимметричной связи 98
5.4. Динамика глобально связанных отображений под воздействием выделенного элемента 113
5.5. Универсальность и скейлинг систем отображений с глобальной связью под воздействием водителя ритма 126
5.6. Выводы 133
Заключение 137
Список литературы 142
Список публикаций по теме диссертации 157
- Универсальность и скейлинг в системе двух несимметрично связанных отображений
- Универсальность и скейлинг в системе глобально связанных отображений с двумя типами связи
- Модель в виде цепочки связанных ячеек с внутренней глобальной связью
- Динамика двукластерных отображений. Система двух отображений под действием водителя ритма с двумя типами симметричной и несимметричной связи
Введение к работе
Актуальность задачи
Нелинейные распределенные системы, способные демонстрировать
сложную динамику, в том числе турбулентность, или пространственно-временной хаос, встречаются в разных областях естествознания и техники, в том числе в радиофизике и электронике, гидродинамике, химической кинетике, а также в биологических и социальных дисциплинах [1-18].
Один из эффективных подходов к исследованию сложной динамики распределенных систем, традиционный для классической теории колебаний и волн и для более современных направлений (синергетика), состоит в конструировании моделей на основе связанных элементов. При этом каждый индивидуальный элемент сам по себе представляет собой нелинейную систему, описываемую отображением или дифференциальным уравнением, в которой реализуется тот или иной, обычно уже изученный, характерный тип динамического поведения [2-4, 20-22]. В частности, были предложены и исследованы модели в виде решеток на основе элементов, описываемых логистическим отображением и демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода [4,23-25].
Оказалось, что модели такого рода позволяют исследовать и объяснить, по крайней мере, на качественном уровне, многие феномены, характерные для сложной динамики распределенных систем - образование структур типа доменов, возникновение ряда типов перемежаемости, переходы к турбулентности, связанные с движением доменных стенок и разрушением доменов и т.д [2-5]. Поскольку динамика индивидуальных элементов в области перехода к хаосу характеризуется универсальностью Фейгенбаума [26-27], в динамике связанных систем также проявляются определенные свойства универсальности и скейлинга (масштабного подобия) [25-34].
Интересное направление в рамках указанного подхода состоит в изучении сетей с глобальной связью, когда рассматривается набор большого числа элементов, в котором каждый элемент связан с каждым дру-
гим. Пионерская работа, в которой была введена в рассмотрение модель с глобальной связью на основе элементов, описываемых логистическим отображением, принадлежит японскому исследователю Канеко [35-38]. Ситуацию, когда каждый элемент одинаковым образом связан с каждым другим, можно трактовать как наличие общего среднего поля, действующего в каждый момент одинаковым образом на все элементы системы. Такого рода системы обнаруживают замечательный феномен кластеризации, когда элементы системы в процессе динамики самопроизвольно распределяются по группам (кластерам), так что в пределах каждой группы мгновенные состояния совпадают точно.
Считается, что такого рода модели имеют отношение к исследованию принципов обработки информации в естественных нейросистемах (мозг человека и животных) [6,39] и к проблеме воспроизведения этих принципов в технических системах [40-41].
Одно из преимуществ систем с глобальной связью - простота их реализации [42-60]. Например, в системах на основе радиотехнических осцилляторов глобальная связь без труда осуществляется, скажем, через общую цепь питания или путем помещения всех осцилляторов в общую электродинамическую систему (резонатор).
Представляется, что наиболее сложная и разнообразная динамика моделей с глобальной связью будет иметь место при задании параметров индивидуальных элементов в том интервале, где реализуется переход к хаосу. По-видимому, именно эта область должна рассматриваться как представляющая наибольший интерес с точки зрения приложений для обработки информации. С теоретической точки зрения, поведение систем с глобальной связью в области перехода к хаосу представляет фундаментальный интерес по той причине, что ему должны быть присущи закономерности универсальности и скейлинга, обусловленные наличием таковых у индивидуальных элементов, из которых строится система. В частности, выявление и исследование этих закономерностей позволяет на
уровне количественного описания говорить о соответствии феноменов в моделях, построенных на основе логистических отображений, и в более реалистичных ситуациях, когда элементами служат физические системы, такие как возбуждаемые нелинейные осцилляторы или автоколебательные системы, указывает на возможность радиофизической реализации нейро-подобных сетей. В качестве индивидуального элемента такой сети можно брать любую систему, демонстрирующую удвоения периода, например, нелинейный колебательный контур с внешним периодическим воздействием [61-63], радиотехнические генераторы (например, генератор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова [64]) и другие.
Цель работы состоит в анализе сложной динамики, исследовании свойств универсальности и скейлинга систем глобально связанных отображений с различными типами связи, а также более сложных комплексов, в качестве элементов которых используются системы глобально связанных отображений.
Научная новизна работы
Проведен сравнительный анализ динамики систем отображений с глобальной диссипативной и глобальной инерционной связью. Исследован феномен кластеризации и устойчивость получившихся кластеров для систем с глобальной инерционной связью.
Исследованы свойства универсальности и скейлинга как для систем отображений с глобальной связью, так и для частного случая, когда в системе реализуется два кластера, и ее можно описать как систему двух несимметрично связанных отображений.
Рассмотрена модель в виде цепочки подсистем, каждая из которых представляет собой набор элементов с внутренней глобальной связью. Исследованы различные виды связи между ячейками. Обнаружен и исследован феномен распространения волны кластеризации.
Методом ренормгруппового анализа обнаружены два существен
но различных типа связи в системах двух связанных отображе
ний под действием водителя ритма. Исследована динамика сис
темы двух отображений под действием пейсмекера с двумя ти
пами связи вблизи бикритической точки Подробно исследована
динамика системы глобально связанных отображений под дейст
вием выделенного элемента - водителя ритма, или пейсмекера и
проиллюстрированы свойства скейлинга, характерные для этого
класса универсальности.
Достоверность научных выводов работы подтверждается согласованностью с результатами, известными из литературы для некоторых частных случаев (например, для глобальной диссипативной связи, для двукластерных состояний; в случае симметричной кластеризации совпадение как с численными, так и с экспериментальными результатами [63]); воспроизводимостью всех численных результатов, а также хорошим соответствием данных качественного анализа и численных расчетов.
Основные положения, выносимые на защиту
При построении моделей систем с глобальной связью на основе элементов, демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода, необходимо учитывать два фундаментальных типа связи, инерционный и диссипативный. Для динамики систем с глобальной связью в области перехода от порядка к хаосу характерно наличие закономерностей универсальности и скейлинга.
Феномены кластеризации и возникновения различных фаз (когерентная, упорядоченная, турбулентная), установленные Канеко для систем с глобальной диссипативной связью, имеют место также в системах с инерционной и комбинированной связью. Если для систем с диссипативной связью спонтанное формирование структур, отличных от однокластерного состояния, имеет место в области хаотического поведения индивидуальных элементов, то
при инерционной связи эти феномены возможны в области регулярного периодического поведения.
В цепочках ячеек, каждая из которых представляет собой набор элементов с глобальной связью, возможен феномен распространения волны кластеризации, состоящий в том, что образ, записанный первоначально в одной ячейке, в ходе временной эволюции системы формируется и в связанных с ней ячейках.
В присутствии выделенного элемента — водителя ритма в связанных системах в общем случае также присутствуют два типа связи, различающиеся своими свойствами по отношению к ренорм-преобразованию вблизи бикритической точки. Вблизи этой точки, отвечающей порогу хаоса одновременно в ведущей и ведомых системах, динамика характеризуется специфическими свойствами универсальности и скейлинга.
Научно-практическая значимость работы и рекомендации по использованию
Рассмотренные системы глобально связанных отображений, ввиду их принадлежности к определенному классу универсальности могут быть использованы для изучения динамики реальных систем различной природы.
Обнаруженные в работе феномены, такие как кластеризация в докритической области, распространение волны кластеризации, увеличение области однокластерного состояния в системах с глобальной связью под действием водителя ритма, представляют интерес в области обработки и передачи информации.
Полученные результаты используются в учебном процессе в СГУ.
Апробация работы и публикации
Результаты работы были представлены на 5-ой Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур (Хаос-98)",
(Саратов, Россия, 1998); Школе-конференции "Нелинейные дни в Сарато-
^ ве для молодых-98" (Саратов, Россия, 1998); Школе-конференции "Нели-
нейные дни в Саратове для молодых-99" (Саратов, Россия, 1999); Международной конференции "Progress in nonlinear science", (Нижний Новгород, Россия, 2001); 9-ой Международной школе-семинаре "Nonlinear dynamics and complex systems", (Минск, Беларусь, 2001); 6-ой Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур", (Саратов, Россия, 2001); Всероссийской научной школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратове, Россия, 2001, 2002); Междуна-родной конференции NATO ASI STA'2002 (Крым, Украина, 2002); Международной конференции по синхронизации хаотических и стохастических колебаний (Приложения в физике, химии, биологии и медицине) "Synchro-2002" (Саратове, Россия, 2002).
По теме диссертации имеется 13 публикаций (3 статьи в российских и зарубежных журналах, 1 статья в Интернете, 9 работ в сборниках и тезисах докладов).
В работу включены результаты, полученные в рамках проектов, вы
полнявшихся при поддержке РФФИ (№ 00-02-17509 и № 03-02-16074),
ФЦП "Интеграция" (А0057), Американского фонда гражданских исследо
ваний и развития CRDF и Минобразования РФ (REC-006), Мини - гранта
№ 5 в рамках научно-образовательного центра нелинейной динамики и
биофизики при Саратовском госуниверситете.
" Результаты работы использованы в НИР, выполняемой по хоздоговору с
ИПФ РАН в рамках госконтракта № 40.020.1.1.1168 Минпромнауки РФ.
Личный вклад. Модели для исследования сформулированы автором совместно с научным руководителем. Разработка методики решения задач, методов графического представления, составление компьютерных программ выполнены лично автором. Объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем
*
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Диссертация содержит 160 страниц текста, 46 рисунков, список литературы из 196 наименований на 18 страницах.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, положения, выносимые на защиту, научная новизна и научно-практическая значимость результатов.
В первой главе проведен обзор литературы, посвященной глобально связанным отображениям, показаны области применения таких систем, обсуждаются основные феномены, характерные для глобально связанных отображений, например, кластеризация, то есть, формирование групп элементов системы, мгновенные состояние которых совпадают в любой момент времени. Обсуждается возможность описания двукластерных состояний системы глобально связанных отображений с помощью двух несимметрично связанных отображений.
Во второй главе рассмотрены системы двух связанных отображений. На основе ренормгруппового анализа [25-34] было показано, для системы двух симметрично связанных отображений имеется два существенно различных вида связи, диссипативная и инерциальная. Для системы двух несимметрично связанных отображений с двумя типами связи проведено исследование динамики, построены карты динамических режимов и старшего ляпуновского показателя, исследованы свойства скейлинга, приведены иллюстрации.
В третьей главе рассмотрены системы глобально связанных отображений с двумя типами связи. Проведено исследование и сравнительный анализ их динамики, построены фазовые диаграммы, проведено исследование кластеров на устойчивость, построены карты динамических режимов и ляпуновских показателей. Рассмотрены свойства универсальности. Приведены иллюстрации скейлинга на фазовых диаграммах для обоих типов связи.
В четвертой главе рассмотрена модель нейросети в виде цепочки подсистем, каждая из которых содержит набор элементов с внутренней глобальной связью. Исследованы случаи однонаправленной и взаимной связи между подсистемами. Обнаружен феномен волны кластеризации, с динамической точки зрения представляющий передачу информации вдоль по цепочке. В случае однонаправленной связи распространение волны кластеризации сопровождается формированием образа, который не искажен, в случае взаимной - происходят искажения, но образ все же проявляется в различных ячейках.
В пятой главе исследована система глобально связанных отображений под воздействием выделенного элемента - водителя ритма. Вначале кратко представлена необходимая для дальнейшего информация о динамике двух логистических отображений с однонаправленной связью, рассмотрена бикритическая динамика [65-71], характерная для данной системы, а затем развит ренормгупповой подход для анализа двух связанных систем, находящихся под общим воздействием со стороны водителя ритма. В результате обнаружено два типа взаимной связи систем, находящихся под воздействием со стороны водителя ритма, определены константы скейлинга. Проведено подробное исследование динамики двукла-стерных состояний системы с двумя типами связи, как симметричных, так и несимметричных. Построены карты динамических режимов в различных сечениях пространства параметров, приведены иллюстрации скейлинга. Проведено исследование динамики системы глобально связанных отображений под действием водителя ритма с двумя типами связи, построены фазовые диаграммы, диаграммы устойчивости кластеров, карты ляпу невских показателей. Показано, что выполняются свойства универсальности и скейлинга, приведены иллюстрации скейлинга на фазовых диаграммах.
В заключении сделаны основные выводы из данной работы.
Универсальность и скейлинг в системе двух несимметрично связанных отображений
Таким образом, видно, что многие реальные системы представляют собой систему связанных элементов. Одна простая, но обладающая многими нетривиальными особенностями динамики модель - это система с глобальной связью, которая представляет собой набор эволюционирующих в дискретном времени элементов (логистических отображений), каждый из которых связан с каждым другим одинаковым образом [35]. Исследования Канеко и других авторов продемонстрировали богатую феноменологию модели [74-99]. Эта система оказалась достаточно простой для исследования и экспериментального подтверждения ее динамики.
Имеется набор элементов, каждый из которых описывается уравнением f(x) — 1 - Яхг, соответствующий логистическому отображению, Я параметр нелинейности. Канеко рассматривает совокупность таких элементов и вводит глобальную связь в виде [35]: где и обозначает дискретное время, индекс І перечисляет элементы системы, 7/ — общее количество элементов, є - параметр связи.
Большой интерес представляет формирование паттернов в системе с глобальной связью [6-9, 100-108]. Рассмотрим модель, описывающуюся уравнением (1.1). Значения динамических переменных обозначаются белым цветом, если х х , черным — х х , где х — это обычно либо нуль, либо критическая точка одномерного отображения, на основе которого построена система с глобальной связью. Существует два направления исследования паттернов. В одном случае исследуется динамика системы на пространственно-временных диаграммах, где по одной оси отложен номер элемента, по другой — время [6-9, 105-106]. При определенных значениях управляющих параметров системы на диаграммах возникают некоторые структуры. В другом случае количество элементов в системе равно N = г г. Они представлены геометрически в виде двумерной квадратной решетки со стороной г. Можно задавать начальные условия случайным образом и следить за формированием паттернов, а можно задать специальным образом некий паттерн и следить за его динамикой, и если его структура с течением времени практически не меняется, то это можно использовать при передачах информации.
Достаточно интересным примером систем с глобальной связью является изучение поведения людей в ходе предвыборной компании и во время голосования [14]. Пусть имеется два кандидата С+ и С , В начале предвыборной компании каждый индивидуум имеет свое собственное мнение по поводу кандидатов. Но современные коммуникационные системы формируют общественное мнение, за счет результатов опросов, публикаций в СМИ и т.д., которое влияет на мнение каждого человека. Модель, описывающую данную динамику можно представить в виде где x;(t) означает эволюцию во времени мнения і-ого индивидуума, xf є [-1, l], кj - мера воздействия общественного мнения на і -ый индивидуум (параметр глобальной связи в терминах систем с глобальной связью), 1 х =—2 x{(t) — общественное мнение. Занетти [14] показал, что существуем ет некое критическое значение кс, выше которого возможно только когерентное поведение, то есть все индивидуумы проголосуют за одного кандидата.
Система глобально связанных отображений, введенная Канеко [35], демонстрирует некоторые интересные феномены, например, эффект среднего поля, кластеризации, периодического и хаотического поведения. Рассмотрим некоторые из них более подробно. Среднее поле. Последний член в виде суммы в уравнении (1.1) не зависит от индекса /, другими словами, он один и тот же для всех элементов. Следовательно, он может рассматриваться как среднее поле (mean-field), отвечающее глобальной связи:
В зависимости от режима динамики системы, эволюция среднего поля во времени может оказаться периодической, хаотической или квазипериодической, при этом поле F соответствующим образом меняется во времени и воздействует на динамику индивидуальных элементов. На рис. 1.3 приведены примеры эволюции среднего поля во времени, демонстрирующие периодическую (рис. 1.3а) для А-= 1, є = 0.5 и хаотическую динамику (рис.1.36) для X -1.45, є = 0.3.
Хаос. Система глобально связанных отображений сконструирована так, что элементы, ее составляющие, демонстрируют при определенных значениях управляющего параметра хаотическое поведение. Введение глобальной связи приводит к увеличению области периодической динамики. Прежде чем рассматривать хаотическую или периодическую динамику, рассмотрим один из важнейших феноменов, характерных для систем с глобальной связью.
Кластеризация, Под кластером понимается группа элементов, мгновенные состояния которых совпадает в любой момент времени. Почти все исследователи, занимающиеся изучением глобально связанных систем, оперируют этим термином. В системе с глобальной связью Канеко [35] выделяет четыре типа аттракторов или режимов динамики системы в зависимости от количества и размера кластеров.
Универсальность и скейлинг в системе глобально связанных отображений с двумя типами связи
Эта система также является глобально связанной, но с различными относительными числами заполнения, ассоциирующимися с распределением элементов по кластерам [167].
Например, в случае двухкластерного состояния, систему глобально связанных отображений можно представить в виде системы двух связанных отображений: где X w Y — это значения динамических переменных кластеров, є - параметр связи, р - число заполнения одного из кластеров, представляющие собой отношение количества элементов в одном из кластеров к общему числу элементов в системе.
Таким образом, проведенный в данной главе обзор, показал, что системы с глобальной связью могут быть применимы для описания динамики большого числа реальных систем в различных областях науки и техники. Такие системы вызывают большой интерес у исследователей, но, в основном, внимание ученых сосредоточено на изучении либо турбулентной фазы, либо кластеризованных состояний, в то время как область перехода от порядка к хаосу (или от кластеризованных состояний к некласте-ризованным) исследована слабо. Поэтому, в дальнейших главах основное внимание будет привлечено к исследованию динамики системы с глобальной связью в области перехода к хаосу.
При исследовании систем глобально связанных отображений достаточно характерна ситуация, когда в системе возникает аттрактор с малым числом кластеров. Случай полной синхронизации, когда возникает одно-кластерное состояние, может быть описан с помощью одного логистического отображения, и он достаточно подробно исследован [26-27, 175]. Обратимся к исследованию двукластерных состояний системы глобально связанных отображений. Динамика этого состояния может быть описана с помощью системы двух связанных отображений. В данной главе будет подробно исследована динамика системы двух связанных отображений с симметричной и несимметричной связью.
Пусть имеется нелинейная диссипативная динамическая система, демонстрирующая при переходе параметра X через некоторое критическое значение Хс мягкое возникновение хаоса. В силу непрерывности динамических уравнений по параметру к обнаружить различие между регулярным и хаотическим режимами, реализующимися в с -окрестности точки перехода, можно только при их наблюдении за достаточно большое время Г(Е) (заметим, что Г(є) - оо при є - 0). Итак, в данной ситуации динамика характеризуется наличием большого временного масштаба Т(г). Сужая рассматриваемую окрестность критической точки, можно добиться того, чтобы этот временной масштаб намного превышал все величины с размерностью времени, фигурирующие в уравнениях системы. Но тогда можно ожидать, что локальные во времени детали динамики системы не существенны с точки зрения закономерностей перехода к хаосу, которые должны носить универсальный характер. (Впрочем, могут существовать различные классы универсальности, так то одни и те же закономерности справедливы лишь в пределах каждого класса).
Важным свойством критического поведения является скейлинг. При наличии скейлинга в окрестности критической точки пространство параметров обладает структурой типа вложенных друг в друга матрешек. Сходственным точкам пространства параметров отвечают подобные режимы динамики. Это означает, во-первых, совпадение характера реализующегося режима (периодический, квазипериодический или хаотический), а во-вторых, возможность определения характеристик одного режима по характеристикам другого с помощью надлежащего пересчета. Этот пересчет сопровождается изменением масштаба времени, так что характерный период движений возрастает при приближении к критической точке, а в ней самой обращается в бесконечность.
Математический аппарат теории критических явлений, позволяющий обосновать универсальность и скейлинг — это так называемый метод ренормализационной группы (РГ). Он состоит в построении и исследовании специального преобразования динамических уравнений, соответствующего преобразованию подобия в пространстве параметров. Поскольку критическая точка при преобразовании подобия остается на месте, то уравнения, описывающие динамику системы в этой точке, должны быть инвариантны по отношению к преобразованию РГ [25-34]. Иными словами, оператор эволюции системы на больших временах представляет собой неподвижную точку уравнения РГ. В зависимости от структуры РГ-уравнения и от того, какая из неподвижных точек отвечает за рассматриваемый тип поведения, возникают различные классы универсальности, каждый и которых обладает своим набором количественных характеристик.
Как было показано в первой главе, одним из феноменов в системе глобально связанных отображений является кластеризация. Например, двукластерное состояние системы с глобальной связью описывается с помощью системы двух связанных отображений со взаимной связью.
Следуя [25, 28-29], выведем уравнения РГ для случая симметричной связи. Динамику двух одинаковых симметрично связанных систем в общем случае можно описать отображением где х и у - динамические переменные, /0 - гладкая функция своих аргументов, такая, что одномерное отображение имеет вид xn+i = f0(хп,хп). Идея ренормгруппового анализа состоит в следующем.
Модель в виде цепочки связанных ячеек с внутренней глобальной связью
Как было показано в главе 1, данная система демонстрирует феномен кластеризации, который заключается в том, что элементы системы распределяются по группам (кластерам), так, что мгновенные состояния элементов внутри кластера совпадают в любой момент времени. Феномен кластеризации приводит к редукции системы, и ее динамику можно описать с помощью системы из к уравнений, где к - количество сформировавшихся в системе кластеров. Следовательно, в случае, когда в системе (1.1), формируется два кластера, ее динамику можно описать с помощью уравнения следующего вида Видно, что с точки зрения метода РГ анализа, это система двух несимметрично связанных отображений с диссипативной связью [175]. По аналогии с симметричным случаем, мы можем ввести в рассмотрение системы двух несимметрично связанных отображений с двумя типами связи вида - это значения динамических переменных для двух кластеров, є - параметр связи, /(X) - нелинейная функция вида / -1 -XX„, X -параметр нелинейности, р - число заполнения кластера, представляющее собой отношение количества элементов в одном из кластеров к общему числу элементов в системе.
В случае, когда р = 0.5, то есть элементы распределены по кластерам поровну, она превращается в систему с симметричной связью (2.15). При исследовании динамики системы связанных отображений, демонстрирующих удвоения периода необходимо принимать во внимание возможную мультистабильность, когда в зависимости от начальных условий при одинаковых значениях управляющих параметров может сосуществовать несколько различных режимов. Возможность появления мульти-стабильности вытекает из следующих соображений [176-178]. Пусть сначала имеется два несвязанных элемента, и пусть параметр, определяющий динамику, задан таким образом, что в каждом из них реализуется устойчивый цикл периода два. В составной системе в зависимости от начальных условий оба элемента могут колебаться в фазе или в противофазе. Оба режима устойчивы и, следовательно, сохраняются при включении, по крайней мере, достаточно слабой произвольной связи между элементами. В случае колебательных режимов большего периода количество возможных сосуществующих аттракторов составной системы увеличивается. В работе [176] представлен обширный материал по классификации мульти-стабильных состояний в системе отображений с диссипативной связью. Учитывая присутствие мультистабильности, карты динамических режимов на плоскости параметров связанных систем естественно мыслить в виде многолистных поверхностей. На рис.2.2 представлена качественная диаграмма (из работы [176]), показывающая многолистную структуру пространства параметров системы с диссипативной связью. Структура пространства параметров системы с инерциальной связью имеет более сложный вид, но свойство мультистабильности сохраняется. Теперь перейдем к более подробному исследованию структуры пространства параметров (К, \, є2, р). На рис.2.3 представлены карты динамических режимов для случая симметричной связи р = 0.5, которая является чисто диссипативной (рис.2.За,б) или инерционной (рис.2.3в,г) при различных начальных условиях. Различными оттенками серого цвета и цифрами обозначены области периодических режимов (циклов) различных периодов. Белым цветом показаны области хаотической или квазипериодической динамики, светло-серым - области расходимости. В случае диссипативной связи при отрицательных значениях параметра связи наблюдается каскад бифуркаций удвоений периода, завершающийся переходом к хаосу, причем этот процесс одинаков для различных начальных условий. При увеличении связи наблюдаются области перекрытия различных листов. При разных начальных условиях структура перекрытия различна (рис.2.3а,б). В случае инерционной связи наблюдается структура, известная как "перекресток" ("crossroad area") [179]. В области периода 2 имеется сборка — точка бифуркации коразмерности 2, в которой сходятся две линии складок, соответствующих касательной (седло-узловой) бифуркации. В области между складками реализуется биста-бильность. В данном случае перекрытие листов наблюдается при отрицательном значении параметра связи. Помимо карт динамических режимов, можно проводить исследование с помощью показателей Ляпунова. Для каждой N мерной системы можно определить спектр ляпуновских показателей (их будет N, по размерности системы) Ляпуновский показатель траектории х для отображения определяется по формуле где черта означает верхний предел, а х - малое возмущение рассматриваемой траектории. Наличие в спектре показателя Л означает, что существует такое возмущение исходной траектории, которое эволюционирует во времени, грубо говоря, как ехр(Лґ). Следовательно, наличие в этом спектре хотя бы одного положительного показателя говорит о неустойчивости рассматриваемой фазовой траектории. Таким образом, одним из удобных критериев хаоса является наличие положительного старшего ляпуновско-го показателя [21].
Динамика двукластерных отображений. Система двух отображений под действием водителя ритма с двумя типами симметричной и несимметричной связи
В данной главе были исследованы системы двух несимметрично связанных отображений с двумя типами связи, диссипативной и инерционной [28-30]. То есть, рассмотрена динамика двукластерных состояний системы с двумя типами связи. Было проведено исследование динамики системы двух несиммет рично связанных отображений. Обнаружено, что для случая чисто дисси пативной связи наблюдается каскад бифуркаций удвоений периода, за вершающийся переходом к хаосу при X X с =1.401155 Появление хаотической динамики в докритической области возможно только при є « 0.5, когда уже можно говорить о сильной связи (в то время как метод РГ анализа работает только для слабо связанных систем). Для случая чисто инерционной связи обнаружены структуры "crossroad area" на плоскости параметров, что говорит о возможности наличия критических точек коразмерности два. Следовательно, инерционная связь приводит к более сложной динамике, чем диссипативная. Наличие различных чисел заполнения кластеров оказывает влияние, в основном, на область больших значений параметра связи є (рис.2.6), возможно появление хаотической динамики в докритической области (при X Хс). Дня связанных отображений, демонстрирующих переход к хаосу через удвоения периода, характерна мультистабильность, механизм которой определяется возможностью относительного сдвига по фазе колебаний связанных элементов. Наличие мультистабильности создает основу для использования таких систем в информационных приложениях. Определены константы универсальности и скеилинга для систем двух несимметрично связанных отображений. Пересчет параметров приводит к возникновению подобных структур, как в случае диссипативной, так и в случае инерционной связи. С точки зрения теории глобально связанных отображений, наличие свойств универсальности и скеилинга в случае двукластерных состояний позволяет предположить наличие этих же свойств и в случае состояний с большим числом кластеров. Что позволило бы говорить о совпадении свойств динамики глобально связанных систем, демонстрирующих переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Теперь представляется логичным перейти к рассмотрению систем, состоящих из большего числа элементов. На рис.3.1,а схематически показана система двух связанных отображений, на рис.3.1,6 - система глобально связанных отображений. Ясно, что систему с глобальной связью можно мыслить как набор элементов, попарно связанных каждый с каждым. Соответственно, в системе с глобальной связью в общем случае мы должны иметь дело с теми же двумя типами взаимодействия элементов, что и для парной связи.
В первоначальной работе Канеко [35] и во многих последующих исследованиях принят диссипативный тип связи, который способствует выравниванию мгновенных состояний взаимодействующих элементов. Инерционная связь, в отличие от диссипативной, может приводить к самопроизвольно возникающей нетривиальной динамике в связанных отображениях не только в закритической (хаотической) области, но также и в докритической области. Необходимость рассмотрения глобально связанных моделей с двумя типами связи была упомянута, например, в ссылках [32], но там не были сформулированы соответствующие модели, и не было проведено исследование особенностей динамики, ассоциирующихся с разными типами связи.
В данной главе мы вводим в рассмотрение систему связанных логистических отображений с диссипативной и инерционной глобальной связью. Обсуждаются и сравниваются некоторые особенности динамики и структуры фазовых диаграмм для сетей с инерционной и диссипативной связью. В частности мы выделяем свойства универсальности и скейлинга в динамике глобально связанных отображений на пороге хаоса. Из-за богатства динамических явлений, эта область пространства параметров может быть особенно интересна для приложений в области обработки информации.
